*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó..[r]
(1)Phßng gD&§T HUYÖN ®Çm hµ §Ò chÝnh thøc đề kiểm tra học sinh giỏi n¨m häc 2006 - 2007 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bài 1(3 điểm): Giai: a) x2 – 4x + = 25 x −17 x −21 x+ b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác và Tính giá trị biểu thức: A= 1 + + =0 x y z yz xz xy + + 2 x + yz y +2 xz z +2 xy Bài (1,5 điểm): Tìm tất các số chính phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số chính phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA ' HB' HC ' a) Tính tổng AA ' + BB' + CC ' b) Gọi AI là phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM c) Chứng minh rằng: AB+ BC+CA ¿2 ¿ Ơ¿ ¿ ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN Bài 1(3 điểm): (2) a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( điểm ) x x x x x x c) – 12.2 +32 = ⇔ 2 – 4.2 – 8.2 + 4.8 = ( 0,25điểm ) x x x x ⇔ (2 – 4) – 8(2 – 4) = ⇔ (2 – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm ) ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm ) ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 + + =0 x y z ⇒ xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A= ( x − y )(x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )(z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có: N, ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ (0,25điểm) abcd=k (a+1)(b+ 3)( c+5)(d+ 3)=m abcd=k 2 abcd +1353=m ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 m+k = 123 m+k = 41 ho ặ c m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ho ặ c ⇔ k = 56 k= Kết luận đúng abcd = 3136 với k, m N, 31<k <m<100 (0,25điểm) ( k+m < 200 ) (0,25điểm) (0,25điểm) ⇒ (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) (3) HA ' BC S HBC HA ' = = ; S ABC AA ' AA ' BC a) (0,25điểm) S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC' ; S =BB ' ABC ABC (0,25điểm) HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC' S ABC S ABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒BI AN CM=BN IC AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 ⇔ AB+ BC+CA ¿2 ¿ Ơ¿ ¿ (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,25điểm) (0,25điểm) (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó (4)