Bài 4: Tìm các phân số có tử số và mẫu số đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.. a Tính độ dài BM.[r]
(1)đề số Môn : Toán Năm học : 2009 – 2010 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề Bài : Tìm các số nguyên x, y: x = và x > y > y Bài : Cho hai số x, y trái dấu: a) b) −2 y = x và x < < y Tính x - y, biết |x|+| y| ¿ 2010 Bài : Một vòi nước chảy vào bể sau 60 phút thì đầy bể Vòi thứ hai lấy nước dùng sau 90 phút thì dùng hết Người ta dọn bể và tháo nước Rồi người ta mở vòi thứ chảy vào bể, sau 15 phút đồng thời người ta mở vòi thứ hai lấy nước dùng Hỏi sau bao lâu bể đầy ? Bài : a) Cho 10m - ⋮ 19 Chứng tỏ : 102m + 18 ⋮ 19 b) Chứng minh : + 32 + 33 + 34 + …… + 325 không chia hết cho 39 Bài : Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm O Gọi M là trung điểm OA, N là trung điểm OB và K là trung điểm AB a) Biết AB = Tính độ dài đoạn thẳng MN b) So sánh OM và ON HD Bài 2: Xét TH x>0 ,y<0 v à x<0, y>0 Bài : a) Cho 10m - ⋮ 19 Chứng tỏ : 102m + 18 ⋮ 19 C1: Ta co 102m + 18 ⋮ 19 ⇔ 10m – 1+ 10m + 19 ⋮ 19 C2: Ta cã: 102m + 18 =10 m 10 m + 18= 10 m (10 m -1)+ 10 m+18 ⋮ 19 ⇔ 10 m+18 ⋮ 19 (v× 10 m (10 m -1) ⋮ 19) Ta cÇn c/m 10 m+18 ⋮ 19 Theo nguyªn lÝ quy n¹p +Với m=1 thì 10 m+18 ⋮ 19=10 1+18 ⋮ 19=38 ⋮ 19 (đúng) +Víi m = k Gi¶ sö 10 k+18 ⋮ 19 Ta cần c/m 10 m+18 ⋮ 19 đúng với m= k+1 ThËt vËy víi m= k+1, ta cã10 m+18 ⋮ 19 =10 k+1+18 ⋮ 19=10 k10+18 ⋮ 19=10(10 k+18)-180+18 ⋮ 19= =10(10 k+18)-162 ⋮ 19 luôn đúng đề số KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài ( 2,5 điểm ) : 6 6 + + + + và chứng tỏ tổng S < ? 5 8 11 29 32 a− b+1 b) So sánh hai phân số và ( với a ; b là số nguyên cùng dấu và a ; b ) a b Bài ( 2,5 điểm ) : a) Cho x là tổng tất các số nguyên có chữ số, y là số nguyên âm lớn Hãy tính giá trị biểu thức A = 2009 x2006 - 2008 y2007 a) Tính tổng S = (2) b) Tìm x biết − 33 3333 333333 33333333 x ( + + + )=22 12 2020 303030 42424242 Bài ( 2,0 điểm ) : Tìm phân số tối giản, biết cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số phân số thì phân số mới, lớn gấp lần phân số ban đầu ? Bài ( 3,0 điểm ) : Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ta kẻ các tia Om và On cho mOx = a0 ; mOn = b0 ( a > b ) Vẽ tia Ot là phân giác xOn : a) Tính số đo mOt theo a và b hai trường hợp ( tia On nằm hai tia Ox và Om ; tia Om nằm hai tia Ox và On ) ? b) Trên nửa mặt phẳng bờ là xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với tia Ot Chứng tỏ hai trường hợp trên ta có tia Ot’ là tia phân giác nOy Bài ( 1,0 điểm ) Chứng minh tích số chính phương và số đứng trước nó chia hết cho 12 ĐÁP ÁN Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( 2.35 + 53 + 311 + .293 32 ) 0,25đ 1 1 1 1 S = ( − + − + − + .+ − ) 0,25đ 5 8 11 29 32 1 30 S = ( − ) = 0,25đ 32 32 S = Vì 30 < 32 nên S < b) 1,5 điểm a− 1 Có =1và a a b+1 =1+ b * Nếu a > và b > thì > và a 1 a− 1< 1+ hay < a b a * Nếu a < và b < thì < và a 1 a− 1> 1+ hay > a b a 0,25đ 0,5đ b > 0,25đ b b+1 0,25đ b < 0,25đ b b+1 0,25đ b Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm Theo bài ta có x = - 99 + ( - 98 ) + + ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + + 98 + 99 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .0,25đ 2006 x=0 x =0 và y = - y2007 = ( - )2007 = - 0,25đ Do đó ta có A = 2009 x2006 - 2008 y2007 = - 2008.( -1 ) = 2008 .0,25đ b) 1,5 điểm 33 3333 333333 33333333 + + )=22 Ta có − x ( + 12 2020 303030 42424242 33 33 33 33 − x ( + + + )=22 0,25đ 12 20 30 42 1 1 − x 33 ( + + + )=22 0,25đ 12 20 30 42 (3) 1 1 1 1 x 33 ( − + − + − + − )=22 0,25đ 4 5 6 7 1 − x 33 ( − )=22 − x 33 =22 .0,5đ 21 -11.x = 22 x = - 0,25đ − Bài ( 2,0 điểm ) Gọi phân số tối giản lúc đầu là phân số này nhỏ phân số a b a Nếu cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số b lần a a = ; b+b b 0,5đ a+b gấp lần phân số lúc đầu thì a + b phải lần a 0,5đ 2b Mẫu số b phải gấp lần tử số a .0,5đ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là 0,5đ Bài ( 3,0 điểm ) m t’ a) 2,0 điểm Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm hai tia Ox và Om t + Vì tia On nằm hai tia Om và Ox xOn = a0 - b0 0,25đ x y O a0 −b0 + Vì Ot là phân giác xOn nên nOt = xOn = 0,25đ 2 a − b0 a0 +b + Số đo mOt là : mOt = mOn + nOt = = 0,5đ b0 + 2 Để * tia Om nằm hai tia Ox và On + Vì tia Om nằm hai tia Ox và On xOn = xOm + mOn = a0 + b0 0,25đ + Vì Ot là phân giác xOn nên 0 a +b xOt = xOn = 0,25đ 2 + Số đo mOt là : mOt = xOm - xOt = a − m n t’ t x a0 +b O = a0 −b0 y .0,5đ b) 1,0 điểm Trong hai trường hợp trên, ta có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 0,5đ Mà tOn = xOt ( Ot là phân giác xOn ) 0,25đ nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác nOy 0,25đ Bài ( 1,0 điểm ) Số chính phương là n2(n Z) số đứng trước nó là n2-1 Ta có (n2-1)n2 =(n+1)(n-1)n2= (n-1)n.n(n+1) Tích này có số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Mặt khác (n-1)n là hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Và n (n+1) chia hết cho Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho Mà (3;4) = nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 Vậy (n2-1)n2 chia hết cho 12 đề số Hết (4) thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp N¨m häc 2007-2008 Bµi Cho c¸c sè a, b, c H·y chøng tá r»ng nÕu 4a + 5b + 7c chia hÕt cho 11 th× 5a + 9b + 6c còng chia hÕt cho 11 (4®iÓm) Gi¶i: Theo bµi ta cã: (4a + 5b + 7c) (x20)25 11 => 7(4a + 5b + 7c) (x20)28 11 XÐt tæng: 28a + 35b + 49c + 5a + 9b + 6c = 11(3a + 4b + 5c) (x20)35 11 => 5a + 9b + 6c kN 11 Bµi Cho mét sè cã ba ch÷ sè mµ ch÷ sè cuèi lín h¬n ch÷ sè ®Çu NÕu viÕt ch÷ sè cuèi lªn tríc ch÷ sè đầu thì đợc số lớn số đã cho là 783 Tìm số đã cho? (3điểm) Giải: Số đã cho biểu diễn dới dạng: x 9 9 x201019 Trong đó a, b, c N; 12 Sè míi biÓu diÔn díi d¹ng: Ta cã: 100c + 10a + b – 100a – 10b – c = 783 => 99c – 90a – 9b = 783 => 11c – 10a – b = 87 => 11c > 87 => c = hoÆc c = NÕu c = => 10a + b = => a = (lo¹i) NÕu c = => 10a + b = 12 => a = 1, b = Thö l¹i: 912 – 129 = 783 VËy sè ph¶i t×m lµ 129 (3 x ) : 0 24 Bµi a) T×m x: (2®iÓm) 27 129 27 129 81 129 1 ( x ) 0 ( x ).3 23 ( x).3 23 24 23 24 24 Gi¶i: => => (x 2).3 23 => 3x = 23 + => x = a, b b)T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a vµ b, cho ¦CLN (a, b) = 10, BCNN = 100 (4®iÓm) ab a.b a, b (a, b) Gi¶i: Ta cã = 100.10 = 103 Gi¶ sö a = 10a,, b = 10b,, víi (a,, b, ) = => a,b, =10 , a 1 , b 10 VËy , , a 2 , b 5 , , a 10 , b 1 , , a 5 , b 2 => a 10 a 20 a 50 a 100 b 100 , b 50 , b 20 , b 10 Bµi Chu vi cña mét h×nh ch÷ nhËt lµ 60m NÕu gi¶m chiÒu dµi 10% cña nã vµ t¨ng chiÒu réng 20% cña nó thì chu vi không đổi Tính diện tích hình chữ nhật? (4 điểm) Gi¶i: Tæng chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 60 : = 30 (m) Tæng cña 0,9 chiÒu dµi vµ 1,2 chiÒu réng còng b»ng 30m, tøc 0,1 chiÒu dµi b»ng 0,2 chiÒu réng 0,1 0, 2 VËy: NghÜa lµ tû sè gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt b»ng ChiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 : (1 + 2) = 20 (m) ChiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ 30 – 20 = 10 (m) DiÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt lµ 10 20 = 200 (m2) Bµi Cho tia Oc n»m gi÷a hai tia Oa vµ Ob, tia Om n»m gi÷a hai tia Oa vµ Oc, tia On n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob Chøng tá r»ng tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On (3®iÓm) Giải: Gọi mặt phẳng bờ Oc chứa tia Oa là P, mặt phẳng đối nó là Q, nh tia Ob thuộc Q Tia Om nằm hai tia Oa và Oc nên các tia Om, Oa thuộc cùng mặt phẳng có bờ Oc, đó tia Om thuéc P Tia On nằm hai tia Oc, Ob nên các tia On, Ob thuộc cùng mặt phẳng có bờ Oc, đó tia On thuéc Q Các tia Om, On thuộc hai mặt phẳng đối có bờ Oc (1) Ta l¹i cã cOm cOa (v× tia Om n»m gi÷a hai tia Oc vµ Oa), cOn cOb (v× tia On n»m gi÷a hai tia Oc vµ Ob) b n c (5) m Q đề số a O nªn cOm cOn cOa cOb aOb 180 , tøc lµ cOm cOn 180 (2) Tõ (1) vµ (2) suy tia Oc n»m gi÷a hai tia Om vµ On P §Ò thi häc sinh giái khèi M«n: to¸n Thßi gian 120 phót §Ò bµi Bµi 1: Chøng minh ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho Bµi 2: ViÕt 32 thµnh tæng lòy thõa c¬ sè víi c¸c sè mò lµ sè tù nhiªn liªn tiÕp 1 upload.123doc.net Bµi 3: TÝnh A = × × − × − × + 117 119 117 119 117 119 39 Bµi 4: Cho biÓu thøc 1 432 A= ×2 − × − 229 433 229 433 229× 433 1 a)Bằng cách đặt a= ,b= 229 433 Rót gän biÓu thøc A theo a vµ b b)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A Bµi 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20 Bµi 6: T×m sè d chia 1963 1964 cho Bài 7: Một xí nghiệp đã làm số dụng cụ đợt Đợt đã làm đợc tæng sè dông cô tæng sè dông cô vµ lµm thªm 25 chiÕc §ît xÝ nghiÖp lµm nèt 25 dông cô TÝnh tæng sè dông cô Đợt làm đợc §¸p ¸n to¸n C©u 1: (3 ®iÓm) Ch¬ng minh: ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho Ta cã ( 210 + 211 + 212 ) = 10 (1 + + 2 ) (1 ®) mµ (1 + + 2 ) chia hÕt cho (1 ®) 10 (1 + + 2 ) chia hết cho Do đó ( 210 + 211 + 212 ) chia hết cho (1 đ) C©u 2: (3 ®iÓm) §Æt sè tù nhiªn thø nhÊt lµ a c¸c sè tiÕp theo lµ a + 1, a + Ta cã: 32 = a + a+1 + a+2 = 2a +2a + 2a 22 = 2a (1 + + 22 ) = 2a (1,5 ®) 32 = 2a 32 = 2a a = (1 ®) VËy 32 = + + 1 upload.123doc.net C©u 3: TÝnh A= × − 5× − × + 117 119 117 119 117 119 39 1 đặt a = , b= (1 ®) 117 119 1 upload.123doc.net Ta cã: 3× × − ×5 − × + 117 119 117 119 117 119 39 = 3ab – 4a (5 + - b) – 5ab + (0,5 ®) 39 = 3ab – 24 a + 4ab – 5ab + (0,5 ®) 39 = 2ab – 24a + (0,5 ®) 39 1 Thay a = , b= 117 119 (6) ta cã A = 2× 1 × −24 × + 117 119 117 39 24 × 119 24 ×119 = (0,5 ®) − + 117 ×119 117 × 119 117 ×119 117 ×119 1 432 C©u 4: A = ×2 − × − 229 433 229 433 229× 433 1 a) đặt a= ,b= 229 433 Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a (1,5 ®) b) A = 5a = (1,5 ®) = 229 229 C©u 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20 C¸ch 1: ta cã (19 45 + 1930 ) = 1930 (1915 +1) (1 ®) Mµ (1915 +1) = BS (19 + 1) chia hÕt cho 20 (1 ®) Do đó: 1930 (1915 +1) chia hết cho 20 (1 ®) Nªn (19 45 + 1930 ) chia hÕt cho 20 (1 ®) C©u 6: Ta thÊy 1963 chia cho d Do đó 19631964 = (BS +3)1964 = BS + 31964 (1 ®) XÐt sè 31964 = 32 (33)654 = (28 – )654 = (BS + ) = BS + (1,5®) Vậy 31964 chia cho d đó 19631964 chia cho d (0,5 ®) C©u 7: §Æt tæng sè dông cô xÝ nghiÖp s¶n xuÊt lµ a (0,5 ®) 1 Ta cã: + 15 + 25 = a (0,25 ®) a + 4a 1 a + + 40 = a (0,25 ®) 4a 1 a + - a = -40 4a 1 a ( + −1 ) = - 40 4+3 − 12 a( ) = - 40 (0,5 ®) 12 5 − a = - 40 a = (- 40): ( − ) =96 (0,5 ®) 12 12 §¸p sè: 96 dông cô = đề số Đề thi học sinh giỏi Môn toán Lớp Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120 phút Bài (2 điểm) Tính nhanh: 2008.2009 4018 b/ 2010.2011 4020 a/ (-47) + 74 - ( 53 - 26) Bài (3 điểm) a/ Tìm số tự nhiên n biết chia 147 và 193 cho n thì có số dư là 17 và 11 b/ Khi cộng vào tử và mẫu phân số với cùng số nguyên x thì phân số có giá trị Tìm số nguyên x? c/ Cho a, b, c là các số nguyên dương (7) a b c Chứng tỏ P = a b b c c a không phải là số nguyên Bài (2,5 điểm) Bài kiểm tra chất lượng học kỳ I môn Toán lớp 6A không có bạn nào bị điểm trung bình Số học sinh đạt điểm loại trung bình 60% số học sinh lớp; số học sinh đạt điểm loại khá số học sinh lớp Biết rằng, lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn và tất các bạn tham gia kiểm tra Hỏi bài kiểm tra đó có bao nhiêu học sinh đạt điểm loại giỏi ? Bài (2,5 điểm) Trên tia Ox lấy các điểm A và B cho OA = 2cm, AB = 6cm a/ Tính khoảng cách trung điểm I đoạn thẳng OA và trung điểm K đoạn thẳng AB OMA AMB OMB b/ M là điểm nằm ngoài đường thẳng AB Biết = 100O và , tính số đo AMB ================Hết================ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bµi a (2®) b (3®) a b c Néi dung = - 47 + 74 - 53 + 26 = -(47 +53) +(74 + 26) = -100 +100 = 2008.2009 + 4018 = 2008.2009 + 2.2009 = 2009.(2008+2) = 2009.2010 2010.2011-4020 = 2010.2011-2.2010 = 2010.(2011-2) = 2010.2009 2008.2009 4018 2010.2011 4020 = §iÓm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 147 chia cho n d 17; n N nªn n > 17 vµ 147 -17 n hay 130 n 193 cho n d 11 nªn 193 - 11 n hay 182 n n ¦C(130,182) 1; 2; 13; 26 ¦C(130,182) = n > 17 nªn n = 26 3 x Từ đề bài suy x 3(3+x) = 7+x +3x = 7+x 3x - x = - 2x = -2 x = -1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b c a a b c Do a, b, c d¬ng nªn a b > a b c ; b c > a b c ; c a > a b c 0.25 a b c a b c P = ab bc ca > abc a bc ab c = 0.25 Do a, b, c có vai trò bình đẳng, không tính tổng quát, giả sử a b c 0.25 Ta cã a, b, c d¬ng vµ a b c + a c + b c c c a c b b c b c b c c a b c c b = (8) a a b c Do a, b d¬ng nªn a b < a b b c c a < a b c 1< a b b c c a < nªn P kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn 0.25 Số học sinh đạt điểm loại khá và trung bình bằng: 31 60% + = + = 35 (Sè häc sinh c¶ líp) Số học sinh đạt điểm loại giỏi bằng: 31 1- 35 = 35 (Sè häc sinh c¶ líp) Vì số học sinh đạt loại giỏi 35 số học sinh lớp nên số học sinh lớp lµ béi cña 35 0; 35; 70; 105 Ta cã B(35) = Vì lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn nên số học sinh lớp 6A là 35 bạn Số học sinh đạt điểm loại giỏi là: 35 35 = (B¹n) §¸p sè: b¹n (2,5®) (2,5®) 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 M 0.5 O a b I A K B Chứng tỏ đợc A nằm O và B Tính đợc IA = 1cm; AK = 3cm Chứng tỏ đợc A nằm I và K Suy IK = cm Chứng tỏ đợc tia MA nằm hai tia MO và MB OMA AMB OMB 2 AMB AMB 100o AMB = 60O x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Tæng 10.0 Lu ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tối đa - NÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh th× chÊm mét nöa sè ®iÓm cña phÇn lµm bµi h×nh, häc sinh vÏ h×nh sai th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh - Bài làm không chặt chẽ, không đủ sở phần nào thì trừ nửa số điểm phần đó - Tuú theo bµi lµm cña häc sinh gi¸m kh¶o cã thÓ chia nhá mçi ý cña biÓu ®iÓm đềsố sè 6 đề §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn m«n to¸n N¨m häc: 2006-2007 ( thêi gian 90/) C©u 1:Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: (4 ®iÓm) (9) 2181 729+243 81 27 (1 ®iÓm) 92 234+ 18 54 162 9+723 729 1 1 b (1 ®iÓm) + + +⋯+ + 2 3 98 99 99 100 1 1 + + +⋯+ <1 c (1 ®iÓm) 1002 15 99 − 20 89 (1 ®iÓm) d 29 619 −7 229 276 a Câu 2: (2 điểm) Một quãng đờng AB Giờ đầu đợc quãng đờng AB Giờ thứ kém 1 quãng đờng AB, thứ đI kém thứ quãng đờng AB Hỏi thứ t quãng 12 12 đờng AB? C©u 3: (2 ®iÓm) a VÏ tam gi¸c ABC biÕt BC = cm; AB = 3cm ;AC = 4cm b LÊy ®iÓm ë tam gi¸c ABC nãi trªn.VÏ tia A0 c¾t BC t¹i H, tia B0 c¾t AC t¹i I,tia C0 c¾t AB t¹i K Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác C©u 4: (1 ®iÓm) a T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: 2100 , 71991 b.T×m bèn ch÷ sè tËn cïng cña sè sau: 51992 ®Çu lµ §¸p ¸n: I - Tù luËn C©u 1: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh 2181 729+243 − 81 2181 729+7292 =¿ C©u a 92 243+ 93 162+ 723 729 729 243+729 1944+723 729 729(2181+729) 729 2910 ¿ = =1 729(243+1944+ 723) 729 2910 C©u b Ta cã: 1 1 1 1 1 1 = − ; = − ; = − ; … ; = − ; 1.2 2.3 3.4 98 99 98 99 1 = − 99 100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 VËy + + +⋯+ + =¿ − + − + − +⋯+ − + − =¿ 2 3 98 99 99 100 2 3 98 99 99 100 99 1− = 100 100 C©u c Ta cã: 1 1 1 1 100 ; < = − ; < = − ; 2 1 1 1 1.2 3 ¿ 2< = − ; ; < = −❑ 3.4 100 99 100 99 ❑ 1 1 1 1 + + +⋯+ <¿ VËy + + +⋯+ =¿ 2 2 3 99 100 10 1 1 1 1 99 ¿ 1− + − + − +⋯+ − =¿=1− = < 2 3 99 100 100 ¿ 229 318 (5 −3) 230 18 −22 20 227 C©u d: = =2 29 219 319 − 229 318 228 318 (5 −7 2) ¿ Câu 2:Quãng đờng đợc đầu là: (10) ¿ ¿ 1 1 1 1 1 1 + − + − − =¿= + + − + + =1 − ¿ 3 12 12 12 3 12 12 12 Quãng đờng thứ t là quãng đờng C©u 3: A I K a VÏ ®o¹n th¼ng BC=5cm VÏ cung trßn (B;3cm) B C VÏ cung trßn (C;4cm) H LÊy giao ®IÓm A cña hai cung trªn Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta đợc tam giác ABC b Có tam giác” đơn” là AOK; AOI; BOK; BOH; COH; và COI Có tam giác “Ghép đôI” là AOB; BOC; COA Cã tam gi¸c “GhÐp ba” Lµ ABH; BCI; CAK; ABI; BCK; CAH Cã mét tam gi¸c “GhÐp 6” lµ tam gi¸c ABC VËy h×nh cã tÊt c¶ 6+3+1+6 = 16(Tam gi¸c) C©u 4: a.T×m hai sè tËn cïng cña 2100 210 = 1024, b×nh ph¬ng cña hai sè cã tËn cïng b»ng 24 th× tËn cïng b»ng 76, cã sè tËn cïng b»ng 76 n©ng lªn lũy thừa nào( khác 0) tận cùng 76 Do đó: 2100 = (210)10= 1024 = (10242)5 = (…76)5 = …76 VËy hai ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 76 * T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña 71991 Ta thấy: 74=2401, số có tận cùng 01 nâng lên lũy thừa nào tận cùng 01 Do đó: 71991 = 71988 73= (74)497 343 = (…01)497 343 = (…01) x 343 =…43 VËy 71991 cã hai sè tËn cïng lµ 43 T×m sè tËn cïng cña 51992 51992 = (54)498 =0625498=…0625 ( đề số )( ) ( )( ) §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn Thêi gian lµm bµi: 120 phót Trêng THCS M«n: To¸n Líp §Ò bµi I §Ò bµi: Bài (1,5đ): Dùng chữ số 3; 0; để ghép thành số có chữ số: a Chia hÕt cho b Chia hÕt cho c Kh«ng chia hÕt cho c¶ vµ Bµi (2®): a T×m kÕt qu¶ cña phÐp nh©n A = 33 x 99 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè b Cho B = + 32 + 33 + + 3100 T×m sè tù nhiªn n, biÕt r»ng 2B + = 3n Bµi (1,5 ®): TÝnh 101 100 99 98 a C = 101 100 99 98 3737.43 4343.37 b D = 100 Bµi (1,5®): T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña 2100 Bài (1,5đ): Cho ba đờng a1, a2, a3 từ A đến B, hai đờng b1, b2 từ B đến C và ba đờng c1, c2, c3, từ C đến D (hình vẽ) A a1 a2 b1 B C c1 c2 D b2 a3 c3 (11) Viết tập hợp M các đờng từ A dến D lần lợt qua B và C Bài (2đ): Cho 100 điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua điểm ta vẽ đờng thẳng có tất bao nhiêu đờng thẳng §¸p ¸n to¸n Bµi (1,5®): a 308; 380; 830 (0,5®) b 380 830 (0,5®) c 803 Bµi (2®): a) (1®) A = 33 x (1 00 - 1) (0,25®) = 50 ch÷ sè 33 00 50 ch÷ sè - 33 (0,25®) 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè §Æt phÐp trõ 33 33 00 00 33 33 33 32 66 67 (0,25®) 49 ch÷ sè 49 ch÷ sè VËy A= 33 32 66 67 (0,25®) 49 ch÷ sè 49 ch÷ sè b) B = + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 (2) Lấy (2) trừ (1) ta đợc: 2B = 3101 - Do đó: 2B + = 3101 Theo đề bài 3B + = 3n VËy n = 101 Bµi (1,5®): a) (0,75®) 101 100 99 98 C = 101 100 99 98 (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) Ta cã: 101 + (100 + 99 + + + + 1) =101 + 101.100 : = 101 + 5050 = 5151 (0,25®) 101 - 100 + 99 - 98 + + - + = (101 - 100) + (99 - 98) + + (3 - 2) + 50 cÆp = 50 + = 51 (0,25®) 5151 101 VËy C = 51 (0,25®) b) (0,75®) 3737.43 4343.37 B = 100 Ta cã: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = VËy B = ( v× = + + + 100 0) Bµi ( 1,5®): Ta cã: 210 = 1024 10 (0,5®) (0,25®) (0,25®) 10 1024 2100 = = 102410 = =( 76)5 = 76 VËy hai ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 76 (0,75®) (0,5®) (12) Bµi (1,5®): Nếu từ A đến D đờng a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5®) Đi từ A đến D đờng a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5®) Đi từ A đến D đờng a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5®) VËy tËp hîp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bµi ( 2®): Chọn điểm Qua điểm đó và điểm 99 điểm còn lại, ta vẽ đợc 99 đờng thằng (0,5®) Làm nh với 100 điểm ta đợc 99.100 đờng thẳng (0,5®) Nhng đờng thẳng đợc tính lần, đó tất có 99.100 : = 4950 đờng thẳng (1®) Phßng GD-®t đề số §Ò thi chän häc sinh giái líp n¨m häc 2008-2009 M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi 120 phót §Ò chÝnh thøc C©u 1: (3 ®iÓm ) a) TÝnh tæng sau: A 10 10 10 10 56 140 260 1400 1.2 2.3 3.4 99.100 116 50 2 131 b) T×m x Z , biÕt: x ( x 1) ( x 2) ( x 99) C©u 2: (2,5 ®iÓm ) a) Tìm số tự nhiên nhỏ khác biết số đó có 15 ớc dơng 9x Sè x 0;1; 2; ;9 b) víi viÕt hÖ thËp ph©n cã bao nhiªu ch÷ sè ? C©u 3: (2,0 ®iÓm ) Hai ngời khởi hành cùng lúc từ hai địa điểm A và B Ngời thứ từ A đến B quay lại Ngời thứ hai từ B đến A quay lại Hai ngời gặp lần thứ hai địa điểm C cách A là 6km Tính quãng đờng AB, biết vận tốc ngời thứ hai vận tốc ngời thứ C©u 4: (2,5 ®iÓm) a) Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia BA lấy O (O khác B) So sánh độ dài đoạn th¼ng OM vµ trung b×nh céng cña hai ®o¹n th¼ng OA vµ OB b) Cho 10 đờng thẳng đồng quy O Hỏi có bao nhiêu góc đỉnh O đợc tạo thành (không kể góc bẹt) ? =============HÕt=============== (13) UBND HuyÖn Phßng GD-®t Híng dÉn chÊm §Ò thi chän häc sinh giái líp n¨m häc 2008-2009 M«n: To¸n C©u Néi dung §iÓm a) 10 10 10 10 5 5 3 3 A ( ) 56 140 260 1400 = 28 70 130 700 = 28 70 130 700 3 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 25.28 = 7 10 10 13 25 28 = 4.7 7.10 10.13 0,5 0,5 0,5 1 ( ) = 28 28 14 (3,0®) b) §Æt A 1.2 2.3 3.4 99.100 3.A= 1.2.3+2.3.3+3.4.3+….+99.100.3 3A = 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+ 3.4.(5-2)+….+99.100.(101- 98) 3A= 1.2.3+2.3.4 – 1.2.3 +3.4.5 – 2.3.4+… + 99.100.101 – 98.99.100 3A= 99.100.101 A= 333300 0,5 0,5 2 2 §Æt B x ( x 1) ( x 2) ( x 99) = 100 x (1 99) = 100 x 4950 0,5 333300 116 6666 Do đó ta có: 100 x 4950 =50 131 = 131 50 100 x 4950 131 100 x 4950 50.131 100 x 1600 x 16 x 4 14 a) V× 15 =1.15 = 3.5 nªn sè cÇn t×m cã d¹ng a hoÆc b c ( a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tè vµ b c ) (2,5®) 14 14 TH1: Số cần tìm có dạng a mà số đó là nhỏ nên a 2 16384 4 TH2: Số cần tìm có dạng b c mà số đó là nhỏ nên c 2; a 3 144 Do 144< 16384 nªn sè cÇn t×m lµ 144 9x b) Ta cã 0,5 0,5 8 16 < 100 10 (1) 15 Ta cÇn chøng minh: 90 10 hay 98108>107108 => 10 (2) 4 4 4 4 ThËt vËy, ta cã: 81 80 10 10 (2 ) 10 16 10 10 10 15 Tõ (1) vµ (2) suy ra: 10 thËp ph©n cã 16 ch÷ sè (2,0®) 0,5 9x 16 < 10 , víi mäi x 0;1; 2; ;9 9x nªn sè 0,5 0,5 viÕt hÖ Từ lúc khởi hành đến lúc gặp lần thứ hai C, ngời thứ hai đợc quãng đờng là BA+6km (1) , hai ngời đợc 3AB 0,5 (14) Vận tốc ngời thứ hai vận tốc ngời thứ nên quãng đờng ngời thứ hai đợc 2 tổng quãng đờng hai ngời đợc tức là bằng: 3AB = AB (2) 1 Từ (1) và (2) suy AB dài km Quãng đờng AB dài là: 6: = 30 km A (2,5®) M B 0,5 O a) M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB nªn M n»m gi÷a A vµ B ; MA=MB (1) Hai tia BM, BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối đó B nằm O và M suy OM=OB+BM (2) Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng suy ta hai tia MA, MO đối đó M nằm A và O Vậy OM+MA=OA OM=OA-MA (3) OA OB Tõ (1), (2) vµ (3) suy 2OM=OA+OB hay OM= b) 10 đờng thẳng đồng quy O có 20 tia gốc O Chọn tia, tia đó tạo với tia (20-1) tia cßn l¹i thµnh gãc Lµm nh thÕ víi 20 tia ta cã 20.(20-1) =380 gãc, đó góc đã đợc tính hai lần Do đó số góc tạo thành là: 380:2 =190 góc Sè gãc t¹o thµnh kh¸c gãc bÑt lµ: 190-10 = 180 gãc 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 đề số Phßng gi¸o dôc I §Ò thi häc sinh giái khèi M«n thi : To¸n häc Thêi gian 120 phót PhÇn tr¾c nghiÖm Câu Tìm tất các số nguyên n thích hợp để biểu thức n+7 lµ sè nguyªn A) -3 : B) -3, ,-4 ; C) -3, -4, -6, -1 ; D) -3, -4, -6, ; C©u §iÒn sè thÝch hîp vµo chç trèng c¸c c©u sau: A Có hai số tự nhiên liên tiếp là số nguyên tố là …… B Có ba số lẽ liên tiếp là số nguyên tố là …………… C Cã mét sè nguyªn tè ch½n lµ ……… D Sè nguyªn tè nhá nhÊt lµ ……… Câu Hãy điền chữ Đ (đúng ), S (sai ) vào ô trống cho các khẳng định sau: Cho tËp hîp M = { 1945; 1946; …… ;1975} TËp hîp M cã : A) 30 phÇn tö B) 31 phÇn tö C) Tæng c¸c phÇn tö M lµ : 3920x15 D) Tæng c¸c phÇn tö M lµ : 3919x15 + 1975 II PhÇn tù luËn C©u §Ðn n¨m 2010, sè tuæi vµ sè n¨m cña Hoµng cã BCNN gÊp 133 lÇn ¦CLN TÝnh n¨m sinh cña Hoµng ? C©u H·y tÝnh c¸c biÓu thøc sau mét c¸ch nhanh nhÊt : 2 2 a) A = + + + + 3 5 99 101 3 3 b) B = + + + + 3 5 49 51 1 1 c) C = 1+ 1+ 1+ 1+ 3.5 99 101 ( )( )( ) ( ) (15) C©u : Cho A = + 52 + 53 + 54 + 55 + …… + 52006 + 52007 + 52008 Chøng tá r»ng A ⋮ C©u Cho ®o¹n th¼ng AB = 2100 (cm) Gäi M1 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th»ng AB; Gäi M2 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng M1B ; gäi M3 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng M2B ; ….gäi M100 lµ trung ®iÓm cña ®o¹n thẳng M99 B Tính đọ dài đoạn thẳng M99B, đoạn thẳng M1M100 §¸p ¸n m«n to¸n I Tr¾c nghiÖm C©u (2®) §¸p ¸n : C (2®) C©u (2®) A) ….2 vµ (0.5®) B) ……3; 5; (0.5®) C) …….2 (0.5®) D) …….2 (0.5®) C©u (2®) A: S (0.5®) B: § (0.5®) C: S (0.5®) D:§ (0.5®) II Tù luËn C©u (4®) - Gäi tuæi cña Hoµng lµ a, n¨m sinh lµ b th× : a + b = 2010 [a, b] = 133(a, b) (0.5®) ¿ a=d a ' ;b=d b - Gäi (a, b ) =d th× : (*) (1®) ( a' ,b ' )=1 ¿{ ¿ ⇒ a.b = d2 a’.b’ (1) ; [a, b ] = 133.d a.b V× : [a, b ] = nªn ab = [a, b].(a, b) (2) (a , b) Tõ (1) vµ (2) ta cã : [a, b].(a, b) = d2.a’b’ [a ,b ].( a , b) 133 d d ⇒a ' b' = = =133 d2 d2 - Gi¶ sö : a < b th× a’ < b’ mµ 133 lµ sè nguyªn tè nªn : 133 = 1.133 = a’ b’ ⇒ a’ = vµ b’ = 133 a+b 2010 =15 Tõ (*) ta cã : a + b = d(a’ + b’ ) ⇒d= ' ' = a +b 1+133 VËy : b = d.b’ = 15.133 = 1995 Câu (3đ) : (mỗi ý đúng cho 1đ) 1 1 1 a) A = (1− )+( − )+( − )+ +( − ) 3 5 99 101 1 1 1 = 1− + − + − + .+ − 3 5 99 101 100 = 1= 101 101 3 = = (1− ) 3 b) Ta cã : 3 1 = = ( − ) 3.5 3.5 …………………………………………… 3 1 = = ( − ) 49 51 49 51 49 51 (1®) (1®) (0.5®) (0.5®) (0.5®) (16) 1 1 (1 − + + + + − )= (1 − ) 3 49 51 51 50 25 = = 51 17 16 100 c) C = (0.5®) 99 101 2 2 .100 100 100 200 (0.5®) = 100 = = = 99 101 99 101 101 101 C©u (2®) A = + 52 + 53 + 54 +…….+ 52006 + 52007 + 52008 A = (5 + 52) + (53 + 54) + ……+ (52005 + 52006) + (52007 + 52008) (0.5®) 2005 2007 A = 5(1 + 5) + ( + 5) + ……+ (1 + 5) + ( + ) (0.5®) A = 6( + 53 +…… + 52005 + 52007) ⋮ ⇒ A ⋮ (0.5®) Ta thÊy tæng c¸c sè h¹ng cña A chia hÕt cho nªn A ⋮ (0.5®) C©u (5®) 100 Cã : M1B = AB = =299 2 M B 2100 M2B = = 2 M B 2100 M3B = = 2 ……………………………… M 99 2100 M100B = (2®) = 100 =1 2 B= A M1 M2 … M100 B V× BM100 < BM1 (do < 299) nªn ®iÓm M100 n»m gi÷a hai ®iÓm B vµ M1 ⇒ M1M100 + M100MB = M1B (2®) ⇒ M1M100 = M1B – M100B §é dµi ®o¹n th¼ng M1M100 lµ : M1M100 = 299-1 (cm) (1®) đề số 10 Hä vµ tªn: SBD: §Ò thi chän häc sinh giái líp N¨m häc: 2008 - 2009 M«n : to¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) n+1 Bµi 1: (1,5®) Cho a = Tìm n để n −1 a) a lµ sè nguyªn d¬ng b) a lµ mét sè nguyªn ©m c) a lµ sè ch¼n đề ra: Bµi 2: (1,75®) T×m x Z, biÕt: a) (x-3) + (x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 11 b) (x3 + 5).(x3 + 10).(x3 + 15).(x3 + 30) < (17) 3 3 + + + + 7 9 11 59 61 99 92 + + + + 92 − − − − − 99 98 97 10 11 100 b) Cho A = ; B= 1 1 1 1 + + + + + + + + 100 45 50 55 500 TÝnh tØ sè phÇn tr¨m cña A vµ B Bµi (2,25®) a)TÝnh M = 2n - -1 -2 Bµi (2,0®) Mét đội sản xuất A, nhân đội A n 1 − tæng sè c«ng 2 đội Số công a -1 3 b»ng sè C Biết số công nhân đội C số công nhân đội A là 18 ngời Tính số công nhân đội nhµ m¸y cã ba B, C Sè c«ng 36% nh©n cña ba nhân đội B công nhân đội Bµi (1,5) Gäi tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc bÑt xOy VÏ hai gãc nhän kÒ lµ zOm vµ zOn cho hai tia Om, Ox cïng thuéc mét n÷a mÆt ph¼ng bê chøa tia Oz vµ ∠ zOm = ∠ zOn a) Tia Oz cã ph¶i lµ tia ph©n gi¸c cña gãc mOn kh«ng? V× sao? b) Vẽ tia Ot là tia đối tia On Vì có thể khẳng định tia Ox là tia phân giác góc mOt HÕt - Bài 1: (1,5đ)Đáp án đề thi chọn HSG Toán n+1 n− 1+2 a= = =1+ n −1 n −1 n −1 ¿ 1+ ∈ Z ⇒ n −1 ∈ ¦ ❑(2) = { ±1 ; ± } n −1 ¿ LËp b¶ng: Tõ b¶ng ta thÊy: a) a lµ sè nguyªn d¬ng n = hoÆc n = 0,25® 0,25® b) a lµ sè nguyªn ©m n = c) a lµ sè ch¼n n = Bµi 2: 1,75®) a) (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + .+ 10 + 11 = 11 (18) ⇔ (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + + 10 = 0,25® Gäi sè sè h¹ng ë vÕ tr¸i lµ n (n>0), ta cã : [ (x − 3)+10 ] n =0 ⇔ (x+ 7)n=0 V× sè sè h¹ng n nªn x + = ⇔ x= -7 0,25® b) (x3 + 5)(x3 + 10)(x3 + 15)(x3 + 30) < Vì tích có thừa số, nên tích < 0, đó phải có thừa số âm thừa số âm 0,25đ +) NÕu cã mét thõa sè ©m th× x3 + < < x3 + 10 Tõ x3 + < ⇒ x3< -5 (1) x3 + 10 > ⇒ x3 > - 10 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ -10 < x3 < -5 0,25® 3 ⇒ x { −9 ; − ; −7 ; −6 } Do x Z ⇒ x = -8 ⇒ x = -2 +) NÕu cã thõa sè ©m th× x3 + 15 < < x3 + 30 Lập luận tơng tự trên ta đợc x3 = -27 đó x = -3 0,25® VËy x { −2 ; −3 } 0,25® Bµi 3: (2,25®) 3 3 a) M = + + + +¿ 7 9 11 59 61 2 2 = + + + .+ 7 9 11 59 61 1 1 1 1 = − + − + − + + − 7 9 11 59 61 1 56 84 = − = = 61 305 305 ( ( ) ( 0,25® 0,25® ) ) 0,25® 0,5® 99 98 99 + + + + + + + + 99 98 97 99 98 b)TÝnh A = = 1 1 1 + + + + + + + 100 100 100 100 100 99 Tö sè = −1 + − + + −1 + 99 98 100 100 100 100 99 = + + + + −(1+1+1+ +1)+ 99 98 97 100 100 100 100 100 = + + + .+ + 99 98 97 100 1 1 = 100 + + + .+ 100 99 98 1 100 + + .+ 100 99 VËy A = =100 (1) 1 + + .+ 100 ( ( ( )( ( ( ) ) ( ) ) ) ) 0,25® 0,25® 0,25® (19) 92 92 − − − − − 10 11 100 B= 1 1 + + + + 45 50 55 500 92 Tö sè = 92 − − − − 10 11 100 8 8 = 92 - − − 1− − 1− − − − 10 11 100 8 8 = 92 - (1 + 1`+ + + 1) + + + + .+ 10 11 100 1 1 = + 40 + 40 +40 + + 40 45 50 55 500 1 1 = 40 + + + .+ 45 50 55 500 1 1 40 + + + + 45 50 55 500 VËy B = =40 (2) 1 1 + + + .+ 45 50 55 500 A 100 Tõ (1) vµ (2) ⇒ = =250 % B 40 ( )( )( ) ( ( ( ) ) 0,25® 0,25® ) ( ) 0,25® 0,25® 1,75® Bµi 4:(2,0®) Gäi sè c«ng nh©n cña nhµ m¸y lµ x, ®k: x > Khi đó số công nhân đội A là36%.x = x (c«ng nh©n) 25 Đội C đội A là 18 ngời nên số ngời đội C là x + 18 (c«ng nh©n) 25 Số công nhân đội B là (c«ng nh©n) x +18 25 9 Từ đó ta có: x+ x +18 + x+18=x 25 25 25 Giải tính đợc x = 450 Vậy số công nhân đội A là 450=162 (c«ng nh©n) 25 Vậy số công nhân đội C là 162 + 18 = 180 (công nhân) Vậy số công nhân đội B là z n 180=108 (c«ng nh©n) m Bµi (1,5®) ( ( 0,25® 0,25® ) 0,25® ) x O a) V× ∠ zOm =∠ zOn (1), mµ ∠ zOm vµ ∠ zOn lµ hai gãc nhän nªn ∠ zOm +∠ zOn<1800 t ⇒ tia Oz n»m gi÷a hai tia Om, On (2) Tõ (1) vµ (2) suy tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc mOn 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 2,0® H×nh vÏ: 0,25® y 0,25® 0,5® b) +) ∠ xOm +∠ mOz=900 (do Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc bÑt) ∠ yOn +∠nOz=900 (do Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc bÑt) Mµ ∠ zOm =∠ zOn⇒ ∠ xOm =∠ yOn (3) +) ∠ xOt +∠tOy=180 =∠ xOy 0,25® (20) ∠ yOn +∠ tOy=180 (do On, Ot đối nhau) ⇒∠ xOt =∠ yOn (4) Tõ (3) vµ(4) ⇒ ∠ xOm =∠xOt (5) 0,25® +) Do Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc bÑt xOy, Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc mOn, Om, On thuéc n÷a mÆt ph¼ng bê xy Nên ∠ xOz <∠xOn< xOy ⇒ xOn là góc tù Do đó ∠ xOm <∠ xOn VËy tia Om n»m gi÷a hai tia Ox, On suy ∠ nOm <∠ nOx <∠ nOt nªn tia Ox n»m gi÷a hai tia Om, Ot (6) Tõ (5) vµ (6) suy Ox lµ tia ph©n gi¸c cña gãc mOt 0,25® ( Học sinh làm cách khác đúng, đạt điểm tối đa) 0,25® 1,0® đề số 11 Bµi 1: T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè abc , biÕt r»ng: b2=ac vµ abc − cba=495 Bµi 2: a)TÝnh nhanh: 1978 1979+1980 21+1958 1980 1979 −1978 1979 b)Rót gän: 52.611.162 62.126.152 2.612.104 812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số n+99 n+ a)Cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn b)Lµ ph©n sè tèi gi¶n n 11 Bµi 4: Cho A= + + +⋅+ n+1 +⋅+ 12 víi n N 5 5 Chøng minh r»ng A < 16 Bài 5: Trên đờng thẳng xx’ lấy điểm O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Gãc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 a) Chøng minh tia Ot n»m gi÷a hai tia Oy vµ Oz b) Chøng minh tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy Bµi 1: T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè abc , biÕt r»ng: b2=ac vµ abc − cba=495 Bµi 2: a)TÝnh nhanh: 1978.1979 1980.21 1958 1980.1979 1978.1979 b)Rót gän: 52.611.162 62.126.152 2.612.104 812.9603 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số n+99 n+ a)Cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn b)Lµ ph©n sè tèi gi¶n (21) n 11 + + +⋅+ n+1 +⋅+ 12 víi n N 5 5 Chøng minh r»ng A < 16 Bài 5: Trên đờng thẳng xx’ lấy điểm O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Gãc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 a) Chøng minh tia Ot n»m gi÷a hai tia Oy vµ Oz b) Chøng minh tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy Bµi 4: Cho A= đáp án Bµi 1: T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè abc , biÕt r»ng: b2=ac vµ abc − cba=495 Gi¶i: Ta cã abc − cba=( 100 a+10 b+ c ) − ( 100 c +10 b+ a )=100 a+10 b+ c − 100 c −10 b − a ¿ 99 a −99 c=99 ( a −c ) =495 ⇒ a − c=495 :99=5 V× b2=ac vµ ≤ b ≤ mµ a - c = Nªn ta cã: Víi a = ⇒ c = vµ b2 = 9.4 = 36 ⇒ b = (NhËn) Víi a = ⇒ c = vµ b2 = 8.3 = 24 ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña b Víi a = ⇒ c = vµ b2 = 7.2 = 14 ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña b Víi a = ⇒ c = vµ b2 = 6.1 = ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña b Bµi 2: a)TÝnh nhanh: 1978 1979+1980 21+1958 1980 1979 −1978 1979 Gi¶i: 1978 1979+1980 21+1958 1978 1979+1979 21+21+1958 = 1980 1979 −1978 1979 1979 (1980 −1978 ) 1979 ( 1978+21 ) +21+1958 1979 ( 1978+21+1 ) ¿ = 1979 1979 1979 2000 ¿ =1000 1979 b)Rót gän: 11 2 611 16 2+ 62 126 152 ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = 12 3 12 4 6 10 −81 960 ( ) ( ) − ( ) ( ) 19 11 14 10 52 310 214 ( 25 3+5 ) +2 3+5 = = 217 54 312 − 311 218 53 217 53 311 ( 3− ) 23 12 32 3+5 96+5 101 = = 15 12 120 12 1440 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số n+99 n+ a)Cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn b)Lµ ph©n sè tèi gi¶n Gi¶i: Ta cã (22) ( n+4 ) +91 ( n+ ) 91 91 §Æt A = n+99 = n+8+ 91 = = + =2+ n+ n+ n+ n+ n+4 n+ a) §Ó A lµ sè tù nhiªn th× 91 ⋮ 3n + => 3n + lµ íc cña 91 hay 3n + {1; 7; 13; 91} Víi 3n + = 1=> n = -1 Lo¹i v× n lµ sè tù nhiªn Víi 3n + = 7=> n = NhËn =>A = + 13 = 15 Víi 3n + = 13 => n = NhËn => A = + = Víi 3n + = 91 ⋮ n = 29 NhËn =>A = + = b) §Ó A lµ ph©n sè tèi gi¶n th× 91 kh«ng chia hÕt 3n + hay 3n + kh«ng lµ íc cña 91 =.> 3n + không chia hết cho ớc nguyên tố 91 Từ đó suy ra: 3n + kh«ng chia hÕt cho => n ≠ 7k +1 3n + kh«ng chia hÕt cho 13 => n ≠ 13m + Bµi 4: Cho A= n 11 + + +⋅+ n+1 +⋅+ 12 5 5 Chøng minh r»ng A< víi n N 16 Gi¶i: n 11 XÐt A= + + +⋅+ n +⋅+ 11 5 5 Suy ra: ( 15 + 52 + 53 +⋅+ 5n +⋅+115 )− ( 51 + 52 + 53 +⋅+ 5n +⋅+115 ) A=5 A − A= n 11 n+1 12 1 1 11 A= + + +⋅+ n +⋅+ 11 − 12 5 5 5 11 A=B − 12 Víi 1 1 B= + + +⋅+ n +⋅+ 11 5 5 1 1 ⇒ B=1+ + + +⋅+ n − +⋅+ 10 5 5 1 1 1 1 ⇒4 B=5 B − B= 1+ + + +⋅+ 10 − + + + ⋅+ n +⋅+ 11 5 5 5 5 11 11 −1 −1 ⇒4 B=1− 11 = 11 ⇒ B= 5 511 ( ⇒4 A= )( ) 511 −1 11 512 −5 − 44 12 − 49 49 − = ⇒ A= ⋅ = ⋅ − 12 < 11 12 12 12 16 16 16 4.5 5 5 ( ) Bài 5: Trên đờng thẳng xx’ lấy điểm O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx’ vẽ tia Oy, Ot, Oz cho: Gãc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540 c) Chøng minh tia Ot n»m gi÷a hai tia Oy vµ Oz d) Chøng minh tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy Gi¶i: H×nh vÏ (23) t y z x' 970 400 O 540 x a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy và góc yOx kề bù Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 180 - 400 = 1400 Suy ra: gãc xOt < gãc xOy hay tia Ot n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy L¹i cã: gãc xOz < gãc xOt hay tia Oz n»m gi÷a hai tia Ot vµ Ox VËy tia Ot n»m gi÷a hai tia Oz vµ Oy b)Theo c©u a ta cã tia Ot n»m gi÷a hai tia Oz vµ Oy ⇒ Gãc zOt + gãc tOy = gãc zOy V× tia Ot n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy ⇒ Gãc xOt + gãc tOy = gãc xOy hay gãc tOy = 43 ( v× gãc xOt = 970 vµ gãc xOy = 1400) V× tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Ot ⇒ Gãc xOz + gãc zOt = gãc xOt hay gãc zOt = 43 ( v× gãc xOt = 970 vµ gãc xOy = 540) Suy gãc tOy = gãc zOt = 430 VËy tia Ot lµ tia ph©n gi¸c cña gãc zOy (24) đề số 12 §Ò thi HSG M«n: To¸n Bài 1: Tính nhanh 2100 13+2100 65 a¿ 298 104 15 9999 b ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 16 10000 c ¿199919991999 1998 − 199819981998 1999 Bài 2: Chứng tỏ rằng: a./ Số A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10 b./ Số B = 5151 - 51 Chia hết cho 100 _ _ _ Bài 3: Tìm số có chữ số abcd biết số đó chia hết cho tích các số ab và cd Bài 4: Tìm các phân số có tử số và mẫu số dương cho tổng phân số đó với nghịch đảo nó có giá trị nhỏ Bài 5: Cho tam giác ABC, có BC = cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = cm a) Tính độ dài BM b) Cho biết góc BAM = 820; góc BAC = 630 Tính góc CAM c) Tính độ dài BK K thuộc đoạn thẳng BM và CK = cm §Ò thi HSG M«n: To¸n Bài 1: Tính nhanh 2100 13+2100 65 a¿ 298 104 15 9999 b ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 16 10000 c ¿199919991999 1998 − 199819981998 1999 Bài 2: Chứng tỏ rằng: a./ Số A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10 b./ Số B = 5151 - 51 Chia hết cho 100 _ _ _ Bài 3: Tìm số có chữ số abcd biết số đó chia hết cho tích các số ab và cd Bài 4: Tìm các phân số có tử số và mẫu số dương cho tổng phân số đó với nghịch đảo nó có giá trị nhỏ Bài 5: Cho tam giác ABC, có BC = cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = cm a Tính độ dài BM b Cho biết góc BAM = 820; góc BAC = 630 Tính góc CAM c Tính độ dài BK K thuộc đoạn thẳng BM và CK = cm GI¶I Bài 1: Tính nhanh (25) a¿ Giải: 100 100 .13+2 65 98 104 100 100 100 13+2 65 (13+ 65) 78 = 98 = =3 98 104 2 26 26 15 9999 b ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 16 10000 Giải: 15 9999 98 100 99 101 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ 16 10000 99 1002 101 101 ⋅ = 100 200 c ¿199919991999 1998 − 199819981998 1999 Giải: 199919991999 1998 −199819981998 1999 ¿ 1999 1998 (100010001-100010001)=1998 1999 0=0 Bài 2: Chứng tỏ rằng: a./ Số A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10 Giải: A = 8102 - 2102 Chia hết cho 10 và 8102 và 2102 có chữ số tận cùng giống Mà 8102 = 2306 có chữ số tận cùng là Lại có 2102 có chữ số tận cùng là Nên A= 102 -2 102 = − 4= có tận cùng là (Vì 8102 = 2306 > 2102) Suy A chia hết cho 10 Chú ý: 2n có chữ số tận cùng là n chia cho dư 1; Có chữ số tận cùng là n chia cho dư 2; Có chữ số tận cùng là n chia cho dư 3; Có chữ số tận cùng là n chia hết cho b./ Số B = 5151 - 51 Chia hết cho 100 Giải: Có B = 5151 - 51 = 51(5150 - 1) Xét số 5150 có chữ số tận cùng là 01 Suy 51 50 - có chữ _ số tận cùng là 00 Bài 3: Tìm số có chữ số Giải: Ta có nên B = 5151 - 51 Chia hết cho 100 _ abcd _ _ biết số đó chia hết cho tích các số ab và cd abcd=100 ab+cd ⋮ ab cd Nên cd ⋮ ab đó ta đặt cd=m ab (1) theo đề bài (với < m < 10)và thay vào (1) ta có: 100 ab+ m ab ⋮ ab m ab 100+m⋮ m ab 100 m và < m < 10 m {1; 2; 4; 5} Xét với m = (tức cd=ab ) thay vào (1) ta có: 101⋮ ab (Loại vì 101 là số nguyên tố nên có hai ước là và 101) (26) Xét với m = (tức cd=2 ab ) thay vào (1) ta có: 102⋮ ab hay 51⋮ ab ab = 51 thì Với cd =2.51=102 (Loại) Với ab = 17 thì => ab {17; 51} cd =2.17=34 (Nhận vì < ab , cd < 100) Suy số đó là 1734 17.34 Xét với m = (tức cd=4 ab ) thay vào (1) ta có: 104 ⋮ ab hay 26 ⋮ ab ab {13; => 26} Với ab = 26 thì cd =4.26=104 (Loại) Với ab = 13 thì cd =4.13=52 (Nhận vì < ab , cd < 100) Suy số đó là 1352 13.52 Xét với m = (tức cd=5 ab ) thay vào (1) ta có: 105 ⋮5 ab hay 21⋮ ab => ab {21} Với ab = 21 thì cd =5.21=105 (Loại) Vậy có hai số thoả mãn là 1734 và 1352 Bài 4: Tìm các phân số có tử số và mẫu số dương cho tổng phân số đó với nghịch đảo nó có giá trị nhỏ Giải: Gọi phân số có tử và mẫu dương là a b với a và b N* Khi đó ta có phân số nghịch đảo nó b a là Xét a b + b a giả sử a ≥ b ta đặt a = b + m (với m ≥ 0) ⇒ a b b+ m b m b m b m+ b + = + =1+ + ≥ 1+ + =1+ =1+1=2 vì m ≥ b a b b+m b b+m b +m b+m b+m Vậy a b + ≥2 b a Dấu “=” xảy m = đó a = b + m = b + = b Bài 5: Cho tam giác ABC, có BC = cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = cm d) Tính độ dài BM e) Cho biết góc BAM = 820; góc BAC = 630 Tính góc CAM f) Tính độ dài BK K thuộc đoạn thẳng BM và CK = cm Giải: A M C B K K’ a)Theo đề bài ta có: M thuộc tia đối tia CB nên tia CB và tia CM là hai tia đối Điểm C nằm hai điểm B và M Ta có đẳng thức sau: BC + CM = BM Thay BC = 5cm và CM = 3cm BM = + = (cm) (27) b)Do C nằm B và M nên tia AC nằm tia AB và AM Ta có: BAM = BAC + CAM => 820 = 630 + CAM => CAM = 820 - 630 = 190 c)Có hai trường hợp sau: * Nếu K CM C nằm M và K => BC - CK = BK nên BK = - = (cm) * Nếu K’ BC K’ nằm M và C => BK’ = BC + K’C nên BK’= + = (cm) đề số 13 N¨m häc 2003-2004 51 52 53 100 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 2 Bµi 2: Cho A = 3100 + 399 +398 + + 34 + 33 + 32 + XÐt xem tæng A cã chia hÕt cho 363 hay kh«ng? _ Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã d¹ng a bc biết số đó chia hết cho 3, cho và cho Bài 1: So s¸nh 1.3.5.7 .99 vµ Bµi 4: Cho n+2¿ ¿ n+ 1¿ +¿ n +¿ 1 M = + + .+ ¿ 14 29 Chøng tá r»ng 0,15 < M < 0,25 Bài 5: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi I, K thứ tự là trung điểm OA, OB a, Chøng tá r»ng OA < OB (28) b, Trong ®iÓm O, I, K ®iÓm nµo n»m gi÷a hai ®iÓm cßn l¹i c, Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng IK không phụ thuộc vào vị trí điểm O đề số 13 N¨m häc 2003-2004 51 52 53 100 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ 2 2 Bµi 2: Cho A = 3100 + 399 +398 + + 34 + 33 + 32 + XÐt xem tæng A cã chia hÕt cho 363 hay kh«ng? _ Bµi 3: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã d¹ng a bc biết số đó chia hết cho 3, cho và cho Bài 1: So s¸nh 1.3.5.7 .99 vµ Bµi 4: Cho n+2¿ ¿ n+ 1¿ +¿ n +¿ 1 M = + + .+ ¿ 14 29 Chøng tá r»ng 0,15 < M < 0,25 Bài 5: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi I, K thứ tự là trung điểm OA, OB a, Chøng tá r»ng OA < OB b, Trong ®iÓm O, I, K ®iÓm nµo n»m gi÷a hai ®iÓm cßn l¹i c, Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng IK không phụ thuộc vào vị trí điểm O (29) Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: Ta cã : 99= (1 99).(2 100) 100 (1 99).(2 100) (1 2).(2 2).(3 2) (50 2) (1 50) (51 52 53 54 100) ¿ (1 50) (2 2) 51 52 53 54 100 ¿ 2 2 2 51 52 53 100 ¿ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ 2 2 51 52 53 100 VËy 99= ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ 2 2 ¿ Bµi 2: A = 3100 + 399 +398 + + 34 + 33 + 32 + = (3100 + 399 +398 + 397 +396) + + (35 + 34 +33 + 32+3) = 395.( 35 + 34 +33 + 32+3) + + (35 + 34 +33 + 32+3) = 363.( 395 + 390 +385 + + 30) VËy A chia hÕt cho 363 v× tÝch cã thõa sè 363 Bµi 3: _ Tõ a bc _ V× a bc ⋮ ; ⋮ ; vµ ⋮5 ⋮5 (a, b, c lµ c¸c sè vµ a ≠ 0) TËn cïng b»ng hoÆc _ ⋮ c = vµ b lµ sè ch½n a bc _ Do đó: bc có thể 00; 20; 40; 60; 80 _ Mµ a bc ⋮ (4 + a + + b + c) ⋮ Hay (5 + a + b + c) ⋮ _ 00 20 40 60 80 bc a 1; 4; 2; 5; 0; 3; 6; 1; 4; 2; 5; VËy ta cã c¸c sè tho¶ m·n lµ: 41100; 44100; 47100; 42120; 45120; 48120; 40140; 43140; 46140; 49140; 42160; 45160; 48160; 42180; 45180; 48180 Bµi 4: n+2¿ ¿ n+ 1¿ +¿ n +¿ 1 M = + + .+ ¿ 14 29 n+ 2¿ ¿ n+1 ¿2 +¿ n2 +¿ 1 M = 2 + 2 + .+ ¿ +2 +3 +3 + §Æt A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = n2 + 6n + (*) * Víi n ≥ Tõ (*) A < n2 + 6n + = 3(n + 1)(n + 2) 1 1 1 + + .+ + + = ⋅C Từ đó A > 2.3 3.4 25 26 (n+1)(n+2) ( ) (30) 1 + .+ ( 21.3 + 3.14 + + (n+1)(n+2) 25 26 ) C= 1 = − Ta cã: n ( n+ ) n n+1 1 1 1 1 C= − + − +⋅⋅⋅⋅+ − = − 3 25 26 26 1 1 Suy ra: A > ⋅C= ⋅ − > > ,15 3 26 13 * Víi n ≥ Tõ (*) A > 2n2 + 6n + = 2(n2 + 3n + 2) = 2(n + 1)(n + 2) 1 1 1 + + .+ + + = ⋅C Từ đó A < 2 3 25 26 (n+1)(n+2) 1 1 C= + + + + .+ 3 25 26 (n+1)(n+2) 1 = − Víi Ta cã: n ( n+ ) n n+1 1 1 1 1 C= − + − +⋅⋅⋅⋅+ − = − 3 25 26 26 1 1 Suy ra: A < ⋅C= ⋅ − <0 , 25 2 26 VËy 0,15 < M < 0,25 Víi ( ) ( ) ( ) ( ) Bµi 5: O I K A B a) Vì tia AB và AO đối nên A nằm O và B OA < OB OA OB b) Cã I vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña OA vµ OB nªn ta cã OI= vµ OK= V× OA < 2 OB nªn OI < OK Hai ®iÓm I vµ K thuéc tia OB mµ OI < OK nªn ®iÓm I n»m gi÷a hai ®iÓm O vµ K OB OA OB −OA AB c) Cã OI + IK = OK Suy IK = OK – OI hay IK= Vì AB có độ − = = 2 2 dài không đổi nên IK không đổi (31) đề số 14 N¨m häc 2002-2003 Bài 1: TÝnh nhanh 1873 + 2254.1873 + 11272 Bµi 2: Tæng sau cã chia hÕt cho kh«ng? A = 21+ 22 + 23 + 24 + .+ 299 + 2100 Bµi 3: Chøng tá r»ng tæng B = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .+ 25n - + 25n - + 25n - Chia hÕt cho 31 víi n lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú Bµi 4: Tæng cña mét sè C cã ch÷ sè vµ sè D cã ch÷ sè lµ 4190 NÕu viÕt sè C vµ sè D theo thø tù ng îc l¹i thì tổng C và D đó tăng thêm 2790 Tìm C và D Bµi 5: LÊy hai ®iÓm I vµ B råi lÊy ®iÓm C cho I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC LÊy ®iÓm D chao B lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng cña ®o¹n th¼ng ID a, So sánh độ dài đoạn thẳng CD và IB b, Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng IB V× M còng lµ trung ®iÓm cña CD Gi¶i Bµi 2: A = + + + + .+ + = (21+ 22) + (23 + 24) + .+ (299 + 2100) = 2.(1+ 2) + 23.(1+ 2) + .+ 299.(1+ 2) = 2.3 + 23.3 + .+ 299.3 99 100 = (2 + 23 + .+ 299).3 VËy A = 3.(2 + 23 + .+ 299) Bµi 3: Chøng tá r»ng tæng B = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .+ 25n - + 25n - + 25n - Chia hÕt cho 31 víi n lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú B = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .+ 25n - + 25n - + 25n – = (20 + 21 + 22 + 23 + 24 ) + (25 + 26 + 27 + 28 + 29 ) + .+ (25n - + 25n - 25n - + 25n - + 25n – 1) = 31 + 31.25 + ………… + 31.25n – = 31.(20 + 25 + .+ 25n – 5) 31 Bµi 4: Tæng cña mét sè C cã ch÷a sè vµ sè D cã ch÷a sè lµ 4190 NÕu viÕt sè C vµ sè D theo thø tù ng îc lại thì tổng C và D đó tăng thêm 2790 Tìm C và D Gi¶i: C=abcd vµ D=egh Mµ C + D = 4190 vµ dcba +hge=4190+ 2790=6980 Víi ≤a, b, c, d, e, g, h≤ Nªn a + e = d + h = 10 (V× C vµ D lµ sè cã vµ ch÷ sè nªn a, e, d, h kh«ng thÓ b»ng 0) Vµ a ≤ vµ a ≠ => a {1; 2; 3; 4} XÐt a = => e = Lo¹i v× C + D < 4190 XÐt a = => e = Lo¹i v× C + D < 4190 Xét a = => e = Loại vì b + e = mà e = nh thì không tìm đợc b XÐt a = => e = Ta cã: b + e = 11 => b = Mµ b + g = => g = vµ g + c = => c = => d 543+ h 37=6980 vµ h + = vµ h + d = 10 VËy h = vµ d = VËy sè ph¶i t×m lµ: C = 3456 vµ D = 437 đề số 15 N¨m häc 1999-2000 Bµi (3 ®iÓm): T×m ph©n sè lín h¬n , nhá h¬n 17 17 vµ cã mÉu sè b»ng 20 Bµi (5 ®iÓm): T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn th¶o m·n: Tæng cña chóng b»ng 240 vµ íc chung lín nhÊt cña chóng b»ng 12 Bµi (4 ®iÓm): (32) Một ngời đã cắt từ sợi dây dài mét lấy đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thớc để đo Hỏi ngời đó đã làm nh nào Bµi (4 ®iÓm): Cho d·y sè m+1, m+2, , m+10, víi m lµ sè tù nhiªn Hãy tìm tất các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố Bµi (4 ®iÓm): Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh X lần thứ có 495 vận động viên là học sinh toàn tỉnh tham gia thi đấu các môn thể thao Chứng minh ít có vận động viên có số ngời quen nh (Ngời A quen ngời B thì ngời B còng quen ngêi A) đề số 15 N¨m häc 1999-2000 , nhá h¬n vµ cã mÉu sè b»ng 20 17 17 Bµi (5 ®iÓm): T×m c¸c cÆp sè tù nhiªn th¶o m·n: Tæng cña chóng b»ng 240 vµ íc chung lín nhÊt cña chóng b»ng 12 Bµi (4 ®iÓm): Bµi (3 ®iÓm): T×m ph©n sè lín h¬n Một ngời đã cắt từ sợi dây dài mét lấy đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thớc để đo Hỏi ngời đó đã làm nh nào Bµi (4 ®iÓm): Cho d·y sè m+1, m+2, , m+10, víi m lµ sè tù nhiªn Hãy tìm tất các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố Bµi (4 ®iÓm): Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh X lần thứ có 495 vận động viên là học sinh toàn tỉnh tham gia thi đấu các môn thể thao Chứng minh ít có vận động viên có số ngời quen nh (Ngời A quen ngời B thì ngời B còng quen ngêi A) Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: Gäi ph©n sè ph¶i t×m lµ a , a lµ sè tù nhiªn 20 a < < 17 20 17 80 < 17a < 120 < a < => a = Bµi 2: Gäi sè ph¶i t×m lµ a, b Gi¶ sö a ≤ b ¦CLN (a,b) = 12 ta cã a = 12a1 vµ b = 12b1 Trong đó ƯCLN (a1,b1) = Ta cã: a + b = 240 = 12 (a1 + b1) a1 + b1 = 20 KÕt hîp víi ¦CLN (a1,b1) = ta cã: a1 b1 19 17 13 11 Thay vào ta tính đợc: (33) a b KÕt luËn: Bµi 3: - - 12 228 36 204 84 156 108 132 1 − = 1 Mµ = ⋅ 1 Nhận xét đợc: = ⋅ 2 Nhận xét đợc chÝnh lµ phÐp chia d«i sîi d©y Nhận xét đợc 25 cm chính là 0,25 m = sîi d©y KÕt luËn Nhận xét đợc: Bµi 4: + m = ta cã d·y sè: 1; 2; 3; 4; ; 10 Trong d·y nµy cã sè nguyªn tè + m = ta cã d·y sè: 2; 3; 4; ; 11 Trong d·y nµy cã sè nguyªn tè + m = ta cã d·y sè: 3; 4; 5; ; 12 Trong d·y nµy cã sè nguyªn tè + m ≥ dãy luôn chứa số lẻ liên tiếp, các số lẻ này lớn nên phải có số lẻ là bội đó nó không là số nguyên tố Vậy m ≥ thì dãy có ít số nguyên tố Do đó m = 1là số phải tìm Khi đó ta có số nguyên tố Bµi 5: Giả sử có ngời không quen số 495 vận động viên Nh vËy 494 ngêi cßn l¹i cã nhiÒu nhÊt lµ 493 ngêi quen Ta chia thµnh nhãm sè ngêi quen: Nhãm ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng Nhãm ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng Nhãm 493 ngêi quen gåm nh÷ng ngêi cã sè ngêi quen b»ng 493 Nh ta có 494 nhóm (từ đến 493) Mà có 495 ngời VËy theo nguyªn t¾c Dirichlet Ýt nhÊt cã nhãm ngêi quen gåm hay Ýt nhÊt cã ngêi cã sè ngêi quen gièng Gi¶ sö cã ngêi quen tÊt c¶ nh÷ng ngêi cßn l¹i Nh vËy 494 ngêi cßn l¹i cã nhiÒu nhÊt lµ 494 ngêi quen Chia nhóm ngời quen: Có 494 nhóm ngời quen (từ đến 494) KÕt luËn (34) đề số 16 M«n to¸n, Khèi líp 6: Bài 1: Hãy chọn Kết đúng 1 1 + + + = 8 11 x ( x +3) a x = 27 c x = 25 b x = 35 d x = 205 Bài 2: Hãy chọn Kết đúng Gãc xOy cã hai tia ph©n gi¸c khi: a Gãc xOy lµ gãc bÑt b Gãc xOy lµ gãc tï c Gãc xOy lµ gãc vu«ng d Gãc xOy lµ gãc nhän Bài 3: Hãy chọn Kết đúng 222221 444443 Cho sè: x = ; y= ; ta cã: 222222 444445 a x = y c x < y b x > y Bµi 4: So s¸nh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 9999 A= víi sè 99 + + .+ 10 000 Bài 5: Một ngời xe đạp từ A đến B, từ A với vận tốc 10km/ h, nhng từ chính đờng đến B với vận tốc 15km/h Tính xem trên quãng đờng ngời đó với vận tốc trung bình là bao nhiêu Bµi 6: T×m cÆp sè nguyªn d¬ng (x;y) cho (x- 1) (5y + 2) = 16 Bµi 7: XÐt h×nh vÏ bªn: a Cã nh÷ng tam gi¸c nµo cã c¹nh NC b Có tất bao nhiêu góc có đỉnh là A N; h·y kÓ K c NÕu biÕt gãc MPB = 600 , NPC = H I M K N 500 th× PN cã lµ ph©n gi¸c cña gãc MPC hay kh«ng ? v× sao? B T×m x biÕt r»ng: (35) P C §¸p ¸n M«n to¸n líp 6: §Ò I: Bµi 1: Chän c©u a: x = 27 Bµi 2: Chän c©u a: Bµi 3: Chän c©u c: x < y Bµi 4: Biến đổi: 1 A = (1− )+(1 − )+ +(1− ) 10000 1 ) = (1− )+(1− )+ .+(1 − 2 100 1 ) = 99 - B = 99 - ( + + + 1002 1 1 ) Trong đó B = ( + + + + 1002 V× B > nªn A < 99 Bµi 5: Trên quãng đờng AB 2km thì có 1km với vận tốc10km/h (hết 1/10h); 1km ®i víi vËn tèc 15km/h (hÕt 1/15h) Nên 2km ngời đó hết: 1 + = (h) 10 15 Vậy vận tốc trung bình ngời đó là: : 1/6 = 12km/h Bµi 6: V× x,y nguyªn d¬ng nªn x - lµ uãc cña 16 Mµ ¦ (16) = 1;2;4;8;16 Ta cã: x -1 = x -1 = x -1 = x -1 = x -1 = 16 x=2 x=3 x=5 x=9 x = 17 Thay lần lợt các giá trị x vừa tìm đợc vào (x - 1) (5y + 2) = 16 x = ta cã: 5y + = 16 y = 14/5 lo¹i x = ta cã: (5y + 2) = 16 y = 6/5 lo¹i x = ta cã: (5y + 2) = 16 y = 2/5 lo¹i ®iÓm ®iÓm ®iÓm ®iÓm 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iÓm 1.0 1.0 0.5 0.5 ®iÓm 0.5 1.0 x = ta cã: (5y + 2) = 16 y = x = 17 ta cã: 16 (5y + 2) = 16 y = - 1/5 lo¹i KÕt luËn: CÆp sè nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (9;0) Bµi 7: a Nh÷ng tam gi¸c cã c¹nh NC: NCI; NCP; NCK; NCB b Những góc có đỉnh là N: ANC, ANB, ANP 1.0 0.5 ®iÓm 2.0 (36) BNP, BNC, PNC c Ta cã tia PM vµ PN n»m gi÷a hai tia PB vµ PC Nªn BPM + MPN + NPC = BPC = 1800 Mµ BPM = 600 ; MPC = 500 Suy ra: MPN = 1800 - 600 - 500 = 700 Ta thÊy: MPN NPC Nªn PN kh«ng ph¶i lµ ph©n gi¸c cña gãc MPC 2.0 0.5 0.5 1.0 đề số 17 M«n to¸n, Khèi líp 6: Hãy khoanh tròn chữ a, b, c d đó là câu đúng Bµi 1: Cho sè nguyªn m vµ n: a m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n b m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n cïng dÊu c m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n tr¸i dÊu d m + n = |m| + |n| víi mäi m vµ n cïng d¬ng Bµi 2: BiÕt cña x b»ng ; t×m x: 10 63 10 a b c d 25 21 1 1 Bµi 3: KÕt qu¶ tæng A = lµ: − − − .− − 10 90 72 b d a c 10 Bµi 4: Chøng minh :A = (2005 +20052 + + 200510) 2006 Bài 5: Tìm hai số nguyên dơng biết tích hai số gấp đôi tổng hai số Bµi 6: So s¸nh sè: 22 ❑2 vµ ❑2 Bµi 7: T×m x biÕt: 4|x - 5| + |3x - 4| +12 = Bài 8: Cho điểm O trên đờng thẳng xy Trên nửa mặt phẳng có bờ là xy vẽ tia Oz cho góc xOz nhá h¬n 900 a VÏ tia Om; On lÇn lît lµ ph©n gi¸c cña gãc xOz vµ gãc zOy b TÝnh sè ®o c¸c gãc nhän h×nh nÕu sè gãc mOz b»ng 300 3 §¸p ¸n M«n to¸n líp 6: (37) §Ò 2: Bµi 4: Ta cã: A = (2005 +20052 + + 20059 + 200510) = = 2005 (1 + 2005) +20053 (1 + 2005)+ + 20059 (1+ 2005) = 2006 (2005 + 20053 + + 20059 ) 2006 VËy A 2006 Bµi 5: Gäi sè nguyªn d¬ng ph¶i t×m lµ a vµ b Ta cã: (a + b) = ab (1) Do vai trß cña a vµ b nh nhau; ta gi¶ sö a< b nªn a + b < 2b Do đó (a + b) < 4b (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab < 4b Chia vế cho b > ta đợc a Thay a = vào (1) ta đợc 2b + = b loại Thay a = vào (1) ta đợc + 2b = 2b loại Thay a = vào (1) ta đợc + 2b =3 b b = Thay a = vào (1) ta đợc + 2b =4 b b = VËy cã cÆp sè tho¶ m·n lµ vµ 6; vµ Bµi 6: Ta cã 32 =3 8=9 4=212 210 Từ đó: 23 > 22 =22 .2 =42 32 =32 Suy ra: 23 >3 Bµi 7: Không tìm đợc x vì vế trái luôn lớn với x ®iÓm ®iÓm 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iÓm 2 3 10 9 2 1.0 1.0 Bµi 8: a Vẽ hình đúng (1đ) m x ®iÓm ®iÓm z n O y b V× Om lµ ph©n gi¸c cña gãc xOz nªn xOm = mOz = 1/2xOz mµ mOz = 300 Suy ra: xOm = 300 xOz = 600 + v× gãc xOz vµ zOy kÒ bï nªn xOz = zOy = 1800 Suy ra: zOy 0= 1800 - xOz = 180 - 60 = 1200 + V× On lµ ph©n gi¸c cña gãc zOy nªn zOn = nOy = 1/2 zOy = 1/2 1200 = 600 KÕt luËn: xOm = 300 xOm = nOy = 600 0.5 0.5 0.5 0.5 §Ò sè 18 M«n to¸n, Khèi líp 6: Khoanh tròn chữ a,b,c,d đó là câu đúng Bµi 1: Cho sè nguyªn m vµ n: a m n = |m| |n| vãi mäi m vµ n b m n = |m| |n| víi mäi m vµ n cïng dÊu c m n = |m| |n| víi mäi m vµ n tr¸i dÊu d m n = |m| |n| víi mäi m vµ n cïng ©m Bµi 2: Víi a lµ sè nguyªn: Tæng: a + a + a kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn Khẳng định trên là: a Đúng b sai (38) Bµi 3: Qua ba ®iÓm bÊt kú A,B,C ta cã: a AB + BC = AC b AB + BC > AC c AB + BC AC b AB + BC AC Bµi 4: Chøng minh r»ng: 1 1 + + + .+ 99 < A= 3 3 Bµi 5: T×m sè nguyªn tè p cho c¸c sè p + vµ p + Còng lµ c¸c sè nguyªn tè Bµi 6: T×m ssã tù nhiªn nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau: Số đó chia cho thì d 1; chia cho thì d 2, chia cho thì d 3, chia cho thì d và chia hết cho 13 Bµi 7: T×m x biÕt: |x- 1| = 2x + Bµi 8: Cho ®o¹n th¼ng AB = 7cm §iÓm C n»m gi÷a Avµ B cho AC = 2cm C¸c ®iÓm D,E theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AC vµ CB Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE tÝnh DE vµ CI §¸p ¸n M«n to¸n líp 6: §Ò 3: Bµi 1: Chän c©u a: Bµi 2: Chän c©u b: Bµi 3: Chän c©u c: Bµi 4: 1 1 Ta cã: 3A = 1+ + + + .+ 98 3 3 Nªn 3A - A = 99 1 1 − < Hay 2A = A= 99 99 2 3 VËy A < 1/2 Bµi 5: Sè p cã mét d¹ng 3k; 3k + 1; 3k + víi k N * NÕu p = 3k th× p = ( v× p lµ sè nguyªn tè) Khi đó p + =5; p + =7 là các số nguyên tố NÕu p = 3k + th× p + = 3k +3 chia hÕt cho vµ lín h¬n nªn p +2 lµ hợp số trái với đề bài NÕu P = 3k +2 th× p +4 = 3k + chia hÕt cho lín h¬n nªn ®iÓm ®iÓm ®iÓm ®iÓm 0,5 0.5 0.5 0.5 ®iÓm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (39) p + là hợp số; trái với đề bài VËy p = lµ gi¸ trÞ nhÊt ph¶i t×m Bµi 6: Gäi x lµ sè ph¶i t×m th× x + chia hÕt cho 3; 4; 5; nªn x +2 lµ béi chung cña 3; 4; 5; BCNN (3,4,5,6) = 60 nªn x + = 60n Do đó x = 60n - (n = 1,2,3 ) Do x lµ sè nhá nhÊt cã tÝnh chÊt trªn vµ x ph¶i chia hÕt cho 13 Lần lợt cho n = 1,2,3 ta thấy đến n = 10 Th× x = 598 chia hÕt cho 13 Sè nhá nhÊt cÇn t×m lµ 598 Bµi 7: |x - 1| = 2x + ta cã: x - = 2x + hoÆc x - = -(2x + 3) * x - = 2x +3 2x - x = -1 - x=-4 * x - = -(2x + 3) x + 2x = -3 + x = -2/3 VËy x = -4; x = -2/3 Bµi 8: Vẽ hình đúng A D C 0.5 ®iÓm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iÓm 0.5 0.5 0.5 ®iÓm I E B + Ta cã: AC + CB = AB ( v× C n»m gi÷a AB) nªn CB = AB - AC = 7cm - 2cm = 5cm + V× D vµ E n»m gi÷a A,B nªn AD + DE + EB = AB Suy ra: DE = AB - AD - EB AD = 1/2 AC = 1/2.2 = 1(cm) (v× D lµ trung ®iÓm AC) EB = 1/2 BC = 1/2.5 = 2,5(cm) (v× E lµ trung ®iÓm BC) VËy DE = - - 2,5 = 3,5 (cm) + V× I lµ trung ®iÓm cña DE Nªn DI = 1/2 DE = 1/2 3,5 = 1,75(cm) Suy AI = AD + DI = + 1,75 = 2,75 + Ta thÊy AD < AC < AI nªn (n»m gi÷a D vµ I) nªn DC + CI = DI Suy ra: CI = DI - DC = 1,75 - = 0,75 (cm) KÕt luËn: DE = 3,5cm; CI = 0,75cm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (40) §Ò sè 19 C©u1( ®iÓm): Cho ba ch÷ sè a , b , c víi < a < b < c a) ViÕt tËp hîp A c¸c sè cã ba ch÷ sè, mçi sè gåm c¶ ba ch÷ sè trªn b) BiÕt r»ng tæng hai sè nhá nhÊt tËp hîp A b»ng 499 T×m tæng c¸c ch÷ sè a + b + c C©u 2( 5.0 ®iÓm): T×m c¸c sè nguyªn x, y , z , t biÕt: t2 27 x ( z 3)3 y 4 1 1 1 48 49 48 49 50 vµ P = 49 48 47 C©u (2 ®iÓm): Cho S = S H·y tÝnh P 7n n n C©u 4( 3.0 ®iÓm): Chøng tá r»ng nÕu ph©n sè lµ sè tù nhiªn víi nN th× c¸c ph©n sè vµ lµ c¸c ph©n sè tèi gi¶n C©u 5( 4.0 ®iÓm) : Cho gãc xOy cã sè ®o b»ng 600 vµ Om lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy VÏ tia Oz cho gãc xOz b»ng 450 TÝnh sè ®o gãc mOz? Câu (2 điểm): Cho n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đờng thẳng Biết có tất 105 đờng thẳng.Tính n? HÕt - (41) híng dÉn chÊm To¸n C©u C©u Nội dung cần đạt a) TËp hîp A = abc , acb , bac, bca, cab, cba b)Hai sè lín nhÊt tËp hîp A lµ cab vµ cba Ta cã abc + acb = 499 Suy : 200a + 11b + 11c = 499 (*) NÕu a th× vÕ tr¸i cña (*) lín h¬n 499, v« lÝ Do đó a 1; 2 - Víi a = th× c + b = 499:11, kh«ng lµ sè tù nhiªn - Víi a = th× c +b = 99: 11 = 9.VËy a + b + c = 11 §iÓm 2® 1® 1® 1® 1® 27 x 81 x = - Z * 1® 27 2 2 y y Z * y2 = 27 z 3 3 z 3 27 3 z z 4 * 27 t t 54 t 54 ) t 54 t 52 * ) t 54 t 56 t 56 1.5® 1.5® v« lÝ C©u (42) C©u C©u 48 49 49 48 47 1 48 ( 1) 1 1 1 49 48 47 50 50 50 50 50 50 50 50 50 ( ) 49 48 47 50 49 48 47 1 1 50 2 50 49 48 1 1 S 49 50 1 50 P 1 1 50 49 50 2 P 1® 1® 7n2 1 V× ph©n sè lµ sè tù nhiªn víi mäi nN 7n2+1 n lÎ vµ n kh«ng chia n n ; hÕt cho 3 lµ c¸c ph©n sè tèi gi¶n *Trêng hîp tia Oz n¨m gi÷a hai tia Ox vµ Oy x m z O +) Om lµ t×a ph©n gi¸c cña gãc xOy nªn: xOm = xOy = 300 xOz >xOm tia Om n¨m gi÷a hai tia Ox vµ Oz xOm + mOz = xOz mOz = xOz - xOm = 450 - 300 = 150 *Trêng hîp tia Ox n¨m gi÷a hai tia Oz vµ Oy +) Tính đợc : mOz = 450 + 300 =750 C©u y 2® n n 1 * Tính đợc số đờng thẳng là : 2® 2® =105 n( n- 1) = 210 = 15.14 n= 15 (43) §Ò sè 20 §Ò thi chän häc sinh giái líp đề ra: Bµi1:(4®) So s¸nh c¸c sè sau: a/ a vµ 2a b/ vµ 2009 (− ) (− )2009 13 c/ 210 −22 vµ 23 −2 d/ a2 vµ (a-1)(a+1) Bµi2: (4®) T×m x Z biÕt a/ 2(-3x-1) -3(5-4x) = + 4(x-2) b/ ❑|x −1|+1 =5.24 + 20080 c/ (x2-1)(x2-6) <0 d/ (3x-8) ⋮ x-5 Bài3: (4đ) Ban An nghĩ số đặc biệt Nếu lấy số đó cộng lần lợt cho các số :1954;2004;1930 thì đợc số theo thứ tự chia hết cho 14;15;16 Hỏi An đã nghĩ số nào ?(Biết số đó nằm khoảng tứ 5000-6000) Bµi4:(3®) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n Chøng minh r»ng A= p2+2003 ⋮ 12 Bài5: Cho đờng thẳng aa’;bb’;cc’ cắt O Biết góc aOb=300 và góc bOc=800 a/So s¸nh gãc aOb víi a’Ob’ b/ TÝnh sè ®o gãc aOc §¸p ¸n : Bµi1:a/ Chia trêng hîp a>0,a<0 a=0 b/ V× (-3)2009<0 nªn 2009 > (− ) (− )2009 13 25 ( 28 −1 ) c/ 210 −22 = =23 −2 (2 −1) d/ a2> a2 -1 =(a-1)(a+1) Bµi2: a/x=5 b/3 ❑|x −1|+1 =34 =>x=4;x=-2 c/ 1<x2<6 => x= ± d/ (3x-8) ⋮ x-5 ⇔ 3x-15+7 ⋮ x5 ⇔ x-5= ± 1; ± Bài3: Gọi số đó là a => a+1954 ⋮ 14; a+2004 ⋮ 15 ; a+1930 ⋮ 16 hay a+8 ⋮ 14 ,a+9 ⋮ 15,a+10 ⋮ 16 => a -6 ⋮ 14;15;16 => a-6 BC(14;15;16) Bài4: Vì số nguyên tố lớn nên có dạng 6k ± lần lợt thay vào P ta đợc ĐPCM Bµi5: a/ Gãc a’Ob’=aOb=300 b/ c' a b 30 80 O b' c a' (44) §Ò sè 21 đề thi khảo sát chất lợng sinh giỏi M«n: to¸n líp Thêi gian lµm bµi: 90 phót ************************************************************************ Bµi 1: 3 4 4 (3+ − − ) + + + 53 17 19 2003 a)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = -1 : 3 5 3+ − − 5+ + + 37 53 17 19 2003 b)Cho tæng A = + 32 + 34 + 36 + … 32006 TÝnh: 8A - 32008 Bµi 2: a)T×m n N cho n2 + 7n + chia hÕt cho n + b) T×m sè a7 b cho a – b = vµ a7 b chia cho d Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×: 12 a+1 a) lµ ph©n sè tèi gi¶n 30 a+2 a −17 cã gi¸ trÞ lín nhÊt a − 23 Bài 4: Cho 101 đờng thẳng đó hai đờng thẳng nào cắt nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy Tính số giao điểm chúng Bµi 5: Cho gãc xOy cã sè ®o b»ng 1200 §iÓm A n»m gãc xOy cho: b) AOy =750 §iÓm B n»m ngoµi gãc xOy mµ : BOx =1350 Hái ®iÓm A,O,B cã th¼ng hµng kh«ng? V× Híng dÉn chÊm Bµi 1: (2,5®iÓm) (45) 3 4 4 (3+ − − ) + + + 53 17 19 2003 a)TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = -1 : 3 5 3+ − − 5+ + + 37 53 17 19 2003 = −1 ⋅4 : 5 −6 = ⋅ ⋅ =¿ -6 b)TÝnh tæng A = + 32 + 34 + 36 + … 32006 (0,5®) (0,5®) 3A = 3(1 + 32 + 34 + 36 + … 32006) =3 + 33 + 35 + 37+ +32007 (0,5®) 3A+A = 4A = +3 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 + … 32006+32007 12A=3(1 +3 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 + … 32006+32007) =3 + 32 + 33 +34 + 35 + 36 + … 32006+32007+32008 (0,5®) 12A – 4A= 8A = 32008- 8A- 32008 =32008- - 32008 = -1 (0,5®) Bµi 2:(2®iÓm) a)T×m n N cho n2 + 7n + chia hÕt cho n + Ta cã : B = n2 + 7n + = n(n+4) + 3(n + 4) – 10 B ⋮ n + ⇔ 10 ⋮ n + (0,5®) n=1, (0,5®) b) T×m sè a7 b cho a – b = vµ a7 b chia cho d Tõ : a – b = ⇒ a = + b a7 b chia cho d ⇒ (1+a +7 +b) = 9n + (n ⇒ + 2b = 9n b ⇒ + 2b ⋮ ( ⇒ b=6 ⇒ a=9 VËy sè cÇn t×m lµ 1976 Bµi 3: (2,5®iÓm) Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×: 12 a+1 a) lµ ph©n sè tèi gi¶n 30 a+2 (12a + 1; 30a + 2) = d 5(12a + 1)-2(30a + 2) ⋮ d ⋮ d ⇒ d= ± VËy ph©n sè tèi gi¶n b) C= a −17 a − 23 N* ) (0,5®) 9) (0,5®) (0,5®) (0,5®) ¿ (4 a− 23)+ 47 47 47 C= = + ≤ + 4( a − 23) 4 ( a −23) ¿ Cmin= 26 ⇔ 4a-23=1 ⇔ a=6 (0,5®) Bài 4:(1 điểm) 101 đờng thẳng đó hai đờng thẳng nào cắt nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy.Thì số giao điểm chúng là: n(n −1) 101(101− 1) (1®) = =101⋅50=5050 2 Bài 5:(2điểm) :- Vẽ hình đúng (0,5®) - Giải thích đợc A,O,B không thẳng hàng (1,5 ®) (46) §Ò sè 22 §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái m«n to¸n C©u Rót gän: 6 A 13 14 5 5 13 14 a) 6 B 5 5 5: 26 27 848484 3 3030300 3 26 27 2828 2824 2820 284 2830 2828 2826 282 b) C©u T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tÝch cña chóng b»ng 294 vµ béi chung nhá nhÊt cña chóng b»ng 42 C©u T×m th¬ng cña mét phÐp chia, biÕt r»ng nÕu t¨ng sè bÞ chia thªm 91 vµ t¨ng sè chia lªn th× th¬ng không đổi còn d tăng đơn vị (47) 7n Câu Tìm tất các giá trị tự nhiên n để phân số 6n cha phải là tối giản Câu Cho đoạn thẳng AB có độ dài 20 cm Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm I và K cho I nằm A và K Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AI, IK và KB Tính độ dài đoạn thẳng IK, biết MN = cm, NP = cm §Ò kh¶o s¸t häc sinh giái m«n to¸n C©u Rót gän: 6 A 13 14 5 5 13 14 a) 6 B 5 5 5: 26 27 848484 3 3030300 3 26 27 2828 2824 2820 284 2830 2828 2826 282 b) C©u T×m hai sè tù nhiªn a vµ b biÕt tÝch cña chóng b»ng 294 vµ béi chung nhá nhÊt cña chóng b»ng 42 C©u T×m th¬ng cña mét phÐp chia, biÕt r»ng nÕu t¨ng sè bÞ chia thªm 91 vµ t¨ng sè chia lªn th× th¬ng không đổi còn d tăng đơn vị 7n Câu Tìm tất các giá trị tự nhiên n để phân số 6n cha phải là tối giản Câu Cho đoạn thẳng AB có độ dài 20 cm Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm I và K cho I nằm A và K Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AI, IK và KB Tính độ dài đoạn thẳng IK, biết MN = cm, NP = cm §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm a) 1 1 1 51 13 14 15 26 A : 1 1 51 31 13 14 15 26 25 1 5 25 25 1 27 15 1 25 27 15 b) 2,00 ®iÓm 1,00 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 1,00 ®iÓm 28 B 24 20 28 28 28 28 (28 28 2822 282 ) (2828 2824 2820 284 1) 30 26 2828 2824 2820 284 282 (2828 2824 2820 284 1) (2828 2824 2820 284 1) 0,50 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 2828 2824 2820 284 1 28 24 20 (28 28 28 28 1)(28 1) 28 785 Biểu diễn đợc hai số a và b dới dạng: a = dm, b = dn với (m, n) = Ta cã ab = d2mn = 294, [a, b] = dmn = 42 2,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm (48) ab 294 7 a, b 42 suy (a, b) = d = Suy m.n = suy c¸c trêng hîp cña (m,n) vµ c¸c cÆp sè (a,b) m n 3 Biểu diễn đợc phép chia dới dạng a = b.q + r Theo đề bài ta có a + 91 = (b+5).q +r + Suy 5q = 75 suy q = 15 a 14 21 42 1,00 ®iÓm b 42 21 14 Gäi d = (7n + 6, 6n + 7) suy 7n + d vµ 6n + d suy 7n + – (6n + ) d hay n -1 d suy 6n – d mµ 6n + d suy 6n +7 – (6n - 6) d hay 13 d §Ó ph©n sè kh«ng lµ tèi gi¶n th× d = 13 suy n -1 = 13 k ( k N) hay n = 13k + 1,5 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 2,00 ®iÓm 1,00 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 2,00 ®iÓm Chứng tỏ đợc I nằm M và N từ đó tính đợc AK = 10 cm Chứng tỏ đợc k nằm P và N từ đó tính đợc IB = 14 cm Chứng tỏ đợc I nằm A và K từ đó có: AK + IB = AI +IK + IB = (AI + IB) + IK = AB + IK = 20 +IK mµ AK = 10 cm, IB = 14 cm suy 20 +IK = 10 + 14 suy IK = cm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm 0,50 ®iÓm §Ò sè 23 C©u1 T×m x biÕt: a) (x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ + (x+100)=205550 b) 3x+3x+1+3x+2=351 C©u2 TÝnh 2 2 + + + + 3 5 99 101 b) B=1.2+2.3+3.4+ +99.100 a) A= C©u a) Chøng minh : n+1 n− (n Z) tèi gi¶n n+10 n −8 *Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số * Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A có giá trị là sốnguyên * Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số tối giản C©u a) Cho ba điểm thẳng hàng A,B,C với AB=8cm,BC=3cm.Gọi D là trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dµi ®o¹n DC? b) Cho 100 điểm A1, A2, A3, , A100 đó không có ba điểm nào thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc đờng thẳng.Tính số đờng thẳng kẻ đợc? c) Cho ∠ x y =600 VÏ tia 0t cho ∠ y 0t =200 TÝnh ∠ x t ? b) Cho A= §Ò sè 23 C©u1 (49) T×m x biÕt: c) (x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ + (x+100)=205550 d) 3x+3x+1+3x+2=351 C©u2 TÝnh 2 2 + + + + 3 5 99 101 b) B=1.2+2.3+3.4+ +99.100 a) A= C©u 12 n+ (n Z) tèi gi¶n 30 n+2 n+10 b) Cho A= n −8 *Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số * Tìm các số tự nhiên n để biểu thức A có giá trị là sốnguyên * Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số tối giản C©u a) Cho ba điểm thẳng hàng A,B,C với AB=8cm,BC=3cm.Gọi D là trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dµi ®o¹n DC? b) Cho 100 điểm A1, A2, A3, , A100 đó không có ba điểm nào thẳng hàng.Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc đờng thẳng.Tính số đờng thẳng kẻ đợc? c) Cho ∠ x y =600 VÏ tia 0t cho ∠ y 0t =200 TÝnh ∠ x t ? a) Chøng minh: §¸p ¸n C©u §¸p ¸n Thang ®iÓm C©u1 2® a) (x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ + (x+100)=205550 x+x+x+ +x+1+2+3+ +100=205550 100x+5050=205550 0,5® 100x=200500 x=2005 0,5® 3x+3x+1+3x+2=351 3x+3x 3+3x 32=351 0.5® 3x(1+3+9)=351 3x=27=33 x=3 0,5® b) C©u2 2® C©u 3® a) 2 2 + + + + 3 5 99 101 1 1 A=2( ) + + + + 3 5 99 101 1 1 1 1 A= − + − + − + + − 3 5 99 101 100 A=1= 101 101 A= b) B=1.2+2.3+3.4+ +99.100 3B=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4(5-2)+ +99.100.(101-98) 3B=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3B=99.100.101 B=333300 a) 12 n+ Chøng minh ph©n sè (n Z) tèi gi¶n 30 n+2 Gäi d=UCLN(12n+1,30n+2) 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® (50) Suy (12n+1) ⋮ d (30n+2) ⋮ d Hay (12n+1) ⋮ d hay 60n+5 ⋮ d (30n+2) ⋮ d 60n+4 ⋮ d Suy (60n+5-60n-4) ⋮ d hay ⋮ d VËy d=1;-1 Khi đó 12n+1,30n+2 nguyên tố cùng nhau.Vậy PSố C©u 3® 0,25® 12 n+ 30 n+2 tèi gi¶n b) n+1 A= n− *) §Ó A lµ ph©n sè th× n- VËy n n− 2+3 *) A= =1+ n −2 n− §Ó A nguyªn th× nguyªn ,hay ⋮ (n-2) n− Suy n-2 ¦(3) Nếu n-2=-3,khi đó n=-1 Nếu n-2=-1,khi đó n=1 Nếu n-2=1,khi đó n=3 Nếu n-2=3,khi đó n=5 Vậy n=-1;1;3;5 *)TH1.NÕu B n»m gi÷a A vµ C V× D lµ trung ®iÓm cña AB nªn DB= 0,25® 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5® AB = =4 (cm) 2 Do B n»m gi÷a D vµ C nªn : DC=DB+BC=4+3=7(cm) *) TH2.NÕu C n»m gi÷a A vµ B V× D lµ trung ®iÓm cña AB nªn DB= 0,5® AB = =4 (cm) 2 Do C n»m gi÷a B vµ D nªn DC=DB-BC=4-3=1(cm) VËy DC=7cm hoÆc DC=1cm b) Trong n điểm đó không có điểm nào thẳng hàng,qua hai điểm ta 1đ kẻ đợc đờng thẳng.Chọn 1điểm ta kẻ đợc n-1 đờng thẳng.Vậy qua n điểm ta kẻ đợc n.(n-1) đờng thẳng.Nhng đn(n −1) ờng thẳng đợc tính hai lần nên ta kẻ đợc đờng thẳng Vậy 100 100(100 −1) điểm ta kẻ đợc =4950 đờng thẳng c) TH1.Tia 0t n»m gãc x0y 0,5® (51) Do tia 0t n»m gi÷a tia 0x vµ tia 0y nªn ∠ x t = ∠ x y - ∠ y 0t =600-200=400 TH1.Tia 0t kh«ng n»m gãc x0y 0,5® Khi đó tia 0y tia0x và tia 0t nên ∠ x t = ∠ x y + ∠ y 0t =600+200=800 VËy ∠ x t =40 hoÆc ∠ x t =800 *Chú ý :Các cách giải khác đúng (trong phạm vi chơng trình lớp 6)vẫn cho điểm tối đa tơng ứng (52) đề số 24 Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m Häc 2008 - 2009 M«n To¸n líp Bµi 1( ®iÓm ) TÝnh (mét c¸ch hîp lÝ) a, ( 1,5 ®iÓm ) 143.( 57 – 36) – 57 (143 – 36) = 143 57 – 143 36 – 143 57 + 57 36 = 36 ( - 143 + 57 ) = 36 (- 86) = - 3096 b, ( 1,5 ®iÓm ) 4 12 12 24 : −3212 :1612 = ( ) :3 − ( 16 ) :16 = 84 - 212 = 212 - 212 =0 Bµi (4 ®iÓm) T×m x a, ( ®iÓm ) 1296 : [ 72− ( 15− x ) ] =36 72 – ( 15 – 7x ) = 36 15 – 7x = 36 7x = - 21 x = -3 VËy x = -3 b, ( ®iÓm ) 12 - |x +2| = |x +2| = x + = hoÆc x + = - x = hoÆc x = - VËy x = hoÆc x = - Bµi (3 ®iÓm) a, ( ®iÓm ) S = ( 5+52 +53 +54 ¿+(55 +56 +5 7+ +5 2008) §Æt T = 55 +56 +57 + +52008 Q = 5+52 +53 +54 Ta cã T = 55 +56 +57 + +52008 = 55 ( 1+53 ) +56 (1+53 )+ +5 2005 (1+53 ) = 126 (55 +56 + +52005 ) chia hÕt cho 126 Q = 5+52 +53 +54 = 780 = 126 + 24 kh«ng chia hÕt cho 126 Do đó S = T + Q không chia hết cho 126 0,5® 0,5® 0,25® 0,25® Phßng GD&§T H¶i HËu kú thi chän häc sinh giái cÊ huyÖn - - - -* - - - 0,5® 0,5® 0,25® 0,25® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,25® 0,5® 1® 0,25® 0,5® N¨mHäc: 20 - 20 b, ( ®iÓm ) Tổng S gồm 2008 số hạng mà số hạng có chữ số tận cùng là nên tổng 2008 số này có ch÷ sè tËn cïng lµ Do đó chữ số tận cùng S là Bµi (3 ®iÓm) 0,5® 0,5® 0,5® 1® (53) Víi mäi sè tù nhiªn n th× n2 +n+2 kh«ng chia hÕt cho thËt vËy: n +n+2 = n ( n + ) + Néu n chia hết cho thì n(n + 1) chia hết cho đó n (n + 1) + chia cho d Néu n chia cho d thì n = 3k + (k Ν ) đó n2 +n+2 = (3k + 1)(3k + 2) + = 3(3k2 + 5k + 1) chia cho d Néu n chia cho d thì n + chia hết cho đó n2 +n+2 chia cho d Nh vËy n2 +n+2 kh«ng chia cho víi mäi n Ν , mµ lµ sè nguyªn tè nªn BCNN( n2 +n+2 ; 3) = 3( n2 +n+2 ) > n2 +n+2 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® 0,5® Bµi (3 ®iÓm) Gọi a là số học sinh tham gia đồng diễn Lập luận để có a – = BC (5; 6; 8) Từ đó có a – = k BCNN ( 5; 6; 8), với k là số tự nhiên Tìm đợc a = 120k + (1) Vì số học sinh khoảng từ 350 đến 500 nên ta có 350 120 k +1 ≤ 500 Từ đó tìm đợc k = 3; Thay k = vào (1) đợc a = 120 + = 361, mà 361 không chia hết cho 13 (loại) Thay k = vào (1) đợc a = 120 + = 481, có 481 chia hết cho 13 (thoả mãn) Vậy số học sinh tham gia đồng diễn là 481 0,5® 0,5® 0,5® 0,25® 0,5® 0,25® 0,25® 0,25® Bµi (4 ®iÓm) V× tia Ox vµ tia Oz thuéc cïng nöa mÆt ph¼ng bê chøa tia Oy nªn x¶y hai trêng hîp: 1, ( ®iÓm) Tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy a, (1®iÓm) V× tia Oz n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy nªn cã x ∠ xOz + ∠ yOz = ∠ xOy ( 0,25 ®) Thay ∠ xOz = 350; ∠ xOy = 1100 đợc 350 + ∠ yOz = 1100 (0,25 đ) Tìm đợc ∠ yOz = 750 (0,25 đ) VËy ∠ yOz = 750 (0,25 ®) z o y t b, (1®iÓm) Chỉ góc kề bù với góc yOz, lập luận để có hệ thức (0,25đ) Thay số và tính đợc ∠ yOt = 1050 (0,5đ) VËy ∠ yOt = 1050 (0,25®) 2, ( ®iÓm) Tia Ox n»m gi÷a hai tia Oz vµ Oy a, (1®iÓm) Lập luận để có hệ thức (0,25đ) Thay số và tính đợc ∠ yOz = 1450 (0,5đ) VËy ∠ yOz = 1450 (0,25®) b, (1®iÓm) Chỉ góc kề bù với góc yOz, lập luận để có hệ thức (0,25đ) Thay số và tính đợc ∠ yOt = 350 (0,5đ) VËy ∠ yOt = 350 (0,25®) z x y O t Chó ý: 1.Trong bài và câu HS có thể làm cách khác và lập luận chặt chẽ thì đúng đến đâu cho điểm tơng ứng đến đó §iÓm cña toµn bµi thi kh«ng lµm trßn Đề số 25 Đề thi học sinh giỏi tham khảo Môn Toán Lớp (54) Thời gian: 90 phút Bài 1( điểm): − =0 x N biết: + 624 = 5y ( ) x− a)Tìm x biết: b) Tìm x, y Bài 2( điểm): − 22 − 51 và 45 103 92 1 1 : + + + + b) Tính : 92− − − − − 10 11 100 45 50 55 500 Bài 3( điểm): Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì các số dư là ; a) So sánh: [ ][ ] ; 15 Bài 4( điểm): Ba máy bơm cùng bơm vào bể lớn , dùng máy và máy hai thì sau 20 phút bể đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 30 phút bể đầy còn dùng máy và máy ba thì bể đầy sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng mình thì bể đầy sau bao lâu? Bài 5( điểm): Cho góc tù xOy Bên góc xOy, vẽ tia Om cho góc xOm 900 và vẽ tia On cho góc yOn 900 a) Chứng minh góc xOn góc yOm b) Gọi Ot là tia phân giác góc xOy Chứng minh Ot là tia phân giác góc mOn Đáp án và biểu điểm Bài 1( điểm): - Vì 1 =± 2 = ( ) x− a)- Từ giả thiết ta có: (1) (0,25 đ) ( ) 1 x− = nên (1) xảy và 1 x − =− (0,25 đ) ; x=− (0,5 đ) 6 b) Nếu x = thì 5y = 20 + 624 = + 624 = 625 = 54 ⇒ y = (y N) (0,5 đ) Nếu x thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với x, y N : vô lý (0,25 đ) Vậy: x = 0, y = (0,25 đ) Bài 2( điểm): 22 22 51 51 22 51 − 22 −51 < = = < ⇒ < ⇒ > a) (1đ) 45 44 102 101 45 101 45 101 92 1 1 : + + + + b) B= 92− − − − − 10 11 100 45 50 55 500 92 8 1− + 1− + + 1− + + + 10 100 10 100 B= = =8 : =40 (1đ) 1 1 1 + + + + + + 45 50 500 10 100 Bài 3( điểm): Gọi số tự nhiên phải tìm là x - Từ đó tìm kết x = [ ( )( ][ ) ( ] ) ( - Từ giả thiết suy (x 20) 25 và và 35 ) (x 20) 28 và (x 20) 35 x+ 20 là bội chung 25; 28 (0,5 đ) (55) - Tìm BCNN (25; 28; 35) = 700 suy (x + 20) = k.700 - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ⇒ x + 20 = 700 ⇒ x = 680 Bài 4( điểm): k N (0,5 đ) x 999 x 20 1019 ⇒ k = (0,5 đ) (0,5 đ) Máy và máy hai bơm 20 phút hay đầy bể nên máy và hai bơm bể (0,25 đ) Máy hai và máy ba bơm 30 phút hay đầy bể nên máy hai và ba bơm bể (0,25 đ) 12 Máy và máy ba bơm 24 phút hay đầy bể nên máy và ba bơm 12 bể (0,25 đ) 11 + + :2= Một ba máy bơm bể (0,25 đ) 12 12 ( ) 11 − = bể ⇒ Máy ba bơm mình đầy bể (0,25 đ) 12 11 − = máy bơm bể ⇒ Máy bơm mình đầy bể(0,25 đ) 12 11 − = máy hai bơm bể ⇒ Máy hai bơm mình đầy bể(0,25 đ) 12 12 Kết luận (0,25 đ) Bài 4( điểm) a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy (0,25 đ) Một giờ:máy ba bơm x yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy (0,25 đ) xÔt = xÔn + nÔt (0,25 đ) tÔy = yÔm + mÔt (0,25 đ) ⇒ nÔt = mÔt ⇒ ⇒ xÔn = yÔm (0,25 đ) (0,25 đ) b) Lập luận : xÔt = tÔy (0,25 đ) Ot là tia phân giác góc mOn (0,25 đ) y O m t n x (56)