Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝLAGRANGE ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM MỤCNHẤT LỤC CỦA BIỂU THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HÓA NĂM 2021 1 MỤC LỤC NỘI DUNG Trang PHẦN I:MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 3 Đối tượng nghiên cứu 2 4 Phương pháp nghiên cứu 3 PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3 1 Cơ sở lý luận 3 2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4 3 Các SKKN đã áp dụng để giải quyết vấn đề 4 3.1 Nội dung định lý Lagrange 5 3.2 Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình 5 3.3 Ứng dụng định lý Lagrange để chứng minh bất đẳng thức 8 3.4 Ứng dụng định lý Lagrange để tìm GTLN- GTNN biểu thức 14 4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động dạy học, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 16 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17 1 Kết luận 17 2 Kiến nghị 18 Phần I - MỞ ĐẦU 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán học ở bậc trung học phổ thông các bài toán bất phương trình và bất đẳng thức chiếm một vị trí rất quan trọng, xuyên suốt chương trình của ba khối lớp Bên cạnh đó là sự phong phú về dạng toán, từ bất phương trình, bất đẳng thức ở lớp10, bất phương trình lượng giác ở lớp 11 đến bất phương trình mũ, logarit ở lớp 12 Phương pháp để giải quyết các dạng bài toán đó cũng rất phong phú Đã có rất nhiều ý tưởng độc đáo và bất ngờ được phát hiện để giải quyết những bài toán về bất phương trình, bất đẳng thức tạo nên sự hấp dẫn của toán học đối với người học cũng như người dạy Như ta đã biết bất phương trình, bất đẳng thức đều được xây dựng trên cơ sở của khái niệm hàm số, chính vì vậy mà một trong những phương pháp giải không thể thiếu chúng của các dạng toán trên chính là sử dụng đạo hàm trong giải toán Cách sử dụng đạo hàm trong giải toán đã xuất hiện ở rất nhiều tài liệu,từ chuyên đề hàm số đến các chuyên đề về bất phương trình và trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp tuy nhiên vẫn chưa toàn diện Hệ thống bài tập trong các chuyên đề đó chưa hoàn chỉnh, còn rời rạc; việc khai thác và khắc sâu ý tưởng trong bài giải còn chưa triệt để Điều đó gây khó khăn cho học sinh trong việc hình thành cho mình những phương pháp giải hoàn chỉnh đối với các dạng bài toán về bất phương trình và bất đẳng thức Định lý Lagrange và ứng dụng của định lý này trong chương trình toán học trong chương trình toán học phổ thông rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là trong các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, Tuy vậy, trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT thì những ứng dụng này chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ Trước đây định lý Lagrange được trình bày trong sách giáo khoa Giải tích lớp 12 nhằm mục đích làm cơ sở để chứng minh một số định lý liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Hiện nay, sách giáo khoa môn toán trong chương trình THPT không đề cập đến định lý này nữa nhưng trong các đề thi học sinh giỏi vẫn xuất hiện các bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, mà định lý Lagrange là một công cụ hiệu quả để giải quyết các dạng toán trên Có một số bài toán nếu giải bằng các phương pháp thông thường thì lời giải sẽ dài và phức tạp nhưng nếu áp dụng định lý Lagrange thì sẽ cho lời giải ngắn gọn và dễ hiểu Hơn nữa, với đối tượng học sinh khá, giỏi thì việc tiếp cận định lý này không phải là vấn đề khó mà trái lại thông qua quá trình vận dụng định lý Lagrange để giải bài tập và sáng tác các bài tập mới học sinh được rèn luyện khả 1 năng tư duy, sử dụng kiến thức một cách linh hoạt, tạo cho các em hứng thú tìm tòi, khám phá tri thức và phát huy tính chủ động, sáng tạo trong việc học Xuất phát từ thực tế cần có một hệ thống các bài tập theo chuyên đề hoàn chỉnh để giải các dạng bài toán về bất phương trình và bất đẳng thức tôi đã tập hợp, bổ sung và sắp xếp các bài toán dạng này theo một hệ thống rõ ràng; tạo thuận lợi cho người học ghi nhớ và vận dụng để giải các bài tập tương tự Qua thực tế giảng dạy, cách làm này thu được kết quả rất đáng ghi nhận nên tôi đã viết thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: ‘’Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình,bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức’’ Để cung cấp cho các thầy cô đồng nghiệp của mình cũng như các em học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi những kiến thức cơ bản về định lý Lagrange để giải toán.Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung thêm của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn; góp phần giúp giáo viên và học sinh chúng ta tiến tới cái “chân thiện mỹ” của Toán học 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm trong việc giải các bài toán về bất phương trình và bất đẳng thức Từ đó đạt kết quả cao trong quá trình học toán nói chung và trong giải bất phương trình và bất đẳng thức nói riêng 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Các dạng toán bất phương trình, bất đẳng thức trong chương trình toán phổ thông đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, các kỳ thi chọn học sinh giỏi - Phạm vi nghiên cứu: Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi loại 4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau - Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát: Công việc dạy – học của giáo viên và học sinh - Phương pháp đàm thoại phỏng vấn: Lấy ý kiến giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp - Phương pháp thực nghiệm Phần II: NỘI DUNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN: 2 Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài.” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng Muốn học tốt môn toán học sinh cần phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy lôgic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán có hệ thống trong chương trình phổ thông, sự liên hệ logic giữa các mảng kiến thức trong chương trình phổ thông Vận dụng lí thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 chỉ nêu một số cách giải các bất phương trình, bất đẳng thức một cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàm chỉ dừng lại ở bài toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàm trong việc giải các bài toán sơ cấp thì chưa được sử dụng nhiều và hầu như học sinh vận dụng còn hạn chế và chưa linh hoạt, song các đề thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi gần đây việc giải các bài toán có sự ứng dụng của đạo hàm rất nhiều Đặc biệt là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về bất phương trình, bất đẳng thức giúp cho học sinh giải một số bài toán sẽ đơn giản hơn 2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong giải các bất phương trình vô tỉ, mũ, lôgarit…nhưng học sinh chưa sử dụng nhiều kiến thức này để giải toán vì - Đạo hàm là phần kiến thức mới đối với học sinh, gắn với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11 Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải bất phương trình và bất đẳng thức …và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại số để giải - Số lượng các bài toán giải bất phương trình và bất dẳng thức nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, kỳ thi học sinh giỏi và phương pháp giải chủ yếu là dùng đạo hàm 3 CÁC GIẢI PHÁP Đà SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để giúp học sinh giải tốt các bất phương trình trong các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số đã học ở lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải 3 Ở đây, tôi chỉ đề cập đến một vài khía cạnh nhỏ trong việc giải bất phương trình và bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm và định lý Lagrange để giải bài toán:’’ Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức’’ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE 3.1 Nội dung định lý Lagrange: Nếu f x là hàm liên tục trên đoạn a; b , có đạo hàm trên khoảng a; b và f a f b thì tồn tại c � a; b sao cho f� c f b f a ba � f� c 0 a;b Hệ quả 1: Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm trên và f ( x ) 0 có n nghiệm a ;b ( x ) 0 có ít nhất n 1 nghiệm ( n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên thì f � a ;b trên a;b ( x) vô nghiệm Hệ quả 2: Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm trên và f � a; b a; b trên thì f ( x) có nhiều nhất một nghiệm trên a; b ( x ) có nhiều nhất n Hệ quả 3: Nếu f ( x) có đạo hàm trên và f � a; b nghiệm ( n là số nguyên dương) trên thì f ( x) có nhiều nhất n 1 nghiệm trên a ;b 3.2 Dạng toán ứng dụng Cho hàm số thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrnge và một số điều kiện cho trước.Ta đi chứng minh một hệ thức nào đó f x 3.3 Cách giải - Bước 1: Chọn hàm số có liên hệ với f x , phù hợp với các điều kiện bài toán và thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange f x g x - Bước 2: Áp dụng định lý Lagrange cho hoặc (tùy vào yêu cầu của hệ thức cần chứng minh) g x - Bước 3: Từ đó biến đổi đưa về hệ thức cần chứng minh 3.2 Ứng dụng định lý Lagrange trong việc giải bất phương trình 3.2.1 Nội dung ứng dụng 4 Giả sử cho bất phương trình tìm nghiệm của phương trình f x 0 f x 0, f x �0; f x �0 f x 0 Trước hết ta dựa vào vận dụng định lý Lagrange và f x các hệ quả của nó Sau đó dựa vào tính liên tục của trên tập xác định để suy ra dấu của f x trên các khoảng, từ đó chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình f x 0 f x 0, f x �0; f x �0 3.2.2 Dạng toán ứng dụng Giải bất phương trình f x 0 f x 0, f x �0; f x �0 x �D , 3.3.3 Cách giải - Trước hết tìm nghiệm của phương trình Lagrange và các hệ quả của định lý đó - Giả sử nghiệm của f x 0 là f x 0 x1 , x2, x3, , xn và dựa vào định lý x1 x2 xn Ta dựa vào f x f x tính liên tục của để suy ra dấu của trên các khoảng ( x1 , xi 1 ), i 1, , n , từ đó chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình trên 3.3 4 Ví dụ minh họa Ví dụ 1 Giải bất phương trình 1 x 5 x 4 x3 x 3 �4 � x �� ;1 3 �5 � � Đặt f x 1 x 5 x 4 x x 3 , bất Lời giải Điều kiện f x 0 phương trình trở thành f� x 1 2 1 x , do đó 5 3x 2 1 2 5x 4 1 � f� x 6 x 3 4 1 x 4 5x 4 3 �4 � 0, x �� ;1 � �5 � vô nghiệm, suy ra phương trình có nhiều nhất một f x 0 nghiệm, từ đó suy ra phương trình có không quá hai nghiệm phân Do � f� x 25 f �x 0 5 biệt.Ta lại có là x 0; x 1 và f 0 f 1 0, f x 0 suy ra phương trình có đúng hai nghiệm �4 � D� ;1 f x �5 � �nên f x liên tục trên các khoảng Do liên tục trên f x 0;1 và �4 � ;0� � �5 � giữ nguyên dấu trên từng khoảng đó 26 21 �1 � 2 f � � 0 2 8 Mà �2 � 2 � f x 0, x � 0;1 1 �(0,1) , vì 2 ; �4 � 27 � 1� ;0 � f� � 6 0 � f x 0, x �� 8 � 5 � � 2� Vậy nghiệm của bất phương trình là Ví dụ 2 Giải bất phương trình x � 0;1 2 x log 2 x 1 1 0 Lời giải Tập xác định của bất phương trình Bất phương trình trở thành f� x 2 x ln 2 ra D 1; � f x 2 x log 2 x 1 1 Đặt f x 0 f x 0 , do đó 1 1 2 � ;f� 0, x � 1; � ; x 2 x ln 2 2 x 1 ln 2 x 1 � f� x 0 Ta thấy vô nghiệm, suy ra f� x có nhiều nhất một nghiệm, từ đó suy có không quá hai nghiệm phân biệt f 0 f 1 0 f x 0 f x có hai nghiệm là x 0; x 1 Do D 1; � 1;0 ; 0;1 ; 1; � f x liên tục trên nên liên tục trên các khoảng Ta lại có và f x , suy ra giữ nguyên dấu trên các khoảng đó Ta có f 3 3 log 2 3 0 � f x 0, x � 1; � �1 � f � � 2 log 2 3 2 0 � f x 0, x � 0;1 �2 � �1 � 2 f � � 0 � f x 0, x � 1;0 ; 2 2 �� 6 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1;0 � 1; � x x Ví dụ 3 Giải bất phương trình 5 7 36 x 2 Lời giải Xét hàm số dạng f x 5x 7 x 36 x 2 f x 0, , bất phương trình đã cho có Ta có: � f� x 5x ln 5 7 x ln 7 36; f � x 5x ln 5 7 x ln 7 0, x ��, 2 2 từ f x 0 đó suy ra phương trình có không quá hai nghiệm phân biệt Mà f x f 0 f 2 0 do đó có hai nghiệm phân biệt là x 0 và x 2 f x f x �;0 ; 0;1 ; 1; � liên tục trên � nên f x liên tục trên các khoảng và giữ nguyên dấu trong các khoảng đó Ta có f 1 1 1 36 2 0 � f x 0, x � �;0 5 7 f 1 5 7 36 2 26 0 � f x 0, x � 0; 2 f 3 125 343 108 2 358 0 � f x 0, x � 2; � Vậy nghiệm của bất phương trình là x � 0; 2 Ví dụ 4 Giải bất phương trình sin x 1 3 cos x sin x 3 cos x 1 �3 cos x.cos x 1 có nghiệm x 5 (Radian) không? Tại sao? Lời giải: Bất phương trình tương đương với F x Xét hàm f t 3 sin x 1 3 f� t �1 3 sin x 1 cos x sin t 3 � x, x 1 �� � , 2 � cos t trên đoạn �2 � Ta có: f� t Dễ thấy cos x 1 2 cos 2 t 1 3 3 cos 4 t 2 2 (áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số cos t , cos t ,1 ) 7 Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số c � x, x 1 f t trên đoạn x, x 1 , tồn tại sao cho f x 1 f x f ' c � f x 1 f x f ' c �1 x 1 x sin x 1 3 cos x 1 sin x 2 cos 2 c 1 �3 � � 1 � F x 1, x � ; 2 � � 3 cos x �2 � 3 3 cos 4 c Vậy x 5 (Radian) không phải là nghiệm của bất phương trình �3 � 5 �� ; 2 � �2 � F x 1 do 3.2.5 Bài tập vận dụng Giải các bất phương trình sau 1 x 3x 1 x 2 x 1 2 3x 5x 6 x 2 3 x 2 x 2 1 3 4 x log 2 x 2 1 5 x 5 x �x 3 4 x 2 x 7 3.3 Ứng dụng định lý Lagrange trong việc chứng minh bất đẳng thức 3.3.1 Nội dung ứng dụng Nếu trong giả thiết của định lý Lagrange ta thêm vào giả thiết f '( x ) đồng f (b) f (c ) f (c) f ( a ) a; b bc ca biến trên thì ta có thể so sánh với với c �[a; b] và f� (a ) f (b) f ( a) f� (b) ba ( x) nghịch biến trên a ; b Nếu f � thì f� (a ) f (b) f (a ) f� (b) ba Từ đây cho ta ý tưởng ứng dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức và đánh giá các tổng hữu hạn Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức A �B �C mà trong đó A; B; C có sự a ; b , có đạo tham gia của hàm số f nào đó ( f là hàm số liên tục trên đoạn 8 a; b hàm trên khoảng ) Thông thường ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng m� f b f a �M ba Từ định lý Lagrange, do f ( x) là hàm liên tục trên đoạn [a ; b] , có đạo hàm trên khoảng (a ; b) nên tồn tại c �(a ; b) sao cho đẳng thức cần chứng minh chính là bất đẳng thức f '(c) f (b) f (a ) ba Khi đó bất m �f ' c �M 3.3.2 Dạng toán ứng dụng Chứng minh bất đẳng thức A �B �C mà trong đó A; B; C có sự tham gia a; b của hàm số f nào đó, trong đó f là hàm số liên tục trên đoạn , có đạo hàm a; b trên khoảng 3.3.3 Cách giải - Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng m� f b f a �M ba - Chọn và xét hàm số f ( x) thỏa mãn các điều kiện của bài toán Sau đó, sử dụng định lý Lagrange, ta suy ra tồn tại c �(a; b) sao cho f (b) f ( a) f '(c) ba - Do đó ta có bất đẳng thức m �f ' c �M 3.3.4 Ví dụ minh họa Ví dụ 1 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a < b Chứng minh rằng ba b ba ln b a a Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ba b ba 1 ln b ln a 1 ln � b a a b ba a Xét hàm số f ( x) ln x, x 0 � f '( x) 1 , x �(0; �) x 9 a; b a; b Do hàm f ( x) liên tục trên và có đạo hàm trên với 0 a b nên theo định lý Lagrange tồn tại c �(a ; b) sao cho f '(c ) f '(c) f (b) f (a ) , ba hay 1 ln b ln a ba b � ln , c ba c a mà 0acb� 1 1 1 ba ba ba ba b ba ,� � ln b c a b c a b a a ( đpcm) Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu Lời giải Xét hàm số a; b hàm trên với 0ab f x tan x 0ab 2 ba ba tan b tan a 2 cos 2 b 2 thì cos a Ta thấy f x a; b liên tục và có đạo Theo định lý Lagrange luôn tồn tại c �(a ; b) sao cho f '(c) Do f (b) f (a ) 1 tan b tan a ba � � tan b tan a, 2 ba cos c ba cos 2 c 0acb Hay 0 ba ba ba � cos a cos c cos b 0 � ; 2 2 2 cos a cos c cos 2 a ba ba tan b tan a 2 cos a cos 2 a Ví dụ 3 Chứng minh rằng 1 1 x 1 (1 ) x (1 ) , x x 1 x �(0; �) Lời giải Ta có 1 1 x 1 (1 ) x (1 ) � x[ln( x 1) - ln x] ( x 1)[ln( x 2) - ln( x 1)] x x 1 Đặt f ( x) x[ln( x 1) - ln x ] Ta có f '( x ) ln( x 1) ln x x 1 1 ln( x 1) ln x x 1 x 1 10 g t ln t Áp dụng định lý Lagrange đối với hàm số tại c �(x; x+1) sao cho f '(c) ln( x 1) ln x � mà 0 x c x 1 � trên x; x 1 , thì tồn 1 ln( x 1) ln x, c 1 1 1 x c x 1 1 1 1 ln( x 1) ln x � ln( x 1) ln x 0 x x 1 x 1 � f '(Υx) 0, x (0;+ ) � do đó hàm số f ( x) đồng biến trên (0;+�), nên 1 1 x 1 (1 ) x (1 ) , x �(0; �) f ( x 1) f ( x ), x �(0; �) � x x 1 Ví dụ 4 Đặt Cho hàm số M max g � x g x có đạo hàm g� x a; b là hàm liên tục trên và giả sử a �x �b g a g b 0 Chứng minh rằng a Với x � a; b g x �M x a , g x �M b x b f x dx 2 b a � a M� b 4 , ta có Lời giải a Với x � a; b Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số y g x trên đoạn a; x , tồn tại c � a; x sao cho g x g x 0 g x g a g' c x a , từ đó suy ra g x g ' c x a �M x a 11 tương tự tồn tại d � x; b sao cho g x 0 g x g b g x g ' d b x � g x g ' d b x � g x g ' d b x �max g ' x b x x� a ; b Vậy g x �M b x b Theo câu a, b a b 2 a a g x dx � x � a; b �g x dx , g x �M b x g x �M x a �g x dx � �M x a dx a b 2 M b a M b a M b a 8 8 4 2 a b 2 b 2 a , Nên ta có b �M b x dx a b 2 2 Từ đó suy ra 4 b 4 f x dx � 2 2 b a � b a a b a M 4 2 M x 1, chứng Ví dụ 5 (Bất đẳng thức Bernoulli) Với mọi số thực x thỏa mãn n minh rằng (1 x) �1 nx Lời giải n - Khi x 0, xét f (t ) (1 t ) , theo định lý Lagrange ta có a �(0; x) thỏa mãn f ( x) f (0) xf '(a) � (1 x) n 1 nx(1 a) n 1 nx � (1 x) n 1 nx n - Khi 1 x 0 : xét f (t ) (1 t ) , theo định lý Lagrange ta có a �( x;0) n n 1 n thỏa mãn f ( x) f (0) xf '(a) � (1 x) 1 nx(1 a) nx � (1 x) 1 nx n Vậy (1 x) �1 nx, x �(-1; �) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0 Ví dụ 6 Cho n 1, n �Z Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 n 1 2 3 n 2 3 n 1 Lời giải Xét hàm số 12 f x ln x với x � n 1, n với n 1, Áp dụng định lý Lagrange, tồn tại f ' x c � n 1; n 1 x sao cho 1 ' f n f n 1 f ' c � n n 1 � � � f c � ln n ln n 1 c , Do n 1 c n � 1 1 1 1 1 � ln n ln n 1 * n 1 c n n n 1 Lần lượt thay n 2,3, , n vào * ta được 1 ln 2 1 2 1 1 ln 3 ln 2 3 2 1 1 ln 4 ln 3 4 3 1 1 ln n ln n 1 n n 1 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được 1 1 1 1 1 1 ln n 1 2 3 n 2 3 n 1 (đpcm) Ví dụ 7 Cho a < b < c, chứng minh rằng 3a a b c a 2 b2 c2 ab bc ca 3b a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ca 3c Lời giải Xét hàm số f ( x) ( x a)( x b)( x c) � f (a) f (b) f (c) 0, Theo định lý Lagrange tồn tại a x1 b x2 c sao cho f (a) f (b) (a b) f '( x1 ) f (c) f (b) (c b) f '( x1 ) � f '( x1 ) f '( x2 ) 0 f '( x) 3x 2 2( a b c ) x ab bc ca 13 a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ca � x1 3 x2 a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ca 3 Do đó, từ a x1 b x2 c suy ra 3a a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ca 3b a b c a 2 b2 c 2 ab bc ca 3c 3.3.5 Bài tập vận dụng b a 1 Chứng minh a b 1 với mọi a, b 0 sin x sin y �x y 2 Chứng minh rằng x, y �� ta có 3 Chứng minh rằng x � 0;1 , n ��* xn 1 x , luôn có 1 2ne 4 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng � 1� 1 1 1 cot A cot B cot C � � 2 �cos A cos B cos C � 2 2 2 � � � � � 5 Cho a, b 0 Chứng minh rằng với 1 hoặc 0 , ta có a b �a b � �� � 2 �2 � 6 Cho a, b, c là những số thực dương Chứng minh rằng 3 4.Ứng dụng định lý Lagrange trong tìm GTLN, GTNN của biểu thức 3.4.1 Nội dung ứng dụng Để dùng định lý Lagrange tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức, ta phải chọn được hàm số thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange, sau đó áp dụng định lý Lagrange kết hợp với các giả thiết của bài toán để đánh giá biểu thức cần tìm GTLN, GTNN g t 3.4.2 Dạng toán được ứng dụng 14 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f ( x) trên tập xác định x �D 3.4.3 Cách giải - Chọn và xét hàm số g t thỏa mãn các điều kiện của bài toán - Sau đó, sử dụng định lý Lagrange, ta suy ra tồn tại c �(a ; b) sao cho: g '(c ) - Kết hợp thức g' c g (b) g (a) ; ba g b g a ba với các điều kiện của đầu bài để dẫn tới bất đẳng m �f x �M ; - Ta chỉ ra dấu bằng xảy ra, từ đó suy ra GTLN của hàm f ( x) là M , còn GTNN của hàm số f ( x) là m 3.4.4 Ví dụ minh họa * Ví dụ 1 Cho n �N , hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số � x� f x e x � 1 � � n �trên 0; � Lời giải Xét hàm số � t� g t et � 1 � , t 0; x , x � n� Ta có g (0) 0; g ' t et 0 1 0, t � 0; x * n , n �N g t c � 0; x do đó thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange, nên tồn tại sao cho � x� � ex � 1 ��0, x 0 g x g 0 g c x 0 xg c � g x xg c �0,x �0 � n� , ' ' ' do đó x � x� e x �� 1 ��0, x 0 � e x (1 ) �1 n � n� 15 Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi x 0, vậy max f x 1 x� 0; � Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x 3 4 x 5 trên đoạn 0;1 f x Lời giải Xét hàm số g t t 2t 3 4t 5 trên 0; x với x � 0;1 Ta có g' t suy ra hàm 8t 2 20t 15 4t 5 g ' t 2 ; g '' t 220 4t 5 3 0 t � 0; x , x � 0;1 0; x đồng biến trên nên 3 g ' t �g ' 0 , t � 0; x , x � 0;1 5 Theo định lý Lagrange, c � 0; x sao cho g x g 0 g ' c x 0 � x 2x 3 � 4x 5 Với x 0 , ta có 3 , x 5 f 0 2 x 3 0 g ' 4x 5 c x � 3 x, x � 0;1 , 5 0;1 , 3 3 3 f x � , x � 0,1 , min f x 5 Vậy 5 5 và 0;1 3 max a, b, c � 4 và Ví dụ 3 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c 1 3 3 3 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 3a 1 3b 1 3c 3 1 a � ,c � 4 8 Xét Lời giải Không mất tính tổng quát, ta giả sử a �b �c , do đó hàm số f x 3 1 3x 2 , x � 0;1 Ta có 16 f ' 2x x 3 1 3x 2 2 �f ' 2 2 x2 x 3 1 3x 2 5 0, x � 0;1 Áp dụng định lý Lagrange, ta được �3 � � 3� f a �f ' � � a � � �4 � � 4� �3 � �1 � � 1� f �� ; f b �f ' � � b � � �4 � �8 � � 8� �1 � � 1� f c �f ' � � c � � �8 � � 8� �1 � f �� �8 �; �1 � f �� �8 � 1 � �3 � �3 � � 3 � ' �1 � � f a f b f c �f ' � � a � f � � b c � f � � 2 f � � 4 � �4 � �4 � � 4 � �8 � � � �3 � �1 �� � 3� �f ' � � f ' � �� a � � 4� � �4 � �8 �� � �3 � f � � 2 f �4 � �1 � � ��f �8 � �3 � � � 2 f �4 � �1 � � � �8 � �1 � 3 172 2 3 67 � � 4 �8 � 3 3 1 172 2 2 67 a ;b c min P 4 8 và các hoán vị Vậy 4 Đẳng thức xảy ra khi 3.4.5 Bài tập vận dụng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x 2x 1 10 x 3 trên đoạn 0; 2 2 Cho x, y, z là số đo các góc của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 1 1 1 sin x sin y sin z 4 a b c 9 0 3 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a a2 1 b b b2 1 c a c c2 1 a b c �a b c � a b c �� � � 3 � a b c 4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 4 1.Kết quả từ thực tiễn: 17 Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng phương trình, hệ phương trình như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra ứng dụng của định lý Lagrange để học sinh có công cụ để giải toán Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó 4.2 Kết quả thực nghiệm: Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2020-2021 Sau khi đưa chuyên đề trên vào thực tế giảng dạy trong lớp tôi thu được kết quả trong 2 lần kiểm tra đánh giá như sau Thời gian kiểm tra Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Trước khi áp dụng chuyên đề 40 8 14 13 5 (20%) (35%) (32,5%) (12,5%) Sau khi áp dụng chuyên đề 40 12 18 10 0 (30%) (45%) (25%) (0%) Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán bât phương trình và bất đẳng thức các em đã hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Phần III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng giải bất phương trình và bất đẳng thức Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau để các đối tượng học sinh tiếp cận một cách thuận lợi nhất Bên cạnh ứng dụng trong bất phương trình thì đạo hàm còn có rất nhiều ứng dụng khác trong giải toán như bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán 18 tìm max,min và bài toán có tham số Chính vì vậy ta có thể mở rộng thêm chuyên đề ứng dụng đạo hàm Để việc sử dụng “Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức ’’ có hiệu quả - Giáo viên phải hướng các em xoáy sâu vào trọng tâm của bài học tùy vào từng bài, từng nội dung mà áp dụng những phương pháp giải một cách phù hợp - Cần phải chú ý đến từng đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tòi, khám phá - Giáo viên cần chủ động khuyến khích các em làm những bài toán áp dụng từ dể đến khó - Cho học sinh tự suy nghĩ đưa ra các bài tập bất phương trình, bất đẳng thức bằng phương pháp đạo hàm và công cụ của định lý qua đó giúp học sinh có hứng thú trong việc tìm ra bài toán Tuy vậy do nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan và chủ quan nên đề tài không tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định Rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm để tôi hoàn thiện hơn nữa nội dung góp phần tích cực vào giáo dục kiến thức cho học sinh Cuối cùng tôi xin cảm các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý để tôi hoàn thiện chuyên đề này 2 Kiến nghị Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có sách tham khảo nào viết về sử dụng định lý Lagrange vào việc giải bất phương trình và bất đẳng thức ….Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo về thể loại sách này để học sinh có thêm nguồn tư liệu trong giải toán XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2021 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Người viết: Lê Thị Hương DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 1 Sách giáo khoa: Đại số và giải tích 10- 11-12 2 Các chuyên đề hàm số - Lê Hồng Đức 3 Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán – Trần Phương 4 Phương pháp giải toán đại số - Lê Hồng Đức-Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc 5 Đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh 6 Một số tư liệu trên mạng DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giả:Lê Thị Hương Chức vụ và đơn vị công tác:Giáo viên Trường THPT Triệu Sơn 4 TT 1 Tên đề tài SKKN Nhìn nhận các bài toán bất Cấp đánh giá xếp loại Kết quả đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, hoặc C) Tỉnh C 2013-2014 Tỉnh C 2018-2019 đẳng thức bằng “ Con mắt” lượng giác 2 Ứng dụng đạo hàm, định lý Rolle để giải phương trình và hệ phương trình 20 21 ... thức, tìm GTLN, GTNN hàm số phương pháp ứng dụng đạo hàm định lý Lagrange để giải toán:’’ Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình, bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức? ??’ MỘT SỐ ỨNG. .. 3.2 Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình 3.3 Ứng dụng định lý Lagrange để chứng minh bất đẳng thức 3.4 Ứng dụng định lý Lagrange để tìm GTLN- GTNN biểu thức 14 Hiệu SKKN hoạt động... ‘? ?Ứng dụng định lý Lagrange để giải bất phương trình ,bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức? ??’ Để cung cấp cho thầy cô đồng nghiệp em học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi kiến thức định lý Lagrange
Ngày đăng: 09/06/2021, 13:23
Xem thêm:
