phuong trinh lo ga rit TSy

PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ  Để làm được bài toán dạng chứa tham số , đòi hỏi học sinh cần nắm vững về kiến thức nghiệm của bất phương trình bậc 2 thỏa mãn điều kiện cho sẵn.. BÀI TẬP [r]

GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LO GA RÍT I PHƯƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN   f ( x)   b  log a f ( x ) b  f ( x) a   log f ( x ) log g ( x )   g ( x)  a  a     f ( x)  g ( x) * Là phương trình có dạng : Bài Giải các phương trình sau : a b c c e f GIẢI a -Đ/K :  x  x      x  x  12  x    x    D   ;      3;     1;    x    x    log   x  1  x    x  3  x    log 27   x  1  x    x    x  3 27   x  x    x  x   24 t  x  x    t  2t  24 0  t t   24      x  x     x  x    PT  t   t 4   x  x  10 0  x 0    x  x   x   b - Đ/K:  x2     6 x  10  x    x   5   D  ;    3  x    x 1    log 2  x  3 log  x  10    x  3 6 x  10  x  x  0    x 2 - PT: 2 Vậy phương trình có nghiệm là : x=2 c x 1  x  1 x   x  x   x  x   log  x    x  3 log3    2 Đ/K:  x 3  x 3  x  x    x  x      x x  x  1  x  Là nghiệm phương trình d  x  0  *  x  x 1   ĐK:  x3  x   x   x3   x  2   x  1  x3  x  1    x  x    x  x  x 0  x 0  PT(d) Vậy phương trình có nghiệm : x=0 , x  ( loại : vì không thỏa mãn (*) ) e -ĐK:  x  0  4  x   4  x    x   *    x   log x  log   x   log   x   log x  log    x    x    x    x    x   16  x  x     61   61 x   x    16  x  x   x  x  15 0 2      16  x  x   x  x  17 0  x 1  69  x 1  69   2 PT(e)   61  69 x x 2 Kết hợp với điều kiện (*) chọn nghiệm là : , và 2 f -ĐK: x    1  log   3log x    2 log   log   3log x    x   1  3log x  1    x   * 1  3log x  x    1  log   3log x   1  log   log   3log x   4 2   log   3log x  3   3log x 4 PT(f)  log x 1  x 2 Bài Giải các phương trình sau : 11 log x  log x  log 27 x  12 a log x 64  log x2 16 3 c Vậy nghiệm phương trình là x=2 b d log x 3  log 0 21 x  GIẢI  x  t log x  11 1  log x  log x  log 27 x   t log3 x  11 11  t   log x   x   12 2  1  t 12 11 t  t  t   12 a x  x  x  x 3   log  log 0   x 3  x 3  21  x  x  20 0 3x  log 21 log 3x   21 3 x  b x    x 4  x   x 4 Vậy phương trình có nghiệm là : x=4 ( thỏa mãn điều kiện (*)  0  x   log x 64  log x2 16 3  t log x     3 1  t 2t c t log x   3t  5t  0   log x     log x 2  x 3   x 4 d 9 x   x  log    x 3  * 3   x  log 2 ĐK:   log   x    log  4.3x     x   4.3x   32 x  2.3x   32 x  2.3x  0 t 3x  2  t 3  3x 3  x 1 t  2t  0 PT(d) Vậy nghiệm phương trình là : x=1 Bài Giải các phương trình sau : a b c d GIẢI a 8  x  x     8  x  x  9 x    x   x  x     x 4     2 x 8  x   x  1 Vậy nghiệm phương trình là : x=4 b  log  log x  2  log x 9  x 29 512 c x   x    log ( x  3) 1  log x  log x log   x  3   x   x 4  x  3  3x 12  x 4 ĐK: Vậy nghiệm phương trình là : x=4 d ĐK: 3 x     x  0  x  (*)  PT  log  x  1  log  x  3 log  x  1  log   3x  1  x  3  log  x  1  x 1     x  1  x  3 4  x  1  3x  x  0  x 1  x   x 1  Vậy nghiệm phương trình là : x=1 Thỏa mãn điều kiện (*) Bài Giải các phương trình sau : a b c d GIẢI a x   x       3 log  x  x  log x log  x  x  log x 2    x 23t   x 23t  x 2t     t 3t t t t t t        x  x     1    2      1                   t log x   log  x  x t    Học sinh giải tiếp ( đã giải dạng toán này phần phương trình mũ - pp hàm số ) b 10 5    x  3 x     log 2  x  3 log  x  10  2  x   6 x  10   c d  x     x  x  0    x 1   x 2   x 2   ( Đã giải bài 2-d ) ( Đã giải bài 3-b ) II PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ - ĐẶT ẨN PHỤ Bài Giải các phương trình sau : a log x x +log x=1 c log x 16 − log 16 x=2 log x   2 log x log x 1 b d GIẢI  1  0  x  0  x    log x  log 52 x 1  t log x  t log x  log x 0  x 1  x 1  t  2t   2t 1  0  1  t 1  t a Ngiệm : x=0  0  x 1 0  x 1  log x 1   x 51    t log x  t log x    log x 1   x 51       2t  1 t  2t  0 2 log x log  t  x b 2    0  x 1  3log x 16  4log16 x 2log x  t log x   3.4   t 2t  t c t log x  log x    2 log x  t      x 4   x 4 d 0  x 2  x  ; x 1 t  4, t  t  4, t  16     t log x  t  4, t       21 10  21 10   2t  t   t   t   0 2t  t   t   t   0        t  2t  14 3t  40 0  t  t t t log x  log x 0  x 1      x 2   log x 1  10t  10t 0 Kết hợp với điều kiện , nghiệm phương trình là : x=1 ( Loại x=2 vi phạm điều kiện ) Bài Giải các phương trình sau : GIẢI a a b c d  89 x 25   89 x 25   log x x  log x 32 log x      log x 32.x log x   2x  2x     x 1 0  x 1 0  x 1 25     25  x   x  89 x 25   x  64 64.x  89 x  25 0 32.x   x 64  Vậy phương trình có nghiệm là : x = 5/8 ( loại x=-5/8 x>0 và x 1 vi phạm điều kiện) b t  log x 1 1  log x t  3   t  t  0  t    log32 x 3   t 2   log3 x   x 3    log3 x   x 3 c   0  x 1 0  x 1    t log x  t log x    t 2t t  2t  t  t    0 t t    x    log x   t    t  0 t        t    log x    x    t  0  t  0  log x 1  t 1  x 2  t   d t lg  x  1 0   x 1  16t  9t  25 0   t 1    lg  x  1 1   t  25  16  11   lg  x  1   x 1  x    10  10     lg  x  1 1  x 1  10  x 11 Bài Giải các phương trình sau : a b c GIẢI a 0  x 1 0  x 1       12 x   12 x  log  12 x   2.log x  12 x   x    0  x 1   12 x  x  0   x    x   x 1   b Đã giải bài 2-b chuyên mục này c  x   0   x 1  2   PT   log1 x   3x   log1 x   x   0  0   x 1 0  x   ĐK:   log1 x   3x   log1 x   x   0  log1 x   x   t log1 x   3x  t log1 x   x   t    2   t  t    t  t        t   x  x    x  x  1 2x      2  x 1  x  x 0   3x   x    0 log1 x   3x   log1 x   3x     log1 x   3x  2 Bài Giải các phương trình sau : a b c d GIẢI a t log x t log x  2  x   t  2t 2  t t  t  0  x 0  log x 1    log x   x 2   x 1  b t 3x    log  t  1 log   t  1  2 t   u log  t  1   u   u   0 t   log3  t  1 1  u  log t        log  t  1   u  u  0  t  3  t 2     t 2  3x 2  x log  t 1 1  t   9   c  0  x 2 t log x  t 1   t log x  t 1    t       t  0 1  t d  log x   x 2    x 2  log x  x   log x 0  x 1      1   log x log x    x  x  log x  log x  log x    0     x 1  x 1      x     x   x 1  2 x   x  1   x 0    Vậy nghiệm phương trình là : x=1      Bài Giải các phương trình sau : a b c GIẢI a TXD: D=R Vì : 1       1        ;   log 2 t  log 2 x 1  x   x 1  x 1  t  x   x  u log 2 t  1    u 2  log 2 t 2   3  t 2u  u 6 PT  x2 1  x      x2 1  x        t    1   2 t     2   2x      3  x   2      3  7  b Vì :  x 1  1 x 1 1 2    x  PT  x log3 x  5log3 x 7  x  x   12  log x 2  log 32 x  5log x  1  log 32 x  5log x  0     log x 3  x 9  x 27  c t 5 x     log5  t  1 log 5  t  1 1  t  t   log5  t  1 1   u log  t  1  u log  t  1      log5  t  1  u  u  u  u       x2 1  x  t  t 1     t 1   26 25 25   x 6    x  26 25   x log   x log 26  25 Cả hai nghiệm này chọn Bài Giải các phương trình sau : log x  (2 x  x  1)  log x 1 (2 x  1) 4 a (2  log x) log x  1  log x b c log (4 x  15.2 x  27)  log 4.2 x  0 GIẢI 2 a log x  (2 x  x  1)  log x 1 (2 x  1) 4 ĐK: x>1/2 t log x   x  1  t log x   x 1  log x   x  1  x  1  2log x 1  x  1  0   2 t  3t  0 1  t   0 t  PT(a)   x 2    x  1  x   log x   x  1 1  x 2      x 0     x  1  x   x  x 0  log x   x  1 2  x  Vậy nghiệm phương trình là : x=2 và x=5/4 x   (2  log x)log x  1  dk :  1  log x  x  ; x 3 b t log x        t    t    t 1   PT(b)  c log (4 x  15.2 x  27)  log x t log x  2 t  3t  0 4.2 x  0  log x   log x 4     x 3   x 81 x 4  15.2  27   2x   x 4.2   ĐK: PT(c)  x 2   log (4  15.2  27) log  4.2  3    4 x  15.2 x  27 4.2 x   x x Vậy phương trình vô nghiệm x  x t 2    t  11t  30 0   t    t    Bài Giải các phương trình sau : log x  2log x log a c  2x b 16 log 27 x x  3log x x 0  x log x log   72  1 GIẢI 0  x 1  log x  2log x log x  dk :   *  x  a t log x t log x t log x    1  log x 1  x 2  1  t 1  t   t 2  t  t 1  t PT(a) Nghiệm : x=2  0x   16 log x  3log x x 0  dk :  27 x  x   3  b t log3 x    t 2t 16  2t   t 0 t log x     t 0   2t  0  t log3 x      2t   2t   t  0    PT(b) Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện c log x  log  x  72 0  x 1   x log3   72   x  1 t 3x  0  x 1    x 2 x t  t  72 0   72  3  3x    x 2  x    Bài Cho phương trình sau : log 23 x+ √ log 23 x +1− m−1=0 1) Giải PT m=2 2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; ❑√3 ] GIẢI a Khi m=2 phương trình trở thành : log 32 x  log 32 x   0   x 3  Đã giải bài 3-b ( Phương trình có nghiệm là :  x 3 1 x  3  log3 x 0    log3 x    log  log x  log 3 b Nếu : Cho nên phương trình trở thành : 3   log 32 x   3 3  x 1  x  t  log x   log x t  3  t   1; 2  t   1; 2  t   1; 2  x   1;3       f '(t ) 2t   2  f (t ) t  t  2m t  t  2m  0 Vậy phương trình có nghiệm : f (1) 2m  f (2)  2m 4  m 2 Bài Giải các phương trình sau : a log x  log x  b 11 log x  log x  log x  c d log x 64  log x2 16 3 5log x x  log x3  8log x2 x 2 x GIẢI log x  log x   t log x    t     t t log x   2t  5t  0   log x    x    x 4  log x 2 a Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện :  x 1  x 1 log x 64  log x 16 3  dk :    x  ; 1 * 0  x 1 b t log x    1  t  2t 3 PT(b) t log x t log x    3t  5t  0 6t    t  3t   t   x  11  log x  log x  log8 x   t log x   1 11 t  t  t   c 5log x x  log x  8log x2 x 2 d  x   t log x  11 11  t 6   log x     log x 2   x 3   x 4 t log x  log x 3  x 8  t 3 x x  x   1; 1  x 9  ĐK: 9 x 1 0  x 9    *  x  t log9 x   t  2t  t  5 t     t    2t 2    Bài 10 Giải các phương trình sau : t log x   8t  6t  0   log x     log x   x    x 3 a c GIẢI log x  log 3x  log 27 x  log x  log x  0 11 log x  log x  log 27 x  b d log x  4log x  0  x  x    log x  log9 3x  log 27 x   t log3 x  t log3 x  log x t   x  3  1 5t 1 t    t   t  3  a b log x  log x  log 27 c  x   11 x   t log3 x   1 11 t  t  t    x   t log x  11 11  t 6 log x t  x 33 27  t 3 log x  log x  0  x 0 t log x    t  log x    t    log x 52 25  x 225 2  t 5  t  4t  0   0  x 1 0  x 1 log x t     2 log x  4log x  0  t log x  t log x  1 log x  t  1     4.t  0 4t  9t  0  1t  d Bài 11 Giải các phương trình sau : a lg x  20lg x  0 c GIẢI x  log3 x   3log3 x 8 3log 3   x 4  x  log x 3.log x  log x 0 b d 81 log  x  1  log x 1 64 1 a x   lg x3  20lg x  0  t lg x  9t  10t  0  b 0  x 1 1  log x 3.log x  log x 0  dk :  x 3   0 log x log x  3 81  x 81   t 1  1 t    lg x 1    lg x    x 10   x  10 t log x t log x t log x   1    log3 x 2  x 9 t  t       t t  8 3log  log3 x   3log3 x x  c Lấy lo ga rít số hai vế , thì phương trình trở thành :  t log x 2 t log3 x t log3 x t log3 x  t log x    3    2   t  3t t 8  6.2  t  3t  0  t   t  t  0  t log x 2        x 0  log  x  1  log x 1 64 1  t log  x  1   t   0  t d  log  x  1    log x       2  x  2     x  2 8  t log  x  1 2 t  t  0   x    x 7 III PHƯƠNG PHÁP –PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ : Giải phương trình sau : a log x  log x 2  log x.log x b log a x  log x log a x.log x GIẢI   x 3   x 9 a log x  2log x 2  log x.log x   log x  log x.log x    2log x   0  log x 1  log x   log x    log x  1 0    log x   log x   0    log x   log a x  log x log a x.log x  log x.log a  log x log a x.log x  x 1  log x 0  log x  log a   log a x  0     log a 1  log a x log a   x a b Ví dụ : Giải các phương trình sau : a b GIẢI a log x log x log x      log x   log   log 20  0  log x 0  x 1 log log log 20    log   log 20   log  log 20 0 2 Vì :  log x  b - Bằng cách đổi số , chuyển các hàm số logarit có phương trình cùng số x  x  x  x  1  x  x   t  t - Do : - Do , phương trình viết lại sau :     log x        x 1 log 4.log x  x    t x  x   x  x    t    log t 1 log t.log5 4.log t  0 log 20    log x  x2 1  log 20 t  x  x      log t  log t.log  log 20  0   x 7  x 4   log t 0  log t 0    log log  log t  log  20  log t   20  log log 20   x     x     x     x   t 1   log 20  t 4 x  1  x 0 x   1  x 0 t     log 20 log 20  log 20  x   4 log20 x     log 20  x  4  x  4log 20 IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ : Bài Giải các phương trình sau : a c log3  1 x  log 2 5 x  x b  x   log 2 x 2 log   x  x log x  x  3 GIẢI a 9log3  1 x  5 x    9log3  1 x  32log3  1 x   3log3  1 x  Vì : Cho nên phương trình trở thành :    x   x   10     x  5 x   x  x  0    x   10 Vậy nghiệm là : x= 10  log x  x log x 2  b Đặt :  Điều kiện : x>0 t   Phương trình trở thành : t log x  x 4t ; x 2t ; x    log 2t  t  2   t  2t  t  2  t   t 6t  4t  2  2t 6t t t t t    t  2 1  2  2  f (t )        ln       0  f '(t )   ln    ln  3  3  3    3   Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến , theo tình chất ngịch biến và f(2)=0 - Khi x>2 thì f(x)<f(2) =0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 thì f(x)> f(2) =0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm : x=2 log c 2 x  x   log 2 t log  x2  x    2 x  x  3     log 2  x  x  3 t   x2  2x    t    x2  2x         t   t    1  t 2  t t  2    f (t )     2   2    t    0   t  2   2      1  f '(t )   ln     ln   0  2   2   2   2          Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến , theo tình chất ngịch biến và f(2)=0 - Khi x>2 thì f(x)<f(2) =0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 thì f(x)> f(2) =0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm : x=2 Bài Giải các phương trình sau : a log x log  x 2 x  x  log c  x2  x   log   x  3x  2 x  x    b  2x 1  x  1 d GIẢI a log x log  t t log x  x 7 x 2     t log x   t   x  3    t t  7  1 t  3  f (t )       0  3     t t t  7  7  1  1  f '(t )   ln      ln     3  3     Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến , theo tình chất ngịch biến và f(2)=0 - Khi x>2 thì f(x)<f(2) =0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 thì f(x)> f(2) =0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm : x=2 b  x  x  log 2 x 1  x  1 log  x  1  log  x2  x  1  x  x  log  x  1  log  x  x  1  log  x  1  log  x  x     x  x    log  x  x   2 x   log  x  1  f (t ) log t  t  f '(t )  1  t ln Xét hàm số : Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Do để f(a)=f(b) xảy và : a=b Hay b 3 2 x  x  x  0  x  3x  0    32 x  a=0  x2  x   2 2 log    x  x   log  x  x  3  log  x  x    x  x   2x  4x   c  2x Nhận xét :  x     x  x    x  3x   f (t ) log3 t  t  f '(t )  Cho nên giống bài tập trên , ta xét 1  t ln hàm số đặc trưng : Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Do để f(a)=f(b) xảy và : a=b Hay b x   x  x  0    x  a=0 d t log x   log  x   t t t t t  x 5  5 1 t t   7  f (t )       0  t 7 7  x  7 t  5  5  1  1 f '(t )   ln      ln     7  7  7  7 Ta có : Chứng tỏ hàm số f(t) luôn ngịch biến Mặt khác ta lại có f(1) = Nên ta xét : - Khi x>1 thì f(x)< f(1) =0 Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 thì f(x)>f(1) =0 Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm : x=1 Bài Giải các phương trình sau :  x 1 log 21 x   x  5 log x  0 a c log  x  x  1  log x 2 x  x b log  x  1   x   log  x  1  x  0 2 GIẢI a  x    x 1 log x   x  5 log x  0  t log x 2   x  1 t   x  5 t  0  t log x    t      t  x 1  log x   log x 4  x 24 16 - Khi t=-4 thì : - Khi : log x t  f '( x)  Suy : 6  log x   f ( x) log x  0 x 1 x 1 x 1   0x  x ln  x  1 Chứng tỏ hàm số f(x) luôn đồng biến Do đó phương trình còn nghiệm x0 ( nó là ) Vậy phương trình có hai nghiệm là : x=16 và x= x0 log  x  x  1  log x 2 x  x b Thêm -1 vào hai vế phương trình :  log3  x  x  1  log x  2 x  x   log  x  x 1  log 3x 2 x  x  2 Nếu đặt : a  x  x  1; b 3 x  b  a 2 x  x  Khi đó phương trình có dạng :  log3 a  log3 b b  a  log3 a  a log3 b  b  f (a)  f (b) f (t ) log3 t  t  f '(t )  1   t  R t ln Xét hàm số Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Vậy để f(a)=f(b) xảy và a=b , hay b2 a=0 :  x  x  0  x  x  0  x 1 Tóm lại : phương trình có nghiệm là : x=1 c log 32  x  1   x  5 log  x  1  x  0 t log  x  1 t log  x  1  log3  x  1 2  x 8  2   t 2    log3  x  1 3  x t   x   t  x  0  f ( x) log  x  1  x  0  t 3  x  1   x   x ln Ta có : Chứng tỏ hàm số f(x) luôn đồng biến trên miền x>-1 Mặt khác ta lại có f(2)=0 Cho nên : - Khi x>2 , tính chất đồng biến nên f(x)>f(2)=0 Do đó phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , tính chất đồng biến nên f(x)<f(2)=0 Do đó phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm : x=2 Tóm lại phương trình đã cho có hai nghiệm là : x=8 và x=2 f '( x)  log x  xlog Bài 4: Giải phương trình: x  25 (1) Giải: t Đặt t log x  x 2 t 2 Khi đó phương trình có dạng:    3t  2t   t log  4t  3t 5t t  4  3      1 t Chia vế cho 0 ta được:     (2) Nhận xét rằng: + Vế trái phương trình là hàm nghịch biến + Vế phải phương trình là hàm + Do phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là 2  4  3      1 + Nhận xét t=2 là nghiệm phương trình (2) vì     Với t 2  log x 2  x 4 Vậy x=4 là nghiệm phương trình Bài : Giải phương trình: log  1 x  3x       5   x  x2  2 (1) Giải:  x 1 x  x  0    x 2 Điều kiện 2 2 Đặt u  x  3x  2; u 0  x  3x  u  3x  x  1  u 1 u 1 log3  u      5 Khi đó (1) có dạng:  1 f  u  log  u       5 Xét hàm số D  0;   2 1 u (2) log  u    5u Miền xác định f  u  1  2u.5u ln  0, u  D  u   ln Đạo hàm: Suy hàm số đồng biến trên D f  1 log     2 Mặt khác Khi đó (2)  f  u   f  1  u 1  Vậy phương trình có nghiệm x x  3x  1  x  3 3 V PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ  Để làm bài toán dạng chứa tham số , đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức nghiệm bất phương trình bậc thỏa mãn điều kiện cho sẵn  Chú ý đến phương pháp biện luận nghiệm đồ thị “ Hàm số “ đã học BÀI TẬP MINH HỌA log  x  3 log  ax  Bài Cho phương trình : Với a là tham số Tìm a để phương trình có nghiệm Giải Điều kiện : x>-3  x    x   log  x  3 log  ax     2  x  3 ax  x    a  x  0 (1) Để phương trình có nghiệm thì xảy khả : 1/ Phương trình có nghiệm kép lớn -3 ĐS: a<0 a=12    a   36 0    b a  3  x0  2a  a  12a 0  a 12  a  2/ Phương trình có nghiệm thỏa mãn : x1    x2  a  12    a 0  f ( 3) 3a  Vậy : Để phương trình có nghiệm thì a<0 a=12 Bài Tìm a để phương trình sau có nghiệm : log  x  4ax   log 0 x  2a  Giải Điều kiện : 2x-2a-1>0  x a  *  x  a  log  x  4ax  log x  2a     x   2a  1 x  2a  0  PT trở thành : Như bài ta có trường hợp : 1/ Phương trình có nghiệm kép lớn -3  '  2a  1  2a  0 4a  6a 0     a 0 b 1 1  2a  a   x0  a   2a  2/ Phương trình có nghiệm thỏa mãn : x1    x2  a   a   1   a  10   a    10 1  a 10 Vậy phương trình có nghiệm : a=0   ' 4a  6a     1 f ( a  )  a  a     Bài Hãy tìm k để các phưng trình sau có nghiệm : log  kx  2 log  x  1     a./ b/ Học sinh tự giải ( Cách giải giống bài tập trên ) log x  2kx  log x  6k  0   a.k 1   k  32   b k   k 4 Đáp số : Bài Tìm các giá trị a cho phương trình sau có đúng nghiệm : 4 x a log x 2  x  3  2 x 2 x.log  x  a   0 Giải Phương trình biến đổi thành : 2  x a  2x 2  x a .2.2 log  x  x   2 x log  x  x   2  x 3 x  a 2 Xét hàm số đặc trưng : y=f(t)= .2.log  x  x  3 2 x 2 x .log3  x  a   2 x .2 log  x  a   log  x  a   Như phương trình có dạng : f (a )  f (b) 2t  log t  f '(t ) 2t ln   0t  t ln x  x   x   2; x  a  2   ( Vì : ) Do đó hàm số f(t) luôn đồng biến , cho nên để có f(a) = f(b) xảy a=b   x  x   2a 0  A    x a  x  x  2 x  a    xa    B   x 2a  Phương trình có đúng nghiệm thì : Hoặc hệ (A) có nghiệm còn hệ (B) có nghiệm phân biệt Hoặc hệ (A) có nghiệm phân biệt còn hệ (B) có đúng nghiệm Nghĩa là :  ' 3  2a 0   a    x0 2 a   2   a  2a    x 2a   a Hoặc :  ' 3  2a    f (a )  a  1 0   S   a   a   2  2a   a  2a   a   a  2   a  1   a   a 1   a    a   1  a  2 a 1 a  ; a 1 Do đó : đáp số : lg  mx  2 lg  x  1 Bài a Tìm m để phương trình : , có hai nghiệm dương ? b.Tìm a để phương trình sau có nghiệm : log 2  x  m  1  log2   mx  x  0 Giải a/ Điều kiện : mx    x 1    x  10  mx   x    x 9  (1) trở thành : log  mx  log  x  1   x  1 mx  x    m  x  0    * m    x1  x2 9 Để phương trình có nghiệm dương thỏa mãn điều kiện (*) thì   m  m   m   m    m  4m  100    m   m  4; m   f (0) 1  S m   100   m  0  2  f (9) 100  9m 0 Do đó điều kiện :  x  m   x    m  x   m 0 b/ Phương trình tương đương với hệ :  Phương trình có nghiệm thì hệ phương trình có nghiệm Do giống bài tập (1) và (2) ta có trường hợp :     m     m  0   1  m 0   m 4 m   m  x0  m        1  m    m      m     m      1  m   f  m  1 1  m   1 m  m    m   m   m   1  m  m     1  m Bài Tìm a>1 để bất phương trình sau nghiệm đúng với x thuộc khoảng (0;2) log  x  a  1 1 log  a  a   log x Giải  a  a  2; x   log  a  a   log x  Với giả thiết cho : a>1 Cho nên bất phương trình trở a 1  x  2  log  x  a  1  log  a  a   log x   2 x   a  1 x   a  a    thành : (*) Để bất phương trình thỏa mãn thì  9a  10a  không thể âm ( vì tập nghiệm (*) là rỗng ) Vì  9a  10a    a    a   Do đó thỏa mãn yêu cầu bài toán thì :  a 1  f ( )  a  a   a 1  1  x1  x2    f (2)  a  3a     a 1 a 1   2  a  a   a  3a    a     a     33   33 a   2  a  