SKKN hướng dẫn học trường lớp 11 trường THPT thường xuân 2 giải bài tập khoảng cách trong hình học 11

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Khoảng cách phần kiến thức mơn hình học 11, phần kiến thức thường gặp kiểm tra cuối năm, thi tốt nghiệp THPT tiền đề để hình thành kiến thức khoảng cách mơn hình học 12, nhiên thời lượng lý thuyết tập sách giáo khoa có 03 tiết học Để cho học sinh hiểu rõ phần luyện kỹ tìm khoảng cách hình học khơng gian cần phải hướng dẫn thêm phương pháp làm đưa thêm ví dụ minh hoạ Do tơi biên soạn lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học trường lớp 11 trường THPT Thường Xuân giải tập khoảng cách hình học 11 ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Truyền đạt đến học sinh phương pháp ví dụ phù hợp tính khoảng cách khơng gian theo tinh thần sách giáo khoa hình học 11 ban Qua rèn luyện kĩ tốn học nâng lực tư cho học sinh gặp tập liên qua đến khoảng cách 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu phương trình đường trịn sách giáo khoa lớp 11 hành tính chất của khoảng cách phần trước 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Đưa phương pháp chung để tính khoảng cách ví dụ minh hoạ cho phương pháp đó, hướng dẫn cách giải khác cho ví dụ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm [1]: 2.1.1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho điểm M đường thẳng D Trong mp( M , D ) gọi H hình chiếu vng góc M D Khi khoảng cách MH gọi khoảng cách d ( M , D ) = MH từ điểm M đến D Nhận xét: OH �OM , " M �D 2.1.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng ( a ) điểm M , gọi H hình Cho mặt phẳng ( a ) Khi khoảng chiếu điểm M mặt phẳng cách MH gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt ( a ) d M ,( a ) = MH phẳng ( ) OH �MO, " M �( a ) Nhận xét: 2.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng ( a ) song song với Cho đường thẳng D mặt phẳng Khi khoảng cách từ điểm D ( a ) gọi khoảng cách đường đến mặt phẳng ( a ) d D,( a ) = d M ,( a ) , M �D thẳng D mặt phẳng 2.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( a ) ( b) song song với nhau, Cho hai mặt phẳng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt ( a ) ( b) phẳng d ( a ) ,( b) = d M ,( b) = d N ,( a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , M �( a ) , N �( b) 2.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a,b Độ dài đoạn vng góc chung MN a bđược gọi khoảng cách hai đường thẳng a b 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua năm giảng dạy tơi thấy cịn nhiều học sinh cịn lúng túng làm tập khoảng cách, phần em chưa nắm hiểu kiến thức khoảng cách, phần lại đa số em chưa hiểu phương pháp tính khoảng cách cảm thấy khó học phần nên hay bỏ câu tập khoảng cách trình kiểm tra thi 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Bài tốn 01: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D ta cần xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng D , xem MH đường cao tam giác để tính Điểm H thường dựng theo hai cách sau: mp( M , D ) MH ^ D � d ( M , D ) = MH  Trong vẽ ( a ) qua M vng góc với D H � d ( M , D) = MH  Dựng mặt phẳng Hai công thức sau thường dùng để tính MH 1 = + 2 MA MB  D MAB vuông M có đường cao AH MH MH = 2SMAB AB  MH đường cao D MAB Các ví dụ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh a Tính khoảng từ đỉnh D ' đến đường chéo AC ' Lời giải Gọi H hình chiếu D ' AC ' � C 'D ' ^ D ' A ' � � C 'D ' ^ ( ADD 'A ') � � C ' D ' ^ DD ' Do � � C ' D ' ^ D 'A Vậy tam giác D 'AC ' vng D ' có đường cao D 'H suy 1 1 = + = + = D 'H D 'A D 'C '2 a2 2a2 a ( ) 3 d ( D ', AC ') = a Vậy Ví dụ Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a , ( ABCD) SA = a Gọi I trung điểm cạnh SA vng góc với mặt phẳng cạnh SC M trung điểm đoạn AB Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Lời giải ( ICM ) kẻ IH ^ CM d( I ,CM ) = IH Trong Gọi N = MO �DC , N �CD OH OM D MHO : D MNC � = CN MC Ta có a OM = CN = ,CM = BM + BC 2 Mà � D 'H = a �� a a � = � + a2 = �� � � 2� �� CN OM a OH = = MC ,OI đường trung bình tam giác Suy SA a OI = = 2 SAC nên � OI / / SA � � OI ^ ( ABCD ) � OI ^ OH � � SA ^ ( ABCD ) � � D OHI vuông Ta có � 2 �a � �� a a 30 � � � � � IH = OH +OI = � + = a = � � � � � � � 2� 10 10 �� � 5� O nên a 30 10 Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a , � SC ^ ( ABCD ) góc ABC = 120 , SC = h Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA theo a h Lời giải d ( O, SA) = OH Kẻ OH ^ SA, H �SA � Do ABCD hình thoi cạnh a ABC = 120 nên d ( I ,CM ) = � CO = a ( ) D CBD cạnh a � CA = 2CO = a SA = CS +CA = h2 + a = 3a2 + h2 Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên a h OH OA OA.SC ah = � OH = = = SC SA SA 3a2 + h2 3a2 + h2 d (O, SA) = OH = 3ah 3a2 + h2 Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ^ ( ABCD ) cạnh bên , SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE Lời giải ( SBM ) kẻ SH ^ BM d ( S, BM ) = SH Trong Gọi N = BM �AD , ta có DN MD AD P BC � = = � DN = BC = a BC MC � AN = 2a Trong tam giác vng ABN có 1 = + 2 AH AB AN 1 = 2+ = 2a 2 a a � AH = a ( ) SA ^ ( ABCD ) � SA ^ AH � D ASH vuông A , SH = AH + AS = 3a a + a2 = 5 3a 5 Vậy Bài toán 02: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d ( S, BM ) = SH = ( a ) Phương pháp: Để tính khoảng từ điểm M đến mặt phẳng điều quan trọng ta phải xác định hình chiếu ( a ) Để xác định vị trí hình chiếu ta có điểm M số lưu ý sau: d ^ ( a)  Nếu có MH P d (h1) ( b) chứa điểm M , xác định giao tuyến  Chọn D = ( a ) �( b) ( b) dựng MH ^ D � MH ^ ( a ) Trong (h2) ( a ) có hai điểm A, B cho MA = MB  Nếu ( a ) kẻ đường trung trực d đoạn AB , trong mp( M ,d) MH ^ ( a ) dựng MH ^ d Khi (h3) Thật , Gọi I trung điểm AB Do MA = MB M � MI ^ AB �( a ) nên D MAB cân Lại có AB ^ d � AB ^ mp( M ,d) � AB ^ MH � MH ^ AB � � MH ^ ( a ) � � MH ^ d Vậy � ( a) có điểm A đường thẳng d ( a ) kẻ đường không qua A cho MA ^ d mp( M ,d ') thẳng d ' qua A d ' ^ d , kẻ MH ^ d ' � MH ^ ( a ) ( h4) Thật , d ^ d ' d ^ MA � d ^ mp( M ,d ') � d ^ MH  Nếu Lại có MH ^ d ' � MH ^ mp( d,d ') �( a ) ( a ) có điểm A1, A2, , An ( n �3) mà  Nếu MA1 = MA2 = = MAn đường thẳng MA1, MA2, , MAn tạo với ( a ) góc hình chiếu M ( a ) tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác A1A2 An ( a ) có điểm A1, A2, , An ( n �3) mà mặt phẳng  Nếu ( MA1A2) ,( MA2A3) , ,( MAnA1) hình chiếu M tâm đường trịn nội tiếp đa giác A1A2 An ( a ) ta có  Đơi khi, thay hình chiếu điểm M xuống thể dựng hình chiếu điểm N khác thích hợp d M ,( a ) = d N ,( a ) MN P ( a ) cho Khi (h5)  Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tư hệ thức lượng tam giác vuông) là:  Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đơi vng góc 1 1 = + + OA2 OB OC có đường cao OH OH ( ) ( ) Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , ( ABC ) SA = h , góc hai mặt phẳng ( SBC ) cạnh SA vng góc với ( ABC ) 600 Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) theo a h Lời giải � AI ^ BC � � ( SAI ) ^ BC � � SA ^ BC Gọi I trung điểm BC , ta có � � ( SBC ) Vậy AI S góc hai mặt phẳng ( ABC ) � S = 600 � AI ( SBC ) kẻ AH ^ SI Trong � BC ^ ( SAI ) � � AH ^ BC � � AH � SAI ( ) � Ta có � � AH ^ BC � � AH ^ ( SBC ) � � AH ^ SI Vậy � � d A,( SBC ) = AH ( ) AI = a Tam giác ABC cạnh a nên Trong tam giác AIS ta có 1 1 4h2 + 3a2 = + = + = AH AI AS � � h2 3a2h2 a 3� � ah � � � AH = �2 � � � � � � 4h2 + 3a2 ( ) d A,( SBC ) = ah 4h2 + 3a2 Hay Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến ( SCD ) mặt phẳng Lời giải ( ABCD ) gọi M = AB �CD , ( SAM ) gọi K = AH �SM , Trong kẻ AE ^ SC E gọi N trung điểm AD Dễ thấy ABCN hình vng nên NC = AB = a Do NA = NC = ND = a � D ACD vuông C � CD ^ AC , lại có CD ^ SA � CD ^ ( SAC ) � ( SAC ) ^ ( SCD ) Vậy � ( SAC ) ^ ( SCD ) � � � � ( SAC ) �( SCD ) = SC � AE ^ SCD � � ( ) () � AE �( SAC ) � � � AE ^ SC � � ( AK E ) kẻ HF P AE , F �K E , từ (1) suy HF ^ ( SCD) Trong � d H ,( SCD ) = HF MB BC a BC P AD � = = = � MA = 2AB = 2a � B MA AD 2a Do trung điểm MA BH BH BS BA a2 = = = = 2 2 BS BS AB + AS a2 + a Lại có Vậy H trọng tâm tam giác SAM , HF KH 1 = = � HF = AE AE KA 3 Tứ diện ADMS có ba cạnh AD, AM , AS đơi vng góc ( ) ( ) 1 1 = + + AE ^ ( SMD ) AD AM AS nên AE 1 1 = 2+ 2+ 2= 4a 4a 2a a � AE = a a � d H ,( SCD ) = HF = AE = 3 Vậy ( ) Nhận xét: Từ ta thấy đường thẳng AB d A,( a ) IA = IB d B,( a ) a) ( I cắt ( ( ) ) Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có ba kích thức AB = a, AD = b, AA ' = c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( DA 'C ') Lời giải Gọi I tâm hình bình hành ADD 'A ' I trung điểm AD ' d A,( DA 'C ') IA = =1 ID ' d D ',( DA 'C ') Ta có � d A,( DA 'C ') = d D ',( DA 'C ') Mặt khác ta có tứ diện D 'ADC ' có cạnh D 'D, D 'A ', D 'C ' đơi vng góc nên 1 1 = + + D 'D D 'A '2 D 'C '2 d2 D ',( DA 'C ') ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + = a2 b2 c2 a2b2c2 abc d A,( DA 'C ') = = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + a2 b2 c2 Vây Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có tất mặt hình thoi � � � cạnh a , góc BAA ' = BAD = DAA ' = 60 Tính khoảng cách từ A ' đến ( ABCD) Lời giải Do ABCD.A 'B 'C 'D ' có tất mặt hình thoi cạnh a � ' = BAD � = DAA � ' = 600 BAA nên tam giác ABA ', ABD, ADA ' tam giác đếu cạnh a � A 'A = A 'B = A 'D ( A ' cách đếu ba đỉnh D ABD ) = ( ) ( ABCD ) Gọi H hình chiếu A ' tam giác vuông A 'HA, A 'HB, A 'HD nên HA = HB = HD suy H tâm đường tròn ngoại tiếp D ABD Gọi O giao điểm AC BD , ta có 2 a a AH = AO = = 3 � a 3� � � 2 � A 'H = AA ' - AH = a - � � =a � � � � �3 � ( ) d A ',( ABCD ) = A 'H = a Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , tam giác SAD có cạnh 2a , BC = 3a mặt bên tạo với đáy ( ABCD) góc Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng Lời giải Gọi I hình chiếu vng góc S ( ABCD) , Gọi I 1, I 2, I 3, I hình chiếu I cạnh AB, BC ,CD, DA góc I�I i S ( i = 1,4) góc mặt bên mặt đáy chúng nhau,suy tam giác vuông SII 1, SII 2, SI I 3, SII nên II = II = II = II � I tâm đường trịn nội tiếp hình thang ABCD Vì tứ giác ABCD ngoại tiếp nên AB + DC = AD + BC = 5a 1 S = ( AB + DC ) AD = 5a.2a = 5a2 2 Diện tích hình thang ABCD Gọi p nửa chu vi r bán kính đường trịn nội tiếp hình thang AB + DC + AD + BC 10a p= = = 5a 2 ABCD S 5a2 S = pr � r = = = a � II = r = a p 5a Tam giác SAD có cạnh 2a nên 10 2a = a � SI = SI 42 - I I 42 = 3a2 - a2 = a 2 Vậy d S,( ABCD ) = SI = a Bài toán 03: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau:  Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi d ( a,b) = MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng : Nếu a ^ b ta dựng đoạnvng góc chung a b sau ( a ) chứa b vng góc với a - Dựng mặt phẳng O = a �( a ) - Tìm giao điểm - Dựng OH ^ b Đoạn OH đoạn vng góc chung a b Nếu a,b khơng vng góc với dựng đoạn vng góc chung a b theo hai cách sau: Cách ( a ) chứa b song song với a - Dựng mặt phẳng - Dựng hình chiếu A ' điểm A �a ( a) ( a ) dựng đường thẳng a ' qua A ' - Trong song song với a cắt b M , từ M dựng đường thẳng song song với AA ' cắt a N Đoạn MN đoạn vng góc chung a b Cách ( a ) vng góc với a - Dựng mặt phẳng O = a �( a ) - Tìm giao điểm ( a) - Dựng hình chiếu b' b ( a ) dựng OH ^ b' H - Trong - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A - Đoạn AB đoạn vng góc chung a b SI = ( ) 11  Xem khoảng cách hai đường thẳng a,b chéo khoảng cách từ điểm A �a đến ( a ) chứa b ( a ) Pa mặt phẳng  Sử dụng ( ) ( ) d ( a,b) = d ( a ) ,( b) = d A,( b) , A �( a )  Sử dụng phương pháp vec tơ a) MN đoạn vng góc chung AB uuur uuur � AM = xAB � � uuur uuu r � � CN = yCD � � �uuur uuur � MN AB = � � uuur uuu r � � MN CD =0 � CD � ( a ) có hai vec tơ không b) Nếu ur ur u ,u phương uuur ur � OH ^ u1 � � uuur ur � OH = d O,( a ) � � OH � ^ u2 � � � H �( a ) � � uuur ur � OH u1 = � � uuur ur � � �� OH u2 = � � � H �( a ) � � Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh ( ABCD ) SA = a Tính khoảng cách bên SA vng góc với mặt phẳng đáy hai đường thẳng a) SB AD b) BD SC Lời giải ( ) 12 a) Kẻ đường cao AH tam giác SAB Ta có � AD ^ AB � � AD ^ ( SAB ) � AD ^ AH � � AD ^ SA � Vậ y AH đoạn vng góc chung SB AD d ( AD, SB ) = AH , nên Tam giác SAB vng cân A có đường cao a AH = SB = 2 AH nên Vậy d ( AD, SB ) = AH a = � BD ^ AC � � BD ^ ( SAC ) � � BD ^ SA b) Ta có � Gọi O tâm hình vuông ABCD kẻ OK ^ SC , K �SC OK đoạn vng góc chung BD SC d ( BD, SC ) = OK = AI ( I trung điểm SC ) Vậy 1 1 a = + = + = � AK = AS AC a2 2a2 2a2 Ta có AK a d ( BD, SC ) = Vậy Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD ' BD Lời giải Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung � BD P B 'D ' � � � AD ' �( AB 'D ') ( AB 'D ') mặt � Do � nên phẳng chứa AD ' song song với BD Gọi O tâm hình vng ABCD Ta dựng hình chiếu điểm O ( AB 'D ') 13 � B 'D ' ^ A 'C ' � � B 'D ' ^ (CC 'A ') � B 'D ' ^ A 'C ( 1) � � B 'D ' ^ CC ' � Do A 'C ^ AD ' ( 2) Tương tự ( 1) ,( 2) suy A 'C ^ ( AB 'D ') Gọi G = A 'C �( AB 'D ') Từ Do D AB 'D ' A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G trọng tâm tam giác AB 'D ' Vậy Gọi I tâm hình vng A 'B 'C 'D ' AI trung tuyến tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng ( ACC 'A ') dựng OH PCA ' cắt AI H H hình chiếu Trong O �BD ( AB 'D ') Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc d ( AD ', BD ) = MN chung AD ' BD MNOH MN = OH Dễ thấy hình chữ nhật nên Do OH đường trung ACG � OH = CG bình tam giác Mặt khác GC AC 2 3a = = � CG = 2GA ' � CG = CA ' = a = GA ' A 'I 3 3a a � OH = = 3 a 3 Vậy Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung d ( AD ', BD ) = MN = OH = ( DCB 'A ') vng góc với AD ' Chon trung điểm O AD ' Gọi I tâm hình vng BCC 'B ' BI ^ CB ' BI ^ CD nên BI ^ ( DCB 'A ') từ DI ( DCB 'A ') hình chiếu DB lên ( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ H Trong dựng đường thẳng song song với AD ' cắt BD M , từ M dựng đường thẳng song 14 song với OH cắt OA N MN đoạn vng góc chung của AD ' BD d ( AD ', BD ) = MN Ta có OHMN hình chữ nhật nên MN = OH , mạt khác OH đường cao tam giác vuông ODI nên 1 a = + = � OH = OH OD OI a2 a d ( AD ', BD ) = MN = OH = Vậy Cách Giả sử MN đoạn vng góc chung AD ' BD với M �AD ', N �BD Từ M kẻ MP ^ AD , từ N kẻ NQ ^ AD BD ^ ( MNP ) � BD ^ NP AD ' ^ ( MNQ ) � AD ' ^ MQ Dễ thấy ; Hai tam giác AMQ DNP vuông cân nên a QD = QN = QP = MP = PA = DP 2a a PN = = = 2 Lại có 2 � �� a a 2� a2 a � � 2 � � � MN = PM + PN = � � +� = � MN = � � � � � 3� � � �� �3 � Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường 15 � AD ' �( AB 'D ') � � � BD �( BDC ') � � � � ( AB 'D ') P ( BDC ') � Dễ thấy � � d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ') ( ) Gọi I ,J giao điểm A 'C với ( AB 'D ') ,( BDC ') mặt phẳng Theo chứng minh cách I ,J trọng tâm tam ( BDC ') Mạt khác dễ dạng chứng minh giác AB 'D ' A 'C ^ ( AB ' D ') , A 'C ^ ( BDC ') a d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') , ( BDC ') = IJ = A 'C = 3 suy Cách Sử dụng phương pháp vec tơ Gọi MN đoạn vuông góc chung AD ' BD với M �AD ', N �BD uuur r uuur r uuur r r r r r r rr r r AB = x, AD = y, AA ' = z � x = y = z = a, xy = yz = zx = Đặt uuuu r r r uuur uuuu r r r uuur r r uuur r r AD ' = y + z � AM = kAD ' = k y + z , DB = x - y � DN = m x - y ( ) ( ) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r MN = AN - AM = AD + DN - AM = mx + ( 1- k - m) y - kz Ta có uuur uuur uuur uuur r r r r r MN ^ DB � MN DB = � mx + ( 1- k - m) y + kz x - y = Vì � 2m + k - = uuur uuuu r Tương tự MN AD ' = � 1- m - 2k = 0, từ ta có hệ � 2m + k = 1 � � m=k = � � m + 2k = � uuur r r r uuur r r r 2� a 1� � MN = x + y - z � MN = MN = x +y +z � = � � � � 3 9� � Vậy Ví dụ Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC = a Gọi M , N trung điểm AB SA Dựng đường vuông góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng SM CN Lời giải ( )( ) 16 Cách Dựng đoạn vng góc chung I K hai đường thẳng SM CN ( theo cách 1) tính IK Gọi E trung điểm AM , ta có � NE �(CNE ) � � SM P ( CNE ) � � SM P NE � � , (CNE ) mặt phẳng chứa CN song song với SM ( SAB ) , kẻ SF ^ NE Trong � NE ^ SF � � NE ^ ( CSF ) � ( CSF ) ^ (CNE ) � � NE ^ CS (CSF ) kẻ � Trong SH ^ CF � SH ^ (CNE ) (CNE ) , từ H hình chiếu S H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN K , từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt SM I I K đoạn vng góc chung SN CN 1 a a = + = SF = AM = � SH = 2 2 SF SC a , SH Ta có a d ( SM ,CN ) = IK = SH = Vậy Cách Dựng đoạn vng góc chung I K hai đường thẳng SM CN ( theo cách 2) tính IK Gọi P ,Q trung điểm SB vàCN , E giao điểm NP SM NQ PCS,CS ^ ( SAB ) Khi � NQ ^ ( SAB ) � NQ ^ SM SM ^ NP � SM ^ ( NPQ ) Lại có E , dựng hình bình hành CSEH � CH P SE , mà SE ^ ( NPQ ) � CH ^ ( NPQ ) , NH hình chiếu NC ( NPQ ) Kẻ EF ^ NH F , từ F kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN I , từ I kẻ đường thẳng song 17 song với EF cắt SM K I K đoạn vng góc chung CN SM Tam giác EHN vng E có đường cao EF 1 1 1 � = + = + = + = 2 EF EH EN CS � a2 a2 � a AB � � � � � � �4 � � a a � EF = d ( CN , SM ) = IK = EF = Vậy Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi EF đoạn vng góc chung SM CN uur r uur r uuu r r r r r rr rr rr SA = a,SB = b, SC = c � a = b = c = a Đặt ab = bc = ca = EF đoạn vng góc chung SM CN uur uuur � SE = xSM � � E �SM � � uuu r uuur � � � � F �CN CF = yCN � � r uuur �� �� � �uuu � � EF ^ SM EF SM = � � � � uuur uuur � � EF ^ CN � � EF CN = � � � uuu r uur uuu r uuu r u.uu r uuu r uur r uuur uuur Ta có EF = ES + SC +CF = SC +CF - SE = c + yCN - xSM r x r r r r r � r r� � � =ca +b + y� a c = y x a xb + y c � ( ) ( ) � � � 2 � � � uuu r uuur � � x= � EF SM = � - 2x + y = � � � � u u u r u u u r �� �� � � � � x + y = EF CN = � � � y= � � � � Ta có Vậy đường vng góc chung SM CN đường thẳng EF uur uuur uuu r uuur SE = SM ,CF = CN 9 với uuu r r 2r 1r r r2 r2 a EF = a - b + c � EF = a + b + c = 9 81 81 81 Lúc a d (CN , SM ) = EF = Vậy Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD ' BD ( ) 18 Lời giải Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 1) tính độ dài đoạn vng góc chung � BD P B 'D ' � � � AD ' �( AB 'D ') ( AB 'D ') mặt � Do � nên phẳng chứa AD ' song song với BD Gọi O tâm hình vng ABCD Ta dựng hình chiếu điểm O ( AB 'D ') � B 'D ' ^ A 'C ' � � B 'D ' ^ ( CC 'A ') � B 'D ' ^ A 'C ( 1) � � B ' D ' ^ CC ' Do � A 'C ^ AD ' ( 2) Tương tự ( 1) ,( 2) suy A 'C ^ ( AB 'D ') Gọi G = A 'C �( AB 'D ') Từ Do D AB 'D ' A 'A = A 'B ' = A 'D ' nên G trọng tâm tam giác AB 'D ' Vậy Gọi I tâm hình vng A 'B 'C 'D ' AI trung tuyến tam giác AB 'D ' nên A,G, I thẳng hàng ( ACC 'A ') dựng OH PCA ' cắt AI H H hình chiếu Trong O �BD ( AB 'D ') Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD ' M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc d ( AD ', BD ) = MN chung AD ' BD Dễ thấy MNOH hình chữ nhật nên MN = OH Do OH đường trung ACG � OH = CG bình tam giác Mặt khác GC AC 2 3a = = � CG = 2GA ' � CG = CA ' = a = GA ' A 'I 3 3a a � OH = = 3 Vậy d ( AD ', BD ) = MN = OH = a 3 19 Cách Dựng đường vng góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vng góc chung ( DCB 'A ') vng góc với AD ' trung Chon điểm O AD ' Gọi I tâm hình vng BCC 'B ' BI ^ CB ' BI ^ CD BI ^ ( DCB 'A ') nên từ DI hình chiếu ( DCB 'A ') DB lên ( DCB 'A ') kẻ OH ^ DI , từ H dựng Trong đường thẳng song song với AD ' cắt BD M , từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt OA N MN đoạn vng góc chung d ( AD ', BD ) = MN AD ' BD OHMN MN = OH Ta có hình chữ nhật nên , mạt khác OH đường cao tam giác vuông ODI nên 1 1 a = + = + = � OH = OH OD OI � � a2 a2 a � � � � �2 � � � � � � a 3 Vậy Cách Giả sử MN đoạn vng góc chung AD ' BD với M �AD ', N �BD Từ M kẻ MP ^ AD , từ N kẻ NQ ^ AD d ( AD ', BD ) = MN = OH = BD ^ ( MNP ) � BD ^ NP Dễ thấy ; AD ' ^ ( MNQ ) � AD ' ^ MQ Hai tam giác AMQ DNP vuông cân nên QD = QN = QP = MP = PA = DP 2a a a PN = = = 2 3 Lại có 2 � �� a a 2� a2 a � � 2 � � � MN = PM + PN = � � +� = � MN = � � � � � 3� � � �� �3 � Từ Cách Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường 20 � AD ' �( AB 'D ') � � � BD �( BDC ') � � � � ( AB 'D ') P ( BDC ') � Dễ thấy � � d ( AD ', BD ) = d ( AB 'D ') ,( BDC ') ( ) Gọi I ,J giao điểm A 'C với ( AB 'D ') ,( BDC ') mặt phẳng Theo chứng minh cách I ,J trọng tâm tam  Mặt khác dễ dạng chứng minh giác AB 'D '  A 'C   AB'D' ,A 'C   BDC' BDC' a d  AD',BD   d  AB'D' , BDC'  IJ  A 'C  3 suy   Cách Sử dụng phương pháp véc tơ Gọi MN đoạn vng góc chung AD' BD với M �AD',N �BD uuur r uuur u r uuuur r r u r r ru r u rr rr AB  x,AD  y,AA '  z � x  y  z  a,xy  yz  zx  Đặt uuuur u r r uuuur uuuur u r r uuur r u r uuuu r r u r AD'  y  z � AM  kAD'  k y  z ,DB  x  y � DN  m x  y uuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur r u r r MN  AN  AM  AD  DN  AM  mx   1 k  m y  kz Ta có uuuur uuur uuuur uuur r u r r r u r MN  DB � MN.DB  � mx   1 k  m y  kz x  y   Vì       � 2m  k  1 uuuur uuuur MN.A D'  � 1 m  2k  , từ ta có hệ Tương tự � 2m  k  1 � m k  � m  2k  � uuuur r u r 1r uuuur r2 r 1�r u a MN  x  y  z � MN  MN  x  y z � � � 3 9� � Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục: Năm học 2020-2021 dạy lớp 11B6 11B7 hai lớp có học lực tương đương theo đánh giá kỳ Do điều kiện thời gian lớp 11B6 không ôn tập nội dung sáng kiến này, cịn lớp 11B7 ơn tập đầy đủ dạng tập sáng kiến kinh nghiệm Kết kiểm tra 45’ 21 sau thời gian học ôn tập “Khoảng cách” kết học sinh lớp 11B7 làm tốt lớp 11B6 Cụ thể sau: Sĩ số Số hs Số hs Số hs Điểm trung Điểm thấp Điểm điểm điểm khá, bình trung cao Lớp yếu trung giỏi lớp 11B6 bình 37 Lớp 11B7 Sĩ số Số hs điểm yếu 40 27 5,9 Số hs điểm trung bình Số hs khá, giỏi Điểm trung bình trung lớp Điểm thấp Điểm cao 26 12 6,8 10 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường: có tài liệu tham khảo giảng dạy “Khoảng cách” chương trình hình học lớp 11 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chủ đề này, thấy em học sinh tự tin đứng trước tốn tính khoảng cách không gian kết làm tập phần có nhiều tiến Với thời lượng hạn chế khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chưa đưa thêm tập cho học sinh rèn luyện thêm nên mong góp ý thầy giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh học “Khoảng cách” lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo 4.Tài liệu tham khảo Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoàn, Trần Đức Huyên cộng (2006) Hình học 11, nhà xuất giáo dục, 3, 115-118 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân T T Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại 22 Hướng dẫn học sinh tìm tịi phát triển toán Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES Ngành GD C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Ngành GD C 2015-2016 Ngành GD C 2019-2020 giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Phân loại phương pháp giải tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân Xác nhận Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 18 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Đỗ Văn Hào 23 ... + D 'D D 'A '2 D 'C '2 d2 D ',( DA 'C ') ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + = a2 b2 c2 a2b2c2 abc d A,( DA 'C ') = = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 + + a2 b2 c2 Vây Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A... gian lớp 11B6 không ôn tập nội dung sáng kiến này, lớp 11B7 ôn tập đầy đủ dạng tập sáng kiến kinh nghiệm Kết kiểm tra 45’ 21 sau thời gian học ôn tập ? ?Khoảng cách? ?? kết học sinh lớp 11B7 làm tốt lớp. .. học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES Ngành GD C 20 06 -20 07 Ngành GD C 20 12- 2013 Ngành GD C 20 15 -20 16 Ngành GD C 20 19 -20 20 giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường