SKKN hướng dẫn học sinh nhận dạng và giải bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ GIẢI BÀI TỐN TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM ẨN Người thực hiện: Chức vụ: Lê Diễm Hương Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HÓA NĂM 2021 MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2.1 Nội dung Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận Thực trạng đề tài Giải pháp thực Hệ thống kiến thức liên quan Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x y f�  x Trang 3 4 4 5 6 2.3.2.2 biết đồ thị bảng biến thiên hàm số Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số 2.3.2.3   số Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số 13 g  x  f � u  x � � �khi biết đồ thị bảng biến thiên hàm y  f �x 2.3.2.4 g  x  f � u  x � � � v  x  biết đồ thị bảng biến thiên y f�  x hàm số Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn liên quan đến tham số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số 19 y f�  x 2.3.2.5 2.4 Bài tập tương tự Kết nghiên cứu Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo 21 23 24 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển toàn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Tính đơn điệu hàm số nội dung thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp THPT Đặc biệt năm gần đây, tính đơn điệu hàm số có nội dung hay, khó thường liên quan đến đồ thị hàm ẩn biết đồ thị bảng xét dấu đạo hàm Với lượng kiến thức rộng cần tư nhiều từ học sinh nên tính đơn điệu hàm số phần kiến thức quan trọng học sinh thi tốt nghiệp THPT Trong năm trước đây, tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số liên quan đến hàm ẩn gặp chí khơng có sách giáo khoa đề thi THPTQG Năm 2017, GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn tốn hàm số liên quan đến hàm hợp coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia toán tìm khoảng đơn điệu cùa hàm số cốt lõi để từ học sinh giải quết toán liên quan đến cực trị, max,min,… hàm ẩn Sự đổi đoán làm thay đổi tồn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm u cầu đặt với học sinh khơng cịn đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng toán Trong đề thi thức thử nghiệm Bộ, tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số toán liên quan đến hàm ẩn thường nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy cô giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y f� ( x) , học sinh không nắm kiến thức dễ sai lầm sang hàm số y  f ( x) ; yếu tố thứ hai sử dụng tư tính đạo hàm hàm hợp, tư xét dấu, tư đồ thị hàm số, tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn địi hỏi biến đổi phức tạp không phụ thuộc biến số dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính tốn cho học sinh Đây toán mới, áp dụng vào thi cử chưa nhiều, thị trường sách tài liệu tham khảo cịn ít, cịn hạn chế chưa đầu tư kĩ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học ln nhu cầu cấp thiết cho thầy cô học sinh 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt   liên quan đến hàm ẩn đồ thị tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số ( x) Từ giúp học sinh dễ dàng giải bảng biến thiên hàm số y  f � tốn tương tự liên quan tìm cực trị, GTLN,NN hàm số liên quan đến đồ thị ( x) bảng biến thiên hàm số y  f � 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nội dung tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn xuất chương trình ơn thi tốt nghiệp mơn Tốn THPT y f x - Một số tập vận dụng vận dụng cao đề thi học chọn học sinh giỏi tỉnh đề thi tốt nghiệp THPT minh họa năm gần Bộ GD & ĐT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi học sinh giỏi tỉnh khu vực, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức Tốn phổ thơng nói chung, đặc biệt xâu chuỗi nội dung, tạo mối liên hệ mật thiết mặt kiến thức việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học môn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Khi gặp toán hàm số liên quan đến hàm ẩn biết đồ thị bảng xét dấu đạo hàm có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với toán hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khuôn khổ kiến thức chương hay kiến thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương hàm số, phép biến đổi đồ thị biết kiến thức đạo hàm hàm hợp, bất phương trình hệ bất phương trình Tạo mối liên kết chặt chẽ mặt kiến thức, kĩ năng, kết hợp lí luận thực tiễn giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắn đưa đến kết đúng, khắc phục tâm lý lo sợ gặp dạng tốn khó Đây mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên 2.2 THỰC TRẠNG Khảo sát thực tế nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT khác địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn) cho thấy học sinh thường không mặn mà với toán liên quan đến hàm ẩn Lí bạn đưa tốn khó, khó từ khâu đọc đề tư hiểu đề, trình biến đổi phức tạp, sử dụng nhiều đơn vị kiến thức chương hay gây nhầm lẫn, điểm số dành cho dạng đề thi có khoảng 0,4 điểm Một phần khó cịn yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn bạn học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm tốn bỏ qua hồn tồn khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, tốn mấu chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh nhận dạng giải tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn” 2.3 GIẢI PHÁP 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan: a) Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f ( x) xác định K Ta nói: + Hàm số đồng biến (tăng) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) + Hàm số nghịch biến (giảm) K với cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K b) Định lý: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm K ( x) �0, x �K f � ( x)  số hữu hạn điểm hàm số đồng biến a Nếu f � K b Nếu K f� ( x)  0, x �K f � ( x )  số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến * Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số y  f  x là: + Bước 1: Tìm tập xác định + Bước 2: Tính đạo hàm khơng xác định f� ( x) + Bước 3: Sắp xếp điểm xi Tìm điểm xi  i  1, 2,3, , n  mà đạo hàm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên + Bước 4: Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số c) Đạo hàm hàm số hợp a; b + Hàm số hợp: Giả sử u  g ( x) hàm số x, xác định khoảng   lấy giá y  f  u c; d c; d trị khoảng   ; hàm số hàm số u xác định   lấy giá trị y  f (u )  f � g  x � � �xác định  a; b  lấy giá trị � Khi ta lập hàm số y f � g  x � � �là hàm hợp hàm số y  f  u  với u  g  x  � Ta gọi hàm + Đạo hàm hàm số hợp y  f  u x hàm số Nếu hàm số u  g ( x) có đạo hàm x u� có đạo hàm u yu�thì y f � g  x � �� � �có đạo hàm x là: y� x  yu u x hàm hợp d) Sự tương giao đồ thị Giả sử hàm số y  f  x C y  g  x C có đồ thị   hàm số có đồ thị   Khi C C hồnh độ giao điểm (nếu có) hai đồ thị     nghiệm phương trình f  x  g  x ; Giả sử x0 , x1 , nghiệm phương trình tọa độ giao điểm  C1   C2  M ( x0 ; f ( x0 )), M ( x1 ; f ( x1 )), * Sự tương giao đồ thị hàm số thị hàm số y  f  x y  f  x trục hoành: Hoành độ giao điểm đồ với trục hoành nghiệm phương trình f  x  2.3.2 Các dạng tốn thường gặp: 2.3.2.1 Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  f  x biết đồ thị ( x) bảng biến thiên hàm số y  f � Phương pháp: x i  1, 2, , n  f �x  Bước 1: Tìm nghiệm i  phương trình   (là hoành ( x) với trục hoành) độ giao điểm đồ thị hàm số y  f � Bước 2: Xét dấu f�  x Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số, suy kết tương ứng * Chú ý: ( x ) cắt trục hồnh ta gọi nghiệm đơn phương + Nếu đồ thị hàm số y  f � trình: f�  x  ( x ) tiếp xúc với trục hồnh ta gọi nghiệm kép + Nếu đồ thị hàm số y  f � (nghiệm bội chẵn) phương trình: f�  x  ( x ) nằm trục hoành suy khoảng đồng biến tương ứng + Nếu đồ thị hàm số y  f � với phần đồ thị ( x ) nằm trục hoành suy khoảng nghịch biến tương + Nếu đồ thị hàm số y  f � ứng với phần đồ thị Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục � có đồ thị hàm số y f�  x hình vẽ Mệnh đề đúng?  1;1 y  f  x  1;  B Hàm số đồng biến khoảng y  f  x  2;1 C Hàm số đồng biến khoảng y  f  x  0;  D Hàm số nghịch biến khoảng A Hàm số y  f  x nghịch biến khoảng Hướng dẫn: Chọn đáp án D ( x)  � x � �; 2  �(0; 2) ( x) ta có f � + Từ đồ thị hàm số y  f � f� ( x)  � x � 2;0  �(2; �) Ta có bảng biến thiên: x � f� ( x) -2 - 0 + +� - + f ( x) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x f�  x � -2 + -1 - + � - + Hàm số y  2 f ( x)  2021 nghịch biến khoảng khoảng đây? 1;  A  2; 1 B  2;4 C   4;  D  Hướng dẫn: Chọn A ( x) + Tính đạo hàm y� 2 f � y  2 f ( x)  2021 � 2 f � ( x)   x  � f � + Hàm số y  2 f ( x)  2021 nghịch biến + Từ bảng xét dấu ta thấy f� ( x )  � x � �; 2  � 1;  � 4; � 2.3.2.2 Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số ( x) thị bảng biến thiên hàm số y  f � Ta chọn đáp án A g ( x)  f � u  x � � �khi biết đồ Phương pháp: Cách 1: u  x � g x g�  x   u�  x  f �� � � Bước 1: Tính đạo hàm hàm số   , Bước 2: Sử dụng đồ thị f�  x , lập bảng xét dấu g�  x Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: u  x � g x g�  x   u�  x  f �� � � Bước 1: Tính đạo hàm hàm số   , g x ۳ g�  x  ; (Hàm số g  x  nghịch biến Bước 2: Hàm số   đồng biến ۣ g �  x ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình   (dựa vào đồ thị hàm số luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số * Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x y f�  x ) từ kết ( x) có đồ thị hình bên Hàm số Hàm số y  f � y  f   x đồng biến khoảng A  2; � B  2;1 C  �; 2  D  1;3 Hướng dẫn: Chọn B Cách 1: x �(1; 4) � � Từ đồ thị hàm số y  f '( x) ta thấy f '( x)  với �x  1 nên f ( x) nghịch biến  1;  khoảng  �; 1 suy g ( x)  f ( x) đồng biến 1; � khoảng (4; 1)  Khi đó: hàm số f (2  x) đồng biến biến khoảng khoảng ( 2;1)  3; � x  1 � f� x  � �  y f�  x  ta có 1 x  � Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số Ta có  f   x   �   x  � f �  x    f �  x  Để hàm số y  f   x f   x   � � f �   x   đồng biến  x  1 x3 � � �� �� 1 2 x  2  x  � � Ví dụ 2: Cho hàm số Hàm số A f  x , bảng xét dấu y  f   2x   3;  f�  x sau: đồng biến khoảng đây? B  1;3 C  �;  3 D  4;5  Hướng dẫn: Chọn D  x  3 x4 � � � � ��  x  1 � � x3 y�  f� � 2x  x2   x   2 f �  x  � y� � 2 f �  x   � � � Ta có  x  3 x4  2x  x2 � � � � �� �� �� �� f�   x   �1   x  �2  x  ; f �  x   �3   x  1 �3  x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên hàm số chọn đáp án D y  f   2x  đồng biến khoảng  4;5  Ta ( x) có bảng xét dấu sau: Ví dụ 3: Cho hàm số f � Hàm số y  f  x2  2x  2;1 A  nghịch biến khoảng đây? 4; 3 B  0;1 C   2; 1 D  Hướng dẫn: Chọn D Ta có: Đặt: y  g ( x)  f  x  x  ; � g� ( x)  � ( x  x) �f ( x  x) � �  x   f � g� ( x)  �  x   f � ( x  x)  x  1 � �2 2x   x  x  2(VN ) � �� � �2 � � � f ( x  x )  x  x  � � � x2  2x  � x  1 � � x  1  � � x  1  � � x 1 � x  3 � � (Trong đó: x  1  ; x  1  nghiệm bội chẵn PT: x  x  ) + Ta có bảng biến thiên 10 Ví dụ 5: Cho hàm số Hàm số y  f  x g  x  f   2x  có bảng xét dấu đạo hàm sau: đồng biến khoảng sau 3; � A  1; C   �; 5 B  2;7 D   Hướng dẫn: Chọn C Ta có g '  x   2 x ln f '   x  g ( x)  f   x  Để x g '  x   2 x ln f '   x  �0 �f�� '  2�  Vậy hàm số đồng biến Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x đồng biến x �  3�2 x  1;2 Biết hàm số y  f  3 x A C  y f�  x có đồ thị hình vẽ bên Hàm số đồng biến khoảng  0;1 B  2;3 D  1;0   2; 1 Hướng dẫn: Chọn B Cách 1: Đặt y  g  x   f   x2  g�  x   � 2 x f �   x2  Bảng xét dấu g�  x Ta có: x0 � �� 0   x2  �f � g�  x   2 x f �   x2  x0 � x0 � � �  x   x  �3 �� �� �  x  1 � x  �2 � � 0 � 3 x  x  �1 � � : 12 Suy hàm số y  f   x2  đồng biến khoảng:  3; 2  ,  1;0  ,  1;  ,  3; � Vậy hàm số y  f   x2  1;0  đồng biến khoảng  Cách 2: Dựa vào đồ thị Đặt y f�  x y  g  x   f   x2  ta chọn Ta có: y f�  x    x    x  1  x   g�  x   2 x f �   x   2 x   x    x    x  x0 � � x  �3 �� � x  �2 � g�  x   �x  �1 Bảng xét dấu Suy hàm số g�  x : y  f   x2  đồng biến khoảng:  3; 2  ,  1;0  ,  1;  ,  3; � Vậy hàm số y  f   x2  1;0  đồng biến khoảng  � � Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  Biết đồ thị hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên  Hàm số khoảng đây? g  x   f x  3x  �1 � �; � A �3 � � 1� ��; � C � � đồng biến �1 � � ;  �� � B �2 � 1� �2; � D � � Hướng dẫn: Chọn C 13 Cách Ta có g�  x     6x  f �  x  3x  g�  x   �   6x  f �  x  3x  Bảng xét dấu  6x  � � 0�� x  3x  � x  � x  3x  � g�  x Từ bảng ta có hàm số Cách 2: g�  x     6x  f �  x  3x  g  x   f  x  3x Để hàm số  � 1� ��; � đồng biến khoảng � � g  x   f  x  3x  đồng biến � � �2  x �0 �2  x �0 g� x  x � � �  x  �0 �   x  f �   �� �� 2 �f  x  3x  �0 �f  x  3x  �0 � �2  x �0 �� �f  x  3x  Trường hợp Trường hợp � �x �3 � � � � x  3x �1 �0 �� � x  3x �2 �� �  x �0 � � �x � �� �� �f  x  3x  �0 � �2 x  x �2 � g  x   f  x  3x  x hệ vô nghiệm � 1� ��; � đồng biến khoảng � � Vậy hàm số 2.3.2.3 Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số ( x) đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f � g ( x)  f � u  x � � � v ( x ) biết Phương pháp: Cách 1: u  x � g x g�  x   u�  x  f ��  x � � v� Bước 1: Tính đạo hàm hàm số   , 14 Bước 2: Sử dụng đồ thị f�  x , lập bảng xét dấu g�  x Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: u  x � g x g�  x   u�  x  f ��  x � � v� Bước 1: Tính đạo hàm hàm số   , g x ۳ g�  x  ; (Hàm số g  x  nghịch biến Bước 2: Hàm số   đồng biến ۣ g �  x ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình   (dựa vào đồ thị hàm số luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số * y f�  x ) từ kết Cách 3: (Trắc nghiệm) u  x � g x g�  x   u�  x  f ��  x � � v� Bước 1: Tính đạo hàm hàm số   , Bước 2: Hàm số g  x ۳� g�  x  0, x K ; (Hàm số g  x  đồng biến K ۣ ۣ�g �  x  0, x K ) (*) nghịch biến K Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào phương án sai Ví dụ 1: Cho hàm số f  x � x  f�  x Hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau  y  f  x    x3  x �; 1 A  g�  x   để loại �  đồng biến khoảng đây? 1;0  B  0;2 C   1; � D  Hướng dẫn: Chọn B Ta có: Với � � y�  3� �f  x     x  3 � x � 1;0  � x  � 1;  � f �  x  2  Vậy hàm số y  f  x    x3  3x , lại có x   � y�  0; x � 1;0  1;0  đồng biến khoảng  Chú ý: 15 +) Ta xét x � 1;  � 1; � � x  � 3;  � f �  x    0; x   1; Suy hàm số nghịch biến khoảng   nên loại hai phương án A, D +) Tương tự ta xét x � �; 2  � x  � �;0  � f �  x    0; x   � y� 0; x � �; 2  �; 2  Suy hàm số nghịch biến khoảng  nên loại hai phương án B Ví dụ : Cho hàm số f  x Hàm số y  f ' x có đồ thị hình bên   Hàm số   khoảng ? g x  f 1 2x  x2  x nghịch biến � 3� 1; � � � A � � 1� 0; � � 2� � B 2; 1 C  2;3 D   Hướng dẫn: Chọn A g x  f   x   x  x � g '  x   2 f '   x   x  Ta có :   t t   x � g� x   2 f � t   t g ' x  � f ' t      Đặt ’ Vẽ đường thẳng Hàm số g  x y x đồ thị hàm số f '  x  hệ trục nghịch biến �  g ' x f ' t  t 2 �t �0 � � t �4 � � �x � � 2 �1  x �0 � 1 2x 2 f� �� ��  1 2x � �1  x 2 � �x � � Như 16 Vậy hàm số g  x   f   2x   x2  x 3� �1 � � � ; � ��;  � � nghịch biến khoảng �2 �và � � � �1 � �3� 1; ��� ; � 1; � � � g  x  f   2x   x  x 2 � � � � � Mà nên hàm số nghịch biến khoảng � Ví dụ 3: Cho hàm số Hàm số y  f  x g  x   f  x  1  y f�  x  có đồ thị hình vẽ liên tục � Hàm số 2019  2018 x 2018 đồng biến khoảng đây? ; 3 A  ; 1 B  -1 ;  C  ; 2 D  Hướng dẫn: Chọn C x  �1 � x �0 � �� �� g �x  f �  x  1  � g �  x  �0 � f �  x  1  �0 � f �  x  1 �1 �x  �2 �x �3 Ta có   Từ suy hàm số g  x   f  x  1  Ví dụ 4: Cho hàm số đa thức y f� ( x) hình sau f  x 2019  2018 x -1 ;  2018 đồng biến khoảng  có đạo hàm � Biết f (0)  đồ thị hàm số g  x   f  x   x2 Hàm số đây? đồng biến khoảng 4; � A  0;  B  �; 2  C  2;  D  Hướng dẫn: ChọnB h x  f  x   x2 Xét hàm số   � Vì f  x h x h  f  0  hàm số đa thức nên   hàm số đa thức   Ta có h�  x  f �  x   2x h�  x  � f �  x   x Do 17 Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y f�  x đường thẳng y x , ta có h�  x   � x � 2;0; 4 h x Suy bảng biến thiên hàm số   sau: g  x  h  x Từ ta có bảng biến thiên hàm số Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g  x sau: 0; đồng biến khoảng   ( x ) cho hình vẽ Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục � có đồ thị hàm số y  f � g ( x)  f  x    x  x  2020 Hàm số khoảng nào? đồng biến A (0;1) B (3;1) C (1;3) D ( 2;0) Hướng dẫn: Chọn A ( x) Ta có đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số y  f � điểm x  1; x  1; x  hình vẽ bên 18 Dựa vào đồ thị hai hàm số ta có x  1 1  x  � � f� ( x)  x � � f� ( x)  x � �  x  x3 � � + Trường hợp 1: x   � x  , ta có g ( x)  f   x   x  x  2020 Ta có g� ( x)  2 f �   x   2(1  x) 1   x  � 0 x2 � g� ( x)  � 2 f � ��   x   2(1  x)  � f � 1 x  1 x � � 1 x  x  2 � �  x 1 � g� ( x)  � � x  2 � Kết hợp điều kiện ta có g ( x)  f  x  1  x  x  2020 + Trường hợp 2: x   � x  , ta có g� ( x)  f �  x  1  2( x  1) x   1 x0 � � g� ( x)  � f � ��  x  1  2( x  1)  � f �  x  1  x  � �  x 1  2 x4 � � ( x)  �  x  Kết hợp điều kiện ta có g � g ( x)  f  x    x  x  2020 Vậy hàm số đồng biến khoảng (0;1) Ví dụ 6: Cho hàm số f�  x có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f  3x  1  x  x đồng biến khoảng đây?  1;1 �;0  C  A  2;0  1;� D  B Hướng dẫn: Chọn D g  x   f  3x  1  x  Xét hàm số Hàm số đồng biến tương đương � f�  3x  1  3x  3x  1   * x � g�  x  f �  3x  1  27 x  x g�  x  � f �  3x  1  27 x  x  19 Đặt t  x   * � f �  t    t  1 t  � f �  t   t  t f �x Vẽ parabol y   x  x đồ thị hàm số   hệ trục Dựa vào đồ thị ta thấy 1  t  � 1  3x   � f� �� �  t   t  t � � t2 3x   � � 2 � �3  x  �  � x � � Chọn đáp án D 2.3.2.4 Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn liên quan đến tham số biết � đồ thị bảng biến thiên hàm số y  f  x  Phương pháp: u  x � g x g�  x   u�  x  f �� � � Bước 1: Tính đạo hàm hàm số   , Bước 2: Sử dụng đồ thị f�  x , lập bảng xét dấu g�  x Bước 3: Dựa vào bảng dấu và khoảng đơn điệu hàm số ta tìm tham số thỏa mãn bài tốn Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x y f�  x  có đồ có đạo hàm liên tục R Biết hàm số m � 5;5 thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên để hàm số g  x   f  x  m 1;2 nghịch biến khoảng   Hỏi S có phần tử? B A C D Hướng dẫn: Chọn D Ta có g�  x  f �  x  m Vì y f�  x g �x  f �  x  m  liên tục liên tục R nên   y f�  x  ta thấy R Căn vào đồ thị hàm số 20 x  m  1 x  1  m � � �� �� g�  x  � f �  x  m  � 1 x  m  � 1 m  x   m g x  f  x  m Hàm số   nghịch biến khoảng �1  m � � ��  m �2 m �3 � � �� �  m �1  1;2  � �m �1 � � � 5;5 S   5; 4; 3;0;1 Mà m số nguyên thuộc đoạn  nên ta có Vậy S có phần tử Ví dụ 2: Cho hàm số vẽ sau: y  f  x có đạo hàm � bảnng xét dấu đạo hàm hình y  f  x3  x  m  m Có số nguyên để hàm số nghịch biến 1;1 khoảng  ? A B C D Hướng dẫn: Chọn C  x  nên t đồng biến  1;1 t � m  5; m   Đặt t  x  x  m � t � f t m  5; m  5 Yêu cầu tốn trở thành tìm m để hàm số   nghịch biến khoảng  m  �2 �m �3 � �� � m3 � m  � m � � � Dựa vào bảng biến thiên ta y  f ' x Ví dụ 3: Cho hàm số y  ax  bx  cx  dx  e, a �0 Hàm số có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên thuộc khoảng g  x  f   2x  m  x2   m  3 x  2m2 để hàm số Khi đó, tổng giá trị phần tử S  6;6 tham số m nghịch biến  0;1 21 A 12 B C D 15 Lời giải Hướng dẫn: Chọn B Xét g ' x  2f '   2x  m  2x   m  3 t   2x  m phương trình trở thành Từ đó, g ' x  � x1  Xét phương trình � t � 2 � f ' t  � � 2� � g '  x  � t  2 � t4 � � t0 � , đặt 5 m m 1  m , x2  , x3  2 Lập bảng xét dấu, đồng f x 0 thời lưu ý x  x1 t  t1 nên   Và dấu đan xen nghiệm làm đổi dấu đạo hàm nên suy  0;1 Vì hàm số nghịch biến nên g ' x �0 � x �� x2; x1 � � �� �; x3 � � g ' x �0, x � 0;1 từ suy � 3 m 5 m �0  � � � 1  m � 1� 6;6 � � giải giá trị nguyên thuộc  m -3; 3; 4; Từ chọn câu B 2.3.2.5.BÀI TẬP TƯƠNG TỰ ( x) hình vẽ Câu Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hàm số f � Hàm số Câu Cho hàm số f  x Hàm số y  f  cos x   x  x đồng biến khoảng 2;1 A  0;1 B   1; C   1;0  D  y f�  x có đồ thị hình vẽ g ( x)  f  3x  1  Hàm số x  3x 2 đồng biến khoảng �2  3�  ; � � � 3 � � � A C  1;2  � 3� 0; � � � � � � B � 3�  ; � � � 3 � � � D 22 f  x Câu Cho hàm số Hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau y  f  x  1  �; 2  A  Câu Cho hàm số x  8x  nghịch biến khoảng đây? 1; � B  y = f ( x) A C Câu Cho hàm số 1;  C  y= f � ( x) Đồ thị hàm số g( x) = f Hàm số khoảng sau ? y = f ( x) ( - �;- 1( 1;2 ( hình bên ) x2 + 2x + ) 2 ) 2- nghịch biến khoảng B ( - �;1) D (2 y= f � ( x) Đồ thị hàm số g( x) = f Hàm số sau ? ( -2 x O -1 y = f ( x) x2 + 2x + đồng biến khoảng � 1� � - �; � � � � � 2� B � D ( - 1;+�) Câu Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số g( x) = f '( x - 2) + hình vẽ bên Hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng khoảng sau ? A ( - 1;1) Câu Cho hàm số hình bên ) x2 + 2x + 3- A � � � ;+�� � � � � � � C ) - 1;+� hình bên ( - �;- 1) y � 1� 1; � � � � D B � 5� � � �; � � � � 2� C ( - có đạo hàm liên tục � �;2) D ( 2;+�) Đồ thị hàm số y= f � ( x) 23 g( x) = f ( x) - x2 Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau ? ( - �;- 2) ( - 2;2) B A ( 2;+�) ( 2;4) C D f x y f�  x  liên tục � Câu Cho hàm số   xác định liên tục R Hàm số có đồ thị hình vẽ g  x   f  x  2m   Xét hàm số m tham số thực  2m  x   2020 , với y  g  x Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương m để hàm số nghịch biến 3; khoảng   Hỏi số phần tử S bao nhiêu? A Câu Cho hàm số C B f  x D Vô số f �x  x  1  x  3 có đạo hàm �là    Có giá trị y  f  x  3x  m  10; 20 nguyên tham số m thuộc đoạn  để hàm số đồng biến 0; khoảng   ? A 18 Câu 10 Cho hàm số B 17 f  x   x3  x  m Có giá trị nguyên tham số 2; �  ? A 2005 C 16 B 2037 D 20 g  x    x  2018   x  2019  m � 2020; 2020 để hàm số C 4016  x  2020  g  f  x  đồng biến 2 D 4041 2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực tế cho thấy, với cách phân loại dạng toán tạo cho học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư lí luận với thực tiễn Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ơn tập dạng tốn phương pháp, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi thử trường THPT Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt 24 Để có viết trên, tơi phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi lớp12 trường lớp 12B, 12E, 12K năm học 2020- 2021 Với 10 toán hệ thống tập tự luyện trên, lớp tơi chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi cho làm sau triển khai viết, nhóm II: tơi cho làm trước triển khai viết, thời gian làm 25 phút Kết thu cụ thể thể bảng sau: Nhóm Số học sinh có lời Số học sinh có lời Số học giải 0-5 câu giải 6-10 câu sinh 0-2 câu 3-5 câu 6-8 câu 9-10 câu NHÓM I Lớp 12B 15 Lớp 12E 20 11 Lớp 12K 15 Lớp 12B 15 Lớp 12E 20 Lớp 12K 15 10 NHÓM II Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Đề tài tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng chất lượng, nội dung hình thức, mong hội đồng KH nghành xét duyệt phổ biến rộng rãi giúp giáo viên học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy học tập Bài viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hoàn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút 25 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 17/ 05/ 2021 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Lê Diễm Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi thức thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2017, 2018 Bộ GD & ĐT Tuyển tập tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2017, 2018, 2019 Khóa học luyện thi trắc nghiệm mơn tốn 2018-2019, thầy Mẫn Ngọc Quang Chuyên đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, 2018, 2019 thầy Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng, Thầy Đồn Trí Dũng Tuyển tập đề thi trắc nghiệm mơn tốn năm 2017, 2018, 2019 trường: Chuyên ĐH Vinh, Chuyên Lương Thế Vinh, Chuyên KHTN, Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội, Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, trường THPT tỉnh: Chuyên Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1, THPT Tĩnh Gia 1, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như Thanh, THPT Lang Chánh,… Tổng ôn chuyên đề hàm số thầy Nguyễn bảo Vương Sách giáo khoa Giải tích 12 NXB Giáo dục Việt Nam 26 ... cứu đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh nhận dạng giải tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn? ?? 2.3 GIẢI PHÁP 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan: a) Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y ... thầy cô học sinh 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt   liên quan đến hàm ẩn đồ thị tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số ( x) Từ giúp học sinh. .. thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương hàm số,