Hướng dẫn học sinh nhận dạng và giải bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ GIẢI BÀI TỐN TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM ẨN Người thực hiện: Chức vụ: Lê Diễm Hương Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học THANH HÓA NĂM 2021 MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2.1 Nội dung Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lý luận Thực trạng đề tài Giải pháp thực Hệ thống kiến thức liên quan Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f ( x) y = f ′( x) 2.3.2.2 biết đồ thị bảng biến thiên hàm số Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số g ( x ) = f u ( x )  y = f ′( x) 2.3.2.3 biết đồ thị bảng biến thiên hàm số Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số g ( x ) = f u ( x )  + v ( x ) y = f ′( x) 2.3.2.4 Trang 3 4 4 5 6 13 biết đồ thị bảng biến thiên hàm số Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn liên quan đến tham số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số 19 y = f ′( x) 2.3.2.5 2.4 Bài tập tương tự Kết nghiên cứu Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo 21 23 24 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển tồn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Tính đơn điệu hàm số nội dung thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp THPT Đặc biệt năm gần đây, tính đơn điệu hàm số có nội dung hay, khó thường liên quan đến đồ thị hàm ẩn biết đồ thị bảng xét dấu đạo hàm Với lượng kiến thức rộng cần tư nhiều từ học sinh nên tính đơn điệu hàm số phần kiến thức quan trọng học sinh thi tốt nghiệp THPT Trong năm trước đây, tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số liên quan đến hàm ẩn gặp chí khơng có sách giáo khoa đề thi THPTQG Năm 2017, GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn tốn hàm số liên quan đến hàm hợp coi toán thiếu đề thi THPT Quốc gia tốn tìm khoảng đơn điệu cùa hàm số cốt lõi để từ học sinh giải quết toán liên quan đến cực trị, max,min,… hàm ẩn Sự đổi đoán làm thay đổi toàn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm yêu cầu đặt với học sinh khơng cịn đơn tư chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng toán Trong đề thi thức thử nghiệm Bộ, tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số toán liên quan đến hàm ẩn thường nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó tốn đa phần thầy cô giáo giảng dạy nhận xét nằm ba yếu tố: yếu tố thứ đề cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ′( x) y = f ( x) , học sinh không nắm kiến thức dễ sai lầm sang hàm số ; yếu tố thứ hai sử dụng tư tính đạo hàm hàm hợp, tư xét dấu, tư đồ thị hàm số, tư khó học sinh phổ thơng; yếu tố thứ ba, tốn địi hỏi biến đổi phức tạp khơng phụ thuộc biến số dễ gây sai sót, nhầm lẫn tính toán cho học sinh Đây toán mới, áp dụng vào thi cử chưa nhiều, thị trường sách tài liệu tham khảo cịn ít, cịn hạn chế chưa đầu tư kĩ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học nhu cầu cấp thiết cho thầy học sinh 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh có tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải tốt tốn tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f ′( x) y = f ( x) liên quan đến hàm ẩn đồ thị bảng biến thiên hàm số Từ giúp học sinh dễ dàng giải toán tương tự liên quan tìm cực trị, GTLN,NN hàm số liên quan đến đồ thị y = f ′( x) bảng biến thiên hàm số 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nội dung toán tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn xuất chương trình ơn thi tốt nghiệp mơn Tốn THPT - Một số tập vận dụng vận dụng cao đề thi học chọn học sinh giỏi tỉnh đề thi tốt nghiệp THPT minh họa năm gần Bộ GD & ĐT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi học sinh giỏi tỉnh khu vực, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức Tốn phổ thơng nói chung, đặc biệt xâu chuỗi nội dung, tạo mối liên hệ mật thiết mặt kiến thức việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Khi gặp toán hàm số liên quan đến hàm ẩn biết đồ thị bảng xét dấu đạo hàm có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với toán hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khuôn khổ kiến thức chương hay kiến thức cấp học khiến học sinh khó khăn việc tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi THPT Quốc gia nay, đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh cần nắm vững kiến thức chương hàm số, phép biến đổi đồ thị biết kiến thức đạo hàm hàm hợp, bất phương trình hệ bất phương trình Tạo mối liên kết chặt chẽ mặt kiến thức, kĩ năng, kết hợp lí luận thực tiễn giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, rút ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắn đưa đến kết đúng, khắc phục tâm lý lo sợ gặp dạng toán khó Đây mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên 2.2 THỰC TRẠNG Khảo sát thực tế nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT khác địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn) cho thấy học sinh thường không mặn mà với toán liên quan đến hàm ẩn Lí bạn đưa tốn khó, khó từ khâu đọc đề tư hiểu đề, trình biến đổi phức tạp, sử dụng nhiều đơn vị kiến thức chương hay gây nhầm lẫn, điểm số dành cho dạng đề thi có khoảng 0,4 điểm Một phần khó cịn yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn bạn học sinh ôn thi hay làm thử đề thi trắc nghiệm tốn bỏ qua hồn tồn khoanh “chùa” đáp án, tốn khơng phải tốn q khó, tốn mấu chốt đề Từ thực tiễn thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh nhận dạng giải tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn” 2.3 GIẢI PHÁP 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan: a) Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x) xác định K Ta nói: + Hàm số đồng biến (tăng) K với cặp f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm số nghịch biến (giảm) K với cặp f ( x1 ) > f ( x2 ) x1 , x2 thuộc K mà x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 x1 < x2 thì Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K b) Định lý: Cho hàm số a Nếu y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ K f ′( x) = K số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K f ′( x) < 0, ∀x ∈ K b Nếu f ′( x) = số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến K * Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x) là: + Bước 1: Tìm tập xác định + Bước 2: Tính đạo hàm khơng xác định f ′( x) + Bước 3: Sắp xếp điểm xi Tìm điểm xi ( i = 1, 2,3, , n ) mà đạo hàm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên + Bước 4: Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số c) Đạo hàm hàm số hợp + Hàm số hợp: Giả sử trị khoảng trên ¡ ( c; d ) u = g ( x) ; hàm số hàm số x, xác định khoảng y = f ( u) Khi ta lập hàm số ¡ y = f  g ( x )  Ta gọi hàm hàm số u y = f (u ) = f  g ( x )  xác định xác định hàm hợp hàm số y = f ( u) với ( a; b ) ( c; d ) ( a; b ) lấy giá lấy giá trị lấy giá trị u = g ( x) + Đạo hàm hàm số hợp Nếu hàm số hàm hợp u = g ( x) có đạo hàm x y = f  g ( x )  u′x có đạo hàm x là: hàm số y = f ( u) u có đạo hàm yu′ y′x = yu′ u′x d) Sự tương giao đồ thị Giả sử hàm số y = f ( x) có đồ thị ( C1 ) hàm số hoành độ giao điểm (nếu có) hai đồ thị f ( x) = g ( x) ( C1 ) ; Giả sử ( C2 ) x0 , x1 , ( C2 ) có đồ thị ( C2 ) Khi nghiệm phương trình nghiệm phương trình tọa độ giao điểm M ( x0 ; f ( x0 )), M ( x1; f ( x1 )), * Sự tương giao đồ thị hàm số thị hàm số ( C1 ) y = g ( x) y = f ( x) y = f ( x) trục hoành: Hoành độ giao điểm đồ với trục hoành nghiệm phương trình f ( x) = 2.3.2 Các dạng toán thường gặp: 2.3.2.1 Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số bảng biến thiên hàm số y = f ( x) biết đồ thị y = f ′( x ) Phương pháp: Bước 1: Tìm nghiệm xi ( i = 1, 2, , n ) độ giao điểm đồ thị hàm số Bước 2: Xét dấu phương trình y = f ′( x) f ′( x) = (là hoành với trục hoành) f ′( x) Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số, suy kết tương ứng * Chú ý: + Nếu đồ thị hàm số trình: y = f ′( x ) cắt trục hồnh ta gọi nghiệm đơn phương f ′( x) = + Nếu đồ thị hàm số y = f ′( x ) tiếp xúc với trục hồnh ta gọi nghiệm kép (nghiệm bội chẵn) phương trình: + Nếu đồ thị hàm số với phần đồ thị y = f ′( x ) nằm trục hoành suy khoảng đồng biến tương ứng y = f ′( x ) + Nếu đồ thị hàm số ứng với phần đồ thị Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ′( x) y = f ( x) f ′( x) = nằm trục hoành suy khoảng nghịch biến tương có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số hình vẽ Mệnh đề đúng? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) nghịch biến khoảng đồng biến khoảng đồng biến khoảng ( −1;1) ( 1; ) ( −2;1) nghịch biến khoảng ( 0; ) Hướng dẫn: Chọn đáp án D + Từ đồ thị hàm số y = f ′( x) f ′( x) < ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ (0; 2) ta có f ′( x) > ⇔ x ∈ ( −2;0 ) ∪ (2; +∞) Ta có bảng biến thiên: x −∞ f ′( x) -2 - 0 + + - ∞ + f ( x) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Ví dụ 2: Cho hàm số x −∞ f ′( x) Hàm số y = f ( x) -2 + y = −2 f ( x ) + 2021 A có bảng xét dấu đạo hàm sau: -1 - + +∞ - + nghịch biến khoảng khoảng đây? ( −1; ) B ( −2; −1) C ( 2;4 ) D ( −4; ) Hướng dẫn: Chọn A + Tính đạo hàm + Hàm số y′ = −2 f ′( x) y = −2 f ( x ) + 2021 + Từ bảng xét dấu ta thấy nghịch biến y = −2 f ( x) + 2021 ⇔ −2 f ′ ( x ) < ⇔ f ′( x) > f ′( x) > ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; ) ∪ ( 4; +∞ ) 2.3.2.2 Dạng 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số thị bảng biến thiên hàm số y = f ′( x ) Ta chọn đáp án A g ( x) = f u ( x )  biết đồ Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số Bước 2: Sử dụng đồ thị f ′( x) g ( x) g ′ ( x ) = u′ ( x ) f ′ u ( x )  , , lập bảng xét dấu g′( x) Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số Bước 2: Hàm số ⇔ g′ ( x ) ≤ g ( x) đồng biến g ( x) g ′ ( x ) = u′ ( x ) f ′ u ( x )  , ⇔ g′( x ) ≥ ; (Hàm số g ( x) nghịch biến ) (*) ( *) Bước 3: Giải bất phương trình (dựa vào đồ thị hàm số luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) y = f ′( x) ) từ kết Hàm số y = f ′( x) y = f ( − x) có đồ thị hình bên Hàm số đồng biến khoảng A C ( 2;+∞ ) B ( −∞; −2 ) D ( −2;1) ( 1;3) Hướng dẫn: Chọn B Cách 1: Từ đồ thị hàm số khoảng khoảng ( −2;1) ( 1; ) (−4; −1) và y = f '( x) ta thấy khoảng ( 1; +∞ ) f '( x ) < ( −∞; −1) Khi đó: hàm số với suy  x ∈ (1; 4)  x < −1  g ( x) = f ( − x) f (2 − x ) nên f ( x) nghịch biến đồng biến đồng biến biến khoảng ( 3; +∞ ) Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số Ta có ta có ( f ( − x) ) ′ = ( − x) ′ f ′( − x) = − f ′( − x) Để hàm số y = f ( − x) đồng biến  − x < −1 x > ⇔ ⇔ 1 < − x <  −2 < x < Ví dụ 2: Cho hàm số Hàm số A y = f ′( x)  x < −1 f ′( x) < ⇔  1 < x < ( 3; ) f ( x) ( f ( − x) )′ > ⇔ f ′( − x) < , bảng xét dấu y = f ( − 2x ) f ′( x) sau: đồng biến khoảng đây? B ( 1;3) C ( −∞ ; − 3) D ( 4;5 ) Hướng dẫn: Chọn D Ta có 5 − x = −3 x =  ⇔ 5 − x = −1 ⇔  x = y′ = f ′ ( − x ) = −2 f ′ ( − x ) ⇒ y′ = ⇔ −2 f ′ ( − x ) = 5 − x =  x = 5 − x < −3 x > ⇔ ⇔ f ′ ( − x ) <  −1 < − x <  < x < ; 5 − x > x < ⇔ ⇔ f ′ ( − 2x ) >  −3 < − x < −1 3 < x < Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên hàm số chọn đáp án D Ví dụ 3: Cho hàm số f ′( x) y = f ( − 2x ) đồng biến khoảng ( 4;5 ) Ta có bảng xét dấu sau: 10 Cách Ta có g ′ ( x ) = ( − x ) f ′( x − 3x ) g ′ ( x ) = ⇔ ( − x ) f ′( x − 3x ) 2 − x =  = ⇔ 2 x − 3x = ⇔ x =  x − 3x =  g′ ( x ) Bảng xét dấu Từ bảng ta có hàm số Cách 2: g ′ ( x ) = ( − x ) f ′( x − x ) g ( x ) = f ( x − 3x ) Để hàm số đồng biến khoảng g ( x ) = f ( x − 3x ) 1   −∞ ; ÷ 3  đồng biến  − x ≥  − x ≤ g ′ ( x ) ≥ ⇔ ( − x ) f ′( x − 3x ) ≥ ⇔  ∪  ′ 2 ′  f ( x − x ) ≥  f ( x − 3x ) ≤  − x ≥  ′  f ( x − 3x ) Trường hợp Trường hợp  x ≤  ⇔ ⇔x≤ 2 x − 3x ≤ ≥0    x − 3x ≥   2 − x ≤ x ≥ ⇔  ′ f x − x ≤ ( )    1 ≤ x − x ≤ g ( x ) = f ( x − 3x ) hệ vô nghiệm đồng biến khoảng 1   −∞ ; ÷ 3  Vậy hàm số 2.3.2.3 Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ′( x ) g ( x ) = f u ( x )  + v ( x ) biết 15 Phương pháp: Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số f ′( x) Bước 2: Sử dụng đồ thị g ( x) g ′ ( x ) = u ′ ( x ) f ′ u ( x )  + v′ ( x ) , , lập bảng xét dấu g′( x) Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g ( x) Bước 2: Hàm số ⇔ g′ ( x ) ≤ đồng biến g ( x) g ′ ( x ) = u ′ ( x ) f ′ u ( x )  + v′ ( x ) , ⇔ g′( x ) ≥ ; (Hàm số g ( x) nghịch biến ) (*) ( *) Bước 3: Giải bất phương trình (dựa vào đồ thị hàm số luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ′( x) ) từ kết Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm hàm số Bước 2: Hàm số nghịch biến g ( x) g ( x) g ′ ( x ) = u ′ ( x ) f ′ u ( x )  + v′ ( x ) , ′ K ⇔ g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K đồng biến ′ K ⇔ g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K x −∞ − f ′( x) Hàm số A f ( x) g′ ( x) để loại có bảng xét dấu đạo hàm sau + y = f ( x + ) − x3 + 3x ( −∞; −1) ; (Hàm số B g ( x) ) (*) Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào phương án sai Ví dụ 1: Cho hàm số + − +∞ + đồng biến khoảng đây? ( −1;0 ) C ( 0; ) D ( 1; +∞ ) 16 Hướng dẫn: Chọn B Ta có: Với y ′ =  f ′ ( x + ) − ( x − 3)  x ∈ ( −1;0 ) ⇒ x + ∈ ( 1; ) ⇒ f ′ ( x + ) > Vậy hàm số y = f ( x + ) − x + 3x , lại có x − < ⇒ y′ > 0; ∀x ∈ ( −1;0 ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) Chú ý: +) Ta xét x ∈ ( 1; ) ⊂ ( 1; +∞ ) ⇒ x + ∈ ( 3; ) ⇒ f ′ ( x + ) < 0; x − > Suy hàm số nghịch biến khoảng ( 1; ) nên loại hai phương án A, D +) Tương tự ta xét x ∈ ( −∞; −2 ) ⇒ x + ∈ ( −∞;0 ) ⇒ f ′ ( x + ) < 0; x − > ⇒ y′ < 0; ∀x ∈ ( −∞; −2 ) Suy hàm số nghịch biến khoảng Ví dụ : Cho hàm số f ( x) Hàm số y = f '( x) ( −∞; −2 ) nên loại hai phương án có đồ thị hình bên g ( x ) = f ( 1− 2x) + x2 − x Hàm số biến khoảng ? A C B  3  1; ÷  2 ( −2; −1) B D nghịch  1  0; ÷  2 ( 2;3) Hướng dẫn: Chọn A Ta có : Đặt g ( x ) = f ( − x ) + x − x ⇒ g ' ( x ) = −2 f ' ( − x ) + x − t g ' x = ⇒ f ' t = − ( ) ( ) ′ ′ t = − x ⇒ g ( x ) = −2 f ( t ) − t ’ y=− Vẽ đường thẳng x đồ thị hàm số f '( x) hệ trục 17 Hàm số g ( x) nghịch biến  −2 ≤ t ≤ t ⇒ g '( x) ≤ ⇒ f '( t ) ≥ − ⇒  t ≥ 1 ≤x≤   −2 ≤ − x ≤ 1− 2x f ′( 1− 2x) ≥ ⇒ ⇒ 2 −2 4 ≤ − x  x≤−3  Như g ( x) = f ( − 2x ) + x − x Vậy hàm số Mà  3 1 3 1; ÷ ⊂  ; ÷  2 2 2 nên hàm số y = f ( x) g ( x ) = f ( x − 1) + Hàm số ( ; 3) g ( x) = f ( 1− 2x) + x − x 3   −∞; − ÷   Ví dụ 3: Cho hàm số A nghịch biến khoảng 1 3  ; ÷ 2 2 liên tục 2019 − 2018 x 2018 B ¡ nghịch biến khoảng Hàm số y = f ′( x)  3 1; ÷  2 có đồ thị hình vẽ đồng biến khoảng đây? ( ; 1) C ( -1 ; ) D ( ; 2) Hướng dẫn: Chọn C Ta có  x − ≤ −1  x ≤ ⇔ ⇔ g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − ⇒ g ′ ( x ) ≥ ⇔ f ′ ( x − 1) − ≥ ⇔ f ′ ( x − 1) ≥  x −1 ≥ x ≥ g ( x ) = f ( x − 1) + Từ suy hàm số 2019 − 2018 x 2018 đồng biến khoảng ( -1 ; ) 18 f ( x) Ví dụ 4: Cho hàm số đa thức y = f ′( x) có đạo hàm hình sau ¡ Biết g ( x) = f ( x ) + x2 Hàm số đây? A C f (0) = đồ thị hàm số đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) B ( −∞; −2 ) D ( 0; ) ( −2; ) Hướng dẫn: ChọnB Xét hàm số Vì f ( x) h ( x ) = f ( x ) + x2 hàm số đa thức nên Ta có ¡ h ( x) h′ ( x ) = f ′ ( x ) + x hàm số đa thức Do h′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = − x Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f ′( x) h ( 0) = f ( 0) = y=− đường thẳng x , ta có h′ ( x ) = ⇔ x ∈ { −2;0; 4} Suy bảng biến thiên hàm số h ( x) Từ ta có bảng biến thiên hàm số sau: g ( x) = h ( x) sau: 19 Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ g ( x) đồng biến khoảng có đồ thị hàm số y = f ′( x ) Hàm số khoảng nào? C (0;1) (1;3) B D cho hình vẽ g ( x) = f ( x − ) − x + x + 2020 A ( 0; ) (−3;1) đồng biến ( −2;0) Hướng dẫn: Chọn A Ta có đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm số y = f ′( x ) x = −1; x = 1; x = điểm hình vẽ bên Dựa vào đồ thị hai hàm số ta có  x < −1 f ′( x) > x ⇔  1 < x < + Trường hợp 1:  −1 < x < f ′( x) < x ⇔  x > x −1 < ⇔ x < g ( x) = f ( − x ) − x + x + 2020 Ta có , ta có g ′( x) = −2 f ′ ( − x ) + 2(1 − x)  −1 < − x <  < x < g ′( x) > ⇔ −2 f ′ ( − x ) + 2(1 − x) > ⇔ f ′ ( − x ) < − x ⇔  ⇔ 1 − x >  x < −2 Kết hợp điều kiện ta có 0 < x < g ′( x) > ⇔   x < −2 20 + Trường hợp 2: x −1 > ⇔ x > , ta có g ( x) = f ( x − 1) − x + x + 2020 g ′( x) = f ′ ( x − 1) − 2( x − 1)  x − < −1 x < g ′( x ) > ⇔ f ′ ( x − 1) − 2( x − 1) > ⇔ f ′ ( x − 1) > x − ⇔  ⇔ 1 < x − < 2 < x < Kết hợp điều kiện ta có g ′( x) > ⇔ < x < g ( x) = f ( x − ) − x + x + 2020 Vậy hàm số đồng biến khoảng (0;1) Ví dụ 6: f ′( x) Cho hàm số có đồ thị hình bên Hàm số g ( x ) = f ( 3x + 1) + x + x đồng biến khoảng đây? A C ( −1;1) ( −∞;0 ) B D ( −2;0 ) ( 1;+∞ ) Hướng dẫn: Chọn D g ( x ) = f ( 3x + 1) + x + x ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( 3x + 1) + 27 x + x Xét hàm số g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( 3x + 1) + 27 x + x > Hàm số đồng biến tương đương ⇔ f ′ ( x + 1) + 3x ( 3x + 1) > ( *) Đặt t = 3x + ( *) ⇔ f ′ ( t ) + ( t − 1) t > ⇔ f ′ ( t ) > −t + t Vẽ parabol y = − x2 + x đồ thị hàm số f ′( x) hệ trục 21 Dựa vào đồ thị ta thấy  −2  3x + > x >  Chọn đáp án D 2.3.2.4 Dạng 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn liên quan đến tham số biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ′( x) Phương pháp: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số Bước 2: Sử dụng đồ thị f ′( x) g ( x) g ′ ( x ) = u′ ( x ) f ′ u ( x )  , , lập bảng xét dấu g′( x) Bước 3: Dựa vào bảng dấu và khoảng đơn điệu hàm số ta tìm tham số thỏa mãn bài tốn Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) thị hình vẽ Gọi g ( x ) = f ( x + m) S có đạo hàm liên tục ( 1;2 ) S Hỏi Biết hàm số tập hợp giá trị nguyên nghịch biến khoảng A R m ∈ [ −5;5] có đồ để hàm số có phần tử? B y = f ′( x) C D Hướng dẫn: Chọn D Ta có g′( x ) = f ′ ( x + m) R Vì y = f ′( x) Căn vào đồ thị hàm số liên tục y = f ′( x) R nên g′( x ) = f ′ ( x + m) liên tục ta thấy 22  x + m < −1  x < −1 − m ⇔ ⇔ g′ ( x ) < ⇔ f ′( x + m) < 1 < x + m < 1 − m < x < − m Hàm số Mà m g ( x) = f ( x + m) nghịch biến khoảng số nguyên thuộc đoạn Vậy S [ −5;5]  ≤ −1 − m  ⇔  3 − m ≥  m ≤ −3 ⇔  ( 1;2 )  1 − m ≤ 0 ≤ m ≤ S = { −5; −4; −3;0;1} có phần tử Ví dụ 2: Cho hàm số vẽ sau: y = f ( x) có đạo hàm Có số nguyên khoảng nên ta có ( −1;1) A m để hàm số ¡ bảnng xét dấu đạo hàm hình y = f ( x3 + x + m ) nghịch biến ? B C D Hướng dẫn: Chọn C Đặt t = x3 + x + m ⇒ t ′ = 3x + u cầu tốn trở thành tìm m t nên đồng biến để hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta Ví dụ 3: Cho hàm số hình vẽ f ( t) ( −1;1) t ∈ ( m − 5; m + ) nghịch biến khoảng ( m − 5; m + 5) m − ≥ −2  m ≥ ⇔ ⇔m=3  m + ≤ m ≤ y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a ≠ Hàm số y = f '( x) có đồ thị 23 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên thuộc khoảng g ( x) = f ( − 2x + m) + x2 − ( m + 3) x + 2m2 để hàm số Khi đó, tổng giá trị phần tử S A 12 B C ( −6;6) tham số nghịch biến m ( 0;1) D 15 Lời giải Hướng dẫn: Chọn B Xét g '( x) = −2f '( − 2x + m) + 2x − ( m + 3) t = − 2x + m Từ đó,  −t  −2  f '( t) −  = ⇔ 2  phương trình trở thành g '( x) = ⇔ x1 = thời lưu ý Xét phương trình x > x1 5+ m m+ −1 + m , x2 = , x3 = 2 t < t1 nên f ( x) > nghiệm làm đổi dấu đạo hàm nên suy Vì hàm số nghịch biến ( 0;1) nên g '( x) =  t = −2  t = t =  , đặt Lập bảng xét dấu, đồng Và dấu đan xen g '( x) ≤ ⇔ x ∈  x2; x1  ∪ ( −∞; x3  g '( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) 3 + m 5+ m  ≤ 0