SKKN giải pháp, kỹ thuật giải nhanh một số dạng câu hỏi vận dụng trong chương trình môn toán lớp 12 góp phần nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong thực tiễn qua trình dạy học ơn thi THPT QG, kỳ thi tốt nghiệp THPT, thường tâm đắc với kỹ thuật giải nhanh số dạng tốn có cấu trúc đề thi trắc nghiệm năm gần đây, cụ thể dạng toán xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, dạng tốn tính tích phân biểu thức b có dạng ∫ udv dạng toán liên quan đến biểu diễn hình học cực trị số a phức Những kỹ thuật giải nhanh thường xuyên áp dụng để giảng dạy cho lớp ban KHTN giúp giúp em có thêm hứng thú, tư tin gặp vấn đề, dạng tốn khó xuất đề thi, điều giúp em giải vấn đề nhanh góp phần nâng cao kết thi TN THPT môn Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Giải pháp, kỹ thuật giải nhanh số dạng câu hỏi vận dụng chương trình mơn Tốn lớp 12 góp phần nâng cao kết thi tốt nghiệp THPT’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2020 – 2021 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh giỏi lớp 12 nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp toán đề thi TN THPT, sau khuyến khích em dựa vào điều đã học để sáng tạo tập hay nội dung thi TN THPT, qua giúp em phát triển tư logic, tổng hợp phần, chương học để chọn nhanh hướng tiếp cận câu hỏi trắc nghiệm mức độ vận dụng đề thi trung học phổ thông quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào ba nội dung: - Lớp tốn xác định tâm tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Lớp tốn tính tích phân phần sử dụng hệ số điều chỉnh - Lớp tốn có mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp điều tra, quan sát - Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi gặp dạng tốn xác định bán kính mặt cầu tiếp tứ diện học sinh, số em sử dụng phương pháp truyền thống dựng hình thường lúng túng xác định vị trí tâm mặt cầu khó khăn tìm bán kính mặt cầu Khi gặp số tốn tích phân phần, khơng sử dụng phương pháp chỉnh hệ số việc tính tốn thường phức tạp, nhiều thời gian, dễ sai đáp số Khi gặp dạng toán cực trị tập số phức phát triển từ toán cực trị hình học thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa đà vào tính tốn, gây thời gian mà thường không thu kết mong đợi Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp tư hình học tính tốn đại số Một thực tế nhiều học sinh làm toán loại chương hình học làm thành thạo chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác em lại khơng phát vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà lúng túng gặp tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề Trong phần này, tác giả chủ yếu nêu ý tưởng cách thiết kế, xây dựng số chủ đề dạy học ý tưởng hướng giải yêu cầu đặt Do khuôn khổ SKKN bị hạn chế số trang nên việc chi tiết hóa cách giải tập xin phép dành cho bạn đọc quan tâm vận dụng q trình giảng dạy 2.3.1 Đại số hóa tốn tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Đối với tốn xác định tâm tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, thơng thường ta sử dụng phương pháp dựng hình (gọi phương pháp truyền thống) sau: B1) Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (là đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy) Tâm I mặt cầu nằm trục d B2) Xác định mặt phẳng trung trực cạnh bên đó, trường hợp hình chóp có cạnh bên trục d thuộc mặt phẳng (P) (P) cần dựng trung trực cạnh bên Khi tâm I mặt cầu giao trục d mặt phẳng trung trực (hoặc giao d với đường thẳng trung trực) B3) Sử dụng mối quan hệ tam giác đồng dạng để tính bán kính mặt cầu Thực theo phương pháp tốn xuất tình có cạnh bên trục d thuộc mặt phẳng (P) việc xác tâm bán kính mặt cầu tương đối thuận lợi Trong trường hợp khơng có cạnh bên đồng phẳng với d, để xác định tâm bắt buộc phải dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên Việc không dễ dàng với nhiều học sinh, kể học sinh giỏi, từ em có tâm lí e ngại sợ gặp phải toán loại Sau tác giả trình bày phương pháp đại số hóa để tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tình khơng có cạnh bên đồng phẳng với d: Giả sử cần tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đỉnh S đỉnh đáy A, O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy H chân đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt đáy Khi để xác định vị trí tâm tìm bán kính mặt cầu ta thực theo bước sau: B1) Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy đường thẳng d vuông góc với mặt đáy O Tâm I mặt cầu nằm d Đặt x = OI ( x > I S phía so với mặt đáy x < I S khác phía) B2) Ta có hệ thức sau IS = R = IA2 ⇔ IK + ( SH − x )2 = x + OA2 Giải phương trình tìm x B3) Kết luận: Bán kính R = x + OA2 Ví dụ 1.1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp cho Hướng dẫn Gọi H trung điểm AB suy SH ⊥ ( ABCD ) Dễ thấy tâm I mặt cầu nằm trục d qua tâm O hình vng ABCD vng góc với mặt phẳng (ABCD), I S phía so với mp (ABCD) a Đặt x = OI IK = OH = OC + OI = R = IK + KS 2 2 2 a 2  a 2 3a a a ⇔ + x = + − x ⇒ R = x2 +  ÷ ÷ ⇔x= ÷ =a  ÷  12 2       Ví dụ 1.2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN a 37 a 29 a 93 5a A R = B R = C R = D R = 12 12 Hướng dẫn Gọi H trung điểm AD suy SH ⊥ ( ABCD ) Dễ thấy tâm I mặt cầu nằm trục d qua trung điểm O MN vng góc với mặt phẳng (ABCD), I S phía so với mp (ABCD) Nếu đặt x = OI IK = OH = 2 a 10 OC + OI = R = IK + KS a 2  a 10   a  3a ⇔ + x = + − x ÷  ÷  ÷ ⇔x= 12       a 2 a 93 ⇒ R = x2 +  ÷ = 12   Ví dụ 1.3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác SCD vng cân S Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A πa B πa C πa D πa 3 Hướng dẫn Gọi M , N trung điểm AB, CD Do tam giác SAB nên SM ⊥ AB Mà MN ⊥ AB Do AB ⊥ ( SMN ) ⇒ ( ABCD ) ⊥ ( SMN ) Kẻ SH ⊥ MN ( H ∈ MN ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) SM SN a a a = , SN = , MN = a ⇒ ∆SMN vuông S ⇒ SH = MN 2 Gọi O tâm ABCD , dựng trục d ( ABCD ) O tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD nằm d a Nếu đặt x = OI IK = OH = OA2 + OI = R = IK + KS Có SM = 2 2 a 2  a 2 a a a a 21 ⇔ − x÷ ⇔ x = ⇒ R = x2 +  ÷ + x = ÷ + ÷ = 6 4       2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: S = 4πR = πa Ví dụ 1.4: Cho tứ diện ABCD cạnh Gọi K trung điểm AB , M , N hình chiếu K lên AD AC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN ? A B 3 C D Hướng dẫn Gọi H trọng tâm tam giác ABC BH ⊥ ( ACD ) Gọi E trung điểm AH , suy KE ⊥ ( ACD ) Từ E hạ EN vng góc xuống AC, N ∈ AC , suy KN ⊥ AC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NCD , O ∈ AH Dựng đường thẳng d qua O , vng góc với ( ACD ) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp K MNCD I nằm trục d , I S phía so với mp (MNCD) 6 39 Ta tính được: IF = OE = ; KE = ; KF = − x , ON = OC = OD = 6 12 Đặt OI = x ta có hệ thức IC = R = IK ⇔ IO + OC = IF + FK 2  39  39 Vậy Rmc = IK = x + ⇔x + = + − x ÷ suy x = = 144 16  144 24  Ví dụ 1.5: Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt bên SBC mặt đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA tạo với mặt đáy ( ABC ) góc 600 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho 13πa 22πa 25πa 11πa A B C D 9 9 Hướng dẫn Gọi M trung điểm BC , H hình chiếu S lên AM ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ · góc SA mặt phẳng ( ABC ) SAH = 60° · Tam giác SAM có SM = AM có SAM = 60° nên tam giác SAM ⇒ đường cao SH đường trung tuyến Gọi O tâm tam giác ABC Qua O dựng đường thẳng d vng góc với ( ABC ) ⇒ d trục tam giác ABC Dễ thấy tâm I mặt cầu nằm trục d , I S phía so với mp (ABC) a a Nếu đặt x = OI HK = OI = x Ta có OA = ; AH = ; 3a 3a a , SH = ; SK = SH − HK = −x IK = OH = AO − AH = 4 12 Ta có hệ thức 2 a  3a  a 3 a 3 2 2 2 SK + IK = R = IO + AO ⇔  − x ÷ +  ÷ = ÷ +x ⇔x=    12    ⇒ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = AI = OI + OA2 = a 13 2 13a 13πa Vậy diện tích mặt cầu S = 4πR = 4π = 36 2.3.2 Kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh tốn tính tích phân phần Phương pháp tích phân phần sử dụng rộng rãi chương trình phổ thơng tỏ hiệu tính tích phân mà hàm số dấu tích phân b tích hai hàm số khác ∫ udv = (uv) b a a u = f ( x ) , dv = g ( x ) dx b − ∫ vdu , a Suy v = ∫ g ( x ) dx nên v( x) xác định khơng nhất, hàm số v( x) sai khác số α , v( x) = v0 ( x ) + α Căn vào tốn, ta chọn α phù hợp cho việc tính tích b phân ∫ vdu dễ dàng Đây kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh α a 2 Ví dụ 2.1: Cho biết ∫ ln ( − x ) dx = a ln + b ln + c , với a, b, c số nguyên Tính S = a + b + c A S = 34 B S = 13 C S = 18 Hướng dẫn D S = 26 2x  u = ln ( − x ) du = ⇒ x − (Ở ta chọn hệ số điều chỉnh α = −3 ) Đặt  dv = dx v = x −  2 x ( x − 3) x ⇒ I = ( x − 3) ln ( − x ) − ∫ dx = − ln + 6ln − ∫ dx x −9 x+3 1 = ln − 6ln − + 6ln ( x + ) = − ln + 6ln − + 6ln − 12ln 2 = 5ln − 6ln − ⇒ S = 13 * Phân tích: Làm theo cách thông thường không chọn hệ số điều chỉnh 2x  u = ln ( − x ) x2 du = 2 ⇒ dx x − ⇒ I = x ln ( − x ) − ∫ Đặt  x − dv = dx v = x x2 dx khó khăn so với tính Việc tính ∫ x − Ví dụ 2.2: Cho biết + ln x ∫ ( x + 1) 2 x ∫1 x + dx dx = a + b ln + b ln , với a, b, c số hữu tỉ Tính S = ac b A S = −1 B S = − C S = − Hướng dẫn D S =  u = + ln x du = dx   x ⇒ Đặt  (Ở ta chọn hệ số điều chỉnh dv = dx − x  v = +1 = ( x + 1)   x +1 x +1 α =1) 3 x  3 3  ⇒ I = ( + ln x ) − dx = + ln − ln( x + 1) = + ln − ln x +  ∫1 x + 4 4  ⇒ a = b = , c = −1 ⇒ S = −1 ln(2 x + x + 1) dx = a ln b + c ln , với a, c số hữu tỉ Ví dụ 2.3: Cho biết ∫ ( x + 1) b số nguyên tố Tính S = a + b + c 43 47 17 A S = B S = C S = D S = 8 Hướng dẫn 4x +  dx u = ln(2 x + x + 1) du = 2x + 4x +   ⇒ Đặt  (Ở ta chọn hệ số − x + x + dv = dx  v = +1 = ( x + 1)3   2( x + 1) 2( x + 1) điều chỉnh α = ) 1  2x2 + 4x +  ⇒I = ln(2 x + x + 1)  − ∫ dx = ln − 2ln 2  2( x + 1)  0 x +1 47 ⇒ a = , b = 7, c = −2 ⇒ S = 8  − x2  p dx = a + b ln Ví dụ 2.4: Cho biết ∫ x ln  , với a, b số hữu tỉ ; p, q ÷ + x q   số nguyên tố p < q Tính S = 2ab + pq 45 A S = 26 B S = 30 C S = 45 D S = Hướng dẫn   − x  du = 416 x dx  u = ln  x − 16 ÷ + x ⇒ Đặt  (Ở ta chọn hệ số điều chỉnh    4 x x − 16  v = − = dv = x dx  4 α = −4 ) 3  − x2  15   ⇒ I = ( x − 16 ) ln  − ∫ xdx = − − ln  ÷ ÷ 4 5  + x 1 15 15 , p = 3, q = ⇒ S = + 15 = 30 * Phân tích: Làm theo cách thông thường không chọn hệ số điều chỉnh   − x  du = 416 x dx 3  u = ln     x − 16 ÷ x − x x5 + x ⇒ ⇒ I = ln − dx Đặt      ÷ ∫ x 4 + x x − 16  1  v = dv = x dx  x5 dx Đến nhiều học sinh lúng túng, chí “bó tay” tính ∫ x − 16 Qua ví dụ ta thấy hiệu “tuyệt vời” sử dụng hệ số điều chỉnh ⇒ a = −2, b = − π Ví dụ 2.5: Cho biết ln ( sin x + cos x ) dx = aπ + b ln c + d , với a, b, d số hữu ∫π sin x tỉ, c số nguyên tố Tính S = abcd A S = B S = C S = − 2 Hướng dẫn cos x − sin x  u = ln ( sin x + cos x ) du = dx    sin x + cos x ⇒ Đặt  dv = dx  v = − cot x − = − cos x − sin x sin x   sin x (Ở ta chọn hệ số điều chỉnh α = −1 ) π cos x − sin x ⇒ I = − ( cot x + 1) ln ( sin x + cos x ) π + ∫ dx sin x D S = π π π 3 = − + ln ⇒ a = − , b = , c = 2, d = ⇒ S = 4 * Phân tích: Kỹ thuật chọn hệ số điều chỉnh áp dụng hiệu cho dạng tích phân sau: = ln + ( ln sin x − x ) b 1) ∫ P( x)ln Q( x)dx với P ( x), Q( x) đa thức phân thức hữu tỉ a Với dạng tính phương pháp tích phân phần ta nên chọn hệ số b điều chỉnh cho rút gọn tối đa nhân tử tích phân ∫ vdu a ln ( m sin x + n cos x ) m dx , với dạng ta chọn hệ số điều chỉnh − sin x n a b 2) ∫ 10 m cos x − n sin x  u = ln ( m sin x + n cos x ) du = dx   m sin x + n cos x ⇒ Thật  dv = dx  v = − cot x − m = −(n cos x + m sin x ) sin x   n n sin x ln ( m sin x + n cos x ) m dx , với dạng ta chọn hệ số điều chỉnh ∫a cos x n b 3) 2.3.3 Hình học hóa tốn cực trị tìm tập hợp điểm tập số phức a) Mối liên hệ số phức yếu tố hình học phẳng - Biểu diễn hình học số phức z = x + yi với ( x, y ∈ R) mặt phẳng tọa độ điểm M ( x; y ) Khi z = OM - Biểu diễn hình học hai số phức z z hai điểm đối xứng qua trục Ox nên quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z z hình ( C ) , ( C ') hai hình đối xứng qua trục Ox - Nếu điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B  z1 − z2 = AB uuu r uuu r với M trung điểm đoạn AB  z + z = OA + OB = 2O M  - Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức z thay đổi thỏa mãn z − z1 = z − z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z trung trực đoạn AB - Cho điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 A, B Số phức z thay đổi thỏa mãn z − z1 = z − z2 quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường thẳng - Cho z0 số phức khơng đổi có điểm biểu diễn I , số phức z thay đổi thỏa mãn z − z0 = R > quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I bán kính R b) Bài tốn cực trị số phức Ví dụ 3.1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thằng ( d ) : 3x − y − = Tính giá trị nhỏ z A B C D 5 5 Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z ⇒ Min z = OM = d ( O; d ) = Ví dụ 3.2: Cho số phức z , w thỏa mãn z + − 2i = z − 4i , w = iz + Giá trị nhỏ w 11 A B C D 2 Hướng dẫn Gọi A ( −2;2 ) , B ( 0;4 ) M điểm biểu diễn số phức z Từ đề ta có: MA = MB , hay quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn AB ⇒ Quỹ tích điểm M đường thẳng ( d ) : x + y − = Mà w = iz + = i z + = z − i = IM với I ( 0;1) ⇒ Min w = d ( I ; d ) = i Ví dụ 3.3: Cho số phức z số ảo thỏa điều kiện z + = z ( z + 2i ) Giá trị nhỏ z + i A B C Hướng dẫn D  z − 2i = z Ta có z + = z ( z + 2i ) ⇒ z − 2i z + 2i = z z + 2i ⇒  z = i ( l )  Như toán trở dạng giống ví dụ Ví dụ 3.4: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i Giá trị nhỏ z + − i A 10 B C 10 D 10 Hướng dẫn  z − 2i = z − 2i = z + 2i  Ta có   z + − i = z + − i = z + + i Bài toán trở thành: Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = z + 2i Tìm giá trị nhỏ z + + i Như toán trở dạng giống ví dụ Ví dụ 3.5: Cho số phức z thỏa mãn z − = z + Giá trị nhỏ z + − 4i + z − − 6i A 10 + B 13 C D 10 Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện z − = z + suy quỹ tích điểm M trục Oy Đặt A ( −2;4 ) , B ( 4;6 ) A, B nằm hai phía trục Oy Khi z + − 4i + z − − 6i = MA + MB ≥ AB = 10 Ví dụ 3.6: Cho số phức z thỏa mãn z + − 4i = z + + 4i Giá trị nhỏ z + − 4i + z − − i A B 13 C 41 D 10 12 Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ z + − 4i = z + + 4i ⇒ z + − 2i = z + + 2i suy quỹ tích điểm M đường thẳng 2 ( d ) : x − y + = Đặt A ( −1;4 ) , B ( 1;1) A, B nằm phía với đường thẳng ( d ) Điểm A ' ( −3; −4 ) điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ( d ) Khi z + − 4i + z − − i = MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B = 41 Ví dụ 3.7: Cho số phức z có z = số phức w = z + 3i có modun nhỏ lớn A B C D Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z = nên quỹ tích điểm M đường trịn ( C) nằm tâm O bán kính R = Đặt A(0; −3) w = z + 3i = AM Dễ thấy điểm A đường tròn ( C) nên w = AM = AO − R = w max = AM max = AO + R = Ví dụ 3.8: Cho số phức z thoả z − + 4i = w = z + − i Khi w có giá trị lớn là: A 16 + 74 B + 130 C + 74 D + 130 Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z − + 4i = nên quỹ tích điểm M đường trịn ( C) tâm w = 2z + − i = z + I ( 3; −4 ) bán kính R = Đặt 1 A(− ; ) 2 i − = 2AM Dễ thấy điểm A nằm ngồi đường trịn ( C ) 2 nên w max = AM max = 2( AI + R ) = + 130 Ví dụ 3.9: Cho số phức z thỏa mãn z − = z z + + 2i = a + b Tính a + b A B 2 C D Hướng dẫn 2 2 Đặt z = x + yi với ( x, y ∈ R) Từ z − = z ⇒ ( x − 3) + y = ( x + y ) 13 ⇒ x + y + 6x − = ⇒ ( x + 3) + y = 18 ⇒ z + = Gọi M điểm biểu diễn số phức z quỹ tích M đường trịn tâm I (−3;0) , bán kính R =   Đặt A  − ; −2 ÷ z + + 2i = AM Dễ thấy điểm A nằm miền đường   tròn ( C ) nên AM = R − AI = − + ⇒ a + b = 2 Ví dụ 3.10: Cho số phức z thỏa mãn z − = z + Giá trị nhỏ z + − 4i + z − − 6i A 10 + B 13 C D 10 Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện z − = z + suy quỹ tích điểm M trục Oy Đặt A ( −2;4 ) , B ( 4;6 ) A, B nằm hai phía trục Oy Khi z + − 4i + z − − 6i = MA + MB ≥ AB = 10 Ví dụ 3.11: Cho số phức z thỏa mãn z + − 4i = z + + 4i Giá trị nhỏ z + − 4i + z − − i A B 13 C 41 D 10 Hướng dẫn Gọi M điểm biểu diễn số phức z , từ z + − 4i = z + + 4i ⇒ z + − 2i = z + + 2i suy quỹ tích điểm M đường thẳng 2 ( d ) : x − y + = Đặt A ( −1;4 ) , B ( 1;1) A, B nằm phía với đường thẳng ( d ) Điểm A ' ( −3; −4 ) điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ( d ) Khi z + − 4i + z − − i = MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B = 41 Ví dụ 3.12: Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn z1 + − i + z1 − − 7i = iz2 − + 2i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = z1 + z2 A − B +1 Hướng dẫn C 2 + D 2 − 14 Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 A ( −2;1) ; B ( 4;7 ) hai điểm biểu diễn hai số phức −2 + i , + 7i Ta có AB = Phương trình đường thẳng AB d : x − y + = +) z1 + − i + z1 − − 7i = ⇔ MA + MB = ⇔ MA + MB = AB Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 đoạn thẳng AB +) iz2 − + 2i = ⇔ iz2 − + 2i i = ⇔ − z2 − − i = Gọi N điểm biểu diễn số phức − z2 I ( 2;1) điểm biểu diễn số phức + i Ta có IN = Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức − z2 đường tròn ( C ) có phương trình: ( x − ) + ( y − 1) = 2 d ( I , AB ) = 2 > , suy AB khơng cắt đường trịn Gọi K hình chiếu I ( 2;1) lên AB Dễ thấy K nằm đoạn thẳng AB Gọi H giao điểm đoạn IK với đường tròn ( C ) Ta có z1 + z2 = MN ≥ KH = d ( I , AB ) − R = 2 − Suy z1 + z2 = 2 − Ví dụ 3.13: Cho số phức z thỏa mãn z + z + + z − z − 2i ≤ 12 Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = z − − 4i Tính M + m A + 61 B 10 + 61 C 10 + 130 D + 130 Hướng dẫn Gọi z = x + yi, x, y ∈ ¡ , ta có z + z + + z − z − 2i ≤ 12 ⇔ x + + y − ≤ 15  x + y ≤ x ≥ −1; y ≥ − x + y ≤ x < −1, y ≥  ⇔  x − y ≤ x ≥ −1, y < − x − y ≤ x < −1, y < Tập hợp điểm N ( x; y ) biểu diễn số phức z thuộc miền của hình thoi ABCD (tính cạnh) hình vẽ với A ( −1;4 ) , B ( 5;1) , C ( −1; −2 ) , D ( −7;1) Xét điểm I ( 4;4 ) , I nằm ngồi hình thoi P = z − − 4i = IN Theo hình vẽ + IN đạt giá trị lớn N ≡ D , suy M = ID = 121 + = 130 + IN đạt giá nhỏ N ≡ H ( H hình chiếu I AB ), 4+8−7 = Vậy M + m = 130 + suy m = d ( I , AB ) = Ví dụ 3.14: Xét số phức z , z1 , z2 thỏa z1 − − 5i = z2 − = z + 4i = z − + 4i Tính M = z1 − z2 P = z − z1 + z − z2 đạt giá trị nhỏ A M = B M = C M = 41 D M = Hướng dẫn 16 → tập hợp điểm A biểu diễn số phức • z1 − − 5i =  z1 đường trịn ( C1 ) có tâm I ( 4;5 ) , bán kính R1 = → tập hợp điểm B biểu diễn số phức z2 • z2 − =  đường trịn ( C2 ) có tâm J ( 1;0 ) , bán kính R2 = • Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Từ z + 4i = z − + 4i , ta có a + ( −b + ) = ( a − ) + ( b + ) ⇔ a − b = ⇒ tập hợp điểm C biểu diễn số phức z nằm đường thẳng ∆ : x − y = 2 Khi P = z − z1 + z − z2 = CA + CB Gọi K điểm đối xứng J qua đường thẳng ∆, ta tìm K ( 4; −3) ⇒ phương trình đường thẳng IK : x =  A = CI ∩ ( C1 ) P Do C = IK ∩ ∆   B = CJ ∩ ( C2 ) ⇒ A ( 4;4 ) , B ( 2;0 ) ⇒ M = z1 − z2 = AB = c) Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Ví dụ 3.15: Cho số phức z thỏa mãn z + = Tập hợp điểm M biểu diễn số phức w = ( − 2i ) z + đường trịn có bán kính r bao nhiêu? A r = C r = 5 B r = D r = 25 Hướng dẫn w−3 Ta có w = ( − 2i ) z + ⇔ z = − 2i w − − 4i w−3 w − − 4i +2 =5⇔ =5⇔ =5 Do z + = ⇔ − 2i − 2i − 2i ⇔ w − ( + 4i ) = 5 Vậy r = 5 Ví dụ 3.16: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tập hợp điểm biểu diễn số z mặt phẳng toạ độ Oxy đường trịn có tâm 1− i 1 3  3  1 A I  ; − ÷ B I  − ; ÷ C I  − ; − ÷ D 2 2  2  2 Hướng dẫn z Ta có: w = ⇔ z = ( − i ) w Khi z − + 2i = ⇔ z − − 2i = 1− i phức w = 3 1 I  ; ÷ 2 2 17 + 2i   ⇔ ( − i ) w − − 2i = ⇔ ( − i )  w − ÷=2 1− i   + 2i   ⇔ 1− i w − = ⇔ w−− + i÷ = 1− i  2   3 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn có tâm I  − ; ÷, bán kính  2 R= Ví dụ 3.17: Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 3i = , đồng thời z1 − z2 = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình đây? 2 5  3  A  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2  C ( x − 10) + ( y − 6) = 36 5  3  B  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2  D ( x − 10) + ( y − 6) = 16 Hướng dẫn Gọi A, B, M điểm biểu diễn z1; z2 ; w Khi A, B thuộc đường trịn (C ) : ( x − 5) + ( y − 3) = 25 AB = z1 − z2 = (C ) có tâm I (5;3) bán kính R = , gọi T trung điểm AB T trung điểm OM IT = IA2 − TA2 = Gọi J điểm đối xứng O qua I suy J (10;6) IT đường trung bình tam giác OJM , JM = IT = Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính có phương trình ( x − 10) + ( y − 6) = 36 Ví dụ 3.18: Gọi z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z − + 2i = z1 − z2 = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 − + 4i đường trịn có bán kính r A B 16 C 10 D 13 Hướng dẫn 18 Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 , B điểm biểu diễn số phức z2 Theo giả thiết z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z − + 2i = nên A B thuộc đường tròn tâm I ( 1; −2 ) bán kính r = Mặt khác z1 − z2 = ⇔ AB = z +z Gọi M trung điểm AB suy M điểm biểu diễn số phức IM = Do ta có z +z = IM = − + 2i ⇔ = z1 + z2 − + 4i ⇔ z1 + z2 − + 4i = ⇔ w = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn có tâm O ( 0;0 ) , bán kính r = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Qua thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn nhiều năm học, đặc biệt từ năm học 2016-2017 bắt đầu hình thức thi trắc nghiệm, tơi áp dụng đề tài giúp em học sinh cảm thấy tự tin say mê việc học toán có thêm cơng cụ giải nhanh dạng tốn đề thi Kết kỳ thi THPT QG (nay TN THPT) mà em tham gia thi, em giải nhanh gọn xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm kỳ thi Tơi thấy em tự tin có hứng thú học tập, có tinh thần tìm tịi học hỏi dạng tốn khó - Đề tài báo cáo dạng chuyên đề sinh hoạt chun mơn tổ Tốn trường THPT Triệu Sơn thầy góp ý đánh giá cao dùng làm tài liệu chuyên môn tổ áp dụng vào giảng dạy ôn thi TN THPT năm 2020 2021 - Từ năm học 2018-2019, liên tục tham gia giảng dạy từ 1-2 lớp (trong ln có lớp mũi nhọn ban KHTN) kết với tổ chun mơn nâng cao thành tích điểm trung bình mơn tốn kỳ thi TN THPT năm 2019 2020 góp phần đáng kể vào việc nâng cao thành tích nhà trường điểm trung bình kỳ thi TN THPT, cụ thể: 19 + Năm 2019: Nhà trường có điểm trung bình xếp thứ tỉnh, mơn Tốn có điểm trung bình xếp thứ 29 tỉnh + Năm 2020: Nhà trường có điểm trung bình vươn lên xếp thứ tỉnh (sau THPT chuyên Lam Sơn, THPT Hàm Rồng THPT Bỉm Sơn), mơn Tốn có điểm trung bình 7,35 (tổng số thí sinh dự thi 336) vươn lên xếp thứ 09 tỉnh (tăng 20 bậc), xếp thứ Nhất khối trường THPT huyện Triệu Sơn KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua trình áp dụng vào thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn từ năm học 2018 - 2020, thân tơi nhận thấy có kết khả quan, tạo tự tin cho em học giải toán Trong phạm vi SKKN nên quan tâm đến số chủ đề nhỏ hướng xây dựng ví dụ mang tính chất gợi mở, phân hóa theo trình tự từ dễ đến khó, từ đơn lẻ đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp tạo điều kiện phát triển lực tư duy, khả sáng tạo phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Tôi thiết nghĩ với cách xây dựng thực ta mở rộng sang chủ đề khác, nội dung khác chương trình lớp 11, 12 Đó hướng mà nghiên cứu thời gian tới Trên kinh nghiệm thực tế qua q trình giảng dạy nhiều năm tơi rút cho thân bước đầu áp dụng có kết khả quan Đề tài không tránh hạn chế, tơi tiếp tục bổ sung hồn thiện dần năm học tới Tôi mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp để đề tài vào thực tiễn, áp dụng nhiều đạt hiệu cao giảng dạy 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh nghiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài tiếp tục xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Tốn Tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Trịnh Quốc Phượng 20 ... việc học tốn có thêm cơng cụ giải nhanh dạng toán đề thi Kết kỳ thi THPT QG (nay TN THPT) mà em tham gia thi, em giải nhanh gọn xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm kỳ thi Tôi thấy em tự tin có hứng... giảng dạy từ 1-2 lớp (trong ln có lớp mũi nhọn ban KHTN) kết với tổ chuyên môn nâng cao thành tích điểm trung bình mơn tốn kỳ thi TN THPT năm 2019 2020 góp phần đáng kể vào việc nâng cao thành tích... học hỏi dạng tốn khó - Đề tài báo cáo dạng chuyên đề sinh hoạt chuyên môn tổ Toán trường THPT Triệu Sơn thầy góp ý đánh giá cao dùng làm tài liệu chuyên môn tổ áp dụng vào giảng dạy ôn thi TN THPT