3.2 Phép biến đổi tương đương Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a Cộng hoặ[r]
(1)ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn 1.1 Định nghĩa Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng (1) f ( x) = g ( x) Trong đó f ( x) và g ( x) là biểu thức x Ta gọi f ( x ) là vế trái, g ( x ) là vế phải phương trình (1) Nếu có số thực x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 gọi là nghiệm phương trình (1) Giải phương trình (1) là tìm tất các nghiệm nó (nghĩa là tìm tập nghiệm) Nếu phương trình không có nghiệm nào thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm nó là rỗng) 1.2 Điều kiện phương trình Điều kiện phương trình là giá trị x làm cho (1) có nghĩa hay xác định Chẳng hạn, f ( x) = h( x) Điều kiện để phương trình xác định là g ( x) ≠ Như phương trình có chứa ẩn g ( x) mẫu thì đ iều kiện để phương trình đó xác định là mẫu thức phải khác Phương trình Phương trình f ( x) = m Điều kiện để phương trình xác định là f ( x) ≥ T ức là phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai (bậc chẵn) thì đ iều kiện đề phương trình xác định là biểu thức dấu phải không âm Ví dụ : Tìm điều kiện các phương trình sau a) c) 2x = 4x + 3x − 2x − = b) −3 x + x − = x + −3 x + d) + − x = x + x + Giải: 2x = 4x + 3x − Điều kiện phương trình xác định là: 3x − ≠ ⇔ 3x ≠ ⇔ x≠3 Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là x ≠ a) −3 x + x − = x + −3 x + Điều kiện phương trình là: b) 4 x + ≠ −3 x + ≠ x ≠ −6 ⇔ −3 x ≠ −6 x ≠ − ⇔ x ≠ Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là x ≠ − , x ≠ c) 2x − = Điều kiện để phương trình xác định là: (2) 2x − ≥ ⇔ 2x ≥ ⇔x≥2 Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là x ≥ d) + − x = x + x + Điều kiện để phương trình xác định là: 1 − x ≥ x + ≥ x ≤1 ⇔ x ≥ −1 ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy điều kiện để phương trình đã cho xác định là −1 ≤ x ≤ Phương trình nhiều ẩn Phương trình nhiều ẩn là phương trình có chứa từ hai ẩn trở lên Ví dụ : x2 + xy − y = − x + y + là phương trình hai ẩn ( x và y ) x + y + z = 3xyz là phương trình ba ẩn ( x , y và z ) Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng x = x0 và y = y0 thì ta gọi cặp số ( x0 ; y0 ) là nghiệm nó Khái niệm nghiệm phương trình ba ẩn, bốn ẩn,… hiểu tương tự Phương trình tương đương 3.1 Định nghĩa Hai phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Ví dụ: Hai phương trình x2 − x + = và − x2 + x − = tương đương với vì chúng có cùng tập nghiệm là 3 S = {1;2} Nếu phương trình f1 ( x) = g1 ( x) tương đương với phương trình f ( x) = g ( x) thì ta viết f1 ( x) = g1 ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) 3.2 Phép biến đổi tương đương Nếu thực các phép biến đổi sau đây trên phương trình mà không làm thay đổi điều kiện nó thì ta phương trình tương đương a) Cộng trừ hai vế với cùng số cùng biểu thức; b) Nhân chia hai vế với cùng số khác với cùng biểu thức luôn có giá trị khác Ví dụ: Giải phương trình ( x − 1)( x − 2) + 3 = x −1 x −1 Giải: Điều kiện để phương trình xác định: x − ≠ ⇔ x ≠ Phương trình đã cho tương đương với: 3 − = (chuyển sang vế trái ta đổi dấu nó) x −1 x −1 x −1 ⇔ ( x − 1)( x − 2) = ( x − 1)( x − 2) + ⇔ x − = (vì x − ≠ nên ta chia hai vế phương trình cho x − ) ⇔ x=2 (3) Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là S = {2} Phương trình hệ f1 ( x) = g1 ( x) gọi là phương trình hệ phương trình f ( x) = g ( x) tập nghiệm nó chứa tập nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) Khi đ ó ta viết f ( x) = g ( x) ⇒ f1 ( x) = g1 ( x) Định lý: Nếu bình phương hai vế phương trình cho trước thì ta phương trình là hệ phương trình đã cho Phương trình chứa tham số Trong phương trình ẩn f ( x) = g ( x) , các biểu thức f ( x) g ( x) có thể chứa chữ khác ngoài ẩn x Các chữ này xem số đã biết và gọi là tham số Lúc đó phương trình gọi là phương trình chứa tham số Bài tập: Bài Tìm đ iều kiện xác định phương trình sau Bài Giải các phương trình sau: suy tập nghiệm nó: 2x −1 = a) x + a) x = −x x −1 x −1 2x − b) x − x − = − x + b) x + = x−2 x−2 3− x c) = x+ x−3 c) ( x − 3x + 2) x − = x −3 d) x + x −1 = −x Bài Giải các phương trình sau: a) − x + x = − x +1 b) x+ x−2 = 2− x +2 x2 = x −1 x −1 x − 1− x = x − + c) d) Bài Giải các phương trình sau: x+5 = x+3 x+3 3x b) x + = x −1 x −1 x2 − 4x − c) = x−2 x−2 2x2 − x − d) = 2x − 2x − a) x +1+ d) ( x − x − 2) x + = x e) = − x−2 x−2 x−2 x2 − x+3 f) = + x +1 x +1 x +1 Bài Giải các phương trình sau cách bình phương hai vế phương trình: a) b) x −1 = x − c) x − = x + d) x − = 2x −1 e) x − = x +1 f) x +1 = x − Bài Giải các phương trình sau: a) Bài Giải các phương trình sau: a) x + x −1 = + x −1 b) x + x − = 0,5 + x − x = x−5 x−5 x = x−5 x−5 c) d) x − = − 2x b) c) d) x x −1 x−2 x −1 x 2− x x −1 = = x x −1 x−2 x −1 = x 2− x 1− x = x−2 x−2 (4)