Bài 29: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện chữ số hàng trăm ngàn khác 0 và phải có mặt chữ số 2... Bài 34: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ só khác [r]
(1)Bài 1: Cho chữ số: 1,2 ,3,4,5,6,7 Hỏi từ chữ số trên lập bao nhiêu số : a) có chữ số b) Có chữ số khác đôi c) Có chữ số mà chữ số đầu tiên là d) Có chữ số khác không tận cùng chữ số Giải: Gọi số cần lập dạng: abcde Gọi A= 1,2,3,4,5,6,7 a) Mỗi chữ số a, b,c,d,e có thể chọn chữ số tập hợp A nên có cách chọn Vậy ta có: 7.7.7.7.7= 16807 số b) Cách 1: Ta có a A nên a có cách chọn b A \ a nên b có cách chọn c A \ a, bnên c có cách chọn d A \ a, b, c nên d có cách chọn e A \ a, b, c, d nên e có cáh chọn Vậy có: 7.6.5.5.3= 2520 số Cách 2: Số các số gồm chữ số lấy từ chữ số đã cho là số chỉnh hợp chập 7, nghĩa là có: A75 2520 số c) Ta có a=3 nên a có cách chọn Các chữ số b,c,d,e lấy từ tập A có phần tứ nên phần tử có cách chọn Vậy có: 1.7.7.7.7= 2401 số d) Cách 1:Ta có: e nên e có cách chọn a A \ e nên a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Vậy có: 6.6.5.4.3 = 2160 số Cách 2:Ta có: e nên e có cách chọn Chọn chữ số chữ số còn lại(khác e) xếp vào vị trí còn lại nên có: A64 cách chọn Vậy có: A64 = 6.6.5.4.3= 2160 số Bài 2: Cho chữ số: 1,2,3,4.5.6.7.Hỏi từ chữ số đó có bao nhiêu số gồm: a) chữ số đôi khác b) Trong các số câu a) có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số c) Trong các số câu a) có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ d) Trong các số câu a) có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số và chữ số hàng ngàn là chữ số Giải: Gọi số cần tìm dạng: abcd a)Số các số gồm chữ số lấy từ chữ số đã cho là số chỉnh hợp chập 7, nghĩa là có: A74 840 số b) Chọn chữ số xếp vào vị trí a,b,c,d có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có: A63 cách chọn Vậy có: A63 = 480 số c) Ta có d 2,4,6 nên e có cách chọn Lop12.net (2) a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Vậy có : 3.6.5.4= 360 số Cách 2: A63 = 360 số Số các số lẻ: 840-360= 480 số d) Tacó a=1 nên a có cách chọn Chọn chữ số xếp vào vị trí b,c,d còn lại nên có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A52 cách chọn Vậy có: 1.3 A52 = 60 số Bài 3: : Từ chín chữ số1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác và số chứa chữ số 5.Trong các số đó có bao nhiêu số không chia hết cho Giải: Gọi số cần tìm dạng: abcdef Chọn chữ số xếp vào vị trí có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A85 cáh chọn Vậy có: A85 =40320 số * Phương pháp gián tiếp:Tính số các số chia hết cho 5: Ta có f=5 nên f có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A85 cách chọn Vậy số các số chia hết cho là: A85 số Suy số các số không chia hết cho là: A85 - A85 =5 A85 =33600 số *Tính trực tiếp: f nên chữ số có thể xếp vào vị trí có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A85 cáh chọn Vậy số các số câu a) không chia hết cho là: A85 =33600 số Bài 4: Với chữ số 1,2,3,4 có thể lập bao nhiêu số có các chữ số phân biệt Giải: Số các số gồm chữ số: có A41 số Số các số gồm chữ số khác có A42 : Số các số gồm chữ số khác có A43 : Số các số gồm chữ số khác có A44 : Vậy số các số cần tìm là: A41 + A42 + A43 + A44 =64 số Bài 5: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được: a)Bao nhiêu số gồm chữ số đôi khác luôn có mặt chữ số b)Bao nhiêu số gồm chữ số đôi khác luôn có mặt chữ số và chia hết cho HD: a) Chọn chữ số vào vị trí có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A64 cách chọn Vậy có: A64 = 1800 số b) Chọn chữ số xếp vào vị trí hàng đơn vị có cách chọn Chọn chữ số xếp vào vi trí còn lại có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A53 Vậy có: 1.4 A53 = 240 số Bài 6: Với 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,67,8,9 có thể lập bao nhiêu số: a) gồm chữ số khác đôi b) Trong các số câu a) có bao nhiêu số chẵn Lop12.net (3) c) Trong các số câu a) có bao nhiêu số chia hết cho d) Gồm chữ số đó hai chữ số kề phải khác Giải:Gọi số cần tìm dạng: abcde (a 0) a)Ta có a nên a có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A94 cách chọn Vậy có : A94 = 27216 số b) Do số cần tìm là số chẵn nên e 0,2,4,6,8 TH1: e=0 nên e có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A94 cách chọn Trong trường hợp này có: A94 số TH2: e 2,4,6,8 nên e có cách chọn Do a 0,e nên a có cách chọn Chọn 8chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A84 cách chọn Trong trường hợp này có: 3.6 A84 số Vậy có thảy: A94 +3.6 A84 = số c) TH1: e=0 có A số TH2: e=5 có A83 số Vậy có: A94 +8 A83 = số d) Đặt E= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Ta có a chọn từ E\ 0 nên a có cách chọn b chọn từ E\ anên b có cách chọn c chọn từ E\ b nên c có cách chọn d chọn từ E\ cnên d có cách chọn e chọn từ E\ d nên e có cách chọn Vậy có: 9.9.9.9.9=59049 số Bài 7: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số : a) gồm 10 chữ số mà số chữ số có mặt đúng lần, các chữ số khác cómặt đúng lần b) Gồm 10 chữ số mà số chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần, còn các chữ số khác có mặt đúng lần Giải: a)* Số các số có 10 chữ số mà số chữ số có mặt đúng lần, các chữ số khác có mặt đúng lần( kể số có chữ số đứng tận cùng bên trái) Số cách chọn 10 vị trí để xếp chữ số là C104 Số cách xếp chữ số còn lại vào vị trí còn lại là P6 Trong trường hợp này có: C104 P6 số *Số các số có 10 chữ số mà số chữ số có mặt đúng lần, các chữ số khác có mặt đúng lần,chữ số đứng tận cùng bên trái là : C 94 P5 số Vậy số các số cần tìm là: : C104 P6 - C 94 P5 =136080 số b) TH1: C103 C 72 P5 TH2: C 93 C 62 P45 Số các số cần tìm là: C103 C 72 P5 - C 93 C 62 P45 = 272160 số Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lậo bao nhiêu số: Lop12.net (4) a) chẵn gồm chữ số khác b) Chia hết cho 5, có chữ số khác nhau, c) Chia hết cho có chữ số khác HD: a) 156 số b) 36 số c) Gọi abc (a ) là số gồm chữ số khác chia hết cho Suy a, b, c có thể là: 0,4,5, 1,3,5, 2,4,5 Do đó có: 2.2+ 3!+3!= 16 số Bài 9: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đó có chữ số Giải: Gọi số cần tìm dạng: abcde (a 0) C1:) Tính gián tiếp:Số các số gồm chữ số khác là: A54 = 600 số Số các số không có mặt chữ số là: P5=120 số Số các số cần tìm là: 600-120=480 số C2:) Tính trực tiếp: Do a khác nên có vị trí xắp xếp nên có cách chọn Chọn chữ số xếp vào vị trí còn lại có A54 cách chọn Vậy có: A54 = 480 số Bài 10:Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đôi mỗ trường hợp sau: a) Là số chẵn b) Một chữ số đầu tiên phải là chữ số Hd: a) Có 840+2160=3000 số b)TH1:a=1 có A74 =840 số TH2: vị trí b c nên có cách chọn a khác và khác nên a có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A63 cách chọn TH này có 2.6 A63 = 1440 số Vậy có: 840+1440 = 2280 số Bài 11: Với chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số : a) phân biệt b) Phân biệt và không bắt đầu chữ số c) Phân biệt và không bắt đầu 123 Giải: a) P5=5!=120 số b)Tính gián tiếp: Tính số các số gồm chữ số phân biệt bắt đầu chữ số a=1 nên a có cách chọn Chọn4 chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có P4 cách chọn Th này có: P4=24 số Vậy có: 120-24= 96 số c) 123de có P2=2 số Vậy có: 120-2= 118 số Bài 12: Với chữ số 1,2,5,7,8 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số phân biệt và thỏa mãn điều kiện: a) Là số chẵn b) Là số nhỏ 276 c) Là số chẵn và nhỏ 276 Giải: Gọi số cần lập có dạng abc Lop12.net (5) a) c có thể nhận nên có cách chọn Chọ chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A42 cách chọn Vậy có: A42 = 24 số b) Do abc 278 nên a=1 a=2 TH1: a=1 có A42 =12 số TH2: a=2 thì b=1;5 Với b nhận 1hoặc có cách chọn Khi đó c có cách chọn TH này có: 2.3=6 số TH3: a=2,b=7thì ccó thể nhận nên có số Vậy có: 12+6+2=20 số c) TH1: a=1, c=2;8, nên b có thể chọn chữ số còn lại là có cách chọn Th này có 3.2 =6 số TH2: a=2, c=8, nên b có thể nhận nên có cách chọn TH này có số Vậy có: 6+2 =8 số Bài 13:Với chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số phân biệt và thỏa mãn điều kiện: a) Mỗi số nhỏ 40000 b) Mỗi số nhỏ 45000 ĐS: a) 3.P4=72 số c) Chia trường hợp a=1;2;3 và a=4, tổng có:3.P4+1.3.P3=90 số Bài 14: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nhau.Trong các số đó, có bao nhiêu số mà các chữ số và : a) đứng cạnh b) Không đứng cạnh Giải:Số các số gồm chữ số đôi khác viếttừ chữ số đã cho là hoán vị phần tử Ta có: P9=9!=362880 số a) Số cách chọn chữ số và cho chữ số đứng trước chữ số chữ số dứng trước chữ số là Có cách chọn chữ số va7 đứng cạnh mà chữ số đứng trước chữ số số có chữ số khác Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có P7 cách chọn Vậy có: 2.8.P7=80640 số Bài 15: Hỏi từ 10 chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác cho các số đó có mặt chữ số và Giải: Gọi số cần lập có dạng abcdf (a 0) Cách 1: Do a nên chọn chữ số xếp vào vị trí còn lại có cách chọn Chọn chữ số xếp vào vị trí còn lại có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A84 cách chọn có: 5.5 A84 =42000số Cách 2: TH1: a tùy ý: Chọn vị trí để chữ số 1và có: C 62 =15 cách chọn Sắp chữ số 0và vào vị trí có 2!=2 cách Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A84 cách chọn TH này có: 15.2 A84 =50400số Lop12.net (6) TH2: a=0 Chọn chữ số vào vị trí còn lại có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A84 cách chọn TH này có: A84 =8400 cách Vậy số các số cần tìm là: 50400-8400 =42000 số Bài 16:-Người ta viết các số có chữ số các chữ số 1,2,3,4,5 sau: Trong số viết có chữ số xuất lần còn các chữ số còn lại xuất lần Hỏi có bao nhiêu số Giải:Chọn chữ số chữ số có C 51 cách Chọn vị trí vị trí để xếp chữ số có C 62 cách Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có P4 cách Vậy có: C 51 C 62 P4=1800 số Bài 17:Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhỏ 10000 tạo thành từ chữ số: 0,1,2,3,4 Giải: Số tự nhiên nhỏ 10000 là số tự nhiên có nhiều chữ số viết từ các chữ số đã cho Số các số tự nhiên có chữ số: có số Số các số tự nhiên có chữ số: có4.5 =20 số Số các số tự nhiên có chữ số: có 4.5.5=100 số Số các số tự nhiên có chữ số: có 4.5.5.5=500 số Vậy có thảy: 625 số Bài 18:Xét số gồm chữ số đó có chữ số và chữ số còn lại là: 2,3,4,5 Hỏi có bao nhiêu số : a) Có chữ số viết cạnh b) Các chữ số xếp tùy ý Giải: a) Năm chữ số xếp cạnh có thể xem là phần tử hợp với phần tử còn lại 2,3,4,5 thành tập hợp gồm phần tử: 1,2,3,4,5 Số cách xếp là: 5!=120 số b)Số cách xếp chữ số vào vị trí vị trí là C 95 cách Số cách chữ số còn lại vào vị trí còn lại có P4 cách Vậy có: C 95 P4=3024 số Bài 19:Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Từ chữ số đó có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác đôi và không chia hết cho 10 Giải: Giải sử số cần lập dạng: abcd (a 0) Số không chia hết cho 10 nên d 0, đó d có cách chọn a khác và khác d nên a có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A62 cách chọn Vậy số các số cần tìm là: 7.6 A62 =1260 số Bài 20: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 ĐS: A95 =3024 số Bài 21: Cho chữ số 1,2,3,4 a) Có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác b) Tính tổng các số tìm câu a Giải: a) 24 số b) Ứng với số tồn số viết theo thứ tự ngược lại(ví dụ 1234 và 4321) nên tổng hai số này là 5555 Vậy tổng các số viết là:12.5555=66660 Lop12.net (7) Bài 22: a)Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác đôi đó chữ số đầu tiên phải là chữ số lẻ b)Có bao nhiêu số gồm chữ số khác đôi đó có đúng chữ số lẻ ,3 chữ số chẵn Giải: Gọi số cần lập dạng abcdef (a 0) a) a là chữ số lẻ nên a có cách chọn Do số cần lậ là số chẵn nên f có cách chọn Còn chữ số xếp vào vị trí nên có A84 cách chọn Suy số các số cần tìm là: ` 5.5 A84 =42000 số b)TH1: a tùy ý: Chọn chữ số lẻ có C 53 cách chọn Chọn chữ số chẵn có C 53 cách chọn Với chữ số (3 chữ số chẵn và chữ só lẻ) xếp vào vị trí có P6 cách Th này có C 53 C 53 P6= 72000 số TH2: a=0 Chọn chữ số lẻ có C 53 cách chọn Chọn chữ số chẵn có C 52 cách chọn Với chữ số (2 chữ số chẵn và chữ só lẻ) xếp vào vị trí có P5 cách Th này có C 53 C 52 P5= 7200 số Vậy số các số cần tìm là: 72000-7200=64800 số Bài 23: Tìm số các số tự nhiên có đúng chữ số cho số đó, chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Giải: Ta có chữ số đầu tiên phải khác 0.Theo bài ra, ta suy các chữ số khác và khác Từ chữ số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 chọn chữ số khác nhau, với chữ số này ta lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán Do đó số các số cần tìm là số tổ hợp chập phần tử: C 95 =126 số Bài 24: Có bao nhiêu số khác gồm chữ số cho tổng các chữ số số là số chẵn Giải: Nhận thấy với số có chữ số a1 a a3 a a5 a (a1 0) ta lập đuợc 10 số có chữ số dạng a1 a a3 a a5 a a mà đó có số có tổng các chữ số là số chẵn.Vì a1 a a là số lẻ thì có cách chọn a7 Nếu a1 a a là số chẵn thì có cách chọn a7 Ta thấy a1 có cách chọn, còn a2, …, a6 thì chữ số có 10 cách chọn Do đó, số các số thỏa mãn ycbt là: 9.105.5= 45.105 số Bài 25: Có bao nhiêu số gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số: 1,2,3,4,5,7,9 cho chữ số chẵn không nằm kề Giải: Số các số có chữ số khác đôi đựơc viết từ chữ số đã cho là 7!=5040 số Số các số có chữ số khác đôi viết từ chữ số đã cho cho chữ số và đứng cạnh là 2!.6!=1440 số Do đó số các số cần tìm là: 5040-1440 số Bài 26: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác đôi và số đó tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị Giải: Giả sử số tự nhiên cần lập có dạng a1 a a3 a a5 a (a1 0) Theo bài ta có: a1+a2+a3=a4+a5+a6 -1 a1+a2+a3+ a4+a5+a6 = 2(a4+a5+a6 )-1 21=2(a4+a5+a6 )-1 (a4+a5+a6 )=11 =>a1+a2+a3=10(*) Lop12.net (8) Vì a1, a2, a3 thuộc tập có phần tử là: 1, 2, 3, 4, 5, nên (*) thỏa mãn có khả sau: KN1: a1 = 1, a2 = 3, a3 = KN2: a1 = 1, a2 = 4, a3 = KN3: a1= 2, a2 = 3, a3 = Với là a1, a2, a3 nêu trên ta có thể tạo 3! Hoán vị và hoán vị đó ghép với 3! Hoán vị số a4, a5, a6 Do đó số các số cần timg là: 3.3!.3!= 108 số Bài 27: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và chữ số đứng cạnh chữ số Giải: Ta có thể coi cặp (2,3) là phần tử và hợp với phần tử còn lại ta tập hợp gồm phần tử Chữ số và có thể hoán vị cho số nên có 2!= cách TH1: chữ số tận cùng bên trái tùy ý, đó với phần tử trên xếp vào vị trí có 5! cách TH này có: 2!.5! số TH2: chữ số tận cùng bên trái là Chọn phần tử còn lại xếp vào vị trí còn lại có 4! Cách TH có: 2!.4! số Vậy số các số cần tìm là: 2!.5! -2!.4! = 192 số Bài 28: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập bao nhiêu số chẵn mà số gồm chữ số khác Bài 29: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác thỏa mãn điều kiện chữ số hàng trăm ngàn khác và phải có mặt chữ số Giải: Số các số chẵn gồm chữ số khác nhau: (chia TH) có: A84 4.8 A84 =41 A84 số Số các số chẵn có chữ số không có mặt chữ số là: A474 3.7 A 74 29 A74 Vậy số các số cần tìm là: 41 A84 - 29 A74 = 44520 số Bài 30:Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số thỏa mãn điều kiện: Chữ số xuất lần và các chữ số khác xuất lần ĐS: C 62 P4 số Bài 31: Có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 Giải: Giả sử số tự nhiên cần lập có dạng n= a1 a a3 a a5 a (a1 0) Vì n < 600000 nên a1 1, 2, 3, 4, 5 TH1: Nếu a1 1 ,3 ,5 thì a1 có cách chọn a6 có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A84 cách TH này có: 3.4 A84 =20160 số TH2: Nếu a1 nhận nên a1 có cách chọn a6 lẻ nên có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A84 cách TH này có: 2.5 A84 =168000 số Vậy có thảy: 20160 + 168000 = 36960 số Bài 32: Có bao nhiêu số gồm chữ số cho tổng các chữ số số là số lẻ Giải: Giả sử số tự nhiên cần lập có dạng n = a1 a a3 a a5 (a1 0) Để n là số lẻ thì có khả năng: KN1: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 chẵn thì a5 1, 3, 5, 7, 9 KN2: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 lẻ thì a5 0, 2, 4, 6, 8 Lop12.net (9) Do đó với số a1 a a3 a cho ta số có chữ số mà tổng các chữ số là số lẻ Mà có 103 số có chữ số Vậy có: 5.9 103 = 45000 số Bài 33: Có bao nhiêu số lẻ có chữ số chia hết cho Giải: Ta thấy : Các số có chữ số chia hết cho là: 100017, 100026, 100035, … , 999999 Các số lẻ có chữ số chia hết cho lập thành cấp số cộng với u1 = 100017; un = 999999 và công sai d = 18 Ta có: 100017+(n - 1)16 = 999999 n = 5000 Vậy số các số cần tìm 5000 Bài 34: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ só khác đôi đó chữ số kề không cùng là chữ số lẻ Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n = a1 a a3 a a5 a (a1 0) Vì n có chữ só khác đôi đó chữ số kề không cùng là chữ số lẻ nên n có thể có 1hoặc chữ số lẻ TH1: Nếu n có chữ số lẻ - Với a1 là chữ số lẻ thì các chữ số còn lại là chữ số chẵn Khi đó a1 có cách chọn.Chọn chữ số chẵn xếp vào vị trí còn lại có 5! Cách Do đó ta có: 5.5!= 600 số - Với a1là chữ số chẵn (a1 0) nên a1 có cách chọn Chọn chữ số lẻ có cách chọn Với chữ số lẻ đã chọn có vị trí để xếp nên có cách chọn Xếp chữ số chẵn còn lại vào vị trí còn lại có 4! cách Suy ra, ta có:4 5.5.4! = 2400 số Vậy TH này có: 600 + 2400 = 3000số TH2: Nếu n có chữ số lẻ - Với a1 là chữ số lẻ nên a1 có cách chọn a2 chẵn nên a2 có cách chọn Chọn chữ số lẻ có cách chọn Với chữ số lẻ đã chọn xếp vào vị trí còn lại có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có A43 cách Suy ra, ta có: 5.5.4.4 A43 = 9600 số - Với a1 chẵn thì a1 có cách chọn Có cách chọn hai vị trí để xếp hai chữ số lẻ không kề Chọn chữ số lẻ có C 52 cách , với cặp chữ số lẻ có thể hoán vị vị trí cho nên có 2! cách Chọn chữ số chẵn còn lại xếp vào vị trí còn lại có A43 cách Suy ra, ta có: 4.6 C 52 2! A43 = 11520 số Vậy trường hợp này có: 9600 + 11520 = 21120 số TH3: Nếu n có chữ số lẻ: - Với a1 lẻ có cách chọn Khi đó a2 phải chẵn nên có cách chọn Có cách chọn vị trí không kề chữ số lẻ vị trí còn lại Chọn chữ số lẻ còn lại sau đó hoán vị vị trí chữ số đó có C 42 P2 A42 cách Chọn chữ số chẵn còn lại xếp vào vị trí còn lại có A42 cách Lop12.net (10) Suy ra, ta có: 5.5.3 A42 A42 =10800 số - Với a1 chẵn thì a1 có cách chọn Khi đó có cách chọn vị trí để chữ số lẻ để chữ số đó không kề Chọn chữ số lẻ sau đó hoán vị vị trí chữ số đó có C 53 P3 A53 cách Chọn chữ số chẵn còn lại xếp vào vị trí còn lại có A42 cách Suy ra, ta có: 4.1 A53 A42 = 2880 số Vậy TH này có: 10800 + 2880 = 13680 số Vậy có thảy: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số Bài 35: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhêu số tự nhiên có chữ số khác và có tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n = a1 a a3 a a5 a (a1 0) Theo giả thiết: a4 + a5 + a6 = Ta có: + + = + + = Vậy có cách chọn nhóm chữ số để làm các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Chọn chữ số để có a4 + a5 + a6 = có cách chọn Với chữ số trên có số cách thứ tự chữ số đó vào vị trí a4, a5, a6 là 3! Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí còn lại có: A63 cách Vậy số các số thỏa mãn là: 2.3! A63 = 1440 số NÂNG CAO: Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhêu số tự nhiên có chữ số khác và có tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Bài 36: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số nhỏ 25000 ĐS: 360 số Bài 37: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể thành lập bao nhiêu số chẵn có chữ số khác đó có đúng chữ số lẻ và chữ số lẻ đứng cạnh Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n = a1 a a3 a a5 (a1 0) TH1: a1 lẻ nên có cách chọn a2 phải lẻ và khác a1 nên có cách chọn Chọn chữ số chẵn thứ tự vào vị trí còn lại có A43 cách Vậy TH này có: 3.2 A43 = 144 số TH2: a1 chẵn và khác nên có cách chọn Do n là số chẵn nên a5 phải chẵn nên có cách chọn Số cách chọn vị trí còn lại để xếp chữ số lẻ đứng cạnh là cách Chọn chữ số lẻ và hoán vị chữ số đó có A32 cách Chọn chữ số chẵn còn lại xếp vào vị trí còn lại có 2! = cách Vậy TH này có: 3.2 A32 = 216 số Vậy có thảy: 144 + 216 = 360 số Bài 38: Tìm số các số tự nhiên có đúng chữ số cho số đó: a) chữ số đứng sau nhỏ chữ số đứng liền trước b) là số lẻ và chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Giải:a) Với cách chọn chữ số 10 chữ số đã cho thì có cách theo thứ tự tăng dần, nghĩa là có số.Vậy số các số cần tìm chính là số tổ hợp chập 10 phần tử , vì số đó là: C105 252 số b) Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n= a1 a a3 a a5 (a1 0) Lop12.net (11) Do n lẻ và a5 > a4 > a3 > a2 > a1 > nên có TH sau: TH1: n= a1 a a3 a (a1 0) Khi đó a4, a3, a2, a1 lấy tập hợp gồm phần tử: 1, 2, 3, Do đó có C 44 =1 số thỏa mãn TH2: n= a1 a a3 a (a1 0) Khi đó a4,a3,a2,a1 lấy tập hợp gồm phần tử: 1, 2, 3, , 5, Do đó số các số TH này là: C 64 =15 số TH3: n= a1 a a3 a (a1 0) Khi đó a4,a3,a2,a1 lấy tập hợp gồm phần tử: 1, 2, 3, , 5, 6, 7, Do đó số các số TH này là: C84 =70 số Vậy có thảy: + 15 + 70 = 86 số Bài 39: Với chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số: a) có chữ số và chia hết cho b) Có chữ số khác và chia hết cho Giải: a)Ta đã biết số có từ chữ số trở lên chia hết cho thì điều kiện cần và đủ là số có hai số cuối số đó phải chia hết cho Từ chữ số đã cho có thể chọn các số sau chia hết cho là: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64 Chọn chữ số cuối theo trên có cách chọn Chọn chữ số hàng trăm có cách chọn Chọn chữ số hàng nghìn có cách chọn Vậy có: 9.6.6 = 324 số b) Từ chữ số đã cho có thể chọn các số có các chữ số khác sau chia hết cho là: 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64 Chọn chữ số cuối theo trên có cách chọn Chọn chữ số hàng trăm có cách chọn Chọn chữ số hàng nghìn có cách chọn Vậy có: 8.4.3 = 96 số Bài 40: Có thể lập bao nhiêu số có chữ số cho số có mặt tối đa lần, các chữ số 2, 3, số có mặt tối đa lần Giải: Vì các chữ số 2, 3, cómặt tối đa lần nên ta phải lập số có chữ số tứ 1, 2, 3, 4, nên chữ số phải có mặt tối thiểu lần TH1: Chữ số xuất đúng lần(khi đó chữ số 2, 3, có mặt đúng lần) Chọn vị trí vị trí để xếp chữ số có C 63 cách vị trí còn lại chữ số 2,3,4 có 3! cách TH này có: C 63 3! 120 số TH2: Chữ số xuất đúng lần Chọn vị trí vị trí để xếp chữ số có C 64 cách vị trí còn lại sắp2 chữ số 2,3,4 có A32 cách TH này có: C 64 A32 =90 số TH3: Chữ số xuất đúng lần Chọn vị trí vị trí để xếp chữ số có C 65 cách vị trí còn lại chữ số 2,3,4 có A31 cách TH này có: C 65 A31 =18 số Vậy có thảy: 120 + 90 +18 = 228 số Bài 41: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Lop12.net (12) a) Chữ số hàng vạn là số chẵn b) Đó là số không chia hết cho c) Các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục phải đôi khác Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n= a1 a a3 a a5 a a (a1 0) Do a3 là số chẵn nên có cách chọn Do n không chia hết cho nên a7 khác và 5.có cách chọn Do a1 khác nên a1 có cách chọn a4 có 10 cách chọn Chọn 10 chữ số thứ tự vào vị trí còn lại có A103 cách Theo qui tắc nhân số các số cần tìm là: 5.8.9.10 A103 =2592000 số Bài 42: Chứng minh n C nk a k 1 k 0 C n k b C n0 C nk C n1 C nk11 C n2 C nk22 (1) k C nk C n0 k với k, n nguyên dương và k n c n (1) k 0 k kC nk n 1 k C n n 1 k 0 k Bài giải: Câu a: Ta có C nk n (k 1)!(n 1)! n!(n 1)!(k 1) k 1 (n k )!(n k 2)! C n k k!(n k )! (n k 2)! d n (2n 1)! (2n 1)! n!(n 1)! n!(n 1)! (n k )!(n k 1)! (n k 1)!(n k 2)! [ ] (2n 1)! (2n 1)! (n k )!(n k 1)! (n k 1)!(n k 2)! n!(n 1)! n!(n 1)! C n k C n k 1 n 1 n n 1 (1) 2 C n 1 Đẳng thức (1) đúng với k = 0, 1, 2,…, n-1 n 1 Ck 1 n 1 1 Vậy k n1 n (C 2nnk1 C 2nnk11 ) (C 2nn 1 C 20n 1 ) n 2 C C C k 0 nk 2 n 1 k n 1 Suy VT = C nn 1 1 n!(n 1)! (n 1)!(n 1)! n ( C C ) n 1 n 1 n 1 n n 1 n (2n 2)! 2C n 1 C n 2 2C n 1 C n 2 2(2n 1)! n!(n 1)! n 1 ( ) (2n 1)! 2n 2 Câu b: Ta có (1 x) k C k0 C k1 x C k2 x C kk x k (1) Nhân hai vế đẳng thức (1) với C nk ta có C nk (1 x) k C nk C k0 C nk C k1 x C nk C k2 x C nk C kk x k (2) n! k! n! (n m)! C nm C nkmm (3) Vì C nk C km (n k )!k! (k m)!m! m!(n m)! (k m)!(n k )! Từ (2) và (3) suy với x có Lop12.net (13) C nk (1 x) k C n0 C nk C n1 C nk11 x C n2 C nk22 x C nk C n0 k x k Thay x = -1 ta C C C C Câu c: Ta có n k n n m m k 0 k 0 m k 1 nk C C n k 2 n2 (4) (1) C C n0 k (đpcm) k k n ( x 1) m C mk x m k (1) k (1) k C mk x m k (1) Thay x = vào (1) thì (1) k 0 Lại có (1) k kC nk (1) k k Từ (3) suy k C mk (2) n! (n 1)! (1) k n (1) k n.C nk11 (3) k!(n k )! (k 1)!(n k )! n n n n k 1 k 1 k 0 (1) k kC nk n (1) k C nk11 (n) (1) k 1 C nk11 (n) (1) k C nk1 (4) k 0 Từ (2) và (4) suy n (1) C k 0 k k n (đpcm) Câu d: Ta có n! n! (n 1)! 1 C nk C nk11 k 1 (k 1)k!(n k )! (k 1)!(n k )! (k 1)!(n k )! n n 1 n k 1 n 1 k n 1 k n 1 0 C nk C C ( C ) C n1 n n1 n n n 1 n k 0 n k 0 k 0 n k 1 Bài 43:Cho n và k là hai số nguyên cho k n Chứng minh (2n)! a C n0 C nk C n1 C nk 1 C n2 C nk C nn k C nn (n k )!(n k )! n (2n)! (C 2nn ) b 2 ( k ! ) [( n k )! ] k 0 n Vậy n 1 c C 22n( n1 k ) C n1 k n 1 Với n k 0 Bài giải: Câu a: Ta có (1 x) n C n0 C n1 x C n2 x C nn x n 1 1 (1 ) n C n0 C n1 C n2 ( ) C nn ( ) n x x x x 1 1 (1 x) n (1 ) n [C n0 C n1 x C n2 x C nn x n ][C n0 C n1 C n2 ( ) C nn ( ) n ] (1) x x x x k k 1 k 2 nk n k Hệ số x là C n C n C n C n C n C n C n C n (*) 1 Mặt khác (1 x) n (1 ) n n (1 x) n n (C 20n C 21n x C 22n x C 2nn k x n k C 22nn x n ) (2) x x x nk k Hệ số x là C n (**) (2n)! Từ (*) và (**) suy C n0 C nk C n1 C nk 1 C n2 C nk C nn k C nn = C 2nn k = (n k )!(n k )! Câu b: n n (2n)! (2n)! n (n!) n k Ta có C n (C n ) (1) 2 2 n ! n ! ( k ! ) [( n k )! ] ( k ! ) [( n k )! ] k 0 k 0 k 0 Lop12.net (14) Từ kết câu a thay k = có (C n0 ) (C n1 ) (C n2 ) (C nn ) (2n)! C 2nn (2) n!n! n n (2n)! n k k k k C n (C n ) C n C n (C n ) (đpcm) 2 ( k ! ) [( n k )! ] k 0 k 0 Thay (2) vào (1) ó Câu c: Ta có n 1 C k 0 2( nk ) n 1 n 1 n 1 k 0 k 0 n 1 (2n 1)!k 2k (2n 1)! k ( 2k )!( 2n 2k 1)! k 2( 2k )!( 2n 2k 1)! n 1 C n1 k (n k )C 22n( n1 k ) kC 22nk1 2n C 22nk 1 (1) n 1 Mặt khác (1 1) n (1 1) n 2 C 22nk 1 n (2) k 0 Từ (1) và (2) suy n 1 C k 0 2( nk ) n 1 C n1 k 2n 1 n (2n 1).4 n 1 suy điều phải chứng minh 2 Bài 44: Chứng minh: C nk11 C nk21 C nk31 , , ,C kk 1 C kk11 C nk với k, n nguyên dương và k n Bài giải: Áp dụng công thức C nk C nk 1 C nk1 ta có C nk11 C nk1 C nk C nk21 C nk C nk1 C nk31 C nk3 C nk C kk 1 C kk C kk1 Cộng các đẳng thức trên theo vế ta có: C nk11 C nk21 C nk31 , , ,C kk 1 C kk C nk Thay C kk C kk11 ta có điều cần phải chứng minh Bài 45: Cho đa thức P( x) (1 x) (1 x)10 (1 x)11 (1 x)12 (1 x)13 (1 x)14 Khai triển và ước lược các số hạng đồng dạng P( x) a a1 x a x a13 x13 a14 x14 Tìm hệ số a9 Bài giải: Ta có 10! 11! 12! 13! 14! a9 C 99 C109 C119 C129 C139 C149 9!1! 9!2! 9!3! 9!4! 9!5! 10 55 220 715 2002 3003 Bài 46: Tìm số hạng không chứa x khai triển (2 x ) 20 x Bài giải: Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn trên với n = 20 , a x , b ta có số hạng thứ k+1 x khai triển là Tk+1= C 20k (2 x ) 20 k ( ) k C 20k 20 k (5) k x 605 k x Số hạng Tk+1 không phụ thuộc x 60 5k k 12 12 12 Với k = 12 thì số hạng cần tìm là T13 = C 20 25 Lop12.net (15)