1.1 Đếm các số tự nhiênđược thành lập.. Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh.. Xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Quy tắc cộng:
Có n1 cách chọn đối tượng A1
n2 cách chọn đối tượng A2
A1 A2 =
Có n1 + n2 cách chọn đối tượng A1, A2
2) Quy tắc nhân:
Có n1 cách chọn đối tượng A1
Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2
Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 3) Hoán vị:
Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị: Pn = n!
4) Chỉnh hợp:
Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k n) thứ tự chúng gọi chỉnh
hợp chập k n phần tử
Số chỉnh hợp: k n
n! A
(n k)!
5) Tổ hợp:
Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 k n) gọi tổ hợp chập k n phần tử
Số tổ hợp: k n
n! C
k!(n k)!
Hai tính chất
k n k
n n
C C
Ck 1n Ckn Ckn
6) Nhị thức Newton
n
n k n k k n k
0 n n n n
n n n
(a b) C a b
C a C a b C b
Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):
k n k k k n
T C a b
Đặc biệt:
n 2 n n
n n n n
(2)II / MỘT SỐ VÍ DỤ 1 Bài toán đếm.
1.1 Đếm số tự nhiênđược thành lập. Ví dụ 1
Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số cho a) Các số khác
b) Chữ số
c)Các chữ số khác không tận chữ số
Giải
a) Mỗi số có chữ số khác thành lập tương ứng với chỉnh hợp chập phần tử Có
5
A = 2520 số
b) Gọi số cần thiết lập abcde Chữ số đàu tiên a có cách chọn
b, c, d, e có cách chọn
Có 1.7.7.7.7 = 2401 số
c) Gọi số cần thiết lập abcde
Chữ số cuối khác e có cách chọn (trừ số 4)
a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn
Có 6.6.5.4.3 = 2160 số Ví dụ 2.(ĐH An ninh 97)
Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, thành lập số chẵn có chữ số khác
Giải
Gói số cần thiết lập abcde Xét hai trường hợp
+ Trường hợp 1: Chọn e = e có cách chọn
Khi a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn
Có 6.5.4.3 = 360 số
+ Trường hợp 2: Chọn e { 2, 4, } e có cách chọn
Khi a có cách chọn trừ số e b có cách chọn
c có cách chọn d có cách chọn
Có 3.5.5.4.3 = 900 số
Vậy có 360 + 900 = 1260 số
Ví dụ 3
Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có chữ số cho số tạo thành gồm chữ số khác thiết có chữ số
Giải Cách 1:
Thành lập số có chữ số khác khơng có mặt chữ số Có
3
A = 120 số
Với số vừa thành lập có vị trí để xen số tạo thành số có chữ số khác có mặt chữ số
(3)Cách 2:
Số cần tìm có bốn dạng 5bcd,a5bc,ab5d,abc5 Mỗi dạng có 120 số có 480 số
Ví dụ 4:
Có số tự nhiên gồm 2008 chữ số cho tổng chữ số
Giải
Xét trường hợp
+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm chữ số 2007 chữ số
Chỉ có số 3000…000 (2007 chữ số 0)
+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm chữ số 1, chữ số 2006 chữ số Chọn chữ số có cách chọn số
Chữ số lại có 2007 vị trí để đặt, cịn vị trí khác đặt số
Có 2.2007 = 4014 số
+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm chữ số 2005 chữ số Chọn chữ số
Chọn 2007 vị trí để đặt chữ số có
2 2007
C = 2007.1003 = 2013021
Vậy có + 4014 + 2013021 = 2017036 số
Ví dụ 5(ĐHQG TPHCM 2001)
Có số tự nhiên gồm bảy chữ số biết chữ số có mặt hai lần, chữ số ba có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần
Giải
+ Coi dãy gồm chữ số tương ứng với số gồm chữ số (Kể bắt đầu 0) Khi ta thành lập số cách xếp chữ số vào vị trí
Chọn vị trí để xếp chữ số 2: có C27 cách
Chọn vị trí cịn lại để xếp chữ số 3: có C35 cách
Chọn chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, để đặt vào vị trí cịn lại có
A cách
Có
2
C .
C .
A = 11 760 cách.
+ Cần phải loại trường hợp chữ số đứng đầu Lập luận tương tự cho vị trí có
2
C .
C .
A =
420 số
Vậy có 11 760 420 = 11 340 số
1.2 Đếm số phương án.
Ví dụ 6: (ĐH Thái nguyên 99)
Một lớp học có 25 nam 15 nữ Cần chọn nhóm gồm ba học sinh Hỏi có cách: a) Chọn học sinh
b) Chọn học sinh gồm nam nữ c) Chọn học sinh có nam
Giải
a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập3 40 Số cách chọn là:
3 40
C 9880 cách.
b) Chọn nam có 25
C 25 cách
Chọn nữ có C152 105 cách
(4)c) Chọn học sinh có 9880 cách Chọn học sinh nữ có C153 455 cách
Có 9880 455 = 9425 cách chọn có nam Ví dụ 7: (ĐHSP Quy Nhơn 97)
Cho hai đường thẳng song song a b Trên a lấy 17 điểm phân biệt, b lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh số 37 điểm chọn
Giải Cách 1
Mỗi tam giác hình thành ba điểm khơng thẳng hàng Số ba điểm từ 37 điểm là:
3 37 C
Số ba điểm thẳng hàng a là:
3 17 C
Số ba điểm thẳng hàng b là:
3 20 C
Vậy số tam giác tạo thành là:
3 37 C
3 17 C
3 20 C
= 11 340 tam giác
Cách 2:
Mỗi tam giác tạo thành điểm đường thẳng hai điểm đường thẳng Xét trường hợp
+ TH1: Tam giác tạo thành điểm a điểm b: có 17.C220 + TH2: Tam giác tạo thành điểm a điểm b: có 20.C172
Số tam giác là:
2 20
17.C + 17
20.C = 11 340
Ví dụ 8: (ĐH Cảnh sát nhân dân)
Cho tam giác ABC Xét gồm đường thẳng song song với AB, đường thẳng song song với BC đường thẳng song song với CA khơng có ba đường thẳng đồng quy Hỏi đường thẳng tạo tam giác tứ giác (khơng kể hình bình hành)
Giải
a) Mỗi tam giác tạo thành ba đường thẳng thuộc ba nhóm khác Số tam giác
4.5.6 = 120
b) Mỗi hình thang khơng phải hình bình hành tạo thành hai đường thẳng thuộc nhóm đường thẳng thuộc nhóm cịn lại Số hình thang
2 1 1
4 6
C C C C C C C C C 720 hình thang Giải phương trình, bất phương trình hệ đại số tổ hợp Ví dụ 1: (CĐSP TPHCM99)
Tìm k thỏa mãn:
k k 2 k 1
C14C14 2C14 Giải
ĐK
k N k 12
(5)Phương trình tương đương với
14! 14! 2.14!
k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!
1
(14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k)
(k + 2)(k + 1) + (14 k)(13 k) = (k + 2)(14 k) k2 12k + 32 =
k = 4, k = (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k =
Ví dụ 2: (ĐH Hàng hải 99)
Giải bất phương trình:
n 3
Cn 1 1
4 14P
An 1 3
Giải
ĐK: 4 n+1 n 3, n nguyên dương
n 3
Cn 1 1
4 14P
An 1 3
n 3 4 14.P C3 n 1 An 1
n !
14.3! n n n n 2 n !2!
n2 n 42 0 n n 7 07 < n <
Kết hợp với Đk n tập nghiệm bất phương trình là: {3, 4, 5}
Ví dụ 3: (ĐHBK HN2001)
Giải hệ phương trình:
y y
2.Ax 5.Cx 90
y y
5.Ax 2.Cx 80
Giải
ĐK: x, y N*, y x
Đạt u A , yx v C yx u, v N* ta có hệ u
2.u 5.v 90 5. 2.v 80
u 20 v 10
Thay vào ta có
y Ax 20
y Cx 10
x! (x y)! x! y!(x y)! 20 10 y! x!
(x y)! 20
y x!
(x 2)! 20
x(x 1) 20 y
x 5, x
y
Kết hợp điều kiện Hệ phương trình có nghiệm
(6)3) Xác định số hạng khai triển Newuton. Ví dụ 1: (ĐH Kinh tế quốc dân, 1997)
Tìm số hạng khơng chứa x khai triển Newton
12 1 x
x
Giải
Số hạng tổng quát
k
k 12 k k 12 2k
k 12 12
1
T C x C x
x
.
Số hạng không chứa x tương ứng với 12 2k = k =
Đáp số:số hạng khơng chứa x phải tìm là:
12.11.10.9.8.7 6 0
C x12 924
1.2.3.4.5.6
Ví dụ 2:(ĐH CĐ, khối A, 2003)
Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn
n 1 x5
3 x
,
biết
n 1 n
Cn 4 Cn 37 n 3
Giải
Ta có
(n 4)! (n 3)! n 1 n
Cn 4 Cn 3 7 n 3 7(n 3)
(n 1)!.3! (n)!.3!
(n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3) (n 4)(n 2) (n 2)(n 1) 42 3n = 36 n = 12
Số hạng tổng quát
12 k k 5k 36 3k
1
k 5 k 2
Tk 1 C 12 3 x C x12 x
Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k 36 3k 82 11k = 88 k = 8.
Đáp số:Hệ số số hạng chứa x8 phải tìm là:
C12495
Ví dụ 3:
Khai triển đa thức: P(x) =
12
1 2x
thành dạng :
12
0 12
P x a a x a x a x
Tìm maxa ,a , , a1 12
Giải
Số hạng tổng quát
k k
2x k
k k
Tk 1C 12 C x12
(7)Xét hai hệ số liên tiếp
k k ak C 212
k k 1 ak 1C12 .2
Giả sử ak < ak + 1
k k
k k 1
C 212 C12 .2
12! 12!
k!.(12 k)! (k 1)!.(11 k)! .2
23
k 8
3
Vậy a0 < a1 < … < a8
Tương tự a8 > a9 > … > a12
Vậy hệ số lớn là:
8 8
a C 212 126720
4) Tính tổng chứng minh đẳng thức.
Ví dụ 1 : Chứng minh n, k N* n ≥ k ≥ thì:
k k n n
kC nC
Giải
Thật n, k N* n ≥ k ≥ ta có: k
n
n! n(n 1)!
kC k
k!(n k)! (k 1)!(n k)!
=
(n 1)! n
(k 1)!(n k)!
= 11
k n
nC
(đpcm)
Lưu ý :(Đây kết có nhiều ứng dụng tập chứng minh đẳng thức tổ hợp khi chưa có cơng cụ đạo hàm tích phân)
Ví dụ 2 : (ĐH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997)
Tính tổng S C 116 C117 C118 C119 C1011C1111 Giải
Do C116 C ,C115 117 C , 114 nên
5 0 10 11
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
S C C C C C C 2S C C C C C (1)
Áp dụng khai triển Niu tơn
n
n k k
n k
x 1 C x
với x = 1, n = 11
11
11 k 0 1 2 10 11
11 11 11 11 11 11
k
1 1 C C C C C C
(2) Từ (1), (2) suy 2S 2 11 S 2 10 1024.
Đáp số : S 2 10 1024
Ví dụ 3 : (ĐH Bách Khoa Hà Nội, 1999) Cho n số tự nhiên lớn 2, tính tổng :
S C 1n 2.C2n 3.C3n 4.C4n ( 1)n 1 .n.Cnn
Giải Cách 1: (Sử dụng kết ví dụ 1)
Áp dụng kết ví dụ ta có:
0
2
n n n n
n n
n
1
Cn .Cn 1 2.Cn .Cn 1
( 1) n.C n ( 1) .Cn 1
(8)Cộng theo vế đẳng thức ta
0 n n
n n n n n
n
n(C C C C ,,, ( 1) C )
n(1 1)
1 2 3 4 n 1 n
S Cn 2.Cn 3.Cn 4.Cn ( 1) .n.Cn
Cách 2: (Sử dụng đạo hàm)
Xét khai triển
(1 x) n Cn0 xC1n x C2 2n x C n nn
n 1 n n
n n n
n.(1 x) C 2xC nx C
Chọn x =
n 1 n n
n n n
n.(1 1) C 2C ( 1) nC
Vậy : S =
Ví dụ 4: (ĐHDL Duy Tân, khối A, 2001)
Tính tổng sau :
0 n
n n n n n
1 1
n
1
S .C .C C C C
1 2 3 4
Giải Cách 1( Sử dụng kết ví dụ 1)
Âp dụng kết ví dụ ta có:
k k n n
kC nC
k k
n n
(k 1)C (n 1)C
k k
n n
1
C C
k n
Thay k = 0, 1, … , n ta có
0
n n
1
n n
2
n n
n n
n n
1
C C
1 n
1
C C
2 n
1
C C
3 n
1
C C
n n
0 n
n n n n n
1 n
n n n n n
1 1
n 1
(C C C C )
n 1
(2 1)
n
1
S .C .C C C C
1 2 3 4
Vậy n 1 (2 1) n S
Cách 2:(Sử dụng tích phân)
Xét khai triển
(1 x) n Cn0 xC1n x C2 2n x C3 n3 x C n nn
1
n 2 3 n n
n n n n n
0
(1 x) dx (C xC x C x C x C )dx
(9)1
1 n n
n
(1 x) 2 1
(1 x) dx
n 1 n 1
n
2 1
n 1
0 n n
n n n n n
1 1
x
n
1 C .x C x C x C x C
1 2 3 4
0 n
n n n n n
1 1
n
1.C .C C C C
1 2 3 4
Vậy Vậy
n
1
(2 1)
n
S
Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức sau:
7
3
7
6 5 4 3 2
2 .C0 2 .C1 2 C2 2 C3 2 C4 2C5 1C6
6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
Giải
Xét khai triển
(2 x) 2 C6 60 2 xC5 16 2 x C4 62 2 x C3 63 2 x C2 64 2x C5 56 x C6 66
1
6 2 3 4 5 6
6 6 6 6
0
(2 x) dx (2 C 2 xC 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x C )dx
7
2
6 3
6 6 6 6
1 1
(2 x) 0 7
1
x x x x x x
(2 C x 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C C )
0
2 3 4 5 6 7
7
3
7
6 5 4 3 2
2 .C0 2 .C1 2 C2 2 C3 2 C4 2C5 1C6
6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
Vậy
7
3
7
6 5 4 3 2
2 .C0 2 .C1 2 C2 2 C3 2 C4 2C5 1C6
6 6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6 7
(10)BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN :
1) Có cách xếp người khách gồm nam nữ ngồi vào hàng ghế nếu: a) họ ngồi chỗ được?
b) họ ngồi kề nhau?
c) nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề hai nhóm có ghế trống? 2) Có cách xếp chỗ ngồi cho người khách
a) vào ghế xếp thành dãy
b) vào ghế chung quanh bàn trịn, khơng có phân biệt ghế
3) Mười người muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác cách đổi chỗ đứng lẫn Cho lần đổi chỗ chụp ảnh phút, hỏi cần để chụp tất ảnh khác nhau?
4) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác khác biết tổng ba chữ số 8?
5) Một dãy ghế dành cho nam sinh nữ sinh Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) họ ngồi chỗ
b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề c) có nữ sinh ngồi kề
6) Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác biết tổng ba chữ số 12?
Một phòng khách có chỗ đặt tranh, ảnh tượng Chủ nhà muốn trang trí cách xếp đặt tranh khác vào chỗ, ảnh khác vào chỗ thứ hai tượng khác vào chỗ cịn lại Hỏi có cách trang trí phịng khách?
7) Ta muốn mời người ngồi vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người bọn họ muốn ngồi kề nhau?
b) Có người bọn họ khơng muốn ngồi kề nhau?
c) Có người bọn họ không muốn ngồi kề đơi một?
8) Một bàn dài có 12 ghế, bên ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 12 người khách gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a) họ ngồi chỗ ?
b) nam ngồi bên, nữ ngồi bên ? c) nam nữ ngồi đối diện ?
d) nam nữ ngồi xen kẽ đối diện ?
9) Cho số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số gồm chữ số khác lấy từ số cho, cho:
a) Số chẵn
b) Số chia hết cho c) Ln có mặt chữ số
10) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập số gồm chữ số khác lấy từ chữ số cho cho số lẻ đứng liền
11) Cho số : 0,1,2,3,4,5,6
a) Có thể lập số gồm chữ số lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt lần
b) Có thể lập số có chữ số lấy từ số cho cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần
12) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập số từ số khác lấy từ số cho Sao cho:
a) Ln có mặt chữ số b) Số chia hết cho c) Không chữ số
13) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số có chữ số lấy từ số cho cho:
a) Số đầu số cuối giống nhau, số khác b) chữ số đầu chữ số cuối giống
14) Cho số: 0,1,2,3,4,5,6,7
(11)b) Có thể lập số gồm chữ số cho số có mặt lần, số khác có mặt vài lần
15) Cho số: 0,1,2,3,4,5 Có thể lập số gồm chữ số cho số chẵn không đứng liền
16) Một nhóm người thành lập công ty Họ muốn chọn ban điều hành gồm giám đốc,một phó giám đốc thủ qũy Có 10 người hội đủ điều kiện để chọn Hỏi có cách chọn ban điều hành?
17) Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11m Có cách chọn nếu:
a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? ( Kể thủ mơn)
b) Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số 4?
18) Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu:
a) Người có tượng khác nhau? b) Người có tượng khác nhau? c) Người có tượng khác nhau?
19) Với năm số 1,2,3,4,5 lập số gồm chữ số số có mặt hai lần số cịn lại số có mặt lần?
20) Có số tự nhiên gồm chữ số khác biết rằng: a) số chia hết cho 5?
b) số phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?
32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập số gồm bốn chữ số khác a) Có số nhỏ 5000 ?
b) Có số chẵn nhỏ 7000 ?
21) Một lớp học có 30 học sinh Trong có 12 nữ, cần thành lập tổ cơng tác gồm người Có cách lập cho tổ có nữ
22) Trong không gian cho tập hợp gồm điểm khơng có điểm đồng phẳng Hỏi lập hình tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp cho
23) Một đề thi có 15 câu hỏi Mỗi thí sinh phải rút câu (4 câu rút “ đề thi ” thí sinh này)
a) Có đề thi khác nhau? ( Hai đề thi coi khác có câu khác )
b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh Chứng tỏ có thí sinh gặp đề thi 24) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn học sinh để trực thư viện
Có cách chọn nếu: a) Chọn học sinh được? b) Có nữ sinh chọn? c) Có nữ sinh chọn?
25) Một họ n đường thẳng song song cắt họ m đường thẳng song song Hỏi có hình bình hành tạo thành
26) Cho tập X = {a, b, c, d } Có tạp X a) Không chứa phần tử a?
b) Chứa phần tử a?
27) Một bình đựng viên bi xanh, viên bi đỏ, chúng khác màu Lấy hai viên a) Có kết khác nhau?
b) Có cách lấy viên bi xanh?, hai viên bi đỏ? Hai viên bi khác màu? 28) Giáo viên hướng dẫn lao động muốn chia học sinh làm nhóm gồm 4, 3, học sinh Có
bao nhiêu cách chia?
29) Cho đa giác lồi có n đỉnh ( n4).
a) Tính số đường chéo đa giác này;
(12)30) Một tổ trực gồm nam sinh nữ sinh Giáo viên trực muốn chọn nhóm học sinh Có cách chọn nhóm phải có nữ sinh?
31) Giám đốc cơng ty muốn chọn nhóm người vào hội đồng tư vấn Trong cơng ty có 12 người hội đủ điều kiện để chọn, có hai cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn nếu:
a) Hội đồng có cặp vợ chồng?
b) Hội đồng gồm vợ lẫn chồng ( có )?
32) Tính số đường chéo đa giác lồi có n cạnh Tìm đa giác có số cạnh số đường chéo 33) (ĐH-B-2002) Cho đa giác A A A1 2n(n2,n Z )nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam
giác có đỉnh 2n điểm A A1, 2, ,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là
4 2n điểm A A1, 2, ,A2n, tìm n?.
34) (ĐH-B-2004) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) số câu hỏi dễ khơng 2?
35) (ĐH-B-2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ?
36) Chứng minh rằng:
1
2
2
k k k k n n n n
C C C C k n
37) Chứng minh rằng: 3 3 3
k k k k k n n n n n
C C C C C k n
38) a) Chứng minh : 11
k k k n n n
C C C
b) Chứng minh với 4kn thì: 4
k k k k k k n n n n n n
C C C C C C
39) Giải phương trình: 3.Cx21 2.Ax2 x
40) Giải phương trình:
a)
3
1 14 ;
x x x
A C x
b)
2
2
1
x x x
C A x A
41) Giải bất phương trình:
a)
4
1
5
0
x x x
C C A
b)
4
3
1
14
x x x
A
P C
42) Giải bất phương trình: 12 11 2000
x x x x
C C
43) Chứng minh: 1
k k k k k k k k k m k m
C C C C C
44) Cho mkn Chứng minh: C Cm0 nk C Cm1 nk C Cm2 nk C Cmm nk m Cm nk
45) Chứng minh rằng: 1 1
k k n n
n n n n n
C C C C C
46) a) Chứng minh:
1
0 .1 2 .
1
n n n n n n n
C C C C
n
b Chứng minh:
2
2 2
n n n n k n k n
C C C
47) a) Chứng minh:
2
2.1 3.2 n n
n n n
C C n n C n n
(13)b) Chứng minh:
2 2
0
2
n n
n n n n
C C C C
48) Tìm x để khai triển:
6
12 lgx
x x
có số hạng thứ 200.
49) Trong khai triển
17
1
x x
Tìm số hạng khơng chứa x khai triển.
50) (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton
7
4
1
x x
với x > 0.
51) Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức:
1x51x61x7 1x11
Ta đa thức:
2 11
( )x 11
P A A x A x A x
Tính A7=?.
52) Khi khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng từ biểu thức
9
1x x
Ta đa thức: Px A0A x1 2A x2 2 Tính A7
53) (ĐH-A-2004) Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức:
8
1 x x
54) Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức:
2
1 1
x
P x x x x
55) Trong khai triển:
7
2
1
x x
.Tìm số hạng chứa x2của khai triển đó.
56) (ĐH-A-2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8trong khai triển nhị thức Newton của:
5
1 n
x x
, biết rằng: 41 7( 3)
n n n n
C C n
( n số nguyên dương, x > )
57) (ĐH-D-2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n3là hệ số x3n3trong khai triển thành đa
thức
2 1 n 2 n
x x
Tìm n để a3n326 n
58) (ĐH-A-2006) Tìm hệ số số hạng chứa x26trong khai triển nhị thức Newton của:
7
1 n
x x
, biết rằng: 12 22 23 220
n n n n n
C C C C ( n số nguyên dương, x > )
59) Trong khai triển:
21
3
a b b a
Tìm số hạng có số mũ a b nhau.
60) Tìm giá trị lớn giá trị: C C Cn0, n1, n2, ,Cnn
61) Tìm hệ số có giá trị lớn khai triển:
n
a b
(14)62) (ĐH-A-2008) Cho khai triển: 1
n n
n
x a a x a x
Trong n N * hệ số
0, 1, , n
a a a thỏa mãn hệ thức: 4096
2
n n
a a
a
Tìm số lớn số: a a0, , , an
63) (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:
1
1 1
0 1
3 3
2 2
2 2 2 2
n n n n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
( n số
nguyên dương ) Biết khai triển Cn35Cn1và số hạng thứ tư 20n, tìm n x.
64) (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n cho:
1 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
65) (ĐH-B-2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng:
2
0 1 2 .
2
n
n
n n n n
C C C C
n
66) (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n cho: Cn02Cn14Cn2 2 nCnn 243
67) (ĐH-D-2005) Tính giá trị biểu thức:
4
1 ,
1 !
n n
A A M
n
biết rằng:
2 2
1 2 149
n n n n
C C C C ( n số nguyên dương ).