Toan 11 Hinh hoc CIII Quan he vuong goc trong khong gian

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng mặt phẳng ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng mặt phẳng... b Tính khoảng[r]

Phân loại và phương pháp giải toán 11 Chương Phần Hình học Trantuan QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I VECTO TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa và các phép toán  Định nghĩa, tính chất, các phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng  Lưu ý:    + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC AC  AB  AD  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:     + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: ChoI là trung  điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý    IA  IB 0 ; OA  OB 2OI Ta có: + Hệ thức trọng tâm tam giác: tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có:   Cho G là trọng    GA  GB  GC 0; OA  OB  OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: tâmcủa tứdiệnABCD, O tuỳ ý Ta có:   Cho  G  là trọng   GA  GB  GC  GD 0; OA  OB  OC  OD 4OG       + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a 0)  ! k  R : b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O  tuỳ ý Ta có:    OA  kOB MA k MB; OM  1 k Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi là đồng phẳng các giá chúng cùng song song với mặt phẳng     a vaø b a , b , c  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , đó không cùng phương     Khi đó: a, b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c ma  nb     Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý     x  ma  nb  pc Khi đó: ! m, n, p  R: Tích vô hướng hai vectơ  Góc giữa hai vectơ không gian:       AB u , AC v  (u , v ) BAC (0 BAC 1800 )  Tích vô hướng hai vectơ không gian:       u.v  u v cos(u , v ) u + Cho , v 0 Khi đó:     u  hoặ c v 0 Qui ước: u.v 0 + Với    + u  v  u.v 0 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc các phép toán vectơ và các hệ thức vectơ Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page Trantuan Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 Cho tứ diện ABCD   Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB và CD, I là trung điểm EF  IB  IC  ID 0 a) Chứng minh: IA      b) Chứng minh: MA  MB  MC  MD 4 MI , với M tuỳ ý     c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) cho: MA  MB  MC  MD nhỏ Chứng minh tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối đồng qui trung điểm chúng (Điểm đồng qui đó gọi là trọng tâm tứ diện) Cho tứ diện ABCD Gọi A, B, C, D là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k  1) Chứng minh hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh các cách: + Chứng minh các giá ba vectơ cùng song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:      Nếu có m, n  R: c ma  nb thì a , b , c đồng phẳng     Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p     x  ma  nb  pc cho: Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho     NB  NC MS  MA và trên đoạn BC lấy điểm N cho Chứng minh ba vectơ  AB, MN , SC đồng phẳng    MN  AB  SC 3 HD: Chứng minh Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L là trung điểm các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Qlần  lượt là trung điểm NG và JH , FH , PQ đồng phẳng a) Chứng minh ba vectơ MN  IL , JK , AH đồng phẳng b) Chứng  minh   ba vectơ MN , FH , PQ có giá cùng song song với (ABCD) HD:  a)  b) IL , JK , AH có giá cùng song song với (BDG) Cho hình lăng trụ ABC.DEF   Gọi G, H, I, J, K là trung điểm AE, EC, CD, BC, BE a) Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng FM CN   b) Gọi M, N là hai điểm trên AF và CE cho FA CE Các đường thẳng   vẽ từ M và N song song với CF cắt DF và EF P và Q Chứng minh ba vectơ MN , PQ, CF đồng phẳng Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M và N là trung điểm CD và DD; G và G là trọng tâm các tứ diện ADMN và BCCD Chứng minh đường thẳng GG và mặt phẳng (ABBA) song song với     GG '   AB  AA '  HD: Chứng minh  AB, AA ', GG ' đồng phẳng Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page Phân loại và phương pháp giải toán 11 Phần Hình học Trantuan    Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng và vectơ d    a) Cho d ma  nb với m và n  Chứng minh các ba vectơ sau không đồng phẳng:     i) b , c , d ii) a, c , d     d  ma  nb  pc với m, n và p  Chứng minh các ba vectơ sau không đồng phẳng: b) Cho        i) a , b , d ii) b , c , d iii) a , c , d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng    a Cho ba vectơ , b , c khác và ba số thực m, n, p  Chứng minh ba vectơ          x ma  nb , y  pb  mc , z nc  pa đồng phẳng     HD: Chứng minh px  ny  mz 0       AA ' a, AB b , AC c Hãy phân tích các vectơ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có   B ' C , BC ' theo các vectơ a, b , c         B ' C  c  a  b HD: a) b) BC ' a  c  b Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm   của tam giác ABC a) Phân tích vectơ OG theo các ba OA, OB, OC   OA , OB, OC OD b) Gọi D là trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ theo ba vectơ   1   1   OG   OA  OB  OC  OD   OA  OB  OC  HD: a) b) Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I là tâm hình hộp    OI vaø AG OA , OC , OD a) Phân tích hai vectơ theoba  vectơ  b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE , FG, FI            OI   OA  OC  OD   HD: a) , AG  OA  OC  OD b) BI FE  FG  FI 10 Cho hình lập phương  ABCD.EFGH    AC , AF, AH a) Phân tích vectơ AE  theo ba vectơ    b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC , AF, AH         1 1  AE  AF  AH  AC AG  AF  AH  AC  2 HD: a) b) VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng hai vectơ không gian 1.Cho hình lập phương ABCD.ABCD.      AB vaø A ' C ' AB vaø A ' D ' AC ' vaø BD a) Xác định góc các cặp vectơ:  ,  ,   AB vaø A ' C ' AB vaø A ' D ' b) Tính các tích vô hướng các cặp vectơ: , , AC ' vaø BD 2.Cho hình tứ diện ABCD,    đó AB   BD Gọi P và Q là các điểm  lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD cho PA kPB, QC kQD (k  1) Chứng minh AB  PQ II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page Trantuan Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12    a Vectơ phương đường thẳng: 0 là VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng:      a//a, b//b  a, b  a ', b '     Giả sử u là VTCP a, v là VTCP b, (u , v )  neáu 00  1800  a , b   0 180   neáu 90   180 Khi đó:    Nếu a//b a  b thì a, b 0   Chú ý:  a, b 90 Hai đường thẳng vuông góc:    a  b  a, b 90     Giả sử u là VTCP a, v là VTCP b Khi đó a  b  u.v 0  Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với có thể cắt chéo VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Có thể sử dụng các cách sau: Chứng minh góc hai đường thẳng đó 900 Chứng minh vectơ phương đường thẳng đó vuông góc với Sử dụng các tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)    Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB BSC CSA Chứng minh SA  BC, SB  AC, SC  AB HD: Chứng minh SA.BC = Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M là trung điểm CD Tính góc AC và BM cos(  AC , BM )  HD: b) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với cạnh đó b) Tính góc hợp các cạnh đối tứ diện arccos a2  c2 ; arccos b2  c2 ; arccos a  b2 b2 a2 c2 HD: b) Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân A, M là điểm trên cạnh AD (M  A và D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a và x Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất các cạnh Chứng minh AC  BD, AB  CD, AD  CB III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page Phân loại và phương pháp giải toán 11 Phần Hình học Trantuan Định nghĩa d  (P)  d  a, a  (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  a, b  (P ), a  b O  d  (P)   d  a, d  b Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm nó Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đó a b a b  (P)  b  a b   ( P )  a a  ( P ), b  ( P )     ( P )  (Q )  a  (Q)   a  (P ) a  (P )  ba   b  (P ) ( P ) (Q)  ( P ) Q)   (P )  a,(Q)  a a  (P)  a P )   a  b,( P)  b Định lí ba đường vuông góc Cho a  (P ), b  (P ) , a là hình chiếu a trên (P) Khi đó b  a  b  a Góc đường thẳng và mặt phẳng   Nếu d  (P) thì d ,( P ) = 900     Nếu d  ( P ) thì d ,(P ) = d , d ' với d là hình chiếu d trên (P) d ,( P ) Chú ý: 00   900       VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh các cách sau:  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P)  Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P)  Chứng minh d // a và a  (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d  a, ta có thể chứng minh các cách sau:  Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vuông góc  Sử dụng các cách chứng minh đã biết phần trước Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K là hình chiếu vuông góc A trên SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC) b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm mặt phẳng c) CMR: HK  (SAC) Từ đó suy HK  AI Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA  (ABC) a) Chứng minh: BC  (SAB) b) Gọi AH là đường cao SAB Chứng minh: AH  SC Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page Trantuan Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 a) Chứng minh: SO  (ABCD) b) Gọi I, J là trung điểm các cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD) Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là tam giác Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh: BC  (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC  (OAH) b) H là trực tâm tam giác ABC 1 1    OA2 OB OC c) OH d) Các góc tam giác ABC nhọn Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm AB và CD a) Tính các cạnh SIJ và chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB) b) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên IJ CMR: SH  AC c) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM  SA Tính AM theo a a a a , HD: a) a, 2 c) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và SC = a Gọi H và K là trung điểm các cạnh AB và AD a) CMR: SH  (ABCD) b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD I, J Gọi H là hình chiếu A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL 8a2 HD: a) a c) 15 Gọi I là điểm bất kì đường tròn (O;R) CD là dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E là điểm đối tâm D trên đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD  CE c) Tam giác SCD vuông 10 Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C là hình chiếu C trên MD, H là giao điểm AM và CC a) Chứng minh: CC  (MBD) b) Gọi K là hình chiếu H trên AB CMR: K là trực tâm BCD 11 Cho hình tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2 b) Từ đó suy tứ diện có cặp cạnh đối vuông góc với thì cặp cạnh đối còn lại vuông góc với Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page Phân loại và phương pháp giải toán 11 Phần Hình học Trantuan VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm và vuông góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, đó mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) và SA = 2a Gọi M là điểm trên cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a) a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x) Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) và tính diện tích thiết diện này a2 15 HD: S = 20 Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA  (ABC) và SA = a M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (P) b) Tính diện tích thiết diện đó theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn a HD: b) S = x(a – x); S lớn x = Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác cạnh a, SA  (ABC) và SA = a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện các trường hợp sau: a) (P) qua S và vuông góc với BC b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC và vuông góc với AB a2 2a2 21 5a2 49 HD: a) b) c) 32 Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB SH  a) CMR: SB b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? 5a2 Tính diện tích thiết diện HD: b) S = 18 VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Xác định góc đường thẳng a và mặt phẳng (P)  Tìm giao điểm O a với (P)    Chon điểm A  a và dựng AH  (P) Khi đó AOH (a,( P )) 1.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD) Gọi M, N lần  lượt là trung điểm các cạnh SA và BC Biết ( MN ,( ABCD )) 60 a) Tính MN và SO Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page Trantuan Phần Hình học b) Tính góc MN và (SBD) a 10 a 30 HD: a) MN = ; SO = b) sin Phân loại và phương pháp giải toán 12  ,(SBD ))  ( MN 5 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = a Tính góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) 1 d) AC và (SBC) 21 HD: a) 600 b) arctan c) arcsin 14 d) arcsin Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc  và hợp với mặt bên SAB góc  a) Tính SA b) CMR: AB = a cos(   ).cos(   ) HD: a) a.sin  Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC  Biết SA, SB, SC hợp với mặt phẳng (ABC) góc  a) CMR: hình chiếu S trên mp(ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC)  a.sin cos  HD: b) Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác cạnh a, AA  (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC) c) Gọi N là trung điểm cạnh BB Tính góc MN và (BAC) 54 a 66 HD: a) a b) 11 c) arcsin 55 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân A; AA  (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB và trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc  và mặt bên BCCB góc  a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên lăng trụ theo a và  b) Chứng minh rằng: cos = HD: sin a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a cos; AA = a.sin IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng a  ( P )  (P ),(Q )  a , b   b  ( Q )     a  ( P ), a  c      Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng b  (Q), b  c  ( P ),(Q)  a, b  Chương III – Quan hệ vuông góc không gian  Page Phân loại và phương pháp giải toán 11 Phần Hình học Trantuan 00  (P ),(Q ) 90 Chú ý: Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S là diện tích đa giác (H) (P), S  là diện tích hình chiếu (H) (H) trên (Q),   = ( P ),(Q) Khi đó: S = S.cos Hai mặt phẳng vuông góc   (P)  (Q)  ( P ),(Q) 90 ( P )  a  ( P )  (Q)   Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: a  (Q) Tính chất ( P )  (Q)  ( P )  (Q),( P )  (Q) c  a  (P )  A  (P)  a  (Q )    a  ( P ), a  c  a  A, a  (Q)       ( P )  (Q) a   a  ( R) ( P )  ( R) (Q)  ( R)  VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng các cách sau:     Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q) Khi đó: ( P ),(Q)  a, b  a  ( P ), a  c      Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng b  (Q), b  c  ( P ),(Q)  a, b    Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA = a Gọi E, F là trung điểm các cạnh AB và AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) và (SBC) (( SEF ),(SBC ))   (SAC ),(SBC ) 10 HD: a) = 600 b) cos Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) 600 HD: SA = a Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB =    2a; SA  (ABCD) và SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) và (SCD) HD:  a) tan ((SAD ),(SBC ))  10 (( SBC ),(SCD ))  b) cos Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a Tính góc các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD) HD: a) 600 b) arctan Chương III – Quan hệ vuông góc không gian c) 300 Page Trantuan Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 a a Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = ; SA  (ABCD) và SO =  a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) HD: c) 600 Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a , đáy ABCD là hình thang vuông A và D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc các cặp mặt phẳng: a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) HD: a) 450 b) 600 c) arccos VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh các cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)   Chứng minh ( P ),(Q) 90 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh các cách sau:  Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c (P) và (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P)  Sử dụng các cách chứng minh đã biết phần trước   Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O và H là trực tâm tam giác BCD và ADC CMR: OH  (ADC) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) c) Gọi BE, DF là hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC) HD: b) 900 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N là điểm a 3a trên cạnh BC, DC cho BM = , DN = Chứng minh mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC) b) Gọi AH, AK là các đường cao ABC và ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK) Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page 10 Phân loại và phương pháp giải toán 11 Phần Hình học Trantuan Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm AB a) Chứng minh SI  (ABCD), AD  (SAB) b) Tính góc BD và mp(SAD) c) Tính góc SD và mp(SCI) 10 HD: b) arcsin c) arcsin Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mp(ABC); S là điểm di động trên (P) cho SABC là hình chóp có mặt bên SAB, SAC   hợp với đáy ABC hai góc có số đo là  và Gọi H, I, J là hình chiếu vuông góc S trên BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trị lớn SH và đó hãy tìm giá trị  c bc ;  arctan b HD: b) SHmax = Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD) b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD) b2 HD: a) x2 – y2 + = b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với là MN  (SAM) Từ đó suy hệ thức liên hệ x và y b) Chứng minh điều kiện cần và đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo 300 là a(x + y) + xy = a2 HD: a) a2 – a(x + y) + x2 = 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A 60 0, cạnh SC a = và SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK  c) Chứng minh BKD 90 và từ đó suy (SAB)  (SAD) a IK  HD: b) VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S là diện tích đa giác (H) (P), S  là diện tích hình chiếu (H) (H) (P ),(Q) trên (Q),  = Khi đó: S = S.cos   1.Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng (P), các đỉnh khác không (P), BD = a, AC = a Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta hình vuông ABCD a) Tính diện tích ABCD và ABCD Suy góc (ABCD) và (P) Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page 11 Trantuan Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 b) Gọi E và F là giao điểm CB, CD với (P) Tính diện tích tứ giác EFDB và EFDB HD: a) 450 3a2 3a2 ; SEFDB = b) SEFDB = Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a , đáy BC = 3a; BC  (P) Gọi A là hình chiếu A trên (P) Khi ABC vuông A, tính góc (P) và (ABC) HD: 300 Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (P) Trên các đường thẳng vuông góc với (P) a vẽ từ B và C lấy các đoạn BD = , CE = a nằm cùng bên (P) a) Chứng minh tam giác ADE vuông Tính diện tích tam giác ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) và (P) 3a2 HD: a) b) arccos Cho hình chóp SABC có các mặt bên hợp với đáy góc  a) Chứng minh hình chiếu S trên mp(ABC) là tâm đường tròn nội tiếp ABC SABC b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA = cos  Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi H là trực tâm ABC Chứng minh rằng: a) SH  (ABC) b) (SSBC)2 = SABC.SHBC Từ đó suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2 Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông O, AB = 2a, OB = a Trên các tia vuông góc với (P) vẽ từ A và B và cùng bên (P), lấy AA = a, BB = x a) Định x để tam giác OAB vuông O b) Tính AB, OA, OB theo a và x Chứng tỏ tam giác OAB không thể vuông B Định x để tam giác này vuông A c) Cho x = 4a Vẽ đường cao OC OAB Chứng minh CA  AB Tính góc hai mặt phẳng (OAB) và (P) HD: a) x = b) x = 4a V 39 c) arccos 26 KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) MH d ( M ,(P )) MH đó H là hình chiếu M trên a (P) Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) đó M là điểm bất kì nằm trên a d((P),(Q) = d(M,(Q)) đó M là điểm bất kì nằm trên (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng  cắt a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung a, b  Nếu  cắt a, b I, J thì IJ gọi là đoạn vuông góc chung a, b  Độ dài đoạn IJ gọi là khoảng cách a, b Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page 12 Phân loại và phương pháp giải toán 11 Phần Hình học Trantuan  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với nó  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a và b Cách 1: Giả sử a  b:  Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a A  Dựng AB  b B  AB là đoạn vuông góc chung a và b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song  Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a  Chọn M  a, dựng MH  (P) H  Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B  Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A  AB là đoạn vuông góc chung a và b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc  Dựng mặt phẳng (P)  a O  Dựng hình chiếu b b trên (P)  Dựng OH  b H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB là đoạn vuông góc chung a và b Chú ý: d(a,b) = AB = OH Cho hình tứ diện OABC, đó OA, OB, OC = a Gọi I là trung điểm BC Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng: a) OA và BC b) AI và OC a a HD: a) b) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC và BD b) AC và SD a a HD: a) b) Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABC và SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC) c) Xác định đường vuông góc chung BC và SA HD: c) Gọi E = AH  BC Đường vuông góc chung BC và SA là AE a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC thì dường vuông góc chung AB và CD là đường nối các trung điểm I, K hai cạnh AB và CD b) Chứng minh đường thẳng nối các trung điểm I, K hai cạnh AB và CD tứ diện ABCD là đường vuông góc chung AB và CD thì AC = BD, AD = BC HD: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b Chứng minh a = a, b = b Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page 13 Trantuan Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12 a Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm AB Dựng IS  (ABCD) và IS = Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh BC, SD, SB Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng: a) NP và AC b) MN và AP a a HD: a) b) VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng) Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) và SA = a , đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với a mp(SAD) và cách (SAD) khoảng a a a2 HD: a) d(A,(SCD)) = a ; d(B,(SCD)) = b) c) 2 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) a a 21 a HD: a) b) c) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N là trung điểm AB và AD Chứng minh MN song song với (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) a khoảng là , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE a a a2 HD: a) a ; b) c) Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 60 0, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D là hình chiếu C trên Ax a) Tính AD và khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC và BD Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page 14 Phân loại và phương pháp giải toán 11 HD: a a) AD = ; Phần Hình học a d(C,(ABD)) = Trantuan a 93 b) 31  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 Gọi O là giao điểm 3a AC và BD Đường thẳng SO  (ABCD) và SO = Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE a) Chứng minh (SOF)  (SBC) b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC) 3a 3a HD: b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = Chương III – Quan hệ vuông góc không gian Page 15