Kinh nghiệm phát triển một số bài toán vận dụng cao về tích phân để giúp học sinh ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông

1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 NỘI DUNG ……………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận………………………………………………… 2.2 Thực trạng …………………………………………………… 2.3 Giải pháp……………………………………………………… 2.4 Hiệu quả…………………………………………………………… 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đối với học sinh học tốn trường trung học phổ thơng, học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thường gặp toán vận dụng thấp vận dụng cao cao liên quan đến tính tích phân hàm số thông thường hàm hợp đoạn Do yêu cầu kỳ thi dẫn tới việc giáo viên phải chuẩn bị tốt hệ thống tập vận dụng cao giúp học sinh rèn luyện để kết kỳ thi cao yêu cầu cấp bách Với kiến thức tích phân mà học sinh làm quen chương trình Giải tích 12 phát triển cách phong phú đa dạng Đó lí để chọn đề tài : “Kinh nghiệm phát triển số tốn vận dụng cao tích phân để giúp học sinh ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thơng” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thơng ơn thi tốt nghiệp THPT có cách nhìn tồn diện tích phân hàm số thông thường hàm hợp thông qua đổi biến số phương pháp tích phân phần 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn hàm số thơng thường đặc biệt hàm hợp Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích trung học phổ thông đặc biệt hàm số cho nhiều công thức hàm hợp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức tích phân Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng kiến thức từ rèn luyện tư kĩ để học sinh giải tốt tập vận dụng cao Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi THPT quốc gia năm gần có tác giả phát triển 1.5 Những điểm Với đề tài giúp giáo viên định hướng xây dựng hệ thống tập vận dụng, vận dụng cao với số lượng lớn mà xuất phát từ toán đơn giản NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Trong đề tài sử dụng kết sau đây: - Các tính chất tích phân: b +) c b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx với a < c < b a a c b b a a +) k ∫ f ( x ) dx = ∫ kf ( x ) dx ( k ≠ ) +) b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b +) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a +) +) a = F ( b) − F ( a ) b b b a a a ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx b b b a a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( z ) dz b +) b ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) a b a = f ( b) − f ( a ) - Công thức đổi biến số: +) ∫ f ( u ( x ) ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du , u = u ( x ) +) b u( b ) a u( a ) ∫ f ( u ( x ) ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du, u = u ( x ) - Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b ∫ g ( x ) dx + Cách 1: Giả sử cần tính Nếu ta viết g ( x ) dạng a f ( u ( x ) ) u′ ( x ) b u( b ) ∫ g ( x ) dx = ∫ f ( u ) du Vậy a u( b ) tốn quy tính u( a ) ∫ f ( u ) du , u( a ) nhiều trường hợp tích phân đơn giản β + Cách 2: Giả sử cần tính ∫ f ( x ) dx Đặt x = x ( t ) thỏa mãn α = x ( a ) , β = x ( b ) α β b b α a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ( t ) ) x′ ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt , g ( t ) = f ( x ( t ) ) x′ ( t ) 2.2 Thực trạng Nhu cầu ôn thi tốt nghiệp THPT cần nhiều tập vận dụng cao chương trình phổ thông tập SGK chưa nhiều, hệ thống tập trắc nghiệm hạn chế 2.3 Giải pháp Bài toán xuất phát ( Đề MH lần BGD năm 2020 – 2021)  x2 − Cho hàm số f ( x) =  x − 2x + A 23 B x ≥ Tích phân x < 23 C π ∫ f (2sin x + 1)cos x  dx 17 D 17 Hướng dẫn Chọn B π Xét I = f (2sin x + 1)cos x  dx Đặt t = 2sin x + ⇒ dt = cos xdx ∫ x = ⇒ t =1 Đổi cận: π x= ⇒t =3 3  23 1 1 ( ) I = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx =  ∫ x − x + dx + ∫ ( x − 1) dx  = 21 21 1  2.3.1 Phát triển toán mức độ vận dụng thấp e x x ≥ Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) =  Biết tích phân  x + x + x < ∫ f ( x) dx = −1 A a e2 a + ( phân số tối giản) Giá trị a + b + c b c b B C D 10 Hướng dẫn Chọn C 1 e Ta có: I = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x + x + ) dx + ∫ e dx = + Vậy a + b + c = −1 −1 2x  x ( + x ) x ≥ e4  f (ln x)  dx bằng: Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) =  Tích phân ∫ x kh i x <  e2 x − 40 95 189 189 − ln + ln + ln − ln A B C D 4 Hướng dẫn Chọn D e4 Xét I = ∫ e2 x = e2 ⇒ t = f (ln x)  dx Đặt t = ln x ⇒ dt = dx Đổi cận: x x x = e4 ⇒ t = 4 4 189 I = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x )dx = ∫ dx + ∫ x ( + x ) dx = − ln x − 4 2 1 x ≥  Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) =  x Tích phân  x + x < phân số tối giản), m − 2n bằng: A B C Hướng dẫn Chọn A ∫ f( ∫ f( − x )dx = −2 Xét I = − x )dx Đặt t = − x ⇒ −3t 2dt = dx Đổi cận: −7 m m ( n n D x = −7 ⇒ t = x =1⇒ t = 1  25 ( ) I = −3∫ t f (t )dt = 3∫ x f ( x )dx =  ∫ x x + dx + ∫ xdx  = 0  12 2 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ 0 ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x + ) dx −1 A I = B I = C I = Hướng dẫn D I = Chọn B Đặt u = x + ⇒ d x = d u Khi x = −1 u = −1 Khi x = u = 3  1  1 Nên I = ∫ f ( u ) d u =  ∫ f ( u ) d u + ∫ f ( u ) d u ÷ =  ∫ f ( −u ) d u + ∫ f ( u ) d u ÷ −1  −1 0   −1  Xét ∫ f ( x ) d x = Đặt x = −u ⇒ d x = − d u Khi x = u = Khi x = u = −1 −1 0 −1 Nên = ∫ f ( x ) d x = − ∫ f ( −u ) d u = ∫ f ( −u ) d u Ta có ∫ f ( x) d x = ⇒ ∫ f ( u) du = 0  1 Nên I =  ∫ f ( −u ) d u + ∫ f ( u ) d u ÷ = ( + ) =  −1  Ví dụ 5: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = + x − − x tập ¡ thỏa mãn F ( 1) = Tính tổng F ( ) + F ( ) + F ( −3) A B 12 C 14 D 10 Hướng dẫn Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Ta có: ∫ f ( x ) dx = F ( ) − F ( 1) = F ( ) − mà ∫ f ( x ) dx = ∫ 2dx = nên F ( ) = 1 +) ∫ f ( x ) dx = F ( 1) − F ( ) = − F ( ) mà nên F ( ) = ∫ f ( x ) dx = F ( ) − F ( −1) = − F ( −1) −1 nên F ( −1) = ∫ f ( x ) dx = ∫ xdx = x 0 mà ∫ f ( x ) dx = F ( −1) − F ( −3) = − F ( −3) −3 =1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ xdx = x −1 −1 +) 1 +) mà −1 = −1 −1 −1 −1 −3 −3 ∫ f ( x ) dx = ∫ −2dx = −4 nên F ( −3) = Vậy F ( ) + F ( ) + F ( −3) = + + = 14 x − +1 dx = + a ln + b ln với a, b ∈ ¢ Tính S = a + b Ví dụ 6: Biết I = ∫ x A S = B S = 11 C S = −3 D S = Hướng dẫn Chọn D x − +1 x − +1  x − x ≥ dx + ∫ dx Ta có x − =  Do I = ∫ − x x ≤ x x  5 2( − x) + 2( x − 2) + 3 5   =∫ dx + ∫ dx = ∫  − ÷ dx + ∫  − ÷ dx x x x x  1 2 2 a = + ( x − 3ln x ) = + 8ln − 3ln ⇒  ⇒ S = a + b = b = −3 Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn = ( 5ln x − x ) f ( x + x + 1) = 3x + , với x ∈ ¡ Tích phân ∫ xf ′ ( x ) dx A − 31 B 17 C Hướng dẫn 33 D 49 Chọn C Từ giả thiết ta có f ( x + x + 1) = 3x + nên suy f ( 1) = , f ( ) = 5 1 Suy I = ∫ xf ′ ( x ) dx = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = 23 − ∫ f ( x ) dx Đặt x = t + 3t + ⇒ dx = ( 3t + 3) dt Với x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Do 1 f ( x ) dx = ∫ f ( t + 3t + 1) ( 3t + 3) dt = ∫ ( 3t + ) ( 3t + 3) dt = ∫ 0 59 59 33 = 4 Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ¡ thoả mãn Vậy I = 23 − f ( x + x + 3) = x + 1, ∀x ∈ ¡ Tích phân ∫ f ( x ) dx −2 B 10 A C 32 D 72 Hướng dẫn Chọn B  x = −2 ⇒ t = −1 Đặt x = t + 4t + ⇒ dx = ( 5t + ) dt Đổi cận:  x = ⇒ t = Khi ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t −2 −1 + 4t + 3) ( 5t + ) dt = ∫ ( 2t + 1) ( 5t + ) dt = 10 −1 Ví dụ 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ¡ thỏa mãn 10 [ f ( x) ] + f ( x) + = x với ∀x ∈ ¡ Tính I = ∫ f ( x) dx A I = B I = C I = D I = Hướng dẫn Chọn B Đặt t = f ( x ) ⇒ 2t + 3t + = x ⇒ dx = (6t + 3)dt x = ⇒ 2t + 3t + = ⇔ t = x = 10 ⇒ 2t + 3t + = 10 ⇔ t = 10 Vậy I = ∫ f ( x)dx = ∫ t (6t + 3)dt = 1  , f ( ) = Ví dụ 10: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \   , thỏa f ′ ( x ) = 2x − 2 f ( 1) = Giá trị biểu thức f ( −1) + f ( 3) A ln15 B + ln15 C + ln15 D + ln15 Hướng dẫn Chọn C  ln − x + C ; x < ( )  2 ⇒ f ( x) = ∫ dx = ln x − + C =  Ta có f ′ ( x ) = 2x − 2x − ln ( x − 1) + C ; x >  f ( ) = ⇒ C1 = f ( 1) = ⇒ C2 =  ln − x + ; x < ( )  ⇒  f ( −1) = ln + Do f ( x ) =    f ( 3) = ln + ln ( x − 1) + ; x >  ⇒ f ( −1) + f ( 3) = + ln15 3x + x Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) =  5 − x I= x ≥ Khi x < π ∫ cos xf ( sin x ) dx − π A Chọn A 15 B.15 C Hướng dẫn D 17 π  x = − ⇒ t = −1 1  Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận  ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx π −1 −1 x = ⇒ t =  3x + x Do f ( x) =  5 − x x ≥ 15 ⇒ I = ∫ ( − x ) dx + ∫ ( x + x ) dx = x < −1  x2 − 2x + Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) =  x + x ≥ Khi x < I = ∫ f ( − x ) dx A 41 B 21 C Hướng dẫn 41 12 D 41 21 Chọn C x = ⇒ t = Đặt t = − x ⇒ dt = −2dx ⇒ dx = − dt Đổi cận  x = ⇒ t = 3  x − x + x ≥ 1 ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx , Do f ( x) =  21 21 k hi x < x +  41 1 ⇒ I =  ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x − x + 3) dx ÷ = 2  12  π x + x x ≥  2 Ví dụ 13: Cho hàm số f ( x) =  Khi I = sin xf ( cos x + 1) dx ∫0 x − x <  10 35 19 A B.3 C D 12 Hướng dẫn Chọn A x = ⇒ t =  Đặt t = cos x + ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận  π  x = ⇒ t =  x + x x ≥ 2   ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx Do f ( x) =  1 x − x <  10 2 ⇒ I = ∫ ( x − ) dx + ∫ ( x + x ) dx = 35 12 x − x Ví dụ 14: Cho hàm số f ( x) =  x 2 A − x ≥ Khi I = x < C − B −1 π ∫ cos xf ( sin x ) dx − π D − Hướng dẫn Chọn A π   x = − ⇒ t = −1 Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận  x = π ⇒ t =  1  x − x x ≥ ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx Do f ( x) =  x < x −1 −1 ⇒ I = ∫ xdx + ∫ ( x − x ) dx = − −1 2.3 Phát triển tốn mức độ vận dụng cao π Ví dụ 1: Giá trị tích phân max { sin x,cos x} dx ∫ A B C D Hướng dẫn Chọn C π  π Ta có phương trình sin x − cos x = có nghiệm đoạn  0;  x =  2 Bảng xét dấu 11 π π π 0 π Suy ∫ max { sin x,cos x} dx = ∫ cos xdx + ∫ sin xdx = ( sin x ) π − ( cos x ) π π = 2 Ví dụ 2:Tính tích phân I = ∫ max { x , x} dx A B 17 C Hướng dẫn 19 D 11 Chọn B Đặt f ( x ) = x − x ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có ∀x ∈ [ 0;1] , f ( x ) ≤ ⇔ x − x ≤ ⇔ x ≤ x ⇒ max { x , x} = x ∀x ∈ [ 1;2] , f ( x ) ≥ ⇔ x − x ≥ ⇔ x ≥ x ⇒ max { x , x} = x 2 Ta có: I = ∫ max { x , x} dx = ∫ max { x , x} dx + ∫ max { x , x} dx 3 0 1 2 17 Nên I = ∫ max { x , x} dx = ∫ xdx + ∫ x dx = x + x = 4 0 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ \ { 0; − 1} thỏa mãn  f ( 1) = −2ln   f ( ) = a + b ln 3; a, b Ô x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x Tính a + b 25 A B Hướng dẫn Chọn B Ta có x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x C (1) Chia vế biểu thức (1) cho ( x + 1) ta x x f ′( x ) + f ( x) = x +1 x +1 ( x + 1) D 13 12 ′ x x ⇔  x f ( x )  = x , với ∀x ∈ ¡ \ { 0; − 1} ⇒ f ( x) = ∫ dx  x +  x + x +1 x +1 x x +1 ⇔ f ( x ) = x − ln x + + C ⇔ f ( x ) = ( x − ln x + + C ) x +1 x Mặt khác, f ( 1) = −2ln ⇔ ( − ln + C ) = −2ln ⇔ C = −1 x +1 Do f ( x ) = ( x − ln x + − 1) x 3 3 Với x = f ( x ) = ( − ln 3) = − ln Suy a = b = − 2 2 Vậy a + b = Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ thỏa mãn  f ( ) = f ′ ( ) = , với x, y ∈ ¡ Tính ∫ f ( x − 1) dx   f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − 1 1 A B − C D 4 Hướng dẫn Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f ′ ( x + y ) = f ′ ( y ) + 3x + xy , ∀x ∈ ¡ 2 Cho y = ⇒ f ′ ( x ) = f ′ ( ) + x ⇒ f ′ ( x ) = + x ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = x + x + C mà f ( ) = ⇒ C = Do f ( x ) = x + x + Vậy 0 ∫ f ( x − 1) dx = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x −1 −1 + x + 1) dx = Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , 1 1 ∫0  f ′ ( x )  dx = ∫0 x f ( x ) dx = Tích phân ∫0 f ( x ) dx 7 A B C Hướng dẫn Chọn A 2 1  x3  x Ta có ∫ x f ( x ) dx =  f ( x )  − ∫ f ′ ( x ) dx Suy 3 0 D x3 ′ f x dx = − ( ) ∫0 3 13 x6 Hơn ta dễ dàng tính ∫ dx = 63 1 1 x3 x ′ f ( x ) dx + 21 ∫ dx = ⇔ ∫  f ′ ( x ) + x3  dx = 0 0 7 Suy f ′ ( x ) = −7 x , f ( x ) = − x + C Vì f ( 1) = nên C = 4 1 7 Vậy ∫ f ( x ) dx = − ∫ ( x − 1) dx = 40 Do ∫  f ′ ( x )  dx + 2.21∫ Ví dụ 6: Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện  f ′( x ) + f ( x ) +  − f ( 1) = f ( ) = Tính J = ∫  ÷dx x x  1 1 A J = + ln B J = − ln C J = ln − D J = + ln 2 Hướng dẫn Chọn D 2 2  f ′( x ) + f ( x ) +  f ′( x ) f ( x) 2  − dx − ∫ dx + ∫  − ÷dx Ta có J = ∫  ÷dx = ∫ x x x x x x   1 1 1 1   u =  du = − dx x x ⇒ Đặt  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )   2 2  f ′( x ) + f ( x ) +  f ( x) f ( x) 2  J = ∫ − d x = f x + d x − d x + ( ) ÷  − ÷dx 2 ∫ ∫ ∫ x x x x x x x   1 1 1 2 1  = f ( ) − f ( 1) +  2ln x + ÷ = + ln x 1  Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) xác định ¡ \ { −2;1} thỏa mãn 1 f ′( x ) = , f ( −3) − f ( 3) = 0, f ( ) = Giá trị biểu thức x +x−2 f ( −4 ) + f ( 1) − f ( ) 1 1 A ln 20 + B ln + C ln80 + D ln + 3 3 Hướng dẫn Chọn B 1 1  =  − Ta có: f ′ ( x ) = ÷ x + x −  x −1 x +  14 f ( x) =  1  x −1 − dx = ln +C  ÷ ∫  x −1 x +  x+2 1   ln ( − x ) − ln ( − x − )  + C1; x ∈ ( −∞; −2 )  1 =   ln ( − x ) − ln ( x + )  + C2 ; x ∈ ( −2;1) 3 1   ln ( x − 1) − ln ( x + )  + C3 ; x ∈ ( 1; +∞ )  1 1 Với f ( ) = ⇒ ln ( − ) − ln ( + )  + C2 = ⇒ C2 = ln + 3 3 1 Với f ( −3) − f ( 3) = ⇒ C1 − C3 = ln 10 1 1 Nên f ( −4 ) + f ( 1) − f ( ) = ln + ln − ln + C2 + C1 − C3 = ln + 3 3 Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục ¡ đồng thời thỏa mãn   f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡  x  f ′ ( x ) = −e f ( x ) , ∀x ∈ ¡ Tính giá trị f ( ln )   f ( 0) =  1 1 A f ( ln ) = B f ( ln ) = C f ( ln ) = ln + D f ( ln ) = ln 2 + 2 Hướng dẫn Chọn B f ′( x ) x = −e x ( f ( x ) > ) Ta có f ′ ( x ) = −e f ( x ) ⇔ f ( x) ⇒∫ f ′( x ) 1 x x − = − e + C ⇒ f x = d x = − e d x ⇒ ( ) x ∫ f ( x) e −C f ( x) 1 1 1 ⇒ = ⇒ C = −1 ⇒ f ( x ) = x ⇒ f ( ln ) = ln = e −C e +1 e +1 Ví dụ 9: Cho hai hàm f ( x ) g ( x ) có đạo hàm [ 1;4] , thỏa mãn  f ( 1) + g ( 1) = 4   g ( x ) = − xf ′ ( x ) với x ∈ [ 1;4] Tính tích phân I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx  f ( x ) = − xg ′ ( x )  A 3ln B 4ln C 6ln D 8ln Mà f ( ) = 15 Hướng dẫn Chọn D Từ giả thiết ta có f ( x ) + g ( x ) = − x f ′ ( x ) − x.g ′ ( x ) ⇔  f ( x ) + x f ′ ( x )  +  g ( x ) + x.g ′ ( x )  = ⇔  x f ( x ) ′ +  x.g ( x ) ′ =     C ⇒ x f ( x ) + x.g ( x ) = C ⇒ f ( x ) + g ( x ) = x 4 Mà f ( 1) + g ( 1) = ⇒ C = ⇒ I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ dx = 8ln x 1 Ví dụ 10: Cho hai hàm f ( x) g ( x) có đạo hàm [ 1;2] thỏa mãn f (1) = g (1) =  x  ( x + 1) g ( x) + 2017 x = ( x + 1) f ′( x) , ∀x ∈ [ 1;2]  x  g ′( x) + f ( x) = 2018 x  x + x +1  x  g ( x) − f ( x ) dx Tính tích phân I = ∫  x +1 x  1 A I = B I = C I = D I = 2 Hướng dẫn Chọn A x +1  g ( x ) − f ′( x) = −2017  ( x + 1) x , ∀x ∈ [ 1;2] Từ giả thiết ta có:  x  g ′( x) + f ( x ) = 2018 x  x + Suy    x +1 x   ( x + 1) g ( x) + x + g ′( x)  −  x f ′( x) − x f ( x)  =     x x +1  x ′  x + ′ ⇔ g ( x)  −  f ( x)  = ⇒ g ( x) − f ( x ) = x + C x +1 x  x +1   x  2 x +1  x  g ( x) − f ( x) dx = ∫ ( x − 1)dx = Mà f (1) = g (1) = ⇒ C = −1 ⇒ I = ∫  x +1 x  1  x3 + x + x < Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) =  x ≥ x + 16 Tính tích phân π ∫ f ( 3sin x − 1) sin xdx 21 A B 20 13 C Hướng dẫn D D 11 Chọn A π Xét I = f ( 3sin x − 1) sin xdx ∫ Đặt 3sin x − = t ⇒ 3sin xdx = dt ⇒ sin xdx = dt π Với x = ⇒ t = −1 x = ⇒ t = 2 2 1 1 ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx −1 −1 −1 31 1 21 = ∫ ( x3 + x + ) dx + ∫ ( x + 3) dx = −1 31  x + x − x < Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) =  x ≥ 3 − x e4 Tính tích phân ∫ ( f − ln x A 16 ) 1x dx B 17 C 11 Hướng dẫn Chọn C e4 Xét I = ∫ f ( − ln x ) 1x dx − ln x = t ⇒ − ln x = t ⇒ dx = −2tdt Với x = ⇒ t = x Đặt 2 0 x = e ⇒ t = ⇒ I = ∫ t f ( t ) dt = ∫ x f ( x ) dx = ∫ x f ( x )dx + ∫ x f ( x )dx = ∫ x ( x + x − 1) dx + ∫ x ( − x ) dx = 11 17  x2 − x Ví dụ 13: Cho hàm số f ( x) =  x π 2 0 x ≥ Khi x < I = ∫ cos xf ( sin x ) dx + ∫ f ( − x ) dx A B C.3 D 10 Hướng dẫn Chọn D π 2 0 Ta có: I = cos xf ( sin x ) dx + f ( − x ) dx = I + I ∫ ∫ x = ⇒ t =  Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận  π  x = ⇒ t =  x2 − x Do ⇒ I1 = 2∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx f ( x) =  x −1 −1 1 x ≥ x < ⇒ I1 = ∫ xdx + ∫ ( x − x ) dx = − −1 Đặt t = − x ⇒ dt = −2dx ⇒ dx = − dt Đổi cận x = ⇒ t =   x = ⇒ t = −1  x2 − x ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx Do f ( x) =  x −1 −1 x ≥ x < 3 0  10 ⇒ I =  ∫ xdx + ∫ ( x − x ) dx ÷ = Vậy I = I1 + I =  −1  x > 4 x Ví dụ 14: Cho hàm số f ( x) =  Tính tích phân −2 x + 12 x ≤ I= ∫ A.84 x f ( x2 + x +1 ) dx + ln ∫e 2x ln f ( + e x ) dx C 48 B.83 Hướng dẫn Chọn A D −84 18 Ta có: I = ∫ x f ( x2 + x +1 ) dx + ln ∫e ln 2x f ( + e x ) dx = I1 + I  x = ⇒ t = Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = xdx ⇒ xdx = tdt Đổi cận   x = ⇒ t = 2 2 x > 4 x ⇒ I1 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx Do f ( x) =  −2 x + 12 x ≤ 1 2 2 ⇒ I1 = ∫ ( −2 x + 12 ) dx = Đặt t = + e x ⇒ dt = 2e x dx ⇒ e x dx = dt Đổi cận 10 10  x = ln ⇒ t = 1 ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx  25 25  x = ln ⇒ t = 10 4 x Do f ( x) =  −2 x + 12 10 x > ⇒ I = ∫ x = 75 Vậy I = I1 + I = 84 x ≤ 25 2.4 Hiệu đề tài Sau toán thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Khi sử dụng vào đề ơn tập cho học sinh hệ thống tập nâng cao kĩ tính tích phân nhiều phương pháp cho học sinh KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua ví dụ ta, cho thấy ưu điểm việc đổi biến số việc giải tốn tích phân hàm số, vận dụng để phát triển hệ thống tập đa dạng dùng cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT cách hiệu 3.2 Kiến nghị Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường Giúp em học sinh có thêm hệ thống tập ôn luyện đạt kết cao kì thi tốt nghiệp THPT tới./ XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2021 CAM KẾT KHÔNG COPY Giáo viên 19 Danh sách sáng kiến kinh nghiệm xếp loại cấp nghành Tên sáng kiến kinh nghiệm Năm cấp Xếp loại Cơ quan ban hành định Kinh nghiệm soạn giảng tiết ơn tập chương Hình học lớp 12 – 2014 B Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hoá Sử dụng yếu tố phụ để tạo toán chứng minh bất đẳng thức cực trị tạo hứng thú học tập, ôn luyện phần bất đẳng thức cho học sinh trường THPT Đào Duy Từ 2018 C Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hoá 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2019 Báo Toán học tuổi trẻ SGK, sách Bài tập giải tích lớp 12 - NC Các đề thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019, 2020  ... tài Đối với học sinh học toán trường trung học phổ thông, học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thường gặp toán vận dụng thấp vận dụng cao cao liên quan đến tính tích phân hàm số thông thường... trình Giải tích 12 phát triển cách phong phú đa dạng Đó lí để tơi chọn đề tài : ? ?Kinh nghiệm phát triển số toán vận dụng cao tích phân để giúp học sinh ơn thi tốt nghiệp trung học phổ thơng”... kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp THPT có cách nhìn tồn diện tích phân hàm số thông thường hàm hợp thông qua đổi biến số