Phương trình gần đúng và tính nghiệm gần đúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ NĂM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ TÍNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ NĂM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ TÍNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Ngun - 2015 Phương trình đại số Tính nghiệm gần Trần Thị Năm ĐHKH Thái Nguyên Thái Nguyên, năm 2013 Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Phương trình Định lý Hilbert không điểm 1.1 Mở rộng đại số 1.1.1 Quan hệ tương đương 1.1.2 Mở rộng đơn 1.1.3 Mở rộng đại số 1.1.4 Một vài vận dụng 1.2 Phụ thuộc đại số Định lý Hilbert sở 1.2.1 Phụ thuộc đại số 1.2.2 Định lý sở Hilbert 1.3 Định lý không điểm Hilbert Tính gần nghiệm 2.1 Nghiệm hệ đa thức 2.1.1 Kết thức phép khử 2.1.2 Khái niệm kết thức biệt thức 2.1.3 Biểu diễn kết thức qua nghiệm 2.1.4 Phép khử ẩn 2.1.5 Phép biến đổi Tschirnhaus 2.2 Xác định nghiệm gần 2.2.1 Phương pháp truy hồi i 4 13 17 18 18 21 25 25 25 25 32 35 38 42 42 2.3 2.4 2.2.2 Phương pháp dây cung 2.2.3 Phương pháp tiếp tuyến Newton 2.2.4 Phương trình hàm ẩn Phương pháp lặp hội tụ chúng Ví dụ minh họa ii 44 46 47 48 57 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình bảo, giúp đỡ, góp ý để hồn thiện luận văn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn, tác giả nhận động viên, khuyến khích tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình cấp lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường phổ thông dân tộc Nội trú THPT tỉnh Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp gia đình Với tình cảm chân thành, tác giả xin cảm ơn Khoa Tốn - Tin, phịng Đào tạo - Trường Đại học Khoa học - Đại hoc Thái Nguyên, thầy cô giáo tham gia giảng dạy, cung cấp kiến thức tài liệu giúp tác giả học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ thầy giáo, giáo, bạn bè đồng nghiệp bạn đọc Xin chân trọng cảm ơn! Tác giả iii Mở đầu Hai định lý Hilbert sở không điểm thuộc kết đại số Chúng vận dụng nhiều không lĩnh vực Đại số Hình học đại số, mà chúng cịn vận dụng Lý thuyết số tổ hợp (Combinatorial Number Theory), Lý thuyết đồ thị Tổ hợp Đặc biệt, nhà toán học Noga Alon (Tel Aviv University) nói, vận dụng hai định lý cho ta kết sâu sắc Lý thuyết số vấn đề tô màu đồ thị Do vậy, người học toán hay dạy toán cần nghiên cứu hai định lý Trong chương trình tốn phổ thơng nay, đặc biệt cho chun tốn, phần phương trình hệ phương trình chiếm thời lượng lớn ứng dụng nhiều môn học khác thực tế Khá nhiều sách tham khảo nhiều tác giả viết chuyên đề Các tài liệu có thường quan tâm đến kỹ thuật phương pháp giải dạng, lớp phương trình hệ phương trình Tuy nhiên, phương pháp đại số (biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá biểu thức ) giải phương trình, hệ phương trình thường giải số lớp phương trình hệ phương trình đó, tức khơng mang tính phổ qt Hơn giải phương trình ta thường biến đổi để đưa phương trình xét phương trình đa thức Nhiều tốn ta khơng cần biết xác nghiệm cụ thể mà ta cần vài tính chất có liên quan đến tập nghiệm Vì vậy, học sinh, học sinh chuyên toán, thường lúng túng gặp dạng tập Do vậy, cần mở rộng trường để phương trình có nghiệm trường dựa vào Định lý Viet để suy tính chất nghiệm mà ta quan tâm Một vấn đề mà hay gặp việc giải hệ phương trình nhiều ẩn, thường làm loại bỏ số phương trình không làm ảnh hưởng đến tập nghiệm hệ cho Chính mà luận văn đặt vấn đề xét khái niệm phụ thc đại số, phương trình đại số định lý sở Hilbert, định lý không điểm Hilbert Đặc biệt thông qua việc nghiên cứu cách giải gần phương trình phi tuyến đề tài đề cập đến cách tính nghiệm gần nhằm cung cấp thêm kiến thức giải phương trình, hệ phương trình tốn có liên quan phục vụ cho công tác giảng dạy học tập môn tốn, mơn học khác giải tốn thực tế chương trình trung học phổ thông Luận văn chia làm hai chương Chương gồm ba mục Mục 1.1 dành để trình bày mở rộng trường Trong Mục 1.2, trình bày khái niệm phụ thuộc đại số Định lý Hilbert sở Mục 1.3 tập trung trình bày phương trình đại số, Định lý Hilbert không điểm kết Noga Alon Kết ba định lý sau Định lý 1.2.4 [Hilbert’s Basis Theorem]Mỗi idêan I = (0) I = (1) vành đa thức K[x1 , x2 , , xn ] có hệ sinh hữu hạn Định lý 1.3.2 [Hilbert’s zero-theorem]Giả sử g(x1 , , xn ) = thỏa mãn g(ξ1 , ξ2 , , ξn ) = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) nghiệm hệ fi (x1 , , xn ) = i = 1, 2, , r Khi có đa thức bi (x1 , , xn ) ∈ C[x1 , , xn ] số nguyên dương s thỏa mãn r s bi (x1 , , xn )fi (x1 , , xn ) g(x1 , , xn ) = i=1 Định lý 1.3.4 [Noga Alon]Giả thiết trường K có char(K) = Cho đa thức khác không g(x) = g(x1 , , xn ) ∈ K[x] Ký hiệu tập Si ⊂ K thỏa mãn |Si | pi (xi ) = s∈Si (xi − s) với i = 1, , n Nếu g(x) triệt tiêu nghiệm chung p1 , , pn tồn đa thức q1 , , qn ∈ K[x1 , , xn ] thỏa mãn deg qi deg g − deg pi để n qi p i g= i=1 Chương gồm ba mục Mục 2.1 dành để trình bày kết thức vài tính chất Trong Mục 2.2 chúng tơi trình bày vài phương pháp giải gần phương trình phi tuyến Mục 2.3 trình bày phương pháp lặp để giải gần phương trình Kết hai định lý sau Định lý 2.1.1 Với hai đa thức fu gv ln có hai đa thức h(u, v, x) k(u, v, x) thuộc K[u, v][x] thỏa mãn hệ thức biểu diễn sau: Res(fu , gv ) = h(u, v, x)fu + k(u, v, x)gv  f (x, y) = Định lý 2.1.20 Hệ phương trình (A) g(x, y) = giải qua  f, g ∈ R[x, y] phương trình đa thức ẩn Chương Phương trình Định lý Hilbert không điểm Chương tập trung xét vài phần liên quan đến phương trình đại số Định lý không điểm Hlbert 1.1 1.1.1 Mở rộng đại số Quan hệ tương đương Giả thiết tập X = ∅ Tích Carte X × X định nghĩa sau: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} Định nghĩa 1.1.1 Tập S X × X gọi quan hệ hai X Nếu (x, y) ∈ S ta nói x có quan hệ S với y viết xSy Định nghĩa 1.1.2 Giả thiết X = ∅ S = ∅ quan hệ hai X Quan hệ S gọi quan hệ tương đương X thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (1) (Phản xạ) Với x ∈ X có xSx (2) (Đối xứng) Với x, y ∈ X, có xSy có ySx (3) (Bắc cầu) Với x, y, z ∈ X, có xSy ySz có xSz 2.2.3 Phương pháp tiếp tuyến Newton Giả sử hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a, b] thỏa mãn điều kiện f (a)f (b) < 0, f (a)f ”(a) f ”(x) = với x ∈ (a, b) Để có giá trị gần thứ nghiệm ξ phương trình f (x) = ta xét công thức khai triển Taylor f (ξ) : = f (ξ) = f (b) + f ′ (b)(ξ − b) + f ”(c)(ξ − b)2 , ξ < c < b Khi f (b) + f ′ (b)(ξ − b) ≈ ta có ξ ≈ b − x1 = b − f (b) ta lấy f ′ (b) f (b) f ′ (b) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm y = f (x) điểm (b, f (b)) y = f (b) + f ′ (b)(x − b) Khi tiếp tuyến trục hoành ta có y = hồnh độ điểm cắt nghiệm phương trình f (b) + f ′ (b)(x − b) = Do vậy, ta nhận x = x1 phương pháp gọi phương pháp tiếp tuyến Tiếp tục xét f (x) = khoảng (a, x1 ) f (a)f (x1 ) < khoảng (x1 , b) f (x1 )f (b) < Ta lại nhận giá trị gần thứ hai x2 nghiệm ξ, v.v Để ước lượng giá trị gần thứ n xn ta sử dụng công thức đánh giá |f (xn )| m |xn − ξ| với m = inf |f ′ (x)| lim xn = ξ a 0, f ”(x) = log e >0 x khoảng (2, 3) nên m = 0, Ta chọn x1 = − f (3) = − 0, 473 ≈ 2, 53 f ′ (3) Tiếp theo ta xác định x2 = 2, 53 − f (2, 53) Do f ′ (2, 53) x2 = 2, 53 − 0, 0237 = 2, 5063 Ta đạt f (2, 5063) = 0, 000096 |x2 −ξ| 2.2.4 |f (x2 )| < 0, 0002 0, Phương trình hàm ẩn Giả sử ta muốn xác định hàm y = y(x) cho phương trình F (x, y(x)) = muốn xác định đạo hàm y ′ = y ′ (x) Ví dụ 2.2.7 Chứng minh rằng, tồn hàm đơn trị y = y(x) xác định phương trình y + 3y = x tính đạo hàm y ′ (x) theo biến x Bài giải: Giả sử tồn hai hàm thực y1 , y2 thỏa mãn phương trình cho Khi y13 + 3y1 = x, y23 + 3y2 = x Vậy y23 + 3y2 − y13 − 3y1 = hay (y2 − y1 )(y22 + y1 y2 + y12 + 3) = Vì y22 + y1 y2 + y12 + > nên y2 = y1 Như vậy, phương trình cho có nghiệm nghiệm Vì phương trình bậc ba với hệ số 47 thực ln có nghiệm thực nên phương trình y + 3y = x có nghiệm thực Chú ý rằng, đạo hàm x′ (y) = 3y + > nên hàm x(y) đơn điệu Bởi vậy, tồn hàm ngược đơn điệu khả vi 1 = y(x) với đạo hàm y ′ (x) = ′ x (y) + 3y Ví dụ 2.2.8 Chứng minh rằng, với a ∈ [0, 1) tồn hàm đơn trị y = y(x) xác định phương trình y − a sin y = x tính đạo hàm y ′ (x) theo biến x Bài giải: Giả sử tồn hai hàm thực y1 , y2 thỏa mãn phương trình cho Khi y1 − a sin y1 = x, y2 − a sin y2 = x Vậy y2 − a sin y2 − y1 − a sin y1 = hay y2 + y1 y − y1 cos = 2 y2 + y y − y1 || cos | a|y2 − y1 | nên y2 = y1 Vì |y2 − y1 | = 2a| sin 2 Như vậy, phương trình cho có nghiệm nghiệm Khơng khó khăn ta phương trình có nghiệm y = y(x) Chú ý rằng, đạo hàm y ′ − a cos y.y ′ = nên đạo hàm y ′ (x) = − a cos y (y2 − y1 ) − 2a sin 2.3 Phương pháp lặp hội tụ chúng Xét biểu diễn hàm f (x) dạng x f ′ (t)dt f (x) = f (xn ) + (2.1) xn Nhiều nhà toán học cải tiến phương pháp Newton việc xấp xỉ tích phân công thức (1) quy tắc khác thu phương pháp lặp tìm nghiệm đơn phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao Dưới chúng tơi trình bày số thuật tốn (trong tài liệu trích dẫn) giải phương trình f (x∗ ) = có tốc độ hội 48 tụ từ bậc ba đến bậc tám minh họa qua số ví dụ tính tốn cụ thể Weerakoon Fernando tính xấp xỉ tích phân (1) theo quy tắc hình chữ nhật hình thang thu phương pháp có tốc độ hội tụ bậc ba: x xn x xn f ′ (t)dt ≈ (x − xn )f ′ (xn ) f ′ (t)dt ≈ (x − xn ) f ′ (xn ) + f ′ (x) Từ ta suy f (x) ≈ f (xn ) + (x − xn )f ′ (xn ) Vậy f (x) − f (xn ) f ′ (xn ) f (xn ) Kết hợp với f (x) = ta x ≈ xn − ′ f (xn ) f ′ (xn ) + f ′ (x) Hơn nữa, từ f (x) ≈ f (xn ) + (x − xn ) ta nhận x ≈ xn + x − xn ≈ f (x) − f (xn ) f ′ (xn ) + f ′ (x) Với x = xn+1 ta nhận xn+1 ≈ xn + Suy xn+1 ≈ xn − f (xn+1 ) − f (xn ) f ′ (xn+1 ) + f ′ (xn ) 2f (xn ) f ′ (xn ) + f ′ (xn+1 ) Từ suy công thức lặp xn+1 ≈ xn − 2f (xn ) f (xn ) f ′ (xn ) + f ′ xn − ′ f (xn ) 49 Frontini Sormani sử dụng cơng thức điểm thu phương pháp có tốc độ hội tụ nhanh hơn: x xn f ′ (t)dt ≈ (x − xn )f ′ xn x + 2 Sơ đồ lặp: xn+1 = xn − f (xn ) f (xn ) ′ f xn − ′ 2f (xn ) Vào năm 2005, Homeier sử dụng hàm ngược x(y) thay y = f (x) đưa sơ đồ lặp có tốc độ hội tụ cao hơn: y x′ (η)dη x(y) = x(yn ) + yn y m ′ yn x (η)dη ≈ Rm (f ) = (y − yn ) với ξj = yn + τj (y − yn ), τj ∈ [0, 1], Ta có x(y) = x(yn ) + (y − yn ) m m ωj τj = j=1 ωj f (ξj ) j=1 cho Rm có bậc nhỏ ωj f (ξj ) j=1 Kết hợp với y = y∗ = y(x∗ ) = 0, x(y) = x(y∗ ) = x∗ x(yn ) = xn ⇔ yn = f (xn ) ta m x∗ = xn + (y − yn ) ωj f (ξj ) j=1 Vì ξj = yn + τj (y − yn ) = yn (1 − τj ) nên m x∗ = xn − yn j=1 ωj x′ ((1 − τj )yn ) 50 Mặt khác, y = f (x) ⇒ x = g(y) Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: = gy ′ y ′x ⇔ g ′ (y) = 1 ′ ⇒ x (y) = y ′x f ′ (x) Ta có đánh giá xn,j = x ((1 − τj )yn ) Khai triển Taylor hàm y = f (x) xn : y = f (x) = f (xn ) + f ′ (xn )(x − xn ) = f (xn ) + f ′ (xn )(x − xn ) x − xn = − f (xn ) f (xn ) ⇒ x = x − n f ′ (xn ) f ′ (xn ) Khi xn,j = xn − τj f (xn ) f ′ (xn ) Vậy ta lại có sơ đồ lặp có tốc độ hội tụ bậc ba: m xn+1 = xn − f (xn ) ωj j=1 n) f ′ xn − τj ff′(x (xn ) ,m > (2.2) Khi m = 2, ω1 = ω2 = 12 , τ1 = − τ2 = ta có sơ đồ lặp có tốc độ hội tụ bậc ba sau:   f (xn )  1  xn+1 = xn − (2.3) + f ′ (xn ) f ′ xn − f′(xn ) f (xn ) Năm 2006, Jisheng Kou, Yitian Li Xiuhua Wang sử dụng công thức điểm để xấp xỉ tích phân x f ′ (t)dt, yn = xn + f (x) = f (yn ) + xn x f ′ (t)dt ≈ (x−yn )f ′ xn 51 x + yn f (xn ) f ′ (xn ) Kết hợp với f (x) = ta xn+1 = yn − xn+1 +yn Thay f ′ ta x∗n+1 +yn = f′ xn+1 = xn − f (yn ) xn+1 +yn f′ , với x∗n+1 phương pháp lặp Newton f xn + f (xn ) f ′ (xn ) − f (xn ) (2.4) f ′ (xn ) Phương pháp lặp có tốc độ hội tụ bậc ba Năm 2011, P.Wang xấp xỉ tích phân cơng thức (3) theo quy tắc đây: x xn f ′ (t)dt ≈ (x−xn ) (1 − β)f ′ (xn ) + βf ′ f (xn ) 2βf ′ (xn ) Kết hợp với f (x) = cho phương pháp lặp hội tụ bậc ba xn+1 = xn − f (xn ) (1 − β)f ′ (x n) + βf ′ xn − f (xn ) 2βf ′ (xn ) ,β = (2.5) Năm 2010, Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq Nursat Yasmin xấp xỉ tích phân quy tắc hình chữ nhật thu cơng thức bậc tám x f ′ (t)dt ≈ (x−zn )f ′ ( xn Đặt ω = x∗ +zn f (zn ) x + zn f (zn ) ) ⇔ x−zn = − ′ x+zn ⇒ xn+1 = zn − ′ x∗ +zn f f 2 Xét phương pháp Ostrowski phương pháp Newton x ∗ = yn − z n = yn − (xn −yn )f (yn ) f (xn )−2f (yn ) f (yn ) f ′ (yn ) Chúng ta có sơ đồ lặp sau:  n)  y = xn − ff′(x  (xn )  n n )f (yn ) ωn = yn − 21 f(x(xn −y )−2f (yn ) + n   x = z − f (zn ) n+1 n f ′ (ωn ) 52 f (yn ) f ′ (yn ) Sử dụng khai triển Taylor mở rộng cho hàm f ′ (yn ) điểm xn : f ′ (yn ) ≈ f ′ (xn ) + f ′′ (xn )(yn − xn ) Kết hợp với xấp xỉ Taylor f (yn ): f (yn ) ≈ f (xn ) + f ′ (xn )(yn − xn ) + f ′′ (xn )(yn − xn )2 Chúng ta loại bỏ đạo hàm bậc hai xấp xỉ f ′ (yn ) sau: f ′ (yn ) ≈ f (yn ) − f (xn ) − f ′ (xn ) yn − xn Khi sơ đồ lặp trở thành  n)  yn = xn − ff′(x  (x n)   n )f (yn ) ωn = yn − 12 f(x(xn −y )−2f (yn ) + n    f (zn ) x n+1 = zn − f ′ (ωn ) f (yn ) (xn ) −f ′ (xn ) f (yynn)−f −xn (2.6) n) với zn = yn − ff′(y (yn ) Năm 2010, Rostam K Saeed W Khthr Fuad xấp xỉ tích phân theo phương pháp hình thang cải tiến thu sơ đồ lặp bậc sáu x x − xn ′ (x − xn )2 ′′ ′ f (t)dt ≈ [f (xn ) + f (x)] + [f (xn ) − f ′ (x)] 2 ′ xn ta phương trình x − xn ′ (x − xn )2 ′′ ′ Mn (x) = f (xn ) + [f (xn ) + f (x)] + [f (xn ) − f ′′ (x)] 12 Ta tìm nghiệm xn+1 phương trình Mn (xn+1 ) = (xn+1 − xn )2 ′′ xn+1 − xn ′ ′ [f (xn ) + f (xn+1 )]+ [f (xn ) − f ′′ (xn+1 )] = f (xn )+ 12 53 Suy 12f (xn ) + (xn+1 − xn )2 [f ′′ (xn ) − f ′′ (xn+1 )] = xn − [f ′ (xn ) + f ′ (xn+1 )] xn+1 (2.7) Nếu xấp xỉ (xn+1 − xn ) vế phải phương trình 2.7 phương pháp Newton ta thu xn+1 12f (xn )f ′2 (xn ) + f (xn ) [f ′′ (xn ) − f ′′ (xn+1 )] = xn − 6f ′2 (xn ) [f ′ (xn ) + f ′ (xn+1 )] (2.8) Thay xn+1 vế phải 2.8 phương pháp lặp Newton ta có phương pháp hội tụ bậc ba: xn+1 = xn − 12f (xn )f ′2 (xn ) + f (xn ) f ′′ (xn ) − f ′′ xn − 6f ′2 (x n) f ′ (x n) + f′ xn − f (xn ) f ′ (xn ) f (xn ) f ′ (xn ) , n = 0, 1, 2, (2.9) Nếu xấp xỉ (xn+1 − xn ) vế phải phương trình 2.7 phương pháp Halley 2f (xn )f ′ (xn ) xn+1 − xn = − ′2 2f (xn ) − f (xn )f ′′ (xn ) ta thu phương pháp với tốc độ hội tụ bậc bốn: xn+1 12f (xn )f ′2 (xn ) + f (xn ) [f ′′ (xn ) − f ′′ (yn )] , n = 0, 1, 2, = xn − 6f ′2 (xn ) [f ′ (xn ) + f ′ (yn )] (2.10) Trong 2f (xn )f ′ (xn ) yn = xn − ′2 2f (xn ) − f (xn )f ′′ (xn ) Kết hợp công thức 2.9 phương pháp Newton, ta lại thu phương pháp hội tụ bậc sáu: z n = xn − 12f ′2 (xn ) + f (xn ) f ′′ (xn ) − f ′′ xn − 6f ′2 (x n) f ′ (x n) 54 + f′ xn − f (xn ) f ′ (xn ) f (xn ) f ′ (xn ) (2.11) xn+1 = zn − f (zn ) f ′ (zn ) Định lý 2.3.1 Giả sử hàm f : I ⊂ R → R với I khoảng mở có nghiệm đơn x∗ Nếu f (x) hàm đủ trơn lân cận nghiệm x∗ phương pháp lặp xác định 2.9 hội tụ bậc ba Chứng minh Đặt en = xn − x∗ , sử dụng khai triển Taylor x∗ ′ f (xn ) = f (x )(en + ∗ c2 e2n + c3 e3n f (j) (x∗ ) + ), cj = , j = 2, 3, j!f ′ (x∗ ) f ′ (xn ) = f ′ (x∗ )(1 + 2c2 en + 3c3 e2n + ), f ′′ (xn ) = f ′ (x∗ )(2c2 en + 6c3 en + 12c4 e2n ), f (xn ) = en − c2 e2n + 2(c22 − c3 )e3n + (−3c4 + 7c2 c3 − 4c32 )e4n + O(e5n ) ′ f (xn ) n) Kết hợp với phương pháp Newton yn = xn − ff′(x (xn ) ta yn = c2 e2n + 2(c22 − c3 )e3n + O(e4n ), Từ cách sử dụng chuỗi Taylor x∗ ta có f (yn ) = c2 e2n + 2(c22 − c3 )e3n + O(e4n ), f ′ (yn ) = + 2c22 e2n − 4(−c3 + c22 )c2 e3n + O(e4n ), f ′′ (yn ) = 2c2 + 6c2 c3 e2n − 12(−c3 + c22 )c3 e3n + O(e4n ), k1 = 12f (xn )f ′2 (xn ) + f 2(xn ) [f ′′ (xn ) − f ′′ (yn )] k2 = 6f ′2 (xn ) [f ′ (xn ) + f ′ (yn )] Đặt k1 = 12f (xn )f ′2 (xn ) + f 2(xn ) [f ′′ (xn ) − f ′′ (yn )] k2 = 6f ′2 (xn ) [f ′ (xn ) + f ′ (yn )] ⇒ k1 = 12en + 60c22 e2n + 12(90c3 + 96c22 )e3n + O(e4n ) k2 = 12 + 60c2 en + (90c3 + 108c22 )e2n + + O(e4n ), ⇒ k3 = k1 = en − c22 e3n + (− c2 c3 + 3c32 )e4n + O(e5n ) k2 55 (2.12) Từ 2.9 2.12 ta có en+1 + x∗ = en + x∗ − en − c22 e3n + (− c2 c3 + 3c32 )e4n + O(e5n ) ⇔ en+1 = c22 e3n + ( c2 c3 − 3c32 )e4n + O(e5n ) Điều chứng tỏ cơng thức lặp 2.9 hội tụ bậc ba Định lý 2.3.2 Giả sử hàm f : I ⊂ R → R với I khoảng mở có nghiệm đơn x∗ Nếu f (x) hàm đủ trơn lân cận nghiệm x∗ phương pháp lặp xác định 2.10 hội tụ bậc bốn Chứng minh Từ phương pháp Halley ta có yn = (−c3 + c22 )e3n + (−3c4 + 6c2 c3 − 3c32 )e4n + O(e5n ) Sử dụng chuỗi Taylor điểm x∗ , ta được: f (yn ) = (−c3 + c22 )e3n + (−3)e4n + O(e5n ) f ′ (yn ) = − 2(−c3 + c22 )c2 e3n − 6c2 (c4 − 2c2 c3 + c32 )e4n + O(e5n ), f ′′ (yn ) = 2c2 + 6(−c3 + c22 )c3 e3n − 18c3 (c4 − 2c2 c3 + c32 )e4n + O(e5n ), Đặt l1 = 12f (xn )f ′ 2(xn ) + f (xn ) [f ′′ (xn ) − f ′′ (yn )] l2 = 6f ′2 (xn ) [f ′ (xn ) + f ′ (yn )] ⇒ l1 = 12en + 60c2 e2n + (90c3 + 96c22 )e3n + + O(e5n ) l2 = 12 + 60c2 en + (90c3 + 96c22 )e2n + + O(e5n ) ⇒ l3 = l1 = en − c32 e4n + O(e5n ) l2 (2.13) Từ 2.10 2.13 ta thu en+1 + x∗ = en + x∗ − en − c32 e4n + O(e5n ) ⇔ en+1 = c32 e4n + O(e5n ) Điều có nghĩa phương pháp 2.10 hội tụ bậc bốn 56 Định lý 2.3.3 Giả sử hàm f : I ⊂ R → R với I khoảng mở có nghiệm đơn x∗ Nếu f (x) hàm đủ trơn lân cận nghiệm x∗ phương pháp lặp xác định 2.11 hội tụ bậc sáu Chứng minh Theo định lý 2.3.1, ta có k3 = en − c22 e3n + (− c2 c3 + 3c32 )e4n + O(e5n ) ⇒ zn = c22 e3n + ( c2 c3 − 3c32 )e4n + O(e5n ) Kết hợp với việc mở rộng f (zn ) x∗ , ta thu f (zn ) = c22 e3n + ( c2 c3 − 3c32 )e4n + O(e5n ) f ′ (zn ) = + 2c32 e3n + c22 (−7c3 + 6c22 )e4n + O(e5n ) ⇒ en+1 = c52 e6n + O(e7n ) Như phương pháp xác định công thức 2.11 hội tụ bậc sáu 2.4 Ví dụ minh họa Các ví dụ cho phép so sánh phương pháp Newton (PPN), phương pháp Homeier (2005) (PPH) phương pháp 2.9 (N1), 2.10 (N2) 2.11 (N3) (Bảng 1) Ta sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Casio fx-570ms phần mềm Maple để tính tốn lấy nghiệm xấp xỉ với sai số |f (xn )| < 10−15 |xn+1 − xn | < 10−15 Xét hàm số sau thực tính tốn tìm nghiệm gần x∗ xác đến số thập phân thứ 27 f1 (x) = cos x − x, x∗ = 0.739085133215606416553120876 f2 (x) = x + 4x − 10 x∗ = 1.365230013414096845760806829 x f3 (x) = sin x − x∗ = 1.895494267033980947144035738 x f4 (x) = (x + 2)e − x∗ = −0.4428544010023885831413280000 f5 (x) = (x − 1) − x∗ = 2 x f6 (x) = x − e − 3x + x∗ = 0.257530285439860760455367304 57 Hàm f1 (x) f1 (x) f1 (x) f1 (x) f1 (x) f1 (x) x0 PPN 1.7 2.3 3.5 6 PPH N1 N2 N3 3 4 3 3 5 4 5 3 Bảng 2.1: Kết bảng (2.1) số lần lặp phương pháp khác tìm nghiệm gần với sai số nhỏ 10−15 58 Kết luận Trong luận văn đề cập vấn đề sau: (1) Mở rộng đơn, mở rộng đại số trường (2) Chứng minh Định lý Hilbert sở (3) Chứng minh Định lý Hilbert không điểm (4) Chứng minh hai kết Noga Alon (5) Trình bày khái niệm kết thức vận dụng (6) Trình bày số phương pháp giải gần phương trình 59 Tài liệu tham khảo [1] G M Fichtenholz (1959), Differential- und Integralrechnung, Vol I VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften [2] W V D Hodge and D Pedoe (1953), Methods of algebraic geometry, Vol I The Syndics of the Cambridge University Press [3] R Kochendorffer, Einfuhrung in die Algebra, VEB Deutcher Verlag der Wissenschaften Berlin 1962 [4] V Prasolov, Polynomials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004 60 ... số lớp phương trình hệ phương trình đó, tức khơng mang tính phổ qt Hơn giải phương trình ta thường biến đổi để đưa phương trình xét phương trình đa thức Nhiều tốn ta khơng cần biết xác nghiệm. .. thức vài tính chất Trong Mục 2.2 chúng tơi trình bày vài phương pháp giải gần phương trình phi tuyến Mục 2.3 trình bày phương pháp lặp để giải gần phương trình Kết hai định lý sau Định lý 2.1.1... hạn nghiệm phương n→+∞ 43 trình 2x + 2016 = ln(x2 + 1) Như vậy, với n đủ lớn, ta có giá trị gần an nghiệm phương trình 2x + 2016 = ln(x2 + 1) Ví dụ 2.2.4 Xác định gần nghiệm dương phương trình