MOT SO BAI TOAN KHOHAY CO HUONG DAN GIAI 2

Vậy phương trình ñã cho có tập nghiệm:... HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON.[r]

Bucthutinhdautien171@gmail.com Hướng dẫn giải số câu ñề thi GVG huyện Bá Thước – 2011 - 2012 Bài (câu ñề 5); Cho a, b, c là các số dương và abc =1 CMR a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + a )(1 + c) (1 + a )(1 + b) HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON HD: Ta có: a3 1+ b 1+ c a3 + + ≥ 33 = a (1 + b)(1 + c) 8 64 b3 1+ a 1+ c b3 + + ≥ 33 = b (1 + a )(1 + c) 8 64 c3 1+ a 1+ b c3 + + ≥ 33 = c (1 + a )(1 + b) 8 64 1+ a 1+ b 1+ c 3 3 Vậy: VT ≥ (a + b + c) − − − = (a + b + c) − ≥ abc − = (ñpcm) 4 4 4 Bài 2(câu ñề 7)Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a +b +c =1 Chứng minh rằng: 11b3 − a 11c − b3 11a − c + + ≤2 ab + 4b cb + 4c3 ac + 4c HD: 11b3 − a ≤ 3b − a Từ ñó suy ñiều phải chứng minh ab + 4b Bài 3:(câu 5.2 ñề 11); Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y − xy − x − 12 y + 2041 HD: A = x + y − xy − x − 12 y + 2041 = ( x − 10 x + 25) + ( x + y + − xy + x − 12 y ) + 2012 = ( x − 5) + ( x − y + 2) + 2012 ≥ 2012 Bài 4:(câu ñề 14); Gọi a, b, c là ñộ dài ba cạnh tam giác có góc nhọn Cmr với số thực x, y, z ta luôn có: x2 y2 z 2x2 + y + z + + > a2 b2 c2 a + b2 + c2 HD: Biến ñổi: x2 y z 2 x2 + y + z y2 z2  2  x + + > ⇔ + + + +  > 2x2 + y2 + z ( a b c )  2 2 2 2 a b c a +b +c b c  a 2 2 2  b2 + c − a   a +c −b   a +b −c  y z ⇔ x2  + +     >0 2 a b c       Ta thấy ñẳng thức cuối cùng hiển nhiên ñúng vì: b + c − a > 0; a + b − c > 0; a + c − b > Bài 5;(câu ñề 15); Cho a, b, c ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: Bucthutinhdautien171@gmail.com a b c + + + (1 − a )(1 − b)(1 − c) ≤ (1) b + c +1 a + c +1 a + b +1 HD: Giả sử a≥b≥c a a b a c c ≤ ; ≤ ; ≤ b + c +1 b + c +1 a + c +1 c + b +1 a + b +1 c + b +1 a+b+c 1− a ⇒ (1 − a )(1 − b)1 − c) ≤ − = (*) c + b +1 b + c +1 HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON Khi ñó: -) Với a =1: (*) ñúng  b + c +1+1− b +1− c  -) Với a ≠ : Ta có: (b + c + 1)(1 − b)(1 − c) ≤   =1   ⇒ (b + c + 1)(1 − a )(1 − b)(1 − c ) ≤ − a Vậy (1) ñã ñược chứng minh Bài 6: (câu ñề 2); Chứng minh rằng; x2 y x2 y + + ≥3 ( x2 + y )2 y x2 HD: x2 y x2 y 4x2 y2 x + y x2 y2 x4 + y4 x2 y x4 + y x4 + y + + = + ≥ + 2 ≥ + + ( x + y )2 y x x + y + x y 2 x2 y x2 y x + y4 x y x + y x2 y 2 x2 y x4 + y x4 + y x4 + y ≥ 33 = ≥3 2x2 y2 x + y x2 y 2 x2 y Bài 7:(câu 5.2 ñề 4); Cho các số x, y, z dương thoả mãn Chứng ming rằng: Bài 1 + + =4 x y z 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z HD: Sử dụng công thức: 11 1 ≤  +  x+ y 4 x y Từ ñó ta có: 1 1 1  1 1  1 1  + + ≤  + + + +  +  x + y + z x + y + z x + y + z  x + y x + z   y + z z + x   z + x z + y  2 1 1 1 1 2 11 1 ≤  + +  +  + +  +  + +  =  + +  = =1 16  x y z  16  x y z  16  x y z   x y z  Bài (câu ñề 6) Cho các số thực x, y, z thoả mãn ñiều kiện: x + y + z ≤ Tìm GTLN x2 y2 z2 M= + + 4 + x + y + z4 HD: Bucthutinhdautien171@gmail.com a2 a2 ≤ = Sử dụng công thức: Từ ñó ta có GTLN M = 1+ a 2a 2 Bài 9: (câu 2b ñề 9) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = và xy > x HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON Tìm giá trị lớn biểu thức : M = + y HD: Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = 3 3 ⇔ x + 3x + 3x +1 + y + 3y + 3y + + x + y + = ⇔ (x + 1) + (y + 1) + (x + y + 2) = 2 ⇔ (x + y + 2)[(x + 1) – (x + 1)(y + 1) + (y + 1) + 1] = (*)   Vì ( x + 1) – ( x + 1)( y + 1) + ( y + 1) + 1= ( x + 1) − ( y + 1)  + ( y + 1) + >   Nên (*) ⇔ x + y + = ⇔ x + y = - 1 x + y −2 −2 Ta có : M = + = = vì ( x + y) ≥ 4xy ⇒ ≥ 4xy ⇒ ≥ ⇒ ≤ −2 Vậy MaxM = -2 ⇔ x x y xy xy xy xy 2 = y = -1 Anh em tham khảo góp ý!
Hẹn lần sau gửi tiếp☺ ☺ 2012 x + x x + 2012 + x = 2012 Bài 10 (câu III.1 ñề 15) Giải phương trình 2011 HD: a) ⇔ (2012 + x + 2012) x − (2011.2012 − x ) = ⇔ (2012 + x + 2012) x − (2012 − x + 2012)(2012 + x + 2012) = ⇔ (2012 + x + 2012)( x + x + 2012 − 2012) = ⇔ x + x + 2012 − 2012 = (do 2012 + x + 2012 > 2012 > ∀x ) ⇔ x = 2012 − x + 2012 ⇔ x4 + x2 + = x + 2012 − x + 2012 + 1    ⇔  x2 + =      x2 + 2012 −    1 1 ( vì x + 2012 − >0; x + >0) ⇔ x + = x + 2012 = x + 2012 − 2 2 2 ⇔ x + x + = x + 2012 ⇔ x + x − 2011 = ⇔ x2 + ⇔ t + t − 2011 = (ñặt t = x , t ≥ ) ⇔ t = −1 + Vậy phương trình ñã cho có tập nghiệm: 8044 (do t ≥ ) ⇔  S = −  −1 + 8044 ; −1 + x=± − + 8044 4    Bài 11: (câu V.2 ñề 4) Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñẳng thức xy + yz + zx = , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3x + y + z 6( x + 5) + 6( y + 5) + z + Bucthutinhdautien171@gmail.com HD: Ta có: 3x + y + z 3x + y + z P= = 2 2 6( x + xy + yz + xz ) + 6( y + xy + yz + xz ) + 6( z + xy + yz + xz ) 6( x + 5) + 6( y + 5) + z + HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON = 3x + y + z 6( x + y)( x + z ) + 6( y + x)( y + z ) + ( z + x)( z + y) Ta lại có: 3x + y + x + z y + z + 3x + y y+z+x+z ; 6( y + z )( y + x) ≤ ; ( z + x)( z + y ) ≤ 2 3x + y + z 3x + y + z Vậy: p ≥ = = 5x + y + z y + 3x + z z + x + y x + y + z + + 2 2 6( x + y )( x + z ) ≤ Dấu “=” x = y = 1/2z=1 Bài 12: (câu II.1 ñề 15) Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn : Hãy tính giá trị biểu thức : M = 1 1 + + = x y z x+ y+z 2011 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) 2012 HD : Từ : x+ y x+ y+z−z 1 1 1 1 => + + − + + = = => + =0 x y z x+ y+z x y z x+ y+z xy z (x + y + z )    zx + zy + z + xy  ⇒ ( x + y) + = ⇒ ( x + y)  = ⇒ ( x + y )( y + z ) ( z + x) =  xy z ( x + y + z )   xyz ( x + y + z )    Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) Vậy M = Bài 13: 2011 2011 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 2012 2012