+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc t[r]
(1)BAØI TAÄP PHAÀN RUÙT GOÏN Baøi : P = 14 14 x 2 x x 1 x x x x Q= 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : 2) Cho biÓu thøc : a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Híng dÉn : P = a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : Q = x −1 b) | Q | > - Q ⇔ x > c) x = { 2;3 } th× Q Z Baøi : Cho biÓu thøc P = x a) Rót gän biÓu thøc sau P x x x b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = Híng dÉn : x+ a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : P = 1−x √2 b) Víi x = th× P = - – x √ x +1 x −1 − Baøi : Cho biÓu thøc : A = x−1 √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để | A | = A Híng dÉn : √x a) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : A = √x− 1 b) Víi x = th× A = - c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× | A | = A 1 a 3 a Baøi : Cho biÓu thøc : A = a a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Xác định a để biểu thức A > Híng dÉn : a) §KX§ : a > vµ a 9 BiÓu thøc rót gän : A = √a+ (2) b) Víi < a < th× biÓu thøc A > x x x 4x x x 1 x2 Baøi : Cho biÓu thøc: A= 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rót gän A 3) Với x Z ? để A Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ± x +2003 b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ ; x ≠ ± x c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z x 2003 x x x x x 1 x x 1 : x x x x x A= Baøi : Cho biÓu thøc: a) Rót gän A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Híng dÉn : √ x+1 a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = √x− b) Víi < x < th× A < c) x = { ; } th× A Z x2 x x1 : x x x x 1 x Baøi : Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = x + √ x+ b) Ta xÐt hai trêng hîp : +) A > ⇔ > luôn đúng với x > ; x ≠ (1) x + √ x+1 +) A < ⇔ < ⇔ 2( x+ √ x +1 ) > ⇔ x+ √ x x + √ x+ (2) Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm) Baøi : Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = a 3 a a1 a a (a 0; a 4) a 2 Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 4 BiÓu thøc rót gän : P = √a − b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P = a a a a a 1 a Baøi : Cho biÓu thøc: N= 1) Rót gän biÓu thøc N > đúng vì theo gt thì x > (3) 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 1 BiÓu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005 x √ x+ 26 √ x −19 x x −3 − √ +√ Baøi 10 : Cho biÓu thøc P= x +2 √ x − √ x − √ x +3 a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P x=7 − √ c Với giá trị nào x thì P đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó Híng dÉn : x+16 P= a ) §KX§ : x 0, x 1 BiÓu thøc rót gän : √ x+3 103+3 √ b) Ta thÊy x=7 − √ §KX§ Suy P= 22 c) Pmin=4 x=4 Baøi 11 : Cho biÓu thøc P= ( √2x√+3x + √√x +3x − 3xx+−93 ) :( 2√√xx−3−2 − 1) c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Híng dÉn : −3 a ) §KX§ : x 0, x 9 BiÓu thøc rót gän : P= √ x+3 b Víi ≤ x <9 th× P<− c Pmin= -1 x = a Rót gän P b Tìm x để a 1 a Bµi 12: Cho A= a Rót gän A b TÝnh A víi a = 4 P<− a1 a a a 1 a víi x>0 ,x 1 15 10 15 ( KQ : A= 4a ) x x 9 x x3 x 2 : x x x x x Bµi 13: Cho A= víi x 0 , x 9, x 4 a Rót gän A b x= ? Th× A < c Tìm x Z để A Z (KQ : A= x ) 15 x 11 x 2 x x víi x 0 , x 1 Bµi 14: Cho A = x x x a Rót gän A b T×m GTLN cña A c Tìm x để A = (4) 2 x d CMR : A (KQ: A = x ) x2 x 1 Bµi 15: Cho A = x x x x 1 x víi x 0 , x 1 a Rót gän A x b T×m GTLN cña A ( KQ : A = x x ) Bµi 16: Cho A = x x x x x víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR : A 1 ( KQ : A = x x x 1 ) x x 25 x x 3 x 5 : x 25 x x 15 x 5 x Bµi 17: Cho A = a Rót gän A b Tìm x Z để A Z ( KQ : A = x 3 ) a a a Bµi 18: Cho A = a Rót gän A b Tìm a để A < a a 1 a 3 a c Tìm a Z để A Z víi a 0 , a 9 , a 4 ( KQ : A = a 1 a 3) x x 7 x 2 x 2 x : x x 2 x x x Bµi 19: Cho A= víi x > , x 4 a Rót gän A x 9 b So s¸nh A víi A ( KQ : A = x ) 3 x y x y : x y y x Bµi20: Cho A = a Rót gän A x y xy x y víi x 0 , y 0, x y xy b CMR : A 0 ( KQ : A = x xy y ) x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x1 x 1 Bµi 21 : Cho A = Víi x > , x 1 (5) a Rót gän A x x 1 b Tìm x để A = ( KQ : A = x x 2 : x x x x Bµi 22 : Cho A = a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A = x ) x x víi x > , x 4 x) 1 : Bµi 23 : Cho A= x x x x x víi x > , x 1 a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A = x ) x 1 x4 : x x x 1 Bµi 24 : Cho A= x víi x 0 , x 1 a Rót gän A x b Tìm x Z để A Z (KQ: A = x ) x 2 : x 1 x x x x x x Bµi 25: Cho A= víi x 0 , x 1 a Rót gän A b Tìm x Z để A Z x1 c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A = x ) x x 3x x 1 : x 3 x x x Bµi 26 : Cho A = a Rót gän A b Tìm x để A < - 3 ( KQ : A = a ) x 1 x x x x : x1 x x x Bµi 27 : Cho A = a Rót gän A b TÝnh A víi x = c CMR : A 1 Bµi 28 : (KQ: x 1 : x x x 1 Cho A = x x víi x 0 , x 9 x víi x 0 , x 1 x A= x4 ) víi x > , x 1 (6) a Bµi 29 : Rót gän A b.So s¸nh A víi (KQ: A= x1 x ) x1 x x 2 : x 0, x x x x 1 x Víi Cho A = a Rót gän A b Tìm x để A = c Tìm x để A < x x ( KQ : A = x ) x x x x 1 x x x Bµi30 : Cho A = a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 víi x 0 , x 1 d T×m GTLN cña A (KQ: A = x (1 x ) ) x2 x x1 : x x x x 1 x Bµi 31 : Cho A = víi x 0 , x 1 a Rót gän A A = x x 1 ) Bµi 32 : b CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > , (KQ: x x 1 : x x x Cho A = víi x > , x 1, x 4 a Rót gän b Tìm x để A = x 1 x x x : x x x1 x 1 Bµi 33 : Cho A = víi x 0 , x 1 a Rót gän A b TÝnh A x= 0,36 c Tìm x Z để A Z x x 3 x 2 x 2 : x x x x x Bµi 34 : Cho A= víi x 0 , x 9 , x 4 a Rót gän A b Tìm x Z để A Z x c Tìm x để A < (KQ: A = x ) (7) BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT Baøi : 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b ¿ ⇔ 2=a+ b a=3 Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : − 4=−a+ b b=−1 ¿{ ¿{ ¿ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ Baøi : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = ¿ y=− x+2 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – là nghiệm hệ pt : y=2 x − ¿{ ¿ ⇔ (x;y) = (1;1) Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + và y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + −1 Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = Baøi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Híng dÉn : 1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có ¿ x =1 y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔ y 0=2 ¿{ ¿ Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định (1;2) Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB (8) 2) Tìm các giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : ¿ 1=a+ b −1=2a+ b ¿{ ¿ ⇔ a=−2 b=3 ¿{ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua ¿ m2 − m=−2 ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn : m2 − 2m+2=2 ⇔ m = ¿{ ¿ Vậy m = thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua ®iÓm C(0 ; 2) Baøi : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định Êy 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Híng dÉn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔ Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định ( −1 −5 ) ; 2 ¿ −1 x0 = −5 y 0= ¿{ ¿ Baứi : Tìm giá trị k để các đờng thẳng sau : 6 x 4x y= ;y= vµ y = kx + k + c¾t t¹i mét ®iÓm Baứi : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1) Baøi : Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003) 2) Song song với đờng thẳng x – y + = Chủ đề : Ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn A kiÕn thøc cÇn nhí : Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = Ph¬ng ph¸p gi¶i : (9) + NÕu a ≠ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : x = −a b + NÕu a = vµ b ≠ ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm + NÕu a = vµ b = ⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm ¿ ax + by = c HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : a'x + b'y =c' ¿{ ¿ Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sö dông mét c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét hai ph¬ng tr×nh rót mét Èn theo Èn , thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø ta đợc phơng trình bậc ẩn +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn đó - Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dô minh häa : VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : x x a) §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = { } + =2 x-1 x+2 2x3 - b) =2 x + x +1 Gi¶i : §KX§ : x 3+ x +1 ≠ (*) −3 2x3 - Khi đó : = ⇔ 2x = - ⇔ x = x + x +1 −3 −3 −3 Víi ⇔ x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 −3 VËy x = lµ nghiÖm VÝ dô : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – = (1) + NÕu m th× (1) ⇔ x = - (m + 2) + NÕu m = th× (1) v« nghiÖm VÝ dô : T×m m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2 + m - = Gi¶i : Ta cã : víi m Z th× 2m – , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = - (m + 2) 2m - để pt có nghiệm nguyên thì ⋮ 2m – Giải ta đợc m = 2, m = VÝ dô : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23 Gi¶i : 23 - 7x x−1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = = – 2x + 4 V× y Z ⇒ x – ⋮ Giải ta đợc x = và y = BAØI TAÄP PHAÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Baøi : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2x 3y a) 3x 4y 2 b) x 4y 6 4x 3y 5 2x y 3 c) 5 y 4x x y 1 d) x y 5 (10) 2 x x y 2 2x 0 1, e) 4x 2y f) x x y Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx y 2 x my 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m Híng dÉn : Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (a 1)x y a x (a 1)y 2 cã nghiÖm nhÊt lµ (x; y) 1) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào a 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 2x 5y 3) Tìm các giá trị nguyên a để biểu thức x y nhận giá trị nguyên Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x ay 1 (1) ax y 2 1) Gi¶i hÖ (1) a = 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm nhÊt mx y n Baứi : Xác định các hệ số m và n, biết hệ phơng trình nx my 1 1; cã nghiÖm lµ a 1 x y 4 ax y 2a Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh (a lµ tham sè) 1) Gi¶i hÖ a = 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ¿ x - ( m + 3)y = Baøi (trang 22): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (m - 2)x + 4y = m - (m lµ tham sè) ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ m = -1 b) Gi¶i vµ biÖn luËn pt theo m (11) Baøi : (trang 24): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x - my=0 mx − 4y = m + ¿{ ¿ (m lµ tham sè) a) Gi¶i hÖ m = -1 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > Bài 10 (trang 23): Một ôtô và xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau thì gặp Nếu cùng chiều và xuất phát điểm thì sau hai xe cách 28 km Tính vaän toác cuûa moãi xe HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát A Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào cài bể nước cạn, sau thì đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai thì sau bể Nếu mình vòi thứ hai chảy bao lâu bể Đáp số : Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t 0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C Hường dãn : ¿ ¿ x + y = 10 x = 2,5 ⇔ y = 7,5 Ta coù heä pt : 100x + 20y = 400 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu ¿ ( x + 200) ¿ 100 %=50 % y + 200 x =400 y = 1000 ⇔ ( x+ 200) Theo baøi ta coù heä pt : 100 %=40 % ¿{ y + 500 ¿ ¿{ ¿ Vậy nồng độ phần trăm dung dịch axít ban đầu là 40% Ph¬ng tr×nh bËc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận có nghiệm phương trình : ax + bx + c = (1) đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp a) Nếu a= đó ta tìm vài giá trị nào đó m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên có thể : - Có nghiệm (12) - vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac * Δ < ( Δ / < ) thì phương trình (1) vô nghiệm * Δ =0( Δ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - b 2a b❑ ) a * Δ > ( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: − b −√ Δ − b+ √ Δ x1 = ; x2 = 2a 2a ❑ ❑ − b −√ Δ − b❑+ √ Δ❑ (hoặc x1 = ; x2 = ) a a Định lý Viét Nếu x1 , x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì b S = x + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: (hoặc x1,2 = - ⇔ p = x1x2 < ¿ Δ≥0 p>0 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) ⇔ S> ¿{{ ¿ ¿ Δ≥ p>0 Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔ S< ¿{{ ¿ x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < < x2 ) ¿ Δ> p=0 Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm d¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔ S> ¿{{ ¿ ¿ Δ> p=0 Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ S< ¿{{ ¿ 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm (13) XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0) c a NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2 = NÕu a – b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m c a Δ ≥ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc (Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x +x S *) + = = p x1 x2 x1 x2 x + x x1 x2 *) + = = S −2 p x2 x1 x1 x2 p *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x + x −2 a 1 S − 2a *) + = = x −a x2 −a (x − a)( x2 −a) p − aS+a2 (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót tõ ®iÒu kiÖn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ≥ ) d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thø C¸ch gi¶i: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc đã cho có nghiệm: Δ ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) (*) - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình và gi¶i ph¬ng tr×nh Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có Δ < thì kết luận không có giá trị nào tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc 2 §ª t×m nghiÖm thø ta cã c¸ch lµm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bÇy ë trªn) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thø B Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = Gi¶i Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – + Nếu Δ❑ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình đã cho có nghiệm ph©n biÖt: x1 = m + - √ m2 −9 x2 = m + + √ m2 −9 ❑ + NÕu Δ = ⇔ m = ± - Víi m =3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = (14) - Víi m = -3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2 + NÕu Δ❑ < ⇔ -3 < m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt kuËn: Víi m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = Víi m = - th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2 Víi m < - hoÆc m > th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = m + - √ m2 −9 x2 = m + + Víi -3< m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm √ m2 −9 Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – = Híng dÉn Nếu m – = ⇔ m = thì phơng trình đã cho có dạng * NÕu m – ⇔ m Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu Δ❑ = ⇔ 9m – 18 = ⇔ m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = =-2 a −3 - NÕu Δ❑ > ⇔ m >2 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = m± √ m −2 m −3 - NÕu Δ❑ < ⇔ m < Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt luËn: Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2 Víi m > vµ m ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = m± √ m −2 m −3 Víi m < ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - 6x – = ⇔ x=- Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( √ 3− √ )x - √ 15 = d) x2 –(3 - √ )x - √ = Gi¶i a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) = c − 2009 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = , x2 = = a b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , c 204 x2 = = - 12 =− a 17 c) x2 + ( √ 3− √ )x - √ 15 = cã: ac = - √ 15 < Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( √ 3− √ ) = - √ + √ x1x2 = - √ 15 = (- √ ) √ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1 = - √ , x2= √ (hoÆc x1 = √ , x2 = - √ ) d ) x –(3 - √ )x - √ = cã : ac = - √ < Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có Δ❑ = (15) ¿ x1 + x2= - √ x x = - √7= 3(-2 √7) ¿{ ¿ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = , x2 = - √7 Bµi : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = m+1 HoÆc x2 = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = - ⇔ x 1=−1 ¿ m− *m–3 ⇔ m (*) x 2= m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = |x − x 2| 1 + C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) x −1 x − 1 b) lËp ph¬ng tr×nh bËc cã c¸c nghiÖm lµ vµ x −1 x −1 Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x − x 2| = √ S − p=√37 ( x1 + x 2) −2 1 S −2 + +C= = = =− x −1 x − ( x −1)( x − 1) p − S +1 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta cã : 1 + =− S= (theo c©u a) x −1 x − 1 = =− p= ( x −1)( x − 1) p − S +1 1 VËy vµ lµ nghiÖm cña h¬ng tr×nh : x −1 x −1 1 X2 – SX + p = ⇔ X2 + X= ⇔ 9X2 + X - = 9 (16) Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè) Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 là nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: k+ ) 5 36 )+ > víi mäi gi¸ trÞ cña k VËy 5 Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - 36 k+ + ) = 5(k 25 25 ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu ⇔ p < 1 k+ + )<0 ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2 4 ) < luôn đúng với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái ⇔ -(k dÊu víi mäi k Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k – x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) 87 = (k – 1)[(2k ) + ] 16 87 Do đó x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k ) + ] >0 16 87 ) + > víi mäi k) ⇔ k – > ( v× (2k 16 ⇔ k>1 VËy k > lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m Tìm m để |x − x 2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 là hao nghiệm phơng trình (1) nói phÇn 2.) Gi¶i Víi m = - ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiÖm lµ x1 = , x2 = - Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + 1 19 19 = m2 + 2.m + + = (m + ) + > víi mäi m 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + ) + ] 19 m+ ¿2+ 1 19 = => |x − x 2| = =0 ⇔ m=2 19 m + √ 2 ¿ √¿ Vậy |x − x 2| đạt giá trị nhỏ √ 19 m = = 5(k2 – √ Bµi : Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè) (17) 2) Chứng minh phơng trình đã cho có nghiệm với m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm Gi¶i: 1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - đó phơng trình đã cho trở thành; 5x – = ⇔ x = + NÕu : m + => m - Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số : Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt m− 1+5 2(m− 3) m− m+4 x1 = = x2 = m− 1− = =1 = m+4 2(m+2) 2( m+2) 2(m+2) m+2 Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với m 3)Theo c©u ta cã m - thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp lÇn nghiÖm ta sÐt trêng hîp m−3 Trêng hîp : 3x1 = x2 ⇔ = giải ta đợc m = (đã giải câu 1) m+2 m−3 11 Trêng hîp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= (tho¶ m·n ⇔ m + = 3m – ⇔ m = m+2 ®iÒu kiÖn m - 2) 11 KiÓm tra l¹i: Thay m = vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm x1 = , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = - Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Gi¶i 1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = ❑ + NÕu m LËp biÖt sè Δ = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 ❑ Δ < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiÖm Δ❑ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = m−2 = − = a m 2 Δ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = m−2 − √ − m+ ; x2 = m−2+ √ − m+ m m VËy : m > : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m = : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = m < : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m−2 − √ − m+ m ; x2 = m−2+ √ − m+ m (18) m−3 <0 ⇔ m ¿ m> m<0 ¿ ¿ ¿ m<3 ⇔ ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ ¿ m− 3>0 m<0 ¿ ¿ ¿ m −3< ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ m>3 Trêng hîp m<0 ¿{ ¿ c a <0 kh«ng tho¶ m·n ¿ m<3 Trêng hîp m>0 ⇔ 0<m<3 ¿{ ¿ *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm ⇔ m (*) (ở câu a đã có) Δ❑ - Thay x = vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Sau đó thay m = - 9 x – 2(4 Δ❑ tho¶ m·n mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = - vµo ph¬ng tr×nh (1) : - 2)x - -3=0 ⇔ -9x2 +34x – 21 = x 1=3 ¿ x 2= ❑ cã Δ = 289 – 189 = 100 > => ¿ ¿ ¿ ¿ VËy víi m = th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= *)§Ó t×m nghiÖm thø ,ta cã c¸ch lµm Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = phần trên đã làm) C¸ch 2: Thay m = vµo c«ng thøc tÝnh tæng nghiÖm: (Nh (19) 2(− −2) 34 = −9 34 - x1 = -3= 9 x1 + x2 = 2( m−2) = m x2 = 34 C¸ch 3: Thay m = - vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm − −3 m−3 21 21 21 x1x2 = => x2 = : x1 = :3= = = m 9 9 − Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Gi¶i ❑ 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ = ⇔ k2 – (2 – 5k) = ⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > ) k1 = − − √ 33 ; k2 = − 5+ √ 33 2 VËy cã gi¸ trÞ k1 = − − √ 33 hoÆc k2 = − 5+ √ 33 th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp 2 2.Cã c¸ch gi¶i Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: ⇔ k2 + 5k – (*) Δ❑ Ta cã x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 b Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = =¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – + k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n 49 35 49 −70 −8 29 + k2 = => Δ❑ = kh«ng tho¶ m·n − −2= =− 4 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m C¸ch : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ❑ C¸ch gi¶i lµ: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = (cách tìm nh trên) Thay lÇn lît k1 , k2 vµo ph¬ng tr×nh (1) + Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = 39 + Víi k2 = (1) => x2- 7x + = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m BAØI TAÄP PHAÀN PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI Baøi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 (20) 2) x1 x1 x x x12 x 22 x1x x x1 x x x x22 x22 3) 1 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + = x x x x1 TÝnh (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) Baøi : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 1) Tìm các giá trị m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phơng trình) Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + = (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh B = x13 + x23 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm là Tìm nghiệm còn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt C©u9 Cho ph¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) C©u 10: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 đó ta có Δ , = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) m−m+1 víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= = m−1 m− 1 pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0)=> -1< <0 m− ¿ ¿ 2m +1> >0 m− => m− =>m<0 m−1<0 m− 1<0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy Pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0) vµ chØ m<0 (21) GIẢI BAØI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Baứi : Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô Hướng dẫn : Gọi vận tốc ôtô thứ là x (km/h ĐK x > 0) Ta có : Vận tốc ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h) 300 300 =1 Do ôtô thứ đến B sớm ôtô thứ hai ta có phương trình : x -10 x Giải ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60 Đáp số : Vận tốc ôtô thứ : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h Baứi : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km ĐK x > 0) 2x x x + = + Theo giả thiết bài toán ta có phương trình : 50 40 50 Giải ta được: x = 300 (tmđk) Vậy quảng đường AB là : 300km Baøi : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau giê 48 phót th× ®Çy Neáu ch¶y cïng mét thêi gian nh thì lợng nớc vòi II 2/3 lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng thì sau bao l©u ®Çy bÓ Híng dÉn : Gäi x, y lÇn lît lµ thêi gian vßi I, vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ¿ 1 ¿ + = x y 24 y =12 Theo bµi ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : Giải ta đợc : x = (tm®k) = ¿{ x 2y ¿ ¿{ ¿ §¸p sè : Vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ giê Vßi giê ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ mÊt 12 giê Baứi : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Híng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự định là y(giờ) ĐK : x > 0, y > ¿ 35( y +2)= x Theo baøi ta coù heä pt : 50( y - 1) = x ¿{ ¿ suy : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = (TMÑK) Thay vào hệ ta x = 350 (TMĐK) Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km) Thời gian dự định : (giờ) Baứi : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? Hướng dẫn : Gäi x (km) lµ vËn tèc cđa «t« thø §K x > (22) 180 180 − =2 x x+15 Giải ta đợc : x = 30 ; x = -45(loại) §¸p sè : VËn tèc «t« thø hai : 30 (km/h) VËn tèc «t« thø nh©t : 45 (km/h) Baứi : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất 80 cây Biết số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ cây Tính số học sinh nam và số học sinh nữ tổ Gi¶i : Gäi sè häc sinh nam lµ x (em) §K : x nguyªn d¬ng, x 13 40 40 − =3 ⇔ 3x2 – 119x + 520 = ( √ Δ = 89) Theo gt bµi ta cã pt : x 13 - x 119+89 Giải ta đợc : x = (lo¹i) ; x = (TM§K) §¸p sè : Sè HS nam : (em) Sè HS n÷ : em Baứi : Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở là 10 Biết vận tốc lúc kém vận tốc lóc ®i lµ km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc ®i lµ x (km/h) §K : x > 180 180 + + =10 ⇔ 17x2 – 805x + 1800 = ( √ Δ = 725) Theo gt bµi ta cã pt : x x-5 805 −725 Giải ta đợc : x = (lo¹i) ; x = 45 (TM§K) 34 §¸p sè : VËn tèc lóc ®i : 45 (km/h) Baứi : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc đó từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô Gi¶i : Gäi vËn tèc thùc cña can« lµ x (km/h) §K x > 24 16 + =2 ⇔ 2x2 – 40x = Theo gt bµi ta cã pt : x+4 x - Giải ta đợc : x = (loại) ; x = 20 §¸p sè : VËn tèc thùc cña can« : 20 (km/h) Baứi : Khoảng cách hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tèc mçi xe Gi¶i : Gäi vËn tèc cña xe thø hai lµ x (km/h) §K x > 108 108 − = ⇔ x2 + 6x – 3240 = ( √ Δ' = 57 ) Theo gt bµi ta cã pt : x x+6 Giải ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54 §¸p sè : VËn tèc xe thø nhÊt lµ : 60 (km/h) VËn tèc xe thø hai lµ : 54 (km/h) Baøi 11 : Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm §Õn lµm viÖc, ph¶i điều công nhân làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết suất lao động công nhân là nh Gi¶i : Gäi x lµ sè c«ng nh©n lóc ®Çu ( c«ng nh©n) §K : x nguyªn d¬ng, x > 360 360 − =4 ⇔ x2 – 3x – 270 = ( √ Δ = 33 ) Theo gt bµi ta cã pt : x −3 x Giải ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18 §¸p sè : Sè c«ng nh©n lóc ®Çu : 18 ( c«ng nh©n) Baứi 12 : Ba bình có thể tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình thì bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc thì bình thứ đợc 1/3 thể tích nó Tìm thể tích bình Theo gt bµi to¸n ta cã pt : (23) Gi¶i : Gäi x, y, z (lÝt) theo thø tù lµ thÓ tÝch cña ba b×nh §K : x,y, z > ¿ x + y + z = 120 ¿ x = 50 x=z+ y y= 40 ⇔ Theo gt bµi ta cã hpt : (TM§K) z = 30 x=y + z ¿{{ ¿ ¿{{ ¿ §¸p sè : B×nh thø nhÊt cã thÓ tÝch : 50 (lÝt) B×nh thø hai cã thÓ tÝch : 40 (lÝt) B×nh thø ba cã thÓ tÝch : 30 (lÝt) Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến thì họ gặp nhau, chỗ gặp c¸ch A bao nhiªu km Giải : Gọi x (giờ) là thời gian từ A đến C ĐK : x > Theo gt bµi ta cã pt : 10x + 14(x – 2) = 56 Giải ta đợc : x = (TM§K) §¸p sè : GÆp lóc : 10h15’ C¸ch A : 35 (km) Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở A Thời gian xuôi ít thời gian ngợc là 40' Tính khoảng cách A và B Biết vận tốc ca nô không đổi, vËn tèc dßng níc lµ 3km/h Giải : Gọi x (km) là quảng đờng AB ĐK : x > x x + = Theo gt bµi ta cã pt : 30 24 Giải ta đợc : x = 80 (TMĐK) Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km) Baứi 15 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp Giải : Gọi x (km/h) là vận tốc ngời xe đạp ĐK x > 50 50 − = Theo gt bµi ta cã pt : x 2,5x Giải ta đợc : x = 12 (TMĐK) Đáp số : Vận tốc ngời xe đạp : 12 (km/h) VËn tèc ngêi ®i xe m¸y : 30(km/h) Baứi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng và số ghế hàng NÕu sè hµng t¨ng thªm vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm th× phßng cã 400 ghÕ Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? Gi¶i : Gäi x lµ sè d·y ghÕ cña phßng häp §K x nguyªn d¬ng 360 +1 ¿ = 400 ⇔ x2 – 39x –360 = ( √ Δ = ) Theo gt bµi ta cã pt : (x + 1)( x Giải ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK) §¸p sè : Cã thÓ x¶y kh¶ n¨ng +) KN : Phßng häp cã 24 d·y ghÕ vµ mçi d·y cã 15 ghÕ +) KN : Phßng häp cã 15 d·y ghÕ vµ mçi d·y cã 24 ghÕ Baøi 17 : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê và ngời thứ làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm mình công việc đó mÊy giêi th× xong? Gi¶i : Gäi x, y (giê) lÇn lît lµ thêi gian mçi ngêi lµm mét m×nh hoµn thµnh c«ng viÖc §K x, y > (24) ¿ 1 + = ⇔ x y 16 x = 24 Theo gt bµi ta cã hpt : (TM§K) + = y = 48 x y ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : Ngêi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc : 24 giê Ngêi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc : 48 giê Baứi 18 : Hai vật chuyển động trên đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng lúc từ cùng điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì giây lại gặp Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật Gi¶i : Gäi x, y (m/s) lÇn lît lµ vËn tèc cña hai vËt §K x > y > ¿ ⇔ 2x + 2y = 62,8 x = 18,84 Theo gt bµi ta cã hpt : 10x = 62 + 10y (TM§K) y = 13 ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : VËn tèc cña hai v©t lÇn lît lµ : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h) Baứi 19 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do đó cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm Giải : Gọi x, y lần lợt là sản phẩm tổ và tổ làm đợc tháng thứ ĐK : x, y nguyên dơng ¿ x + y = 800 ⇔ 15x 20y x = 300 + =145 Theo gt bµi to¸n ta cã hpt : (TM§K) y = 500 100 100 ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : Trong th¸ng : Tổ sản xuất đợc 300 (sản phẩm) Tổ sản xuất đợc 500 (sản phẩm) Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian đã định và dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Giải : Gọi x là số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK : x nguyên dơng x x + 600 = +1 ⇔ x = 3000 (TM§K) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : 300 400 Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết) Bµi 21: Mét ca n« xu«i dßng 42km råi ngîc dßng trë l¹i lµ 20km m¸t tæng céng 5giê BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2km/h T×m vËn tèc cña ca n« lóc dßng níc yªn lÆng Gi¶i : Gäi x lµ vËn tèc cña ca n« lóc níc yªn lÆng ( km/h ; §K : x > 2) 42 20 + =5 ⇔ 5x2 - 62x + 24 = ( √ Δ' = 29) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x +2 x- 2 Giải ta đợc : x = (lo¹i) ; x = 12 §¸p sè : VËy vËn tèc cña ca n« lóc níc yªn lÆng : 12 (km/h) Bài 22: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có bao nhiêu xe? Giải : Gọi x là số xe đội lúc đầu (xe ĐK : x > 2) 120 120 − =16 ⇔ x2 - 2x -15 = ( √ Δ' = 4) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x−2 x Giải ta đợc : x = - (loại) ; x = (25) Đáp số : Vậy đội xe có xe Bài 23: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km Gi¶i : Gäi x lµ vËn tèc cña «t« thø hai (Km/h §K : x > 0) 240 240 − = ⇔ 5x2 - 60x – 8640 = ( √ Δ ' =210) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x −12 x Giải ta đợc : x = -36 (loại) ; x = 48 §¸p sè : VËn tèc cña «t« thø hai : 48 km/h VËn tèc cña «t« thø nhÊt : 60 km/h Bµi 24: NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau giê 55phót bÓ ®Çy bÓ NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? Gi¶i : Gäi x lµ th Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số cây sân trờng Nếu lấy cây tổ chuyển cho tổ thì số cây trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 cây tổ chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc tổ hai gấp đôi số cây tổ mét Hỏi tổ trồng đợc bao nhiêu cây? Bµi 25: Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch 150km, ®i ngîc chiÒu vµ gÆp sau giê T×m vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cña « t« A b»ng lÇn vËn tèc cña « t« B Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã đã b¸n cho nhµ níc BiÕt r»ng lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ níc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn «n tËp h×nh häc PhÇn : h×nh häc ph¼ng I.§êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: Tập hợp các điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi là đờng tròn tâm b¸n kÝnh R KÝ hiÖu : ( ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của điểm với đờng tròn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× vị trí tơng đối HÖ thøc M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc R) ( O ; OM = R M n»m ( O ; R ) OM < R * Của đờng thẳng với đờng tròn : xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a ) vị trí tơng đối Sè ®iÓm chung HÖ thøc a c¾t ( O ; R ) d<R a tiÕp xóc ( O ; R ) d=R a vµ ( O ; R ) kh«ng giao d>R (26) * Của hai đờng tròn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vị trí tơng đối Sè ®iÓm chung HÖ thøc Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r Hai đờng tròn tiếp xúc : + tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc : Haiđờng tròn không giao : +hai đờng tròn ngoài : +đờng tròn lớn đựng đờng trßn nhá : d=R+r d=R–r d>R+r d < R -r Tiếp tuyến đờng tròn : a §Þnh nghÜa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến đờng tròn nó có điểm chung với đờng đó b, TÝnh chÊt : + Tính chất : Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn thì nó vuông góc với bán kÝnh ®I qua tiÕp ®iÓm + Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì giao điểm này cách hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyÕn c, C¸ch chøng minh : Cách : chứng minh đờng thẳng đó có điểm chung với đờng tròn đó Cách : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính đờng tròn đó điểm và điểm đó thuộc đờng tròn Quan hệ đờng kính và dây cung : * §Þnh lÝ : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy thµnh hai phÇn b»ng * §Þnh lÝ : §êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy Quan hệ dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung và chúng cách tâm * Định lí : Trong hai dây cung không đờng tròn, dây cung lớn và nã gÇn t©m h¬n II Góc đờng tròn: 1, Các loại góc đờng tròn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Góc có đỉnh bên hay bên ngoài đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung (27) 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung b»ng c¨ng hai d©y b»ng b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng tr¬ng hai cung b»ng * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b, C¸ch chøng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 * Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới cùng góc B Bµi tËp: Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lît t¹i E vµ F a CM: tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b CM: tø gi¸c EFCB néi tiÕp c §êng th¼ng qua A vu«ng gãc víi EF c¾t BC t¹i I Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC d CMR: NÕu S ABC = S AEHF th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nối OM c¾t BC t¹i I Chøng minh tam gi¸c BMC c©n Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC §êng cao AH vµ BP cña tam gi¸c ABC c¾t t¹i Q Chøng minh OH // AH Trªn AH lÊy ®iÓm D cho AD = MO Tø gi¸c OMDA lµ h×nh g×? Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH OM kÐo dµi c¾t (O) t¹i N VÏ OE vu«ng gãc víi NC Chøng minh OE= MB Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp 10 Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) c¾t BM kÐo dµi t¹i K Chøng minh CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCK 11 So s¸nh c¸c gãc KMC vµ KCB víi gãc A 12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M 13 13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON (28) 16 Tõ A kÎ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O) §êng cao AH cña tam gi¸c ABC c¾t (O) t¹i D , AO kÐo dµi c¾t (O) t¹i E a) Chøng minh tø gi¸c BDEC lµ h×nh thang c©n b) Gäi M lµ ®iÓm ch×nh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC c) TÝnh b¸n kÝnh cña (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N cho các cung AM, MN, NB b»ng Gäi P lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN, H lµ giao ®iÓm cña AN víi BM CMR: a) Tø gi¸c AMNB lµ h×nh thang c©n b) PH ┴ AB Từ đó suy P, H, O thẳng hàng c) ON là tiếp tuyến đờng tròn đơnngf kính PH Bµi 6: Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB KÎ hai d©y MC, MD lÇn lît c¾t AB t¹i E vµ F CMR: a Tam giác MAE và MCA đồng dạng b ME MC = MF MD c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp Khi AB=R √ thì tam giác OAM Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F a Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? b Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC d Chømg minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (I) e Gọi Ax là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b TÝnh gãc AHE c Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng d Chøng minh AD = AE e Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E là giao điểm cña AB vµ CD, F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh r»ng: d a EF ┴ AC b DA DF = DC DE c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a Chøng minh IA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) (29) b Chøng minh CK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI Bµi 11: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña AB VÏ vÒ cïng phÝa víi AB c¸c tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB C¸c ®iÓm M, N theo thø tù di chuyÓn trªn Ax vµ By cho gãc MON = 90 Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN Chøng minh r»ng : a AB lµ tiÕp tuyÕn cña (I ; IO) b MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMN c MN là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB d Khi c¸c ®iÓm M, N di chuyÓn trªn Ax, By th× tÝch AM BN kh«ng dæi Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M d Chứng minh BC là tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M Bµi 13: Cho (O) vµ (O’)tiÕp xócngoµi t¹i A §êng th¼ng ¤’ c¾t (O) vµ (O’) theo thø tù t¹u B vµ C ( khác A ) Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M là giao ®iÓm cña BD vµ CE Chøng minh r»ng : a Gãc DME lµ gãc vu«ng b MA là tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm BC a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp b Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng c KÎ tiÕp tuyÕn Ax víi (O) Chøng minh Ax // DE d Chứng minh góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác Bµi 15: Cho (O) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi (O) VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AB vµ AC , c¸t tuyÕn ADE Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp b Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BHA c Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE Chøng minh : AB2 = AI AH d BH c¾t (O) t¹i K Chøng minh AE // CK Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N a Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng b Tø gi¸c MNDC néi tiÕp c Chứng minh AC AM = AD AN và tích này không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng tròn D, các tia AD và BC cắt t¹i E a Chøng minh tam gi¸c ABE c©n t¹i B b C¸c d©y AC vµ BD c¾t t¹i K Chøng minh EK ┴ AB (30) c Tia BD c¾t tia Ax t¹i F Chøng minh tø gi¸c AKEF lµ h×nh thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiÕp tuyÕn t¹i B vµ D c¾t t¹i T a Chøng minh r»ng OT // AB b Chøng minh ba ®iÓm O, C, T th¼ng hµng c TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R d TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi hai c¹nh TB, TD vµ cung BCD theo R Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài C Gọi AC và BC là hai đờng kính qua C (O) và (O’) DE là dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) là F a Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? b Chøng minh r»ng ba ®iÓm B, E, F th¼ng hµng c Chøng minh tø gi¸c MDBF néi tiÕp d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui Chøng minh MF= DE vµ MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC Gọi M là trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O’) I a.Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? t¹i sao? b.Chøng minh BI // AD c.Chøng minh ba ®iÓm I, B, E th¼ng hµng vµ MD = MI d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’) e Bài 21: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN đờng tròn đó Gọi I là trung điểm dây MN a Chứng minh điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên đờng tròn b Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABOC theo b¸n kÝnh R cña (O) Bµi 22: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D, c¾t (O) t¹i E TiÕp tuyÕn đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a Chøng minh MA = MD b Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F th¼ng hµng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB b Gọi E là giao điểm BC với (O) Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chøng minh DM lµ ph©n gi¸c cña gãc ADE d Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bµi 24: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A a Nªu c¸ch dùng (O) qua A vµ tiÕp xóc víi BC t¹i B Nªu c¸ch dùng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C b Hai đờng tròn (O) và (O’) vị trí tơng đối nào? (31) c d Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC và các bán kính (O) , (O’) Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M là điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N a Chứng minh tích AM AN không đổi b c VÏ CD ┴ AM Chøng minh c¸c tø gi¸c MNOB vµ AODC néi tiÕp Xác định vị trí điểm M trên cung BC để tam giác COD cân D Bµi 26: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O), H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM là hình bình hành b Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng M qua AB và AC Chứng minh ba điểm N H , E th¼ng hµng c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Bµi 27: Cho (O,R) vµ (O’,r) tiÕp xóc ngoµi t¹i M ( R > r ) §êng th¼ng OO’ c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i D Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A ∈(O), B ∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I a Chøng minh c¸c tam gi¸c OIO’ vµ AMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng Chøng minh AB=2 √ R r c Tia AM c¾t (O’) t¹i A’, tia BM c¾t (O) t¹i B’ Chøng minh ba ®iÓm A, O, B’ vµ A’ , O’ , B th¼ng hµng vµ CD2 = BB’2 + AA’2 d Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm AM với OI và BM với O’I Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R vµ r b Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn Tiếp tuyến Cx cña (O) c¾t tia AB t¹i I Ph©n gi¸c gãc CIA c¾t OC t¹i O’ a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b Gäi D,E theo thø tù lµ giao ®iÓm thø hai cña CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O’, E th¼ng hµng c Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt E và F ( F nằm B và E ) a Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng b Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp c Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB và CD vuông góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F là điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chøng minh r»ng: a Gãc MAH = gãc MCB b Tam gi¸c ADE c©n c Tø gi¸c AHBK néi tiÕp Bµi 31 Cho ®o¹n th¼ng AB vµ C lµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ B Ngêi ta kÎ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB Trªn tia Ax lÊy mét ®iÓm I Tia Cz vu«ng gãc víi tia CI C và cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh: a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB c APB vu«ng (32) d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhÊt Bµi 32 Cho (O) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi (O) Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN víi (O) (B, C, M, N cïng thuéc (O); AM<AN) Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y MN, I lµ giao ®iÓm thø hai đờng thẳng CE với (O) a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên đờng tròn b Chøng minh gãc AOC=gãc BIC c Chøng minh BI//MN d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 33 Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD) a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp b Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE d Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH đờng tròn nói trªn biÕt AC=6cm; gãc ACB = 30o Bài 34 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A là điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D là điểm thuéc b¸n kÝnh OC §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F a Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp b Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O) d TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®o¹n th¼ng BC, BA vµ cung nhá AC cña (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o Bài 35 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M và tiếp xúc với AB N Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt t¹i c¸c ®iÓm thø hai C, D a Chøng minh CD//AB b Chứng minh MN là tia phân giác góc AMB và đờng thẳng MN qua điểm K cố định c Chứng minh tích KM.KN cố định d Gọi giao điểm các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ có thể đợc Bài 36 Cho đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D trên đờng tròn cho C, D không nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi các điểm chính các cung AC, AD lÇn lît lµ M, N Giao ®iÓm cña MN víi AC, AD lÇn lît lµ H, I Giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K a CM: NKD vµ MAK c©n b CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND Bài 37 Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với điểm A và tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C và cắt Ax điểm M Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E a Chøng minh M lµ trung ®iÓm BC b Chøng minh O1MO2 vu«ng c Chøng minh B, A, E th¼ng hµng; C, A, D th¼ng hµng d Gọi I là trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc víi d d PhÇn 2: H×nh häc kh«ng gian A.Lý thuyÕt: I Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ h×nh häc kh«ng gian: Các vị trí tơng đối: a.Vị trí tơng đối hai đờng thẳng: * a // b a , b (P), a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung * a c¾t b a , b (P), a vµ b cã mét ®iÓm chung * a vµ b chÐo a vµ b kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng b Vị trí tơng đối đờng thẳng a và mặt phẳng (P): * a // (P) a vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung * a c¾t (P) a vµ (P) cã mét ®iÓm chung (33) * a (P) a vµ (P) cã v« sè ®iÓm chung c Vị trí tơng đối hai mặt phẳng (P) và (Q): * (P) // (Q) kh«ng cã ®iÓm chung * (P) (Q) = a có đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến hai mặt phẳng) * (P) (Q) Mét sè c¸ch chøng minh: a Chứng minh hai đờng thẳng song song: C1: a vµ b cïng thuéc mét mÆt ph¼ng a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung C2: a // c vµ b // c C3 : ( P) //(Q) (P)∩(R)=a ⇒ a // b (Q)∩(R)=b } b.Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: a // b ⇒ a // ( P) b ⊂( P) } c.Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song: a , b ⊂(Q) ,aXb ⇒( P)// (Q) a // (P), b //( P) } d.Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc: a ⊥(P) ⇒a ⊥ b b ⊂(P) } e.Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: a⊥b,a⊥c ⇒ a ⊥( P) bXc , b ⊂( P) , c ⊂( P) } g.Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc: a ⊥( P) ⇒( P)⊥(Q) a ⊂( Q) } II Mét sè h×nh kh«ng gian: H×nh l¨ng trô: Sxq = P h với P: chu vi đáy V=B.h h : chiÒu cao B: diện tích đáy H×nh chãp: S xq = P d V= B.h với d: đờng cao mặt bên H×nh chãp côt: H×nh trô: Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy V = B.h = R2.h h: chiÒu cao H×nh nãn: S xq= P d=πR l 1 V = B h= πR2 h 3 d: đờng sinh; h: chiều cao H×nh nãn côt: (34) S xq= ( P+ P ' ) d V = ( B+ B '+ √ B B' ) h S xq = ( P+ P ' ) d=π ( R+r ) d π h ( 2 V = ( B+ B ' + √ B B' ) h= R +r + R r ) 3 H×nh cÇu: S=4 πR2 V = πR3 B Bµi tËp: Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g×? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD LÊy ®iÓm E AB, F BC 1 cho: AE= AB; CF= CB 4 a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH b Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD) CMR: F, H, I th¼ng hµng Bài 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) và (Q) cắt thì giao tuyÕn cña chóng song song víi a Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t theo giao tuyÕn d Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b CMR: a Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui b Nếu a // d thì a, b, d đôi song song 1 SD= SA , E ∈ AB cho BE= BA Gäi 4 M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC CMR: a SB // (IDE) b N lµ trung ®iÓm cña BC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d (ABC) A Trên d lấy ®iÓm S bÊt kú a Chøng minh BC SH b Kẻ AI là đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI (SBC) c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh S xq, Stp, V cña h×nh chãp S ABC Bài 7: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM, điểm I AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABC), trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú a Chøng minh SA = SB = SC b Gọi IH là đờng cao tam giác SIM CMR: IH (SBC) Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D SA cho c TÝnh Sxq vµ V cña h×nh chãp S ABC biÕt AB=3 √ cm ; SA = cm 1 Bµi 8: Cho tø diÖn S ABC §iÓm E SA, F AB cho SE= SA ; BF= BA Gäi G, H theo 3 thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC CMR: a EF // GH b EG, FH, AC đồng qui Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S cho SA = 10 cm a CMR: SB AC (35) b TÝnh SB, BC, SC c CM: Tam gi¸c SAC vu«ng d TÝnh Stp , V Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) A lấy ®iÓm S cho SA = cm CMR: a (SAB) (SAD) b SC BD c C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng d TÝnh Sxq , V cña h×nh chãp S ABCD Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy là hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, các đờng chÐo AC’ = 15 cm , DB’ = cm a TÝnh AB? b TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD A’B’C’D’ c TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp B’ ABCD Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính Sxq và V Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt b CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2 c TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300 TÝnh Stp vµ V ? Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh là cm a Tính đờng chéo BD’ b TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’ ABD c TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết dm3 = lít ) Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( cßn gọi là thiết diện) là hình chữ nhật có diện tích 72 cm Tính bán kính đáy, đờng cao hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi cm, chiÒu réng cm Tính Sxq và V hình trụ đó Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a TÝnh Sxq cña h×nh nãn b TÝnh V cña h×nh nãn c Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD (AOB) Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vòng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ đó tính Sxq , và V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600 Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh cm Tính Sxq và V Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm a TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt b Tính V hình nón sinh hình nón cụt đó Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 60 TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a C¹nh AD b C¹nh DC (36) 1 m 1 x m 0 x x Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh (*) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm dơng phân biệt Gi¶i tãm t¾t: §KX§: x x t t 1 t t m 0 x §Æt ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh a) m = (Tù gi¶i) b) Víi t = x2 – x – = ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã nghiÖm d¬ng (v× ac < 0) Để phơng trình (*) có đúng nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình t2 + t + – m = 11 ph¶i cã nghiÖm kÐp kh¸c Hay m = x3 1 1 1 a b c a2 b2 c Bµi 2: a) Cho a, b, c Z tháa m·n ®iÒu kiÖn 3 Chøng minh r»ng a + b + c chia hÕt cho lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Gi¶i tãm t¾t: a) §K: a, b, c Tõ gt suy a + b + c = Mµ a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hÕt cho vµ a + b + c = chia hÕt cho nªn a + b3 + c3 chia hÕt cho b) V× + lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn ta cã b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 + ax2 + bx + = 0, biÕt r»ng a, b, c lµ sè h÷u tØ vµ + 2a b 3a b 0 v× a, b lµ sè h÷u tØ nªn 2a b 0 a 3a b 0 b 1 Thay vµo HS tù gi¶i tiÕp Bµi 3: Cho x, y N* tháa m·n x + y = 2011 x x2 y y y2 x T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc P = Gi¶i tãm t¾t: * C¸ch 1: V× x, y N nªn x y 2009 x y 2009 1 x y 4044121 Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do đó –xy = 1 x y 4044121 VËy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031 1 4044121 20092 4044121 Ta cã 20113 + 6031 P 20113 + 6031 Hay 2035205401 P 8120605021 VËy GTNN cña P lµ 2035205401 DÊu “=” x¶y x = 1006 vµ y = 1005 hoÆc x = 1005 vµ y = 1006 GTLN cña P lµ 8120605021 DÊu “=” x¶y x = 2010 vµ y = hoÆc x = vµ y = 2010 C¸ch 2: P = 20113 - 6031xy theo bµi ta cã x, y 2010 Ta chøng minh 2010 xy 1005 1006 ThËt vËy xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1) (v× x, y 2010) Ta có xy 2010 Do đó P 8120605021 MÆt kh¸c 1005.1006 – xy = 1005 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) Ta có 1005.1006 – xy Do đó 2035205401 P (37) Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển trên nửa đờng tròn Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB E Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB t¹i F a) CMR: MNE NFM b) Gọi K là giao điểm EN và FM Hãy xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lớn Gi¶i tãm t¾t: a) Dễ dàng chứng minh đợc EMN FNM 120 ME MO ME MN MN NF (vì MON đều) MÆt kh¸c EMO ONF NO NF b) MNE NFM MNE NFM FMO MKN 1800 MNE NMF 1800 FMO NMF 180 600 1200 mµ không đổi K thuộc cung tròn chứa góc 120 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi Từ đó suy K là điểm cung MKN hay MK = NK KÐo dµi EM vµ FN c¾t t¹i I vµ ta chøng minh ® îc MN ë vÞ trÝ cho AM = MN = NB = R Bµi 5: Cho a, b, c > vµ abc = a3 b3 c3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b Chøng minh r»ng Gi¶i tãm t¾t: ¸p dông B§T CauChy ta cã a3 1 b 1 c a3 b c 3a 3 1 b 1 c 1 b 1 c 8 a3 b3 c3 a b c 1 b 1 c 1 c a a 1 b tơng tự cộng lại đợc Mµ a b c 3 abc 3 ruy ®pcm DÊu “=” x¶y a = b = c = Giới thiệu số đề thi vào lớp 10 các tỉnh SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 24/ 06/2008 ( √ a− √ b ) +4 √ ab Bài : (2 điểm) Cho biểu thức P = √ a+ √ b : √ab a √ b −b √ a a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa và hãy rút gọn P b/ Tính giá trị P a = √ 15− √ 6+ √ 33− 12 √ Bài : (2 điểm) ¿ x + my=3 m a/ Cho hệ phương trình mx − y =m2 −2 ¿{ ¿ Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 2x y > b/ Giải phương trình x2 x Bài : (2 điểm) x + x2 10 = và b = √ 24 (38) Một ô tô quãng đường AB dài 80 km thời gian đã định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh dự định 10 km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm dự định 15 km/h Biết ô tô đến B đúng quy định Tính thời gian ô tô hết quãng đường AB Bài : (3 điểm) Gọi C là điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C A, C B) Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I (I A), tia vuông góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P 1/ Chứng minh: a/ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn đó b/ AI.BK = AC.BC c/ APB vuông 2/ Cho A, I, B cố định Tìm vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn Bài : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 - HẾT -Ghi chú: Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Giám thị 1: Số báo danh: Giám thị 2: GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN QUẢNG NGÃI Ngày thi 24-6-2008 Bài 1: Cho biểu thức P = ( √ a− √ b ) +4 √ab √ a+√ b a) P có nghĩa a > ; b > và a b : √ ab a √ b −b √ a ( √ a− √ b ) a− √ ab +b+ √ ab √ ab( √a − √ b) P= = ⋅ ⋅( √ a − √ b) = a b √ a+ √ b √ab √a+ √ b b) Với a = √ 15− √ 6+ √ 33− 12 √ = √ ( 3− √ ) 2+ √ ( − √ ) = = 3 √ + 3 √ = √ + √ = √ Với b = √ 24 = √ Do đó P = a b = √ √ = √ Bài 2: (39) ¿ x + my=3 m(1) a) Cho hệ phương trình mx − y =m2 −2(2) ¿{ ¿ Từ(1) ta có x = 3m my (3) Thay (3) vào (2): m(3m my) y = m-2 3m2 m2y y = 2(m2 + 1) (m2 + 1)y = 2(m2 + 1) 2 Vì m + > với m nên y = 2(m +1) m2+1 = Thay y = vào (3) ta có x = 3m m.2 = m Vậy nghiệm (x ; y) hệ phương trình là (x = m ; y = 2) Để x2 2x y > thì m2 m > (m 1)2 ( √ )2 > (m √ ).(m 1+ √ ) > ¿ m− 1− √ 3> ¿ m>1+ √3 m− 1+ √ 3> m>1− √ ¿ ¿ m>1+ √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m<1− √ m −1 − √ 3<0 m<1+ √ ¿ ¿ ¿ ¿ m− 1+ √ 3< m<1− √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy m > + √ m < √ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 2x y > b) Giải phương trình x2 x Phương trình (1) (x2 + x2 10 = (1) Điều kiện x x 1 ) (x + ) 10 = (x2 + + ) (x + ) 12 = x x x x + ) (x + ) 12 = (*) x x Đặt y = x + Phương trình (*) trở thành : y2 y 12 = y1 = ; y2 = x 3+ √ − √5 Với y = x + = x2 + 3x + = x1 = ; x1 = x 2 Với y = x + = x2 4x + = x3 = + √ ; x4 = √ x (x + Các giá trị x vừa tìm thỏa mãn x Vậy nghiệm số (1) là : x1 = 3+ √ ; x1 = − √5 ; x3 = + √3 ; x4 = Bài 3: Gọi x (km/h) là vận tốc dự định ô tô từ A đến B ( x> 15) Thời gian ô tô dự định từ A đến B 80 x (h) Vận tốc ô tô ba phần tư quãng đường AB là x + 10 (km/h) Thời gian ô tô ba phần tư quãng đường AB là 60 x +10 (h) Vận tốc ô tô phần tư quãng đường AB là x 15 (km/h) 20 (h) x −15 60 20 Ô tô đến B đúng quy định nên ta có phương trình : + x +10 x −15 Thời gian ô tô phần tư quãng đường AB là = 80 x √3 (40) x +10 + x −15 = x 3x(x 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x 15) 4x2 35x = 4x2 20x 600 15x = 600 x = 40 (thỏa mãn điều kiện) Do đó vận tốc dự định ô tô là 40 km/h Vậy thời gian ô tô hết quãng đường AB là 80 : 40 = (giờ) Bài 4: a/ P nằm trên đường tròn tâm O1 đường kính IC IPC = 900 x Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù) CPK = 90 Do đó CPK + CBK = 900 + 900 = 1800 Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2 P đường kính CK I b/ Vì ICK = 900 C1 + C2 = 900 AIC vuông A C1 + A1 = 900 A1 + C2 và có A = B = 900 Nên AIC BCK (g.g) AI AC = BC BK AI BK = AC BC (1) y K O 1 A B C c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt cùng chắn cung PC) Trong (O2) có B1 = K1 (gnt cùng chắn cung PC) Mà I2 + K1 = 900 (Vì ICK vuông C) A1 + B1 = 900, nên APB vuông P 2/ Ta có AI // BK ( vì cùng vuông góc với AB, nên ABKI là hình thang vuông Do đó SABKI = AB.(AI + BK) Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi Suy SABKI lớn BK lớn AC BC AI Từ (1) có AI BK = AC BC BK = Nên BK lớn AC BC lớn Ta có ( √ AC − √BC )2 ≥ AC + BC √ AC BC √ AC BC AB AB AC BC Vậy AC BC lớn AC BC = AB √ AC BC AC = BC = AB Vậy SABKI lớn C là trung điểm AB Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008 Cách : Từ 1003x + 2y = 2008 2y = 2008 1003x y = 1004 1003 x 1003 x 2008 >0 x< 1003 2008 Suy < x < và x nguyên x {1 ; 2} 1003 1003 Với x = y = 1004 Z nên x = loại 1003 Với x = y = 1004 = Z+ nên x = thỏa mãn Vì y > 1004 Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = ; y =1 Cách : AC+ BC Bài 5: C là trung điểm AB (41) Vì x ; y là các số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 1003x < 2008 x< 2008 1003 < Do x Z+ x {1 ; 2} Với x = 2y = 2008 1003 = 1005 y = 1005 Z+ nên x = loại Với x = 2y = 2008 2006 = y = Z+ nên x = thỏa mãn Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = ; y =1 SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 26/ 06/2008 Bài : (2 điểm) Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10 a/ Chứng minh với m, (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x 12 + x22 + x1x2 m thay đổi Bài : (2 điểm) a/ Giải phương trình : √ x+15+ √ x − 1+ √ x+3+ √ x − 1=6 b/ Chứng minh : Với a ; b không âm ta có a3 + b3 2ab √ ab (42) Khi nào xảy dấu đẳng thức? Bài : (2 điểm) Một phòng họp có 360 ghế ngồi, xếp thành hàng và hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm hàng ghế ngồi và thêm hàng đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và hàng có bao nhiêu ghế ngồi Bài : (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE tam giác ABC a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm I đường tròn này b/ Vẽ đường kính AK đường tròn (O ; R) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng c/ Giả sử BC = AK Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R Bài : (1 điểm) Cho y = x2 − x − , Tìm tất giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên x+1 - HẾT Ghi chú: Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Giám thị 1: Số báo danh: Giám thị 2: GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN QUẢNG NGÃI Ngày thi 26-6-2008 Bài 1: a/ Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số phương trình: x2 = 4mx + 10 x2 4mx 10 = (1) Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 luôn cắt hai điểm phân biệt b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = 10 F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 x1x2 = 16m2 + 10 10 Dấu “ = ” xảy và 16m2 = m = Vậy GTNN F = 10 m = Bài 2: a/ Giải phương trình: √ x+15+ √ x − 1+ √ x+3+ √ x − 1=6 Điều kiện x (43) √ x −1+2 √ x −1 4+16 + √ x −1+2 √ x −1 2+ 4=6 √ x −1+ 4+√ x − 1+ 2=6 2 √ ( √ x −1+ ) +√ ( √ x −1+2 ) =6 √ x −1+6=6 √ x −1=0 x = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là x = b/ Với a , b ta có: ( √ a − √ b ) ≥ a + b √ ab Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 ab) = (a + b).[(a + b)2 3ab] √ ab [(2 √ ab )2 3ab] a3 + b3 √ ab (4ab 3ab) = √ ab ab = 2ab √ ab Dấu “ = ” xảy và a = b Vậy với a, b không âm ta có a3 + b3 2ab √ ab Bài 3: Gọi x (hàng) là số hàng ghế ban đầu phòng họp (x nguyên, dương) Do đó 360 x (ghế) là số ghế ban đầu hàng x + (hàng) là số hàng ghế lúc dự họp phòng họp Do đó 400 x +1 (ghế) là số ghế lúc dự họp hàng Khi dự họp hàng kê thêm ghế ngồi, ta có phương trình : 400 x +1 360 x = x2 39x + 360 = Giải phương trình x1 = 24 ; x2 = 15 Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy ban đầu phòng họp có 24 hàng ghế, hàng có 15 ghế ngồi Hoặc ban đầu phòng họp có 15 hàng ghế, hàng có 24 ghế ngồi Bài 4: a/ Ta có BD và CE là hai đường cao cua ABC Nên BEC = BDC = 900 Suy BCDE nội tiếp đường tròn b/ Ta có BH // CK (cùng vuông góc với AC) Và CH // BK (cùng vuông góc với AB) Nên BHCK là hình bình hành Do đó hai đường chéo BC và HK giao trung điểm đường Mà I là trung điểm BC I là trung điểm củaHK Nên H, I, K thẳng hàng c/ Gọi F là giao điểm AH và BC AB BF = AB KC = AK BF AK KC AC CF = Và ACF ∽ AKB (g.g) AC KB = AK CF AK KB Ta có ABF ∽ AKC (g.g) A (1) D (2) E H Cộng (1) và (2) theo vế ta có: AB KC + AC KB = AK BF + AK CF = AK.(BF + CF) = AK.BC Mà BC = AK AB KC + AC KB = AK AK = Với x ta có y = x −x−1 x+1 =x2+ Với x Z thì x + Z Để y Z thì x +1 Z x + { ; 1} x +1 x + = x = (thỏa mãn điều kiện) x + = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy y có giá trị nguyên x = ; x = C F B3 I AK2 = (2R)2 = 3R2 4 Bài 5: O K (44) ĐỀ THI TS VÀO 10 TỈNH HẢI DƯƠNG Năm học : 2008 – 2009 Khoá thi ngày 26/6/2008 - Thời gian 120 phút Câu I: (3 điểm) 1) Giải các phương trình sau: a) 5.x 45 0 b) x(x + 2) – = x2 2) Cho hàm số y = f(x) = a) Tính f(-1) M 2;1 b) Điểm có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì ? Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức (45) 4 a a a 2 P= a 1 a với a > và a Câu III: (1 điểm) Tổng số công nhân hai đội sản xuất là 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai thì số công nhân đội thứ số công nhân đội thứ hai Tính số công nhân đội lúc đầu Câu IV: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vuông góc với AB A cắt đường thẳng CE F 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp 2) Gọi M là giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM AC 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2 Câu V: (1 điểm) Cho biểu thức : B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 Tính giá trị B x = 21 1 HÕt - Hä vµ tªn thÝ sinh:………………… Sè b¸o danh………… Gi¸m thÞ sè (hä tªn vµ kÝ):………………………………… Gi¸m thÞ sè (hä tªn vµ kÝ):………………………………… Giải Câu I: 1) a) 5.x 45 0 5.x 45 x 45 : x 3 b) x(x + 2) – = x2 + 2x – = ' Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 = ( 1) 2) a) Ta có f(-1) = ’=1+5=6 b) Điểm Câu II: M x2 f 2;1 có nằm trên đồ thị hàm số y = f(x) = Vì 2 2 2 1 (46) a1 a 1 a 4 a a a a a 2 1) Rút gọn: P = = 6 a 6 a a a a 3 a 2 a a a a = = 2) ĐK: ’ > + 2m > m > 2 2 x12 x 22 5 2 a 2 x x 5 x x Theo đề bài : x x x x 2x x 5 a 1 a 2 a 2 a2 2 Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m + 4m2 + + 4m = 4m2 + 4m = 4m(m + 1) = m = m = -1 Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m) Vậy m = Câu III: Gọi số công nhân đội thứ là x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai là 125 – x (người) Sau điều 13 người sang đội thứ hai thì số công nhân đội thứ còn lại là x – 13 (người) Đội thứ hai đó có số công nhân là 125 – x + 13 = 138 – x (người) Theo bài ta có phương trình : x – 13 = (138 – x) 3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 Vậy đội thứ có 63 người Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người) Câu V: Ta có x = 21 1 21 1 x = 63 (thoả mãn) 21 21 3 2 2 17 12 29 41 x2 = 16 32 ; x3 = x.x2 = ; x4 = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = 29 41 17 12 2 21 32 16 -2 Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – = + - + 29 41 34 24 25 35 20 20 16 = = -1 Vậy B = (4x + 4x – 5x + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009 Câu IV: (47) F E D A O B M C 1) Ta có FAB 90 (Vì FA AB) BEC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) BEF 90 FAB FEB 1800 Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối 1800) 2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên AFB AEB sđ AB Trong đường tròn AEB BMD sđ BD (O) ta có AFB BMD Do đó Mà hai góc này vị trí so le nên AF // DM Mặt khác AF AC nên DM AC 3) Xét hai tam giác ACF và ECB có góc C chung , A E 90 Do đó hai tam giác ACF và ECB đồng dạng AC EC CE.CF AC.CB CF CB (1) Tương tự ABD và AEC đồng dạng (vì có BAD chung, C ADB 180 BDE ) AB AE AD.AE AC.AB AD AC (2) Từ (1) và (2) AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2 (48) §Ò thi vµo 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ (§HNN) ( n¨m häc 2008-2009) C©u 1: (2 ®iÓm) cho biÓu thøc P= √ x − √ y + √ x+ √ y x √ y+ y √x x √ y − y √ x [ ] √ x3 y − x+ y 2y x− y Chng minh P lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn v¬Ý mäi x,y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x> 0,y> 0,vµ x≠y C©u 2: (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i PT: √3 x+1+ √3 x +2=1+ √ x 2+3 x +2 2) Tìm x,y là các số nguyên thảo mãn đẳng thức x ❑2 - xy –y +2 = C©u : (3 ®iÓm ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và C là điểm chính cung AB Gọi K là trung điểm đoạn thẳng BC Đờng thẳng qua hai điểm A và K cắt (O)tại điểm M ( M≠A ) Kẻ CH vuông góc với AM H Đơng thẳng OH cắt đờng thẳng BC N , đờng thẳng MN cắt (O) D (D≠M ) 1) CM : Tø gi¸c BHCM lµ h×nh b×nh hµnh 2) CM: ΔOHC vµ ΔOHM b»ng 3) CM : ®iÓm B,H,D th¼ng hµng C©u 4: ( ®iÓm ) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nhá h¬n -1 cña PT x+ 1¿2 ¿ ¿ x2 x 2+ ¿ C©u :( 1®iÓm ) Cho a,b lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n a2 +b ≤ > T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M =a √ b(a+2 b)+ b √3 a(b+2 a) HÕT SỞ GD- ĐT LONG AN Môn thi: Toán KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007-2008 Ngày thi: 27/6/2007 Thời gian làm bài: 30 phút (không kể phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN THI TRẮC NGHIỆM: Hai đường thẳng: y (2 m ) x m và y mx 3m song song với giá trị m là: a/1 b/ c/ –2 d/ –1 2 Phương tình bậc hai 3x x m có hai nghiệm x1 , x2 thoả x1 3 x2 thì giá trị m là: a/ m = b/ m = c/ m = d/ m=2 x 1 x x x 2007 2006 2005 2004 có nghiệm là: Phương trình a/ x 2007 b/ x 2007 c/ x 2008 d/ x 2008 Cho hàm số y = ax , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số Điểm nào sau đây là điểm thuộc đồ thị hàm số trên? (49) b/ B(1; ) a/ A(1; ) c/ C( ;1) d/ D( ;1) Đồ thị hàm số y = ax +b qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) thì giá trị a và b là: a/ a = -2; b = b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = d/ a =2;b = -3 Phương trình bậc hai a/ 2; x x 0 2;1 b/ Giá trị biểu thức a/ a/ 1; x 2007 y 1 x y 2007 2007 Cho hàm số b/ bằng: c/ d/ có nghiệm là: 2007 1;1 2; d/ y 2007 x 2008 a/ 10 7 c/ 2;1 b/ -4 Hệ phương trình có hai nghiệm là: c/ 2007;1 d/ 1; 2007 , x x 1 2007 thì giá trị y là: c/ 2007 b/ -2 2006 2007x xác định 2007 2007 x x 2006 2006 a/ b/ x 2006 2007 d/ 2007 x 2006 2007 c/ d/ 11 Cho đường tròn (O; cm), dây AB = cm Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến dây AB Độ dài đoạn thẳng OH là: a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm 12 Cho đường thẳng a và điểm O cách a là cm Vẽ đường tròn tâm O bán kính cm Số điểm chung đường thẳng a và đường tròn (O) là: a/ b/ c/ d/ ˆ ˆ 13 Một hình thang ABCD (AB // CD) có B 2C thì số đo B̂ là: 0 a/ 80 b/ 100 c/ 1200 d/ 600 14 Cho tam giác ABC vuông A có AB AC Ta có sin B̂ bằng: a/ 3 b/ 2 c/ ˆ d/ 15 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và A 80 Số đo Ĉ bằng: a/ 800 b/ 600 c/ 1200 d/ 1000 16 Biết O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AB=BC=AC Số đo góc AOB bằng: a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300 17 Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Diện tích xung quanh hình trụ đó là: 2 2 a/ 24 cm b/ 96 cm c/ 12 cm d/ 48 cm 18 Biết điểm A thuộc đường tròn đường kính BC Khi đó số góc BAC bằng: a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600 19 Biết độ dài đường tròn là 12 cm Vậy diện tích hình tròn đó bằng: 2 2 a/ 36 cm b/ 24 cm c/ 144 cm d/ 36 cm 20 Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? a/ Trong đường tròn, hai dây thì cách tâm b/ Trong đường tròn, dây nào nhỏ thì dây đó gần tâm c/ Trong đường tròn, dây nào gần tâm thì dây đó nhỏ d/ Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây thì vuông góc với dây âý PHẦN THI TỰ LUẬN Câu 1: (1,5 điểm) x x : x x x x x x Cho biểu thức A với x 0 và x 1 (50) a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị biểu thức A x 4 c/ Tìm giá trị x để A > Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai hàm số: y = x2 và y = –x +2 a/ Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng mặt phẳng toạ độ b/ Tìm toạ độ giao điểm các đồ thị đó Câu 3: (1 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0 a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với m 2 b/ Xác định m để hai nghiệm phương trình đã cho thoả hệ thức x1 x2 10 Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm C trên đường thẳng AB cho B là trung điểm đoạn thẳng OC Kẻ các tiếp tuyến CD, CE đường tròn (O) M và N a/ chứng minh tứ giác CDOE là tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này b/ chứng minh tam giác CDE là tam giác c/ Chứng minh CD2 = CM.CN d/ Tính đọ dài cung DOE và diện tích hình tròn ngoại tiếp tư giác THE END (51) SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2008 – 2009 Ngày thi : 26/6/ 2008 MÔN TOÁN - ĐỀ CHUNG ( Thời gian làm bài: 120phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1( 2,0 điểm) Các câu đây,sau câu có nêu phương án trả lời ( A,B,C,D) đó có phương án đúng Hãy viết vào bài làm mình phương án mà em cho là đúng ( cần viết chữ cái ứng với phương án trả lời đó ) Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho đường thẳng d1: y = 2x +1 và d2: y = x – 1.Hai đường thẳng đã cho cắt tai điểm có toạ độ là: A (-2;-3) B ( -3;-2) C (0;1) D (2;1) Câu 2: Trong các hàm số sau đây,hàm số nào đồng biến x < ? A y = -2x B y = -x + 10 C y = x2 D y = ( - 2)x2 Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các đồ thị hàm số y = 2x + và hàm số y = x Các đồ thị đã cho cắt tại điểm có hoành độ là: A và -3 B -1 và -3 C và D -1 và Câu 4: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có tổng nghiệm 5? A x2 – 5x +25 = B 2x2 – 10x - = C x2 – = D 2x2 + 10x +1 = Câu 5: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có hai nghiệm âm? A x2 + 2x +3 = B x2 + x – 1=0 C x2 + 3x + 1=0 D x2 + =0 Câu 6: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) có OO’ = 4cm ; R = 7cm; R’ = 3cm Hai đường tròn đã cho: A Cắt B.Tiếp xúc C Ở ngoài D Tiếp xúc ngoài Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A có AB = 4cm; AC = 3cm Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng: A 5cm B 2cm C 2,5cm D cm Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy là 3cm, chiều cao là 5cm Khi đó, diện tích xung quanh hình trụ đã cho bằng: A 30cm2 B 30 cm2 C 45 cm2 D 15 cm2 Bài 2( 1,5 điểm) x x x 1 1 : x x x x với x Cho biểu thức P = Rút gọn P Tìm x để P < Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2mx + m – = Giải phương trình m = 2 Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương Bài ( 3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A và O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB I, đường thẳng này cắt đường tròn (O;R) tai M và N.Gọi S là giao điểm đường thẳng BM và AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM K và H Hãy chứng minh: Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM KM là tiếp tuyến đường tròn (O;R) Ba điểm H,N,B thẳng hàng Bài ( 1,5 điểm) Giải hệ phương trình 2.Giải phương trình xy 12 y xy 3 x x x4 = 2x4 – 2008x + 2008 (52) Hết (53) SỞ GD - ĐT QUẢNG NGÃI KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/06/2008 Bài 1: (2 điểm) x 2x + = x + x+ x +2 x +1 15 ¿ x √ y+ y √ x=3 √ y −3 2) Giải hệ phương trình: y √ x + x √ y =3 √ x − ¿{ ¿ 1) Giải phương trình: Bài 2: (2 điểm) 1) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 và ab + bc + ca ≤ Chứng minh rằng: < a + b + c ≤ 2) Cho số nguyên dương n Chứng minh A = + √ 28 n2 +1 là số nguyên thì A là số chính phương Bài 3: (2 điểm) 1) Cho các số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x + 2y2 – z2 2) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm số là x1 và x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = Tính giá trị biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc + Bài 4: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) với R1>R2 cắt hai điểm A và B cho số đo góc O1AO2 lớn 900.Tiếp tuyến đường tròn (O1) A cắt đường tròn (O2) C khác A, tiếp tuyến đường tròn (O2) A cắt đường tròn (O1) D khác A Gọi M là giao điểm AB và CD 1) Chứng minh: BA BC AC = = BD BA AD 2) Gọi H, N là trung điểm AD, CD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC 3) Tính tỉ số MC MD theo R1 và R2 4) Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O 1) (E là tiếp điểm, E khác A) Đường thẳng CO cắt đường tròn (O1) F (O1 nằm C và F) Gọi I là hình chiếu vuông góc A trên đường thẳng EF và J là trung điểm AI Tia FJ cắt đường tròn (O 1) K Chứng minh đường thẳng CO là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC 5) M· ký hiÖu: §Ò thi : vµo líp 10 chuyªn l¬ng v¨n tuþ N¨m häc : 2008-2009 (54) §01T- 08 - TS10CT M«n thi : To¸n Thêi gian lµm bµi :150 phót ( §Ò nµy gåm 05 c©u, 01 trang) Bµi 1: Rót gän biÓu thøc sau : P= √ x +3 √2 √ x −6 + √ x+ √ x − √ −6 √ x +2 √ x +3 √ 2+ Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: ¿ x − y 2=1 a) xy + x 2=2 ¿{ ¿ b) √ 1− x + √ + x=3 Bµi 3: Chøng minh r»ng : ¿ 2007 2009 1 1 ¿ + + + ⋯+ ( 1+ √ ) ( √ 2+ √ ) ( √ 3+ √ ) 4015 ( √ 2007 + √ 2008 ) ¿ Bài : BC là dây cung không là đờng kính đờng tròn tâm O Một điểm A di động trên cung lớn BC cho tâm O luôn nằm tam giác ABC, các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng b) Gäi A' lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh AH = 2OA' c) Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, chøng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị trí A để tổng (EF + FD + DE) lớn Bài : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < …………………… HÕt……………………… M· ký hiÖu: HD01T- 08 - TS10CT Bµi 1: (2,5 ®iÓm) Híng dÉn chÊm §Ò thi : vµo líp 10 chuyªn l¬ng v¨n tuþ (55) ¿ √ x +3 √ 2 √ x +3 √ = √2 x+ √ x − √ −6 √ x ( √2+2 ) −3 ( √ 2+2 ) ¿ √ x +3 √ A= ( √ 2+2 ) ( √ x − ) cho 0,25 ®iÓm Cã : A = cho 0,25 ®iÓm T¬ng tù cã: B= x −6 √2 x − = √ √2 x+ √ x+ √2+6 ( √ x +3 ) ( 2+ √ ) cho 0,25 ®iÓm ⇒ Tập xác định là x và x ≠ √ x +3 √ √ x −6 Ta cã P = A+B = + ( √ 2+2 ) ( √ x − ) ( √ x+ ) ( 2+ √ ) ( √ x+ √2 ) ( √ x+ ) + ( √ x −6 ) ( √ x − ) = ( √ x +3 ) ( √ x −3 )( 2+ √ ) x +6 √ x +3 √ x +9 √ 2+ x √2 −6 √ x − √2 x+18 = ( x − ) ( 2+ √2 ) ( x+ ) ( 2+ √ ) x +9 = = ( x −9 ) ( 2+ √ ) x − x+ VËy P = Víi x vµ x x −9 Từ đó cho 0,25 ®iÓm cho 0,5 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0, 25 ®iÓm Bµi ( 4,5 ®iÓm) ¿ x − y 2=1 a, Tõ hÖ xy + x 2=2 ¿{ ¿ xy +x ❑2=4 x −2 y ⇔3 x − xy − y 2=0 (*) ¿ x 2= - Nếu y = ta đợc : 2 x =2 ¿{ ¿ - NÕu y ≠ ta cã : (*) cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm hÖ nµy v« nghiÖm x x − − 2=0 y y () x =1 y ¿ x =− y ¿ ¿ ¿ ¿ cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,5 ®iÓm Vậy hệ đã cho tơng đơng với ¿ x=y x − y 2=1 ¿{ ¿ ¿ y hay x − y 2=1 ¿{ ¿ x=− Giải hệ đầu ta đợc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) HÖ sau v« nghiÖm Vậy hệ đã cho có nghiệm là x = y = x = y = -1 cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm (56) b) §iÒu kiÖn -4x1 Phơng trình tơng đơng với : (vì vế không âm) 5+2 √ −3 x − x 2=9 √ − x − x 2=2 4- 3x - x2 = x2 +3x = x(x + 3) = x = hoÆc x = -3 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = hoÆc x = -3 Bµi : (3®iÓm) Ta cã víi n th× ( √ n+ 1− √n ) = (2 n+1 ) ( √ n+ √ n+1 ) √ n2+ n+1 ( √ n+1 − √ n ) 1 < = − n √n+1 √ n ( n+1 ) Từ đó ta có : cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,5 ®iÓm cho 0,5 ®iÓm 1 + + ⋯+ ( 1+ √ ) ( √ 2+ √ ) ( n+1 ) ( √ n+ √ n+ ) ¿ 1− √n + n+ < 1cho 0,75 ®iÓm ¿ =1 − √ n+1 √ n+ ¿ n = 1cho 0,5 ®iÓm = n+2 n+ n VËy Sn < cho 0,25 ®iÓm n+2 2007 ¸p dông cho n = 2007 ta cã S2007 < lµ ®iÒu ph¶i chøng minh ( 0,5 ®iÓm) 2009 Sn = (57) Bài : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm x A A1 F H B E O D A' C K a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC Có E, F cùng nhìn BC dới góc vuông nên E, F cùng thuộc đờng tròn đờng kính BC Cho 0,25 ®iÓm gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iÓm AEF đồng dạng ABC (g.g) cho 0,25 ®iÓm b) Vẽ đờng kính AK Cã BE AC (gt) KC cho 0,25 ®iÓm AC (V× gãc ACK = 90 ❑0 ) BE // KC cho 0,25 ®iÓm ⇒ T¬ng tù CH // BK cho 0,25 ®iÓm Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành cho 0,25 ®iÓm HK là đờng chéo nên qua trung điểm A' đờng chéo BC ⇒ H, A', K thẳng hàng cho 0,25 ®iÓm XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K OA = OK cho 0,25 ®iÓm Nên OA' là đờng trung bình cho 0,25 ®iÓm ⇒ AH = A'O c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng thì tỉ số trung tuyến tơng ứng, tỉ số bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có: cho 0,25 ®iÓm AEF đồng dạng ABC ⇒ R R' = AA ' AA Trong đó R là bán kính đờng tròn tâm O R' là bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF AH AA' ⇒ R AA ❑1 = R' AA' = 2 OA ' = AA' = AA' OA' d, cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,5 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm VËy R.AA1 = AA' OA' Tríc hÕt ta chøng minh OA EF vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O Ta cã OA Ax V× gãc xAB = Gãc BCA mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt) ⇒ gãc EFA = gãc xAB ⇒ EF// Ax EF ⇒ OA Chøng minh t¬ng tù cã OB Ta cã S ❑ABC = S ❑OEAF = OA EF + cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm DF vµ OC ED + S ❑OFBD +S ❑ODCE OB FD + OC.DE R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R) ⇒ R (EF + FD + DE) = S ❑ABC cho 0,25 ®iÓm = S ABC R Nªn EF + FD + DE lín nhÊt ⇔ S ❑ABC cho 0,25 ®iÓm ⇒ EF + FD + DE = lín nhÊt cho 0,25 ®iÓm (58) L¹i cã S ❑ABC = BC.h (h là đờng vuông góc hạ từ A đến BC) S ❑ABC lớn h lớn nhÊt Δ ABC lµ tam gi¸c c©n A lµ ®iÓm chÝnh gi· cña cung AB lín cho 0,25 ®iÓm Bµi 5: (3 ®iÓm) ¿ V× a, b, c lµ c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi lµ nªn ta cã: < a; b, c ¿ ¿ (cho 0,25 ®iÓm) ¿ a-1 ¿ 0;b-1 ¿ ¿ ( a -1) (b -1) (c -1) ¿ ¿ ( ab - a - b +1) ( c -1) ¿ ¿ ¿ 0; c-1 ¿ ¿ ¿ cho 0,25 ®iÓm ¿ ¿ ¿ cho 0,25 ®iÓm ¿ ¿ ¿ ¿ 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) ¿ ¿ ¿ 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 ¿ ¿ ¿ 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) ❑2 ¿ ¿ abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,5 ®iÓm 2abc - 2(ab + ac + bc) + a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 +2(ab + ac + bc) 2abc + a ❑2 + b ❑2 + c ❑2 ¿ ¿ ¿ (®pcm) ¿ ¿ (cho 0,25 ®iÓm) ¿ cho 0,25 ®iÓm Chú ý: các bài có cách giải khác mà làm đúng cho điểm tối đa - §èi víi bµi h×nh häc sinh cã thÓ sö dông nhiÒu h×nh vÏ kh¸c cho c¸c ý vµ ë ý cã thÓ sö dụng công thức tính diện tích tứ giác có đờng chéo vuông góc mà không cần chứng minh lại (59) §Ò thi : vµo líp 10 chuyªn l¬ng v¨n tuþ N¨m häc : 2008-2009 M«n thi : To¸n Thêi gian lµm bµi :150 phó M· ký hiÖu: §02T- 08 - TS10 CT Bµi 1: a, Chøng minh r»ng nÕu ab th× ta lu«n lu«n cã |a+b2 +√ ab|+|a+b2 − √ ab| |a|+|b| = b, Ph©n tÝch ®a thøc M = a ❑10 + a5+ Bµi 2: thµnh nh©n tö x+ y ¿ y=2 ¿ 2 a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (x+ y) ( x − xy + y )=1 ¿ ¿ ¿ b, cho x, y vµ x + y = Chøng minh 8(x ❑4 + y ❑4 ) + ≥5 xy Bµi 3: Cho ®a thøc f(x) = ax ❑3 + bx 2+ cx+ d a) Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x thì số 6a; 2b; a + b + c ; d là các số nguyên b, Đảo lại số 6a; 2b; a + b + c ; d là các số nguyên thì đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với bất kú gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x kh«ng? t¹i sao? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, D là điểm trên cạnh huyền BC, E là điểm đôí xứng với D qua AB, G lµgiao ®iÓm cña AB víi DE, tõ giao diÓm H cña AB víi CE h¹ HI vu«ng gãc víi BC t¹i I c¸c tia CH, IG c¾t t¹i K Chøng minh KC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc IKA Bµi 5: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x ❑6 - x ❑5 + x ❑4 - x ❑3 + x ❑2 -x+ =0 V« nghiÖm trªn tËp hîp c¸c sè thùc …………………… HÕt………………… Híng dÉn chÊm §Ò thi : vµo líp 10 chuyªn l¬ng v¨n tuþ M· ký hiÖu: HD02T- 08 - TS10 Bµi 1: (3 ®iÓm) a, Vì vế không âm nên bình phơng vế trái ta có: ( |a+b2 +√ ab| |a+b2 − √ ab| = ( + ) ❑2 a+b ) ❑2 + ab + (a + b) √ ab = + ( a+b ) ❑2 + ab - (a + b) a+b ¿ − ab ¿ ¿ Cho 0,25 ®iÓm √ ab +2 (60) = 2( a+b a+b ) ❑2 + 2ab + 2( ) ❑2 - 2ab 2 a+b ) ❑2 ( v× ( = 4( a+b ) ❑2 = Cho 0,25 ®iÓm ab) = ( |a| (a + b) ❑2 + |b| ) ❑2 Cho 0,5 ®iÓm a; b cïng dÊu) (v× ab Cho 0,25 ®iÓm |a+b2 +√ ab| |a+b2 − √ ab| + = |a| + |b| (Víi ab Cho 0,25 ®iÓm 0) b, Ta cã A = a ❑10 + a ❑5 + = a ❑10 - a + a ❑5 - a ❑2 + a ❑2 + a + = a(a ❑3 - 1)(a ❑6 + a ❑3 + 1) + a ❑2 (a ❑3 ®iÓm = a(a - 1)( a ❑2 + a + 1)( a ❑6 + a ❑3 + 1) + + a ❑2 (a - 1)(a ❑2 + a + 1) + a ❑2 + a + - 1) + a ❑2 +a+1 Cho 0,25 Cho 0,25 ®iÓm = (a ❑2 + a + 1) a(a - 1)(a ❑6 + a ❑3 + 1) + a ❑2 (a - 1) + 1) Cho 0,25 ®iÓm = (a ❑2 + a + 1)(a ❑8 - a ❑7 + a ❑5 - a ❑4 + a ❑3 - a + 1) Cho 0, ®iÓm Bµi 2: (5 ®iÓm) ¿ y =2 a, NÕu x = thay vµo ta cã y y 2=1 v« lý ¿{ ¿ VËy x≠ §Æt y = tx Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm x+ tx ¿ tx=2 ¿ 2 2 Ta cã (x+ tx) ( x − tx + t x ) =1 ¿ ¿ ¿ 1+t ¿ t ¿ ¿ ¿ = ( v× t ≠ -1 hÖ míi cã nghiÖm) (1+t) t −t +t =2 t + t ❑2 = - 2t + 2t ❑2 t ❑2 - 3t + = t=1 ¿ t=2 ¿ ¿ ¿ ¿ Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm (61) * NÕu t = y = x 4x ❑3 =2 √2 x=y= Cho 0,25 ®iÓm * nÕu t = y = 2x 18x ❑3 =2 Cho 0,25 ®iÓm ) √9 Cho 0,25 ®iÓm ¿ x=3 √9 y= √9 ¿{ ¿ Tãm l¹i hÖ cã nghiÖm √2 x=y= ;y= √9 HoÆc ( x = 3 b, áp dụng bất đẳng thức 2 a +b ( a+b ) ❑2 Víi mäi a, b Cho 0,25 ®iÓm ta cã x +y x+ y ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x+y ( ) ❑4 = 16 x2 y2 2 ( ) x +y 8( x ❑4 + y ❑4 ) l¹i cã xy xy Cho 0,5 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm x+y ) ❑2 = ( Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm VËy 8( x ❑4 + y ❑4 ) + xy Bµi 3: ( ®iÓm) Cho 0,25 ®iÓm 1+4=5 a, Ta cã f(0) = d lµ sè nguyªn f(1) = a + b + c + d lµ sè nguyªn f(1) - f(0) = a + b + c còng lµ sè nguyªn f( -1) =- a + b - c + d lµ sè nguyªn f(2) = 8a + 4b + 2c + d còng lµ sè nguyªn VËy f(1) + f( -1) = 2b + 2d lµ sè nguyªn 2b lµ sè nguyªn ( v× 2d lµ sè nguyªn) f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm (62) ¿ a+b +c 2b Mµ lµ c¸c sè nguyªn d ¿{{ ¿ Cho 0,25 ®iÓm Nªn 6a lµ sè nguyªn Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b, §¶o l¹i: f(x) = ax ❑3 + bx ❑2 + cx + d = (ax ❑3 - ax) + (bx ❑2 - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iÓm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm = a( x − 1) x ( x+ 1) + ( x − 1) x (x+1) + 2b = 6a bx( x −1) Cho 0,25 ®iÓm + (a + b + c)x + d x ( x −1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm V× (x - 1)x( x + 1) lµ tÝch sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 6a ( x − 1) x (x+1) Cho 0,25 ®iÓm lµ sè nguyªn x(x -1) lµ tÝch sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho nªn 2b x ( x −1) lµ sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm Vµ (a + b + c)x lµ sè nguyªn d lµ sè nguyªn f(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn 4sè 6a; 2b; a + b + c; d lµ c¸c sè nguyªn Cho 0,25 ®iÓm Bµi 4: ( ®iÓm) (Vẽ hình đúng 0,5 điểm) B I E G K D H A C Ta cã G vµ I cïng nh×n HD díi gãc vu«ng nªn HGID lµ tø gi¸c néi tiÕp Cho 0,5 ®iÓm Gãc GHD = gãc GIB (cïng bï víi gãc GID) Hay gãc GHD = gãc KIB lại có góc GHD = góc GHK ( E và I đối xứng qua AB) Cho 0,5 ®iÓm Cho 0,5 ®iÓm Cho 0,5 ®iÓm gãc KIB = gãc KHB ( cïng = gãc GHD) Nªn KHIB lµ tø gi¸c néi tiÕp Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,5 ®iÓm V× gãc HIB = 90 ❑0 gãc HKB = 90 ❑0 Ta cã gãc B ❑1 = gãc K ❑1 (Do KHIB lµ tø gi¸c néi tiÕp) Cho 0,5 ®iÓm Cho 0,5 ®iÓm (63) L¹i cã K vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc vu«ng nªn AKBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Cho 0,5 ®iÓm gãc K ❑2 = gãc B ❑1 Cho 0,5 ®iÓm Từ đó ta có KC là phân giác góc IKA Cho 0,5 ®iÓm Chó ý häc sinh vÏ h×nh cã thÓ kh¸c còng cho ®iÓm t¬ng tù Bµi 5: (2 ®iÓm) * NÕu x th× vÕ ph¶i nhËn gi¸ trÞ d¬ng nªn ë kho¶ng nµy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Cho 0,5 ®iÓm * NÕu < x < 1 1 x − x3 + + x − x + + x − x+ + x − x 4 Ta cã vÕ tr¸i = = ( x3− 2 2( + x2− + x− + x − x3 ) 2 ) ( ) ( ) Cho 0,25 ®iÓm Cho 0,25 ®iÓm còng lu«n d¬ng nªn ë kho¶ng nµy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * NÕu x ta cã VÕ tr¸i = x ❑5 (x - 1) + x ❑3 (x - 1) + x(x - 1) + Cho 0,25 ®iÓm Còng lµ sè d¬ng nªn ë kho¶ng nµy ph¬ng tr×nh v« ngiÖm Cho 0,25 ®iÓm Tóm lại phơng trình đã cho vô nghiệm trên tập hợp các số thực R (Cho 0,25 ®iÓm) Chú ý chấm: học sinh làm các bài theo cách khác nhng đúng cho điểm tối đa (64)