Các chun đề ơn thi vào lớp 10 BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN Bài : P = 14 14 x 2 x x 1 2) Cho biÓu thøc : Q = x x x x a) Rút gọn biểu thức Q b) T×m x để Q > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên 1) Đơn giản biểu thøc : Híng dÉn : P = a) §KX§ : x > ; x BiĨu thøc rót gän : Q = x 1 b) Q > - Q x > c) x = 2;3 th× Q Z Bài : Cho biÓu thøc P = x 1 x x x a) Rót gän biĨu thøc sau P b) Tính giá trị biểu thức P x = Híng dÉn : x 1 a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : P = 1 x b) Víi x = th× P = - – 2 Bài : Cho biĨu thøc : A = x x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rót gän biĨu thøc sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A Hướng dẫn : x a) §KX§ : x 0, x BiĨu thøc rót gän : A = x 1 b) Víi x = th× A = - c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× A = A Baøi : Cho biÓu thøc : A = 1 a a a 3 DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a ®Ĩ biĨu thøc A > Híng dÉn : a) ĐKXĐ : a > a BiĨu thøc rót gän : A = a 3 b) Víi < a < th× biĨu thøc A > x x x 4x x 2003 Bài : Cho biĨu thøc: A= x2 x x x 1) Tìm điều kiện ®èi víi x ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa 2) Rót gän A 3) Víi x Z ? ®Ĩ A Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ x 2003 b) BiĨu thøc rót gän : A = víi x ≠ ; x ≠ x c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z Bài : Cho biĨu thøc: x x 1 x x 1 x x 1 A= : x x x 1 x x a) Rót gän A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hướng dẫn : x 1 a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x 1 b) Víi < x < th× A < c) x = 4;9 th× A Z x2 x x 1 Baøi : Cho biÓu thøc: A = : x x x x 1 x a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x x 1 b) Ta xÐt hai trêng hỵp : +) A > > với x > ; x ≠ (1) x x 1 +) A < < 2( x x ) > x x > theo gt x > (2) x x 1 Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm) Bài : Cho biÓu thøc: P = a 3 a 2 a 1 a 2 a 4 (a 0; a 4) 4a DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi a = Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a BiĨu thøc rót gän : P = a 2 b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P = a a a a Bài : Cho biĨu thøc: N = 1 1 a a 1) Rót gän biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a BiĨu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005 Bài 10 : Cho biĨu thøc P x x 26 x 19 x x2 x 3 x 1 x 3 x3 a Rót gọn P b Tính giá trị P x c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hướng dẫn : x 16 a ) §KX§ : x 0, x BiĨu thøc rót gän : P x 3 103 3 b) Ta thÊy x §KX§ Suy P 22 c) Pmin=4 x=4 x Baøi 11 : Cho biÓu thøc P x 3 x x 3 3x x : 1 x x c Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn : 3 a ) §KX§ : x 0, x BiĨu thøc rót gän : P x3 b Víi x th× P c Pmin= -1 x = b Tìm x để P a Rút gọn P a 1 a 1 Bµi 12: Cho A= a a víi x>0 ,x a 1 a a 1 a Rót gän A b TÝnh A víi a = 15 10 15 DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 ( KQ : A= 4a ) x 3 x 9 x x 3 x 2 1 : Bµi 13: Cho A= víi x , x 9, x x 2 x x 9 x x 6 a Rót gän A b x= ? Th× A < c T×m x Z ®Ĩ A Z (KQ : A= ) x 2 15 x 11 x 2 x víi x , x x x 1 x x 3 Rót gän A T×m GTLN A Tìm x để A = 2 25 x CMR : A (KQ: A = ) x 3 Bµi 14: Cho A = a b c d Bµi 15: Cho A = x2 x 1 x x 1 x x 1 x víi x , x a Rót gän A b T×m GTLN cña A x ) x x 1 ( KQ : A = víi x , x x 1 x x 1 x x 1 Bµi 16: Cho A = a Rót gän A b CMR : A 1 ( KQ : A= x ) x x 1 x x 25 x x 3 x 5 1 : Bµi 17: Cho A = x 5 x x 25 x x 15 a Rót gọn A b Tìm x Z để A Z ( KQ : A = ) x 3 a 9 a a 1 a 5 a 6 a 3 a a Rút gọn A b Tìm a để A < Bài 18: Cho A = c Tìm a Z ®Ĩ A Z víi a , a , a ( KQ : A = a 1 ) a 3 x x 7 x 2 x 2 x Bµi 19: Cho A= : x 2 x 2 x x x4 DeThiMau.vn víi x > , x Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 a Rót gän A b So s¸nh A víi A ( KQ : A = 3 x y x y : Bµi20: Cho A = x y yx a Rót gän A b CMR : A x y ( KQ : A = x9 ) x xy víi x , y 0, x y x y xy ) x xy y x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x x a Rót gọn A Bài 21 : Cho A = b Tìm x ®Ĩ A = ( KQ : A = ) x x 1 x x 4 x x 2 Bµi 22 : Cho A = : x x 2 x 2 x x a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A = 1 x ) Víi x > , x víi x > , x 1 Bµi 23 : Cho A= víi x > , x : 1 x 1 x 1 x 1 x x a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A= ) x 2x 1 x4 Bµi 24 : Cho A= : 1 víi x , x x 1 x x 1 x 1 a Rót gän A x b Tìm x Z để A Z (KQ: A = ) x 3 x 2 Bµi 25: Cho A= : víi x , x x 1 x x x x 1 x 1 x 1 a Rót gän A b T×m x Z để A Z x c Tìm x ®Ĩ A ®¹t GTNN (KQ: A = ) x 1 x x 3x x Bµi 26 : Cho A = 1 víi x , x : x x x x 3 a Rút gọn A b Tìm x để A < DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 3 ( KQ : A = ) a 3 x 1 x 1 x x x Bµi 27 : Cho A = : víi x , x x 1 x 1 x 1 x x 1 a Rót gän A x b TÝnh A víi x = (KQ: A= ) x4 c CMR : A Bµi 28 : x 1 Cho A = : x 1 x x 1 x x a Rót gän A (KQ: víi x > , x A= x 1 ) x b.So s¸nh A víi x 1 x x 2 Cho A = : 1 Víi x 0, x x 1 x 1 9x 1 x 1 a Rót gän A b Tìm x để A = c Tìm x ®Ó A < x x ( KQ : A = ) x 1 x 2 x x2 x Bµi30 : Cho A = víi x , x x 1 x x 1 a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 d T×m GTLN cña A (KQ: A = x (1 x ) ) Bµi 29 : x2 x x 1 Bµi 31 : Cho A = : x x x x 1 x víi x , x a Rót gän A b CMR nÕu x , x A > , (KQ: Bài 32 : x2 x Cho A = 1 : x 1 x 1 x 1 a Rút gọn b Tìm x để A = DeThiMau.vn A= ) x x 1 víi x > , x 1, x Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 x 1 x x x Bµi 33 : Cho A = : víi x , x x 1 x 1 x 1 x 1 a Rót gän A b TÝnh A x= 0,36 c T×m x Z ®Ĩ A Z x x 3 x 2 x 2 Bµi 34 : Cho A= 1 : víi x , x , x 1 x x x x x a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z x c Tìm x để A < (KQ: A = ) x 1 BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài : 1) ViÕt phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với trục tung trục hoành Hướng dẫn : 1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b a b a Do ®êng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta cã hÖ pt : a b b 1 VËy pt đường thẳng cần tìm y = 3x 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng Bài : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hµm sè y = -x + ; y = 2x đồng quy Hướng dẫn : 1) Hàm sè y = (m – 2)x + m + m – < m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vµo hµm sè y = (m 2)x + m + 3, ta m = y x 3) Giao ®iĨm cđa hai ®å thÞ y = -x + ; y = 2x – lµ nghiƯm cđa hƯ pt : y 2x (x;y) = (1;1) Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiƯm cđa pt : y = (m – 2)x + m + 1 Víi (x;y) = (1;1) m = Baøi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Hướng dẫn : 1) Để hai đồ thị hàm sè song song víi cÇn : m – = - m = -1 VËy víi m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m 1)x + m + Ta : m = -3 VËy víi m = -3 th× đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị ®i qua lµ M(x0 ;y0) Ta cã x0 y0 = (m – 1)x0 + m + (x0 – 1)m - x0 - y0 + = y0 VËy víi m đồ thị qua điểm cố ®Þnh (1;2) Bài4 : Cho hai ®iĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm giá trị m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua ®iĨm C(0 ; 2) Híng dÉn : 1) Gäi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b 1 a b a 2 Do đường thẳng qua hai điểm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hƯ pt : a b b Vậy pt đường thẳng cần tìm y = - 2x + 2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua m 3m điểm C(0 ; 2) ta cần : m = m 2m Vậy m = đường th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời ®i qua ®iĨm C(0 ; 2) Bài : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số ®i qua ®iÓm (2; 5) 2) Chøng minh r»ng ®å thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Híng dÉn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua lµ M(x0 ;y0) Ta cã 1 x0 y0 = (2m – 1)x0 + m - (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = y Vậy với m đồ thị qua điểm cố định ( ; ) 2 Baứi : Tìm giá trị k để đường thẳng sau : 6x 4x y= ;y= vµ y = kx + k + cắt điểm DeThiMau.vn Cỏc chuyờn đề ơn thi vào lớp 10 Bài : Gi¶ sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1) Baứi : Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003) 2) Song song với đường thẳng x y + = Chủ đề : Phương trình bất phương trình bậc ần Hệ phương trình bậc ẩn A kiến thức cần nhớ : Phương trình bậc : ax + b = Phương pháp giải : + Nếu a phương trình có nghiÖm nhÊt : x = a b + Nếu a = b phương trình vô nghiệm + Nếu a = b = phương trình có vô số nghiệm ax by c Hệ phương trình bậc hai Èn : a' x b' y c' Phương pháp giải : Sử dụng cách sau : +) Phương pháp : Từ hai phương trình rút ẩn theo ẩn , vào phương trình thứ ta phương trình bậc ẩn +) Phương pháp cộng ®¹i sè : - Quy ®ång hƯ sè mét Èn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn - Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dơ minh häa : VÝ dơ : Gi¶i phương trình sau : x x a) 2 §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = x -1 x 2x - b) =2 x x Giải : ĐKXĐ : x x ≠ (*) 3 2x - Khi ®ã : = 2x = - x = x x 1 3 3 3 Víi x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 3 VËy x = lµ nghiƯm VÝ dụ : Giải biện luận phương trình theo m : (m – 2)x + m2 – = (1) + NÕu m th× (1) x = - (m + 2) + NÕu m = (1) vô nghiệm DeThiMau.vn Cỏc chuyờn ụn thi vào lớp 10 VÝ dơ : T×m m Z để phương trình sau có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2 + m - = Gi¶i : Ta cã : víi m Z 2m , vây phương tr×nh cã nghiƯm : x = - (m + 2) - 2m - ®Ĩ pt cã nghiƯm nguyên 2m Giải ta m = 2, m = Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 7x + 4y = 23 Gi¶i : 23 - 7x x 1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23 y = = – 2x + 4 V× y Z x – Giải ta x = y = BÀI TẬP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài : Giải hệ phương trình: 2x 3y x 4y a) b) 3x 4y 4x 3y 5 2 2 2x x x y e) f) 4x 2y 3 1, x x y 2x y c) 5 y 4x x y d) x y Baøi : Cho hệ phương trình : mx y x my 1) Gi¶i hƯ phương trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thc vµo m Híng dÉn : Bài : Cho hệ phương trình: x 2y m 2x y 3(m 2) 1) Gi¶i hệ phương trình thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Baứi : Cho hệ phương trình: (a 1)x y a cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y) x (a 1)y 1) T×m đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 2x 5y 3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức nhận giá trị nguyên xy Baứi : Cho hệ phương trình: DeThiMau.vn Cỏc chuyờn ụn thi vo lớp 10 x ay (1) ax y 1) Gi¶i hƯ (1) a = 2) Với giá trị a hÖ cã nghiÖm nhÊt mx y n Baứi : Xác định hệ số m n, biết hệ phương trình nx my cã nghiƯm lµ 1; a 1 x y Baứi : Cho hệ phương trình (a tham sè) ax y 2a 1) Gi¶i hƯ a = 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y x - (m 3)y Bài (trang 22): Cho hƯ phương trình : (m tham số) (m - 2)x 4y m - a) Gi¶i hƯ m = -1 b) Giải biện luận pt theo m x - m y (m lµ tham sè) Bài : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : mx 4y m a) Gi¶i hƯ m = -1 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y > Bài 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai sau bể Nếu vòi thứ hai chảy bể Đáp số : Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C Hường dãn : x y 10 x 2,5 Ta có hệ pt : 100x 20y 400 y 7,5 Vậy cần 2,5 lít nước sôi 75 lít nước 200C Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu DeThiMau.vn Các chun đề ơn thi vào lớp 10 Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y khối lượng dung dịch ban đầu ( x 200) y 200 100% 50% x 400 Theo baøi ta có hệ pt : y 1000 ( x 200) 100% 40% y 500 Vậy nồng độ phần trăm dung dũch axớt ban ủau laứ 40% Phương trình bậc hai định lý viet ứng dụng A.Kin thc cn ghi nhớ Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp a) Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm - vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a Lập biệt số = b2 – 4ac / = b/2 – ac * < ( / < ) phương trình (1) vơ nghiệm b * = ( / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a b/ (hoặc x 1,2 = - ) a * > ( / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: b b x1 = ; x2 = 2a 2a (hoặc x1 = b / / a ; x2 = b / / ) a Định lý Viét Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) b S = x1 + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu cã ) phương trình bậc 2: x2 S x + p = 3.Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gäi x1 ,x2 nghiệm phương trình Ta có kết sau: x1 x2 trái dấu ( x1 < < x2 ) p = x1x2 < Hai nghiƯm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) p S DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Hai nghiệm âm (x1 < x2 < 0) p S Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm d¬ng( x2 > x1 = 0) p S Mét nghiệm nghiệm âm (x1 < x2 = 0) p S 4.Vài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) c a Nếu a + b + c = phương tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2 = NÕu a – b + c = th× phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c a NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m b) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Phương trình cần tìm : x2 S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x x2 S 1 *) = x1 x x1 x p x x x x2 S2 2p *) = x x1 x1 x p *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x x 2a 1 S 2a *) x1 a x a ( x1 a )( x a ) p aS a (Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trước phải thoả mÃn điều kiện ) d)Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước Tìm nghiệm thứ Cách giải: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc đà cho cã nghiƯm: (hc / ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đà cho ,tìm giá trị 2 DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc / ) mà ta thay x = x1 vào phương trình đà cho, tìm giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào phương trình giải phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phương trình đà cho mà phương trình bậc hai có < kết luận giá trị tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình (như cách trình bầy trên) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm vào công thức tổng nghiệm tìm nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào công thức tích hai nghiệm ,từ tìm nghiệm thứ B Bài tập áp dụng Bài 1: Giải biện luận phương trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = Gi¶i / Ta cã = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – + NÕu / > m2 – > m < - hc m > Phương trình đà cho có nghiệm phân biệt: x = m + - m x2 = m + + m + NÕu / = m = - Với m =3 phương trình có nghiệm x1.2 = - Với m = -3 phương trình có nghiệm x1.2 = -2 / + Nếu < -3 < m < th× phương trình vô nghiệm Kết kuận: Với m = phương trình có nghiệm x = Với m = - phương trình có nghiệm x = -2 Víi m < - hc m > phương trình có nghiệm phân biÖt x = m + - m x2 = m + + Víi -3< m < phương trình vô nghiệm m2 Bài 2: Giải biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – = Híng dÉn NÕu m – = m = phương trình đà cho có d¹ng * NÕu m – m Phương trình đà cho phương tr×nh bËc hai cã biƯt sè / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu / = 9m – 18 = m = phương trình có nghiệm kép b/ x1 = x = =-2 a 23 - 6x – = x=- DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 - NÕu > m >2 Phương trình có hai nghiệm ph©n biƯt m3 m2 x1,2 = m3 / - NÕu < m < Phương trình vô nghiệm Kết luận: Với m = phương trình cã nghiƯm x = Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = x2 = -2 m3 m2 Với m > m phương trình cã nghiƯm x1,2 = m3 Víi m < ph¬ng trình vô nghiệm / Bài 3: Giải phương trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( )x - 15 = d) x2 –(3 - )x - = Gi¶i a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) = c 2009 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = , x2 = a b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , c 204 x2 = - = - 12 a 17 c) x2 + ( )x - 15 = cã: ac = - 15 < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta cã : x1 + x2 = -( ) = - + x1x2 = - 15 = (- ) Vậy phương trình cã nghiƯm lµ x1 = - , x2= (hc x1 = , x2 = - ) d ) x2 –(3 - )x - = cã : ac = - < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta cã x x - x x - 3(-2 ) Vậy phương trình có nghiÖm x1 = , x2 = - Bài : Giải phương trình sau cánh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 m 1 Hc x2 = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- = m = (*) trë thµnh – 4x – = x = - x1 1 * m – m (*) x 2m m3 Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phương trình : x2 3x = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1 x C= 1 x1 x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 vµ x1 x2 Giải ; Phương trình bâc hai x2 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phương trình có hai nghiệm ph©n biƯt x1 , x2 Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 b) lập phương trình bậc có nghiệm + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1 x = S p 37 ( x1 x ) 1 S 2 = x1 x ( x1 1)( x 1) p S 2 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta cã : 1 S= (theo c©u a) x1 x 1 1 p= ( x1 1)( x 1) p S 1 Vậy nghiệm hương trình : x1 x2 1 X2 – SX + p = X2 + X - = 9X2 + X - = 9 +C= Bài : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè) Chứng minh phương trình (1 ) có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phương trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phương trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Giải Phương trình (1) phương trình bậc hai có: DeThiMau.vn Cỏc chuyên đề ôn thi vào lớp 10 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - k + ) 5 36 36 = 5(k2 – k + + ) = 5(k - ) + > với giá trị k Vậy phương trình 25 25 5 (1) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 1 - k2 + k – < - ( k2 – k + + ) (k – 1)[(2k - )2 + ] >0 16 87 k – > ( v× (2k - )2 + > víi mäi k) 16 k>1 Vậy k > giá trị cần tìm Bài 7: Cho phương trình : x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số) Giải phương trình (1) với m = -5 Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m Tìm m để x1 x đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phương trình (1) nói phần 2.) Giải Với m = - phương trình (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x1 = , x2 = - Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + 1 19 19 = m2 + 2.m + + = (m + )2 + > víi mäi m 4 Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 Vì phương trình có nghiệm với m ,theo hệ thức ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] 19 19 1 => x1 x = (m ) = 19 m + =0 m=2 4 2 Vậy x1 x đạt giá trị nhỏ b»ng 19 m = Bµi : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m – = (m lµ tham sè) DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 1) Giải phương trình m = 2) Chứng minh phương trình đà cho có nghiệm với m 3) Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Giải: 1) Thay m = vào phương trình đà cho thu gọn ta 5x2 - 20 x + 15 = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2= 2) + NÕu: m + = => m = - phương trình ®· cho trë thµnh; 5x – = x = + NÕu : m + => m - Khi phương trình đà cho phương trình bậc hai có biệt số : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do ®ã phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m 2m 2m 2(m 3) m x2 = x1 = = 2(m 2) 2m 2(m 2) 2(m 2) m Tóm lại phương trình đà cho có nghiệm với mäi m 3)Theo c©u ta cã m - phương trình đà cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trêng hỵp m3 Trêng hỵp : 3x1 = x2 = giải ta m = (đà giải câu 1) m2 m3 11 Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 1= m + = 3m – m = (thoả mÃn điều kiện m m2 - 2) 11 Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình đà cho ta phương trình : 15x2 20x + = phương trình có hai nghiÖm x1 = , x = = (thoả mÃn đầu bài) 15 Bài 9: Cho phương trình : mx2 2(m-2)x + m = (1) víi m lµ tham sè Biện luận theo m có nghiệm phương trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải 1.+ Nếu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = x = / + NÕu m LËp biÖt sè = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 / < - m + < m > : (1) v« nghiƯm / = - m + = m = : (1) cã nghiÖm kÐp b/ m x1 = x = - a m 2 / > - m + > m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt m2 m4 m2 m4 x1 = ; x2 = m m DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 VËy : m > : ph¬ng trình (1) vô nghiệm m = : phương tr×nh (1) Cã nghiƯm kÐp x = m < : phương trình (1) có hai nghiệm ph©n biƯt: m2 m4 m m = : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = c m3 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ) 33 33 k1 = ; k2 = 2 33 33 Vậy có giá trị k1 = k2 = phương trình (1) Có nghiệm kép 2 2.Có cách giải Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: / k2 + 5k – (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 2x1x2 = 10 b Với điều kiện(*) , áp dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - - 2k vµ x1x2 = – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – = (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = §Ĩ đối chiếu với điều kiện (*) ta thay k1 , k2 vµo / = k2 + 5k – + k1 = => / = + – = > ; tho¶ m·n 49 35 49 70 29 + k2 = => / = không thoả m·n 4 VËy k = giá trị cần tìm Cách : Không cần lập điều kiện / Cách giải là: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm k1 = ; k2 = (cách tìm trên) Thay k1 , k2 vào phương tr×nh (1) + Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = 39 + Víi k2 = (1) => x2- 7x + = (cã = 49 -78 = - 29 < ) Ph¬ng trình vô nghiệm 2 DeThiMau.vn ... 2 DeThiMau.vn Cỏc chuyên đề ôn thi vào lớp 10 tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc / ) mà ta thay x = x1 vào. .. có cách làm Cách 1: Thay m = vào phương trình đà cho giải phương trình để tìm x2 = (Như phần đà làm) Cách 2: Thay m = - vào c«ng thøc tÝnh tỉng nghiƯm: thay m = - DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi. .. x>0 ,x a 1 a a 1 a Rót gän A b TÝnh A víi a = 15 10 15 DeThiMau.vn Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 ( KQ : A= 4a ) x 3 x 9 x x 3 x 2 1 : Bµi 13: