Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia: a 1 chia cho 49 b/ 10 chia cho 23 Dạng 7: TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRÊN DÃY CÁC PHÉP TÍNH CỒNG KỀNH Đổi số thập phân vô hạn tuần hoà[r]
(1)Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Dạng 1: TÍNH TOÁN TRÊN MÁY KẾT HỢP TRÊN GIẤY Bài 1: a) Nêu phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính xác kết phép tính sau: A = 12578963 x 14375 b) Tính chính xác A c) Tính chính xác số: B = 1234567892 d) Tính chính xác số: C = 10234563 Giải: a) Nếu tính trên máy tràn màn hình nên ta làm sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750 12578.103.14375 = 180808750000 * Tính trên máy: 963.14375 = 13843125 Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 và cộng trên máy: 808750000 + 13843125 = 822593125 A = 180822593125 b) Giá trị chính xác A là: 180822593125 c) B =1234567892 = (123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính trên máy: 123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 6789 = 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3 = (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 Tính trên máy: 10233 = 1070599167; 3.10232.456 = 1431651672 3.1023.456 = 638155584 456 = 94818816 Vậy C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 + 638155584000 + 94818816 = = 1072031456922402816 Bài 2: Tính kết đúng các tích sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012 Bài 3: Tính kết đúng các phép tính sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 Đáp số: a) A = b) B = Bài 4: Tính kết đúng phép tính sau: A = 52906279178,48 : 565,432 Đáp số: A= æ 1012 + ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø Bài 5: Tính chính xác số A = Giải: - Dùng máy tính, tính số kết quả: 102 34 và 102 1156 ; 103 334 và 103 111556 104 104 11115556 3334 và k 10 + Nhận xét: là số nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận cùng là số æ 10k + ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø là số nguyên gồm k chữ số 1, (k - 1) chữ số 5, chữ số cuối cùng là Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (2) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang * Ta dễ dàng chứng minh nhận xét trên là đúng, đó A = 111111111111555555555556 Bài tập: a/ Tính: A = 5555566666x6666677777 b/ Tính B = 20072007 20082008 2 c/ 1038471 d/ 20022003 e/ 2222255555.2222266666 f/ 20032003.20042004 g/ 20062006 x 20072007 (ĐS 402684724866042) Dạng 2: TÌM ƯỚC, BỘI CỦA MỘT SỐ Cơ sở: Muốn tìm ước ta chia a cho các số không vượt quá a Quy trình: -1 → A A + → A: a A Muốn tìm bội ta nhân số đó với 0, 1, 2, … Quy trình: (-2) A A + A: aA = VD1: Tìm tất các ước 60? -1 → A A + → A:60 A bấm = xuất số và kết 60 thì ta có ước là và 60 Bấm đến đế lần thứ 30 thì dừng lại 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60 Vậy Ư(60) = Ví dụ 2: Tìm các bội 30 (-2) A A + A: 30A = ta các số là 0, 30, 60, 120, … Ví dụ 3: Tìm bội 206 nhỏ 2006 Ta thực quy trình trên và chọn các bội là 0; 206; 412; 618; 824, 1030; 1236; 1442; 1648; 1854 Ví dụ 4: Tìm các bội 45 nhỏ 2000 và chia hết cho 35 Vì số cần tìm bội 45 nên có dạng 45A nên ta lập quy trình sau: -2 A A + A:45A ÷ 35:45A bấm = màn hình xuất = = nghĩa là 45.0:35 = Ta nhấn tiếp màn hình xuất 45A÷ 35 là số nguyên thì thì lần chính là số thỏa mãn điều kiện Vậy ta tìm 315; 630; 945; 1260; 1575; 1890 kết lớn 2000 thì dừng lại Ví dụ 5: Tìm BCNN 45 mà chia cho 41 thì dư 10 Vì số này chia cho 41 dư 10 nên lấy số đó trừ 10 thì chia hết, ta đưa dạng bài toán trên: -2 A A + A: (45A – 10) ÷ 41: 45A = (ta chọn số nguyên liên tiếp) với A = 23 và 25 và 1035 Vậy số đó là 1035 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (3) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Dạng 3: XÁC ĐỊNH MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ * Với nguyên tắc số nguyên tố là số lẻ Và số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố Cách 1: (-1) A A + A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = số cần dừng, kết không là số nguyên thì số đó không phải là nguyên tố Cách 2: Gán số đó vào B; Tính B = … (điểm dừng) B÷3= B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng Ví dụ: Số 647 là số nguyên tố không? (-1) A A + A:647 ÷ A bấm = … đến A = 27 thì thương là 23,9… Vậy 647 không chia hết cho A => 647 là số nguyên tố Ví dụ 2: Xét xem 10007 nguyên tố hay hợp số? 10007 B B = 100, 034… B÷3= B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số? Quan sát các kết ta thấy không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số? Quan sát màn hình thấy có kết nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361) Dạng 4: Tìm ƯCLN, BCNN A Phương pháp giải toán Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN hai số nguyên dương A và B (A < B) Thuật toán: Xét thương Thương A B A B Nếu: cho kết dạng phân số tối giản cho kết dạng số a b thập phân mà có thể đưa dạng phân số tối giản (a b là các số nguyên dương) thì: ƯCLN(A, B) = A:a = B;b; BCNN(A, B) = A.b = B.a A Thương B cho kết là số thập phân mà không thể đổi dạng phân số tối giản thì A ta làm sau: Tìm số dư phép chia B Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên dương nhỏ A ) thì: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B)) Đến đây ta quay giải bài toán tìm ƯCLN hai số A và R Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (4) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang R Tiếp tục xét thương A và làm theo bước đã nêu trên Sau tìm ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) cách áp dụng đẳng thức: A.B ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) = UCLN(A, B) Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN ba số nguyên dương A, B và C Thuật toán: Để tìm ƯCLN(A,B,C) ta tìm ƯCLN(A, B) tìm ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] Điều này suy từ đẳng thức: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự Ta có: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN 220887 và 1697507 220877 2187 = Giải: Ta có: 1697507 16807 Suy ra: ƯCLN(220887, 1697507) = 220887:2187 = 101; BCNN(220887, 1697507) = 220887.16807 = 3712447809 Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN 3995649 và 15859395 3995649 = 0,2519424 Giải: Ta có: 15859375 Ta không thể đưa số thập phân này dạng phân số tối giản Vậy ta phải dùng phương pháp 15859375 Số dư phép chia 3995649 là 3872428 Suy ra: ƯCLN(15859375, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428) 3872428 Ta có: 3995649 = 0,9691612051 Ta không thể đưa số thập phân này dạng phân số tối giản Ta tiếp tục tìm số 3995649 dư phép chia: 3872428 Số dư tìm là 123221 Suy ra: ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221) 123221 607 = Ta có: 3872428 19076 Suy ra: ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203, 15859375.3995649 203 BCNN = = 312160078125 Ví dụ 3: Tìm ƯCLN ba số 51712, 73629 và 134431 Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101 => ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101 C Bài tập vận dụng Tìm ƯCLN và BCNN của: a 43848 và 8879220 b 1340022 và 622890625 c 1527625 và 4860625 d 1536885 và 24801105 Tìm ƯCLN và BCNN 416745, 1389150 và 864360 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (5) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Tìm ƯSCLN 40096920, 9474372 và 51135438 Trang ĐS: 678 Dạng 5: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA - ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ ĐỒNG DƯ A Phương pháp giải toán Bài toán 1: Tìm số dư phép chia số nguyên dương A cho số nguyên dương B ( B có tối đa 10 chữ số) Thuật toán: Nếu số các chữ số A không vượt quá 10 Ta làm sau: Tìm phần nguyên thương A : B Gọi phần nguyên đó là N Thì số dư phép chia A: B ( Kí hiệu là R) là: R = A – N.B Nếu số các chữ số A lớn 10 Ta làm sau: Giả sử A có dạng: A = A1A2A3 A10 A11 An Đầu tiên ta tìm số dư phép chia A1A 2A A10 cho B cách Giả sử số dư này là R1 ( R1 ít 10 chữ số) Tiếp theo ta tìm số dư cảu phép chia R1A11A12 cho B ( R1A11A12 có 10 chữ số) Giả sử số dư này là R2 Cứ làm ta tìm số dư phép chia R mAn- 1An cho B ( R mAn- 1An không quá 10 chữ số) Giả sử số dư đó là R Thì R là số dư phép chia A cho B Bài toán 2: Tìm số dư phép chia AN cho số nguyên dương B ( Trong đó A và N là số nguyên dương) Thuật toán: Để tìm số dư phép chia AN cho B ta tìm số R < cho: AN º R(modB) Thì R chính là số dư phép chia trên Để giải dạng toán này ta cần có số kiến thức quan hệ đồng dư Định nghĩa quan hệ đồng dư Cho số nguyên A và B Ta nói A có quan hệ đồng dư theo modulo M với B, kí hiệu là A º B(modM) và M là ước số (A – B), đó M là số nguyên dương Ví dụ: º 2(mod5) ; º 4(mod7) Một số tính chất i A º 0(modM) <=> A MM ii A º B(modM); B º C(modM) => A º C(modM) iii A º B(modM) => A ± C º B ± C(modM); A.C º B.C(modM) iv A º B(modM); C º D(modM) => A + C º B + D(modM); A.C º B.D(modM) N N v A º B(modM); => A º B (modM) M- vi M là số nguyên tố và ƯCLN(A,M) = thì: A º 1(modM) M M M vii M là số nguyên tố thì: (A + B) º A + B (modM) B Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 123456789 cho 9876 Giải: Ta có: 123456789:9876 = 125082,8663 => R = 123456789 – 125082.9876 = 855 Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 135792468013579 cho 24680 Giải: Ta tìm số dư phép chia 1357924680 cho 24680 Kết là 6400 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (6) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Tiếp tục tìm số dư phép chia 640013579 cho 24680 Kết là 11819 Ví dụ 3: Tìm số dư phép chia 52008 cho 2003 2002 º 1(mod2003) Giải: Vì 2003 là số nguyên tố và ƯCLN (5; 2003) = Nên ta có: 2002 6 Suy ra: 5 º (mod2003) º 1064(mod2003) Vậy số dư phép 52008 cho 2003chia là 1064 Ví dụ 4: Tìm số dư phép chia 199140 cho Giải: Cách 1: Ta có: 1991 º 289(mod2008) ; 1991 º 1111(mod2008) => 1991 º 289.1111(mod2008) º 1807(mod2008) 10 => 1991 º 1807 (mod2008) º 241(mod2008) 40 => 1991 º 241 (mod2008) º 713(mod2008) Vậy số dư phép chia 199140 cho 2008 là 713 Cách 2: Ta có: 1991 º 289(mod2008) => 1991 º 1585(mod2008) 40 => 1991 º 1585 (mod2008) Ta tính: 1585 º 577(mod2008); 1585 º 217(mod2008) 40 => 1991 º 577.217(mod2008) º 713(mod2008) C Bài tập vận dụng Tìm số dư các phép chia sau: a 199119921993 cho 2008 b 537624161 cho 12547 c 9876543210123456789 cho 2468013579 d 132462574134 cho 29 Tìm số dư các phép chia sau: a 520 cho 12345 b (22000 – 1) cho 12345 c 19911999 cho 191 d 51991 + 51999 + 52007 cho 467 e 740 + 1140 + 1940 cho 2000 f 5.19917 + 25311 + 2002 cho 1993 Tìm thương và dư phép chia (320+1) cho (215+1)? (thương là 106 404 số dư là 31 726) Tìm số dư các phép chia sau: a/ 9124565217 cho 123456 (55713) b/ 987896854 cho 698521 (188160) Tìm số dư phép chia a/ 2345678901234 cho 4567 (2203) b/ 983637955 cho 9604325 (4005985) c/ 903566896235 cho 37869 (21596) d/ 1234567890987654321 cho 123456 (8817) 6/ Tìm số dư phép chia a/ 12 cho 19 b/ 2004376 cho 1975 (246) c/ 138 cho 27 d/ 2514 cho 65 e/ 197838 cho 3878 f/ 20059 cho 2007 g/ 715 cho 2001 Dạng 6: TÌM CHỮ SỐ HÀNG CHỤC, TRĂM, ĐƠN VỊ … CỦA MỘT LŨY THỪA Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị số 172002 Giải: (Ta tìm đồng dư mod10) 17 9(mod10) 17 1000 17 2000 91000 (mod10) 92 1(mod10) 91000 1(mod10) 17 2000 1(mod10) 2000 Vậy 17 17 1.9(mod10) Chữ số tận cùng 172002 là Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (7) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Cách 2: Dùng chức TABLE Ví dụ: Tìm chữ số cuối cùng 72005 + Khởi động chế độ TABLE: MODE + Trên mày hiệ f(X) ta nhập hàm: x ANPHA ) (x) (do đây là lũy thừa 7) + Ấn tiếp : = (Syrat) = (End) = (Step) = Theo trên các số cuối cùng là 7, 9, 3, chu kỳ là Mặt khác 2005 = 4x501 + => 72005 có số cuối cùng Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng 42008 Ấn MODE Nhập hàm x ANPHA ) (x) Ấn tiếp: = (Syrat) = (End) = (Step) = Ta bảng các giá trị và thấy các số cuối là 4, chu kỳ là Mà 2008 = 2.1004 => số cuối cúng là Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005 Giải + Tìm chữ số hàng chục số 232005 (Ta tìm đồng dư mod100) 231 23(mod100) 232 29(mod100) 233 67(mod100) 234 41(mod100) Do đó: 2320 234 415 01(mod100) 232000 01100 01(mod100) 232005 231.234.232000 23.41.01 43(mod100) Vậy chữ số hàng chục số 232005 là (hai chữ số tận cùng số 232005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm số 232005 (Ta tìm đồng dư mod1000) 231 023(mod1000) 234 841(mod1000) 235 343(mod1000) 2320 3434 201(mod1000) 232000 201100 (mod1000) 2015 001(mod1000) 201100 001(mod1000) 232000 001(mod1000) 232005 231.234.232000 023.841.001 343(mod1000) Vậy chữ số hàng trăm số 232005 là số (ba chữ số tận cùng số 232005 là số 343) Tìm số mũ lũy thừa: Ví dụ: Tìm số mũ tự nhiên n cho: 2n = 64 Ấn MODE Nhập hàm x ANPHA ) (x) Ấn tiếp: = (Syrat) = (End) = (Step) = Máy xuất bảng, tra bảng thấy x = là giá trị cần tìm Bài tập: 1/ Tìm a/ Chữ số tận cùng số 29999 b) Chữ số hàng chục số 29999 236 3411 c/ d/ Kq: a/ b/ c/ 743 d/ 2256 Tính số lẻ thập phân thứ n sau dấu phẩy Ví dụ 1: Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 phép chia 17 : 13 Giải: + Thực phép chia 17 : 13 = 1.(307692) Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm chữ số Ta có 105 = 6.17 + ( 105 3(mod6) ) Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba chu kỳ Đó chính là số Ví dụ 2: Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy phép chia 250000 cho 19 250000 17 13157 19 19 Giải: Ta có Vậy cần tìm chữ số thập phân thứ 13 2007 sau dấu phẩy phép chia 17 : 19 Ấn 17 : 19 = 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số Ta có 133 1(mod18) 132007 133 669 1669 (mod18) Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (8) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Kết số dư là 1, suy số cần tìm là sồ đứng vị trí đầu tiên chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân Kết : số A = 129 47 4127 57 171 Ví dụ 3: Cho Tìm chữ số thứ Tính A 105, 690058479532163742 2.( 32310 + 4) 32310 sau dấu phảy A 32310 sau dấu phảy A là chữ Ta có số chia 18 dư nên chữ số thứ số Bài tập: Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy chia: a) chia cho 49 b/ 10 chia cho 23 Dạng 7: TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRÊN DÃY CÁC PHÉP TÍNH CỒNG KỀNH Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn phân số: Kiến thức bổ sung cần nhớ: Cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số Nhận xét: Cách đổi chung: Đổi số tuần hoàn sang số thập phân: chữ số tuần hoàn là số mẫu (nếu sau dấu phảy có số thì thêm chữ số bên phải số 9), trên tử lấy nguyên số trừ phần trước tuần hoàn 437 - 99 433 99 ; 3526 - 35 3491 = 990 990 Ví dụ: 4,(37) = = 3,5(26) = Bài tập: Đổi phân số: a/ 3,08(078) b/ 0,(123) c/ 4,(35) d/ 2,45(736) e/ 0,8(945) f/ 0,82(345) g/ 0,13(456) h/ 3,15(321) Tính giá trị biểu thức cồng kềnh: Cách 1: Ta ghi vào màn hình biểu thức, có thể tính thành phần sau đó thực tính Cách 2: Sử dụng gán vào các chữ: VD1: Tính giá trị biểu thức (Tính chính xác đến 0,000001) a A = 4 0, : ( 1,25) (1, 08 ): 25 + (1,2.0,5) : + 5 0,64 (6 - ).2 25 17 b B = 1 90 0,3(4) 1,(62) : 14 : 11 0,8(5) 11 (ĐS: 3) 106 (ĐS: 315 ) 1 3,5 0,25 2: : 100 69 10 0,5 7 2,2.10 1: 1 Bài Thực phép tính A = 47,13 : Bài 2: Tính giá trị biểu thức A =23% Kq: A =-109,3409047 Bài 3: Tính a) A 5 2 15 11 4 22 21 13 14 2 12, 49 24 25 20 25 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung Kq: A = 10 (9) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio B 200 126 b) Kq: a) A =-0,700213952 Bài 4: a/ 5% A = 54 3 1 32 1 32 Bài 5: Tính 14 21 1,25 : 2,5 B = 12% 2 1,2632 3,1242.15.2,363 C = 0,323640831 b/ 5% 55 b) KQ = 9,1666666667 A 26 15 Bài 6: Tính A = c) B = 1,224443667 5%A 2,5%B a) KQ = 0,125 C 63 Trang 85 30 83 18 : B 0, 004 c/ 113 c) KQ = 24 4,70833333 80 80 Kq: A 2,636966185 5 5 2, 4,375 2,75 21 67 : 200 0, 45 20 b 3 a 3 Biết: 1 0,09 : 0,15 : 2,1 1, 965 : 1,2.0,045 : 0,25 2 a ;b 0,3206 0,03 5,3 3,88 0, 67 0,00325 0, 013 1,6.0,625 3: Kq: A = 100 Bài 7: Tính =53,2293 B 36151872 4,641818112 7788300 N 5 chính xác đến 0,0001 KQ: N 1994x1993 1993x19941994 212121 1992 1992x1994 19931993x1994 434343 8/ 9/ Tính và làm tròn đến chữ số thập phân: : 0, 0, 09 : (0,15 : 2,5 (2,1 1,965) : (1,2.0,045) 0,32.6 0,33 (5,3 3,38) 0, 67 0,00325 : 0,013 Dạng 8: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1/ Phương trình bậc nhất: VD 1: Tìm x (Tính chính xác đến 0,0001) a 5 (2,3 : 6,25).7 : x : 1,3 8, 1 8.0, 0125 6,9 14 cho A; (2,3 : 6,25).7 8, 8.0,0125 6, Ta gán: cho B; Ta có A: (x:1,3 + B) = C => x = (A:C – B).1,3 = -20,384 Bài tập: 1/ (x = -20,384) 1 cho C 1 0,3 20 x : 0, 003 : 62 17, 81 : 0,0137 1301 1 20 2, 65 : 1,88 20 25 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (x= 6) (10) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio 11 7 x 1 x 11 2/ 2 3/ 4/ 3 x 1 6 3 x 3 2 4 Kq: 15 11 3 Trang 125 20321 2244 2244 Kq: x = -1,449181224 21 11 x x x Kq: x = 462 1237 5/ 8 2x 13 11 x 25 1 Kq: -0,1630 8 x 11 10 x 1 2 6 13 Kq: -9,7925 6/ 7/ Tìm x và làm tròn đến chữ số thập phân: 1 1 21.22 22.23 23.24 28.29 29.30 140 1,08 : [0,3.(x 1)] 11 1 13 :2 1 15,2.0,25 48,51 : 14,7 44 11 66 2 y 3,2 0,8 3,25 8/ Tìm y bieát: 2/ Dạng phương trình bậc hai: Ta sử dụng chức giải phương trình bậc hai: Bấm MODE chọn đến EQN chọn giải phương trinh bậc hai và nhập các hệ số a, b, c bấm =, = Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn trên máy góc trái màn hình máy R I thì nghiệm đó là nghiệm phức Bài tập: Giải các phương trình: 2x2 3x 0 10 2 161 10 ) a/ (x = ); b/ (x - 4) + (2x + 1) = 25- 5x (x = c/ 1,85432x – 3,21458x – 2,45971 = (2308233881; 0,574671173) d/ 2,354x – 1,542x – 3,141 = (x1 = - 0,873138407, x2 = 1,528193632) e/ 1,9815x + 6,8321x + 1,0581 = f/ 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 3/ Phương trình bậc ba: Ấn MODE MODE nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: Tìm tất các nghiệm gần đúng với chữ số thập phân phương trình 5x + 1=0 Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím MODE MODE = = (- ) = = (x1 = 2, 128419064) = (x2 = -2, 33005874) = (x3 = 0, 201639675) Bi tập: a/ x3 + x2 – 2x – = b/ 1.4 4x3 – 3x + = Dạng 9: TÍNH TOÁN VỚI ĐA THỨC 1/ Tính giá trị biểu thức đại số: Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung x 3- (11) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Ta có cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp nút Ans VD1: Tính giá trị biểu thức: 20x2 -11x - 2006 a) x = 1; b) x = -2; c) x = −1 ; d) x = 0,12345 1,23456 ; Cách làm: Gán vào ô nhớ X: Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết là -1997) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết (Ghi kết là -1 904) 1995 ; d) -2006,899966) Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) Ta có thể sử dụng phím Ans: = 20Ans2 – 11Ans – 2006 = VD2: Tính giá trị biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y - y3 tại: a/ x = 2; y = -3 b/ x = −3 ; y = -2 c/ x = 2+ y = 2,35 2,69 Cách làm: Gán vào ô nhớ X: Gán -3 vào ô nhớ Y: Nhập biểu thức đã cho vào máy (Ghi kết là - ) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: # # Dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết (Ghi kết là 25,12975279) Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết là -2,736023521) Bài tập: 1/ Tính A 3x5 2x 3x2 x 4x3 x2 3x x = 1,8165 (Kq: 1.498465582) 3x5 2x4 3x2 x A 4x3 x2 3x 2/ Tính 3/ a Tính x 5x b Tính P(x) 17x 4/ x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 3x x x = 1,35627 5x4 8x3 13x2 11x 357 x = 2,18567 æ x æ x + 9ö x +1 ÷ ç ÷ ç ç T(x) = ç + : ÷ ç ç ÷ ç3 + x çx - x - xø è è Kq: ö ÷ ÷ ÷ x÷ ø Tính T( 231007) ; T(2007 2008) T( 231007) 1,194910171 T(2007 2008) = - 0,50063173 2/ Tìm dư đa thức f(x) và g(x) và điều kiện chia hết: a/ f(x) : g(x) thì tồn q(x) và r(x) cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) Nếu r(x) = thì f(x) chia hết cho g(x) b/Định lí Bezoul: Giả sử đa thức f(x) là đa thức biến x và a R biểu thức f(x) Khi thay x = a thì số ký hiệu là f(a) gọi là giá trị f(x) a Nếu f(a) = thì f(x) có nghiệm là x = a Định lí Bezoul: Dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là số f(a) VD1: Chia f(x) = x3 + 4x2 - cho g(x) = x – Ta có số dư là f(1) = 13 + 4.12 – = Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (12) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang VD2: Chia f(x) = x +2x – x + cho g(x) = x + Ta có dư f(-1) = (-1) +2.(-1) - (-1)+4=2 - Dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là số VD3: Chia f(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – cho g(x) = 2x + b f a 75 1 1 1 1 f Ta có số dư là: VD4: Chia f(x) = 3x4 + 5x3 – 4x2 + 2x – cho g(x) = 4x – 87 5 5 5 5 5 256 f Ta có số dư là * Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax+b ta luôn P(x) = Q(x)(ax + b)+ m + b r Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = hay m = -r = - P( a ) Ví dụ 5: Tìm a để x 7x 2x 13x a chia hết cho x + Ta có: a = -f(-6) = 222 Ta có thể thực hiện: Ta nhập biểu thức : X4 + 7X3 + 2X2 + 13X +A = Ấn: SHIFT SOLVE = X ? nhập -6 Ấn tiếp: SHIFT SOLVE máy hiện: A = 222 Vậy : a = 222 Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho đa thức g(x) = x2 – x – C1: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư để tìm k Ta có: f(x) = (x2 – x – 2)(x2 – 8x + 15) +k +30 = Vậy để f(x) g(x) thì k + 30 = Suy k = -30 2 C2: Ta có g(x) = x – x – = x – 2x + x – = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – thì chia hết cho (x – 2)(x + 1) Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa phép chia hết ta thay x = -1 x = vào f(x), ta f(-1) = k = - 30 Ví dụ 7: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 a/ Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9) b/ Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là số nguyên Giải: Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25 Suy 1; 2; 3; 4; là nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 = nên suy Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 62 Suy P(6) = 62 + 5! = 156 Tương tự P(7) = 72 + 6! = 769 7! P(8) = 82 + 2! = 2584 8! P(9) = 92 + 3! = 6801 b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x2 P(x) = x5 – 15x4 + 85x3 – 284x2 + 274x – 120 Bài tập: 1/ Tìm số dư phép chia: P= x14 x9 x5 x x2 x 723 x 1,624 2/ Tìm số dư phép chia P (Kq: r = 85,92136979) x 6,723x 1,857x 6, 458x 4,319 x 2,318 x 5x 4x2 3x 50 3/ Cho x Tìm BCNN(r1,r2)? Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x – và x – Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (13) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio 4/ Tìm số dư phép chia : a) 3x b) x5 7x3 3x2 5x : x 3 Trang 5x 4x 2x : x 5 c) 3x 5x3 4x2 2x : 4x 687 c) r = 256 ) (Kq: a) r = 2403 ; b) r = -46 ; 5/ Cho P(x) = 3x + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? 3 17 3 625 - 3 17 3 625 = Số dư a = => a (Kq: a = 27,51363298) 6/ Tìm m để f(x) = 2x4 + 3x2 – 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12 (KQ: m = 43849) 7/ Cho đa thức f(x) = 3x – x + 2x – x + m a/ Xác dịnh m để f(x) chia hết cho x – b/ Với m tìm câu a Xác định đa thức thương và số dư f(x) chia cho x + KQ: a) m = - 46 b)Q(x) = 3x3 – 10x2 + 32x – 97 và r = 245 8) Cho đa thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tính giá trị m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5 c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = thì m có giá trị là bao nhiêu? (Kq: r =2144,406250; b/ m = -141,40625 c/ m = - 46) 9)Cho hai đa thức: P(x) = x + 5x – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n a) Tìm giá trị m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – b)Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm Hãy chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm KQ: a/ m = -46, n = -40 b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – Vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – nên R(x) = P(x) – Q(x) chia hết cho x – Do đó ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – = (x – 2)(x2 + x + 3) 1 3 Mà x + x + = x + 2 x + + = (x + ) + > x ( hay tam thức bậc hai x2 + x + có 1 nên vô nghiệm ) 2 Suy R(x) có nghiệm x = 10/ Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a)Với điều kiện nào m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + b)Với m tìm câu a Hãy tìm số dư r chia đa thức P(x) cho 3x – c)Với m tìm câu a Hãy p.tích đa thức P(x) tích các thừa số bậc d)Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x - e)Với n tìm câu trên, hãy phân tích các thừa số bậc 11/ Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13) Giải ví dụ 7: Xét đa thức P(x) = Q(x) – (2x + 3) Ta tính Q(10) = 3047 Q(11) = 5065 Q(12) = 7947 Q(13) = 11909 12/ Cho đa thức P(x) = x + ax + bx + cx +dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) Giải: Đặt Q(x) = 2x2 + Khi đó Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51 Kq : P(7) = 819; P(8) = 2649; P(9) = 6883; P(10) = 15321; P(11) = 30483 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (14) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang 13/ Cho đa thức P(x) bậc có hệ số bậc cao là và thỏa mãn P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51 Tính giá trị P(-2) + P(6) Ta tính : P(-2) = 951 và P(6) = 23 Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112 14/ Cho ®a thøc Q(x) x 3x , P(x) = x + 4x - 5x + 2x - 40x vµ r(x) lµ phÇn d cña phÐp chia P(x) cho Q(x) T×m r(x) vµ r(23) 3/ Tìm thương phép chia đa thức: Trong trường hợp chia đa thức P n(x) cho nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne sau: Giả sử chia đa thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 cho nhị thức x – m ta đa thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x + b0 thì các hệ số an , an-1 , an-2 , …, a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau đây: bn-1 = an bn-2 = m bn-1 + an-1 b0 = m.b1 + a1 an m bn-1 = an và số dư r = m.b0 + a an-1 bn-2 = m.bn-1 + an-1 an-2 bn-3 = m.bn-2 + an-2 Ví dụ 1: Tìm thương và số dư đa thức f( x) 2x Ta ghi: -3 -2 -4 … a1 b0 = m.b1 + a1 3x2 4x chia cho -6 2x g(x) 4x 5 Vậy đa thức Q -4 -7 35 111 16 683 64 87 256 (x) 3x3 g(x) x -5 Vậy đa thức thương Q (x) 2x 4x 5x và số dư r = Ví dụ 2: Tìm thương và số dư đa thức f(x) 3x 5x 4x 3 a0 r = m.b0 + a0 35 111 683 x x 16 64 và số dư r = chia cho 87 256 Bài tập: 1/ Tìm số dư và đa thức thương các phép chia f(x) cho g(x) sau: a/ f(x) = (x4 + x3 + 2x2 – x + 1) và g(x) =(x – 3) b/ f(x) = (x3 – 9x2 – 35x + 7) và g(x) = (x – 12) c/ f(x) = (2x3 + x2 – 3x + 5) và g(x) = (x + 11) d/ f(x) = (4x5 + 3x3 – 4x + 5) và g(x) = (2x + 11) f/ f(x) = (3x4 + 5x3 – 4x2 +2x – 7) và g(x) = ( -3x + 2) g/ (x) = (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) và g(x) = (3x – 1) 4/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử: Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm là x1, x2 thì nó viết dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)” p q “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ thì p là ước a0, q là ước a0” Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có a1 = thì nghiệm hữu tỷ là ước a0” Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a) Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - thành nhân tử? Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (15) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Dùng chức giải phương trình bậc hai cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm là x1 = 2; x2 = -3 Khi đó ta viết được: x2 + x – = (x – 2)(x + 3) Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x2 - 13 x - 15 thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1 Khi đó ta viết được: x3 + 3x2 - 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1) Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm thực là x1 = Nên ta biết đa thức x3 - 5x2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2) Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3 - 5x2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có: Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x – 2) Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x2 - 3x + 5) Tam thức bậc hai x2 - 3x + vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử Vậy x3 - 5x2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x2 - 3x + 5) Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên đa thức đã cho là Ư(60) Ta có Ư(60) = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm đa thức: Do ta biết x = -3 là nghiệm đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3) Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x - 3) Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20 Nghiệm nguyên là ước 20 Dùng máy ta tìm Ư(20) = { 1; 2; 4; 5; 10; 20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm đa thức g(x): Do ta biết x = -5 là nghiệm đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5) Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x+5) Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x3 - 3x2 + 6x - 4) Tiếp tục dùng chức giải phương trình bậc để tìm nghiệm nguyên h(x) = x3 - 3x2 + 6x - Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1) (x2 - 2x + 4) Ta thấy đa thức (x2 - 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x2 - 2x + 4) Một số dạng bài tập: Bài tập 1: Tìm thương và dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) 7 1 2 x x 8 1) (Kq: P(x) = (2x ) Bài 2: Tìm các giá trị m để đa thức P(x) = 2x + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 Bài 3: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung x0 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (16) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Bài 4: Chia x cho x + 0,5 thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q2(x) dư r2 Tìm r2? ( r2 x 16 ) 2x3 5x Bài 5: Cho P(x) = a) Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – chính xác đến chữ số thập phân Bài 6: Xác định các hệ số a, b, c đa thức: P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là (Kết lấy với hai chữ số hàng thập phân) Dạng 10: TOÁN LIÊN PHÂN SỐ Ví dụ 1: Biểu diễn A dạng phân số thường và số thập phân: Ên = Ên x -1 + = A 3 2 Ên tiÕp x -1 + = 2 Ên tiÕp x -1 + = 2 233 2 M¸y hiÖn ; Ên S <=> D KÕt qu¶ 4,609947644 382 Ví dụ 2: Tính a, b biết (a, b nguyên dương) 329 1051 -1 329 64 Ên = Sau đó ấn a b Máy c 1051 329 Ên - = Ên x -1 = M¸y hiÖn 64 Cứ bấm tiếp tục đến máy th × cho ta kÕt qu¶ a = 7; b = 3 5 a b Bài tập: B 7 3 3 1/ Biểu diễn B phân số 2/ Tính 3/ Biểu 3 43 1037 B 7 142 142 15 17 1 a b a, b biết (a, b nguyên dương) 1 M 1 5 2 1 4 3 1 3 4 diễn M phân số: Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (a = 7; b = 2) 98 Kq : 157 (17) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio 5 1 3 1 4/ Tính C = 12246 5 2107 Kq: 1 1 3 8 a 5/ Tìm các số tự nhiên a ; bsao cho x 4 2 3 6/ Giải phương trình 10 a 7/ Tìm a ,b ,c biết Kq: a) a = 11 ;b = 12; (x= b 3 a) 2 12585 1354 b) 2 x 1 2 1 biết (a = ; b = 7) 4 1 b x 1 101 4,208(3) 24 4 8/ Tìm x Trang 12556 1459 ) ( 20052006 b) a 2007 b c d x a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = 2 4 3 1 1389159 1,106910186 1254988 ) 1 90 a 0,3(4) 1,(62) : 14 : ; b 5 11 0,8(5) 11 1 1 9/ Tính A= 5%(a + b ) (Kq: A = 0,1574540396) 79355 504000 = với 1 Dạng 11: LÃI KÉP, BÀI TOÁN DÂN SỐ Gọi a là số tiền ban đầu, r là lãi suất; n là thời gian; A là số tổng số tiền rút Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r) ………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy A = a(1 + r)n (*) Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính các đại lượng khác sau: Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (18) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r) ………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy A = a(1 + r)n (*) Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính các đại lượng khác sau: Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a(1 + r) Tháng (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r) ………………… Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n – + a(1 + r)n – 1.r = a(1 + r)n Vậy A = a(1 + r)n (*) Từ công thức (*) A = a(1 + a)n ta tính các đại lượng khác sau: A Ar a(1 r) (1 r)n 1 A a a n r n A (1 r) (1 r)n 1 ln(1 r) a r 1) ; 2) ; 3) ; 4) ln (ln công thức là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS và fx-570 MS phím ln ấn trực tiếp) Ví dụ 1: Một số tiền là 000 000đ gởi ngân hàng theo lãi kép với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 15 tháng thì rút vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Giải: Gọi a là số tiền ban đầu, r là lãi suất; n là thời gian; A là số tổng số tiền rút thì: A = a(1 + r)n (1) => Số tiền sau 15 tháng là: 1000000(1 + 0,007)15 = 1110304 đồng Ví dụ 2: Muốn có 1000000đ sau 15 tháng thì phải gởi ngân hàng tháng số tiền bao nhiêu lãi suất 0,6%/tháng? Giải: Cách 1: Ta có công thức: Ar = a(1 + r)[(1 + r)n – 1] (2) Thay số vào cho ta a = 63530 đồng C 2: Dùng phép lặp: A = a(1 + r)15 + a(1 + r)14 + + a(1 + r)2 + a(1 + r) Gán A = (thời gian) B=0 Ghi vào màn hình: A = A + 1:B = B + 1,006^A Ấn = = … = và thấy A = 15 , ấn tiếp = Ghi 1000000 chia cho B và ấn = Kết a = 63530đ Từ ví dụ ta có các bài toán sau: 1/ Muốn có 1000000đ sau 15 tháng thì phải gửi ngân hàng tháng số tiền là 63530đ Tính lãi suất r hàng tháng C1: Tính công thức (2) C2: A = a(1 + r)15 + a(1 + r)14 + + a(1 + r)2 + a(1 + r) Đặt + r = x Ta có phương trình: x15 + x14 + + x = 1000000/63530 Ấn SHIFT SOLVE máy hỏi X?, ấn 1,1 = Máy hỏi X? ấn SHIFT SOLVE máy 1,006 thì r = 0,006 tức là 0,6%/tháng 2/ Muốn có 1000000đ thì phải gửi ngân hàng tháng số tiền là 63530đ với lãi suất 0,6%/tháng bao lâu? C1: Tính công thức (2) Cách 2: A = a(1 + r)n + a(1 + r)n-1 + + a(1 + r)2 + a(1 + r) Gán A = (biến đếm tháng) B = (tổng số tiền) Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (19) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Ghi vào màn hình: A = A + 1:B = B + 63530(1 + 0,006)^A Ấn = = … = và thấy B = 1000000 (hay gần 1000000) thì giá trị A liền trước nó là n Kết n = 15 3/ Mỗi tháng gởi ngân hàng số tiền là 63530đ với lãi suất 0,6%/tháng Hỏi sau 15 tháng thì nhận vốn lẫn lãi là bao nhiêu? (Rút tiền sau lần gởi cuối cùng tháng) Cách 1: Dùng công thức (2) 15 14 C 2: A = a(1 + r) + a(1 + r) + + a(1 + r)2 + a(1 + r) Gán A = (số tháng) B = (tổng số tiền) Ghi vào màn hình: A = A + 1:B = B + 63530x1,006^A Ấn = = … = và thấy A= 15, ấn = và đọc B Kết a = 999 998đ Bài tập: Bài 1: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Tính vốn lẫn lãi sau tháng? Ta có: A = 58000000(1 + 0,7%)8 Kết quả: 61 328 699, 87 Bài 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để 70 021 000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0,7% tháng? 70021000 n 58000000 ln 0,7% ln Số tháng tối thiểu phải gửi là: Kết quả: 27 tháng (Chú ý: Nếu không cho phép làm tròn, thì ứng với kết trên số tháng tối thiểu là 28 tháng) Bài 3: Số tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm tháng thì lãnh 61 329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng? r 8 61329000 1 58000000 Lãi suất hàng tháng: Kết quả: 0,7% Bài 4: Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng Hỏi sau 10 tháng thì lãnh vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Số tiền lãnh gốc lẫn lãi: 580000(1 0,007) (1 0,007)10 1 580000.1, 007 1, 00710 A 0,007 0,007 Kết quả: 6028055,598 Bài 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu tháng Với lãi suất gửi là 0,6%? a Số tiền gửi hàng tháng: quả: 9674911,478 100000000.0,006 100000000.0, 006 10 10 0,006 0,006 1 1,006 1, 006 Dạng 12: DÃY SỐ Ví dụ 1: Cho dãy số: ; ; ; ; 16 25 a/ Viết công thức tổng quát Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung Kết (20) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio b/ Tính số hạng thứ 35 Trang c/ Tính tổng 35 số hạng đầu tiên Giải: a/ Công thức tổng quát: n (n 1)2 với n N;n 37 37 37 1296 (37 1) 36 b/ Số hạng thứ 35 là: c/ Gán A = (biến đếm) B = (số hạng thứ B) C = (tổng B số hạng) A (A 1)2 Ghi vào màn hình: A = A + 1:B = :C = C + B Bấm = Ta có A đếm Bấm = đọc B (số hạng 1) Bấm = đọc tổng C Đến A = 37 ta bấm = số hạng thứ 35; ấn = đọc tổng 35 số hạng đầu tiên là 3,7291 10 ; ; ; ; ; 11 17 Ví dụ 2: Cho dãy số: a/ Viết số hạng thứ 15 b/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên 10 ; ; ; ; ; 11 14 17 a/ Ta viết lại: b/ Gán A = 0; B = 0; C = có dạng tổng quát: 2n 3n với nN* thì u15 = 30 37 2A 3A : Ghi vào màn hình: A = A + 1: B = C=C+B Ấn nhiều lần = dừng lại A = 20 thì C20 = 12,0574 Ví dụ 3: Viết 10 số hạng đầu tiên tính tổng S và tích P 10 số hạng dãy số có số un 3n n3 hạng tổng quát Gán A = (biến đếm) B = (giá trị số hạng) C = (tổng) D = (tích) Ghi A = A + 1: B = 3^A A3: C = B + C: D = DB Ấn = đến máy A = 10; ấn = giá trị B là u 10 = 59049/1000, ấn = giá trị C là tổng S10 = 116,9492; ấn = là giá trị D là tích P = 3650731.65 Ví dụ 4: Cho dãy số 3; 10/3; 11/3; 4; , tính a/ Số hạng thứ 12 b/ Tổng 12 số hạng và tích 12 số hạng đầu tiên Gán A = (biến đếm) B = 8/3 (giá trị số hạng trước u1) C = (tổng) D = (tích) Ghi A = A + 1: B = B + 1/3: C = C + B: D = DxB Kết quả: u12 = 20/3 S12 = 58 P12 = 113540038,4 Dãy Fibocani Ví dụ 5: Tìm số hạng thứ 29 và tổng 29 số hạng đầu tiên dãy số Fibonaci n n 1 un Ta có công thưc tổng quát dãy: Gán A = (biến đếm) B = (số hạng trước u1 A A 1 C = (tổng) Ghi vào màn hình A = A + 1:B = :C=C+B Ấn = đến A 29 thì B; C là kết cần tìm: u29 = 514229; S29 = 1346268 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (21) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Cách 2: Trong công thức tổng quát số hạng u n phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n phép tính Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: ab / c 5( ( (1 ) ) ) ^ Ans ( ( ) ) ) ^ Ans ) Muốn tính n = 10 ta ấn 10 , dùng phím lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn Ví dụ 6: Cho dãy số u1 = 3; u2 = 5; ; un+1 = 3un – 2un-1 – với n a/ Tính u9; u33 b/ Tình tổng 33 số hạng đầu tiên và tích số hạng đầu tiên Gán A = (số hạng) B = (số hạng) C = (tổng số hạng đầu) D = (biến đếm) E = 15 (tích số hạng đầu) Ghi: D = D + 1:A = 3B – 2A – 2:C = C + A:E = ExA:D = D+ 1:B = 3A – 2B – 2:C = C + B:E = ExB Ấn = thấy D = thì đọc u9 = 19; S9 = 99; P9 = 654729075 Ấn tiếp = D = 33 thì đọc u33 = 67 và S33 = 1155 Dãy Lucas Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n a, b là hai số tùy ý nào đó) Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát dãy Fibonacci, với a = b = thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Gán u2 = b vào biến nhớ A ; lấy u2 + u1 = u3 (u3 = b + a) gán vào B Lặp lại các phím: lấy u3 + u2 = u4 gán vào A lấy u4 + u3 = u5 gán vào B Bây muốn tính un ta lần và , liên tục n – lần Ví dụ 7: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2) a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1? b Sử dụng qui trình trên tính u13, u17? a Lập qui trình bấm phím Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: 13 SHIFT STO A SHIFT STO B Lặp lại các phím: ALPHA A SHIFT STO A ALPHA B SHIFT STO B b Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17 Ấn các phím: (u13 = 2584) (u = 17711) 17 Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711 Bài tập: 1/ Cho (Kq: An = u60 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) 60 = ;A60 = 3660 61 a/ Tính số hạng thứ 60 ; Thực ví dụ và 2) Dạng 13: CỰC TRỊ Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung b/ Tính A60 (22) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio æ ö -b b ÷ ç ÷ ;c ç ÷ ç ç 4a÷ è2a ø hay Ta có đỉnh đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c Nếu a > thì hàm số đạt giá trị nhỏ cc- b2 4a b 4a æ -b Dö ç ; ÷ ÷ ç ÷ ç è2a 4aø -b 2a <=> x = Trang -b 2a Nếu a < thì hàm số đạt giá trị lớn <=> x = Ta gán các giá trị a; b; c; sau đó lập các công thức trên tìm GTLN hay GTNN hàm số Bài tập: 1/ Tìm GTNN y = x = 1,626913041) ( - 1)x2 + 5- x2 +1 (GTNN: -4,147969215; æ3,1 - ÷ ö ÷ ç - 1,32x2 + ç x - 7,8 + ÷ ç ç ÷ è 6, - 7,2 ÷ ø 2/ Cho P = a/ Tính P x = + b/ Tìm GTLN P (Ghi chính xác kết đến chữ số thập phân) (Kq: a/ P = -101,0981 b/ -3,54101 0,11129) BÀI TẬP 1/ Tính các tích sau: B=26031931×26032010; C=2632655555×2632699999 (Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THCS) Giải máy tính Casio fx500VN PLUS Tính B = 26031931×26032010 Tính trên máy ta được: 26031931×26032010 = 14 6,776634881×10 Suy B có 15 chữ số và chữ số đầu tiên B là 677663488 Ta tìm chữ số tận cùng B sau: B ≡ 31931×32010 ≡ 1022111310 ≡ 111310 (mod 106) => chữ số tận cùng B là 111310 Vậy B = 677663488111310 Tính C = 2632655555×2632699999 Đặt x = 26326; y = 55555; z = 99999 ta có: C = (x.105 + y)(x.105 + z) = x2.1010 + x(y + z).105 + yz Thực gán x2 vào A, (xy + xz) vào B, yz vào C Ta có: C ≡ yz (mod 105) C ≡ (xy+xz).105 + yz (mod 1010) Tính: 55555×99999 = 555444445 => C ≡ 44445 (mod 104) Tính: 26326(55555 + 99999)×10 + Ans = 4,095170158×1014 => C ≡ 7015844445 (mod 1010) Tính: 263262 × 1010 + Ans = 6,930992277×1018 => C = 6930992277015844445 2/ Một người lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/tháng (bảy trăm nghìn đồng) Cứ ba năm lại tăng thêm 7% Hỏi sau 36 năm làm việc lĩnh tất bao nhiêu tiền (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2005, THCS, đề dự bị) Giải máy tính Casio fx500VN PLUS Gọi số tiền lương khởi điểm là a0 đồng Số tiền lĩnh ba năm đầu là: A0 = 36a0 (3 năm tương đương 36 tháng) Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (23) Tài liệu bồi dưỡng giải toán máy tính Casio Trang Gọi số tiền lĩnh ba năm kể từ lần tăng lương thứ n là: An Ta có: A1 = A0(1 + 0,07) A2 = A1(1 + 0,07) = A0(1 + 0,07)2 An = A0(1 n + 0,07) Trong 36 năm tăng lương 36:3 – = 11 lần Vậy tổng số tiền nhận sau 36 năm là: S = A0 + A1 + + A11 = A0(1 + (1 + 0,07) + (1 + 0,07)2 + + (1 + 0,07)11) = A0((1 + 0,07)12 – 10,07) = 36a0((1 + 0,07)12 – 10,07) Gán 700 000 vào biến Ans: ấn 700000 Ghi vào màn hình: 36 Ans× (1+0.07)12 – 10.07 Ấn kết quả: 450788972 Vậy tổng số tiền lĩnh là 450.788.972 đồng 3/ 1) Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636 viết dạng phân số tối giản Thế thì tổng tử và mẫu (chọn năm đáp số) là: (A) 15; (B) 45; (C) 114; (D) 135; (E) 150 2) Mệnh đề sau đây có đúng không: (0,33333 )(0,66666 ) = (0,22222 ) 3) Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với các chữ số và lặp lại (tức là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81) Khi F viết lại dạng phân số tối giản, thì mẫu lớn tử là bao nhiêu? (Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2001, lớp 6-7, đề dự bị) Giải máy tính Casio fx-500VN PLUS 1) Viết 0,363636 dạng phân số tối giản Ghi vào màn hình: 0.(36) Ấn Kết quả: 4/11 Tổng tử và mẫu số là: + 11 = 15 Chọn (A) 2) Ghi vào màn hình: 0.(3) × 0.(6) Ấn Kết quả: 2/9 Ấn Kết quả: 0,(2) Ấn Kết quả: 0,2222222222 Vậy mệnh đề (0,33333 )(0,66666 ) = (0,22222 ) là đúng 3) Viết 0,4818181 dạng phân số tối giản Ghi vào màn hình: 0.4(81) Ấn Kết quả: 55/110 Mẫu số lớn tử số là: 110 – 55 = 55 Giáo viên: Dương Văn Chinh - Trường THCS Nga Trung (24)