Tập 1 bài tập sức bền vật liệu: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 của cuốn sách Bài tập sức bền vật liệu tập 1 gồm có những nội dung chính sau: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang, thanh tròn chịu xoắn thuần tuý, uốn phẳng thanh thẳng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƯƠNG 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Các định nghĩa y Giả sử mặt phẳng tọa độ Oxy có mặt cắt ngang với diện tích F, A (x,y) điểm mặt cắt F, xung quanh A ta lấy phân tố diện tích dF (Hình 4.1) y A dF  F O x x 1.1 Mô men tĩnh mặt cắt trục Hình 4.1 Mơmen tĩnh diện tích F trục x hay trục y biểu thức tích phân sau đây: Sx   ydF F Sy   xdF F Nếu mô men tĩnh mặt cắt F trục khơng trục gọi trục trung tâm mặt cắt Giao điểm trục trung tâm gọi trọng tâm mặt cắt C(x C, yC) Tọa độ trọng tâm: S Sx xC  y F F Nếu diện tích F bao gồm tổng đại số nhiều diện tích đơn giản F = Fi tọa độ trọng tâm xác định theo cơng thức yC  n yC   Fi xi i 1 F n xC   Fy i 1 i i F 1.2 Mơ men qn tính mặt cắt ngang Ta gọi mơmen qn tính diện tích F trục x hay y biểu thức tích phân sau đây: 104 J x   y dF J y   x dF F F Mơ men qn tính độc cực diện tích F gốc tọa độ O xác định tích phân sau đây: J p    dF  J x  J y F Ở đây:  - Là khoảng cách từ gốc O tới điểm A(x,y) Mơ men qn tính ly tâm diện tích F hệ trục tọa độ vng góc Oxy biểu thức tích phân: J xy   xydF F Một hệ trục có Jxy = gọi hệ trục quán tính Như Jx Jy gọi mơ men qn tính Hệ trục qn tính Oxy có gốc tọa độ O trùng với trọng tâm mặt cắt (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) gọi hệ trục quán tính trung tâm Tương ứng ta có mơ men qn tính trung tâm Nếu mặt cắt mà có trục trục đối xứng trục đối xứng trục hệ trục quán tính trung tâm Trục quán tính trung tâm cịn lại vng góc với trục đối xứng qua trọng tâm C mặt cắt Cơng thức tính mơ men qn tính số mặt cắt ngang a) Hình chữ nhật b) Hình bình hành y O x x Jx  bh ; 12 Jy  hb 12 bh3 Jx  105 c) Hình tam giác d) Hình trịn y y x O bh3 ; Jx  12 x O xC C bh3 J xC  36 e) Hình trịn rỗng  D4 ; Jx  Jy  64 Jp   D4 32 f) Hình bán nguyệt y y O C x xC x O 64  ; 1   128  9   D4 Jx  Jy  128 J xC   D4 1    ; 64  D4 Jp     32 Jx  Jy   D4  Công thức chuyển trục song song mô men quán tính A(x,y) hệ trục Oxy A(X,Y), O(a,b) hệ trục O1XY song song với hệ trục Oxy (Hình 4.2) ta có: 106 J X  J x  2bSx  b2 F JY  J y  2aSy  a2 F y Y J XY  J xy  aSx  bSy  abF Nếu Oxy hệ trục quán tính trung tâm (Sx = Sy = 0) JX  Jx  b F A y Y dF JY  J y  a F F O b x x O1 J XY  J xy  abF X a Nếu Oxy hệ trục quán tính trung tâm (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) JX  Jx  b F X Hình 4.2 JY  J y  a F J XY  abF Công thức xoay trục mơ men v qn tính Ouv vị trí sau hệ trục Oxy xoay góc  (Hình 4.3) Ju  Jx  Jy  Jx  Jy y A y dF F u cos2  J xy sin 2 O  x x Hình 4.3 Ju  Jx  Jy  Jx  Jy cos2  J xy sin 2 Jx  Jy sin 2  J xy cos2 Giá trị mơ men qn tính phương trục chính: Juv  Jmax  Jx  Jy  J  J y   J xy2 x 107 Jmin  Jx  Jy  t g1/2  J  J y   J xy2 x J xy J x  Jmax II CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU Bài 4.1 Tìm tọa độ trọng tâm mặt cắt hình vẽ: Chọn hệ trục tọa độ gốc ban đầu Oxy Chia mặt cắt hình thang làm hình hình I (Hình chữ nhật) II (Hình tam giác) Gọi tọa độ trọng tâm mặt cắt C(xC, yC) Hình 4.1 Tọa độ trọng tâm C hình tính theo cơng thức sau: xC  Sy F  SyI  SyII F I  F II  F I xCI  F II xCII F I  F II 4a   4a.6a.2a  a.6 a  a    28  xC   a  3,111a y 4a.6a  4a.6a Sx SxI  SxII F I yCI  F II yCII yC   I  F F  F II F I  F II 4a.6a.3a  4a.6a.2a yC   a  2,666a 4a.6a  4a.6a Vậy tọa độ trọng tâm C(3,111a, 2,666a) 108 I II z O Bài 4.2 Tìm tọa độ trọng tâm mặt cắt hình vẽ: Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy Chia mặt cắt làm hình hình I (Hình chữ nhật to) II (Hình chữ nhật bị khoét) Gọi tọa độ tâm mặt cắt C(xC, yC) Tọa độ trọng tâm C hình tính theo cơng thức sau: xC  Sy F  SyI  SyII F I  F II  Hình 4.2 F I xCI  F II xCII F I  F II y 3a   a.6 a.2 a  3a.4a  a     xC   1,5a a.6 a  3a.4a yC  I Sx SxI  SxII F I yCI  F II yCII   F F I  F II F I  F II 4a.6a.3a  3a.4a.2a  4a 4a.6a  3a.4a Vậy tọa độ trọng tâm C(1,5a, 4a) yC  II x O Bài 4.3 Xác định vị trí trọng tâm tính mơ men qn tính trục trung tâm song song với cạnh đáy hình thang cân Hình 4.3a X x Hình 4.3 Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy hình vẽ 109 Chia mặt cắt làm hình hình I (Hình chữ nhật giữa), II (Hình tam giác bên trái) III (Hình tam giác bên phải) Gọi tọa độ tâm mặt cắt C(xC, yC) Do Oy trục đối xứng nên  xC = y Tung độ trọng tâm C hình tính theo cơng thức sau: I III II C1 X C C2 S S I  SxII  SxIII x yC  x  Ix O F F  F II  F III F I yCI  F II yCII  F III yCIII yC  F I  F II  F III 1b b 1b b b.b b  b  b 2 2  b Vậy tọa độ trọng tâm C(0, b ) yC  1b 1b b.b  b  b 22 22 Tính mơ men qn tính trung tâm JX: J X  J XI  J XII  J XIII  J XI  J XII Sử dụng cơng thức chuyển trục song song để tính mơ men qn tính J XI J XII b.b3  b 4b  J X  J x1  b1 F      b.b  b 12   81 b b 11  4b b  b II II II J X  J x  b2 F     b  b 36   2 648 I I I J X  J XI  J XII  11 13 b  b  b 81 648 108 Bài 4.4 Xác định hệ trục quán tính trung tâm tính mơ men qn tính trung tâm mặt cắt 110 Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy hình vẽ Chia mặt cắt làm hình hình I (Hình chữ nhật dưới), II (Hình chữ nhật trên) Gọi tọa độ tâm mặt cắt C(xC, yC) Do Oy trục đối xứng nên  xC = Hình 4.4 Oy trục quán tính trung tâm Tung độ trọng tâm C hình tính theo cơng thức sau: yC  Sx SxI  SxII F I yCI  F II yCII   F F I  F II F I  F II  b.8b.(b  4b)  2b 6b.2b  b.8b Như ta tìm tọa độ trọng tâm mặt cắt C(0,2b) yC   Từ xác định hệ trục qn tính trung tâm XCY Tính mơ men qn tính trung tâm: JX, JY JY  JYI  JYII  2b.(6b)3 8b.b3 110   b 12 12 J X  J XI  J XII Áp dụng công thức chuyển trục song song: 6b.(2 b)3 J X  J x  b1 F   (2b)2 6b.2b  52b 12 I I I 111 b.(8b)3 344 J X  J x  b2 F   (3b)2 b.8b  b 12 II II II 344 500 b  b 3 Bài 4.5 Tìm hệ trục qn tính trung tâm tính mơ men qn tính trung tâm mặt cắt J X  J XI  J XII  52b  Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy hình vẽ Chia mặt cắt làm hình hình I (Hình chữ nhật trên), II (Hình chữ nhật bên trái) III (Hình chữ nhật bên phải) Gọi tọa độ tâm mặt cắt C(xC, yC) Do Oy trục đối xứng nên  xC =0 Oy trục qn tính trung tâm Hình 4.5 Tung độ trọng tâm C hình tính theo cơng thức sau: Sx F Mô men tĩnh mặt cắt trục x yC  y2 y=Y x Sx  SxI  SxII  SxIII  F I yCI  F II yCII  F III yCIII I O Sx   a.10a.(6a)  a.10a.(6a)  120a3 C X x2 Diện tích mặt cắt ngang: C2 II F  F I  F II  F III  6a.2a  a.10a  a.10a 112 III F  32a2 120a3  3,75a 32a2 Ta tìm tọa độ trọng tâm mặt cắt C(0,-3,75a) yC   Xác định hệ trục quán tính trung tâm XCY Tính mơ men qn tính trung tâm JX, JY JY  JYI  JYII  JYIII  JYI  JYII JYI  2a.(6a)3  36a 12 10a.a3   70 JY  J y  a2 F    a  a.10a  a 12 2  II II II JY  JYI  JYII  36a  70 248 a  a 3 J X  J XI  J XII  J XIII  J XI  J XII Áp dụng công thức chuyển trục song song để tính J XI J XII 6a.(2a)3 J X  J x  b1 F    3,75a  6a.2a  172,75a 12 I I I J XII  J xII2  b22 F II  a.(10b)3 3215  (2,25a)2 a.10a  a 12 24 J X  J XI  J XII  172,75a  JX  3215 a 24 1322 a  440,666a Bài 4.6 Cho mặt cắt gồm thép chữ I No24, xác đinh khoảng cách c mặt cắt để có Jx = Jy (Mặt cắt hợp lý) Do mặt cắt có trục Ox Oy trục đối xứng mặt cắt y yo x I O II Hình 4.6  Hệ trục Oxy hệ trục quán tính trung tâm mặt cắt 113 ... J XII J XI  J xI1  b 12 F I  12 .18 3  1, 27 22 . 12 .18  618 1,484 12 6 .14 3 J X  J x  b2 F   3 ,27 22. 6 .14  22 71, 3 02 12 I II J X  J X  J X  3 910 ,18 2 cm II 12 2 II II b) Tung độ trọng tâm C... XII 6a.(2a)3 J X  J x  b1 F    3,75a  6a.2a  17 2, 75a 12 I I I J XII  J xII2  b 22 F II  a. (10 b)3 3 21 5  (2, 25a )2 a .10 a  a 12 24 J X  J XI  J XII  17 2, 75a  JX  3 21 5 a 24 13 22 a ... y=y1 y2 o Đối với mặt cắt [N 22 a II 10 0x100x10 F  28 ,6 cm , xO1  2, 47 I cm O2 J xI1  23 20 cm , J yI1  18 6 x2 X C cm4 Đối với mặt cắt 10 0x100x10 x=x1 O=O1 F II  19 ,2 cm2, yO  2, 83 cm No24a