Phòng giáo dục Phúc Thọ Trường THCS Hiệp Thuận.. đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F.[r]
(1)Phòng giáo dục Phúc Thọ Trường THCS Hiệp Thuận đề thi học sinh giỏi Líp: (N¨m häc 2006 -2007) M«n: To¸n Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề ) C©u 1: (2 ®iÓm) cho biÓu thøc B = y - 5x √ y + 6x2 18 a) Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña B cho x = - ; y = 4+ √7 b) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn đồng thời điều kiện sau: x - √ y +1 = vµ B = C©u 2:(2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh (6x + 5y)2(3x + 2) (x + 1) = 35 C©u3:(2®iÓm) Chøng minh r»ng √ a b+ c + √ b a+ c + √ c a+ b > ( Víi a,b,c > 0) Câu 4: Trên đờng kính AB đờng tròn tâm 0, lấy hai điểm T và S đối sứng qua 0, lấy điểm M trên đờng tròn cho MA < MB , các đờng thẳng MT,MO,MS cắt đờng tròn lần lợt C,E,D đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB F Qua D kẻ đờng thẳng // với AB nó cắt ME và MC L,N a) Chøng minh LN = LD b) H¹ OH CD chøng minh HNDE lµ tø gi¸c néi tiÕp c) Chứng minh EF là tiếp tuyến đờng tròn tâm O C©u 5: (1®) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y + 2033 đáp án C©u 1: (2®) (§K: y 0) a) B = y - 5x √ y + 6x2 = √ y ( √ y - 2x) - 3x √ y − x = ( √ y - 2x) ( √ y - 3x ) (0.5) Ta cã : y = 18 = 4+ √ 18(4 − √ 7) = 16 −7 = - √ = ( √ -1)2 18(4 − √ 7) (2) √ y = √7 - ⇒ VËy B = [( √ - 1) + ] [ √ -1 + ] = 22+4 √7 3 (0.5) b) Theo bµi ta cã x− {√ √ y +1=0 y −2 x=0 (1) HoÆc x− {√ √ y +1=0 y −3 x=0 (2) (0.5) Gi¶i hÖ (1) cã Gi¶i hÖ (1) cã { x=1 y=4 { x=1/2 y=9 /4 (t/m) (t/m) Vậy cặp số thoả mãn đề bài là: x =1; y = và x = ; y = (0.5) C©u 2: (2®) Gi¶i PT (6x + 5)2 (3x + 2y) (x + 1) = 35 (1) ⇔ (36x2 + 60x + 25) (3x + 2) (x + 1) = 35 [12(3x2 + 5x + 2) + 1] (3x2 + 5x + 2) = 35 (2) §Æt: 3x2 + 5x + = t (3) (2) ⇔ víi (12t + 1) t = 35 ⇔ 12t2 + t - 35 = PT nµy cã t1 = (0.5) ; t2 = - (0.5) Thế t = 35 vào (3) ta đợc: 9x2 + 15x + = PT nµy cã nghiÖm: x1 = − 15+ √ 189 = − 5+ √ 21 ; 18 x2 = − 15− √ 189 = − 5− √ 21 18 (0.5) ThÕ t = - vµo PT (3) cã 12x2 + 20x +15 = ( PT nµy v« nghÞªm v× Δ = 102 - 12 15 = - 80 <0) Vậy PT đã cho có nghiệm là x = − 5+ √ 21 ; x = − − √ 21 C©u3:(2®) √ b+ c ×1 a a,b,c > nên theo bất đẳng thức côsi ta có b+c a+b+ c +1= a a (0.5) (3) ⇔ √ 2a b+c +a a b+ c (1) (0.25®) DÊu "=" xÈy ⇔ T¬ng tù cã: √ √ b+c =1 a 2b b+c +a b a+ c 2c b+c +a c a+ b hay a = b+ c (2) (3) (0.25®) Cộng vế (1), (2),(3) ta đợc √ a + b+ c √ b + a+ c √ c b+ a ( a + b + c>0 ) (0.25®) dÊu "=" xÈy ⇔ b+c=a a+b=c a+c=b { ⇔ a + b + c = ( v« lý, v× a + b + c > 0) đó không xẩy dấu"=" VËy √ a + b+ c √ b + a+ c √ c > ( §PCM) b+ a (0.25®) C©u4: (3®iÓm) Chøng minh LN = LD Ta cã: ND // TS ⇒ NL // TO vµ LD//OS theo định lý talét ta có TO =OS NL (0.5) LD ( v× cïng = MO ) ML (4) mµ TO = OS ⇒ NL = LD (§PCM) (0.5) b) ta cã OH CD (gt) ⇒ HC = HD (1) LN = LD (2) Từ (1) và (2) ⇒ LH là đờng trung bình Δ CDN ⇒ LH // CN hay LH // MC (0.5) CME = HLE (đồngvị) ⇒ Mµ CME = CDE ( Cïng ch¾n cung CD) ⇒ HLE = HDE ⇒ tø gi¸c HLDE n«i tiÕp (0.5) c) HLDE n«i tiÕp ⇒ HEL = HDL (cïng ch¾n cung LH ) (0.5) mà HDL = HFT ( đồng vị) ,dođó OEF = OHF = 900 (0.5) ⇒ EF là tiếp tuyến đờng tròn (O) C©u5: (1®) P = 2x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 12y +2033 = x2 - 6xy + 9y2 -12y + 4x +4 + x2 - 10x +25 +2004 = ( x -3y + 2)2 + ( x -5)2 + 2004 2004 (0.5®) ( v× ( x -3y + 2)2 ∀ x,y ; vµ ( x -5)2 ∀ x dÊu "=" xÈy ⇔ VËy P = 2004 t¹i x −3 y +2=0 x − 5=0 { { x=5 y= ⇔ { x=5 y= (5)