Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị của biểu thức đại số gồm các bước sau - Thực hiện thu gọn các biểu thức đã cho phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng hằng đẳn[r]
(1)CHỦ ĐỀ NHÂN CHIA ĐA THỨC Kiến thức Với A, B, C, … là các đơn thức tùy ý Ta có: A(B C ) AB AC (A B )(C D) AC AD BC BD (A B C ) : D A : D B : D C : D Với A, B là các đa thức biến thì luôn tồn hai đa thức Q và R cho A B.Q R ( bậc R nhỏ bậc B ) Nếu R thì A chia hết cho B Nếu R thì A không chia hết cho B Nâng cao a Định lý Bê – zu Số dư phép chia đa thức f (x) cho đa thức x a đúng f (a) b Hệ định lý Bê – zu Nếu a là nghiệm đa thức f (x) thì f (x) chia hết cho x a * Đặc biệt: Nếu tổng các hệ số đa thức f (x) thì là nghiệm f (x) và f (x) chia hết cho x Nếu f (x) có tổng các hệ số bậc chẳn tổng các hệ số bậc lẻ thì là nghiệm f (x) và f (x) chia hết cho x Các ví dụ minh họa VD Thực phép tính (b) x2y(2xy y2 1) 2 (a) 2xy(x y y 1) , , 2 (c) (x y)(x xy y ) , 2 (e) (12x y 6x y 3x y) : 3xy , (d) (x2 xy 3)(x 2y), (f) (2x x 3x 4) : (x 1) Lời giải (a) 2xy(x2y y 1) 2xy.x2y 2xyy 2xy.1 2x3y2 2xy2 2xy 1 1 (b) x2y(2xy y2 1) x2y.2xy x2y.y2 x2y.1 2 2 1 x3y2 x2y3 x2y 2 (2) (c)(x y)(x2 xy y2) x.x2 x.xy x.y2 y.x2 y.xy yy x3 x2y xy2 x2y xy2 y3 x3 y3 1 (d) (x2 xy 3)(x 2y) x2.x x2.2y xy.x xy.2y 3.x 3.2y 2 x3 2x2y x2y xy2 3x 6y 3 x x y xy2 3x 6y (e) (12x4y3 6x2y2 3x2y) : 3xy 12x4y3 : 3xy 6x2y2 : 3xy 3x2y : 3xy 4x3y2 2xy x (f) (2x x 3x 4) : (x 1) - 2x3 x2 3x 2x3 2x2 - x 2x2 x x2 3x x2 x 2x - 2x 2 Vậy: (2x x 3x 4) : (x 1) 2x x Bài tập tự luyện Bài Thực phép tính (a) 3x( 2x3 3x ), (b) x2(3x2 x ), 3 (c) (5xy x2 2y) x2y, (d) (2x3 - xy x)(- xy) Bài Thực phép tính (a) (2x 1)(2x 1), (b)(5x 2y)(x2 xy 1), (c) ( x 1)(2x 3) (d) (x 1)(x 1)(x 2), (3) (e) (x3 2x2 x 2) : (x2 1) ( f )(y3 8) : (y 2) Bài Tính giá trị các biểu thức sau (a) x(x 2) (x 2)(x 2) x , (b) x(x y) y(x y) x 1,5 và y 10 Hướng dẫn: Rút gọn các biểu thức thay các giá trị x, y vào Bài Tìm x , biết: (a) x(x 2) x2 , (b) 2x(x 5) x(3 2x) 26, (c)(x 3)(2x 1) (x 3)(x 2) Hướng dẫn: Nhân các đa thức với rút gọn các số hạng đồng dạng Bài Xác định a để đa thức x 2x 3x a chia hết cho đa thức x Hướng dẫn: Thực chia đa thức x 2x 3x a cho x dư là R , cho R suy giá trị a cần tìm sử dụng định lý Bê – zu, tính f (1) và cho f (1) suy giá trị a (4) CHỦ ĐỀ HẰNG ĐẲNG THỨC, PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I HẰNG ĐẲNG THỨC (5 tiết) A Kiến thức 2) A B 1) A B 2 A2 2AB B A 2AB B 3) A – B A B A – B A 3A B 3AB B 5) A B A 3A B 3AB B 6) A B A B A AB B 7) A B A B A AB B 4) A B 3 3 3 2 2 2 2 2 * Lưu ý: (A B ) (B A) B Các ví dụ minh họa VD1: Tính (a) (2x 1)2, (b) (x 3y)2, (c) x2 16, (d) (x 3)3, (e)(5 2y)3, Lời giải (a) (2x 1)2 (2x)2 2.2x.1 12 ( f ) x3 4x2 4x (b) (x 3y)2 x2 2.x.3y (3y)2 x2 6xy 9y2 (c) x2 16 x2 42 (x 4)(x 4) (d) (x 3)3 x3 3.x2.3 3.x.32 33 x3 9x2 27x 27 (e) (5 2y)3 53 3.5.2 y 3.5.(2y)2 (2y)3 125 150y 60y2 8y3 (f ) x3 x3 23 (x 2)(x2 xy 22) (x 2)(x2 xy 4) VD2 Đưa các biểu thức sau dạng các đẳng thức (a) x2 2x 1, (b) 16 8y y2, (d) 8x 12x 6x 1, Lời giải (c) (2x 3)(2x 3), (e) (2x 3y)(4x 6xy 9y ) (5) (a) x2 2x x2 2.x.1 12 (x 1)2 (b) 16 8y y2 42 2.4.y y2 (4 y)2 (c) (2x 3)(2x 3) (2x)2 33 4x2 (d) 8x3 12x2 6x (2x)3 3.(2x)2.1 3.2x.12 13 (2x 1)3 (e) (2x 3y)(4x2 6xy 9y2) (2x 3y) (2x)2 2x.3y (3y)2 (2x)3 (3y)3 8x3 27y3 VD3 Tính giá trị các biểu thức sau (a) x2 10x 25 x 15, (b) 3x 3x2 x3 x 9, (c) 8x3 12x2y 6xy2 y3 x 6, y Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị biểu thức đại số gồm các bước sau - Thực thu gọn các biểu thức đã cho (phân tích thành nhân tử đưa dạng đẳng thức) - Thay biến giá trị đã cho, lưu ý với các giá trị biến đã cho là số âm, ta cần đặt dấu ngoặc - Thực các phép tính (lũy thừa, nhân, chia, cộng và trừ) Lời giải 2 2 (a) Ta có x 10x 25 x 2.x.5 (x 5) Thay x 15 vào (x 5) 2 Ta được: (15 5) 10 100 Vậy giá trị các biểu thức x 10x 25 x 15 là 100 3 2 3 (b) Ta có 3x 3x x 1 3.1.x 3.1.x x (1 x) Thay x vào (1 x) 3 Ta được: (1 9) 10 1000 Vậy giá trị các biểu thức 3x 3x x x là 1000 (c) Ta có 8x3 12x2y 6xy2 y3 (2x)3 3.(2x)2.y 3.2x.y2 y3 (2x y)3 Thay x 6, y vào (2x 3y) 3 Ta được: (2.6 2) 10 1000 (6) 2 Vậy giá trị các biểu thức 8x 12x y 6xy y x 6, y là 1000 C Bài tập tự luyện Bài Tính nhanh (a) 132 26.3 32, (b) 252 52 50.5, (c) 75.65, (c) 96.104 Bài Tính 1 (a) (x 3y)2, (b) (x )2, (c) (3x y)2, 2 (d) 27x3 1, (e) 125y3 8, ( f ) (3x y)3 Bài Đưa các biểu thức sau dạng các đẳng thức (a) x2 4x 4, (b) x2 10x 25, (c) (x 5y)(x 5y), (d) y3 3y2 3y 1, (e) (x 1)(x2 x 1), Bài Tìm x , biết: (a) x2 0, ( f ) (3 2y)(9 6y 4y2) (b) x2 2x, (c) 2x2 x x2 3x II PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (4 tiết) A Kiến thức * Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích đa thức ta có thể viết công thức sau: f (x) f1(x).f2(x) fn (x) * Cách giải : Để giải các bài toán dạng này ta dùng các phương pháp sau: Đặt nhân tử chung, Dùng đẳng thức, Nhóm hạng tử, Phối hợp nhiều phương pháp Ngoài bốn phương pháp trên ta có thể sử dụng các phương pháp sau Tách hạng tử, Thêm bớt cùng hạng tử, Biến đổi, Phương pháp đồng hệ số( hay còn gọi là phương pháp hệ số bất định) B Các ví dụ minh họa VD Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (7) (a) 6xy 3y, (b) x y x2y2 2xy, 2 x(x y) xy(x y), (d) 3x(x 1) 9(1 x), (e) x2 64, ( f ) 64x3 Lời giải (a) 6xy 3y 3y.2x 3y.1 3y(2x 1) (c) x y x2y2 2xy xy x xy.xy xy.2 2 xy( x xy 2) 2 (c) x(x y) xy(x y) x(x y) x(x y).y 3 x(x y)( y) (d) 3x(x 1) 9(1 x) 3x(x 1) 9(x 1) 3(x 1)(x 9) (b) (e) x2 64 x2 82 (x 8)(x 8) ( f ) 64x3 (4x)3 13 (4x 1) (4x)2 4x.1 12 (4x 1)(16x2 4x 1) C Bài tập tự luyện Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (a) 5xy 10y, (b) x2y 3x2 6xy, 7 (c) x(x 1) xy(x 1), (d) 6x(x y) 3y(y x), 3 (e) x2 4x 4, ( f ) x2 16, (g) 27x3 , (h) x3 12x2y 48xy2 64y3, 27 (i ) x2 2x y2, (k) x2 xy x y, (l ) 5x2 5xy 7x 7y, (m) x2 2xy y2 z2, (n) x3 4x2y 4xy2 xz2, (u) y4 4y2 Bài 11 Tính giá trị các biểu thức sau (a) x(x 10) y(10 x) x 2010 và y 2009, (b) x2 y2 2xy x 10 và y 1, (8) 1 x 16 x 0,25, (d) y2 z2 2z y 2003 và z Bài 12 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (a) x2 2x 3, (b) x2 7x 6, (c) x2 (c) x2 x 6, (d) y4 Hướng dẫn: Ở câu (a), (b) và (c) dùng phương pháp tách và nhóm hạng tử, riêng câu (d) dùng phương pháp thêm bớt hạng tử (4y ) vào đa thức Bài 13 Tìm x , biết (a) x 5x2 0, (b) x (x 1)2 (c) x3 x 0, (d) 5x(x 1) x 1, (e) x3 4x 0, ( f ) x2 10x 25 Bài 14 Tính giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) các đa thức sau (a) A x2 6x 11, (b) B 2x2 10x 1, (c) C 5x x2 Hương dẫn: Ở bài toán dạng này ta biến đổi các biểu thức dạng f (x) (x a)2 b f (x) (x a)2 b, ta có hai trường hợp: TH1: Nếu ta biến đổi biểu thức dạng f (x) (x a) b f (x) b nên: GTNN f (x) b hay ( max f (x) b ) x b TH2: Nếu ta biến đổi biểu thức dạng f (x) (x a) b f (x) b nên: GTLN f (x) b hay ( f (x) b ) x b (9) CHỦ ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức Định nghĩa A Phân thức đại số là biểu thức có dạng B , với A, B là đa thức và B khác đa thức * Đặc biệt: Mỗi đa thức coi là phân thức với mẫu thức là A C Hai phân thức nhau: B D A.D B C Tính chất phân thức A A.M (a) B B.M (M là đa thức khác 0) A A :N B B : N ( N là nhân tử chung A và B) A A * Đặc biệt : B B (quy tắc đổi dấu) Rút gọn phân thức - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung, - Chia tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có) Quy đồng mẫu nhiều phân thức - Phân tích các mẫu thành nhân tử tìm mẫu thức chung, - Tìm nhân tử phụ phân thức, - Nhân tử và mẫu phân thức cho nhân tử phụ tương ứng B Bổ sung a A Phân số b là trường hợp đặc biệt phân thức B A, B là đa thức bậc Vì tính chất phân số là trường hợp đặc biệt tính chất phân thức đại số C Các ví dụ minh họa VD1: Dùng định nghĩa hai phân thức chứng tỏ rằng: 2y 6xy2 5x(y 3) 5x (a) , (b) 9xy 7(y 3) Lời giải 2y 6xy2 (a) 9xy (b) 2y.9xy 18xy2 2y 6xy2 3.6xy2 18xy2 9xy Ta có : (10) (b) 5x(y 3) 5x 7(y 3) 5x(y 3).7 35xy 105x 5x(y 3) 5x 7(y y).5x 35xy 105x 7( y y ) Ta có : VD2: Rút gọn các phân thức sau 14x3y2 9xy3(x y) (a) , (b) , 7xy5 6xy(x2 y2) 3x2 x x3 x2y x y (c) , (d) 3x x x2y x y Lời giải 14x3y2 7xy2.2x2 2x2 (a) 7xy5 7xy2.y3 y (b) Ta thấy 9xy và 6xy có nhân tử chung là 3xy x y và x2 y2 có nhân tử chung là x y Do đó bài này giải sau 9xy3(x y) 3xyy 2(x y) 3xy.(x y).y2 y2 6xy(x2 y2) 3xy.2(x y)(x y) 3xy.(x y).2(x y) 2(x y) (c) Ta có 3x2 x x(3x 1) mà mẫu thức là 3x không có nhân tử chung Để làm xuất nhân tử chung bài này ta dùng quy tắc đổi dấu A A B B Ta giải sau: 3x2 x (3x2 x) x(3x 1) x 3x (1 3x) 3x (d) Ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung, cụ thể ta phân tích sau Tử thức ta nhóm hạng tử thứ với thứ hai, hạng tử thứ ba với thứ tư (lưu ý dấu) Mẫu thức ta nhóm tương tự Do đó ta có lời giải sau: x x2y x y (x3 x2y) (x y) x3 x2y x y (x3 x2y) (x y) x2(x y) (x y) (x y)(x2 1) (x y) x (x y) (x y) (x y)(x2 1) (x y) VD3 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (11) và , (b) và , 3x 3x y 2xy x 10 x5 x (c) và , (d) và x 3x 3x x 4x Lời giải (a) v à 3x2y3 2xy2 Đây là bài đơn giản mẫu thức hai phân thức là đơn thức đó quy đồng ta cần chú ý phần biến và phần hệ số Phần hệ số ta tìm bội chung nhỏ nhất, Biến số lấy biến có lũy thừa cao xuất đơn thức Ta có lời giải sau MTC: 6x y (a) 7 14 3 3x y 3x y 6x y 5 3xy 15xy 2xy2 2xy2 3xy 6x2y3 và 3x x Ta thấy mẫu thức hai phân thức là đơn thức giải bài này ta cần phân tích mẫu thức thành nhân tử 3x 3(x 2) (b) x2 (x 2)(x 2) Từ đó ta có mẫu thức chung là 3(x 2)(x 2) 2 (x 2) 2(x 2) 3x 3(x 2) (x 2) 3(x 2)(x 2) 3 x (x 2)(x 3) 3(x 2)(x 3) (c) 10 và x 3x (12) Từ 3x 3(2 x) ta nhận thấy x x 2, ta quy đồng mẫu A A B B biến đổi phân thức thứ hai nào? (dùng quy tắc đổi dấu 1 1 3x (6 3x) 3x ) Ta có lời giải sau MTC: 3(x 2) 10 10 30 x x 3(x 2) 1 1 1 3x (6 3x) 3x 3(x 2) (d) x5 x và 3x x 4x 2 2 Dùng đẳng thức a 2ab b (a b) để phân tích x 4x thành nhân tử 2 2 Ta có: x 4x x 2.x.2 (x 2) đó bài tập này ta giải sau MTC: 3(x 2) x5 x5 x 3(x 5) x2 4x (x 2)2 (x 2)2 3(x 2)2 x x x (x 2) x(x 2) 3x 3(x 2) 3(x 2) (x 2) 3(x 2)2 D Bài tập tự luyện Bài 15 Dùng định nghĩa hai phân thức chứng minh các đẳng thức sau: 3x 9x2y3 x2y3 7x3y4 (a) , (b) , 35xy 2y 6xy5 x2(x 2) x x x2 6x (c) , ( d ) 3 x x(x 2)2 x x2 Bài 16 Dùng định nghĩa hai phân thức hãy đa thức A đẳng thức sau: A x2 x 3x 6x2 3x (a) , (b) , x x2 A 4x2 x2 2x A x2 2x x2 2x (c) , (d) x 2x A 2x 3x (13) Bài 17 Rút gọn các phân thức 15x3y (a) , 3x y x2 (d) , 3x(x 3) 20x2 45 (g) , (2x 3)2 x(x2 25) (b) , 2xy(x 5) 14xy5(2x 3y) (e) , 21x2y(2x 3y)2 5x2 10xy (h) , 2(2y x)3 Bài 18 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (a) và , 3x y 12xy5 3x y (c) và , 12xy 9x2y3 4x x (e) và , 2x(x 3) 3x(x 1) x2 4x (c) , x(x2 4) 8xy(2x 1)3 (f ) , 12x3(1 2x) (x 5)2 (i ) x 4x 11 và , 102x y 34xy3 x 1 x (d) và , 9x y 4xy3 2x x (f) và (x 2) 2x(x)2 (b) (14)