I/LÝ THUYẾT: Các dạng toán thường gặp: - Chứng minh đường thẳng d luôn thuộc một mặt nón hay mặt trụ tròn xoay xác định - Tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ và thể tích của[r]
(1)PHẦN GIẢI TÍCH: Tóm tắt lý thuyết PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM các dạng bài tập 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên K 1) f đồng biến (tăng) trên K với x1, x2 K mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2) 2) f nghịch biến(giảm) trên K với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2) II Định lý: 1) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f '( x) xI thì hàm số f đồng biến trên I Nếu f '( x) xI thì hàm số f nghịch biến trên I (Nếu f’(x) =0 số hữu hạn điểm trên khoảng I thì định lý còn đúng) Nếu f’(x)=0 xI thì hàm số f không đổi trên I B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xét chiều biến thiên cửa hàm số cụ thể Dạng 2: Chứng minh hàm số có chứa tham số m đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định nó Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định nó Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến( nghịch biến) trên khỏang Dạng 5: Dùng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức 2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định D và điểm x0 D Điểm x0 gọi là điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0 cho (a;b) D và f(x) < f(x0) x ( a; b) (x ≠ x0) Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0 cho (a;b) D và f(x) > f(x0) x ( a; b) (x ≠ x0) f(x0) gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hay cực trị hàm số; x gọi là điểm cực trị Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Định lí 1:Nếu hàm số f có đạo hàm x0 và đạt cực trị điểm đó thì f’(x) = Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm x0 và đạt cực trị x0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số (x0; f(x0)) song song hay trùng với trục hoành Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0);(x0;b) đó a) Nếu f’(x) > x ( a; x0 ) và f’(x) < x ( x0 ; b ) thì hàm số đạt cực đại x0 b) Nếu f’(x) < x ( a; x0 ) và f’(x) > x ( x0 ; b ) thì hàm số đạt cực tiểu x0 Nói cách vắn tắt: -1- (2) a) Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại b) Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực đại QUI TẮC TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Tìm f’(x) Tìm các điểm xi ( i= 1,2,3…) đó đạo hàm hàm số hàm số liên tục không có đạo hàm Xét dấu f’(x) dựa vào định lí để kết luận Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 ; f’(x0) = 0, f''(xo) thì xo là điểm cực trị hàm số Hơn 1) Nếu f”(x0) > thì x0 là điểm cực tiểu 2) Nếu f”(x0) < thì x0 là điểm cực đại Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > x0 là điểm cực tiểu 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < x0 là điểm cực đại QUI TẮC TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Tìm f’(x) Tìm các nghiệm xi ( i= 1,2,3…) phương trình f’(x)=0 Tìm f’’(x) và tính f’’(xi) và dựa vào định lí để kết luận B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm cực trị hàm số cụ thể Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D R) a) Nếu x0 D : f ( x) f ( x0 ), x D thì số M=f(x0) gọi là GTLN hàm số f trên D Ký hiệu M maxf(x) xD b) Nếu x0 D : f ( x) f ( x0 ), x D thì số M=f(x0) gọi là GTNN hàm số f trên D m min f(x) xD Ký hiệu 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên D - Lập bảng biến thiên hàm số trên D Dựa vào BBT để kết luận ( Nếu trên bảng biến thiên có cực trị là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) hàm số trên D) 3) Cách tìm GTLN-GTNN hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] -2- (3) + Tìm các điểm x1,x2, , xn thuộc (a;b) đó đạo hàm không có đạo hàm + Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b) + Tìm số lớn M và số nhỏ m các số trên M max f ( x) ; m f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cụ thể Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN cho đại lượng theo đại lượng biến thiên khác: Thiết lập hàm số cho đại lượng đó, tìm GTLN,GTNN cho hàm số đó 4 ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ toạ độ Trong mp(Oxy) cho điểm I(x0;y0) Gọi IXY là hệ toạ y Y độ có gốc là I và hai trục IX,IY theo thứ tự có cùng y Y vectơ đơn vị i, j với hai trục Ox, Oy M là điểm bất kì mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacó: M X X x x X x0 y Y y0 x Phương trình đường cong hệ toạ độ mới: OI Giả sử (C) là đồ thị hàm số y = f(x) hệ Oxy Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ x X x0 y Y y0 với I(x0;y0) theo công thức đổi trục ta có phương trình (C) hệ toạ độ IXY là: Y = (X+x0) – y0 B DẠNG BÀI TẬP: Viết phương trình đường cong hệ tạo độ 5 TIỆM CẬN A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận ngang: Đường thẳng y=y0 gọi là tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x) lim f ( x) y0 lim f ( x) y0 x 2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 gọi là tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f (x) ít các điều kiện sau thoả mãn: x lim f ( x) ; lim f ( x) x x0 x x0 lim f ( x) ; lim f ( x) x x0 x x0 -3- (4) 3) Tiệm cận xiên: Đuờng thẳng y= ax+b (a 0) gọi là đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f (x) lim [f ( x ) (ax+b)] 0 x lim [f ( x ) (ax+b)] 0 x Cách tìm các hệ số a, b tiệm cận xiên y=ax+b a lim f ( x) x b= lim[f ( x) ax] (Để tìm tiệm cận xiên hàm số hữu tỉ b2/b1 ta thực phép chia để viết lại hàm số) x x B DẠNG BÀI TẬP: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ Tập xác định Sự biến thiên - Giới hạn vô cực - Chiều biến thiên, cực trị - Bảng biến thiên Đồ thị - Điểm uốn - Điểm đặc biệt - Đồ thị Tập xác định Sự biến thiên - Giới hạn, tiệm cận - Chiều biến thiên, cực trị - Bảng biến thiên Đồ thị - Tâm đối xứng - Giá trị đặc biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.Các dạng đồ thị hàm số: Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) a>0 Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt a<0 2 O -2 -2 -4- (5) Pt y’ = có nghiệm kép 2 Pt y’ = vô nghiệm 2 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a 0) a>0 a<0 Pt y’ = có ba nghiệm phân biệt -2 Pt y’ = có nghiệm -2 -5- (6) ax+ b Hàm số y = cx+ d (c ≠ ,ad − bc ≠ 0) D = ad – bc > D = ad – bc < 4 2 -2 Hàm số y = ax + bx +c r =px+ q+ (a a ' ≠ , r ≠ 0) a' x +b ' a ' x +b ' a.a’ > Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt a.a’ < 2 O O -2 -2 -4 Pt y’ = vô nghiệm -4 2 O O -2 -2 Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Biện luận số giao điểm đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao điểm hai đường (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (C1), (C2): f(x) = g(x) (1) Sự tiếp xúc hai đường cong: -6- (7) Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với khi hệ sau có nghiệm: f ( x) g ( x) f '( x) g '( x) Dạng 2: Dùng đồ thị biện luận phương trình: h(x,m) = Đưa phương trình dạng: f(x) = m f(x) = g(m) f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) hàm số y = f(x) đã khảo sát + Đường thẳng (d): y = m y = g(m) y = f(m) là đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox Tuỳ theo m số giao điểm (C) và d là số nghiệm pt (1) Sự tiếp xúc hai đường cong: Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với khi hệ sau có nghiệm: f ( x) g ( x) f '( x) g '( x) Dạng 3: Viết PTTT đồ thị (C) hàm số y =f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) M0(x0;y0) (C) x x 0 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) (*) Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*) Rút gọn ta có kết Bài toán 2: Viết pttt (C): y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng (D) ) Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k x = x0 ( hoành độ tiếp điểm) Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết Bài toán 3: Viết pttt (C): y = f(x) biết tiếp tuyến qua hay xuất phát từ A(xA;yA) Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1) Bước 2: (d) là tiếp tuyến (C) khi hệ sau có nghiệm: f ( x ) k ( x x A ) y A f '( x ) k (*) Bước 3: Giải pt f ( x) f '( x)( x x A ) y A tìm x và thay vào (*) tìm k , thay vào (1) ta có kết BÀI TẬP I ĐƠN ĐIỆU ,CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, TIỆM CẬN Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu , cực trị hàm số; khoảng lồi lõm, điểm uốn đồ thị hàm số a) y=− x3 +3 x − b) y=x − x − x +1 c) y=− x + x − 2 d) y=x −10 x + Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu , cực trị hàm số; viết phương trình các đường tiệm cận đồ thị hàm số: a) x +3 x +3 y= x +1 x − x +1 b) y= 1−x -7- c) − x +3 x −3 y= 2( x − 1) (8) Bài 3: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số : a) y=√ x (4 − x) b) y=( x+ 2) √ − x d) y= [ 1; e3 ] x +1 √ x2 +1 trên đoạn [ −1 ; ] y=2 sin x − sin x trên đoạn [ ; π ] [0,π/2] i) y 2 x 3x trên [-2;-1/2] ; [1,3) h) y 2cos2x+4sinx trên đoạn g) Bài 4: Cho hàm số : y= y=x + √ 2− x2 ln x e) y= trên đoạn x c) m− x + mx +(3 m −2) x +5 m là tham số Tìm m để a) Hàm số nghịch biến trên R b) Hàm số đồng biến trên R c) Hàm số có cực đại ,cực tiểu d) Hàm số đạt cực tiểu x = Bài 5: Cho hàm số : y= x 2+ mx+2 m−1 x +1 m là tham số Tìm m để a) Hàm số có cực đại , cực tiểu b) Hàm số đạt cực đại x = -2 c) Hàm số đồng biến trên khoảng xác định d)Tiệm cận xiên đồ thị hàm số qua điểm A(1;2) e) Tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với các trục toạ độ tam giác có diện tích II CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS Sự tương giao hai đường: Bài Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị: a) y = x3 + 4x2 + 4x + và y = x + b) y = x3 + 3x2 + và y = 2x + c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – d) y = x4 + 4x2 – và y = x2 + Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh ba điểm phân biệt Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − x +m cắt trục hòanh ba điểm phân biệt Bài 9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + không cắt trục hòanh Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh điểm phân biệt Bài 11: Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y = x−1 x+1 a) Tại hai điểm phân biệt b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị Bài 12: Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y = a) Tại hai điểm phân biệt b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị -8- x 2+ x +3 x +1 (9) Bài 13: Tìm m để đường thẳng qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y= x +2 x +1 a) Tại hai điểm phân biệt b) Tại hai điểm thuộc cùng nhánh Bài 14: Chứng minh (P) : y = x -3x – tiếp xúc với (C) : Bài 15: Tìm m cho (Cm) : y = x +m x −1 − x 2+2 x − x−1 tiếp xúc với đường thẳng y = -x + Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + tiếp xúc với trục hòanh Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – III Phương trình tiếp tuyến đường cong: Bài 18: Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) : a) Tại điểm uốn (C) b) Tại điểm có tung độ -1 c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = Bài 19: Cho (C) : y = a) b) c) d) x −2 x+ .Viết phương trình tiếp tuyến (C): Tại giao điểm (C ) với trục Ox Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x Tại giao điểm hai tiệm cận Bài 20:Cho (C ) : y = x2 + x − Viết phương trình tiếp tuyến (C ): x −1 a) Tại điểm có hòanh độ x = b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + = c) Vuông góc với tiệm cận xiên Bài 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a) y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0) b) y = c) y = d) y = 3 x − x2 + ¿ qua điểm A(0 ; 2 x+ qua điểm A(-6 ; 5) x −2 x −4 x+5 qua điểm A(2 ; 1) x−2 IV CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP: Bài 22: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M0(-1; -2) c) Chứng minh điểm uốn (C) là tâm đối xứng nó Bài 23: Cho hàm số y = -x3 + 3x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 3x + m = c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hòanh độ x0 = -9- (10) Bài 24: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường y x2 24 thẳng c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số Bài 25: Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x + c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt Bài 26: Cho hàm số y = x − x +1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(1 ; 0) Bài 27: Cho hàm số y = x − x + x +1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hòanh Bài 28: Cho hàm số y = x3 + x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung Bài 29: Cho hàm số y = x - 2x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x - 2x + - m = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hòanh độ x = √ Bài 30: Cho hàm số: y = - x + 2x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để phương trình x - 2x + m = 0có bốn nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cực tiểu đồ thị hàm số Bài 31: Cho hàm số y = x4 −3 x 2+ 2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x - 6x + - m = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0 ; ¿ Bài 32: Cho hàm số y = - x + 6x - a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(1 ; 0) Bài 33: Cho hàm số y = x − x −1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để phương trình : x - 8x - + m = có nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung - 10 - (11) Bài 34Cho hàm số y = x+ x −1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm M0(2 ; 3) c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + x +1 x +1 Bài 35: Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) điểm có hòanh độ x = -2 c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -x + 2x 1−x Bài 36: Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số b) Tìm trên (H) điểm có tọa độ là các số nguyên c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục tung x −1 x Bài 37 Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) giao điểm (H) với trục hòanh c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) hai điểm phân biệt x −4 Bài 38: Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số b) Một đường thẳng (d) qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m Tìm m để (d) cắt (H) hai điểm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến qua điểm A(4 ; 4) Bài 39: Cho hàm số y = x +3 x+ x+1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m só nghiệm phương trình: x2 + (3 – m)x + – m = c) Tìm điểm trên (C) cách hai trục tọa độ 1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN Số mũ α Cơ số a α =n ∈ N a∈R ❑ α=0 α =− n(n ∈ N ❑) a≠0 a≠0 m (m ∈ Z , n ∈ N ❑) n α =lim r n (r n ∈ Q, n ∈ N ❑ ) a> α= Lũy thừa a α n thừa số ) a =a =a a a ¿ α a =a =1 a α =a− n= n a α n m n a α =a n = √ am ( √n a=b ⇔ b n=a) α a> a =lim a TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA - 11 - rn (12) * với a > 0, b > 0, ta có α α a a = α b b α β α β a ¿ =a ; ¿ α α β α+ β a α −β a a =a ; β =a ; ¿ a ab ¿α =aα b α ; () a > : a α > aβ ⇔ α > β < a < : a α > aβ ⇔ α < β ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT * Với số 0< a≠ , b>0 α log a b=α ⇔ a =b log b=α ⇔10 α =b ln b=α ⇔ e α =b TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT log a 1=0 ; log a a=1 ; a log b =b * log a ( b c )=log a b +log a c * a log a ( bc )=log b− log c a a α log a b =α log a b 1 n Đặc biệt: log a =− log a b ; log a √ b= log a b b n log a c log b c= ⇒ log a b log b c=log a c * log a b 1 Đặc biệt : log a b=log a ; log a b= α log a b b a>1 :log a b> log a c ⇔ b>c >0 0< a<1: log a b>log a c ⇔ 0< b<c α GIỚI HẠN ln(1+ x ) e x −1 lim =1 ; lim =1 x x x→ x→ BẢNG ĐẠO HÀM (e x )'=e x (a x )' =a x ln a (ln |x|)' = x (log a|x|)'= x a ln a α α −1 (x ) '=α x (α ≠ , x >0) n ( √ x) '= n n− n√x (e u)' =u' e u (au ) '=u ' au ln a u' (ln |u|) '= u u' (log a|u|)' = u ln a (uα )'=α uα −1 u ' u' n ( √ u)' = n n −1 n √ u CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT - 12 - (13) a) 0< a≠ af ( x)=a g( x) ⇔ f ( x )=g(x ) log a f (x)=log a g (x) ⇔ f ( x )>0 hay (g( x)>0) f ( x )=g( x ) ¿{ f (x) g( x) b) a>1 a >a ⇔ f (x )> g(x) log a f (x)> log a g( x ) ⇔f (x)> g( x )> f (x) c) 0< a<1 a > ag (x) ⇔ f (x)< g( x ) log a f ( x)> log a g( x )⇔0< f ( x)< g ( x) I LŨY THỪA * Đơn giản biểu thức 1) 4) 3 √ √ x y − (√ x y ) 2) a3 b+ab √ a+ √3 b m +4 m 1 − − + m+ √ m +2 √ 2 √ m 5 12 ( )( a− 3) 4 a+ √ a a +1 √ a+1 .√ a + a2 ) * Tính giá trị biểu thức 90 ¿2 −0 , 75 + 1) 81 125 − 32 − ( ) ( ) − 2) −2 −2 ¿ 64 −8 ,001 3) 16 −0 , 75 ( ) 27 + −25 0,5 4) −1 − 3 +¿ −¿ −3 −3¿ −1 ( ) −0,5 ¿− −625 ,25 − 2 + 19¿ ¿ * Biến đổi đưa dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 1) 17 √ ax 2) √ a √ a 3) 2) −2 √ 161+ √3 2) (a 2√ −1)(a2 √ 3+ a√ +a3 √ ) a √ − a√ √8 b3 √4 b 14 √ 27 √3 a 4) * Tính 1) (( √3 ) √3 )√ 3) 27√ 33 √2 4) ( 2√ )√ * Đơn giản các biểu thức 1) a√ − b√ ¿ ¿ ¿ a2 √ −b √3 ¿ 3) a +b ¿ − π ab ¿ √¿ π π ( ) π II LÔGARIT * Biết log52 = a và log53 = b Tính các lôgarit sau theo a và b 1) log527 2) log515 3) log512 4) log530 * Lôgarit theo số biểu thức sau , viết dạng tổng hiệu các lôgarit 1) (√ a b ) 2) a 10 √6 b5 −0,2 ( ) 45 3) 9a b * Tính giá trị các biểu thức - 13 - 4) b 27 a7 (14) 1) log915 + log918 – log910 3) log 36 2− log 2) log − log 400+3 log √ 45 3 4) log (log log 3) 2) 16 * Tính giá trị các biểu thức 1) 3) 1 − log 4 (81 72 ( 49 +25log log 9− log 125 ) 49 −log √ +5 log7 1+ log4 + 42 log2 3+ log5 ) * Tìm x biết 1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – log63 2) log4x = log 216 − log 10+4 log 3 * Tính 1) 3) − √ ¿20 2+ √ 3¿ 20+ log ¿ log ¿ ln √ e+ ln e 2) 4) * Tìm x biết 1) logx18 = log( √ 2+1)+ log(5 √ 2− 7) 2) log x √5 2=− ln e −1 +4 ln(e √ e) 3) log x (2 √3 2)=−6 * Biết log126 = a , log127 = b Tính log27 theo a và b * Biết log214 = a Tính log4932 theo a III HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA * Tìm tập xác định các hàm số sau 1) y = ex x e −1 √ e2 x− − 2) y = 4) y = log(-x2 – 2x ) 3) y = ln 5) y = ln(x2 -5x + 6) ( 21x−−1x ) 6) y = log ( 2 x −3 x+ 1 −3 x ) * Tìm các giới hạn 3x e −1 x x→ log x 5) lim x→ 1) lim ln (1+3 x ) x→ sin x 8) lim 2x 3x ( * Tính đạo hàm các hàm số sau 1) y = (x2 -2x + 2).ex 4) y = 2x - √ ex e −e (2 x − 3x ) 3) lim 4) lim x e x − x x→ 5 x x→ x→∞ ln(4 x +1) ln(3 x +1)− ln(2 x+1) 6) lim 7) lim x x x→ x→ x ln(1+2 x) e −1 9) lim 10) lim x→ √ x +1− x→ tan x 2) lim 2) y = (sinx – cosx).e2x 5) y = ln(x2 + 1) 6) y = 3) y = ln x x e x − e− x e x +e − x 7) y = (1 + lnx)lnx 8) y = x ln √ x +1 9) y = 3x.log3x 10) y = (2x + 3)e 11) y = x π π x 12) y = √3 x 13) y = √3 ln 2 x 14) y = √3 √ cos x 15) y = 5cosx + sinx * Chứng minh hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho 1) y = esinx ; y’cosx – ysinx – y’’ = 2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – = - 14 - ) (15) 3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan 4) y = ex.cosx ; 5) y = ln2x ; 2y’ – 2y – y’’ = x2.y’’ + x y’ = x =0 IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ * Giải các phương trình: 1) (0,2) x-1 =1 2) 8) ❑ =25 () 3) =3 x −3 x+2 4) =16 9) x+1 = 72 20 √ 60 27 9) x +7 2 x −2 () =2 −3 x 6) ( √ 5+2 ) x− 1=( √ 5− ) x+ x x +1 x −3 x+ 10) = x −1 x −1 5) ( −2 √ )2 x =( 3+2 √ ) x− √ x +4 7) 3|x −5|=9 x+1 −2 x () () =2 11) 5x+1 + 5x – 5x-1 = 52 12) 3x+1 – 3x-1 – 3x = 13) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1 * Giải các phương trình 1) 4x + 2x+1 – = 2) 4x+1 – 2x+1 + = 3) 34x+8 – 32x+5 + 27 4) 31+x + 31-x = 10 5) 5x-1 + 53 – x = 26 6) 9x + 6x = 4x x 2x x 7) – = 10 8) 27x + 12x = 8x x x 9) ( 2+ √ ) x + ( − √3 ) x =2 10) ( √ − √ 48 ) + ( √ 7+ √ 48 ) =14 x x x x 11) ( √ 6+ √ 35 ) + ( √ − √ 35 ) =12 12) ( 7+3 √ ) + ( − √5 ) =14 x 13) 32x+4 + 45 6x – 22x+2 = 14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x * Giải các phương trình x x −1 1) x − x =2x −4 2) 2x −1 =3x −5 x+4 3) x+2 =36 32 − x 4) x x =500 5) 53 − log x =25 x 6) x −6 3− log 3=3− 7) x log x = x2 8) x 53 =5log * Giải các phương trình 1) 2x + 3x = 5x 2) 3x + 4x = 5x 3) 3x = – 2x 4) 2x = –x 5) log2x = – x 6) 2x = – log2x 7) 9x + 2(x – 2)3x + 2x – = 2 x x V PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT * Giải các phương trình 1) log2x(x + 1) = 2) log2x + log2(x + 1) = 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) 4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 5) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + = 6) log √ x log 25 x =log 125 x log x 7) 7logx + xlog7 = 98 8) log2(2x+1 – 5) = x * Giải các phương trình 1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 2) log4x8 – log2x2 + log9243 = 3) √ log x −log 3 x=3 4) 4log9x + logx3 = 5) logx2 – log4x + =0 6) 1+ log x 1+ log 27 x = 1+ log x 1+log 81 x 7) log9(log3x) + log3(log9x) = + log34 8) log2x.log4x.log8x.log16x = 9) log5x4 – log2x3 – = -6log2x.log5x 2 10) log x (2 x − 5)+ log x x =3 - 15 - (16) VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT * Giải các hệ phương trình sau ¿ log(x + y 2)=1+log 2) log(x + y )− log(x − y )=log ¿{ ¿ ¿ x + y =11 1) log2 x+log y =1+ log2 15 ¿{ ¿ ¿ x y =972 3) log √ (x − y)=2 ¿{ ¿ ¿ x +3 y =4 5) x+ y=1 ¿{ ¿ ¿ x + 5x + y =7 7) 2x −1 x+ y =5 ¿{ ¿ ¿ x + y=25 4) log x − log y =2 ¿{ ¿ ¿ −x −y +3 = 6) x+ y =3 ¿{ ¿ ¿ x − y =3 8) log ( x + y )− log (x − y)=1 ¿{ ¿ 3log x =4 log y log3 y¿ ¿ 10) ¿{ ¿ log 4 x ¿ =¿ ¿ ¿ 2 log x=log y+ log (xy) 9) log (x − y )+ log x log y=0 ¿{ ¿ log xy ¿ ¿ x + y −3 x − y=12 ¿ ¿ ¿ log xy=2+¿ 11) ¿ y=1+ log x x y =64 ¿{ ¿ 12) ¿ x − y 2=5 13) log (3 x +2 y)− log3 (3 x −2 y)=1 ¿{ ¿ ¿ log 27 xy=3 log 27 x log 27 y x log x 14) log = y log y ¿{ ¿ VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT * Giải các bất phương trình x +5 1) 5) >1 x <3 x+1 + x 2) 27 < 3) 6) 3x – 3-x+2 + > 2 x −5 x+4 () 4) 62 x+3 <2x+ 33 x −1 >4 7) x log x+4 < 243 - 16 - (17) 9) log 12 (5 x+ 1)<−5 5) 1+ x 12) log ( log 1+ x )>0 10) log 16) log x 18) log2x + log3x < + log2x.log3x 20) log 11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 14) log x − log x3 <0 13) log22x + log24x – > 15) log2(x + 4)(x + 2) −6 x 1+3 x x −1 x −1 >0 x +1 17) |log x −3|< 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 x −1 x 1 − <log −3 [( ) ] [( ) ] x +1 21) log log x +1 <log log x −1 * Tìm tập xác định các hàm số √ 1) y = log 0,8 x +1 −2 x +5 2) y = √ log (x − 2)+1 §1 NGUYÊN HÀM: 1) Định nghĩa : F x gọi là nguyên hàm hàm số F x f x , x a, b Hàm số f x trên a, b F x là nguyên hàm f x thì hàm số có dạng F x C ( C là f x F x C là nguyên số) là nguyên hàm và hàm số có dạng Ghi nhớ : Nếu hàm ký hiệu là f x Ta gọi F x C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f x và f x dx f x dx F x C Như vậy: 2) Tính chất: a.TC1: b.TC2: c.TC3: kf x dx k f x dx; k 0 f x g x dx f x dx g x dx f x dx F x C f u du F u C Nếu thì 3) Nguyên hàm hàm số cần nhớ a, b a 0 : dx x C dx ax b a ln ax b C x 1 x dx C , 1 1 e dx e sin xdx cos x C e x - 17 - ax x C dx e ax C a (18) cos xdx sin x C dx cos sin axdx a cos ax C tgx C , x k x dx sin2 x cot gx C, x k dx x ln x C , x 0 cos axdx a sin ax C dx tgx C , x k cos2 ax a dx cot gax C, x k ax a sin 4) Bài tập: Ghi nhớ: Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) các nguyên hàm hàm số thành phần Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số không tích (thương) các nguyên hàm hàm số thành phần Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm 1 F x x sin x f x cos2 x Bài 1: Cho hai hàm số ; F x f x a Chứng minh là nguyên hàm G 0 G x b Tìm nguyên hàm biết cos x cos x cos x f x cos4 x sin x Bài 2: Cho hàm số F x hàm số f x biết F f x cos x cos x Tìm hàm số G x biết G x f x và Bài 3: Cho hàm số 29 G ; G 144 12 32 Tìm nguyên hàm Bài 4: Cho hàm số f x 8 sin x cos x cos x cos x a Giải phương trình b Tìm nguyên hàm f x f x 0 F x hàm số f x biết đồ thị hàm số F x qua M ;0 điểm - 18 - (19) sin x F x cos x là nguyên hàm f x Hãy tìm các giá trị Bài 5: Biết hàm số x cho f x f x 0 x Bài 6: Cho hàm số y xe y a Tính y và x f x x 2007 e b Tìm nguyên hàm hàm số x f x e sin x Chứng minh hàm số f x f x là nguyên Bài 7: Cho hàm số f x hàm hàm số x 3x 3x 1 f x F F x x x ,biết Bài 8: Tìm nguyên hàm hàm số (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2 TÍCH PHÂN : b 1) Định nghĩa: 2) Tính chất: a TC1: b TC2: c TC3: d TC4: b f x dx F x a F b F a a b a a b f x dx f x dx b b a a kf x dx k f x dx (k 0) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx b c b a a c f x dx f x dx f x dx b e TC5: f TC6: f x 0, x a; b thì Nếu f x dx 0 a f x g x , x a; b thì Nếu b b a a f x dx g x dx b g TC7: 3) Bài tập: Nếu m f x M , x a; b Ghi nhớ: - 19 - thì m b a f x dx M b a a (20) Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số đã biết nguyên hàm Nếu hàm số dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho trên đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a x 2 x 3 dx x 1 b d e2 x ln x dx x c cos x sin x dx cos x cos xdx x x và hàm số F x ln x Bài 2: Cho hàm số F x f x a Chứng minh là nguyên hàm f x xdx x2 1 b Áp dụng câu a tính Bài 3: Cho hàm số a Tính f x x ln x x ln x f x e b Áp dụng câu a tính Bài 4: Biết hàm số F x ln xdx cos x sin x cos x sin x là nguyên hàm f x Hãy tính : f x dx §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: b f x x dx f t dt a 1) Công thức tổng quát: Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng f x x (hàm số theo biến là ) với đạo hàm hàm tích trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau: a) TH1: f sin x cos xdx Đặt t sin x - 20 - x Áp dụng công thức (21) p, q t p sin x q n t p sin x q biểu thức p sin x q nằm n b) TH2: f cos x sin xdx Đặt t cos x t p cos x q p, q n t p cos x q biểu thức p cos x q nằm c) TH3: n f ln x dx x Đặt t ln x p, q t p ln x q n t p ln x q biểu thức p ln x q nằm dấu d) TH4: f tgx cos x p, q t ptgx q n t ptgx q biểu thức ptgx q nằm dấu e) TH5: f cotgx sin x Đặt t cotgx t pcotgx q n p, q a cos xdx sin x 1 dx n t pcotgx q biểu thức pcotgx q nằm 2) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: dx Đặt t tgx n n cos x sin xdx b e dx x ln x xdx 19 c Bài 2: Tính các tích phân sau đây: d - 21 - x2 (22) a x dx x 4x b dx cot gx sin x d e x 1 sin tgxdx cos3 x b sin xdx cos4 x sin x d x x cos3 xdx c dx c Bài 3: Tính các tích phân sau đây: a e2 tgx dx cos2 x cos xdx sin x cos x Bài 4: Tính các tích phân sau đây: a sin3 xdx cos4 x b x 1x 3dx sin xdx sin x dx tgx tg x c d §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b 1) Công thức tổng quát: uvdx uv a b udv uv a hay 2) Các bước thực hiện: Bước 1: Bước 2: b a b a b vudx a b vdu a (1) u u( x ) du u( x )dx (Đạo hàm) Ñaët dv v( x )dx v v( x ) (nguyeân haøm) Thế vào công thức (1) b vdu uv a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp a Tính b Bước 3: (tích phân này có thể tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy bài toán cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần: - 22 - (23) Tích phân phần thường áp dụng để tính các tích phân có dạng sau: b p x q x dx a a) Dạng 1: Trong đó p x là hàm số đa thức, còn q x là hàm sin ( x ) cos ( x ) u p x dv q x dx Trong trường hợp này ta đặt: Ghi nhớ : Trong trường hợp này đặt ngược lại thì vào công thức ta b vdu a b phức tạp udv a ban đầu b p x q x dx a b) Dạng 2: Trong đó p x là hàm số đa thức, còn q x là hàm logarit u q x dv p x dx Trong trường hợp này ta đặt: từ dv Ghi nhớ: Trong trường hợp này đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn suy v 4) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a x 1 sin xdx b d xdx cos2 x x x cos xdx ( x 3)2 dx x x 1 e dx f x x e a 3x dx 1 ln xdx b e ln x ln x 1 dx xdx c §5 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: - 23 - d x ln x xdx 3x dx x e g h Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 2x x cos c e 1 dx (24) Tính các tích phân sau đây: 1 a cos x dx sin x c sin x cos xdx cos2 x 1 e cos x cos xdx sin x g x ln cot g x sin x dx x 2 x sin xdx cos x d ln x x e dx x b f sin x x 1 x xdx 2 e 3x 1dx h §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: C1 : y f x ; C2 : y g x ; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu hai) b S f x g x dx a a) Công thức: b) Các bước thực hiện: (2) Bước1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu hai thì giải f x g x C1 và C2 ) để tìm (PTHĐGĐ phương trình Bước 2: Áp dụng công thức (2) f x g x , sau đó xét dấu hiệu này Bước 3: Rút gọn biểu thức Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ c) Chú ý: Nếu bài toán này cho chung bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, trên đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, C f x g x 0 C C C1 f x g x 0 , và nằm thì hiệu nằm trên thì hiệu 2) Diện tích hình phẳng giới hạn các đường không rơi vào trường hợp 1: Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát) Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích công thức (2) Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất các hình nhỏ 3) Thể tích hình tròn xoay quay hình phẳng giới hạn các đường sau đây quanh trục Ox: C : y f x ; Ox; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu hai) - 24 - (25) b V f x dx a a) Công thức: b) Các bước thực hiện: (3) Bước 1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu hai thì giải f x 0 C phương trình (PTHĐGĐ và trục Ox) để tìm Bước 2: Áp dụng công thức (3) 4) Bài tập: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C : y x 6x x và trục Ox C : y x x 3 và trục Ox Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C : y x x Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và trục Ox Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng d : y 3 C : y x 3x và x2 2x C : y x 1 ; Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: C đường tiệm cận xiên ; Ox; x e C : y x x x Viết phương trình tiếp tuyến Bài 6: Cho đường cong C gốc tọa độ O Từ đó tính diện tích hình phẳng giới hạn C và d Bài 7: Cho parabol P : y x d 6x P các giao điểm P với trục Ox P b Tính diện tích hình phẳng giới hạn và các tiếp tuyến nói câu a a Viết phương trình các tiếp tuyến Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: C : y x d : y 2 x ; và trục Ox Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol d : y 2 x Bài 10: Cho parabol P : y 4 x và đường thẳng P : y 4 x P điểm tung độ P b Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: , trục Ox và a Viết phương trình tiếp tuyến tiếp tuyến nói câu a - 25 - (26) Bài 11: Cho đường cong C : y 2x 1 x Gọi (H) là hình phẳng giới hạn các đường: C ; Ox; Oy Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox C : y x x C Bài 12: Cho đường cong Gọi (H) là hình phẳng giới hạn và trục Ox Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox SỐ PHỨC Bài 1: Tính bậc hai số phức sau: 1) z 16 2) z 4i 3) z 8i 4) z 12i Bài 2: Giải các phương trình sau: 2 2 1) (iz 3)(z z 5) 0 2) z 0 3) z 24i 0 4) z z 2i 0 6) z 0 Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, biểu diễn hình học và tính môdun số phức sau: 2i i (1 i)(4 3i) (3 4i)(1 2i) 3i 2006 2i 2i 1) 2) 3) i 4) (1 i) 5z z z 3 cos i sin ; z ' cos i sin z.z ', , z2 z ', 3 3 4 Tính z' z ' , bậc Bài 4: 1) Cho hai z’ 2) Tính: a) 3 i 15 b) 2i 10 c) (2 2i) Bài 5: Biểu diễn sin 3 , cos3 , sin 4 , cos 4 theo sin , cos HÌNH HỌC: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I/LÝ THUYẾT: Các dạng toán thường gặp: - Chứng minh đường thẳng d luôn thuộc mặt nón hay mặt trụ tròn xoay xác định - Tính diện tích xung quanh hình nón, hình trụ và thể tích khối nón, khối trụ - Giải các bài toán tìm thiết diện mặt phẳng với khối trụ, khối nón - Xác định tâm và bán kính mặt cầu thỏa mãn số điều kiện cho trước - Xét vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng - Xét vị trí tương đối mặt cầu và đường thẳng - Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ II/BÀI TẬP: Tính thể tích khối tứ diện có cạnh là a - 26 - (27) Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh bên và cạnh đáy cùng a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA = BC = a Mặt bên SBC tạo với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh bên SB = a √ Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm cạnh BC Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a Các cạnh bên hình chóp và a √ Tính thể tích khối chóp S.ABCD Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 120 0, góc BSC là 600, góc CSA là 900 Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc đôi Tính thể tích khối tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC 10.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy là a Tam giác SAC là tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD 11.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A , AB = a , mặt bên SBC vuông góc với (ABC) , hai mặt bên còn lại cùng tạo với (ABC) góc 45 Chứng minh chân đường cao H hình chóp là trung điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách từ A đến (SCD) Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a , đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B’ là trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A tam giác SAC Chứng minh SC vuông góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’ 13.Cho hình chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông B cóAB = a , BC = b và SA = c, SA vuông góc với (ABC).Gọi A’và B’ là trung điểm SA và SB Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chóp thành khối đa diện a) Tính thể tích hai khối đa diện đó b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 2a 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, có AB=a, BC= , SA (ABCD) , cạnh bên SC hợp với đáy góc α 300 Tính thể tích hình chóp 15 Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a và AC = AD = BC = BD = CD = a - 27 - (28) 16 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy là 3a, cạnh bên là 2a, SH là đường cao a C/m: SA BC ; SB AC b Tính SH ; c Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 17.Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông và SA (ABCD) Biết SA = a ; AB = a a CMR: caùc maët beân cuûa hình choùp laø tam giaùc vuoâng b Tính góc đường thẳng AB, SC; c Tính diện tích và thể tích khối nón sinh tam giác SAC quay quanh truïc SA 1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz 1) M x M ; y M ;z M OM x M i y M j z M k 2) Cho A x A ; yA ; zA và B x B ; y B ;z B ta có: AB (x B x A ; y B y A ;z B z A ) AB (x B x A )2 (y B y A ) (z B z A ) MA kMB thì ta có : 3) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k xM x A kx B y ky B z kz B ; yM A ; zM A 1 k 1 k 1 k (Với k ≠ -1) @/ Đặc biệt M là trung điểm AB (k = – ) thì ta có : xM xA xB y yB z z ; yM A ;z M A B 2 II/ Tọa độ véctơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oyz a (a ;a ;a ) a a i a j a k 3 1) a (a1;a ;a ) và b (b1;b ; b3 ) ta có : 2) Cho a b1 a b a b a b - 28 - (29) a b (a1 b1;a b ;a b3 ) k.a (ka1; ka ;ka ) a.b a b cos(a;b) a1b1 a b2 a 3b3 a a12 a 22 a 32 III/ Tích có hướng hai vectơ và ứng dụng: a a a a aa a, b ; ; a (a1;a ;a ) và b (b1;b ; b3 ) thì b b3 b3b1 b1b 1) Nếu c a, b a b 2) Vectơ tích có hướng vuông góc vơi hai vectơ và a, b a b sin(a, b) 3) SABC [AB, AC] 4) [AB, AC].AA ' 5) VHộpABCDA’B’C’D’ = [AB, AC].AD 6) VTứdiện ABCD = IV/ Điều kiện khác: a kb1 a, b 0 k R : a kb a kb a kb 1) a và b cùng phương 2) a và b vuông góc a.b 0 a1.b1 a b a 3.b3 0 a, b c 0 3) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng (tích hỗn tạp chúng 0) 4) A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện AB, AC, AD không đồng phẳng a b c a b 5) Cho hai vectơ không cùng phương và vectơ đồng phẳng với và cho c ka lb xA xB xC x G y yB yC yG A zA zB zC z G 6) G là trọng tâm tam giác ABC - 29 - k,l R (30) 7) G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0 B/.BÀI TẬP: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1) F AB, AC (OA 3CB) a) Tính b) Chứng tỏ OABC là hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình chóp Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1) a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện b) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD c) Tính các góc tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác BCD e) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8) Bài 3: Cho a, b, c không đồng phẳng a) Chứng tỏ ba vectơ a, b, d a, b b) Chứng tỏ ba vectơ đồng phẳng, hãy phân tích vectơ d theo hai vectơ u 2;4;11 a, b, c c) Phân tích vectơ theo ba vectơ Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình hộp b) Tính thể tích hình hộp c) Chứng tỏ AC’ qua trọng tâm hai tam giác A’BD và B’CD’ d) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc D lên đoạn A’C Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M 1, M2, M3 là hình chiếu A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx a) Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3 b) Chứng minh N1N2 AN3 c) Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M1N1 2 MẶT PHẲNG A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Phương trình mặt phẳng: - 30 - (31) 1) Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A 2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát mặt phẳng, đó n (A; B;C) là vectơ pháp tuyến nó n 2) Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ (A; B;C) làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = a (a ;a ;a ) b (b1;b ; b3 ) làm cặp và 3) Mặt phẳng (P) qua M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : a a a a a1 a n a, b ; ; b b b b 3 b1 b II/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng 1) Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 (P) cắt (Q) A : B : C ≠ A’: B’: C’ (P) // (Q) A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ (P) ≡ (Q) A : B : C : D = A’: B’: C’: D’ 2) Cho hai mặt phẳng cắt : (P): Ax + By + Cz + D = và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= Phương trình chùm mặt phẳng xác định (P) và (Q) là: m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = (trong đó m2 + n2 ≠ 0) III/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = cho công thức : d(M , ) Ax By0 Cz D A B2 C IV/ Góc gữa hai mặt phẳng Gọi φ là góc hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= n P n Q A.A' B.B' C.C ' cos cos(n P , n Q ) nP nQ A B2 C2 A '2 B '2 C '2 Ta có : (00≤φ≤900) 900 n P n Q hai mặt phẳng vuông góc Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz B/ BÀI TẬP: Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC) - 31 - (32) Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, (Q): x – 2y – 2z + = a) b) c) d) e) Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc Viết phương trình tham số đường thẳng () là giao tuyến hai mặt phẳng đó Chứng minh đường thẳng () cắt trục Oz Tìm tọa độ giao điểm Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC Chứng tỏ điểm O gốc tọa độ không thuộc mặt phẳng (P) từ đó tính thể tích tứ diện OABC Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = a) Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa độ và song song với mp (P) b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng quát đường thẳng qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt mp(P) c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) ( TNPT năm 1993) Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + = và (Q): 2x – z = a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc chúng b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) qua A(-1;2;3) c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy d) Lập phương trình mặt phẳng () qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P)và (Q) Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + = và điểm M(2;1;-1) a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P) c) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) góc 450 Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – = và (Q): mx – 6y – z + = a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tính khoảng cách hai mặt phẳng b) Trong trường hợp k = m = gọi (d) là giao tuyến (P) và (Q) hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d) 3 ĐƯỜNG THẲNG A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng quát đường thẳng: (với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’) 2) Phương trình ttham số đường thẳng : Ax By Cz D 0 A ' x B' y C 'z D ' 0 x x a1t y y a t (t R) z z a t - 32 - (33) a (a1;a ;a ) là vectơ phương đường Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và thẳng x x y y0 z z0 a a a3 3) Phương trình chính tắc đuờng thẳng : a (a1;a ;a ) là vectơ phương đường Trong đó M (x ;y ;z ) là điểm thuộc đường thẳng và 0 0 thẳng II/ Vị Trí tương đối các đường thẳng và các mặt phẳng: 1) Vị trí tương đối hai đường thẳng : a a Cho hai đ.thẳng () qua M có VTCP và (’) qua M’ có VTCP ' a,a ' MM ' 0 () chéo (’) a,a ' MM ' 0 a,a ' 0 () cắt (’) với [a,a ']=0 M ' () // (’) [a,a ']=0 M ' () ≡ (’) 2) Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: a (a1;a ;a ) và mặt phẳng (α): Ax + Cho đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP By + Cz + D = có VTPT n (A; B;C) () cắt (α) a.n 0 a.n 0 M ( ) () // (α) a.n 0 M ( ) () nằm trên mp(α) III/ Khoảng cách: 1) Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () qua M0 có VTCP a [M M,a] S d(M, ) c.đáy a 2) Khoảng cách hai đường chéo : a a () qua M(x0;y0;z0) có VTCP , (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP ' [a,a'].MM' Vhoäp d(, ') Sđáy [a,a'] - 33 - (34) IV/ Góc : 1) Góc hai đường thẳng : a (a1;a ;a ) () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a '1;a '2 ;a '3 ) (’) qua M’(x’ ;y’ ;z’ ) có VTCP 0 a.a ' a1.a '1 a a '2 a a '3 cos cos(a,a ') a a' a12 a 22 a 32 a '12 a '22 a '32 2) Góc đường thẳng và mặt phẳng : a (a ;a ;a ) n () qua M0có VTCP , mp(α) có VTPT (A; B;C) Gọi φ là góc hợp () và mp(α) sin cos(a, n) Aa1 +Ba +Ca A B2 C2 a12 a 22 a 32 B/ BÀI TẬP: Bài 1: a) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2) b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) c) Viết phương trình tham số chính tắc đuờng thẳng có phương trình x y z 0 x y z 0 Bài : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và đường thẳng x y z 0 () có phương trình 3 x z 0 a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A,B,C b) Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,) c) Chứng tỏ điểm M đường thẳng () thỏa mãn AM BC, BM AC, CM AB Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D) b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (A,B,D) c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D) (TNPT năm 1999) x 2z 0 () : y 0 x 2 t ( ') : y 1 t z 2t Bài 4: Cho hai đường thẳng: a) Chứng minh hai đường thẳng () và (’) không cắt vuông góc b) Tính khoảng cách hai đường thẳng ()và (’) - 34 - (35) c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua () và vuông góc với (’) d) Viết phương trình đường vuông góc chung ()và (’) Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3) a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB b) Lập phương trình mp (P) qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6) a) Tính các góc tạo các cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC) d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC) e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB 2x y z 0 () : 2x z 0 và mp (P) : x + y + z – = Bài 7: Cho đường thẳng a) Tính góc đường thẳng và mặt phẳng b) Tìm tọa độ giao điểm () và (P) c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc () trên mp(P) Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () và (’) có phương trình: 2x y 0 3x y z 0 ; x y z 0 2x y 0 a) Chứng minh hai đường thẳng đó cắt tìm tọa độ giao điểm b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua hai đường thẳng () và (’) c) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt hai đường () và (’) Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng x 5 t y 2t z 3t a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C Chứng minh (α) và () vuông góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H chúng b) Chuyển phương trình () dạng tổng quát Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến () c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (), biết (d) và () cắt (Đề HK2 2005) 4 MẶT CẦU A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Phương trình mặt cầu: 1) Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 - 35 - (36) 2) Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2–D>0 là phương trình 2 mặt cầu tâm I(-A;-B;-C), bán kính R A B C D II/ Vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến là đường tròn có phương trình : 2 2 x a x a x a R Ax By Cz D 0 r R d(I,(P)) Bán kính đường tròn Tâm H đường tròn là hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) B/ BÀI TẬP: Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = và hai điểm M(1;1;1) N(2;-1;5) a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình đường thẳng MN c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = tiếp xúc mặt cầu(S) d) Tìm tọa độ giao điểm mặt cầu (S) và đường thẳng MN Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu các giao điểm Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0) a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tọa độ tâm và bán kính e) Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A,B,C Hãy tìm tâm và bán kính đường tròn đó Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – = và mặt cầu (S): x + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + = a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R mặt cầu (S) b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ đó suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu là (C) Xác định bán kính R và tọa độ tâm H đường tròn (C) Bài 4: Trong không gian cho (P): x + 2y – z + = điểm I(1;2;-2) và đường thẳng x 2y 0 (d) : y z 0 a) b) c) d) Tìm giao điểm (d) và (P) Tính góc (d) và (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm (P) cắt (d) và vuông góc (d) (Thi HK2, 2002-2003) - 36 - (37) Bài 5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng b) Gọi A’ là hình chiếu vuông góc điểm A trên mặt phẳng Oxy hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’, B, C, D c) Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) điểm A’ (TN THPT 2003-2004) Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B, bán kính R với mặt phẳng(P) b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng là hình chiếu vuông góc đường thẳng AB lên mặt phẳng(P) Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – = mp(P) cắt các trục tọa độ A, B, C a) Tìm tọa độ A, B, C Viết phương trình giao tuyến (P) với các mặt tọa độ Tìm tọa x y 0 độ giao điểm D (d): x y z 0 với mp(Oxy) Tính thể tích tứ diện ABCD b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ACD Xác định tâm và bán kính đường tròn đó (TN THPT 2001-2002) Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm A, B, C, D có tọa độ xác định : A (2; 4; 1), OB i j k, C (2;4;3), OD 2i j k a) Chứng minh ABAC, ACAD, ADAB Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Viết phương trình tham số đường (d) vuông góc chung hai đường thẳng AB và CD Tính góc (d) và mặt phẳng (ABD) c) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α ) (S) song song với mặt phẳng (ABD) Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z – = a) Viết pt mặt cầu qua điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P) b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC c) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách đường thẳng DC và mặt phẳng (P) Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4) a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC) c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua I và vuông góc mặt phẳng(ABC) d) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) b) Gọi A, B, C là giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) mặt cầu (S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Tính tọa độ A, B, C và viết phương trình mặt phẳng (ABC) c) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ đó hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC HẾT.T.0977467739 - 37 - (38)