Bài giảng QUY HOẠCH RỜI RẠC

VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC PGS.TS BÙI THẾ TÂM QUY HOẠCH RỜI RẠC BÀI GIẢNG CAO HỌC HÀ NỘI 10-2008 Bùi Thế Tâm i Quy hoạch rời rạc LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu Bài giảng môn Quy hoạch rời rạc thuộc Trung tâm đào tạo sau đại học, Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt nam năm 2006, 2007 2008 Đây tài liệu viết tiếng Việt trình bày cách hệ thống Quy hoạch rời rạc với sở lý thuyết chặt chẽ, chứng minh tính hữu hạn thuật tốn Gomory, cịn đưa chương trình nguồn viết C cho thuật tốn Kiến thức chuẩn bị để tiếp thu giáo trình lý thuyết quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình [9], lập trình ngơn ngữ C++ [11], bảng tính điện tử Microsoft Excel [12] Tài liệu gồm bảy chương Chương trình bày toán phát sinh thực tiễn dẫn đến toán quy hoạch rời rạc, phát biểu toán quy hoạch rời rạc tổng quát Các tập cuối chương dùng lệnh Solver Microsoft Excel để giải, hướng dẫn lệnh cho tài liệu [12] hoặc[13] Trong Chương nêu khái niệm quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình bình thường, phương pháp đơn hình đối ngẫu từ vựng chương trình máy tính viết C++, khái niệm tốn quy hoạch tuyến tính ngun Chương trình bày tư tưởng phương pháp cắt, thuật toán Gomory thứ chứng minh hội tụ (tài liệu gốc [1], [2]), chương trình máy tính thuật tốn Gomory thứ Chương xét hai thuật toán: thuật toán Gomory thứ hai dùng để giải tốn quy hoạch tuyến tính ngun phận [3], thuật toán Dalton - Llewellyn dùng để giải tốn quy hoạch tuyến tính với biến nhận giá trị rời rạc [4], chương trình máy tính hai thuật tốn Chương trình bày thuật tốn Gomory thứ ba nhằm xây dựng lát cắt đảm bảo tất Bảng đơn hình bước có tất phần tử nguyên [5], [6], chương trình máy tính thuật tốn Gomory thứ ba Chương trình bày tư tưởng phương pháp nhánh cận, phương pháp Land A.H Doig A.G giải toán qui hoạch nguyên [7], phương pháp Little J.D, Murty K.G, Sweeney D.W Karen C giải toán người du lịch [8] Các tài liệu gốc [1]-[8] A.A Korbut, Iu Iu Phinkenstein trình bày lại sách [10] Năm chương trình ngơn ngữ C tài liệu Phương pháp đơn ngẫu từ vựng, ba thuật tốn Gomory, thuật tốn Dalton tác giả lập Bạn đọc quan tâm tới lập trình Pascal cho toán tối ưu Quy hoạch tuyến tính, Quy hoạch phi tuyến Quy hoạch rời rạc tham khảo tài liệu [14] Các trường Đại học, sở đào tạo có nhu cầu giảng dạy môn này, hướng dẫn giảng viên để giảng dạy mơn này, bạn đọc muốn góp ý giáo trình xin vui lịng liên hệ với tác giả theo địa chỉ: Bùi Thế Tâm, Viện Tốn học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu giấy, Hà nội ; địa email: bttam@math.ac.vn Hà Nội, ngày tháng10 năm 2008 Bùi Thế Tâm ii Quy hoạch rời rạc TÀI LIỆU THAM KHẢO Gomory R.E An algorithm for integer solutions to linear programs Recent Advances Math Program New York - San Francisco - Toronto - London, McGraw-Hill Book Co., Inc., 1963, 269-302 Gomory R.E Outline of an algorithm for integer solution to linear programs Bull Amer Math Soc., 1958, 64, N5, 275-278 Gomory R.E An algorithm for the mixed integer problem Rand Corp., P1885, Santa Monica, California, February 22, 1960 Dalton R.E, Llewellyn R.W An extension of the Gomory mixed-integer algorithm to mixed-discrete variable Manag Sci., 1966, 12, N7, 562-575 Gomory R.E An all-integer integer programming algorithm IBM Research Center, 1960, January, Research Report RC-189 Gomory R.E An all-integer integer programming algorithm In "Industrial scheduling", Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, 1963, ch 13 Land A.H, Doig A.G An automatic method of solving discrete programming problems Econometrica, 1960, 28, N3, 497-520 Little J.D.C,Murty K.G, Sweeney D.W, Karel C An algorithm for the traveling salesman problem Operat Res., 1963, 11, N6, 972-989 Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu Các phương pháp tối ưu hóa NXB GTVT, 1998, 408 trang 10 A.A Korbut, Iu Iu Phinkenstein Quy hoạch rời rạc (tiếng Nga) NXB Khoa học, Mascva, 1969, 368 trang 11 Bùi Thế Tâm Ngôn ngữ C lập trình hướng đối tượng NXB GTVT, 2006, 240 trang 12 Bùi Thế Tâm Giáo trình Windows 2000, Word 2000, Excel 2000, Powerpoint 2000 NXB GTVT, 2002 13 Bùi Thế Tâm Giải toán tối ưu thống kê Microsoft Exel Công bố http://ebook.edu.net.vn, phần Công nghệ thông tin, 2007 14 Bùi Thế Tâm Turbo Pascal: lý thuyết bản, tập, chương trình mẫu khoa học kỹ thuật kinh tế NXB GTVT, 1993, 460 trang VÀI NÉT VỀ TÁC GIẢ B.T Tâm sinh năm 1948 Hiệp Hoà, Bắc Giang; làm việc Phòng Tối ưu Điều khiển thuộc Viện Tốn học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt nam; bảo vệ Tiến sỹ tháng 5/1978 Viện Hàn lâm Khoa học Liên xơ; nhận học hàm Phó giáo sư tháng 7/1996 Bùi Thế Tâm iii Quy hoạch rời rạc MỤC LỤC Chương Bài toán quy hoạch rời rạc I.1 Định nghĩa toán I.1 Các toán thực tế dẫn đến toán quy hoạch rời rạc I.2 Chương Những khái niệm mở đầu II.1 Những khái niệm quy hoạch tuyến tính II.1 So sánh theo nghĩa từ vựng II.3 Bảng đơn hình, phương án giả phương án II.4 Phương pháp đơn hình II.5 Phương pháp đơn hình đối ngẫu từ vựng II.6 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun II.16 Chương Thuật toán Gomory thứ III.1 Tư tưởng phương pháp cắt III.1 Thuật toán Gomory thứ III.5 Tính hữu hạn thuật tốn Gomory thứ III.9 Giải ví dụ số III.11 Chương trình máy tính III.15 Bài tập III.23 Chương Thuật toán Gomory thứ hai IV.1 Lược đồ logic thuật toán IV.1 Thuật toán Gomory thứ hai IV.2 Thuật tốn Dalton Llewellyn IV.20 Bìa tập IV.33 Chương Thuật toán Gomory thứ ba V.1 Ảnh hưởng sai số làm tròn tư tưởng thuật toán Gomory thứ ba V.1 Xây dựng lát cắt nguyên, thuật toán Gomory thứ ba V.3 Chương trình máy tính V.13 Bài tập V.22 Chương Thuật toán nhánh cận VI.1 Tư tưởng phương pháp nhánh cận VI.1 Phương pháp Land Doig giải toán quy hoạch nguyên VI.3 Phương pháp nhánh cận giải toán người du lịch VI.6 Bài tập VI.19 Bùi Thế Tâm I.1 Quy hoạch rời rạc Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH RỜI RẠC ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN QUY HOẠCH RỜI RẠC Trong tốn quy hoạch tuyến tính, biến số nhận giá trị thực khơng âm Tuy nhiên, thực tiễn thường gặp toán mà biến số nhận số hữu hạn hay đếm giá trị, thường giá trị nguyên Chẳng hạn vô nghĩa đưa câu trả lời: cần sản xuất nửa bàn hay cần thuê 2,7 ô tô để vận chuyển hàng hoá…Trong số toán, chẳng hạn toán vận tải với lượng hàng cung cầu số ngun, song nhiều tốn khác khơng phải Vì chương đề cập đến nội dung phương pháp giải toán tối ưu lưới điểm nguyên hay tập rời rạc, gọi tắt toán quy hoạch rời rạc hay toán quy hoạch nguyên Bài tốn quy hoạch rời rạc có dạng sau: Tìm cực đại hàm f ( x, y ) phụ thuộc hai nhóm biến x y với ràng buộc có dạng: gi ( x, y ) ≤ 0, i = 1, 2, m, x ∈ D đó, x = ( x1 , x2 , , x p ), y = ( y1 , y2 , , yq ), p > 0, q ≥ , D tập hữu hạn véc tơ p - chiều, f , gi hàm cho trước n biến số ( n = p + q ) Nếu f , gi hàm tuyến tính D lưới điểm ngun, ta có tốn quy hoạch ngun tuyến tính, cịn D tập véc tơ p thành phần hay ta có tốn quy hoạch ngun − Nếu q = , nghĩa có biến rời rạc x1 , x2 , , x p tốn gọi tốn quy hoạch ngun hồn tồn Cịn q > toán gọi toán nguyên phận Chú ý Sở dĩ tốn quy hoạch rời rạc cịn gọi tốn quy hoạch ngun toán với biến số nhận số hữu hạn giá trị cho trước, quy tốn biến nhận giá trị nguyên Ví dụ, giả sử biến x biểu thị quy mô công suất nhà máy điện cần xây dựng lấy giá trị cho trước a1 , a2 , , ak (các quy mơ cơng suất tiêu chuẩn) Khi cách đặt: x = a1u1 + a2u2 + + ak uk , với u1 + u2 + + uk = 1, u j ∈ {0;1} , j = 1, , k biến rời rạc x thay số biến u j nhận giá trị hay , gọi tắt biến − hay biến Boolean I.2 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc Tương tự, x ∈ {0,1, 2, , k } ta viết x = u1 + u2 + + uk , u j ∈ {0;1} , j = 1, , k nghĩa toán với biến nguyên bị chặn tuỳ ý, quy toán với biến − Điều cho thấy toán quy hoạch nguyên − giữ vai trò quan trọng quy hoạch rời rạc CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ DẪN TỚI QUY HOẠCH RỜI RẠC 2.1 Bài toán vận tải Có m kho hàng (điểm phát) chứa loại hàng hoá, lượng hàng kho i n nơi tiêu thụ (điểm thu), nhu cầu nơi thu b j , cij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i đến điểm thu j Xác định lượng hàng vận chuyển xij từ điểm phát i tới điểm thu j cho tổng chi phí nhỏ nhu cầu điểm thu thoả mãn Dạng toán học toán là: ∑c x ij ij → ij n ∑x j =1 ij m ∑x i =1 ij = , i = 1, 2, , m = b j , j = 1, 2, , n xij ≥ m n ∑a = ∑b i =1 i j =1 j Nếu b j nguyên đa diện lồi xác định ràng buộc tốn có đỉnh nguyên Do ta dùng phương pháp đơn hình để giải tốn quy hoạch tuyến tính này, lời giải cuối nhận phương án ngun Ví dụ Xét tốn vận tải có điểm phát điểm thu với ma trận chi phí sau:  3   cij =   , = (10, 25, 15), b j = (5, 15, 20, 10) 1    Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu 115, phương án vận chuyển tối ưu là: x[1,3]=10, x[2,2]=15, x[2,3]=10, x[3,1]=5, x[3,4]=10 2.2 Bài toán phân việc I.3 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc Có n đơn vị sản xuất cần sản xuất n loại sản phẩm, cij chi phí cho đơn vị i sản xuất sản phẩm j Hãy phân công đơn vị sản xuất sản phẩm để tổng chi phí nhỏ Dạng toán học toán là: n n ∑∑ c x n ∑x j =1 ij m ∑x i =1 ij → ij ij i =1 j=1 = 1, i = 1, 2, , n = 1, j = 1, 2, , n xij ∈ {0;1} Ví dụ có đơn vị sản xuất loại sản phẩm với ma trận chi phí sau: 100000 4000000 800000 550000 200000 3500000 750000 500000 400000 2000000 700000 400000 300000 5000000 600000 450000 Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu 3200000 đồng, phương án tối ưu là: x[1,1]=x[2,4]=x[3,2]=x[4,3]=1 2.3 Bài tốn túi Có túi chứa nhiều trọng lượng b , có n đồ vật cần mang, đồ vật j nặng a j , giá trị c j Bài toán đặt cho đồ vật vào túi để tổng giá trị lớn Ký hiệu x j số đồ vật j đưa vào túi Dạng toán học toán là: n ∑c x → m ax j j j=1 n ∑a x j =1 j j ≤b x j ≥ 0, x j ∈ Z Ví dụ Có túi chứa nhiều 62 kg, có 10 đồ vật cần mang 30 x1 + 19 x2 + 13 x3 + 38 x4 + 20 x5 + x6 + x7 + 19 x8 + 10 x9 + 11x10 → max 15x1 + 12 x2 + x3 + 27 x4 + 15 x5 + x6 + x7 + 20 x8 + 12 x9 + 15 x10 ≤ 62 x j ∈ {0,1} , j = 1, 2, ,10 Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu 95, phương án tối ưu (1,1,0,1,0,0,1,0,0,0) 2.4 Bài toán xếp hàng lên tầu Bùi Thế Tâm I.4 Quy hoạch rời rạc Một tầu chở hàng có trọng tải T thể tích K , tầu chở n loại hàng, hàng loại j có số lượng s j , có trọng lượng a j , thể tích b j giá trị sử dụng c j Bài toán đặt cần xác định số lượng hàng loại j cần xếp lên tàu x j để tổng giá trị hàng hoá tầu lớn Dạng toán học toán là: n ∑c x → m ax j j j=1 n ∑a x j =1 j j ≤T j ≤K n ∑b x j =1 j x j ∈ {0,1, 2, , s j } , j = 1, 2, , n Ở đây, khơng giảm tính tổng qt tốn ta giả sử hệ số T , K , a j , b j , c j (với j ) số dương 2.5 Bài tốn xếp hàng vào cơng ten nơ rỗng loại Có n loại hàng hố cần xếp lên công ten nơ rỗng với tải trọng công ten nơ T dung lượng K Hàng hoá loại j có trọng lượng a j , khối lượng b j số lượng cần vận chuyển s j ( j = 1, 2, , n ) Hãy tìm cách xếp tất số hàng hố lên cơng ten nơ cho dùng cơng ten nơ nhất? Giả sử ta biết m số công ten nơ tối đa cần thiết để chở hết số hàng hố Chẳng hạn, số m tìm theo cách: xếp dần đồ vật lên công ten nơ theo thứ tự tuỳ ý, tiếp kia, trọng lượng hay dung tích cơng ten nơ dùng hết Tiếp sử dụng cơng ten nơ tiếp theo… Gọi xij số đồ vật j chở công ten nơ i , yi biến nhận giá trị hay tuỳ theo có dùng cơng ten nơ i hay khơng Dạng tốn học toán là: m ∑y i i =1 → n ∑a x j ij j =1 n ∑b x j ij j =1 m ∑x i =1 ij ≤ Tyi , i = 1, 2, , m ≤ Kyi , i = 1, 2, , m = sj, xij ∈ {0,1, 2, j = 1, 2, , n , s j } , i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n yi ∈ {0,1} i = 1, 2, , m Bùi Thế Tâm I.5 Quy hoạch rời rạc Hai nhóm ràng buộc đầu biểu thị yêu cầu không chuyên chở tải trọng dung lượng công ten nơ sử dụng ( yi = ), cịn cơng ten nơ không sử dụng ( yi = ) cần phải rỗng Nhóm ràng buộc thứ ba biểu thị đồ vật cần xếp vào công ten nơ 2.6 Bài toán người du lịch Cho đồ thị G = (V , E ), V tập n đỉnh, E tập n cạnh Gọi cij độ dài cung nối từ đỉnh i đến đỉnh j, cij ≠ c ji cii = ∞ với i Một chu trình Hamilton chu trình sơ cấp mà tương đương với việc xuất phát từ đỉnh cho trước, qua đỉnh khác lần trở lại đỉnh xuất phát Tổng khoảng cách cạnh hành trình độ dài hành trình Mục tiêu tốn người du lịch tìm chu trình Hamilton có độ dài ngắn Đặt xij = cung (i, j ) chọn trái lại Dạng toán học toán là: n n ∑∑ c x i =1 j=1 n ∑x j =1 ij m ∑x i =1 ij ij ij → = 1, i = 1, 2, , n = 1, j = 1, 2, , n xij ∈ {0;1} , i, j = 1, 2, , n ui − u j + nxij ≤ n − 1, ≤ i ≠ j ≤ n ui nhận giá trị nguyên hay thực Hai tập ràng buộc đầu biểu thị thành phố thăm lần Ràng buộc cuối đưa vào để hành trình tốn chứa chu trình Bài toán người du lịch toán quen thuộc tiếng tối ưu rời rạc Tuy số phương án toán hữu hạn (bằng n ! tốn có n thành phố) với n cỡ hàng ngàn trở lên số phương án lớn, cách duyệt tồn khơng thể thực được, có trợ giúp máy tính cực mạnh Little J.D, Murty K.G, Sweeney D.W Karel C 1963 người sử dụng thành công phương pháp nhánh cận để giải toán người du lịch phương pháp với nhiều cải tiến khác công cụ chủ yếu để giải toán đề 2.7 Bài toán với chi phí cố định Xét tốn tối ưu có dạng sau: n   f(x)= ∑ f j ( x j ) : x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ D  j=1   D ⊂ R+n tập lồi đóng và: Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc I.6 d j + c j x j f j (x j ) =  0 x j > x j = ( j = 1, 2, , n) Giả thiết d j > với j = 1, 2, , n Các số d j thường hiểu chi phí cố định cần thiết để đưa phương thức sản xuất j vào hoạt động, khơng phụ thuộc vào cường độ sử dụng phương thức ( x j ) Giả sử biết p j cận biến ( x j ) , tức là: p j ≥ max {x j : x ∈ D} , j = 1, 2, , n Khi ta đưa toán toán tương đương với dạng: n ∑ (c x j j =1 j + d j y j ) → x ∈ D, ≤ x j ≤ p j y j , y j ∈ {0,1} , j = 1, 2, , n 2.8 Bài toán với ràng buộc dạng lựa chọn Cho hai hàm số g ( x) h( x) bị chặn trên tập hợp D Nếu ta địi hỏi phải có g ( x) ≤ h( x) ≤ với x ∈ D , điều diễn đạt cách đưa thêm vào biến số nhận giá trị 0-1 Ký hiệu u g uh cận hàm g ( x) h( x) tập D ( g ( x) ≤ u g , h( x) ≤ uh , ∀x ∈ D ) Khi điều kiện thoả mãn khi:  g ( x) ≤ u gδ  h( x) ≤ u h (1 − δ ) δ ∈ 0,1  { } Ví dụ Điều kiện bù quy hoạch toàn phương n ∑x y j =1 j j = (với x j ≥ 0, y j ≥ 0, j = 1, 2, , n ) thay n cặp ràng buộc dạng lựa chọn: x j ≤ hay y j ≤ 0, j = 1, 2, , n (với x j ≥ 0, y j ≥ 0, j = 1, 2, , n ) Giả sử biết cận p j biến x j cận q j biến y j Khi cách đưa vào biến z j nhận giá trị 0-1, ta đưa n cặp ràng buộc dạng lựa chọn nói dạng: x j ≤ p j z j , y j ≤ q j (1 − z j ), z j ∈ {0,1} (với x j ≥ 0, y j ≥ 0, j = 1, 2, , n ) Ví dụ Khi định phương thức sản xuất sản phẩm ta thường gặp tình sau: không sản xuất sản phẩm j ( x j =0), chấp nhận sản xuất phải sản xuất với số lượng khơng d j ( x j ≥ d j ), với d j số lượng sản phẩm loại j tối thiểu cần sản xuất để bù lại chi phí cần bỏ đưa phương Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc VI.2 Tính phương án Đối với tốn cụ thể phương pháp khác để tìm phương án tập chia liên tiếp Phương pháp dựa đặc thù tốn cụ thể Nhờ phương án tìm bước ta cải tiến cận (ban đầu gán cho cận giá trị +∞ ) cách gán cho cận giá trị hàm mục tiêu tốt thời điểm s Tiêu chuẩn tối ưu Giả sử G = ∪ Gi phương án X ∈ Gϑ thỏa mãn điều i =1 ( ) f X = ζ ( Gϑ ) ≤ ζ ( Gi ) , kiện: ∀ i = 1, , s X phương án tối ưu toán (1)-(2) Qui tắc ứng dụng giai đoạn chia nhánh Đánh giá độ xác lời giải xấp xỉ Giả sử s G = ∪ Gi , i =1 ζ = ζ ( Gi ) i =1, , s ( ) Nếu X phương án toán xuất phát ζ ≤ f ( X ) ≤ f X Nếu x∈G ( ) ∆ = f ( X ) −ζ f X − ζ đủ nhỏ X lấy làm lời giải xấp xỉ với đánh giá độ xấp xỉ 1.3 Lược đồ tổng quát phương pháp nhánh cận Chia tập phương án G thành tập ( ) Bước Tính ζ ( G ) = ζ G Nếu tìm phương án ( ) X cho f X = ζ ( G ) X phương án tối ưu Ngược lại, chia G = G11 ∪ G12 ∪ ∪ Gr11 , tức chia thành tập (thường không giao nhau) ( ) f ( X ) = ζ ( G ) ≤ ζ ( G ) , với ∀i = 1, 2, , r Bước k ≥ Tính đánh giá ζ Gik , i = 1, , rk Nếu tìm phương án X , X ∈ Grk cho k r k i tối ưu, trình kết thúc Ngược lại, chọn ( ) ( ) k Gϑk ( k ) , X phương án để chia, theo tiêu chuẩn ζ Gϑk ( k ) = ζ Gik Ta chia tập Gϑk ( k ) thành số tập i =1, ,r k Gϑk( k ) = Gϑk ( k ),1 ∪ Gϑk( k ),2 ∪ ∪ Gϑk( k ),s( k ) Tập cần chia G1k , G2k , , Gϑkk −1 , Gϑkk +1 , , Grkk , Gϑk( k ),1, Gϑk( k ),2 , , Gϑk ( k ),s k Sau ta đánh số lại G1k +1 , G2k +1 , , Grkk++11 sang bước k+1 VI.3 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc PHƯƠNG PHÁP LAND VÀ DOIG GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH NGUYÊN 2.1 Xét tốn qui hoạch ngun tuyến tính sau: n Z = f ( X ) = ∑ c j x j (3) j =1 với điều kiện ràng buộc n ∑ aij x j Ribi , i = 1, , m ≤ xj ≤ d j, j = 1, , n x j nguyên j = 1, , n1 (quan hệ thứ tự Ri ∈ {≤, ≥, =} ) (4) j=1 (5) n1 ≤ n (6) d j cận biến x j (có thể d j = +∞ ) Giả thiết tập tất điểm x thỏa mãn (4)-(5) bị chặn Nếu n1 = n , ta có tốn qui hoạch ngun hồn tồn, cịn n1 < n có tốn qui hoạch ngun phận Ngồi ra, tốn tìm max qui tốn tìm cách đổi dấu hàm mục tiêu Có nhiều phương pháp giải toán qui hoạch nguyên tuyến tính, có phương pháp nhánh cận A.H Land A.G Doig (1960) người áp dụng phương pháp nhánh cận để giải toán qui hoạch tuyến tính nguyên 2.2 Nội dung phương pháp Cho tập G ≡ G xác định (4) - (6) Cho tập Gϑk ( k ) , ϑ = 1, , rk , k = 1, 2, xác định (4),(6) ràng buộc bổ sung: k  k  hj   ≤ x j ≤ d j  , ϑ  ϑ  j = 1, , n (7) ( ) Tính cận Đối với G ước lượng ζ ( G0 ) = f X với X lời giải tốn qui hoạch tuyến tính (3)-(5)  k  k  Đối với Gϑk ζ Gϑk = f  X    , X   lời giải toán qui ϑ   ϑ   hoạch tuyến tính (3),(4) (7) ( ) ( ) ( ) Nếu Gϑk = ∅ ζ Gϑk = +∞ Tính phương án Nếu X thỏa mãn điều kiện nguyên (6), X nghiệm tối ưu toán ban đầu, thuật toán dừng VI.4 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc k  Nếu X   thỏa mãn điều kiện nguyên (6) phương án tối ưu tốn ϑ  k  (3), (4), (7), (6) phương án toán ban đầu Lấy X   để cải ϑ  tiến cận k  Chia nhánh Cần chia nhánh X   không thỏa mãn điều kiện nguyên k ϑ ( )   k  (6) Giả sử xr   ,1 ≤ r ≤ n1 thành phần không nguyên phương án này, ϑ ( k )  tập hợp Gϑk( k ) chia thành hai tập hợp Gϑk( k ) = Gϑk ( k ),1 ∪ Gϑk( k ),2 ,   k    Gϑk( k ),1 =  X | X ∈ Gϑk( k ) , xr ≤  xr       ϑ ( k )     k     Gϑk( k ),2 =  X | X ∈ Gϑk ( k ) , xr ≥  xr    + 1 ϑ k ( )        Chú ý tất c j (3) nguyên với j ≤ n1 c j = j ≥ n1 ( ) dùng đánh giá mạnh ζ ′ (Gϑk ) =  f ( Xϑk ) , kí hiệu cận ζ Gϑk ] f [ số nguyên nhỏ mà lớn hay f 2.3 Giải ví dụ số Xét tốn qui hoạch ngun tuyến tính sau: -x1 -x2 (8) 2x1 + 11 x2 ≤ 38 x1 + x2 ≤ (9) x1 - 5x2 ≤ x1, x2 ≥ (10) x1, x2 nguyên (11)  5 Bước Giải tốn (8)-(10), tìm nghiệm X =  ,  Cận  9 ζ ′ G =  f X  = ]−7[ = −7 Phương án X không thỏa mãn điều kiện nguyên   ( ) ( ) (11) Chúng ta chia G thành hai tập hợp G = G11 ∪ G21 , { } = { X | X ∈ G , x ≥ 5} G11 = X | X ∈ G , x1 ≤ G12 VI.5 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc Bước Giải hai toán quy hoạch tuyến tính: cực tiểu (8) hai tập hợp G11 8  G21 Trong toán cực tiểu miền G11 đạt điểm  4,  , 11    8 ζ ′ G11 =  −6  = −6 Tập G21 trống nên ς G21 = +∞  11  ( ) ( ) Chọn G11 để chia nhánh ta được: { } = { X | X ∈ G , x ≥ 3} ≡ G G1,1 = X | X ∈ G11 , x2 ≤ ≡ G12 G1,2 1 2 G21 = G32 = ∅ Bước Giải toán qui hoạch tuyến tính: ( )  2   1) Tìm cực tiểu (8) G12 X   =  ,  1     3 ⇒ ζ ′ G12 =  −5  = −5  4  2   2) Tìm cực tiểu (8) G22 X   =  ,3   2    1 ⇒ ζ ′ G22 =  −5  = −5  2 3) G21 = G32 = ∅ , ( ) ( ) ζ ′ G32 = +∞ Chọn G12 để chia nhánh : { } = { X | X ∈ G , x ≥ 4} ≡ G G1,1 = X | X ∈ G12 , x1 ≤ ≡ G13 G1,2 2 Đánh số lại G1,1 ≡ G13 , G1,2 ≡ G23 , G22 = G33 , G32 ≡ G43 Bước Giải tốn qui hoạch tuyến tính:  3 1) Tìm cực tiểu (8) G13 X   = ( 3, ) 1  2) G23 = ∅ ( ) ⇒ ζ ′ G13 = ]−5[ = −5 ( ) ⇒ ζ ′ G23 = +∞ 3) Tìm cực tiểu (8) G33  3  2   X   = X   =  ,3   3  2   4) G43 = G32 = ∅ ( ) ( )  1 ⇒ ζ ′ G33 =  −5  = −5  2 ⇒ ζ ′ G43 = +∞ VI.6 Bùi Thế Tâm  3 Phương án X = X   = ( 3, ) 1  Quy hoạch rời rạc thỏa mãn điều kịên nguyên (11) Đồng thời { ( ) ( ) ( ) ( )} = {−5, ∞, −5, ∞} ≤ f ( X ) = −5 ζ ′ = ζ ′ G13 , ζ ′ G23 , ζ ′ G33 , ζ ′ G43 Vậy phương án tối ưu toán ban đầu X = ( 3, ) Ta có phân nhánh sau: G0 ζ ′ = −7 G12 ≡ G32 ≡ G43 ζ ′ = +∞ G11 ζ ′ = −6 G1,1 ≡ G12 G1,2 ≡ G22 ≡ G33 ζ ′ = −5 ζ ′ = −5 G1,1 ≡ G13 G1,2 = G23 = ∅ ζ ′ = −5 ζ ′ = +∞ PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN GIẢI BÀI TỐN NGƯỜI DU LỊCH 3.1 Phát biểu tốn Có n thành phố, đánh số từ đến n Xuất phát từ n thành phố này, chẳng hạn thành phố 1, người du lịch muốn tới thăm n -1 thành phố lại, thành phố lần, trở thành phố xuất phát Cho biết cij chi phí (hoặc khoảng cách) từ thành phố i đến thành phố j Giả thiết cij > 0, ∀i ≠ j , cii = ∞ , với i ( cij ≠ c ji ) Hãy tìm hành trình với tổng chi phí nhỏ nhất? Ký hiệu ma trận C = cij i , j =1, ,n , xij = tùy thuộc người du lịch có từ thành phố i tới thành j hay không Khi tốn người du lịch viết dạng: VI.7 Bùi Thế Tâm n Quy hoạch rời rạc n ∑∑ cij xij (12) i =1 j =1 n ∑x j =1 ij m ∑x i =1 ij = 1, i = 1, 2, , n (13) = 1, j = 1, 2, , n (14) xij ∈ {0;1} , i, j = 1, 2, , n (15) ui − u j + nxij ≤ n − 1, ≤ i ≠ j ≤ n (16) ui nhận giá trị nguyên hay thực 3.2 Thuật toán nhánh cận Tập tất phương án toán (tập S0 )sẽ chia nhỏ dần thành nhiều tập rời nhau, tập bao gồm phương án qua không qua số cặp thành phố định ấn định dần q trình giải tốn Mỗi tập gắn với số thực khơng âm (cách tìm số xem phần tiếp theo), biểu thị cận chi phí phương án thuộc tập Tập S k có cận nhỏ có nhiều khả chứa phương án tối ưu, tập S k chọn để chia nhỏ tiếp (phân nhánh) Khi phân nhánh S k = Sk1 ∪ Sk cho tập S k bắt buộc qua thêm cặp thành phố xrs (cách chọn xem phần tiếp theo), tập S k1 không qua cặp thành phố xrs Khi tập gồm phương án ta tính chi phí C phương án nhờ cải tiến phương án tốt biết, giá trị hàm mục tiêu toán ứng với phương án tốt biết gọi giá trị kỷ lục Tập có cận lớn hay giá trị kỷ lục bị loại (khơng cần xem xét tiếp nữa), chắn tập không chứa phương án tốt phương án tốt biết Quá trình giải kết thúc khơng cịn tập cần xem xét tiếp Khi đó, phương án tốt biết phương án tối ưu tốn Tính hữu hạn thuật tốn suy từ tính hữu hạn tập S0 Thủ tục tính cận Bổ đề Phương án tối ưu x * tối ưu ma trận chi phí C thay ma trận C ′ với cij′ = cij − α i − β j , (i, j = 1, 2, , n) (17) α i , β j số thực Chứng minh Xét phương án x toán Do x * phương án tối ưu nên n n n n ∑∑ cij xij* ≤∑∑ cij xij i =1 j =1 Từ hệ thức (12) (17) ta có: i =1 j =1 Bùi Thế Tâm n Quy hoạch rời rạc VI.8 n n n n ∑∑ cij′ xij* =∑∑ ( cij − αi − β j ) xij* i =1 j =1 i =1 j =1 ≤ n n n n n i =1 j =1 = ∑∑ cij xij* − ∑ α i − ∑ β j i =1 j =1 n n i =1 i =1 n n ∑∑ cij xij − ∑ αi − ∑ β j = ∑∑ cij′ xij i =1 j =1 i =1 j =1 điều chứng tỏ x * phương án tối ưu Các số α i , β j cần chọn cho cij′ ≥ 0, ∀i, j hàng, cột ma trận C ′ có số Chẳng hạn chọn α i số nhỏ hàng i C β j số nhỏ cột j ma trận thu từ C cách trừ phần tử hàng i cho α i , trừ phần tử cột j cho β j Phép toán (17) gọi phép rút gọn ma trận hay thủ tục rút gọn số n n i =1 i =1 γ = ∑ α i + ∑ β j gọi số rút gọn cận cho giá trị hàm mục tiêu tốn, phương án người du lịch chứa phần tử hàng phần tử cột ma trận chi phí Tương tự, tập phương án, ký hiệu S p thu từ tập ban đầu S0 cách cố định số biến xij giá trị hay (nghĩa cho phép qua hay cấm không qua số cặp thành phố đó) để tính cận cho S p ta việc tiến hành thủ tục rút gọn ma trận tương ứng với S p Thủ tục phân nhánh Giả sử ta cần phân nhánh tập S p ⊂ S0 Cách hay dùng phân chia tập thành hai tập rời S ′p , S ′′p với { } S ′′p = { x | x ∈ S p , xrs = 1} S ′p = x | x ∈ S p , xrs = , đó, xrs biến chưa cố định giá trị hay tập S p Cặp ( r , s ) dùng để phân nhánh chọn cho tập S ′′p có nhiều khả chứa phương án tối ưu, tập S ′p khơng Nói cách khác, ( r , s ) chọn cho hiệu số cận S ′′p S ′p lớn Để giải vấn đề này, ta cần xét tập phương án ban đầu S0 , tốn nhận sau có cấu trúc tốn ban đầu Giả sử ma trận chi phí C rút gọn , nghĩa cij ≥ 0, ∀i, j hàng , cột C có số Tập S0 chia thành hai tập rời S1 S với Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc VI.9 S1 = { x | x ∈ S0 , xrs = 0} , S = { x | x ∈ S0 , xrs = 1} Trong tập S cấu trúc tốn khơng thay đổi, trừ hàng r cột s bị loại, từ r đến s khơng thể từ r đến nơi khác, không phép từ đâu vào s Các hàng cột cịn lại chứa phần tử khơng âm, ứng với S cận giá trị hàm mục tiêu tăng thêm γ ( S ) = crs Trong tập S1 cố định xrs = nên từ điều kiện (14), (15) suy phải có xrj = 1( j ≠ s ) xis = 1( i ≠ r ) Vì γ ( S1 ) = crj + cis cận j≠s i≠r giá trị mục tiêu tăng thêm Ta chọn biến xrs cho hiệu cận lớn nhất, nghĩa đạt max {γ ( S1 ) − γ ( S2 )} (18) ( r ,s ) Nếu crs > γ ( S1 ) = (do hàng r cột s C chứa số 0), γ ( S2 ) = crs > , từ γ ( S1 ) − γ ( S ) < Vì để có (18) ta cần xét cặp ( r, s ) với crs = Trong trường hợp γ ( S ) = γ ( S1 ) ≥ Điều có nghĩa thay cho (18) ta chọn biến xrs để phân nhánh theo qui tắc  c pq =0    θ ( r , s ) = max θ ( p, q ) = c pj + ciq  j≠q i≠ p Lập luận tập phương án Si sau chia thành tập Sr , Sr +1 , thay cho mức tăng cận γ ( S2 ) γ ( S1 ) ta xét mức tăng cận γ ( S r ) γ ( Sr +1 ) tương ứng Ngăn cấm tạo chu trình Nếu tập xét khơng phải S0 mà { } S p = x | x ∈ S0 , xi1 j1 = δ1, xi2 j2 = δ , , xik jk = δ k , qui tắc chọn biến để phân nhánh trước, nhiên cần tiến hành số thay đổi Trước hết, việc thực lựa chọn bắt buộc Chẳng hạn, xuj = 0, j = 1, , v − 1, v + 1, , n tất nhiên phải có xuv = Cũng làm cột Một số loại lựa chọn bắt buộc khác: cố định xrs = phải có xsr = cách đặt csr = ∞ Hơn nữa, đường dài S p chứa cạnh ( r , s ) gồm nhiều n − cạnh xi1i2 = = xiu r = xrs = xsiu +1 = = xiv −1iv = (1 ≤ v ≤ n − 3) VI.10 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc (khơng có cạnh có dạng xki1 = hay xiv j = ), để ngăn cấm tạo chu trình dạng ( i1, i2 , , iu , r , s, i1 ) ta đặt csi1 = ∞ , để ngăn cấm tạo chu trình dạng ( r , s, iu +1, iu + , , iv , r ) ta đặt civ r = ∞ Hơn nữa, ta cần có xivi1 = cách đặt civi1 = ∞ r i2 y y y s y i3 y i1 i4 Để tìm i1 ta ngược từ r để tìm iv ta xi từ s theo danh sách biến cố định giá trị tập S p Ở bước lặp, trước tính cận cho tập mới, cần thực lựa chọn bắt buộc nêu Có thu cận xác tránh phân nhánh vơ ích 3.3 Giải ví dụ số Giải tốn người du lịch với ma trận chi phí ( không đối xứng ) sau(n=6) 3 ∞ ∞ 47 17 39 90 80 ∞ 56 28 46 88 33 ∞ 25 88 18 46 92 ∞ 93 13 33 77 42 21 16 ∞ 36 16 28 (19) Bước lặp Tập S0 tập hợp tất hành trình Vì ban đầu chưa biết phương án nên cận β = +∞ Tính cận cho S0 Từ ma trận (19) trừ phần tử hàng 1, 2, 3, 4, 5, cho số nhỏ hàng tương ứng 3, 4, 16, 7, 25, ta ma trận Tiếp theo, trừ phần tử cột 3, ma trận cho số nhỏ cột tương ứng 15, ta ma trận rút gọn (20) (chưa kể số mũ phần tử 0) Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc VI.11 ∞ 12 31 32 00 03 75 30 ∞ 58 30 17 12 ∞ 12 018 12 ∞ 83 58 21 48 02 85 048 35 49 032 ∞ 00 89 ∞ (20) Tổng số rút gọn + + 16 + + 25 + + 15 + = 81 Vì vậy, cận cho tất hành trình thuộc tập S0 81 Điều có nghĩa khơng thể tìm hành trình có tổng chi phí nhỏ 81 Bước lặp Vì tập cần xét có S0 nên ta chọn S0 để phân nhánh Chọn cung để phân nhánh Với số ma trận (20) ta tính số θ ( p, q ) = c pj + ciq ghi phía bên phải số 0, chẳng hạn j ≠q i≠ p θ ( 2,1) = 12, θ ( 6,3) = 48, Ta thấy số ô (6,3) có số mũ lớn nhất, nghĩa θ ( 6,3) = max θ ( p, q ) Vì ta chọn cặp (6,3) để phân nhánh Khi đó, tập tất c pq =0 hành trình phân thành hai tập con: tập S1 gồm hành trình chứa cạnh (6,3), tập S2 gồm hành trình khơng chứa cạnh (6,3) Tính cận cho tập S khơng chứa cạnh (6,3) Vì cạnh (6,3) khơng có mặt hành trình, nên ta cấm việc theo cạnh cách đặt c63 = ∞ ma trận (20), trừ cột thứ cho 48 Kết ta nhận cận cho tập S là: ζ ( S ) = 81 + 48 = 129 ma trận tương ứng với tập ∞ 27 ∞ 10 30 17 12 31 ∞ 12 12 32 83 10 ∞ 49 21 85 30 0 ∞ ∞ 35 89 ∞ Tính cận cho tập S1 chứa cạnh (6,3) Ta phải loại hàng cột khỏi ma trận (20), theo cạnh (6,3) khơng thể từ tới nơi khác không phép từ đâu vào Hơn nữa, theo cạnh (6,3) khơng từ đến nữa, ta cần cấm cạnh (3,6) cách đặt c36 = ∞ Từ ma trận (20) ta thu ma trận tương ứng với tập S1 (chưa kể số mũ số 0) VI.12 Bùi Thế Tâm ∞ 015 31 32 5 03 ∞ 83 21 Quy hoạch rời rạc 30 30 17 12 ∞ 12 018 ∞ 49 032 ∞ 00 02 (21) Cận ζ ( S1 ) = 81 Bước lặp Các tập cần xét tiếp S1 S2 với cận tương ứng 81 129 Tập S1 có cận nhỏ chọn để phân nhánh tiếp Chọn cung để phân nhánh Với số ma trận (21) ta tính số θ ( p, q) Ta thấy θ (4, 6) = 32 có giá trị lớn nên cạnh (4, 6) chọn để phân nhánh tiếp Tập S1 phân thành hai tập: tập S3 gồm hành trình qua cạnh (6,3) cạnh (4,6), tập S gồm hành trình qua cạnh (6,3) khơng qua cạnh (4,6) Tính cận tập S4 Từ ma trận (21) sau thay vị trí (4,6) ∞ , rút gọn 32 hàng ta ma trận ứng với tập S ∞ 31 5 30 ∞ 30 17 12 ∞ 12 51 ∞ 17 ∞ ∞ 21 Cận tập S ζ ( S ) = ζ ( S1 ) + 32 = 81 + 32 = 113 Tính cận tập S3 Từ ma trận (21) loại bỏ hàng ứng với đỉnh cột ứng với đỉnh Các cạnh (6,3) (4,6) nằm hành trình, cạnh (3,4) khơng thể qua (nếu không tạo thành chu trình con) Để ngăn ngừa việc tạo chu trình , ta gán cho phần tử vị trí (3,4) giá trị c34 = ∞ ma trận (không kể số mũ số 0): ∞ 03 30 020 ∞ 30 17 18 31 ∞ 21 05 Cận tập S3 81 ∞ (22) VI.13 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc Bước lặp Các tập cần xét S2 , S3 , S4 với cận tương ứng 129, 81, 113 Tập S3 có cận nhỏ chọn để chia nhánh Chọn cung để phân nhánh Với số ma trận (22) ta tính số θ ( p, q ) Cạnh (2,1) chọn để phân nhánh Tập S3 chia thành hai tập: - Tập S5 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6), (2,1) - Tập S6 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6) khơng qua cung (2,1) Tính cận cho tập S6 Từ ma trân (22) thay hàng cột ∞ , trừ hàng cho 17, trừ cột cho ta cận S6 81 + 17 + = 101 ma trận tương ứng (chưa có số mũ phần tử 0): ∞ 03 ∞ ∞ 28 28 ∞ 01 21 02 ∞ 30 13 013 (23) Tính cận cho tập S5 Từ ma trận (22) xoá hàng cột 1, cấm cung (1,2) cách cho c12 = ∞ ma trận x Từ ma trận trừ hàng cho 2, trừ cột cho ta cận S5 81 + + = 84 ma trận tương ứng (chưa kể số mũ số 0): ∞ 028 28 020 ∞ 028 20 020 ∞ (24) Bước lặp Các tập cần xét S2 , S4 , S5 , S6 với cận tương ứng 129, 113, 84, 101 Tập S5 có cận nhỏ chọn để chia nhánh Chọn cung để phân nhánh Với số ma trận (24) ta tính số θ ( p, q ) Cạnh (1,4) chọn để phân nhánh Tập S5 chia thành hai tập: - Tập S7 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6), (2,1), (1,4) - Tập S8 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6), (2,1) khơng qua cung (1,4) Tính cận cho tập S7 Từ ma trận (24) xố dịng ứng với đỉnh cột ứng với đỉnh ma trận x 2, ma trận ta phải cấm cung (3,2) để khơng tạo thành chu trình cách đặt c32 = ∞ ta chọn cung qua đỉnh 2, 1, 4, 6, Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc VI.14 Từ ma trận ta trừ cột số 20 ta cận tập S7 84 + 20 = 104 ma trận tương ứng ∞ ∞ Chọn hai cung cuối (3,5) (5,2) ta hành trình người du lịch (1,4), (4,6), (6,3), (3,5), (5,2), (2,1) (phương án tốt biết) với giá trị hàm mục tiêu 13 + + 18 + 16 + 46 + = 104 Do cận thay β = 104 Tính cận cho tập S8 Từ ma trận (24) thay dòng thứ cột thứ + ∞ trừ dòng thứ cho 28 ta cận tập S8 84 + 28 = 112 Loại tập Vì cận ζ ( S7 ) = 104 = β , ζ ( S8 ) = 112 β , ζ ( S4 ) = 113 β , ζ ( S2 ) = 129 β nên tập S7 , S8 , S , S loại khỏi việc xét sau, ta cần xét tập S6 Bước lặp Các tập cần xét S6 Chọn cung để phân nhánh Với số ma trận (23) ta tính số θ ( p, q ) Cạnh (5,1) chọn để phân nhánh Tập S6 chia thành hai tập: - Tập S9 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6), (5,1) khơng qua cung (2,1) - Tập S10 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6) khơng qua cung (2,1), (5,1) Tính cận cho tập S10 Từ ma trận (23) thay số hàng ứng với đỉnh cột ứng với đỉnh ∞ , trừ cột số 28 ta cận tập S10 101 + 28 = 129 Cận lớn cận 104 nên tập S10 bị loại khơng cần xét sau Tính cận cho tập S9 Từ ma trận (23) xoá hàng ứng với đỉnh cột ứng với đỉnh 1, cấm cung (1,5) cách đặt c15 = ∞ , cột thứ trừ số ta cận ζ ( S9 ) = 101 + = 103 ma trận tương ứng (chưa kể số mũ số phần tử 0) 11 ∞ 0 ∞ 11 011 ∞ (25) 01 Bước lặp Các tập cần xét S9 Chọn cung để phân nhánh Với số ma trận (25) ta tính số θ ( p, q ) Cạnh (1,4) chọn để phân nhánh Tập S9 chia thành hai tập: VI.15 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc - Tập S11 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6), (5,1), (1,4) không qua cung (2,1) - Tập S12 gồm hành trình qua cung (6,3), (4,6), (5,1) không qua cung (2,1), (1,4) Tính cận cho tập S11 Từ ma trận (25) xoá hàng ứng với đỉnh cột ứng với đỉnh 4, trừ cột thứ cho ta ma trận cỡ x ζ ( S11 ) = 103 + = 104 Tập S11 có cận cận nên bị loại Tính cận cho tập S12 Từ ma trận (25) thay số dòng thứ cột thứ ∞ trừ cột thứ 11 ta cận S12 103 + 11 = 114 Tập S12 có cận cận nên bị loại Đến tập cần xét trống nên phương án tìm Bước lặp hành trình tối ưu Quá trình phân nhánh cho hình S0 , 81 S1 , (6,3), 81 S , (6,3) , 129 S3 , (4,6), 81 S , (4, 6) , 113 S5 , (2,1), 84 S7 , (1,4), 104 S6 , (2,1) , 101 S8 , (1, 4) , 112 S9 , (5,1), 103 S11 , (1,4), 104 S10 , (5,1) , 129 S12 , (1, 4) , 114 VI.16 Bùi Thế Tâm Quy hoạch rời rạc BÀI TẬP Bài Tìm phương án tối ưu cho toán người du lịch với ma trận chi phí ∞ 30 30 26 25 20 13 ∞ 35 21 16 25 ∞ 18 12 46 27 48 ∞ 18 27 43 16 ∞ 16 23 5 ∞ Đáp số: hành trình tối ưu – – – – – – 1, trị tối ưu 63 Bài Tìm phương án tối ưu cho tốn người du lịch với ma trận chi phí ∞ 31 15 23 10 16 ∞ 24 12 17 12 34 ∞ 15 20 33 16 10 32 25 40 23 25 54 ∞ 50 ∞ 18 20 13 28 21 ∞ Đáp số: hành trình tối ưu – – – – – – 1, trị tối ưu 63 ... toán quy hoạch nguyên VI.3 Phương pháp nhánh cận giải toán người du lịch VI.6 Bài tập VI.19 Bùi Thế Tâm I.1 Quy hoạch rời rạc Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH RỜI RẠC ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN QUY HOẠCH RỜI RẠC... iii Quy hoạch rời rạc MỤC LỤC Chương Bài toán quy hoạch rời rạc I.1 Định nghĩa toán I.1 Các toán thực tế dẫn đến toán quy hoạch rời rạc I.2 Chương Những khái niệm mở đầu II.1 Những khái niệm quy. .. phương pháp giải toán tối ưu lưới điểm nguyên hay tập rời rạc, gọi tắt toán quy hoạch rời rạc hay toán quy hoạch ngun Bài tốn quy hoạch rời rạc có dạng sau: Tìm cực đại hàm f ( x, y ) phụ thuộc