NGUYEN HAM

nếu F la nguyên hàm của f trên khoảng a;,b thì có thể chứng minh được Fa=fa,Fb=fb ,do dó f cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b] Định lý 1.Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số f tr[r]

NGUYÊN HÀM I-NGUYÊN HÀM A-Các kiến thức 1.Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa:Cho hàm số f(x)xác định trên K.hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên K F’(x) = f(x),  x K + K =[a;b], các đẳng thức F’(a)=f(a),F’(b)=f(b) đuộc hiểu là F(a)=lim F(x)-F(a) F(x)-F(b) =f(a) F(b)=lim =f(b) x-a x-b và + Cho hai hàm F và f liên tục trên đoạn [a;b] F la nguyên hàm f trên khoảng (a;,b) thì có thể chứng minh F(a)=f(a),F(b)=f(b) ,do dó f là nguyên hàm f trên đoạn [a;b] Định lý 1.Giả sử F là nguyên hàm hàm số f trên K đó a) Khi đó với số C,hàm số F(x) +C là nguyên hàm hàm số f trên K b) Ngược lại với nguyên hàm hàm G hàm số f trên K thì tồn số C cho G(x)=F(x)+C với x thuộc K  Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên K thì tập hợp tất các nguyên hàm hàm số f(x) có dạng :F(x)+C,C  R Tích phân bất định f(x)dx Kí hiệu họ nguyên hàm hàm số f(x) là :  f(x)dx=F(x)+C  là dấu nguyên hàm ( Tích phân không xác định ) f(x) là hàm dấu nguyên hàm f(x)dx là biểu thức dấu nguyên hàm Tích chất nguyên hàm * Tính chất    f ( x)dx '  f ( x) * Tính chất và  f(x)dx=f(x)+C kf(x)dx=k f(x)dx với k là số khác không  f(x)+g(x) dx= f(x)dx+g(x)dx * Tính chất Định lý 2.Nếu hàm số f(x) liên tục trên K thì có nguyên hàm trên K Nguyên hàm số hàm sơ cấp 0dx C và dx  x  C  1 dx  x C 1 với   1,   R 1 x dx  x  C x  xdx ln x  C x e dx e x C ax C ln a với a.0, a 1 cos xdx s inx  C x a dx  sin xdx  cosx  C   tan ( x) dx cos xdx t anx  C 2 ( x )  dx   dx  cot x  C sin x s inx tan xdx cos xdx  ln cos x  C cos x cot xdx s inx dx ln s inx  C   cot B-Các dạng toán DẠNG 1- Tìm nguyên hàm hàm số Phương pháp: 1.Biến đổi hàm số f(x) dạng hàm số có sẵn bảng nguyên hàm f ( x ) k1 f1 ( x )  k2 f ( x)   kn f n ( x) 2.Áp dụng tính chất nguyên hàm F ( X ) k1 F ( x) k1 F1 ( x)  k2 F2 ( x)   kn Fn ( x)  C 3.Các phép biến đổi + Các tính chất lũy thừa:với x>0 và  ,   R n  x  x1/ n ; x x   x  ;  x   x ; x  x    x + Sử dụng các phép biên đổi lượng giác *Công thức hạ bậc *Biến đổi tổng *Công thức biến đổi tan,cot sin a cos a 1 ;cot a  ;1  tan a  ;1  cot a  cos a sin a cos a sin a sin(a  b) sin( a  b) t ana  tan b  ; t ana  tan b  cos a cos b cos a cos b tan a  * Một số đẳng thức lượng giác   sin a  cos a  sin(a  )  2cos(a  ) 4   sin a  cos a  sin(a  )  2cos(a  ) 4 Ví dụ; Tìm nguyên hàm các hàm số sau f(x)= x  x 1 x f(x)= cos xsin x b) 3 x c) f(x)=e a) DẠNG 2-Chứng minh F(x) là nguyên hàm hàm số Phương pháp: 1.Tìm tập xác định D hàm số F(x) và f(x) 2.Chứng minh F'(x)=f(x),x  D x Ví dụ 1:Cứng tỏ F(x)=4sinx+(4x+5)e  là nguyên hàm hàm số f ( x) 4 cos x  (4 x  9)e x Ví dụ 2) xác định các hệ số a,b,c để hàm số F ( x) (ax  bx  c)  x là nguyên hàm hàm f ( x)  x  x Giải ( ; ] Tập xác định hàm số F(x) và f(x) là x  ( ; ) với Nếu hàm số F(x) là nguyên hàm hàm f ( x)  x  x thì: x  ( ; ] F '( x)  f ( x) với 2  5ax  (6a  3b) x  3b  c x  (  ; )  2x Suy : với x  (  ; )  x (2  5a)  (6a  3b  3) x  b  c 0 với 2  a    a 0    6a  3b  0  b  3b  c 0    c   Suy ra: x  2x DẠNG 3-Xác định số C Phương pháp: 1.Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên tập D thì F(x)=G(x)+C là nguyên hàm hàm số f(x) trên tập D 2.Dựa vào điều kiện bài toán: F ( )   , suy C    G ( ) 3.Thay giá trị C ào nguyên hàm hàm số f(x) cos3 x   f ( x)  x   k 2 F ( ) 0  s inx với Ví dụ: Tìm nguyên hàm hàm số , k  Z , biết Giải Ta có: cos3 x cos x cos x cos x(1  s in x) f ( x)     s inx  s inx  s inx (1  s inx) cos x cos x  sin x cos2 x   F ( x) f ( x)dx   cos x  sin x dx s inx  C    F ( ) 0 Mà 1    C 0  C  8 cos2 x  F ( x ) s inx   II-Các phương pháp tìm nguyên hàm A Kiến thức 1.Phương pháp tính nguyên hàm phần Định lý Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u ( x)v '( x)dx u ( x)v '( x)  u '( x)v( x)dx hay udv uv  vdu Phương pháp đổi biến số Định lý 2:Cho hà số u=u(x) có đạo àm liên tục trên K và hàm số y=f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định trên K.khi đó F là nguyên hàm f tức là: f (u )du  F (u )  C f (u ( x))u '( x)dx  F (u ( x))  C thì  3.Nguyên hàm hàm số hợp(u=u(x)) du u  C u 1 C ( 1)  1 u a u a du  ln a  C (0  a 1) sin udu  cos u  C  u du  du cos u tan u  C du u ln u  C e du e  C cos udu sin u  C du sin u  cot u  C u u B-Các dạng toán DANG 1.Phương pháp tích phân phần x 1.Tìm nguyên hàm hàm số có dạng f ( x)  P( x)e đo P(x) là đa thức Phương pháp    phần u  P( x)   x dv e  du  P '( x)dx   e x v     Đặt Áp dụng công thức tinh nguyên hàm phần Nếu đa thức P(x) có bậc n thì ta áp dụng n lần công thức tính nguyên hàm 2.Tìm nguyên hàm hàm số có dạng f ( x)  P( x)sin  x f ( x)  P( x)cos x ,Trong đó P(x) là đa thức Phương pháp : u  P ( x )   sin  xdx    dv   cos xdx    du  P '( x )dx   cos x     v   sin  x      Đặt: Áp dụng công thức tinh nguyên hàm phần Nếu đa thức P(x) có bậc n thì ta áp dụng n lần công thức tính nguyên hàm   phần f x P  x  ln  x 3.Tìm nguyên hàm hàm số có dạng   đó P(x) là đa thức Phương pháp u ln  x    dv  P( x) dx  dx   du  x  v  P ( x)dx   Đặt Áp dụng công thức tính nguyên hàm phần   x x 4.tìm nguyên hàm hàm số có dạng f ( x) e sin  x f ( x) e cos x Phương pháp : du  e x dx  u e x  cos x      sin  xdx     dv   cos xdx v   sin  x         Đặt: Áp dụng công thức tính nguyên hàm phần  Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau 3x (1  x)e dx ( x  x  1)e dx b)  a) x sin(2 x  1)dx ( x  1) sin xdx d)  c) x Giải a) Đặt  du  2dx u 1  x     e3 x 3x v   dv e dx   e3 x (1  x) x  (1  x)e dx   e dx 3 3x 3x e (1  x) 2e   C u  x  x  du (2 x  2) dx    x dv e x dx   v e  b) Đặt 3x ( x  x  1)e x dx ( x  x  1)e x  ( x  1)e x dx Nên u  x  du dx    dv e x dx v e x  Đặt x x x x ( x  1)e dx ( x  1)e  e dx  xe  C Suy ra: ( x  x  1)e x dx ( x  x  1)e x  xe x  C ( x  1)e x  C ( x  1)e x  C c) Đặt u  x   dv sin(2 x  1)dx  du dx   cos(2 x  1) v  x cos s (2 x  1)  cos(2 x  1)dx 2 x co s (2 x  1)dx sin(2 x  1)   C u  x  du 2 xdx    dv sin xdx v  cos x x sin(2 x  1)dx  d) Nên Đặt ( x  1)sin xdx  ( x  1) cos x  x cos xdx u  x du dx    Đặt dv cos xdx v s inx x cos xdx  x sin x  sin xdx  x sin x  cos x  C Nên ( x  1)sin xdx  x cos x  x sin x  3cos x  C Suy :  DẠNG 2-Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biên số Phương pháp 1.Đăt t  ( x ) 2.Biểu thị f(x)dx theo t và dt, giả sử f(x)dx=g(t)dt Tìm nguyên hàm G(t) hàm g(t) f ( x)dx g (t )dt G (t )  C G ( ( x))  C e x dx Ví Dụ Tìm nguyên hàm hàm số e x 1 x x x Đặt t  e   e t   e dx 2tdt e x dx e x e x dx   e x   e x  2(t  1)dt t3 2(  t )  C  e x  1(e x  2)  C 3 DẠNG 3-Tìm nguyên hàm hàm số cách phối hợp hai phương pháp đổi biến số và nguyên hàm phần.Lập công thức truy hồi (2sin 2t  cos2t ) (ln x)dx  et  et C Suy ra: x x (2sin(2ln x)  cos(2ln x)   C 10 cos TÍCH PHÂN I.C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n TÝnh tÝch ph©n b»ng b¶ng nguyªn hµm c¬ b¶n Phơng pháp đổi biến số b I  f ( x) dx  a Bµi to¸n: TÝnh NÕu 1) Hµm x u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn   ;   , 2) Hµm hîp 3) f (u (t )) đợc xác định trên  ;   , u ( ) a, u (  ) b , b  I  f ( x )dx  f (u (t ))u ' (t )dt   a  th× VÝ dô : H·y tÝnh tÝch ph©n sau:  J  sin x  1 cos xdx Gi¶i     sin x  sin x    J  (sin x  1)d (sin x)  0  Ta cã  2 2 Chó ý: NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng a  x , a  x vµ x  a (trong đó a là số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm thức, cụ thể là:  Víi a  x , đặt hoÆc    x a sin t , t    ;   2 x a cos t , t   0;   2  Víi a  x , đặt hoÆc  Víi    x atgt , t    ;   2 x acotgt , t   0;  x  a , đặt x hoÆc x a    , t    ;  \  0 sin t  2 a ; t   0;  cos t   \    VÝ dô : H·y tÝnh c¸c tÝch sau: a)   x dx b) dx  x2  Gi¶i a) §Æt    x 2sin t , t    ;   2  Khi x = th× t = Khi x 2 Tõ x 2sin t  dx 2cos tdt     x dx    t th×  4sin t 2cos tdt 4 cos tdt   0     x tgt , t    ;  t  2  Khi x 0 th× t 0 , x 1 th× b) §Æt dt x tgt  dx  cos t Ta cã:      dx dt     dt  t  2  x  tg t cos t 0 0  3.Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên b b u ( x)v ' ( x)dx  u ( x)v( x)   a a  hay b b  vdu b udv uv  a a a  a; b  th×: b v( x)u ' ( x) dx  a e VÝ dô : TÝnh dx  du   x   u ln x x2   v dv  xdx   §Æt  Gi¶i: e x ln xdx e e x2 e2 x e e2  x ln xdx  ln x  xdx    21 2 41   *Cách đặt u và dv phơng pháp tích phân phần: b b P( x)e x dx  a b P( x )ln xdx  a b P ( x)cos xdx e x cos xdx   a a u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx II.TÝch ph©n mét sè hµm sè thêng gÆp TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:  I dx ax  bx  c   (trong đó XÐt ax  bx  c 0  a 0  víi mäi x  ;   )  b  4ac  I dx a  x   +)NÕu  0 th×   b   2a  tính đợc  +)NÕu   th× dx I a   x  x1   x  x2   x1  (trong đó  I b  b  ; x2  2a 2a ) x  x1  ln a  x1  x2  x  x2       dx I  ax  bx  c   +) NÕu x §Æt ,   th× dx 2 b      a  x      a a       b    tgt  dx   tg 2t  dt 2  2a 4a a , ta tính đợc I  I b) TÝnh tÝch ph©n: f ( x)  mx  n dx, ax  bx  c   mx  n ax  bx  c  a 0   ;  (trong đó liªn tôc trªn ®o¹n ) +) Bằng phơng pháp đồng hệ số, ta tìm A và B cho: A(2ax +b) mx+n B = + 2 ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx+ c β β ❑ +)Ta cã I= α β A (2 ax+ b)  ❑ ax 2+ bx +c TÝch ph©n β A (2ax +b) mx+n B dx= ❑ dx+ ❑ dx ax + bx +c ax + bx+ c ax + bx +c α α dx = A ln |ax 2+ bx +c|¿εβ α  TÝch ph©n dx ax  bx  c   b I tính đợc P( x) dx Q( x)  a c) TÝnh tÝch ph©n víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x  NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc  NÕu bËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× cã thÓ xÐt c¸c trêng hîp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1 , , , n thì đặt An P( x) A A2     Q ( x ) x  1 x   x  n + Khi Q( x)  x     x  px  q  ,   p  4q  thì đặt P( x) A Bx  C   Q( x) x   x  px  q + Khi Q( x)  x     x    với    thì đặt A P( x) B C    Q( x) x   x  x  VÝ dô TÝnh tÝch ph©n: Gi¶i: x  11 dx x  5x   Cách 1.Bằng phơng pháp đồng hệ số ta có thể tìm A, B cho: A  x  5 x  11 B   , x   \   3;  2 x2  5x  x2  5x  x2  5x  Ax   A  B  x  11  , x   \   3;  2  x2  5x  x2  5x  2 A 4  A 2    5 A  B 11  B 1 VËy  x  5 x  11   , x   \   3;  2 x2  5x  x2  5x  x2  x  Do đó   x  11 2x  dx dx  dx  x2  5x  x2  5x  x2  5x  0  2ln x  x   ln x2 ln x 3 x  x   x    x  3 C¸ch V× T×m A, B cho: nªn ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n trªn b»ng c¸ch: x  11 A B   , x   \   3;  2 x  5x  x  x   A  B  x  A  B , x   \  3;  x  11    x2  5x  x2  5x   A  B 4  A 3    3 A  B 11  B 1  VËy x  11   , x   \   3;  2 x2  5x  x  x  Do đó 1   x  11 dx dx dx   x2  5x  x 2 x 3  3ln x   VÝ dô :TÝnh tÝch ph©n: Gi¶i: 1 ln Do x §Æt  3     tgt , t   ;   dx    tg 2t  dt 2  3  3  tg 2t  dt  3  dt  t 3  (1  tg t )  dx  x2  x     VËy VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: Gi¶i: x3 dx x2    2    x3 x  xdx  dx  x  dx  xdx    x2  x2   x2    0  ln x  dx dx  x2  x 1  1 x   2   dx x2  x 1 1 x2 1   ln x    ln 2 0 TÝch ph©n c¸c hµm lîng gi¸c Dạng 1: Biến đổi tích phân VÝ dô : H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:       J  sin x sin xdx   a)  K  cos x (sin x  cos x )dx ;  b) ;  c) 4sin x M dx  cos x  Gi¶i  J  1 cos5 xdx  cos9 xdx   a)     2   1  sin x  sin x   18  45 10   2 b) Ta cã cos x(sin x  cos x) cos x   sin x  cos x   2sin x cos x        cos x   sin 2 x  cos x 1    cos x    cos x  cos x cos x      cos x   cos5 x  cos3 x   K  cos x(sin x  cos x)dx         1 cos xdx  cos5 xdx  co3 xdx 40 80 80    1 1 11  sin x  sin x  sin x     40 24 40 24 15 0 4sin x 4sin x sin x 4(1  cos x)sin x   4(1  cos x)sin x  cos x  cos x  cos x c)  M 2 Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lợng giác I  **TÝnh Ph¬ng ph¸p: t tg §Æt dx asinx  b cos x  c x 2dt  dx  1 t2 2t sin x  1 t2 Ta cã: I dx  asinx  b cos x  c  2dt  c  b  t  2at  b  c  VÝ dô 11 TÝnh Gi¶i: 1 t2 cos x  1 t2 vµ đã biết cách tính dx 4cos x  3sin x   x 1 x 2dt t tg  dt    tg  dx  dx 2 2  t   §Æt 2dt dx dt 1 t2   2 1 t 2t cos x  3sin x  t  3t    1 t2 1 t2    x tg  t 1 ln  C ln C x t 2 tg  2 I **TÝnh dx a sin x  b sin x cos x  c cos x  d  dx  a  d  sin x  b sin x cos x   c  d  cos x I  Ph¬ng ph¸p: dx cos x   a  d  tg x  btgx   c  d   t tgx  dt  §Æt I dx  I  cos x dt  a  d  t  bt   c  d   đã tính đợc dx sin x  2sin x cos x  3cos x  VÝ dô 12 TÝnh: dx dx cos x I  sin x  2sin x cos x  3cos x tg x  2tgx  Gi¶i:Ta cã   t tgx  dt  §Æt  I dt  t  2t   I dx cos x dt t1 tgx   ln  C  ln C t  t  t  tgx      **TÝnh m sin x  n cos x  p dx a sin x  b cos x  c  Ph¬ng ph¸p: +)T×m A, B, C cho: m sin x  n cos x  p  A  a sin x  b cos x  c   B  a cos x  b sin x   C , x +) VËy I m sin x  n cos x  p dx a sin x  b cos x  c =  = A  dx+ B TÝch ph©n a cos x − b sin x dx dx+C  a sin x +b cos x+ c a sin x +b cos x +c  dx tính đợc TÝch ph©n a cos x − b sin x  a sin x+ b cos x+ c dx=ln|a sin x +b cos x +c|+C dx  a sin x+ b cos x+ c TÝch ph©n tính đợc cos x  2sin x dx 4cos x  3sin x I  VÝ dô 13 TÝnh: Gi¶i: Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A và B cho: cos x  2sin x  A  4cos x  3sin x   B   4sin x  3cos x  , x cos x  2sin x  A  3B  cos x   A  B  sin x, x  A   4 A  3B 1    3 A  B 2  B     4sin x  3cos x  I   dx  x  ln 4cos x  3sin x  C  5  5 4cos x  3sin x   3.TÝch ph©n hµm v« tØ Dạng 1: Biến đổi tích phân vô tỉ I I   VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: Gi¶i dx  x 1  x  VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n Gi¶i: x  dx x 1  x x3 dx  x2 x  3 2 1 x dx    x  1  x   2  3 0  x 1  x 3dx  x2 ( x3  x  x ) dx   21 15  Dạng 3: Biến đổi làm Gåm: §æi biÕn sè t lµ toµn bé c¨n thøc Viết biểu thức dới dạng bình phơng đúng VÝ dô 15:TÝnh I = x √ 1− x2 dx Gi¶i: 1 I = x §Æt t= Ta cã: VËy √ 1− x dx= x ❑√ 1− x2 xdx √ 1− x ⇔ t 2=1− x ⇔ x 2=1 −t xdx=-tdt, Khi x= th× t =1,khi x = th× t =0 t t I =− (1− t )t dt= − ¿10= 15 ( ) 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phơng pháp: Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối J  x  dx  2 VÝ dô : TÝnh Gi¶i: LËp b¶ng xÐt dÊu cña x  trªn ®o¹n   2;2 -2 + x 1 1 I  x  dx  Do đó  2 -1  x - 1 2  1 dx  +   x  dx   x 1 x3   x3  x3  1  2   x   x    x  4      2   III.Tích phân số hàm đặc biệt 1.Cho hµm sè y  f ( x) liªn tôc vµ lÎ trªn ®o¹n   a; a  Khi đó  1 dx a I  f ( x)dx 0  a  I   VÝ dô : Chøng minh xdx 0  sin x  x  t  dx  Gi¶i: §Æt π , th× t = - x   π − Do đó : I= π dt Khi x= =− I  tdt − sin2 t π  I 2.Cho hµm sè   Suy : 2I = Ta đợc xdx 0  sin x  y  f ( x) liªn tôc a vµ ch½n trªn ®o¹n   a; a  Khi đó a I  f ( x)dx 2 f ( x) dx   a a I  f ( x)dx  f ( x)dx  Chøng minh : Ta cã  a  a a f ( x)dx (1) J  f ( x)dx  a Ta tÝnh  J  f ( x)dx   a cách đặt x  t  t a   dx  dt a a f ( t )dt f (t )dt f ( x)dx a 0 (2)  t th× a a I  f ( x)dx 2 f ( x )dx   a Thay (2) vào (1) ta đợc  I Ta cã          I Gi¶i:   VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: x  cos x dx  sin x  x  cos x x dx  dx  2  sin x  sin x   2  f1 ( x)  Do      ;  nªn x  sin x lµ hµm sè lÎ trªn vµ    x dx 0  sin x      cos x cos x d (sin x ) dx  dx   sin x  sin x (sin x  2)  sin x       lµ hµm sè ch½n trªn      ;  nªn ta cã: cos x  sin x f ( x)  cos x dx  sin x  VËy   sin x  I  ln  ln sin x  2 3.Cho hµm sè y  f ( x) liªn tôc α và chẵn trên đoạn [ −α : α ] Khi đó α f (x) I = x dx=  f ( x)dx −α −α a + Chøng minh: §Æt t= -x ⇒ dt= - dx at 1 t Ta cã f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= a Khi x= - α th× t = α α VËy ;x= α th× t =- α α −α α α α ¿  f (t)dt +  −α −α α I = Suy α f (x) a t f (t ) at +1 −1 dx= dt=  at +1  at +1 f (t )dt a x+ −α −α I = −α f (t) dt= f ( x )dx + I at +1 −α α f (x) dx=  f ( x)dx x −α a +1 x4 I x dx 1 1  VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: Gi¶i:§Æt t= -x ⇒ dt= - dx Khi x= - th× t = ; x =1 th× t =-1 VËy I = −1 x4 t4 2t dx= dt= t dt   −t t 2x +1 − +1 −1 +1 1 t4 ¿  t dt − t dt= x dx − I −1 − +1 −1 Suy 1 x5 1 I ==  x dx= ¿ = −1 −1 4.Cho f(x) liªn tôc trªn ®o¹n    0;   .Khi đó  f (sin x)dx f (cos x)dx 0 Chøng minh:  t   x  dx  dt §Æt   t x , Khi x = th× th× t =  f (sin x) dx       f (sin(  t ) dt  f (cos t ) dt  f (cos x) dx 0    Do đó NhËn xÐt : B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã c¸c c«ng thøc  *NÕu f(x) liªn tôc trªn  xf (sin x )dx    0;1 th×  2   *NÕu f(x) liªn tôc trªn  VÝ dô: Chøng minh: I=  0;1 th× f (sin x)dx  2   xf (cos x)dx  f (cos x)dx   sin n x  dx  n n sin x  cos x   Gi¶i : T¬ng tù nh trªn ta cã:  I= VËy I= sin n x cos n x dx  dx n n n n sin x  cos x sin x  cos x     +) VËy I+J=   sin n x cos n x  dx  dx  sin n x  cos n x sin n x  cos n x   sin n x  dx  sin n x  cos n x  =J  VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: x sin x dx  cos x  Gi¶i: §Æt x   t  t    dx  dt  Khi đó x sin x dx   cos x     t  sin    t  dt   cos    t        sin t t sin t  dt  dt 2  cos t  cos t 0      sin x  dx   cos x x sin x dx  cos x     x sin x  sin x 2 dx  dx 2  cos x  cos x 0 VËy     x sin x  sin x 2 dx  dx  2  cos x  cos x 0 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I Tính diện tích hình phẳng: Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b], diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b tính công thức: b S=|f (x )| dx a Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn ¿ y=x − x + ¿ ¿ y =0 ¿ ¿ x=0 ¿ ¿ x =3 ¿ ¿ ¿ |x − x +4|dx=¿ ( x −2 x 2+ x ¿ 30=3 ) S= ¿ Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và hai đường thẳng x = a, x = b, ta có công thức sau: b S=|f (x )− g (x)|dx a { Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y=x − x y=x Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x −2 x=x ⇒ x2 −3 x=0 ⇒ x=0 x=3 { ( |x − x − x| dx= 3x x − ¿0 =¿ ) ⇒ S= ¿ Chú ý: * Tương tự ( cách coi x là hàm biến y), diện tích S hình phẳng giới hạn các đường cong x = g(y), x = h(y) ( g và h là hai hàm liên tục trên đoạn [c,d]) và hai đường thẳng y = c, y = d là: d S=|g ( y)− h( y )|dy c Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=√ x , trục hoành và đường thẳng y=x −2 Ta có hình phẳng này giới hạn đường cong x= y , đường thẳng x= y +2 , trục hoành y=0 và đường thẳng y=2 Vậy diện tích hình phẳng này là: |( S=| y − y −2|dy= y3 y2 10 − −2 y ¿ 20 = 3 ) | * Ngoài ra, hình phẳng giới hạn nhiều đường cong liên tục thì sau vẽ hình, ta chia thành các hình phẳng thuộc các dạng đã học tính II Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên [a,b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên khối tròn xoay Thể tích V nó tính theo công thức: b V =π  f ( x ) dx a Ví dụ 4: Tính thể tích khối tròn xoay tạo phép quay quanh trục Ox, hình ¿ phẳng giới hạn y=x − x + ¿ ¿ y =0 ¿ ¿ x=0 ¿ ¿ x =3 ¿ ¿ ¿ ( x − ) 33 π V x =π  ( x − )4 dx=π ¿30 = 5 2 Tương tự cho đường cong có phương trình x = g(y), đó g là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [c,d] Hình phẳng giới hạn đường cong x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d, quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay và có thể tích tính công thức: d V =π  g ( y )dy c Hình phẳng giới hạn các đường cong liên tục y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, quay quanh trục hoành tạo nên khối tròn xoay và có thể tích tính công thức: b V =π | | [f ( x)− g2 ( x )]dx a Hay d V =π | | [g2 ( y )− h2 ( y )]dy c Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo phép quay quanh trục Oy, hình phẳng giới hạn V y =π | y=x x = y2 { | | | |(  [ ( √ y ) − y ] dy =π  ( y − y ) dy =π | y y 3π − ¿ = 10 )