De Thi HSG Toan lop 9 20112012

Dây QS của O vuông góc với MN tại trung điểm H của MN; QP kéo dài cắt O’ tai K.. Chứng minh: QK, SI, MN đồng quy.[r]

PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN Đề chính thức Năm học:2011-2012 Môn thi:Toán Thời gian:150’ (Không kể thời gian giao đề) Bài 1:(3đ) Cho A = (x + y + z)3 – x3 – y3 –z3 a)Phân tích A thành nhân tử(2đ) b)Chứng minh :nếu x,y,z là các số nguyên cùng chẵn cùng lẻ thì A 24(1đ) Bài 2:(3đ) x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x1 Cho biểu thức P= a)Rút gọn P (2đ) b)Tìm giá trị nhỏ P (1đ) Bài 3: (3đ) Giải phương trình: x   2x   x   2x  = 2 Bài 4: (2đ) Tìm nghiệm hữu tỉ phương trình: 3 3= x - y Bài 5: (3,5đ) Cho tam giác ABC cân A.Hai điểm M,D tương ứng là trung điểm BC, AM H là hình chiếu M trên CD; AH cắt BC N, BH cắt AM tai E Chứng minh rằng: E là trực tâm tam giác ABN Bài 6: (5,5đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính R và r (R > r ) tiếp xúc ngoài P Gọi PM và PN là hai đường kính (O) và (O’) Dây QS (O) vuông góc với MN trung điểm H MN; QP kéo dài cắt (O’) tai K a) Tứ giác MQNS là hình gì? b) Chứng minh: điểm S, K, N thẳng hàng c) QN cắt (O’) I Chứng minh: QK, SI, MN đồng quy d) Chứng minh: HK là tiếp tuyến (O’) Hết PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN Đề chính thức Năm học:2011-2012 Đáp án môn:Toán Thời gian:150’ (Không kể thời gian giao đề) STT Nội dung lời giải Biểu điểm Bài 1: 3đ a) Áp dụng công thức: (a + b)3 = a3 + b3 +3ab(a+b) A=[(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x3 + y3 +3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3 = 3(x + y)(xy + xz + yz +z2) = 3(x + y)[x(y + z) + z(y + z)] = 3(x + y)(y + z)(x + z) b) Nếu x, y, z là các số nguyên cùng chẵn hoạc cùng lẻ thì: (x + y)(y + z)(x + z) là số nguyên chẵn Nên (x + y)(y + z)(x + z) 8 Do đó: A = 3(x + y)(y + z)(x + z) 24 Bài 3đ  x a) 0,25đ  Rút gọn P: Điều kiện để P xác định:  x 1 x   x  x 1 P= x b)  x  x  x 1      x   x 1  = = x  x  x  1 x  = x  x 1 P = x  x 1    2 x x 1 x  x1  x 1 x1  x 1 1 x  2  x     2 = 1 3   x    2 4 = Vậy giá trị nhỏ P là Đạt x = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Bài Giải phương trình: x   x   x   x  = 2 (1) ĐK: x 0,25đ 2x   2x   2x   2x  = (1)      2x    2x  1  2x    x   0 2x      2x  1 =4 =4 =  2x  (Vì A = - A  A 0  x  3  2 x  32  2 x 14   x 7    x /  x 7   Vậy: S=  Bài 3đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Tìm nghiệm hữu tỉ phương trình: 3 = y x 3= (2) ĐK: x > y > Bình phương vế: 0,25đ  = x x  y  3xy  xy xy 3 =   xy    x  y  2    =  4xy =  x  y     x  y     xy   x  y    3  x  y   = Từ đó: x  y 2   4 xy   x  y    0  x  y 2    xy   2đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ   x    y 1   Vì ( x  y ) Vậy với x = , y = là nghiệm hữu tỉ phương trình (2) Bài 0,25đ 3,5đ A D 0,5đ H E B Xét ∆MHD và ∆CMD: M   MDC CMD 1v    MHD CMD  gg   MDC : chung  HD HM HD HM    hay  MD MC AD BM   Mặt khác   ADH 90  DMH   BMH    HDA HMB  cgc  AHD BHM  Do đó: =  Từ đó: AHB = DHM =900 Hay BH  AN N C 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Lại có: AM  BC (trung tuyến là đường cao)  E là trực tâm ∆ABN (đpcm) 0,25đ Bài Q M I H P 0,5đ S a) b) K Cm: Tứ giác MQNS là hình thoi HM = HN(gt) MB  QS (gt)  HQ = HS(đkính và dcung)  MQNS là hình bình hành Lại có: QS  MN (gt)  MQNS là hình thoi Cm: S, K, N thẳng hàng Nối N với K N 0,25đ 0,5đ 0,25đ  ∆MQP vuông(cạnh MP=2R)  MQK =IV hay MQ  QK  c) d) ∆NKP vuông(cạnh NP=2r)  NKQ =IV hay NK  QK  MQ // NK Lại có:MQ // NS(hthoi)  S, K, N thẳng hàng (đpcm) Cm: QK, SI, MN đồng quy PI  QN (∆PIN vuông)  SP  QN PK  NK (∆PKN vuông)  SN  QK  P là trực tâm ∆QSN Do đó QK, SI, MN đồng quy (đpcm) Cm: HK là tiếp tuyến (O’) Xét ∆QKS vuông K có HK là trung tuyến 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ      ∆KHS cân H nên QSN = HKS lại có: PNS = O ' KN   Mà QSN + PNS = 900 0,25đ    KHS  OKN = 900  HKO ' 0,5đ Nên =90  HK  O ' K   K   O '   HK là tiếp tuyến (O’) (đpcm) 0,25đ`