[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
HẢI LĂNG NĂM HỌC: 2009-2010
Mơn: TỐN
Thời gian: 120’ ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức:
1 Rót gän biĨu thøc
2 Tìm giá trị nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a) Chng minh: Vi x > 1, ta có: x
√x −1≥2.Dấu đẳng thức xảy nào?
b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN P = a2 b −1+
b2 a −1 Bµi 3: (2 ®iĨm)
Tìm số tự nhiên có chữ số mà tổng số tất chữ số 2001
Bµi 4: (2 ®iĨm)
Cho tam giác ABC vng A, gọi I giao điểm ba đường phân giác Độ dài hình chiếu IB IC lên BC a(cm),b(cm)
Tính diện tích tam giác ABC
Bài 5: (1 điểm)
Trong bìa trình bày dới đây, có mặt ghi chữ mặt ghi mét sè:
+ Chứng tỏ để kiểm tra câu sau có khơng: "Nếu tấm bìa mà mặt chữ nguyên âm mặt số chẵn", cần lật mặt sau tối đa bìa, bìa ?
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TỐN-VỊNG 2
ĐỀ CHÍNH THỨC VỊNG: 2
A
(2)Bài 1
Nội dung Điểm
(2 điểm)
Ta có: , nên điều
kiện để A có nghĩa là:
( )
0,50 0,25
0,50
0,25
0,50
Với số nguyên không âm, để A số ngun
(vì ) Khi đó:
0,50 0,50
Bài 2:
a) Với x > 1, ta có: x
√x −1≥2 x ≥2√x −1⇔x −2√x −1≥0; ¿ ( Đúng ) ; 0,5 đ
Vậy bất đẳng thức x
√x −1≥2 với x > Dấu “=”xảy
chỉ x=2 0,5 đ
b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm a2 b −1
b2
a −1 , ta có:
P = a2 b −1+
b2 a −12√
a2b2
(a −1)(b −1)=2 a
√a−1
b
√b −1 0,25 đ
Áp dụng kết câu a): Với a > 1, b > a
√a−1≥2,
b
(3)b cm a cm D
F E
I
C B
A
=> a2 b −1+
b2
a −12 2=8
=> P
=> Min P = a2 b −1=
b2
a −1; a = 2; b = a = b = 0,5 đ
Bài 3: (2đ)
Số phải tìm có dạng: abcd với a , b, c ,d N 0 a, b, c, d , a Theo đề , ta có : abcd+ a +b +c +d =2001
1001a +101b + 11c +2d = 2001 (1) (0,25đ) Từ (1) => 1001a 2001 , a N , a
=> a , a N ,a => a =1 (0,25đ) Ta suy : 101b + 11c + 2d = 1000 (2) (0,25đ) Từ (2) => 101 b 1000 => b (a) (0,25đ) Mặt khác , ta có : 11c +2d 117 => b >8 (b)(0,25đ) Từ (a) (b) , ta có b = (0,25đ)
11c + 2d = 91 (3)
Suy : 73 11c 91 , cN => c = c=8 (0,25đ) Từ (3) => c lẻ => c = => d = (0,25đ) Vậy : Số có chữ số phải tìm 1977
Bài 4:
Ta có (BD+BF)+(FA +AE) +(EC+CD)=AB+BC+CA (0,25đ) ⇒2BD+2AE+2EC=AB+BC+CA ⇒2BD+2AC= AB+BC+CA
⇒BD= (AB+BC-CA)/2 (0,5đ) Tương tự : CD =(AC+BC-AB)/2 (0,5đ)
Suy ra: BD.CD= [(AB+BC-CA)/2].[ (AC+BC-AB)/2] =[BC2 - AB2-AC2+2AB.AC]/4
=AB.AC/2 (Pytago)
=S(ABC) (0,5đ) Vậy S(ABC) =BD.CD=a.b (cm2) (0,25đ)
Bài 5:
+ C©u: "Nếu bìa mà mặt chữ nguyên âm mặt số
chn" ỳng kiểm tra bìa mặt chữ nguyên âm mặt sau
(4)+ Do lật bìa chữ A mà mặt sau số lẻ, khẳng định câu không đúng, ngợc lại mặt sau số chẵn phải lật tiếp mặt sau bìa có chữ số 3, mặt phụ âm câu hoàn toàn đúng, ngợc lại sai (0,25đ)