1.Âënh nghéa: Ten xơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của nó là hăöng số hoặc hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho với phép biến đổi hệ tọa độ các thành phần này[r]
(1)PHẦN II: CƠ HỌC MTLT CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN §1 TEN XÅ VAÌ CAÏC PHEÏP TÊNH XÅ 1.Âënh nghéa: Ten xơ là trường hợp riêng hệ thống phần tử, các thành phần nó là hăöng số hàm số xác định hệ sở đã cho với phép biến đổi hệ tọa độ các thành phần này thay đổi theo quy luật xaïc âënh Vê duû: ( ) n -Ten xơ hạng 0: F x , x , , x hàm các biến không gian F(X1 , X , , X n ) = F(x , x , , x n ) = F (F là đại lượng vô hướng) -Ten xå haûng 1: r Nếu đối tượng A biểu diễn các véc tơ sởú r r r A = A i E i → A laì ten xå haûng r r Khi thay đổi hệ tọa độ: E i → E 'i ta có: r r r' 'j A = A j E j = A Ei , âoï A' j & A i liãn r Ei hệ ⎛ i ∂X i ⎞ A = b A ⎜⎜ b j = j ⎟⎟ ∂x ⎠ ⎝ 'j i j i Ta gọi A i là các thành phần phản biến A ten xơ hạng -Ten xå haûng hai vaì haûng cao r r ij T = T E Đối tượng i E j , thay đổi hệ tọa độ ta có: T ij' = b ip b qj T pq → T laì ten xå haûng T ij : các thành phần phản biến T=T ijklm r r r r r E i E j E k E l E m T ijklm = T sqprt b si b qj b kp b lr b mt → T laì ten xå haûng (2) 2.Phép biến đổi tọa độ & véctơ sơú a)Phép biến đổi tọa độ x i : biến le X i : biến Lagrange ( X i = xi X 1, X , X ) ∂x i ∂x i j i dx = dX , a j = ∂X j ∂X j i J = a ij Định thức ma trận phép biến đổi Jacôbien Phép biến đổi ngược lại ∂X i ∂X i i i i j i a dX = dx b ; = b Trong âoï laì nghëch âaí o cuí a j j j ∂x j ∂x j i=k ∂x i ∂X j i ⎧1 i j = δ a j b k = k⎨ Ký hiệu Crônecke j k ∂X ∂x ⎩0 i ≠ k b) Đối với véctơ sơú: r r r, r r r ∂r i E i , E i : E i = i ; d r = E i dx ∂x r r ∂r r r E ,j = j ; d r = E 'j dx j ∂x r, r i r E i = E i a j , E i gọi véc tơ sơú hiệp biến r r i, j g = g E i E j → g laì ten xå mãtrêc Đưa vào véc tơ sơú xi ri r ij E = g Ej Coìn Xi r p' r pq E = g Eq r p' r r p' r i p i Mỗi quan hệ E & E sau E = b i E r Εi các véc tơ sơú phản biến c)Ten xơ hỗn hợp r r T = T Ei E j ij rir j T = Tij E E T ij phaín biãn Tij hiệp biên (3) rir T = Ti E E j → j T là ten xơ hỗn hợp Ti j 3)Caïc pheïp tênh cuía ten xå a)Phép cộng: Chỉ thực với các ten xơ cùng hạng cùng bậc Aij' = aiα a βj Aαβ (α, β, i, j = 1, n ) Bij' = aiα a βj Bαβ Aij' + Bij' = aiα a βj (Aαβ + Bεβ ) b)Nhân với vô hướng λA 'i j = bβj a αj (λAβα ) c)Pheïp nhán x ⎛p⎞ ⎛m+ p⎞ ⎛m⎞ A⎜ ⎟ x B⎜⎜ ⎟⎟ = C⎜⎜ ⎟⎟ Trong đó m,p lần phản biến n + q q n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ còn n,q hiệp biến Vê duû: A 'ij = a iα a βj A αβ B 'k = b'γk B γ A ,ij x B'k = C,ijk = a ,αi a βj x b,kγ Bγ γ γ γ C,ijk = a ,αi a β, j b ,kγ C αβ với C αβ = A αβ B C,ijk = A ,ij B,k d) Pheïp cuäün Nếu ten xơ hỗn hợp cho số trên số thì hạng tenxơ giảm hai ,k Cho tenxơ A với các thành phần A ij , k=j ta có: γ γ A ,ikk = a iα a βk b,kγ A αβ = a iα δ kγ A αβ = a iα A βαβ A βαβ → Ten xå haûng Pheïp nhán coï sæû ruït goün (n-2) goüi pheïp cuäün (4) CHƯƠNG II: CHUYỂN VỊ VAÌ BIẾN DẠNG TEN XƠ BIẾN DẠNG §1 CHUYỂN VỊ VAÌ BIẾN DẠNG 1.Chuyển vị Xét môitrường liên tục t=0 coï daûng S vaì taûi t coï daûng S 0x 1x x & 0X1X X là hai hệ tọa độ Đề cácvuông góc r P0 , Q ∈ S0 : dX Sau chuyển dịch và biến dạng r → PQ : dx r2 r r r r r2 Tính hiệu: dx − dX = dx.dx − dXdX = dx k dx k − dXi dXi ∂x k = dX i dx k Theo Lagrange: ∂X i r ∂x ∂x k dX i dX j dx = k ∂X i ∂X j r2 dX = dX i dX i = δ ijdX i dX j Thay vaìo ta coï: r ⎛ ∂x k ∂x k ⎞ r2 − δ ij ⎟dX i dX j dx − dX = ⎜ ⎟ ⎜ ∂X ∂X j ⎝ i ⎠ = E ijdX i dX j Với E ij = ⎞ ⎜⎛ ∂x k ∂x k − δ ij ⎟ gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Grin ⎟ ⎜⎝ ∂X i ∂X j ⎠ r2 d x = δ ijdx i dx j Theo Å le: r ∂X k ∂X k dX = dx i dx j ∂x i ∂x j r2 ⎛ r2 ∂X k ∂X k ⎟⎞ ⎜ dx − dX = δ ij − dx dx = L ij dx i dx j ⎜ ⎟ i j ∂ ∂ x x i j ⎠ ⎝ (5) ∂X k ∂X k ⎞⎟ ⎛⎜ = δ − L với ij ⎜ ij ∂x ∂x ⎟ gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Amăngxi i j ⎠ ⎝ 2.Biểu diễn ten xơ biến dạng qua chuyển vị Ta có véc tơ chuyển vị phần tử P0 : r r r u = x − X hay u i = x i − X i ∂u i ∂x i ∂x i ∂u i = − δ ⇒ = + δ ij ij Theo biến Lagrange: ∂X ∂ ∂ X X ∂ X j j j j ∂u i ∂X i ∂X i ∂u i = δ − ⇒ = − + δ ij ij Coìn theo Å le ta coï: ∂x x x x ∂ ∂ ∂ j j j j ⎤ ⎞⎛ ∂u k ⎞ ⎡⎛⎜ ∂u k ⎟ Thế vào ten xơ E ij = ⎢⎜ ∂X + δ ij ⎟⎜⎜ ∂X ⎟⎟ − δ ij ⎥ j ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎠⎝ i ⎠ = ⎜⎛ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟ + + ⎜⎝ ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j ⎟⎠ ⎛⎜ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟ L = Ten xå ij ⎜ ∂X + ∂x − ∂x ∂x ⎟ j i i j ⎠ ⎝ §2.TEN XƠ BIẾN DẠNG BÉ VAÌ TEN XƠ QUAY 1.Ten xơ biến dạng bé ∂u k Bỏ quá các số hạng nhỏ bậc cao ∂x ta còn lại sau: i E ij → ε ij = ⎛⎜ ∂u i ∂u j ⎞⎟ + ⎝⎜ ∂X j ∂X i ⎟⎠ ⎜⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎟ L ij → l ij = + ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ Gọi là ten xơ biến dạng bé, đây là ten xơ đối xứng hạng 2: ε ij = ε ji , l ij = l ji (6) 2.Ten xå quay r r r Ta có u và u + du là véc tơ chuyển vị P0 &Q chuyển vị tương đối Q & P0 là: r r r du = u Q0 − u P0 du i = u Q0i − u P0i Khai triển du i = ⎡ ⎛ ∂u ∂u j ⎞ ⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎤ ∂u i ⎟⎥dX j = (ε ij + ωij )dX j ⎟+ ⎜ dX j = ⎢ ⎜ i + − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂X j ⎣⎢ ⎝ ∂X j ∂X i ⎠ ⎝ ∂X j ∂X i ⎠⎥⎦ ωij = ⎜⎛ ∂u i ∂u j − ⎜⎝ ∂X j ∂X i ⎞ ⎟ ⎟ goüi laì ten xå quay Lagrange ⎠ Còn biến Ơ le: ~ = ⎛⎜ ∂u i − ∂u j ⎞⎟ ω ij ⎝⎜ ∂x j ∂x i ⎟⎠ goüi laì ten xå quay Å le Ten xơ quay là ten xơ phản đối xứng ~ = −ω ~ ωij = − ω ji ; ω ij ji ⎡ ωij = ⎢− ω12 ⎢ Nên có thểï viết dạng ma trận ⎢⎣ − ω13 Trong âoï: ⎛ ∂u ∂u ⎞ ω1 = ω23 = ⎜ − ⎟ ⎝ ∂X ∂X3 ⎠ ω2 = ω13 = ⎛ ∂u1 ∂u ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜⎝ ∂X ∂X1 ⎟⎠ ω2 = ω21 = ⎛ ∂u ∂u1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎝ ∂X1 ∂X ⎠ ω12 − ω23 ω13 ⎤ ω23 ⎥ ⎥ ⎥⎦ (7) Hay: r ω= r rotu Trong trường hợp chuyển vị bé thì tọa độ đầu và cuối phần tử gần nên gradien chuyển vị theo Lagrange và Ơ le gần nãn ε ij = l ij vaì ~ ωij = ω ij Ta thường dùng biến dạng bé nghiên cứu vật rắn biến dạng 3.Ý nghĩa vật lý ten xơ biến dạng bé và ten xơ quay a)Ten xơ biến dạng nhỏ ∂u ∂u ∂u ε11 = ; ε 22 = ; ε 33 = ∂X ∂X ∂X ∂u ∂x ∆x ∆ x − ∆X − = − = ε = = Thành phần 22 ∂X ∂X ∆X ∆X goüi ∆X = P0 Q : phân tố thẳng trùng trục X Vậy ε 22 biến dạng dài tỉ đốicủa phân tố theo tæång tæû ε11 , ε 22 , ε 33 : hay ε ii X2 biến dạng dài tỉ trục Các thành phần không nằm trên đường chéo ε 32 = Nãn ε 32 γ ij chênh laì ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ ∂X ∂X ⎠ ∂u ∂u Q' Q = = = tgα = α ∂X ∂x PQ' ∂u ∂u M ' M = = = tgβ = β ∂X ∂x PM ' 1 = (α + β ) = γ 32 2 gọi gocï trượt trên mặt phẳng 0X i X j nên ε ij (i ≠ j) gọi biến dạng trượt Xi (8) b)Ten xå quay ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ω 32 = ⎜⎜ − ⎟⎟ = (α − β ) = α − β ⎝ ∂X ∂X ⎠ 2 α : góc quay phân tố P0 Q β : góc quay phân tố P0 M α góc quay đường chéo âoï B0 cuía P0 quanh truûc X1 P0 Q quay goïc Còn β góc quay ngược lại đường chéo quanh truûc X1 phân tố P0 Q B0 M P0 B0 ∈ P0 Q B0 M P0 M quay goïc β Như ω32 biểu thị quay các đường chéo P0 B0 cùng góc quay phân tố Ta coï P0 Q B0 M X1 u Q0i = u P0i + du i = u P i + (ε ij )P dx j + (ω ij )P dx j hay quanh truûc r r r r u Q0 = u P0 + u ε + u ω Trong âoï 0 r r r uω = ω ∧ du §3TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG TẠI LÂN CẬN TẠI MỘT ĐIỂM Trạng thái biến dạng điểm MTLT biểu thị ten xơ hạng hai đối xứng ε ij 1.Quy luật biến đổi thay đổi hệ tọa độ Đối với hệ tọa độ Đề các người ta có công thức biến đổi ε ij = a im a jn ε mn ε mn = b mi b njε ij ' b ij = a ji ( a = cos x våúi ij i , X j ) , coìn (9) Đối với hệ tọa độ cong: ∂θ i i ∂θ 'i a = ,bj = ∂θ ' j ∂θj i j 2.Biến dạng chính, phương chính, Bất biến trạng thái biến dạng Tại điểm MTLT trạng thái biến dạng đặc trưng ten xơ biến dạng ε ij thì ta có thể xác định điểm đó có phương vuông góc với có biến dạng dài ký hiệu ε I , ε II , ε III (ε I > ε II > ε III ) Các giá trị ε I , ε II , ε III là biến dạng dài cực trị gọi là biến dạng chính Còn phương các biến dạng chính gọi phương chính trên các mặt phẳng vuông góc phương chính không có biến dạng trượt Biến dạng chính là nghiệm phương trình sau: ε 3(α ) − ℑ ε (2α ) + ℑ2 ε 3(α ) − ℑ3 = ℑ1 , ℑ , ℑ3 : bất biến ten xơ biến dạng với ℑ1 = ε ii = ε11 + ε 22 + ε 33 ℑ2 = θ= Thay ε 21 ε 22 ε 32 ε 23 ε 33 (εijε jj − εijεij ) = εε11 12 ε 22 ε11 ε 21 ε 31 ℑ3 = ε12 ε 22 ε 32 ε13 ε 23 ε 33 + + ε13 ε 31 ε11 dV − dV0 = ε11 + ε 22 + ε 33 = ℑ, θ độ biến đổi tỉ đối thể tính dV0 ε (α ) vaìo phæång trçnh: ⎧ (ε11 − ε (α ) )n1 + ε 21n + ε 31n = ⎪ ⎨ε12 n1 + (ε 22 − ε (α ) )n + ε 32 n = ⎪ ε n + ε n + (ε − ε )n = 23 33 (α ) ⎩ 13 Với n + n + n = ⇒ n , n n các phương chính ε 33 2 (10) 3.Ten xơ cầu và lệch biến dạng ε ij = ε 'ij + ε 'ij ⎡ ε 0⎤ ε 'ij = ⎢0 ε 0⎥ ⎢ ⎥ gọi là ten xơ cầu âoï ⎢⎣0 ε ⎥⎦ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) ε = Với ε 21 ε 31 ⎤ ⎡ε11 − ε ε"ij = ⎢ ε12 ε 22 − ε ε 32 ⎥ ⎢ ⎥ ε 23 ε 33 − ε⎥⎦ ⎢⎣ ε13 §4.PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG thành phần ten xơ biến dạng béï xác định thành phần ui chuïng phuû thuäüc vaìo Sự phụ thuộc này bảo đảm cho các biến dạng tương thích với (vì MTLT sau biến dạng còn LT) Để bảo đảm tính liên tục ta phải loại bỏ các thành phần ui quan hệ các đạo hàm các thành phần ten xơ Từ đây ta nhận phương trình độc lập 1 ω ij ,k = (u i , kj − u uû , ki ) = (u i , jk − uûj,i k) 2 = Cho (u i, jk − u k,ij − u k,ij − u j,ik ) ε ij tçm ui theo trên ta cần tìm ( = ε ik , j − ε jk ,i ωij ) Điều kiện cần và đủ để ε ik , j − ε jk ,i dx i có vi phân toàn phần Mà A i dx i coï vi phán toaìn phần, ε ik , jm + ε jm ,ik − ε jk ,im − ε im , jk = A i , m = A m ,i nãn (11) ∂ ε ij ∂ ε jk ∂ ε km ∂ ε im hay: ∂x ∂x + ∂x ∂x − ∂x ∂x − ∂x ∂x = j k i m i j k m §5.TỐC ĐỘ BIẾN DẠNG, VẬN TỐC XOÁY 1.Ten xơ tốc độ biến dạng d d ⎜⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎟ ε ij = + dt dt ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ ∂ ⎛ du i ⎞ ∂v i d ⎛⎜ ∂u i ⎞⎟ = ⎜ ⎟= dt ⎝⎜ ∂x j ⎠⎟ ∂x j ⎝ dt ⎠ ∂x j ⎜⎛ ∂v i ∂v j ⎞⎟ Ta ký hiệu D ij = dt = ⎜ ∂x + ∂x ⎟ Ten xơ tốc độ biến dạng i ⎠ ⎝ j dε ij 2.Ten xơ vận tốc xoáy ⎜⎛ ∂v i ∂v i Coìn Vij = dt = ⎜ ∂x − ∂x i ⎝ j dωij ⎞ ⎟ ⎟ Ten xơ vận tốc xoáy ⎠ Ω1 = V32 , Ω = V13 ; Ω = V21 r r Ω = rotV 3.Vận tốc lân cận điểm P ⎛ ∂v ⎞ VQi = VPi + ⎜ i ⎟ dX j = VPi + (D ij )P dx j + (Vij )dX j ⎜ ∂x ⎟ ⎝ j ⎠P Hay r r r r VQ = VP + Vbd + VΩ Vận tốc xoáy: r r r V Ω = Ω ∧ dx (12) CHƯƠNG III: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT §1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM 1.Lực mặt, lực thể tích Nội lực a.Lực mặt r r r dQi ⎞ ∆Q dQ ⎛ = f (M ) = lim ⎜ fi (M ) = ⎟ ∆S →0 ∆S dS ⎝ dS ⎠ b.Lực thể tích (khối) dm ⎧ r r ⎪ ρ (M ) = F (M ) = K (M )ρ (M )⎨ r dV ⎪⎩ K (M ) mật độ khối lượng Lực tác dụng lên đơn vị khối lượng Fi (M ) = K i (M )ρ (M ) c.Näüi læûc r r ∆f Tntb = ∆S là ứng suất trung bình r r r ∆f df Tn = lim = ∆S→ ∆ S dS là véc tơ ứng suất M df i T = ni hay dS , Tn =- T-n r r r Tn = σn + τ σ : ứng suất pháp; τ : ứng suất tiếp 2.Ten xơ ứng suất Xét phân tố lập phương hệ tọa độ Đề các r r r e1 , e , e r r r T1 , T2 , T3 vaì r r r r T1 = σ11e1 + σ12 e + σ13e3 (13) r r r r r T2 = σ 21e1 + σ 22 e + σ 23e3 hay Ti r r r r T3 = σ 31e1 + σ 32 e + σ 33e3 σ ij r = σ ij e i ten xơ hạng gọi là ten xơ ứng suất 3.Ứng suất điểm M Xét phân tố M: MABC r n là pháp tuyến, nilà cos phương với các mặt phẳng tọa độ diện tích ABC: dS dSi = n i dS r r Lực mặt gồm: − Ti & Tn r r Lực khối: ρK & − ρW Xét cân các lực lên phân tố: r r r r Tn dS − Ti dS i + ρ K − W dV = r r r r Tn dS − Ti ni dS + ρ K − W dV = r r r r dV ⇒ Tn − Ti ni + ρ K − W =0 dS Khi (ABC) → M r r Ti = σ ij e j r r T = σ n e ij i j ; Nãn n hay ( ( ( ) dV → : ) ) Ta coï: r r Tn = Ti n i maì Tn j = σ ij n i Ten xơ ứng suất điểm xác định trạng thái ứng suất điểm §2.PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG VAÌ CÂN BẰNG CUÍA MTLT 1.Phương trình chuyển động Theo nguyãn lyï D’alambe r r r T dS + K ∫∫ n ∫∫∫ − W ρdV = S ( V ) (14) r r r r r x ∧ T dS + x ∧ K − W ρdV = ∫∫ n ∫∫∫ ( S hay ∫∫ T nK ∫∫ ε S Trong âoï ) V ds + ∫∫∫ (K K − WK )ρdV = (*) V ijK x j TnK dS + ∫∫∫ ε ijK x j (K K − W K )ρdV = V ε ijK ký hiệu Spin Có số =0 =1 = −1 Theo công thức Gao xơ: hoán vị chẵn hoạn vë leí (TnK = σiK n i ) ∫∫ σiK n i dS = ∫∫∫ S (**) V ∂σ iK dV ∂x i ⎤ ⎡ ∂σ iK ( ) K W ρ ⇒ + − K K ⎥ dV = ⎢ (*) ∫∫∫ x ∂ i ⎦ V ⎣ ∂σ iK vì V ∂x + (K K − WK )ρ = → phương trình chuyển động i r W = WK = : ∂σ iK + K K ρ = phương trình cân ∂xi 2.Định luật đối ứng ứng suất tiếp Từ (**), thay: ⎞ ⎛ ∂σ iK ∂x j ⎜ e x n dS e x dV σ = + σ ijK ⎜ j iK ⎟ ∫∫S ijK j iK i ∫∫∫ ⎟ ∂x i ⎠ ⎝ ∂x i V ⎞ ⎛ ∂σ = ∫∫∫ e ijK ⎜⎜ x j iK + σ jK ⎟⎟dV ⎠ ⎝ ∂x i V Ta coï: ⎡ ∂σ iK ⎤ ( ) e x K W ρ + − ijK j ⎢ K K ⎥ dV + ∫∫∫ eijK σ jK dV = ∫∫∫ x ∂ ⎣ i ⎦ V V ⇒ e ijK σ jK = ⇒ σ12 = σ 21 ; σ 23 = σ 32 ; σ 31 = σ13 (15) Hay σ ij = σ ji ten xơ đối xứng 3.Quy luật biến đối ứng suất thay đổi hệ tọa độ Taûi M, Mx , x , x → Mx 1' , x '2 , x '3 a ij = cos(x 'i , x j ) σ 'ij = a im a jn σ mn σ mn = b mi b nj σ ij b ij = a ji Trong hệ tọa độ cong σ 'ij = a im a nj σ mn ⎛ i ∂θi ⎞ ⎜a j = 'j ⎟ ∂θ ⎟ ⎜ 'i ⎜ i ∂θ ⎟ ⎜bj = j ⎟ ∂θ ⎠ ⎝ σ mn = b im b nj σ 'ij §3 ỨNG SUẤT CHÍNH VAÌ PHƯƠNG CHÍNH, CÁC BẤT BIẾN CỦA TEN XƠ ỨNH SUẤT r r Tn = σn Tnj = σnj = σ ij n j σ ứng suất chính; n j = δ ij n i σ ij n i − σδ ij n i = ⇒ (σ ij − δ ijσ )n i = ⎧ (σ11 − σ )n1 + σ 21n + σ 31n = ⎪ ⎨σ12 n1 + (σ 22 − σ )n + σ 32 n = hay ⎪ (*) ⎩ σ13 n1 + σ 23 n + (σ 33 − σ )n = Để hệ phương trình có nghiệm (16) σ11 − σ σ 21 σ 31 del σ ij − δ ijσ = σ12 σ 22 − σ σ 32 = σ13 σ 23 σ 33 − σ σ − I1σ + I σ − I = I1 = σ ii = σ11 + σ 22 + σ 33 σ 22 σ 11 σ 21 I2 = σ σ + σ 23 12 22 σ 32 σ 33 σ 13 σ 33 + σ 31 σ 11 ( I1,I2 ,I3 các bất biến) I = del σ ij σ I > σ II > σ III Thay σ I vaìo (*) ⇒ ứng suất chính n1 , n , n Taûi M coï caïc phæång chênh ⎤ Tn1 = σ I n ⎡σ I σ ij = ⎢ σ II ⎥ Tn = σ II n ⎢ ⎥; σ III ⎥⎦ Tn = σ III n ⎢⎣ §4.ỨNG SUẤT TIẾP CỰC TRỊ τ 2n = Tni Tni − σ 2n σ n = Tn i n i = Tn1 n + Tn n + Tn n σ n = σ I n12 + σ II n 22 + σ III n 32 τ = σ n + σ n + σ n − (σ I n + σ II n + σ III n n I 2 II 2 III 2 = (σ 2I − σ 2III )n12 + (σ12 − σ 2III )n 22 + σ 2III ) 2 (17) [ − (σ I − σ III )n + (σ II − σ III )n + σ III {σ ⇒ {σ 2 ∂τ n =0 ∂n2 ∂τ n = 0; ∂n [ − 2[(σ ] ] )n ]}n I − σ III − (σ I − σ III )n12 + (σ III − σ III )n 22 }n1 = II − σ III Xét trường hợp 1: Xét trường hợp 2: I − σ III )n12 + (σ II − σ III n1 ≠ 0; n = n1 = 0; n ≠ n ; n = 0; n = ± ⇒ = ± Trừơng hợp 1û ⇒ = = ± n ; n ; n3 = ± Trừơng hợp 2 Tæång tæû n1 = ± τI = ± 2 =0 2 1 ; n2 = ; n3 = 2 σ II − σ III σ − σ III σ − σ III ⇒ τ II = ± I ⇒ τ max = τ II = I 2 σ − σ II τ III = ± I §5 BIỂU DIỄN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BẰNG VÒNG TROÌN M Cho mặt với các phương chính M: với các cos phương n1 , n , n n1 = cos α; n = cos β; n = cos γ Ta có công thức tính ứng suất pháp và tiếp trên mặt: ⎧ σ n = σ I n12 + σ II n22 + σ III n32 ⎨ 2 2 2 2 2 ⎩τ n = σ I n1 + σ n2 + σ III n3 − σ I n1 + σ II n2 + σ III n3 ( n 12 + n 22 + n 32 = ) với (18) ⎧ τ n2 + (σ n − σ II )(σ n − σ III ) ≥0 ⎪n1 = ( )( ) − − σ σ σ σ I II I III ⎪ τ + (σ n − σ III )(σ n − σ I ) ⎪ ⇒ ⎨ n22 = n ≥0 ( )( ) − − σ σ σ σ II III II I ⎪ ⎪ τ n + (σ n − σ I )(σ n − σ II ) ⎪ n3 = (σ − σ )(σ − σ ) ≥ III I III II ⎩ với σ I > σ II > σ III ⎧τ 2n + (σ n − σ II )(σ n − σ III ) ≥ ⎪ ⇒ ⎨ τ 2n + (σ n − σ III )(σ n − σ I ) ≤ hay ⎪ τ + (σ − σ )(σ − σ ) ≥ n I n II ⎩ n σ + σ III ⎞ ⎛ ⎛ σ − σ III ⎞ τ 2n + ⎜ σ n − II ⎟ ≥ ⎜ II ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ σ + σ σ − σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ III III τ 2n + ⎜ σ n − I ⎟≤⎜ I ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 σ I + σ II ⎞ ⎛ ⎛ σ I − σ II ⎞ τn + ⎜ σn − ⎟ ≥⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Chọn mặt phẳng tọa độ (σ n ,τ n ) (I)(II)(III) Vòng tròn Mo nơ cho ta nhận thấy các giá trị ứng suất pháp σ n và ứng suất tiếp τ n trên mặt phẳng thuộc phạm vi tam giaïc cong ABC cuía ba voìng troìn M0 Cách xác định ứng suất trên mặt phẳng biết phương mặt Giả sử σ I , σ II , σ III ta có vòng tròn M Với các góc α, β, β , ta xác định điểm K ∈ ∆ABC maì σ n ,τ n là tọa độ K Biểu thị ứng suất pháp và tiếp mặt Đối với phương chính III với góc γ , từ vòng tròn III: 2γ điểm G từ vòng tròn I : 2α = CD Ta có đường cong tròn với tâm O3 , bán kính O D : ta có cung DE Ta có đường cong tròn với tâm O1 , bán kính K là giao điểm cung DE và GH O1G : ta có đường cong GH (19) CHƯƠNG IV: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VAÌ BIẾN DẠNG CỦA CÁC MÔI TRƯỜNG THƯỜNG GẶP §1 CHẤT LỎNG NHỚT σ ij = − p 0δ ij + τ ij 1.Ten xơ ứng suất -P0 áp suất - τ ij : ten xơ ứng suất nhớt Trong chất lưu, ứng suất nhớt liên hệ với lượng hao tán thể qua ten xơ tốc độ biến dạng D ij : τ ij = f ij (D pq ) : chất lỏng Xtốc Nếu tuyến tính hóa ta có dạng: τ ij = K i jpq D pq gọi chất lỏng Niu tơn ( K ijpq hệ số nhớt) Nếu chất lỏng đồng chất thì K là số Nếu chất lỏng không đồng chất thì K là hàm các tọa độ K ijpq có 81 thành phần K ijpp = (i ≠ j) Chỉ tồn K iipp ≠ thành phần với số độc lập: λ1 & µ1 K1111 = K 2222 = K 3333 = 2µ1 + λ1 K1122 = K1133 = K 2233 = λ1 K iipp = K ppii Trong đó λ1 & µ1 gọi là hệ số nhớt: thể tích λ1 µ1 hçnh daïng Khi âoï ε ij = λ1θ& δ ij + 2µ1 D ij liên hệ với tốc độ biến dạng liên hệ với tốc độ biến dạng (20) 2.Phương trình xác định chất lỏng Niu tơn: σ ij = − pδ ij + λ1θ& δ ij + 2µ1 D ij Khai triển: σ11 = − p + λ 1θ& + 2µ1 D11 ; σ12 = 2µ1 D12 σ 22 = −p + λ1θ& + 2µ1D 22 ; σ 23 = 2µ1D 23 σ = − p + λ θ& + 2µ D ; σ = 2µ D 33 1 r & Với θ = D11 + D22 + D33 = divV 33 13 13 r Đối với chất lưu không chịu nén ( divV = ) Phæång trçnh coï daûng: σ ij = − pδ ij + 2µ1 D ij 3.Hệ phương trình chất lỏng Niu tơn Theo biến Ơ le: r Dρ + ρdivV = +Phæång trçnh liãn tuûc: Dt ∂σ ij Dv i K + ρ = ρ i +Phương trình chuyển động: ∂x j Dt Du ∂C j (1) (3) +Phương trình lượng: ρ dt = σ ij Dij − ∂x + ρb j - σ ij D ij : Haìm hao taïn (1) u: lượng riêng - C j :lưu lượng nhiệt -.b :hệ số xạ +Phæång trçnh xaïc âënh: σ ij = − pδ ij +λ1 δ ijθ& + 2µ1 D ij (ρ , T ) +Phæång trçnh traûng thaïi: P = P +Điều kiện truyền nhiệt Furiê: C j = −K +Phæång trçnh traûng thaïi Caläri: ∂T ∂x j (1) (3) (6) (21) u = u (ρ , T ) Gồm 16 phương trình với 16 ẩn số: (1) ρ , Vi , C j , u , T , σ ij , P Đây là hệ phương trình đạo hàm riêng tuỳ các bài toán cụ thể cần bổ sung điều kiện biên và điều kiện ban đầu Læu yï: Thay D ij vaìo σ ij thì phương trình chuyển động ta nhận phæång trçnh Nariã-Xtäc ∂ 2V j ∂ 2Vi DVi ∂ρ − + (λ1 + µ1 ) + µ1 + ςK i = ρ ∂xi ∂xi ∂x j ∂x j ∂x j Dt Daûng veïc tå: − gradρ + (λ1 + µ1 )grad r r r r Dv divv + µ1 ∆v + ρK = ρ Dt r Đối với chất lưu không nén (không chịu nén) divv = ∆ ∂ ∂ ∂ ∆ = + + toán tử Laplace ∂x 12 ∂x 22 ∂x 32 §2.CHẤT RẮN ĐAÌN HỒI ĐỊNH LUẬT HOOKE 1.Vật đàn hồi tuyến tính -Phục hồi trạng thái ban đầu thôi tác dụng lực -Liãn tuûc -Đồng chất -Đẳng hướng 2.Định luật Hooke Cũng giống chất lỏng Niutơn quan hệ ứng suất với biến dạng beï ta coï: σ ij = A ijkl ε kl A ijkl : ten xơ hạng có: 34 = 81 thành phần Do tính đối xứng σ ij & ε kl nên còn ≤ 36 → 21 thành phần Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng (22) Định luật Hooke: σ ij = λδ ij ε kk + 2µε ij λ, µ : số Lam ê Giải ngược lại ta có quan hệ biến dạng và ứng suất: 1 δ ijσ kk + σ ij 2µ(3λ + 2µ ) 2µ ε ij = Trong keïo âån theo phæång: ta coï coìn ε 22 = ε 33 = −νε 11 σ11 = Eε11 (E: mô đun đàn hồi) ( ν : hệ số Pootxông) Từ đây ta có các quan hệ các số: Eν E ;µ = (1 + ν )(1 − 2ν ) 2(1 + ν ) λ 3λ + 2µ ν = E = µ ; hay λ+µ 2(λ + µ ) λ= Thế vào định luật Hooke: σ ij = ν E ⎛ ⎞ δ ijε kk ⎟ ⎜ ε ij + (1 + ν ) ⎝ − 2ν ⎠ ε ij = 1+ ν ν σ ij − δ ijσ kk E E 3.Giải bài toán tỉnh lý thuyết đàn hồi đồng chất đẳng hướng a)Theo chuyển vị phương trình Lamê ∂σ ij + ρK i = Phương trình cân bằng: ∂x j Công thức Côsi ⎜⎛ ∂u i ∂u i ⎞⎟ ε ij = + ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ -6 phương trình tương thích biến dạng -Quan hệ ứng suất và biến dạng: σ ij = λδ ij ε kk + 2µε ij (23) Với điều kiện trên biên cho chuyển vị trên toàn biên u i (x ) = Qi (x ); (x ∈ S ) ta có gồm 15 phương trình với 15 ẩn số Từ phương trình cân ta thay u i , σ ij , ε ij σ ij → u i ta nhận được: ∂ 2u j ∂ 2ui µ + (λ + µ ) + ρK i = ∂x j ∂x j ∂x j ∂xi r r r Hay daûng Veïc tå: µ∆u + (µ + λ )grad divu + ρK = r r r (λ + 2µ )grad divu − µrotrot u + ρK = hay: ( ) phæång trçnh Lamã r r r ∆u = grad divu − rotrotu ) (vç b)Theo ứng suất phương trình Bentrami-Misen Thế εij qua σ ij theo phương trình tương thích biến dạng ∂2S ⎜⎛ ∂K i ∂K j ∆σ ij + = + ⎜ ∂xi + ν ∂xi ∂x j ρ ⎝ ∂x j λ ; S = σ kk ν = Với 2(λ + µ ) ⎞ ⎟ − ν δ ij ∂K k ⎟ −ν ∂x k ρ ⎠ r ∂ 2S Nếu K = cte ⇒ ∆σ ij + + ν ∂x ∂x = > phương trình Bentramii j Misen Điều kiện biên theo ứng suất σ ji (x, t )n j (x ) = f ni (x, t ) , (x ∈ S) (24)