Cơ học môi trường liên tục

Tài liệu tham khảo Giáo trình Cơ học môi trường liện tục dành cho các sinh viện khoa kiến trúc

Ví dụ:

-Ten xơ hạng 0: hàm đối với các biến trong không gian

( 12nx, ,x,x

Nếu một đối tượng biểu diễn các véc tơ cơ sởú Ar

Ar iri r→=

Khi thay đổi hệ tọa độ: 'i

→ ta có:

= , trong đó jiliên hệ

AA &'

∂= ji

Ta gọi i là các thành phần phản biến của A ten xơ hạng 1

-Ten xơ hạng hai và hạng cao

Đối tượng ij, khi thay đổi hệ tọa độ ta có:

Tij' = ip qj pq →

T : các thành phần phản biến

T T là ten xơ hạng 5

2.Phép biến đổi tọa độ & véctơ cơ sơú a)Phép biến đổi tọa độ

x : biến ơ le

X : biến Lagrange ( 123)

xXi = i

= ; Trong đó bij là nghịch đảo của aij

j Ký hiệu Crônecke

b) Đối với véctơ cơ sơú:

: ii

∂∂= rr

; dr =rEri.dxi

j ;dr E dxx

Er r r r=∂

i E.aErr

= các véc tơ cơ sơú phản biến Εri

c)Ten xơ hỗn hợp

phản biên

EETT r r

= Tij hiệp biên

T là ten xơ hỗn hợp ji

3)Các phép tính của ten xơ

a)Phép cộng: Chỉ thực hiện được với các ten xơ cùng hạng cùng bậc αβ

βα aAa

Aij' = i . j .(α,β,i,j=1,n)αβ

Aij' + ij' = ij +

b)Nhân với một vô hướng

λA'ijbjaj Ac)Phép nhân x

nmA x

B Trong đó m,p chỉ lần phản biến

còn n,q hiệp biến Ví dụ: A'ij =aαi aβjAαβ

γ

γ BbB'k = 'k.

A== α,i βjk

với

Phép nhân có sự rút gọn (n-2) gọi phép cuộn

CHƯƠNG II: CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN

§1 CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG

1.Chuyển vị

Xét môitrường liên tục tại t=0 có dạng và tại t có dạng S S0

1x x &0X X Xx

0 là hai hệ tọa độ Đề cácvuông góc X

P0 0 0 r∈

Sau khi chuyển dịch và biến dạng →PQ:dxr

Tính hiệu: dxr 2 dXr 2 dxr.dxrdXrdXr−

=dx dxkk −dX dXii

Theo Lagrange: iik

Thay vào ta có:

dr − r =⎜⎜⎝⎛∂∂ ∂∂ −δ ⎟⎟⎠⎞

2=Với = ⎜⎜⎝⎛∂∂ ∂∂ −δij⎟⎟⎠⎞

E gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Grin Theo Ơ le: ijij

r

với = ⎜⎜⎝⎛δ − ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

L gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Amăngxi

2.Biểu diễn ten xơ biến dạng qua chuyển vị

Ta có véc tơ chuyển vị của phần tử : P0

Thế vào ten xơ

= ⎜⎜⎝⎛∂∂ ij + ∂∂Xji + ∂∂Xuki ∂∂Xukj ⎟⎟⎠⎞u

Ten xơ = ⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ − ∂∂ ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

§2.TEN XƠ BIẾN DẠNG BÉ VÀ TEN XƠ QUAY

1.Ten xơ biến dạng bé

Bỏ quá các số hạng nhỏ bậc cao đối với

ta còn lại như sau:

Gọi là ten xơ biến dạng bé, đây là ten xơ đối xứng hạng 2:

ij =ε,l=lε

2.Ten xơ quay

udur +r

Ta có ur và

là véc tơ chuyển vị của chuyển vị tương đối giữa là:

00 &QP

00 &PQ

Q uu

i uudu

00 −=

Khai triển

( ijij) jj

gọi là ten xơ quay Lagrange Còn đối với biến Ơ le:

gọi là ten xơ quay Ơ le Ten xơ quay là ten xơ phản đối xứng

ij =−ω;ω~=−ω~ω

Nên có thểï viết dưới dạng ma trận

u21

Hay: rrotur2

Trong trường hợp chuyển vị bé thì tọa độ đầu và cuối của một phần tử rất gần nhau nên gradien chuyển vị theo Lagrange và Ơ le gần bằng nhau

nên εij =lij và ωij =ω~ij

Ta thường dùng biến dạng bé đi nghiên cứu vật rắn biến dạng

3.Ý nghĩa vật lý của ten xơ biến dạng bé và ten xơ quay a)Ten xơ biến dạng nhỏ

gọi ∆X=P0Q0 : phân tố thẳng trùng trục X2Vậy ε22 chính là biến dạng dài tỉ đốicủa phân tố theo X2

tương tự ε11,ε22,ε33: hay εii biến dạng dài tỉ đối với trục Xi

Các thành phần không nằm trên đường chéo

Nên 32 () 32212

γ=β+α=

b)Ten xơ quay

α: góc quay phân tố P0Q0 : góc quay phân tố

do đó α21

góc quay đường chéo của phân tố quanh trục khi quay góc

góc quay ngược lại của đường chéo quanh trục khi quay góc β

Ta có uQi uPi dui

00 =+

uPi ( )ijP dxj ( )ijP dxj

1.Quy luật biến đổi khi thay đổi hệ tọa độ

Đối với hệ tọa độ Đề các người ta có công thức biến đổi mn

ij =aaεε

mn =bbεε

vơúi ( j , còn

'iij cosx,X

a=)bij =aji

Đối với hệ tọa độ cong:

2.Biến dạng chính, phương chính, Bất biến của trạng thái biến dạng

Tại một điểm của MTLT trạng thái biến dạng được đặc trưng bởi ten xơ biến dạng thì bao giờ ta cũng có thể xác định được tại điểm đó có 3 phương vuông góc với nhau chỉ có biến dạng dài ký hiệu

I,ε ,ε ε > ε > ε )

ε Các giá trị là biến dạng dài cực trị gọi là biến dạng chính

Còn phương các biến dạng chính gọi phương chính trên các mặt phẳng vuông góc phương chính không có biến dạng trượt Biến dạng chính là nghiệm của phương trình sau:

: bất biến của ten xơ biến dạng với 3

1 =ε=ε+ε+εℑ

Với 123 các phương chính

22

3.Ten xơ cầu và lệch biến dạng

trong đó gọi là ten xơ cầu

ijij =ε+εε

Với ( 112233)

§4.PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG

6 thành phần của ten xơ biến dạng béï được xác định 3 thành phần uichúng phụ thuộc vào nhau

Sự phụ thuộc này bảo đảm cho các biến dạng tương thích với nhau (vì MTLT sau khi biến dạng vẫn còn LT)

Để bảo đảm tính liên tục ta phải loại bỏ các thành phần ui được quan hệ giữa các đạo hàm của các thành phần ten xơ

Từ đây ta nhận được 6 phương trình độc lập

ij,k =ui,kj −uụ,ki =(ui,jk −2

(ui,jk uk,ij uk,ij uj,ik)

Cho εij tìm ui theo trên ta cần tìm ωij

Điều kiện cần và đủ để (εik,j −εjk,i)dxicó vi phân toàn phần Mà

có vi phân toàn phần, khi nên

ik +ε−ε−ε=ε

hay: 0x

§5.TỐC ĐỘ BIẾN DẠNG, VẬN TỐC XOÁY

1.Ten xơ tốc độ biến dạng

Ta ký hiệu = ε = ⎜⎜⎝⎛∂∂ + ∂∂ ⎟⎟⎠⎞

D Ten xơ tốc độ biến dạng

2.Ten xơ vận tốc xoáy

Còn Ten xơ vận tốc xoáy

1 =V,Ω=V;Ω=VΩ

3.Vận tốc lân cận tại 1 điểm P

( )ij P j ( )ijjP

Hay VrQ =VrP +Vrbd +VrΩ

Vận tốc xoáy: VrΩ=Ωr∧dxr

CHƯƠNG III:TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

§1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM

1.Lực mặt, lực thể tích Nội lực a.Lực mặt

b.Lực thể tích (khối)

( )( ) ( ) ( )( )

⎧ ==

là ứng suất trung bình

∆ là véc tơ ứng suất tại M hay

dSdfT i

ni = , Tn =- T-n

Trn = nσr+τrσ : ứng suất pháp;τ : ứng suất tiếp

2.Ten xơ ứng suất

Xét phân tố lập phương trong hệ tọa độ Đề các

và

Tr=σr+σr+σr

Tr=σr+σr+σr hay Tri =σijeri

σ ten xơ hạng 2 gọi là ten xơ ứng suất

3.Ứng suất tại 1 điểm M

Xét phân tố tại M: MABC

nrlà pháp tuyến, nilà cos chỉ phương với các mặt phẳng tọa độ diện tích ABC: dS

dSndSi = i

Lực mặt gồm: Tri &Trn

Lực khối: KrWr

Xét cân bằng các lực lên phân tố:

Nên Trn =σijnierj; hay Tn j =σijni

Ten xơ ứng suất tại điểm xác định trạng thái ứng suất tại điểm ấy

§2.PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG VÀ CÂN BẰNG CỦA MTLT.

( − ) =0∧

∫∫xTdS ∫∫∫xKWdV

hay ∫∫+∫∫∫(−)= (*)

Có 2 chỉ số bằng nhau

Theo công thức Gao xơ: (TnK =σiKni)

hoán vị chẵnhoán vị lẻ

∫∫σ = ∫∫∫∂∂σ

vì V bất kỳ + ( − ) = →∂

eσ=⇒σ=σσ=σσ=σ⇒

Hay σij =σji ten xơ đối xứng

3.Quy luật biến đối ứng suất khi thay đổi hệ tọa độ

Tại M,

ij =aaσσ

ijnjmimn =bbσ

σbij =ajiTrong hệ tọa độ cong

σ

§3 ỨNG SUẤT CHÍNH VÀ PHƯƠNG CHÍNH, CÁC BẤT BIẾN CỦA TEN XƠ ỨNH SUẤT

nTrn =σr

Để hệ phương trình có nghiệm

+

+

( I1,I2 ,I3 các bất biến)

ij3 del

I >σ>σ

σ ứng suất chính Thay σI vào (*) ⇒ n1,n2,n3

Tại M có các phương chính

;

§4.ỨNG SUẤT TIẾP CỰC TRỊ

n =T i.T i −στ

n =σn+σn+σnσ

n =σn+σn+σn−σn+σn+σnτ

σ=

I −σn+σ−σn+σσ

; 02

Xét trường hợp 1: n1 ≠0;n2 =0

Xét trường hợp 2: n1 =0;n2 ≠0

Trừơng hợp 1û

Trừơng hợp 2

n1 = 2 = ± 3 = ±⇒

Tương tự ;n02

§5 BIỂU DIỄN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BẰNG VÒNG TRÒN M0

Cho 1 mặt với các phương chính tại M: với các cos chỉ phương

với

n12 + 22 + 23 =

với

hay

⎛σ −σ≥

⎛σ − σ + σ+

⎛σ − σ≤

⎛σ − σ + σ+

⎛σ −σ≥

⎛σ − σ +σ+

Chọn mặt phẳng tọa độ (σ n,τn )

(I)(II)(III) Vòng tròn Mo nơ cho ta nhận thấy các giá trị ứng suất pháp

Đối với phương chính III với góc , từ vòng tròn III: γ2γ điểm G từ vòng tròn I : 2α=CD

Ta có đường cong tròn với tâm O3, bán kính O3D: ta có cung DE

Ta có đường cong tròn với tâm O1, bán kính O1G: ta có đường cong GH K là giao điểm của 2 cung DE và GH

CHƯƠNG IV: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG CỦA CÁC MÔI TRƯỜNG

ij =fD

τ : chất lỏng Xtốc

Nếu tuyến tính hóa ta có dạng:

ij =KD

τ gọi chất lỏng Niu tơn (Kijpq hệ số nhớt)

Nếu chất lỏng đồng chất thì K là hằng số

Nếu chất lỏng không đồng chất thì K là hàm các tọa độ

K có 81 thành phần Kijpp =0 ( )i≠j

Chỉ tồn tại Kiipp ≠0 9 thành phần với hằng số độc lập: λ1 &µ11

ppiiiipp KK =

Trong đó λ1 &µ1 gọi là hệ số nhớt: liên hệ với tốc độ biến dạng thể tích

2.Phương trình xác định của chất lỏng Niu tơn:

ij =−pδ+λθδ+2µD

Khai triển:

11 =−p+λθ+2µD;σ=2µDσ&

22 =−p+λθ+2µD;σ=2µDσ&

Đối với chất lưu không chịu nén (divVr=0

) Phương trình có dạng: σij =−pδij +2µ1Dij

3.Hệ phương trình cơ bản của chất lỏng Niu tơn

Theo biến Ơ le:

+Phương trình liên tục: +divV=0

(1) +Phương trình chuyển động: Dt

(3)

+Phương trình năng lượng: xb

-σijDij: Hàm hao tán u: năng lượng riêng trong

-Cj:lưu lượng nhiệt -.b :hệ số bức xạ

+Phương trình xác định: σij =−pδij +λ1δijθ&+2µ1Dij (6) +Phương trình trạng thái: P=P(ρ,T) (1)

+Điều kiện truyền nhiệt của Furiê:

= (3)

+Phương trình trạng thái Calôri:

( )Tu

§2.CHẤT RẮN ĐÀN HỒI ĐỊNH LUẬT HOOKE

1.Vật đàn hồi tuyến tính

-Phục hồi về trạng thái ban đầu khi thôi tác dụng lực -Liên tục

-Đồng chất -Đẳng hướng

2.Định luật Hooke

Cũng giống như chất lỏng Niutơn quan hệ giữa ứng suất với biến dạng bé ta có:

klijklij =Aε

A : ten xơ hạng 4 có: 34 =81thành phần

Do tính đối xứng của σij &εkl nên còn ≤36→21thành phần Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng

Định luật Hooke:

ij =λδε+2µε

σλ,µ : hằng số Lam ê Giải ngược lại ta có quan hệ giữa biến dạng và ứng suất:

() ijkkijij

Trong kéo đơn theo 1 phương: ta có σ11 =Eε11 (E: mô đun đàn hồi) còn ε22 =ε33 =−νε11 (ν: hệ số Pootxông)

Từ đây ta có các quan hệ giữa các hằng số:

Thế vào định luật Hooke:

3.Giải bài toán tỉnh của lý thuyết đàn hồi đồng chất đẳng hướng a)Theo chuyển vị phương trình Lamê

Phương trình cân bằng: +=0∂

-6 phương trình tương thích biến dạng -Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

ij =λδε+2µεσ

Với điều kiện trên biên cho chuyển vị trên toàn biên

Hay dạng Véc tơ: µ r∆u+(µ+λ)graddivur+ Kr=0

(vì ∆ru=graddivur −rotrotur )

b)Theo ứng suất phương trình Bentrami-Misen

Thế qua εijσij theo phương trình tương thích biến dạng

Với ();S kk

> phương trình Misen

Bentrami-Điều kiện biên theo ứng suất σ ji( ) ( )x,tnj x=fni( )x,t ,(x∈S)