cach giai luong giac va bai tap

2.8- BiÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c chøa tham sè Cũng nh đối với phơng trình có chứa tham số khác ,việc giải và biện luận PTLG có chứa tham số cũng rất quan trọng trong chơng trình toán[r]

Ch¬ng I: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n vµ mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp §Ó gi¶i PTLG , nãi chung ta tiÕn hµnh theo c¸c bíc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm các điều kiện để c¨n cã nghÜa,ph©n sè cã nghÜa, biÓu thøc log arit cã nghÜa Ngoµi c¸c PTLG cã chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có nghĩa Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa các phơng trình đã cho các phơng tr×nh c¬ b¶n Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đã đặt Những nghiệm nào không tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Êy th× bÞ lo¹i 1.1-Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n 1.1.1- §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c lµ ph¬ng tr×nh chøa mét hay nhiÒu hµm sè lîng gi¸c 1.1.2- C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sin x m (1) Do sin x    1;1 nên để giải phơng trình (1) ta biện luận theo các bớc sau Bíc1: NÕu |m|>1 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bíc 2: NÕu |m|<1 ,ta xÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử  đó phơng trình có dạng đặc biệt  x   k 2 sin x sin    ,k  x      k   -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua sin góc đặc biệt đó đặt m= sin   x   k 2 sin x sin    ,k  x     k 2  Ta cã: Nh vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm       ; ; ; ; ;2   v× Đặc biệt ta cần phải nhớ đợc các giá trị các cung đặc biệt nh  sau biến đổi các bài toán thơng đa các cung đặc biệt VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sin x  Gi¶i: 1 Ta nhận thấy không là giá trị cung đặc biệt nào nên ta đặt = sin  x   k 2 sin x sin    ,k  x     k 2  Khi đó ta có: VËy ph¬ng tr×nh cã hä ngiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh  sin(3 x  )  Gi¶i: sin Do   nªn    sin(3 x  )   sin(3 x  ) sin 4      2     3x    k 2  x    k 2  x  24  k     3x       k 2  x       k 2  x 5  k 2 3 24    VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm k  b) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c cos x m (b) Ta còng ®i biÖn luËn (b) theo m Bíc 1: NÕu m  ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bíc 2: NÕu m 1 ta xÐt kh¶ n¨ng: -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc  Khi đó phơng trình có dạng  x   k 2 cos x cos   ,k   x    k 2 -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cos góc đặc biệt đó  x   k 2 cos x cos     x    k 2 đặt m = cos  Ta có: Nh vËy ta cã thÓ kÕt luËn ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹ VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: cos x  ,k  Gi¶i: cos(  Do  2 ) cos  3 nªn 2   cos x cos  x   k 2 (k  ) 3 VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x   3cos(2 x  ) 1 Gi¶i:   3cos(2 x  ) 1  cos(2 x  )  6 1    1;1  V× và không là giá trị cung đặc biệt nên tồn góc    0;  cos   cho   cos(2 x  ) cos   x    k 2 6 Ta cã:      k 2  x    k (k  ) 12 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm  x  c) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c tan x m (c) Ta còng biÖn luËn ph¬ng tr×nh (c) theo c¸c bíc sau:  cos x 0  x   k Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ,k  Bíc 2: XÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử  đó phơng tr×nh cã d¹ng tan x tan   x   k , k   -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , đó đặt m = tan  ta đợc tan x tan   x   k , k   NhËn xÐt: Nh vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  Gi¶i :    tan x   tan x tan  x   k nªn ta cã: 6 Do VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm tan k VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh   x) 2 Gi¶i: tan(    cos(  x)    x   k 5 §iÒu kiÖn: Do không thể biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt nên ta đặt tan  2 Từ đó ta có     tan(  x) 2  tan(  x) tan    x   k  x     k (k  ) 5 5 VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm d) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c cot x m Ta còng ®i biÖn luËn theo m (d ) Bíc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x 0  x k k   Bíc 2: XÐt kh¶ n¨ng -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử  đó phơng tr×nh cã d¹ng cot x cot   x   k , k   -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt , đó đặt m = cot  ta đợc cot x cot   x   k , k   NhËn xÐt: Nh vËy víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè ph¬ng tr×nh (d) lu«n cã nghiÖm VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1:  cot(  x)  Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: Gi¶i: cos( §iÒu kiÖn (1)     x ) 0   x k  x   k k   4 (*) Ta cã:       x) cot   x   k  x   k  4 12 (1) Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh cot( k  cot(4 x  35o )  Gi¶i: o o o o Ta nhËn thÊy cot( 45 )  nªn ta cã cot(4 x  35 )   cot(4 x  35 ) cot( 45 ) x  35o  45o  k180o  x  80o  k180o x  20o  k 45o (k  ) VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Lu ý: Không đợc ghi hai loại đơn vị ( radian độ ) cùng công thức 1.2- Mét sè ph¬ng tr×nh lîng gi¸c thêng gÆp 1.2.1- Phơng trình bậc hai hàm số lợng giác D¹ng 1: a sin x  b sin x  c 0 (a 0; a, b, c  ) (1) C¸ch gi¶i: §Æt t sin x , ®iÒu kiÖn | t | 1 §a ph¬ng tr×nh (1) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t chó ý kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn råi gi¶i t×m x D¹ng 2: a cos x  b cos x  c 0 ( a 0; a, b, c  ) (2) C¸ch gi¶i: §Æt t cos x ®iÒu kiÖn | t | 1 ta còng ®a ph¬ng tr×nh (2) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo t , gi¶i t×m t råi t×m x D¹ng 3: a tan x  b tan x  c 0 (a 0; a, b, c  )  cos x 0  x   k C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn (3) ,k  Đặt t tan x  t    ta đa phơng trình (3) phơng trình bậc hai theo t , chú ý tìm đợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không a cot x  b cot x  c 0 ( a 0; a, b, c  ) D¹ng 4: (4) C¸ch gi¶i: §iÒu kiÖn sin x 0  x k k   §Æt t cot x (t  ) Ta còng ®a ph¬ng tr×nh (4) vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo Èn t VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: 2cos x  3cos x  0  x k 2  cos x 1       cos x  x   k 2  Ph¬ng tr×nh (1)  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm ,k  cot x  tan x  4sin x  VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: sin x 0  x  §iÒu kiÖn Ta cã: k , k  (1) sin x (2) cos x sin x   4sin x  sin x cos x sin x 2 cos x  sin x   4sin x  sin x.cos x sin x 2cos x   4sin x   cos x  2sin 2 x 1 sin x sin x  cos x 1  2cos x  cos x  0    *  cos x   (2)  Ta thấy cos x 1 không thoả mãn điều kiện Do đó (*)  2   x   k 2  x   k 3 VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Bµi tËp: cos x  k  Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5sin x  4sin x  0 Bµi Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  3cos x  0 3tan x  3tan x  Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 0 Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos(4 x  2)  3sin(2 x  1) 2 Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: tan 3x  3tan 3x  0 Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 25 cos x  6cos 2 x  16 sin x  2cos x  2sin Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh  2sin x  sin x  sin x 1 2sin x.cos x  cot x  Bµi 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x 25 sin x 1.2.2- Phơng trình bậc sin x,cos x 2 a)Định nghĩa: Phơng trình a sin x  b cos x c (1) đó a, b, c  và a  b  đợc gọi là phơng trình bậc sin x,cos x b) C¸ch gi¶i Ta cã thÓ lùa chän c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiÖn theo c¸c bíc Bíc 1:KiÓm tra 2 -NÕu a  b < c ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 -Nếu a  b c đó để tìm nghiệm phơng trình ta thực tiếp bớc Bíc 2: Chia c¶ vÕ ph¬ng tr×nh (1) cho a a  b2 ( V× a a b a b sin x  )2  ( cos  , a2  b2 b a b cos x  a  b , ta đợc c a2  b2 )2 1 nªn tån t¹i gãc  cho b sin  a  b2 a  b2 Khi đó phơng trình (1) có dạng sin x.cos   sin  cos x  c  sin( x   )  c a2  b2 a  b2 Đây là phơng trình sin mà ta đã biết cách giải C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c bíc x cos 0  x   k 2 ( k  ) Bíc 1: Víi thö vµo ph¬ng tr×nh (1) xem cã lµ nghiÖm hay kh«ng? x cos 0  x   k 2 (k  Z ) Bíc 2: Víi 2t 1 t2 x sin x  , cos x  t tan 1 t2 1 t2 suy §Æt Khi đó phơng trình (1) có dạng 2t 1 t2  b c  (c  b)t  2at  c  b 0 (2) 2 1 t 1 t Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x a * Dạng đặc biệt: sin x  cos x 0  x    k (k )  sin x  cos x 0  x   k ( k  ) Chó ý: Tõ c¸ch ta cã kÕt qu¶ sau  a  b2 a sin x  b cos x  a  b từ kết đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN cña c¸c hµm sè cã d¹ng y a sin x  b cos x , đánh giá cho số phơng trình lợng giác y a sin x  b cos x c sin x  d cos x vµ ph¬ng ph¸p VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i : sin x  3cos x 3 (1) 2 Cách 1: Chia hai vế phơng trình (1) cho   10 ta đợc sin x  10 §Æt sin  , 10 3 cos x  10 10 cos  10 Lúc đó phơng trình (1) viết đợc dới dạng cos  sin x  sin  cos x sin   sin(2 x   ) sin x  x   k  x     k 2    x   k  x       k 2  VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm k  C¸ch 2:-Ta nhËn thÊy cos x 0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2t 1 t2  sin x  , cos x  cos x 0  x   k , k  1 t2 1 t2 -Víi Đặt t tan x ,lúc đó 2t 1 t2  3  2t  3(1  t ) 3(1  t )  t 3 2 1 t Ph¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng  t Hay tan x 3 tan   x   k , k   VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Cách 3: Biến đổi phơng trình dạng sin x 3(1  cos x)  2sin x.cos x 6cos x  cos x 0  (sin x  3cos x)cos x 0    sin x  3cos x    tan x 3 tan   cos x 0   x   k  ,k    x   k  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Chó ý: Khi lµm bµi to¸n d¹ng nµy chóng ta nªn kiÓm tra ®iÒu kiÖn tríc b¾t tay vµo giải phơng trình có số bài toán đã cố tình tạo phơng trình không thoả m·n ®iÒu kiÖn Ta xÐt vÝ dô sau: VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: Ta biến đổi phơng trình (2) 2(sin x  cos x)cos x 3  cos x  sin x  2(1  cos x) 3  cos x  sin x  (  1)cos x 3  a  ; b   ; c 3   2 2 a  b 2  (  1) 5  2 Ta cã: c (3  2) 11  2 2 Suy a  b < c Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm Ngoài chúng ta cần lu ý việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với bài toán biÓu diÔn ch½n c¸c hä nghiÖm Ta xÐt vÝ dô sau VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1  3)sin x  (1  Gi¶i : Cách 1:Thực phép biến đổi 3)cos x 2 1 1 ( )sin x  ( )cos x   2 2 (3)  2 §Æt 1 1 cos x; sin x 2 2 (3) sin x.cos  sin  cos x  Phơng trình (3) đợc viết thành      x     k 2  x     k 2     x      k 2  x 3    k 2   4 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng (sin x  cos x)  3(sin x  cos x) 2    sin( x   ) sin ,k   sin( x  )   cos( x  ) 2   sin( x  )  cos( x  )  4      sin( x  )cos  cos( x  )sin  4     sin( x   ) sin 4      x   k 2 x    k    12   k   x 5  k 2  x       k 2  12  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Qua hai cách giải bài trên ta nhận thấy cách ta thu đợc nghiệm phơng trình chẵn  t tan Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt x và ta thu đợc nghiệm chẵn *Chó ý: §èi víi ph¬ng tr×nh d¹ng a sin P( x )  b cos Q( x) c sin Q( x)  d cos P ( x) (*) 2 2 đó a, b, c, d  thoả mãn a  b c  d >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hµm h»ng sè B»ng phÐp chia cho hoÆc a  b ta cã (*)  sin  P( x)    sin  Q( x)    (*)  cos  P ( x)    cos  Q ( x)    đó  ,  là các góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau: VÝ Dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  sin x  3(cos5 x  sin x) (4) Gi¶i: (4)  cos7 x  sin x  cos5 x  sin x  3 cos7 x  sin x  cos5 x  sin x 2 2      cos cos x  sin sin x cos cos5 x  sin sin x 3 6   7x      7x   cos(7 x  ) cos(5 x  )       x   k 2  x 12  k     12 x   k 2  x   k   VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau :   5 x   k 2     (5 x  )  k 2 k Z sin x  cos x  10cos x  24sin x 13 2 sin x  cos x 3cos x  sin x 4cos x  sin 3x 1  3cos x 4 sin x  cos x 1  2 sin x.cos x 4 2( sin x  cos x)  sin x  3(cos x  sin x) 8sin x   cos x sin x 2(sin x  cos x)cos x 3  cos x 10 cos x  2cos x 2  cos3 x x  cos(  )  12 x  x 2 3x  sin(  ) 2sin(  )  2sin(  ) 12 5 1.2.3- Phơng trình bậc hai sin x và cos x a) Định nghĩa: Phơng trình bậc hai sin x , cos x là phơng trình a sin x  b sin x.cos x  c cos x d (1) đó a, b, c, d   b) C¸ch gi¶i : 2 Chia tõng vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho mét ba h¹ng tö sin x,cos x hoÆc sin x.cos x Ch¼ng h¹n nÕu chia cho cos x ta lµm theo c¸c bíc sau: Bíc 1: KiÓm tra:  cos x 0  x   k , k   xem nã cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1) hay kh«ng? Bớc 2: Với cosx 0 chia hai vế cho cos x lúc đó phơng trình (1) trở thành a tan x  b tan x  c d (1  tan x)  (a  d ) tan x  b tan x  c  d 0 Đây là phơng trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải C¸ch 2: Dïng c«ng thøc h¹ bËc  cos x  cos x sin x sin x  ; cos x  ; sin x.cos x  2 đa phơng trình đã cho phơng trình b sin x  (c  a)cos x d  c  a Đây là phơng trình bậc sin và cos ta đã biết cách giải *Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát A(sin n x,cos n x,sin k x cos h x) 0 đó k  h n; k , h, n   Khi đó ta làm theo bớc : Bíc 1: KiÓm tra xem cos x 0 cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh hay kh«ng? n Bớc 2: Nếu cos x 0 Chia hai vế phơng trình trên cho cos x ta đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình này ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu VÝ Dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : cos x  6sin x.cos x 3  (1) Gi¶i: C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh (1)  3(1  cos x)  3sin x 3   cos x  sin x   3  cos x  sin x   cos(2 x  )  2      x    k  x   k 2      x      k 2  x    k 2  12  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm  cos x 0  x   k 2 C¸ch 2: +) Thö víi k  k  vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã 3   v« lÝ  x   k 2 VËy k  kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ngtr×nh +)Với cos x 0 Chia hai vế phơng trình cho cos x ta đợc  tan x (3  3)(1  tan x)  (3  3) tan x  tan x   0  tan x 1   x   k     k  3  tan x  tan    x   k 3 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm * Chó ý: Kh«ng ph¶i ph¬ng tr×nh nµo còng ë d¹ng thuÇn nhÊt ta ph¶i thùc hiÖn số phép biến đổi thích hợp sin ( x  VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i : sin( x  Ta nhËn thÊy  )  sin x (2)  ) có thể biểu diễn đợc qua sin x  cos x Luỹ thừa bậc ba biểu thức sin x  cos x ta đa phơng trình dạng đã biết cách giải      2 sin ( x  ) 4sin x   sin( x  )  4sin x 4   Ph¬ng tr×nh (2)  (sin x  cos x )3 4sin x  cos x 0  x   k 2 +) XÐt víi  sin ( k  Khi đó phơng trình có dạng    k ) 4sin(  k )  2 m©u thuÉn  x   k 2 VËy ph¬ng tr×nh kh«ng nhËn lµm nghiÖm +) Với cos x 0 Chia hai vế phơng trình (2) cho cos x ta đợc : (tan x  1)3 4(1  tan x) tan x  3tan x  3tan x  tan x  0 Đặt t tan x phơng trình có đợc đa dạng: 3t  3t  t  0  (t  1)(3t  1) 0   t 1  x   k k  Hä nghiÖm trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph¬ng tr×nh VËy ph¬ng tr×nh cã nhÊt hä nghiÖm *Chú ý: Ngoài phơng pháp giải phơng trình đã nêu trên có phơng trình có thể giải phơng pháp khác tuỳ thuộc vào bài toán để giải cho cách gi¶i nhanh nhÊt ,khoa häc nhÊt VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i :  tan x 1  sin x  tan x   x   k  cos x 0    tan x   x    k  §iÒu kiÖn Cách 1: Biến đổi phơng trình dạng : cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  (3) k  3 Chia hai vế phơng trình (3) cho cos x 0 ta đợc :  tan x    tan x  tan x   tan x   tan x  tan x  tan x 0   tan x  tan x   tan x 0 (*) (do tan x  tan x  0 v« nghiÖm) nªn: Ph¬ng tr×nh (*)  tan x 0  x k  k Z VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi phơng trình dạng cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x   cos  x     4    2sin  x    cot( x  )    4  cot ( x   )  sin  x   4   t cot( x  ) ta đợc : §Æt t  t  t  0   t  1  t  t   0  t 1 1 t    hay cot( x  ) 1 x    k  x k (k  ) 4 VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Bµi tËp : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 3sin x  4sin x.cos x  cos x 0 3 2) 2cos x  sin x  11sin x  3cos x 0 4sin x  6cos x  3) cos x 4) sin x 2sin x 2 5) sin x  5sin x cos x  7sin x cos x  2cos x 0 6) sin x sin x  sin x 6cos x 8cos x  7)  sin x cos x 2 8) (sin x  4cos x )(sin x  2sin x.cos x) 2cos x 3 9) cos x  sin x sin x  cos x 1.2.4-Phơng trình đối xứng sin x và cos x a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng sin x và cos x là phơng trình dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c 0 đó a, b, c   b) C¸ch gi¶i: (1) Cách 1: Do a(sin x  cosx) 1  sin x cos x nên ta đặt   t sin x  cos x  sin( x  )  cos(  x) 4 §iÒu kiÖn | t | t2  sin x cos x  và phơng trình (1) đợc viết lại: Suy Đó là phơng trình bậc hai đã biết cách giải bt  2at  (b  2c) 0   t  x sin x  cos x  cos(  x)  cos t 4 C¸ch 2: §Æt th× 1  1 sin x cos x  sin x  cos(  x)  cos 2t cos t  2 2 nªn ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh b cos x  cos x  b  c 0 Đây là phơng trình bậc hai đã biết cách giải *Chó ý: Hai c¸ch gi¶i trªn cã thÓ ¸p dông cho ph¬ng tr×nh a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c 0 cách đặt t sin x  cos x và lúc đó 1 t2 sin x cos x  VÝ Dô Minh Ho¹ : VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sin x  cos x  2sin x cos x  0 (1) Gi¶i: t2  sin x cos x  Cách 1: Đặt sin x  cos x t điều kiện | t | Lúc đó t2  t  2( )  0 Khi đó phơng trình (1) có dạng  t   t  t  0    t 2 (*) Víi t 2 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nªn (*)  t   sin x  cos x    x   k 2    sin( x  )   sin( x  )   k   4  x   k 2  z  x C¸ch 2: §Æt Khi đó phơng trình có dạng  cos(  x)  sin x  0   cos z  sin 2(   z )  0  cos z  cos z  0  cos z  sin(   z )  0 2 cos z  (2cos z  1)  0  cos z    cos z     2cos z  cos z  0 (*’) Ta thÊy cos z  kh«ng tho¶ m·n 3  z   k 2   cos z    z 3  k 2  Do đó (*’) 3    x   k 2   x   k 2   k     x 3  k 2     x   k 2 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm *Chú ý: Ta có thể đa số dạng phơng trình dạng phơng trình đối xứng đã xét trên 2 Bµi to¸n 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh a tan x  b cot x c(a sin x b cos x) (1) ab 0 a sin x  b cos x c(a sin x b cos x) sin x.cos x C¸ch gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1) cã thÓ viÕt  (a sin x  b cos x)(a sin x  b cos x) c(a sin x b cos x)  ( a sin x   b cos x)  (a sin x   b cos x)  c sin x.cos x  0  a sin x   b cos x 0   a sin x   b cos x  c sin x.cos x 0 *Quy íc: Khi cã nhiÒu dÊu   mét biÓu thøc hay mét hÖ hiÓu lµ cïng lÊy dßng trªn hoÆc cïng lÊy dßng díi VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  3cot x 4(sin x  cos x) (2) Gi¶i: sin x.cos x 0  x  §iÒu kiÖn:  Ta cã (2) k k  (sin x  3cos x ) 4(sin x  cos x) sin x.cos x  (sin x  cos x)(sin x  cos x) 4(sin x  cos x)sin x.cos x  (sin x  cos x )  (sin x  cos x)sin x  0  sin x  cos x 0 (4)   sin x  cos x  sin x 0 (3)  tan x   x  Ta cã (3)  (4)   k (5)   sin x  cos x sin x  cos sin x  sin cos x sin x 3 2     x x   l 2 x   l 2    3  sin( x  ) sin x     x   x    l 2  x  4  l 2   3 l  Các gía trị x (5) và (6) thoả mãn điều kiện phơng trình VËy theo ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a(tan x   sin x)  b(cot x   cos x) (a  b) 0 víi a , b , c , d   (1) C¸ch gi¶i: (6) a(tan x   sin x 1)  b(cot x   cos x 1) 0 a b (sin x   sin x.cos x  cos x)  (sin x   sin x.cos x  cos x) 0 cos x sin x a b (  )(sin x   sin x.cos x  cos x ) 0 cos x sin x Ta cã:  b  a  0   cos x sin x   sin x   sin x cos x  cos x 0 Đến đây chúng ta đã biết cách giải b  tan x   a    sin x   sin x cos x  cos x 0 T¬ng tù cho ph¬ng tr×nh a(tan x   sin x)  b(cot x   cos x)  a  b 0 VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  cot x  sin x  cos x   0 (3) Gi¶i: sin x 0  x  §iÒu kiÖn (3)  tan x  sin x  k k  3(cot x  cos x)   0  (sin x  sin x cos x  cos x)  (sin x  sin x.cos x  cos x ) 0 cos x sin x (  )(sin x  sin x.cos x  cos x) 0 cos x sin x   0 (4)    cos x sin x  sin x  sin x.cos x  cos x 0     tan x   x   k Gi¶i (4) t sin x  cos x  cos( Gi¶i (5): §Æt k    x ) | t | (*) t2  sin x cos x  Suy  t 1  t2   t 0  t  t  0  t 1  2 Ph¬ng tr×nh (5) trë thµnh KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× t 1  bÞ lo¹i Víi t 1  ta cã  cos(  x) 1   1 2  cos(  x)  cos     x   l 2  x    l 2   , l   4 Các nghiệm phơng trình (4) và (5) thoả mãn điều kiện phơng trình VËy ph¬ng tr×nh cã ba hä nghiÖm Chú ý: Ta có thể áp dụng phơng pháp phơng trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng sin x và cos x với bậc lớn  cos VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x  sin sin x 2 (1) Gi¶i : cos Ta cã: x x x x x x  sin (cos  sin )(cos  sin ) cos x 2 2 2 Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng cos x sin x  cos x 2sin x.cos x    x   k 2   sin x  5   cos x(1  2sin x) 0    x   k 2    cos x 0   x   k 2  k  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm sin x  cos6 x tan x  cot x sin x VÝ Dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2) Gi¶i: §iÒu kiÖn: sin x 0  8(1  Ph¬ng tr×nh (2) sin x cos2 x sin x) 2sin x(  ) cos x sin x   6sin 2 x 4sin x 1 sin x sin 2 x 2  (8  6sin x)sin x 4  2sin x  3sin x  sin 2 x  4sin x  0  (sin x  1)(3sin x  2sin x  2) 0  sin x  0    3sin x  2sin x  0   sin x 1    x   k   sin x        x   k   x     k  sin x   sin      (lo¹i) k  Các nghiệm thoả mãn điều kiện sin x 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 20 1 ( tan x  )cos x  sin x  2(sin x  cos x ) sin x  cos x 2(tan x  sin x)  3(cot x  cos x)  0 3  cos x  sin x sin x sin x  cos x (  1)cos x x 2cos (1  sin x)  cos x 0 sin x  cos3 x sin x  sin x  cos x 4(sin x  cos x)  sin x 2 17 sin x  cos8 x  32 1 sin x.cos x  cos x sin x.cos3 x  sin x  4 10 sin x  cos3 x 2(sin x  cos5 x ) 11 sin x  cos8 x (sin10 x  cos10 x )  cos x 1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng tan x và cotx * Ph¬ng tr×nh cã d¹ng n pk  (tan k x   k cot k x)  q(tan x  cot x)  r 0 (  0; k 2) k 1  C¸ch gi¶i:  t tan x   cot x  Bíc 1: §Æt Èn phô  t tan x   cot x | t |2 t  đa phơng trình đã cho dạng đại số F (t ) 0 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh F (t ) 0 lo¹i nh÷ng nghiÖm kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Bớc 3: Với nghiệm t tìm đợc bớc vào bớc để tìm x VÝ dô Minh Ho¹: VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  cot x  3(tan x  cot x)  3(tan x  cot x)  10 0 (1) Gi¶i: Ph¬ng tr×nh (1)  tan x  cot x  3tan x.cot x(tanx  cotx)  3(tan x  cot x  2)  0  (tan x  cot x)3  3(tan x  cot x)  0 (2) §Æt t tan x  cot x , ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh t  3t  0  (t  1)(t  4t  4) 0  t   (t  1)(t  2)2 0    t 2 hay  tan x  cot x   tan x  cot x 2    x    k   x 2  k  cot x  cot 2    k     x   k    x   k  cot x    VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: tan x  tan x  tan x  cot x  cot x  cot x 6 (2) Gi¶i: sin x.cos x 0  x k §iÒu kiÖn Ta cã: Ph¬ng tr×nh (2)    tan x  cot x  3tan x.cot x(tan x  cot x)   tan x  cot x  tan x.cot x  2(tan x  cot x)  0  (tan x  cot x)3  (tan x  cot x)2  2(tan x  cot x)  0 (3) §Æt t tan x  cot x | t |2 , ph¬ng tr×nh (3) cã d¹ng t  t  2t  0  t   t  2t 0  (t  2)(t  2t  4)  t (t  2) 0  (t  2)(t  2t   t ) 0  (t  2)(t  t  4) 0 Víi | t |2 th× t  t   nªn (4)  t  0  t 2  tan x  cot x 2  sin x 1  x   k Suy ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn(2))  x   k VËy là họ nghiệm phơng trình đã cho Bµi tËp:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 7 2(tan x  cot x )  tan x  cot x 2 tan x  tan x  cot x  cot x  0 2 5(tan x  cot x)  3(tan x  cot x)  0 11 tan x  2(tan x  cot x)   sin x  tan x  cot x  tan x 8 sin x sin x  cos x tan x  cot x 4 8(tan x  cot x )  9(tan x  cot x )  10 1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp PTLG Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trớc kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm đợc có thoả mãn điều kiện đã đặt hay không, để ta có thÓ lo¹i nh÷ng nghiÖm kh«ng thÝch hîp Chóng ta cã thÓ xÐt ba ph¬ng ph¸p sau: 1.3.1 Ph¬ng ph¸p lo¹i nghiÖm trùc tiÕp Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trớc hết ta giải phơng trình (1) sau đó thay nghiệm phơng trình (1) tìm đợc vào (*) để loại nghiÖm kh«ng thÝch hîp VÝ Dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: §iÒu kiÖn sin x 0  sin x 0 sin x (1) (*)   sin x 0  sin x   x  Khi đó (1) x  Thay   k 2 , k     k 2 vµo (*) xem cã tho¶ m·n hay kh«ng ?    sin  4(  k 2 )  sin( 2  k 2 ) sin(  2 ) 0   x  Suy   k 2 kh«ng tho¶ m·n (*) VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm 1.3.2- Phơng pháp hình học (dùng đờng tròn lợng giác) Giả sử ta cần tìm nghiệm phơng trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Gọi L là tập c¸c cung kh«ng tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn (*), N lµ tËp nghiÖm cña phg tr×nh (1).Ta biÓu diễn điểm cuối các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng đờng tròn lợng giác Chẳng hạn điểm cuối các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối các cung thuộc N ta đánh dấu (.) Khi đó cung có điểm cuối đợc đánh dấu (.) mà không bị đánh dÊu (x) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh VÝ Dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x.cot x sin x (1) Gi¶i: sin x 0  x n  x n §iÒu kiÖn  cos x Khi đó phơng trình (1)  (n  ) (*) cos x sin x sin x  cos x cos x sin x sin x  cos x cos x  sin x sin x 0     cos3 x 0  x   k  x   k k   (**) Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng đờng tròn lợng giác sin cos   x   k    x    k Từ đó ta có nghiệm phơng trình (1) là  k  1.3.3- Phơng pháp đại số Phơng pháp này ta kiểm tra nghiệm cách chuyển phơng trình (thờng là phơng trình nghiệm nguyên) bất phơng trình đại số cos8 x 0 (1) sin x * VÝ Dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: §iÒu kiÖn sin x 0  x n (n  )     cos8 x 0  x   k  x   k 16 Khi đó (1) ,k      k n   2k 4n GÝa trÞ nµy lµ nghiÖm cña (1) nÕu 16 Điều này đúng vì  2k là số lẻ còn 4n là số chẵn   x  k 16 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ Bµi tËp: ,k     ;3  Bµi 1: T×m c¸c nghiÖm thuéc cña ph¬ng tr×nh sin(2 x  5 7 )  3cos( x  ) 1  2sin x 2 sin x.cot x 1 cot x Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  2sin x.cos x  2cos x  sin x  Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x 1 5sin x  cos x  cot x  sin 2 x Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x cos x.cos x(tan x  tan x) Ch¬ng II: HÖ thèng mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c Đứng trớc PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm nào để giải nó, vấn đề nảy sinh chúng ta là phải đa phơng trình phơng trình mà ta đã biết cách giải Và để giải phơng trình ta phải thực các phép biến đổi theo hớng -Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác thì biến đổi tơng đơng ph¬ng tr×nh chØ chøa mét hµm -Nếu phơng trình chứa hàm lợnggiác nhiều cung khác thì biến đổi tơng đơng phơng trình chứa cung Dới đây là số phơng pháp biến đổi tuỳ thuộc vào bài toán khác mà ta lùa chän ph¬ng ph¸p cho phï hîp 2.1 - Phơng pháp biến đổi tơng đơng Phơng pháp: Sử dụng công thức lợng giác đã học thực các phép biến đổi đại số và lợng giác đa phơng trình dạng quen thuộc đã biết cách giải Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ các cung các hàm lợng giác V× mối liên hệ này đờng cho cách biến đổi phơng trình VÝ dô Minh Ho¹: VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: 3sin x  cos9(  x) 1  4sin 3 x (1) NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy bµi to¸n cã sè h¹ng 3sin x,4sin 3x ta cã thÓ sö dụng đợc công thức góc nhân ba Ta cã (1)  3sin x  4sin 3 x  cos9 x 1 sin x  cos9 x  2      sin sin x  cos cos9 x   cos( x  ) cos 6  sin x  cos9 x 1       x    k  x   k 2   6       x    k 2  x    k 2   VËy ph¬ngtr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i: ( k  ) sin x.cos3 x  sin 3x.cos3 x sin x 3 Ta cã: cos3x cos x(4cos x  3)  sin x.cos3x sin x.cos x(4cos x  3) sin x.cos x(4sin x.cos x  3sin x)  sin x(sin 2 x  3sin x) (1) cos3 x sin 3x  sin x(3cos x  sin 2 x) (2) T¬ng tù ta còng cã Cộng vế với vế (1) và (2) ta đợc sin x cos3x  cos3 x sin x  sin x(sin 2 x  3sin x  3cos x  sin 2 x) 3  sin x  cos x  sin x   sin x cos x  sin x 2 sin x sin x  3sin x  sin x 0 Từ đó ta có :  sin12 x 0  12 x k  x  k (k ) 12 VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh cos x  sin x 1 Gi¶i : (1) 2 Ta cã : (1)  cos x 1  sin x  4cos x (1  sin x)  5sin x  2sin x  0   x   k 2   sin x 1     x   k 2 (k  )  sin x  sin   x (   )  k 2    VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: log x  x (sin x  sin x) log x  x sin x 10 Gi¶i: Ta cã : 10 (1)  6x  x2 0  10 1  (1)  sin x   sin x  sin x sin x    0  x  0  x    sin x   sin x    2sin x cos x sin x cos x   (*)   x   k 2  (*)    x    k 2  Gi¶i (*): ta cã x  Víi   k 2 lo¹i sin x    x   k 2 0x Víi xÐt víi ®iÒu kiÖn 0 Ta xÐt   k 2  ta thÊy cã gi¸ trÞ k 0 lµ tho¶ m·n  x Vậy phơng trình đã cho có nghiệm Nhận xét : Phơng pháp biến đổi tơng đơng đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lợng gi¸c v× vËy viÖc n¾m ch¾c c¸c c«ng thøc vµ vËn dông linh ho¹t vµo tõng bµi to¸n lµ hÕt søc cÇn thiÕt 2.1- Phơng pháp đặt ẩn phụ Ph¬ng ph¸p : Có loại đặt ẩn phụ (1) Đặt ẩn phụ , đa phơng trình đã cho phơng trình dễ giải (2) Đặt ẩn phụ đa phơng trình đã cho hệ phơng trình đại số Phụ thuộc vào phơng trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ cách khéo léo để có đợc phơng trình đơn giản dễ giải Thông thờng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thờng gặp loại đặt ẩn phụ sau: +) §æi biÕn díi hµm lîng gi¸c +) §Æt c¶ biÓu thøc lîng gi¸c lµm Èn phô 2.1.1- §æi biÕn díi hµm lîng gi¸c Ph¬ng ph¸p:  Khi các biểu thức dới hàm lợng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, kém , biểu thức này gấp hai, ba lần biểu thức thờng giải phơng pháp đổi biến k cos VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i:  cos Ta cã t §Æt 4x cos x (1) x  cos x  2x 3t  cos3t  x cos 2t  Lúc đó ta có  2cos 2t 1  4cos3 t  3cos t  2(2cos t  1) 1  4cos3 t  3cos t  4cos t   4cos3 t  3cos t  0  (cos t  1)(cos3 t  3) 0  cos t 1  t k 2       cos t   t   k   2 ThÕ trë l¹i Èn x ta cã (k  ) (*)  2x  x k 3  k 2      x   k  x   k 2  (*)  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm sin( VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh (k  ) 3 x  3x  )  sin (  ) 10 2 10 (1)  3x  3 x   3x sin    (  )  sin 3(  ) sin (  ) 10  10  10 cã thÓ biÓu diÔn Ta nhËn thÊy Nh phơng trình đã đợc đa phơng trình chứa các hàm lợng giác chứa cung Từ đây ta sử công thức nhân ba để biến đổi Gi¶i:  3x  3x  3 x  sin(  ) sin      sin 3(  )  10 10 10   Ta cã: t ( §Æt 3 x 3  )  x   2t 10 ph¬ng tr×nh (2) sÏ trë thµnh  sin t (4sin t  1) 0  sin t.(2cos 2t  1) 0  t k  2t k 2  sin t 0       2t   k 2  2t   k 2  cos 2t  3    3  x   k 2       x  4  k 2 (k  )  t   k    5    3  2t 3   k 2  x 14  k 2  5 hay  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2.1.2- §Æt mét biÓu thøc lîng gi¸c lµm Èn phô Chú ý số phơng pháp đặt ẩn phụ phơng pháp đại số sau đây +Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax  bx  c 0 (a 0) §Æt t x t 0 4 +Ph¬ng tr×nh bËc bèn ( x  a)  ( x  b) c t x  a b §Æt + Ph¬ng tr×nh bËc bèn ( x  a)( x  b)( x  c )( x  d ) k víi a  b c  d §Æt t ( x  a )( x  b) + Phơng trình bậc bốn đối xứng ax  bx cx bx  a 0 Chia c¶ hai vÕ cho x ( x 0) t x  x §Æt VÝ dô Minh Ho¹ VÝ dô1: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  3tan x  9cot x  9cot x  0 Gi¶i : (1) sin x 0   sin x 0  x k k   cos x 0 §iÒu kiÖn  (tan x  Ta cã: (1) t tan x  §Æt tan x t tan x  Do đó )  3(tan x  )  0 tan x tan x t 2 (*) 9   t  tan x  tan x tan x  t  t  3t  0    t 4 Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh (2) Do (*) nên ta có (2)  t 4 Lúc đó ta có tan x  4  tan x  tan x  0 tan x   x   k  (k  )   x   k VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Chú ý: Một số phơng trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau đặt ẩn phụ ẩn cũ và ẩn cung tồn phơng trình Bộ phận cũ còn lại đợc xem là tham sè cña ph¬ng tr×nh VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh  tan x 1    tan x 3 tan  (sin x  3)sin x x  (sin x  3)sin  0 2 (1) Gi¶i: sin C¸ch 1: §Æt x t t 1 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh  sin x  3 t  (sin x  3)t  0 (*) Do sin x   nên phơng trình (*) là phơng trình bậc hai t  (sin  3)  4(sin x  3)  (sin x  1)(sin x  3) Do sin x 1   0   0   b  t   2a Do vËy (*)  sin x 1   2x 1 sin   2 sin x 1  1  cos x   2 sin x 1    sin x 1  x   k 2 cos x 0 (k ) VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm C¸ch 2: x x  (sin x  3)sin (sin  1)  0 2 (2) x x   (sin x  3)sin cos 0 2   (sin x  3)sin x 0  sin x  3sin x  0  (sin x  1)(sin x  2) 0   sin x 1  x   k 2 (k  ) VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh cos x   cos x 2 (1) Gi¶i: Đặt u   cos x điều kiện u  đó ta có u 2  cos x (*) u 2  cos x  Tõ (*) vµ (1) ta cã hÖ cos x 2  u 2 Ta cã u cos x  u  cos x  cos2 x  cos x  u  u 0  (cos x  u )(cos x  u )  cos x  u 0  cos x  u   cos x  u  (cos x  u  1) 0    cos x u  -Với u  cos x vào (*) ta đợc  cos x  cos x  cos x  0    x   k 2  cos x 2 (vn) -Với u cos x  vào (*) ta đợc (k  ) cos x  cos x  0   1 (vn)  cos x    x   k 2 ( k  )  5 cos   cos x   VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2 sin x  16cos x 10 VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh 16 Gi¶i: C¸ch 1: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh 2 16 16sin x  161 sin x 10  16sin x  16sin x 10 2 sin x o sin x 161 §Æt t 16 , ®iÒu kiÖn t 16 v× sin x 1 nªn 16 16 Khi đó phơng trình có dạng 16 t  10  t  10t  16 0  t sin x 2   24 sin x  sin x   2 4  2  sin x    t 8  t 2    16sin x 8   16sin x 2  cos x    cos2 2x    cos 2x   2    4x   k 2  x   k VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm C¸ch 2:  cos 4x   k   u 16sin x  cos x v  16  §Æt  u, v 16 2 sin x cos x 16sin Khi đó: u v 16 16 x  cos x 16 u  v 10  uv 16 Phơng trình tơng đơng với   t 2   t 8 Khi đó u, v là nghiệm phơng trình: t  10t  16 0  sin x     16sin2 x 2    u 2   cos2 x   cos2 x  16   8  v 8       u 8   16sin x 8  sin x       cos x   v 2 2  16   cos2 x     sin x   4   sin x    cos x     cos 2x   1 2    cos2 2x   cos 4x   4x   k 2  x   k ( k  ) VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta có thể sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh  sin x cos x  sin x  cos x  sin x  sin x  cos x (1) Gi¶i: §Æt t sin x cos x  sin x  cos x , suy 2t sin x  sin x  cos x Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh  t   t  2t  0  t  t 1  t   -Víi t 1 ta cã: sin x cos x  sin x  cos x 1 sin x  cos x 1  sin x cos x (a) 2 Do  sin x cos x  nªn (a)  (sin x  cos x ) (1  sin x cos x)   2sin x cos x 1  2sin x cos x  (sin x cos x)  sin x cos x(sin x cos x  4) 0  sin x cos x 0  sin x 0  x k  x k  (k  ) -Víi t  ta cã sin x cos x  sin x  cos x   sin x  cos x   sin x cos x (b ) Ta nhËn thÊy   sin x cos x     sin x  cos x , suy ph¬ng tr×nh (b) v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh 81sin x  2(cos x  2) 9sin x  4cos x  0 (1) Gi¶i: sin §Æt  81sin x t  t 9sin 2 x 31 2sin x 3cos x 2 x 91 2sin x 9cos x (3cos x )2 t 2 Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh t  2(cos x  2)t  4cos x  0  t  2(cos x  2)t  2cos x  0  t    t 5  2cos x -Víi t   lo¹i cos x cos x  2cos x 5 (*) 5  2cos x  -Víi t 5  2cos x ta cã y §Æt y cos x , y 1 ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh  y 5 y Đặt f ( x) 3  y Rõ ràng f ( y ) là hàm đồng biến trên  MÆt kh¸c ta cã f (1) 5 suy y 1 lµ nghiÖmduy nhÊt cña ph¬ng tr×nh (*) Víi y 1 ta cã cos x 1  x k 2  x k ( k ) VËy ph¬ng tr×nh cã nhÊt hä nghiÖm NhËn xÐt: Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải phơng trình lợng giác đợc vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu thức đã cho số dạng phơng trình lợng giác mà ta đã biết cách giải Với ẩn phụ đã đặt ta thiết phải tìm điều kiện nó và lu ý ta phải thử l¹i xem c¸c nghiÖm cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ph¬ng tr×nh hay kh«ng 2.3- Gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c sö dông c«ng thøc h¹ bËc Ph¬ng ph¸p: Ta thùc hiÖn theo c¸c bíc sau: Bớc 1:Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Bíc 2: Thùc hiÖn viÖc h¹ bËc cña ph¬ng tr×nh b»ng c¸c c«ng thøc *Hạ bậc đơn: 1 sin x   1 cos x  2 cos x   1 cos x  sin x  cos x tan x   cos x  cos x cos x  cos x cot x   sin x  cos x  3sin x  sin x  cos3 x   3cos x  cos3 x  3sin x  sin x tan x  3cos x  cos3 x sin x  3sin x  sin x cot x  3cos x  cos 3x * H¹ bËc toµn côc sin x  cos x   cos x 4 sin x  cos x  cos x sin x  cos6 x   cos x 8 sin x  cos x  cos3 x  cos x 4 * Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng : A sin x.cos3 x  sin x.cos3 x Ta cã thÓ lùa chän theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã : A sin x.cos3 x  sin x.cos x  1 cos x  sin x.cos3x   1 sin x  sin 3x.cos x sin x.cos3x  sin x.cos x  (cos x.cos3 x  sin x.sin x)sin x.cos x 1 sin x  cos x.sin x sin x  sin x  sin x 4 C¸ch 2: Ta cã : 1 A  (3sin x  sin x)cos3 x  (3cos x  cos3x)sin x 4 3  (sin x.cos3x  consx.sin 3x  sin x 4 Chó ý: (+) Tuú thuéc bËc tõng bµi to¸n ta lùa chän viÖc h¹ bËc cho phï hîp Ch¼ng h¹n phơng trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử 3) thông thờng ta không hạ bậc tất các nhân tử đó mà chọn hai nhân tử để hạ bậc (+) Víi c¸c nh©n tö bËc cao h¬n ta ph¶i h¹ bËc dÇn dÇn VÝ Dô Minh Ho¹: 2 sin x  cos x  cos 3x VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i Phơng trình đợc biến đổi dới dạng 1 cos x 1 cos x   cos 3x  2cos x  (cos x  c os x) 2  2cos 3x  2cos3x.cos x 0  (cos3x  c os5 x)cos3x 0  2cos x.cos x.cos3x 0   x   k   cos x 0  cos3 x 0     x    k  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm  cos x 0   cos x 0    cos3 x 0 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i Ta cã: k    sin x  sin ( x  )  sin ( x  )  4 (1) (1)      x 4  k   x   k          cos(2 x  )  cos(2 x  )    1 cos x   4         2            (1 cos x )2  (1 sin x )2  (1 sin x )2   1 2cos x  cos 2 x  2(1 sin 2 x )   2cos 2 x  4cos x  10   cos x 1    cos x 1  6 (loai ) cos 2  x 2  k 2  x   k (k  ) VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm  cos x 1 sin x  cos3 x  sin x.cot x  cos3 x.tan x  2sin x VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2) Gi¶i 3 2 Ta cã: (2)  sin x  cos x  sin x.cos x  cos x.si n x  2sin x  sin x(sin x  cos x)  co s x(cos x  si n x)  2sin x  (sin x  co s x )(sin x  cos x )  2sin x  sin x  cos x  2sin x (3) §iÒu kiÖn sin x  cos x 0   sin x   sin x  cos x 0 sin x 0   (*)  sin x cos x  cos x    B×nh ph¬ng hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) ta cã: (sin x  cos x) 2sin x   2sin x cos x sin x  2sin x  sin x 1   x   k 2  x   k k    x   k C¸c gi¸ trÞ tháa m·n ®iÒu kiÖn (*) vµ chØ k 2m Vậy phơng trình đã cho có họ nghiệm VÝ Dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x  cos5 x  (sin x  cos3 x)sin x sin x  cos x (4) Gi¶i: 5 Ta cã (4)  sin x  cos x  (sin x  cos x)sin x cos x sin x  cos x  sin x  cos5 x  sin x cos x  sin x cos4 x sin x  cos x  (sin x  sin x cos x)  (cos5 x  sin x cos x) sin x  cos x  sin x(sin x  cos x)  cos x(sin x  cos x) sin x  cos x  sin x  cos x 0 (sin x  cos x)(sin x  cos x  1) 0    sin x  cos x 1   tan x   x   k k  Ta cã (5) cos x cos x  cos x  sin x sin x  cos x 1  L¹i cã: sin x sin x (5) (6) Dâú đẳng thức xảy và sin x 0 cos x 0  sin x 0    x k k  cos x 0  Bëi thÕ (6) VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x x  cos 2  tan x sin x 1  sin x  tan x  sin x sin (7) Gi¶i: §iÒu kiÖn: cos x 0 sin Ta cã: x x x x x x  cos (sin  cos )  2sin cos  2 2 2 1   cos x sin x  2 x x  cos4 2   cos x  sin x 2(1  sin x ) sin  Thay vào (7) ta thu đợc  cos x  sin x   tan x sin x   tan x 2(1  sin x)  cos x  sin x    (1  sin x) tan x 2(1  sin x)  cos x (1  sin x )(1  tan x )   2(1  sin x)   cos x (1  sin x )(1  sin x)(1  tan x)  2(1  sin x) 2(1  sin x)   cos x (1  sin x )(1  sin x )(1  tan x )   cos x (1  sin x )(1  tan x)   cos x cos2 x (1  tan x )   cos x cos x  2sin x )     2sin x  cos x 0  x   k  x   k k  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm tan x  cot x  VÝ Dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: Ta cã:  sin x sin x (8) 8   (tan x  cot x )3 3 sin x (2sin x cos x) (sin x cos x) tan x  cot x  3tan x cot x(tan x  cot x) tan x  cot x  Do vËy (8)  tan x  cot x  sin x tan x  cot x  sin x sin x 0 sin 2x (v« nghiÖm ) Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ hữu hiệu có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải Vì để có thể sử dụng tốt phơng pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu trên, đồng thời phải sử dụng đẳng thức cách linh ho¹t 2.4- Biến đổi phơng trình lợng giác thành phơng trình tích Cã rÊt nhiÒu c¸ch ®a ph¬ng tr×nh lîng gi¸c vÒ ph¬ng tr×nh tÝch ta cã thÓ sö dông c¸c phép biến đổi các dạng nh sau:  Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos x D¹ng 4: Ph¬ng ph¸p t¸ch hÖ sè D¹ng : Ph¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn D¹ng 6: Ph¬ng ph¸p nh©n Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp Ta ®a ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i vÒ d¹ng  f ( x1 ) 0 f ( x1 ) f ( xn ) 0    f ( xn ) 0 đó các phơng trình: f ( x1 ), , f ( xn ) là các phơng trình có dạng chuẩn Sau ®©y ta xÐt tõng d¹ng 2.4.1- Phơng pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích: VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  cos x  cos x  cos3 x 0 (1) Gi¶i: Cách 1: Biến đổi tổng thành tích:  (1  cos x ) cos3 x  cos x   2cos x  2cos x.cos x 0   Ta cã: (1)  (cos x  cos x)cos x 0  2cos 3x x cos cos x 0 2   cos x 0     x   k x   k   cos x 0    x 2   cos 0     k  3x  cos 0  x    k  x    k    2  3x 3    cos 0  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm Cách 2: Biến đổi phơng trình chứa hàm lợng giác (1)   cos x  2cos x   4cos x  3cos x 0  4cos3 x  2cos x  2cos x 0  (2cos x  cos x  1)cos x 1   cos x 0    cos x     cos x        x   k x   k    x   k 2    x   2k    3  x   k 2  k  VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  sin x  cos3x cos x  sin x  cos x (2) Gi¶i: Ta cã (2)  (1  cos x)  sin x  (cos3 x  cos x)  sin x 0  2sin x  sin x  2sin x sin x  2sin x cos x 0  (2sin x   4sin x cos x  2cos x)sin x 0  (2sin x  1)(1  2cos x)sin x 0   x   k 2     cos x   x k    sin x 0   k   x   k      sin x   7   x   k 2 VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh sin x  sin x  sin x  sin x cos x  cos2 x  cos3 x  cos x (3) Gi¶i: 2 3 4 (3)  (sin x  cos x)  (sin x  cos x)  (sin x  cos x)  (sin x  cos x) 0  (sin x  cos x)    sin x  cos x     sin x cos x    sin x  cos x   0   sin x  cos x     sin x  cos x   sin x cos x  0 (1)  sin x  cos x 0     sin x  cos x   sin x cos x 0 (2)  sin x cos x  tan x 1  x   k k   Giải (1) ta đợc Gi¶i (2): §Æt sin x  cos x t Khi đó phơng trình có dạng | t | (*) sin x cos x  suy  t   t   Kết hợp với điều kiện (*) phơng trình trên tơng đơng với t2   2t  0  t  4t  0  sin x  cos x     sin( x  )   sin( x  )  4     x    k 2   x   k 2 4   k      x    k 2  x   k 2  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2.4.2- Phơng pháp biến đổi tích thành tổng t2  VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x sin x  sin x sin8 x 0 (1) Gi¶i: Ta cã (1)  cos x  cos x  cos12 x  cos x 0 k  x    12 x 2 x  k 2  cos12 x cos x     12 x  x  k 2  x  k  VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ Dô 2: Gi¶iph¬ngtr×nh: cos x  cos x  cos6 x cos x cos x cos3 x  k  (2) Gi¶i: 4cos x cos x cos3 x 2cos x 2(cos x cos3x) 2cos x  cos x  cos x  Ta cã: 2cos 2 x  2cos x cos x 1  cos x  cos x  cos6 x  cos x  cos x  cos6 x  (1  cos x  cos x  cos6 x)  Do vËy (2)  cos x  cos x  cos6 x 3 cos x 1   cos x 1  cos x 1  x k k   cos6 x 1  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2.4.3- Lựa chọn phép biến đổi cho cos x VÝ Dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2cos x  cos x  sin x 0 (1) (1)  2cos3 x  2cos x   sin x 0  2(cos x  1)cos x  sin x  0  2(cos x  1)(1  sin x)  sin x  0  (1  sin x)  2(cos x  1)(1  sin x)  1 0  (1  sin x)   2sin x cos x  2(sin x  cos x)  0  (1  sin x)  (sin x  cos x)  2(sin x  cos x)  0  (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2) 0   sin x 0   sin x  cos x 0    sin x  cos x  0 (vn)      x   k  x   k     x  k  x    k   4 Gi¶i: VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm  sin x 1   sin( x   ) 0  k  Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta lựa chọn phép biến đổi cos x 2cos x  bëi hai nh©n tö cßn l¹i lµ 2cos x ( cos cã hÖ sè lµ 2) vµ sin x ( sin cã hÖ sè lµ 1),thùc hiÖn phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đa phơng trình dạng tích Nh trờng hợp trái lại ta lựa chọn phép biến đổi cos x 1  2sin x Cô thÓ ta xÐt vÝ dô sau: VÝ Dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sin x  cos x  cos x 0 Gi¶i: (2) (2)  2sin x   2sin x  cos x 0  2( sinx  1) sin x  cosx  0  2(sin x  1)(1  cos x)  cos x  0   2( sinx  1)(cosx  1)  0   (1  cos x)  (sin x  cos x)  2(sin x  cos x)   (1  cos x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2) 0   cos x 0  cos x 1  x k 2  sin x  cos x 0   k      sin( x  ) 0  x   k  sin x  cos x  0 (vn)   Ta cã:  VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Nhận xét: Nh chúng ta đã có đợcphơng pháp suy luận việc lựa chọn hớng biến đổi cos 2x Cuối cùng trờng hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi cos x cos x  sin x Cô thÓ ta xÐt vÝ dô sau: 3 VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x  cos x cos x Gi¶i: (1) 3 2 Ph¬ng tr×nh (1)  sin x  cos x cos x  sin x  (cos x  sin x)(1  cos x sin x  cos x  sin x) 0 (2)  cos x  sin x 0    cos x sin x  cos x  sin x 0 (3) Giải (2): Ta đợc sin x  cos x  tan x   x    k k  t2  sin x cos x  Giải (3): Ta đặt sin x  cos x t | t | , suy Khi đó (3) có dạng: 1 1 t2  t 0  t  2t  0  (t  1) 0  t   sin x  cos x    sin( x  )    x   k 2   sin( x  )   k    x   k 2 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm 2.4.4- Ph¬ng ph¸p t¸ch hÖ sè VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  cos3x  2cos5 x 0 (1) Gi¶i  1   cos5 x  cos x   (cos3x  cos5x) 0  2cos3x cos x  2cos x cos x 0  (4cos3 x  3cos x ).cos x  cos x  cos3x 0  [(4cos x  3)cos x  cos x ].c os x 0  {[2(1 cos x)  3]cos x  2cos 2 x  1}.cos x 0  (cos 2 x  cos x  1)cos x 0       cos x 0  x   k x   k       17    cos x  cos 21   x 1  k 2   x   k    x   k 2      cos x 1  17 cos 2  x   k    VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm sin x sin x  VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Giải Biến đổi phơng trình dạng 5sin x 3sin x  2sin x 3(sin x  s in x)  2(3sin x  4sin x) 6cos x.sin x  (3  sin x  3cos x )sin x 0     1 cos x    cos 2 x  1  sin x 0   3cos 2 x  cos x   sin x 0 k   cos x 1   cos x  cos 2    cos x      sin x 0  cos x 0   x 2  k 2  x   k     (k  ) x  k  x  k    VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Chó ý:Ta còng cã thÓ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p t¸ch dÇn sin x 3sin x  4sin x sin x sin( x  x) sin x.cos x  sin x.cos x sin x.cos x  2cos x.sin x.cos x sin x.cos x  4cos x.sin x.cos x 2.4.5- Ph¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  sin x  3 sin x x   sin x  3 sin  10 2 (1) Gi¶i Ta cã thÓ lùa chän c¸ch sau C¸ch 1: Ph¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn t sin §Æt x ®iÒu kiÖn t 1 Khi đó (1) có dạng  sin x  3 t   sin x  3 t 10 sin x 1 Ta cã   sin x  3   sin x  3  sin x  3  sin x  1 0 ( ) Do đó phơng trình đợc chuyển thành  0 sin x  0 sin x 1    b   2x   1 cos x 1 t  2a sin 2   sin x 1  x   k (k  ) C¸ch 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch  1 x  x    sin  1  sin x   sin 10   x x    sin x  3 sin cos2  10 2  (sin x  1)(sin x  4sin x  4) 0   (sin x  1)(sin x  2) 0  sin x 1  x   k 2 (k  ) 2sin x    3sin x  10  3sin x    sin x 0 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i sin x  , t 0 §Æt t 3 t   3sin x  10  t   sin x 0 Khi đó phơng trình tơng đơng với   3sin x  10   4.3   sin x   3sin x    t     t 3  sin x t ta đợc -Víi  3sin x    sin x    sin x 1  x   k 2  k   -Víi t 3  sin x sin x  3  sin x ta đợc Ta đoán đợc nghiệm sin x 2 và 3  Vì VT là hàm đồng biến còn VP là hàm nghịch biến, sin x 2 là nghiệm nhÊt cña ph¬ng tr×nh Nhng ph¬ng tr×nh sin x 2 v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm 2.4.6- Ph¬ng ph¸p nh©n VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2cos x  8cos x   cos x  1 Gi¶i §iÒu kiÖn: cos x 0 Nh©n c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) víi cos x 0 ta cã 2cos x.cos x  8cos x  7cos x 1  2cos x (2cos x  1)  8cos x  7cos x 1  4cos3 x  8cos x  5cos x  10  (cos x  1)(4cos x  4cos x 1) 0  x k 2  cos x 1   (cos x  1)(2cos x  1) 0    (k )   x   k 2  cos x    C¸c hä nghiÖm trªn tháa m·n ®iÒu kiÖn VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sin 5x x 5cos3 x sin 2  2 Gi¶i x x x cos 0 cos x 2cos  1 sin 1  VP 5 2 +) Víi ta đợc vµ sin Khi đó phơng trình (2) có dạng: 5x 5 v« nghiÖm x x  cos 0    k  x   k 2  k   2 +)Víi x cos 0 Nh©n c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (2) víi ta đợc 2sin 5x x x x cos 10cos3 x sin cos 2 2 (*)  sin x  sin x 5cos x sin x  3sin x  4sin x  2sin x.cos x 5cos x sin x  3sin x  4sin x  2sin x.cos x 5cos3 x sin x  (3  4sin x  cos x  5cos3 x )sin x 0  (5cos3 x  4cos x  2cos x 1)sin x 0  5cos x  cos x  10   (5cos x  cos x  1)(cos x  1)sin x 0   cos x  10  sin x 0   1 21 cos   cos x  10   1 21   cos x  cos   10   sin x 0   x   k 2  *   x   k 2 k       x 2k  x   k 2  x   k 2   x k 2.4.7- Sử dụng các phép biến đổi VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos10 x  2cos x  6cos3 x.cos x cos x 8cos x.cos x Gi¶i Biến đổi phơng trình dạng cos10 x 1 cos8 x cos x  2(4cos3 x  3cos3 x)cos x  2cos9 x.cos x 1cos x  2cos9 x.cos x  cos x 1  x k  k   VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i  2 cos x  sin x  cos x 0  2  cos x  cos x  sin x.sin x 0  (cos x  1)(1 cos x)sin x 0  (cos x 1)[cos x   1 cos x  sin x] 0  cos x 1    sin x  cos x  sin x.cos x 1 Giải (1): Ta đợc  1  2 x   k 2 , k   t2  sin x  cos x t , t 2  sin x.cos x  Gi¶i (2): §Æt t2  0  t  2t  10  2  t   t 1    sin x  cos x 1 t   loai         1 2 sin  x   1  sin  x    sin  4 4       x     k  x     k 2   4      k      x      k 2  x    k 2   4 VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm  3 VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  sin x cos x  sin x  sin x (3) Gi¶i  3  (cos x  sin x )(1 cos x.sin x) cos x  sin x  sin x (cos x  sin x )sin x sin x  (cos x  sin x  2)sin x 0   sin x 0  x k  x k  k   VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm  2.5- Biến đổi phơng trình lợng giác thành tổng các đại lợng không âm Phơng pháp: Ta cần nhớ các đại lợng không âm lợng giác, bao gồm A2 , B , 1cos x, 1sin x đó để sử dụng phơng pháp này giải PTLG ta thực theo c¸c bíc sau Bớc 1: Biến đổi phhơng trình ban đầu dạng A1  A2   An 0  1 Bíc 2: Dïng lËp luËn Ai 0,  i 1, n Bớc 3: Khi đó  A1 0  A 0  1   :   An 0 I Bíc 4: Gi¶i hÖ  I  VÝ Dô Minh Häa: 2 2 VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos x  cos x sin 12 x  sin 16 x  Gi¶i  1  1 sin x 1  sin x  sin 12 x  sin 16 x   sin x  sin x  sin 12 x  sin 16 x 0  sin x 0  sin8 x 0   sin12 x 0   sin16 x 0  sin x 0  x k  x k VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm   k    1 cos x  cos6 x  4(3sin x  4sin x 1) 0 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:  2 Gi¶i Ta cã:  2  cos x  cos6 x  4sin x  0  (1 cos x)  (1 cos6 x)  4sin x  0  2cos x  2sin 3 x  4sin x  0  cos x  (sin x 1) 0    x 2  k  cos x 0      x   2k  sin x 1  x 3  k  VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i  k   4cos x  3tan x  cos x  tan x  0  3 2 NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy ph¬ng tr×nh trªn cã h¹ng tö cos x, cos x, tan x, tan x vËy th× ta có thể biến đổi phơng trình dạng tổng bình phơng hai biểu thức Gi¶i Ta cã:  3  (4cos x  cos x  3)  (3tan x  tan x  1) 0   2cos x      tan x  0  cos x   2cos x  0      tan x   tan x  10    x   k 2      x   k 2  k     x   k  VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x   cot x   sin x Gi¶i  4  tan x   cot x   §iÒu kiÖn: sin x 0 C¸ch 1: tan x   cot x    tan x  cot x   [(tan x  1)  tan x  1]  [(cot x  1)  cot x   ] 0  4   ( tan x   1)  ( cot x   1) 0  tan x   10    tan x cot x 2 cot x      tan x.cot x 4 (m©u thuÉn) VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta đợc 1 tan x  tan x  1(tan x  1)    2   1(cot x  1) 1 co t x  co t x  2 1  tan x   cot x   (tan x  cot x)  sin x Do vËy  tan x  1      cot x  1  tan x cot x 2 (m©u thuÉn) VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  tan y  cot ( x  y ) 1  5 Gi¶i.Ta cã 1 tan x.tan y cot( x  y )  tan x  tan y  (tan x  tan y )cot( x  y ) 1 tan x.tan y  tan x.tan y  tan x.cot( x  y)  tan y.cot( x  y ) 1 Do vËy  *  5  tan x  tan y  cot  x  y  tan x.tan y  tan x.cot( x  y )  tan y.cot( x  y)  [(tan x  tan y )2  (tan x  cot  x  y  )2  (tan y  cot( x  y )) ] 0  tan x tan y cot  x  y   6 tan x tan y cot  x  y   Tõ (5) vµ (6) ta cã:    x   k   y    k     x 6  k   y   k  hoÆc VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm Chó ý: Víi mäi x, y lµm tan x, tan y , tan  x  y  cã nghÜa ta lu«n cã tan x.tan y  tan x.cot  x  y   tan y.cot  x  y  1 VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh y 4sin x  21 sin x.cos  xy   0 (6) Gi¶i  6  sin x 2  y  2.2sin x.cos  x y  1 1 0   2sin x  1  (2 y  1) 0 2sin x 1 sin x 0  x k  y      y 0  y 0 2 1  k   VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Nhận xét: Để giải phơng trình lợng giác phơng pháp này đòi hỏi học sinh phải có t duy, nhận xét qua bài toán xem có thể đa đẳng thức số hạng nào đó kh«ng ©m Víi ph¬ng ph¸p nµy cã t¸c dông tÝch cùc tíi t s¸ng t¹o cho häc sinh 2.6- Giải phơng trình lợng giác phơng pháp đánh giá Ph¬ng ph¸p: XÐt ph¬ng tr×nh f  x  g  x  x  D (1) Nếu x D, f  x  k và g  x  k , k là số nào đó thì phơng trình trên tơng đơng với  f  x  k  g  x  k h Ö   2 Nh ta quy ớc việc giải PTLG (1) giải hệ PTLG (2) Để đánh giá phơng trình ta dùa trªn c¸c d¹ng sau: D¹ng 1: TÝnh chÊt cña hµm sè lîng gi¸c vµ biÓu thøc lîng gi¸c D¹ng 2: PTLG d¹ng Pitago Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Bunhicôpski Sau ®©y ta ®i xÐt tõng d¹ng 2.6.1- TÝnh chÊt cña hµm sè lîng gi¸c vµ biÓu thøc lîng gi¸c VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i  sin x   cos x sin x 2 (1) | sin x  cos x |2  (sin x  cos x)sin x 2  sin x   Ta cã nhËn xÐt  Do đó phơng trình (1) tơng dơng với  sin x  cos x 2   sin x 1   sin x  cos x   sin x      sin( x  ) 1   sin x 1    sin( x   )    sin 3x       x 6  k 2   sin x 1     x  5  k 2   sin x      x 6  k 2    x   k  k     x  5  k 2  VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin x  cos8 x 2(sin10 x  cos10 x)  cos x (2) Gi¶i  2  (1 2sin x)sin x  ( 2cos x  1)cos8 x  cos x  cos x.sin x  cos x.cos8 x  cos x  cos x 0  (sin x  cos x) c os x  cos x    sin x  cos8 x 5   3    x   k  x   k Giải (3) ta đợc Gi¶i (4): Ta cã nhËn xÐt  4  k   sin x  cos8 x sin x 1   2 VT = v« nghiÖm VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm Nhận xét: Hầu hết các phơng trình lợng giác dạng ban đầu chúng ta cha thể khẳng định đợc nó có thuộc loại đánh giá hay không Tất đợc khẳng định sau biến đổi lợng giác mà chúng ta đã biết VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3.sin x  2log sin x 1 log (sin x 1)  log sin x (3) Gi¶i §iÒu kiÖn sin x  log sin Ta thÊy x 1  3  3.sin 2.2log sin x 2sin x x log sin x 1 Ta cã sin x 1 log sin x (4) sin x  sin x 1 sin x  12sin x  2  log 1 sin x sin x Víi  sin x  ta cã sin x  cos6 x (sin10 x  cos10 x)  (1) sin x  4cos x DÊu “=” x¶y vµ chØ sin x  12sin x  (sin x  1) 0  sin x 1  * 3 Tõ (4) vµ (5)  3sin x  2sin x 1  2sin x  3sin x  0  (sin x  1) (2sin x  1) 0 (6) Do sin x 0  2sin x  1 đó (6)  (sin x  1) 0  5  sin x 1 x   k 2 (k  ) (**)  x   k 2 (k ) Tõ (*) vµ (**) ta suy là họ nghiệm phơng trình đã cho 2.6.2 Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c d¹ng Pitago sin x  cos6 x sin x  cos x  (1) sin x  4cos 2 x 2.6.3 VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 10 10 Gi¶i: Ta cã nhËn xÐt :  sin x (sin x  cos x)  3sin x.cos x    sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x  3sin 2 x VP= 2 10 1 cos x cos x 10 10 2  VT  (sin x  cos x )  (sin x  cos x )   10 4 MÆt kh¸c: sin x sin x Do đó: (1)   cos x 0  cos10 x cos x  cos x 1  VT    10  sin x sin x   sin x 0   sin x 1   cos x 0    sin x 0  x k  x k (k  )  sin x 0 n n Nh vËy b»ng nhËn xÐt cos x cos x , sin x sin x ( n 2, n  ) vµ ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n mét c¸ch dÔ dµng VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: sin 2007 x  cos 2008 x 1 Gi¶i: Ta cã: sin x 1  sin x sin x 1 sin x sin x 1  sin 2007 x sin x MÆt kh¸c ta còng cã: (a ) cos x 1  cos x cos x 1  cos x cos x 1  cos 2008 x cos2 x (b) 2007 2008 2  sin x  cos x  sin x  cos x 1 Tõ (a) vµ (b)   sin x 0  sin x sin x  sin x 1      cos x  cos x  cos x      cos x 1  DÊu “=” x¶y  x k  sin x 0   sin x 1   x   k k     2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Cosi: sin x  cos8 x  (1) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: Cách 1: Sử dụng giải PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng sin x ,cos x Ta cã: sin x  cos8 x  (sin x  cos x)  2sin x cos x  (sin 2 x  cos 2 x )  2sin 2 x cos 2 x   2sin x cos x 1 (1  sin x)  sin 4 x  sin 4 x  sin 4 x  8  Lúc đó (1) sin x  sin 4 x  1  sin 4 x  8sin x  0 8  sin x 1  cos x 0  sin x  ( )      x   k  x   k  k   Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cosi Ta cã nhËn xÐt 4   cos x  ( )  ( )  ( )  cos x  sin x  ( )  ( )  ( )  sin 2 x  2 2 1  sin x  cos8 x  ( )  (sin 2 x  cos 2 x) 2 Céng vÕ víi vÕ  sin x  cos8 x   cos x  ( )     sin 2 x cos 2 x   cos x 0 sin x ( )  Do đó: (1)     x   k  x   k (k ) VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (tan x  cot x ) n sin n x  cos n x n 2, n   (2) Gi¶i: cos x 0   sin x 0  x  k  x  k , k    sin x 0 §iÒu kiÖn: +) Với n 2 phơng trình đã cho trở thành (tan x  cot x ) sin x  cos x 1 1 (tan x  cot x )  tan x  cot x  1 Ta cã: DÊu “=’’ x¶y ra:  tan x  cot x  tan x   tan   x   k (k ) 1 | tan x  cot x | n (| tan x |  | cot x |) n 1 4 +) Víi n 2 ta cã (Theo bÊt d¼ng thøc Cosi) MÆt kh¸c:  n  th× |sin n x | sin x  |sin n x |  | cos n x |   n | cos x | cos x Do đó: |sin n x  cos n x | |sin n x |  | cos n x | 1 | tan x  cot x |n DÊu “=” x¶y   x k   | sin n x | sin x   x   k  n  | cos x | cos x      1 | tan x |  | cot x |  | tan x | | cot x |   HÖ nµy v« nghiÖm Vậy phơng trình đã cho có hai họ nghiệm 2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sin x   sin x  sin x  sin x 3 (1) Gi¶i: Ta cã: VT (1.sin x   sin x  sin x  sin x )  (1   sin x  sin x )  sin x  1  sin x  9  VT 3  sin x 1  x  VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : tan x  tan 2 x  cot x 1 Gi¶i: cos x  sin x 0   cos x    sin x 0 cos3 x   §iÒu kiÖn  Ta cã: tan x  tan x tan (2 x  x )    tan x tan x cot x  tan x tan x  tan x cot x  cot x.tan x 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có   k (k  ) tan x tan x  tan x cot x  cot x.tan x tan x  tan 2 x  cot x DÊu “=” x¶y  tan x  tan x cot x  tan x tan x  tan x  tan x     1  tan x cot 3x tan x cot x tan x   tan x 0  x k     cot 3x 0 cot x 0 Hệ phơng trình trên vô nghiệm Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm 2.7- Dïng ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t hµm sè Phơng pháp này ta dùng tính chất biến thiên ( đồng biến hay nghịch biến) và cực trị hàm số để tìm nghiệm phơng trình Để hiểu rõ vấn đề này ta xét số vÝ dô cô thÓ x2  1 cos x (1) x  2 VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 1  cos x 0 Phơng trình đã cho tơng đơng với XÐt hµm sè x2 f ( x) 1   cos x  f ( x)'  x  sin x  f ( x)"  1 cos x 0    x  ;    B¶ng biÕn thiªn x f ( x)' f ( x)'' f ( x)    2 1 1 0 Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta suy DÊu “=” x¶y  x 0    f ( x ) 0  x   ;    Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x 0 1sin x.2cos x  VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i: sin 2 x  cos x (2) cos x  sin 2 x  2(1  cos x) 2 Ta cã : (2)  2sin x.2  (1  cos x)( 2cos x  (1  cos 2 x )  2(1  cos x ) 0  (1  cos x)  2cos x  (1  cos x )   0  (1  cos x)(2cos x  cos x  1) 0   cos x 0   cos x  cos x  0 2 (2) (3) Ta cã: (2)  cos x 1 x k 2  x  k §Æt cos x t  k  (4) t  ph¬ng tr×nh (3) trë thµnh f (t ) 2t  t  0 Rõ ràng f (t ) là hàm số đồng biến trên  Lại có f (0) 0  t 0 là nghiệm cña (3) trªn   1; 1     k  x   k (k   ) (5) Víi t 0 ta suy Từ (4) và (5) suy phơng trình đã cho có hai tập nghiệm VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh : cos x 0  x  log 2sin x (4  sin x) log (1) Gi¶i: Ta cã: (1)  log (4  sin x) log  log (4  sin x) log 5.log (2  sin x) log (2  sin x)  log   sin x  log (2  sin x) §Æt log   sin x  log (2  sin x) t 2  sin x 3t  t  sin x    Lúc đó ta có: (2)  5t  3t  2( )t  ( )t 1 (3) 5 f (t )  2( )t  ( )t 5 Ta thÊy r»ng f (t ) lµ hµm nghÞch biÕn trªn  vµ XÐt hµm sè f (1) 0  t 1 lµ nghiÖm nhÊt cña ph¬ng tr×nh (3)   k 2 ( k  ) Víi t 1 thÕ vµo (2) ta cã VËy ph¬ng tr×nh cã hä nghiÖm nhÊt sin x 1  x  Nhận xét: Phơng trình f ( x) m đó f ( x) là hàm đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên miền xác định phơng trình , có nghiệm thì nghiệm đó là Phơng trình f ( x )  g ( x ) đó trên miền xác định phơng trình ,2 hàm số f ( x) và g ( x) có tính đồng biến và nghịch biến trái ngợc ,nếu có nghiệm thì nghiệm đó là n n VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : sin x  cos x 2 Gi¶i: n n XÐt hµm sè f ( x) sin x  cos x 2 2 n n 2 n n x  víi x  víi  ,n  2  ,n  2 n n n n Ta cã f ( x)' n sin x cos x  n sin x cos x n sin x.cos x(sin x  cos x) f ( x)' 0  sin n x  cos n  x 0  x   B¶ng biÕn thiªn: x  f ( x)' f ( x)    1 2 n 2 n   f ( x)  f ( ) 2 Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn f ( x) 2 Từ đó ta có 2 n      x    0;  2   x VËy ph¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm nhÊt lµ: Nhận xét : Với phơng pháp khảo sát hàm số ta thờng áp dụng để chứng minh nghiệm ta có thể nhẩm nghiệm là dựa vào bảng biến thiên để suy nghiệm phơng trình Do đòi hỏi học sinh cần tinh ý xem bài toán nào nên áp dụng phơng pháp này Đặc biệt phơng pháp này thờng đợc áp dụng để tìm nghiệm PTLG dạng đại số 2.8- BiÖn luËn ph¬ng tr×nh lîng gi¸c chøa tham sè Cũng nh phơng trình có chứa tham số khác ,việc giải và biện luận PTLG có chứa tham số quan trọng chơng trình toán phổ thông nh các đề thi §¹i Häc.Thêng th× c¸c bµi to¸n lîng gi¸c chøa tham sè yªu cÇu t×m ®iÒu kiÖn cña tham số để phơng trình có nghiệm tìm điều kiện tham số để phơng trình có n nghiệm thuộc khoảng D nào đó Để có cái nhìn tổng quan phơng pháp giải phơng tr×nh nµy ta sÏ xÐt tõng d¹ng Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x D Cho ph¬ng tr×nh Q( m , x) 0 (1) phô thuéc vµo tham sè m , x  D Tìm m để phơng trình có nghiệm Cách 1: Phơng pháp đạo hàm Bớc 1: Đặt ẩn phụ t  h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp phơng tr×nh (1) Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị t lµ D1 Bíc 3: §a ph¬ng tr×nh (1) vÒ ph¬ng tr×nh f ( m , t ) 0 Bíc 4: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f ( m , t ) trªn miÒn D1 Bớc 5: Căn vào bảng biến thiên và kết bớc mà các định giá trị m C¸ch 2: Ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai ( ¸p dông ®a Q( m , x ) vÒ d¹ng tam thøc bËc hai ) Bớc 1: Đặt ẩn phụ t  h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp phơng tr×nh (1) Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị cña t lµ D1 Bíc 3: §a ph¬ng tr×nh (1) vÒ ph¬ng tr×nh f ( m , t ) at  bt  c 0 Bớc 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f ( m, t ) có nghiệm t  U Bíc 5: KÕt luËn   x 0;   4 Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm m cos x  4sin x.cos x  m  0 (1) Gi¶i:   x 0;     cos x 0 Víi Chia hai vế phơng trình cho cos x  ta đợc m  tan x  (m  2) (1  tan x) 0  (m  2) tan x  tan x  2m  0 (2)   x 0;    nên t  0; 1 ta đợc §Æt t tan x v× (m  2) t  t  2m  0  3   x 0;    vµ chØ (3) cã nghiÖm t  0; 1 Khi đó (1) có nghiệm Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau Cách 1: +) Với m  0  m 2, đó (3) có dạng  4t 2 0  t    ; 1 Vậy m 2 thỏa mãn đề bài +)Với m  0  m 2 đó (3) có nghiệm t  0; 1  (3) cã nghiÖm   0; 1 hoÆc (3) cã nghiÖm   0; 1  f (1) f (2)     ' 0  af (1)       af (0)    S  0     1 m  VËy víi  (3m  8)(2m  2)     2m  6m 0  (3m  8)(m  2)  1 m     (m  2)(2m  2)    0  1 m     x 0;   4 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2t  4t  m C¸ch 2: ViÕt l¹i ph¬ng tr×nh díi d¹ng : t    x 0;   4 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số y 2t  4t  t2  trªn  ;1 2t  4t  y t2  XÐt hµm sè (C) trªn  ;1  4t  4t   4(t  1)(t  2) y '    t  0;1 2 ( t  2) ( t  2) §¹o hµm tức là hàm số đồng biến trên  ;1 Do đó đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số(C) trên khoảng  ;1  y (0)  m  y (1)  1 m  1 m  VËy víi   x 0;   4 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm 4(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)  sin x m (1) Gi¶i: Ta đã có: sin x sin x  cos x 1  sin 2 x 2 sin x 4sin x  4sin x sin x  cos6 x 1  Do đó phơng trình đợc biến đổi dạng sin x)  4(1  sin 2 x)   4sin 2 x  4sin x  m 4  4sin x  sin x m 4(1  §Æt t sin x t 1 Khi đó phơng trình có dạng 4t  3t m (2) C¸ch 1: ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm  (2) cã nghiÖm   ; 1  (2) cã nghiÖm hoÆc (2) cã nghiÖm   ; 1  f (0) f (1) 0     ' 0  af (0) 0      af (1)    S  0  1   VËy víi    m(1  m) 0    16m 0   m 0     m 0    1   m 1   m 1  16 m 0  16 m 1 16 th× ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm Cách 2: Phơng trình (1) có nghiệm  đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số y 4t  3t trªn ®o¹n  0;1 XÐt hµm sè y 4t  3t trªn ®o¹n  0;1 y ' 8t  , y ' 0  t  §¹o hµm B¶ng biÕn thiªn t  y' y   1   Dựa vào bảng biến thiên ta đợc điều kiện  VËy víi 16 m 1 16 m 1 16 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm VÝ dô 3: Cho ph¬ng tr×nh cos x m  tan x cos x (1)     0;  Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc Gi¶i: §iÒu kiÖn cos x 0 (*)   tan x  1 t2 cos x  cos x   t vµ 1 t2 §Æt t tan x th× 1 t2  m  t   t m  t 2 1 t Khi đó phơng trình có dạng  t    x  0;     suy t  ; V×  Do  t  nên phơng trình đợc viết lại dới dạng (1  t )  t m    x   0;    th× ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm  t  ; 0 ;   , suy đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số y (1  t )  t trên đoạn  D  ;  XÐt hµm sè y (1  t )  t trªn §¹o hµm y '   t  1 t  2(1  t )   t  3t     t  D 1 t 1 t 1 t  Hµm sè nghÞch biÕn Do đó điều kiện là f ( 3) m  f (0)  (1  3)  m 1 Vậy với (1  3)  m 1 thoả mãn điều kiện đề bài Nhận xét: Với bài toán dạng này chúng ta cần phải nhớ đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ từ đó ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu Dạng 2: Tìm điều kiện để phơng trình có k nghiệm thuộc D Cho ph¬ng tr×nh Q(m , x) 0 (1) phô thuéc vµo tham sè m , x  D Tìm m để phơng trình có k (k 1) nghiệm thuộc D C¸ch gi¶i: Cách 1: Phơng pháp đạo hàm Bớc 1: Đặt ẩn phụ t  h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp phơng tr×nh Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị cña t lµ U Bíc 3: §a ph¬ng tr×nh (1) vÒ ph¬ng tr×nh f ( m , t ) 0 Bíc 4: T×m mèi t¬ng quan vÒ sè lîng t  U vµ x  D ph¬ng tr×nh t h( x ) Hay nãi cô thÓ h¬n lµ xÐt xem víi mçi to U ph¬ng tr×nh to h( x) cã bao nhiªu nghiÖm xD Bíc 5: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f ( m, t ) trªn miÒn U Bớc 6: Căn vào bảng biến thiên và kết bớc mà xác định giá trị m C¸ch 2: Ph¬ng ph¸p tam thøc bËc hai Bớc 1: Đặt ẩn phụ t  h( x) đó h( x) là biểu thức thích hợp phơng tr×nh Bớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) t trên tập xác định D Gọi miền giá trị cña t lµ U Bíc 3: §a ph¬ng tr×nh vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai theo t Bíc 4: T×m t¬ng quan vÒ sè lîng t  U vµ x  D ph¬ng tr×nh t  h( x) Hay nãi cô thÓ h¬n lµ xÐt xem víi mçi to U ph¬ng tr×nh to h( x) cã bao nhiªu nghiÖm xD Bớc 5: Giải bài toán tìm điều kiện để tam thức f ( m, t ) có đủ nghiệm t U gây nªn k nghiÖm x  D Chó ý: Gäi k lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Q( x) trªn D, m lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t h( x ) trªn D, n lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f (t ) trªn U th× k m.n VÝ dô 1: Cho ph¬ng tr×nh cos3 x  sin x m (1)    x   ;   4 Xác định m để phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt Gi¶i: Ta cã : (1)  (cos x  sin x)(1  cos x sin x) m  t cos x  sin x  cos( x  )  sin x 1  t §Æt  Víi       x    x     cos( x  )    t  4 4   t   (1  t )  m  3t  t 2m  Khi đó phơng trình (1) trở thành  Ta nhËn thÊy víi mçi mét gi¸ trÞ cña    x   ;   4 đúng nghiệm  t  0;  th× ph¬ng tr×nh t   cos( x  ) cã    x   ;   4  thì (2) có đúng nghiệm Do đó (1) có đúng nghiệm phân biệt  t  0;   t  0; XÐt hµm sè f (t ) 3t  t víi f (t )' 3  3t  f (t )' 0  t 1 B¶ng biÕn thiªn t f (t )'   f (t ) Dựa vào bảng biến thiên suy (2) có đúng nghiệm   2m    m 1 VËy c¸c gi¸ trÞ cña m cÇn t×m lµ VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh  m 1 (3  2) tan x  (3  2) tan x 1      ;  Tìm m để phơng trình có đúng nghiệm  2  Gi¶i :  cos x 0  x   k §iÒu kiÖn k  tan x tan x Ta thÊy (3  2) (3  2) 1 Do đó đặt t (3  2) tan x (3  2) tan x  t  th× t t  m  t  mt  0 t Khi đó phơng trình có dạng  t  0;   ( Cách 1: Để phơng trình có đúng nghiệm   ; ) 2    af (0)     (2) cã nghiÖm d¬ng ph©n biÖt   S /  m2     m2 1   m /  VËy víi m  th× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi  ( Cách 2: Để phơng trình có đúng nghiệm  đờng thẳng y m cắt đồ thị hàm số y t  XÐt hµm   ; ) 2 y t  t trªn (0; ) t¹i ®iÓm ph©n biÖt t trªn D (0; ) y ' 1  §¹o hµm B¶ng biÕn thiªn :  t y' y 1  y ' 0   0  t 1 t t      Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ta thÊy m  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n  3    0;  VÝ dô 3: BiÖn luËn theo m sè nghiÖm   cña ph¬ng tr×nh m sin x  cos x 2m (1) Gi¶i: cos x m  sin x Biến đổi phơng trình (1) dạng Số nghiệm phơng trình số giao điểm đờng thẳng y m cos m(2  sin x)  y Với đồ thị hàm số y XÐt hµm sè  3  cos x D  0;     sin x trªn  3  cos x D  0;     sin x Miền xác định y'  §¹o hµm  sin x(2  sin x)  cos x.cos x  2sin x  (2  sin x) (2  sin x)2   x     x 5 y ' 0   2sin x 0  sin x  víi x  D ta cã  B¶ng biÕn thiªn: x  y' y  + 5 3  m KÕt luËn:Víi  3 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm m  Víi 1 0m hoÆc ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  D 1  m 0 m  3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  D Víi hoÆc NhËn xÐt chung: Kh«ng cã mét ph¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ nµo cho mét bµi to¸n lîng gi¸c V× vËy viÖc n¾m ch¾c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c c¬ b¶n vµ mét sè ph¬ng tr×nh lîng giác thờng gặp là điều cần thiết, đồng thời ta phải nắm vững phơng pháp giải số phơng trình lợng giác không mẫu mực để có hớng đúng đắn cho bµi to¸n  Bµi tËp cñng cè: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau sin (   x)  sin 3x   0  8cos3 ( x  ) cos3x cot x tan x   tan x 3.4 sin x  sin(  x ) cos x log sin x log sin x 4 x cos x log 7 sin log 72 x x2 ( 3sin x  2sin x )     sin  x   5sin  x    cos3 x 3 6     32sin  x    sin x 1 4      sin  3x   sin x.sin  x   4 4   18cos x  5(3cos x  10 )  0 cos x cos x cos x   4cos x  cos x  4cos x 5 11 12 sin x  cos x  4sin x 1  cos x tan x   sin x 13 14  sin x 74   15 x 2log 3cot x log cos 16 log (3sin 17 2log3 x  2) ( cos x 1) 7  sin x 4 3cos x 2cos x 18 cos x  cos6 x  4(3sin x  4sin x  1) 0 19 20 3sin x   2sin x  4cos x  0 4sin x  sin 3 x 4sin x.sin x 21 x  x cos xy  2sin xy  0 22 sin x  sin y  sin z  2 sin x  sin x  sin x  23 cot x  cot x  24 25 cos x    sin x   sin y   sin z 0 sin3 x.sin x.sin x sin x  sin x  cos x  0 26 x  x sin xy  0 sin x  cos x  27 1 sin y  8  4 sin x cos x 81  3x  3 x  x 3 x   sin  sin    cos  cos   cos x 2  2 28  29 cos x   4cos x  cos x  4cos x 5 30 sin x  cos x   sin x  2cos x 2 8cos x  31 32  sin x cos x 1  tan x tan x   cos x  cos x cos x cos3 x sin x sin 2008 x  cos 2008 x  33 sin x  cos6 x 3cos x  cos x  cos x sin x  cos x  sin x cos x 1  ln 34 sin x  sin x  cos x  sin x cos x log log sin x   (sin x ) 35 37 Cho ph¬ng tr×nh m cos x  2cos x  cos x 1    x   ;   2 Xác định m để phơng trình có nghiệm 38 Cho ph¬ng tr×nh 4(cos x  sin x)  sin x m Tìm m để phơng trình vô nghiệm  39 Cho ph¬ng tr×nh m sin x  (3m  4)sin x cos x  (3m  7)sin x cos x  ( m  3)cos3 x 0      ;0  m Xác định để phơng trình có nghiệm phân biệt thuộc   40 Cho ph¬ng tr×nh m sin x  (m  1)cos x  m cos x a Xác định m để phơng trình có nghiệm b Gi¶ sö m lµ gi¶ thiÕt lµm cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n  x1  x2   k TÝnh cos 2( x1  x2 ) theo m 4 41 Cho ph¬ng tr×nh (cos x  2)  (1  cos x ) m Xác định m để phơng trình có nghiệm 42 Cho ph¬ng tr×nh sin x m tan x Xác định m để phơng trình có nghiệm x k ( k  ) 43 Cho ph¬ng tr×nh sin 3x  m cos x  (m  1)sin x  m 0(1)   x   0;   2 Xác định m để phơng trình (1) có đúng nghiệm ( m  1) tan x  44 Cho ph¬ng tr×nh  2m 0 cos x   x   0;    Xác định các giải thiết m để phơng trình có nhiều nghiệm cos x  2(m  1)sin 45 Cho ph¬ng tr×nh x  3m  0    x  ;   3 Xác định m để phơng trình có đúng nghiệm Xin chân thành cám ơn thầy Trần Anh Tuấn đã hỗ trợ