Su dung phan mem ho tro day hoc Toan

PMDH đã tạo ra môi trường thuận lợi để tổ chức các hoạt động học tập hướng vào việc lĩnh hội tri thức, khuyến khích HS tìm tòi, luyện tập những kỹ năng cần thiết và năng lực sử dụng thôn[r]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ========================== TRỊNH THANH HẢI GIÁO TRÌNH SỬ DỤNG PHẦN MỀM HỖ TRỢ DẠY HỌC TOÁN Thái Nguyên, 2005 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .2 Chương 1: ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG TRONG DẠY HỌC Ở NHÀ TRƯỜNG PHỔ THÔNG .3 1.1 Tác động CNTT- TT tới phát triển xã hội 1.2 Nhà trường đại bối cảnh phát triển CNTT- TT 1.3 Ứng dụng CNTT-TT nhà trường Việt Nam 1.4 Tác động CNTT- TT dạy học toán 10 Chương 19 SỬ DỤNG PHẦN MỀM GRAPH TRONG DẠY HỌC TOÁN 19 2.1 Giới thiệu phần mềm Graph .19 2.2 Làm việc với Graph 19 2.3 Giới thiệu hệ thống Menu .20 2.4 Một số chức 21 2.5 Thư viện các hàm Graph 25 2.6 Khai thác phần mềm Graph 26 2.7 Bài tập: 27 Chương 28 SỬ DỤNG PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG CABRI GEOMETRY 28 3.1 Tổng quan phần mềm hình học động Cabri Geometry .28 3.2 Thao tác với các công cụ Cabri Geometry 32 3.3 Việt hoá giao diện Cabri Geometry 48 3.4 Sử dụng phần mềm Cabri Geometry hỗ trợ dạy học .48 3.5 Phương pháp khai thác phần mềm Cabri Geometry hỗ trợ dạy học toán 61 Chương 68 SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY HỌC TOÁN 68 4.1 Tổng quan chung phần mềm Maple .68 4.2 Sử dụng các lệnh đơn giản Maple 74 4.3 Sử dụng các câu lệnh Maple hỗ trợ dạy học khảo sát hàm số 84 4.3.1 Những câu lệnh Male hỗ trợ dạy học khảo sát hàm số .84 4.4 Các câu lệnh Maple hỗ trợ giải các bài toán giải tích 98 4.5 Nhóm các lệnh Maple hỗ trợ dạy học đại số tuyến tính .102 4.6 Khai thác các thư viện Maple dạy học toán 119 Nguồn tài liệu giáo trình đã trích dẫn, tham khảo 141 LỜI NÓI ĐẦU Hiện chúng ta chứng kiến phát triển vũ bão công nghệ thông tin và truyền thông (ICT) Các nhà khoa học đã khẳng định: chưa có ngành khoa học và công nghệ nào lại phát triển nhanh chóng, sâu rộng và có nhiều ứng dụng tin học Sự đời Internet, nó đã mở kỷ nguyên mới: kỷ nguyên thông tin Trong khung cảnh đó, đào tạo và giáo dục coi là mảnh đất mầu mỡ các ứng dụng tin học phát triển Theo các chuyên gia, giai đoạn tới có thay đổi sâu sắc công nghệ đào tạo và giáo dục nhờ có tin học và Internet Những công nghệ tiên tiến tin học Internet, đa phương tiện, truyền thông băng rộng, CD-Rom, DVD mang đến biến đổi có tính cách mạng trên quy mô toàn cầu lĩnh vực đào tạo, giáo dục Với mục tiêu nâng cao chất lượng đào tạo, đổi phương pháp dạy học thì các biện pháp khả thi là biết kết hợp các phương pháp dạy học truyền thống và không truyền thống đó có sử dụng CNTT-TT nói chung, phần mềm nói riêng công cụ đắc lực Với mục tiêu khiêm tốn là cung cấp thông tin ban đầu để bạn đọc có thể khai thác các phần mềm vào công việc giảng dạy, học tập và nghiên cứu toán học, chúng tôi mạnh dạn biên soạn giáo trình: SỬ DỤNG PHẦN MỀM HỖ TRỢ DẠY HỌC TOÁN Giáo trình biên soạn trước mắt là tài liệu học tập cho sinh viên chuyên ngành toán; tin sau đó có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên THPT và học viên cao học và người quan tâm đến việc khai thác các phần mềm toán Đây là công việc mẻ và “quá tải” đối chúng tôi nên không thể tránh sai sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc, đặc biệt là các Thầy, Cô giáo và các em học sinh, sinh viên- đây là nguồn thông tin quý giá để chúng tôi hoàn thiện tài liệu này Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn Chương 1: ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG TRONG DẠY HỌC Ở NHÀ TRƯỜNG PHỔ THÔNG 1.1 Tác động CNTT- TT tới phát triển xã hội Trong năm gần đây, loài người đã chứng kiến kỷ nguyên gắn liền với phát triển nhanh chóng CNTT-TT Internet, công nghệ truyền thông đa phương tiện (Multimedia) đã mang lại nhiều ứng dụng đời sống xã hội như: trao đổi thư tín qua mạng Internet: e-mail; chính phủ điện tử: e-government; giáo dục điện tử: e-education; dạy học qua mạng: e-learning; thư viện điện tử: e-library; văn hoá số hay văn hoá điện tử: e-culture Tất có đặc điểm chung là liệu số hoá và việc trao đổi thông tin thực trên mạng Như CNTT-TT đã xâm nhập vào ngóc ngách sống và trở thành công cụ đắc lực không thể thiếu sống đại Con người tiếp xúc với kho kiến thức khổng lồ nhân loại qua màn hình máy tính và giao tiếp với qua mạng Internet, đó cản trở không gian, thời gian trở nên không đáng kể Những thành tựu CNTT-TT đã tạo cách mạng hầu hết các lĩnh vực xã hội, kinh tế Sự thay đổi không thấy các ngành sản xuất công nghiệp, điện tử, viễn thông mà các lĩnh vực y tế, tài chính, ngân hàng, thương mại, quản lý nhà nước thì CNTT-TT đã thực mang lại cho các ngành này các công cụ cho phép đẩy nhanh gấp bội tốc độ xử lý nghiệp vụ Có thể kể nhiều thành tựu khoa học đời dựa trên sở ứng dụng CNTT-TT các thành tựu y học (chụp cắt lớp, mổ nội soi, chẩn đoán bệnh và điều trị từ xa ), sinh học (các nghiên cứu gen, cấy ghép tế bào ) Trong bối cảnh này, giáo dục không thể là trường hợp ngoại lệ, sớm hay muộn thì giáo dục phải chịu tác động sâu sắc các thành tựu CNTT-TT 1.2 Nhà trường đại bối cảnh phát triển CNTT- TT CNTT-TT đã mang lại triển vọng cho ngành giáo dục chỗ CNTT-TT không thay đổi phương thức điều hành và quản lý giáo dục (Education Management Technology) mà còn tác động mạnh mẽ làm thay đổi nội dung và phương pháp dạy học CNTT-TT đã trở thành phận giáo dục khoa học, công nghệ cho HS Kỹ MTĐT đã trở thành kỹ thiết yếu HS 1.2.1 CNTT-TT góp phần đổi nội dung, phương pháp dạy học Ngay từ MTĐT đời, các chuyên gia giáo dục đã chú ý khai thác mạnh MTĐT lĩnh vực GD&ĐT Tại Hội nghị quốc tế giáo dục đại học kỷ 21 “Tầm nhìn và hành động” Paris diễn từ ngày đến tháng 10 năm 1998 UNESCO tổ chức đã đưa ba mô hình giáo dục: Mô hình Vai trò trung tâm Vai trò người học Công nghệ sử dụng GV Thụ động Bảng, tivi, radio, đèn chiếu Thông tin Người học Chủ động MTĐT Tri thức Nhóm HS Thích nghi cao độ MTĐT và mạng Truyền thống MTĐT đã đóng vai trò định việc chuyển từ mô hình truyền thống sang mô hình thông tin và xuất mạng máy tính là tác động chính để chuyển từ mô hình thông tin sang mô hình tri thức Như vậy, từ hình thức đơn giản ban đầu, việc ứng dụng CNTT-TT GD&ĐT ngày càng khẳng định tính ưu việt vượt trội so với các phương tiện, đồ dùng dạy học truyền thống vì CNTT-TT không là công cụ hỗ trợ dạy học mà còn là tác nhân góp phần tạo cách mạng GD&ĐT • Những thành tựu CNTT-TT có thể khai thác dạy học Trong thập niên vừa qua, CNTT-TT có tốc độ phát triển nhanh Bên cạnh công nghệ phần cứng liên tục phát triển thì công nghệ phần mềm không ngừng đưa thị trường ứng dụng nhiều lĩnh vực Trong các thành tựu đó, có nhiều kết có thể khai thác dạy học: - Công nghệ đồ hoạ chiều, chiều trên máy tính để thiết kế các PMDH, các thí nghiệm ảo hay quá trình khoa học nào đó thu gọn Mặt khác thông qua giao diện đồ họa các PMDH trở nên “thân thiện” với người sử dụng, đây là các lý để phổ cập việc sử dụng PMDH cho GV và HS - Công nghệ đa phương tiện (multimedia) cho phép tích hợp nhiều dạng liệu văn bản, biểu đồ, đồ thị, âm thanh, hình ảnh, video vào bài giảng nhằm giúp HS có điều kiện tiếp thu bài học qua nhiều kênh thông tin khác - Việc trao đổi thông tin GV với HS, HS với HS thực trực tiếp gián tiếp qua mạng và Internet - Sự phát triển các ngành khoa học lĩnh vực tin học trí tuệ nhân tạo, hệ chuyên gia, mạng noron, xử lý tri thức đã cho phép chế tạo và điều khiển MTĐT bắt chước suy nghĩ và hành động người Trong thời gian gần đây việc sử dụng MTĐT các công việc đòi hỏi suy luận chứng minh các mệnh đề toán học đã trở thành thực Như vậy, qua ứng dụng trình bày sơ lược trên chúng ta có thể hình dung hiệu và tiềm ứng dụng các thành tựu CNTT-TT dạy học là lớn • CNTT-TT tạo môi trường dạy học CNTT-TT tạo môi trường dạy học hoàn toàn so với môi trường dạy học truyền thống các yếu tố sau: - Tài nguyên học tập phong phú Ngoài sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, còn có “Sách giáo khoa điện tử" dạng CD-ROM, DVD - HS tiếp cận bài học qua nhiều kênh thông tin đa dạng văn bản, hình ảnh tĩnh, hình ảnh động, đồ thị, biểu đồ, âm thanh, video - HS có hội quan sát, tìm hiểu và hình thành các khái niệm phức tạp sống thông qua các mô hình ảo MTĐT cung cấp - PMDH đã tạo môi trường thuận lợi để tổ chức các hoạt động học tập hướng vào việc lĩnh hội tri thức, khuyến khích HS tìm tòi, luyện tập kỹ cần thiết và lực sử dụng thông tin để giải vấn đề, góp phần phát triển tính sáng tạo, khả tư độc lập, phương pháp học tập và cách thức làm việc hợp tác đó việc xử lý thông tin phần thực nhờ MTĐT và CNTT-TT đã trở thành phận bài học - Tương tác, trao đổi thông tin đa chiều GV và HS, HS với HS, gia đình và nhà trường thực qua mạng và Internet, Internet vừa là kho thông tin khổng lồ chứa đựng tri thức nhân loại vừa là cầu nối người lại với - CNTT-TT cho phép cá thể hoá dạy học mức độ cao Nhờ các PMDH mà người GV có thể thông qua MTĐT để đưa khối lượng kiến thức phù hợp với đặc điểm riêng HS Trong quá trình học tập với trợ giúp CNTT-TT, HS nhận nhiệm vụ riêng tuỳ theo tiến độ mình Như vậy, CNTT-TT đã cho phép thực phương thức dạy học một-một (điều này khó thực các môi trường dạy học khác) - Khai thác CNTT-TT thay GV số khâu quá trình dạy học (xét toàn quá trình thì CNTT-TT là công cụ GV) Vai trò CNTT-TT việc tạo môi trường dạy học đã nhiều chuyên gia giáo dục Nguyễn Bá Kim, Quách Tuấn Ngọc, Đào Thái Lai và Sheldon Shaefer khẳng định • CNTT-TT góp phần đổi việc dạy học CNTT-TT là công cụ đắc lực góp phần đổi việc chuẩn bị và lên lớp người thầy: - Cung cấp cho GV nhiều phương tiện dạy học MTĐT, máy chiếu đa năng, bảng điện tử - Hỗ trợ GV gia tăng giá trị lượng thông tin đến HS, hình thành nhiều kênh trao đổi thông tin hai chiều GV và HS - Đưa nhiều lựa chọn để GV chuẩn bị bài giảng và tiến hành lên lớp cho phát huy cao tính tích cực chủ động HS - Cho phép GV thực việc phân hoá cao dạy học - Ngoài việc dạy học trên lớp còn có thể dạy học từ xa qua mạng LAN, WAN và Internet Trong môi trường đa phương tiện cho phép thực hình thức dạy học hợp tác CNTT-TT tác động cách tích cực tới quá trình học tập HS, tạo môi trường thuận lợi cho việc học tập mà đặc biệt là tự học HS: - Bên cạnh việc tiếp nhận kiến thức từ GV, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo thì HS còn có thể tiếp cận với kiến thức, với giới khách quan qua “sách giáo khoa điện tử”, CD-ROM, Internet - Các PMDH “gia sư” trợ giúp, khuyến khích cách kịp thời các thời điểm cần thiết không các học trường mà thời gian tự học nhà, giúp HS hoàn thành nhiệm vụ chiếm lĩnh kiến thức và có điều kiện phát triển tối đa lực thân Mặt khác việc thực nhiệm vụ học tập HS không làm ảnh hưởng tới các HS khác, HS hoàn thành sớm nhiệm vụ học tập có thể tiếp tục tiếp cận với các nội dung mới, nhiệm vụ để phát huy hết khả thân - Các PMDH vi giới tạo môi trường thuận lợi, giới sinh động thu nhỏ để kích thích trí tò mò, gợi nhu cầu tìm hiểu, khám phá giúp HS chủ động, sáng tạo quá trình tiếp cận và chiếm lĩnh tri thức - HS chủ động lên kế hoạch, triển khai việc tự học mình thời điểm nào mà thân có nhu cầu nhờ các chương trình hướng dẫn trên MTĐT các chương trình dạy học từ xa qua mạng - Song song với việc khai thác CNTT-TT nhằm “cá nhân hoá” việc học tập HS, thì việc giao cho nhóm HS cùng sử dụng máy tính đã góp phần hình thành và phát triển lực lập kế hoạch, hoạt động hợp tác các HS nhóm (đây là phẩm chất không thể thiếu người lao động kỷ nguyên công nghệ cao) Như vậy, CNTT-TT đã làm cho quá trình dạy học không còn bị ràng buộc không gian và thời gian HS có thể học nơi, học lúc, học suốt đời Việc học tập trở nên uyển chuyển, linh hoạt, vào nhu cầu HS HS phép lựa chọn phương thức học tập có hiệu quả, lựa chọn nội dung bài giảng và các tài liệu có liên quan phù hợp với lực thân HS chủ động trao đổi và khai thác các thông tin trên Internet nhằm đáp ứng nhu cầu kiến thức liên quan đến nội dung học tập mình CNTT-TT đã tạo môi trường tương tác để người học hoạt động và thích nghi môi trường đó và CNTT-TT tạo điều kiện cho người học độc lập với mức độ cao và hỗ trợ cho người học vươn lên quá trình học tập • CNTT-TT tạo các mô hình dạy học - Dạy học có trợ giúp máy tính (Computer Based Training - CBT) - Dạy học trên website (Web Based Training -WBT) - Dạy học qua mạng (Online Learning–Training- OLT) - Dạy học từ xa: GV và học viên không cùng vị trí, không cùng thời gian (Distance Learning) - Sử dụng CNTT-TT tạo môi trường ảo để dạy học (E-learning) Lê Công Triêm, Nguyễn Quang Lạc, Nguyễn Bá Kim đưa các hình thức sử dụng MTĐT công cụ dạy học sau: - GV trình bày bài giảng với hỗ trợ CNTT-TT - HS sử dụng các phần mềm cài trên MTĐT trên CD-ROM hướng dẫn và kiểm soát chặt chẽ GV - HS sử dụng các phần mềm cài trên MTĐT trên CD-ROM cách độc lập theo nhóm nhà trường nhà riêng theo định hướng đã có - HS tra cứu, tìm kiếm thông tin và tài nguyên phục vụ học tập trên mạng trên Internet Trong quá trình này, HS có thể tiến hành độc lập giao lưu, trao đổi với thông qua dịch vụ chat E-mail Lê Thuận Vượng đã đưa số mô hình: - Giáo dục nửa tập trung với trợ giúp MTĐT và PMDH - Giáo dục từ xa với trợ giúp MTĐT, CD-ROM, DVD, PMDH - Giáo dục từ xa qua mạng máy tính với hỗ trợ các PMDH thông minh, sở liệu, tài nguyên học tập trên mạng máy tính Với tốc độ phát triển nhanh, thời gian tới, chắn các thành tựu CNTT-TT tiếp tục hỗ trợ chúng ta phát triển các hình thức dạy học đã có và triển khai thêm nhiều hình thức dạy học 1.2.2 CNTT-TT góp phần đổi kiểm tra đánh giá Có thể nói việc ứng dụng CNTT-TT đã đem đến nhiều nét kiểm tra đánh giá, đơn cử: - GV thiết lập hệ thống ngân hàng câu hỏi HS nhận đề cách ngẫu nhiên và lựa chọn phương án trả lời thông qua việc bấm chọn các biểu tượng trên màn hình điền thông tin vào các ô trống Việc xử lý kết điểm số thực tự động hoàn toàn chương trình cài MTĐT - HS sử dụng phần mềm dạng “gia sư” có tích hợp modul kiểm tra để tự đánh giá nhận thức mình cách thường xuyên mà không cần có mặt trực tiếp GV - HS có thể gửi bài kiểm tra qua mạng cho GV email truy cập vào website và thực kiểm tra với hình thức trắc nghiệm trực tuyến Về vai trò CNTT-TT việc hỗ trợ kiểm tra, đánh giá đã nhiều chuyên gia giáo dục khẳng định Đào Thái Lai cho việc sử dụng CNTT-TT cho phép tổ chức và kiểm soát hoạt động HS không lớp học mà HS làm việc nhà và việc đánh giá tổ chức cách liên tục thời điểm học tập HS cách khách quan lâu dài Nhờ MTĐT nên việc củng cố, kiểm tra kiến thức cũ thực thường xuyên hơn, giảm thời gian cho khoá học đó tiết kiệm thời gian và chi phí 1.2.3 Nhận định chung Ứng dụng CNTT-TT vào quá trình dạy học tạo cách mạng giáo dục và dẫn đến thay đổi phương pháp dạy học Công nghệ Multimedia và Internet làm cho quá trình dạy học trở nên tích cực, khuyến khích HS phát huy tính chủ động sáng tạo và hăng say học tập Người GV không còn là kho kiến thức GV phải thêm chức tư vấn, tổ chức cho HS khai thác cách tối ưu các nguồn tài nguyên tri thức trên mạng, Internet, CD-ROM và sử dụng PMDH Tiến trình lên lớp không thiết phải mà có thể tiến hành cách linh hoạt Phát triển cao các hình thức tương tác giao tiếp: HS – GV, HS - HS, HS–MTĐT, đó chú trọng đến quá trình tìm lời giải, khuyến khích HS trao đổi, tranh luận Đây là điều kiện giúp HS phát triển lực tư Người học bị thu hút thông tin trên MTĐT, trên Internet HS kết nối lại tri thức đã học và thu nhận thông tin phản hồi từ MTĐT để đến định đúng đắn MTĐT giúp HS giải khó khăn trước vấn đề cần chiếm lĩnh và tạo môi trường khuyến khích tính tò mò, ham muốn tìm hiểu, khám phá, quá trình học tập để đến chiếm lĩnh tri thức Học tập là hoạt động xã hội, quá trình đối thoại qua mạng hỗ trợ đắc lực cho người học nắm bắt kiến thức không mà ngoài trường học Như ngoài góc độ là công cụ hỗ trợ dạy và học, CNTT-TT trở thành công cụ hình thành và phát triển nhận thức 1.3 Ứng dụng CNTT-TT nhà trường Việt Nam Ứng dụng CNTT-TT dạy học tập trung vào các lĩnh vực sau: • Sử dụng các thiết bị (phần cứng) với vai trò là phương tiện, công cụ dạy học như: MTĐT (PCs-Personal Computers); Thiết bị hiển thị thông tin (display): Large colour monitors, Data projectors, Interactive whiteboards, OHP displays, TV interfaces ; Các thiết bị ngoại vi ghép nối với MTĐT: máy ảnh kỹ thuật số, máy quét, graphic calculators • Sử dụng các ngôn ngữ lập trình Pascal, Logo ; Các phần mềm thông dụng: Excel, Winword ; Các phần mềm đồ hoạ (Graph Plotting Software-GPS); Các phần mềm số học, hệ thống đại số máy tính (Computer Algebra System-CAS); Các phần mềm hình học động (Dynamic Geometry Software -DGS); Các phần mềm trình diễn (Data Handling Software-DHS)… • Ngoài còn kể đến khai thác thông tin trên các CD-ROM và Internet Nhận thức rõ vai trò to lớn CNTT-TT, Đảng và Nhà nước ta đã có nhiều văn đạo phát triển ứng dụng CNTT-TT giáo dục và đào tạo Từ năm 1985, Bộ GD&ĐT tiến hành dạy thử nghiệm chương trình nhập môn tin học sở trên địa bàn 10 tỉnh và đến năm 1990 đã triển khai việc dạy thí điểm tin học 100 trường THPT trên phạm vi toàn quốc Bên cạnh việc dạy tin học theo chương trình Bộ GD&ĐT nhiều trường từ tiểu học đến THPT trên toàn quốc đã lựa chọn đưa vào chương trình ngoại khoá số nội dung tin học soạn thảo văn bản, sử dụng các phần mềm đồ hoạ, tính toán với bảng tính điện tử Song song với việc triển khai Nhà nước và Bộ GD&ĐT, nhiều địa phương đã chủ động đẩy mạnh đưa tin học vào nhà trường trên địa bàn mình Như vậy, việc ứng dụng CNTT-TT dạy học Việt Nam thời gian qua đã đạt các kết chính sau: - Nghiên cứu và khai thác các PMDH trên giới - Triển khai thiết kế và xây dựng các PMDH cho các nội dung cụ thể ví dụ các phần mềm “gia sư” và phần mềm hỗ trợ kiểm tra đánh giá - Tổ chức dạy học với hỗ trợ MTĐT - Thử nghiệm khai thác mạng, Internet để dạy học từ xa Tuy nhiên, đứng trước tiềm to lớn CNTT-TT GD&ĐT thì các thành tựu trên còn khiêm tốn Trước mắt chúng ta còn bỏ ngỏ nhiều vấn đề có thể ứng dụng CNTT-TT cách có hiệu quả, đặc biệt là việc sử dụng, khai thác PMDH 1.4 Tác động CNTT- TT dạy học toán 1.4.1 Ứng dụng CNTT-TT dạy học toán Vì khó và không thể liệt kê tất các ứng dụng CNTT-TT dạy học toán nên ta cập đến các ứng dụng sau: • Tổ chức, điều khiển quá trình học tập HS dựa trên thông tin ngược MTĐT cung cấp So với các phương pháp truyền thống, thì rõ ràng các thông tin ngược MTĐT cung cấp chính xác hơn, khách quan hơn, nhanh chóng và đây chính là yếu tố quan 10 trọng để GV có thể điều khiển quá trình học tập HS HS tự điều chỉnh lại việc học tập mình Ví dụ: - GV, HS có thể thử, kiểm tra để xác định trước kết trên MTĐT, sau đó lần ngược để tìm lời giải cho bài toán - Trong quá trình dạy học toán, GV và HS có thể đưa các giả thuyết riêng mình nhờ MTĐT thử nghiệm giả thuyết đó để có thể tiếp tục phát triển điều chỉnh, thay đổi giả thuyết mình • Sử dụng MTĐT xây dựng các mô hình trực quan sinh động Để nghiên cứu đối tượng toán học nào đó trước hết người ta tìm cách xây dựng mô hình tương ứng Trên sở các kết làm việc với mô hình đó đến việc chứng minh lời giải trường hợp tổng quát So với các phương tiện đồ dùng dạy học truyền thống thì MTĐT có khả trội việc thể các đối tượng toán học giới thực các mô hình đồ họa chiều, chiều CNTT-TT coi là công cụ tự nhiên để diễn tả các mô hình toán học, đồ thị, biểu đồ, hình vẽ và quá trình chuyển động các đối tượng toán học theo quy luật nào đó Vì đối tượng, quan hệ toán học không còn trừu tượng, xa lạ và khó nắm bắt số đông HS Điều này giúp HS tiếp thu tốt các nội dung khó, có tính trừu tượng cao toán học • Sử dụng MTĐT và PMDH để phát các tính chất, các mối quan hệ toán học Ta sử dụng các PMDH để biểu diễn các mô hình, biểu đồ, hình vẽ cách trực quan sinh động Chỉ cần vài thao tác đơn giản kéo rê chuột ta có thể có hình ảnh đối tượng cần nghiên cứu các góc độ khác có thể cho vài thành phần đối tượng toán học biến đổi để nghiên cứu các thành phần còn lại từ đó phát các mối quan hệ, tính chất chúng Sử dụng kết hợp các phần mềm đồ hoạ và số học, GV có thể giải thích hai trạng thái hình dạng và số lượng 11 Đào Thái Lai, Trần Vui đã nhấn mạnh vai trò CNTT-TT việc hỗ trợ HS tự khám phá và phát vấn đề quá trình học toán và thông qua quá trình này HS có điều kiện rèn luyện phương pháp nghiên cứu học tập, lực tư sáng tạo Theo Phạm Huy Điển thì phần mềm toán học và MTĐT hỗ trợ giảng dạy các chủ đề khó, hỗ trợ sâu và hiểu đúng chất vấn đề Sue Johnston-Wilder, David Pimm đã khẳng định CNTT-TT đã cung cấp cho HS môi trường tốt để học toán • Khai thác mạng Internet dạy học toán Trước hết Internet là kho thông tin tích luỹ tri thức toán học người và đây là nguồn tài nguyên vô cùng quý giá cho người dạy và học toán Tiếp theo Internet cun g cấp ph ươ ng tiện , mô i trư Ảnh 1.1 ờn g để GV, HS trao đổi thông tin với quá trình dạy học toán và dạy học toán từ xa Với thực tế hạ tầng CNTT-TT ngày nay, các nhà trường, GV chí HS hoàn toàn có thể thiết kế các website và đưa lên Internet để cung cấp thông tin, tạo diễn đàn để người cùng khai thác thông tin, trao đổi nội dung, kiến thức liên quan đến nhiệm vụ học tập HS (ảnh 1.1) • Dạy học toán với máy tính Trong quá trình nghiên cứu sử dụng MTĐT để dạy học toán thì việc khai thác đồ hoạ trên MTĐT đặc biệt quan tâm vì đây là công cụ hữu ích việc biểu diễn các mô hình toán học David Tall đã sử dụng môi trường đồ hoạ máy tính để dạy học toán từ năm 1980 Kenneth Ruthven bắt đầu lựa chọn, nghiên cứu, phát triển sử dụng đồ 12 hoạ máy tính vào dạy học toán từ năm 1986 Theo xu hướng này, Morgan Jones, McLeay (1996), Crawford, Morrison (1998) đã ứng dụng đồ hoạ dạy học toán Về vai trò đồ hoạ dạy học toán cho HS từ 11 đến 16 tuổi đã Arter (1993), Ruthven (1992), Graham, Galpin (1998) khẳng định Theo Colette Laborde, thì MTĐT có khả tạo môi trường kích thích HS hoạt động tìm tòi khám phá và từ đó hình thành kiến thức John Mason đã khẳng định các PMDH toán với hệ thống công cụ có khả giải toán và giúp HS nghiên cứu các đối tượng để tìm các tính chất toán học Rosamund Sutherland nghiên cứu dạy học toán với phần mềm Logo đã đúc kết rằng: Điều quan trọng là HS sử dụng ngôn ngữ, kí hiệu máy tính thì phát triển khả khái quát hoá toán học Wan Fatimah Bt Wan Ahmad, Halimah Badioze Zaman cho việc sử dụng MTĐT dạy học toán có thể cung cấp nhiều cách học khác nhau, đặc biệt là tổ chức học nhóm và PMDH đã giúp cho khả suy luận toán học HS THCS đạt hiệu cao Nhóm tác giả còn dẫn lời Niess (1994) cho sử dụng máy tính mô các vấn đề và điều kiện giới thực thì HS có thể học nhiều tri thức mới, củng cố kiến thức và nhận thấy tầm quan trọng kiến thức đó Tringa (1923) khẳng định kiến thức hình học mà HS đạt sử dụng MTĐT cao so với phương pháp dạy học thông thường Nguyên nhân chính tiến là nhờ việc HS sử dụng các phần mềm toán học Đào Thái Lai khẳng định sử dụng CNTT-TT cách hợp lý dạy học toán thì tăng tỷ lệ HS khá, giỏi và giảm tỷ lệ HS yếu so với dạy học truyền thống và GV có điều kiện giúp hầu hết HS rèn luyện lực sáng tạo, phương pháp nghiên cứu học tập Như hiệu sử dụng MTĐT dạy học toán đã nhiều chuyên gia giáo dục trên giới và Việt Nam nghiên cứu và đúc kết số khẳng định đáng tin cậy 1.4.2 Ứng dụng CNTT-TT dạy học toán và vấn đề đổi hệ thống phương pháp dạy học môn toán Tỷ lệ lưu trữ thông tin trí nhớ người học thông qua các kênh thông tin khác đã các chuyên gia tổng kết sau: 13 Cách tiếp cận Sau Sau ngày Lời nói 30% 10% Hình ảnh 60% 20% Lời nói và hình ảnh 80% 70% Lời, hình ảnh và hành động 90% 80% Tự phát 99% 90% Qua đây ta thấy hạn chế các phương pháp dạy học thụ động, nhồi nhét, máy móc và thấy vai trò việc sử dụng hình ảnh minh hoạ và nhu cầu cấp bách cần tổ chức cho HS học tập hoạt động và hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Một vấn đề các chuyên gia quan tâm là việc ứng dụng CNTT-TT dạy học toán tác động đến hệ thống phương pháp dạy học toán nào? Tác động nào mang tính tích cực? Những hạn chế nào cần lưu ý? Ta xem xét hệ thống phương pháp dạy học toán góc độ để thấy tác động tích cực ứng dụng CNTT-TT mang lại • Xét việc hỗ trợ HS tìm hiểu sâu nội dung kiến thức Trong hoạt động toán học, có việc gồm hàng loạt các thao tác tính toán, vẽ hình Chúng thường chiếm nhiều thời gian học tập HS đôi kết không chính xác Ta có thể sử dụng máy tính hỗ trợ HS các công đoạn này Ví dụ, bên cạnh việc yêu cầu HS nắm và thực chính xác các thao tác để dựng hình hình học thì đến mức độ nào đó có thể cho HS sử dụng MTĐT với các phần mềm hình học để vẽ hình, chí cho phép HS sử dụng các macro gồm nhiều thao tác dựng hình Khi cần vẽ lại hình đó HS không cần phải thao tác từ đầu mà cần gọi lệnh thực macro Như CNTT-TT đã tác động trực tiếp dẫn đến xu hướng tăng cường các hoạt động để HS có điều kiện hiểu sâu mở rộng nội dung kiến thức • Xét việc rèn luyện kỹ năng, củng cố, ôn tập kiến thức cũ Ngày các PMDH đã trở nên phong phú, đa dạng, đó có nhiều phần mềm có thể khai thác để rèn luyện kỹ thực hành cho HS Chẳng hạn với phần mềm Graph, HS có thể rèn luyện các kỹ khảo sát hàm số, tính diện tích miền phẳng, xác định góc tiếp tuyến điểm nào đó trên đồ thị với trục hoành Với phần mềm hình học Euclides, Geometer’s Sketchpad, HS có thể rèn luyện kỹ dựng hình, tìm hiểu các bài toán quỹ tích cách hiệu Phần mềm GeoSpacW có thể giúp HS rèn luyện việc dựng hình, xác định thiết diện, xác định các khối tròn xoay và nhiều nội dung khác hình học không gian Với các phần mềm trắc nghiệm, HS cung cấp khối lượng câu hỏi mà để trả lời HS phải thực nắm kiến thức và đạt kỹ thực hành đến mức độ định Như việc luyện tập và tự kiểm tra đánh giá HS không còn bị hạn chế mặt thời gian và nội dung các phương pháp kiểm tra thông thường • Xét góc độ rèn luyện, phát triển tư toán học 14 Nhiều người lo ngại MTĐT với các chức "trong suốt" người sử dụng nên HS không có gắn kết hình tượng tính toán não với thực tính toán trên MTĐT Một số bước trung gian MTĐT thực đó làm cảm giác thuật toán! Tại Hội nghị nghiên cứu toán học giới lần thứ (TIMSS) đã tiến hành thảo luận xung quanh vấn đề nghi ngại trên Ann Kitchen đã chứng minh điều kiện có sử dụng máy tính, HS học toán tốt Các tác giả Michael D De Villiers, Trần Vui nghiên cứu việc dạy học toán với phần mềm The Geometer’s Sketchpad đã khẳng định vai trò phần mềm này việc phát triển khả sáng tạo toán học cho HS Phạm Huy Điển khẳng định MTĐT có khả làm sáng tỏ các khái niệm toán học phức tạp minh hoạ trực quan hoàn hảo Như dạy học toán với hỗ trợ MTĐT đã cho phép GV tạo môi trường để phát triển khả suy luận toán học và tư lôgíc, đặc biệt là lực quan sát, mô tả, phân tích so sánh cho HS HS sử dụng MTĐT và phần mềm để tạo các đối tượng toán học sau đó tìm tòi khám phá các thuộc tính ẩn chứa bên đối tượng đó Chính từ quá trình mò mẫm, dự đoán HS đến khái quát hoá, tổng quát hoá và sử dụng lập luận lôgíc để làm sáng tỏ vấn đề Ví dụ sử dụng Graph để nghiên cứu đồ thị hàm số sử dụng Maple để vẽ hình bắt buộc HS phải tuân thủ nghiêm ngặt theo các bước quy trình, đây là môi trường tốt để phát triển tư lôgíc, tư thuật toán • Xét phương pháp và hình thức dạy học Khi đưa CNTT-TT vào nhà trường tạo nên môi trường dạy học hoàn toàn mới, hấp dẫn và có tính trợ giúp cao đây là điều kiện thuận lợi cho việc đổi phương pháp và hình thức dạy học toán Trước hết, CNTT-TT góp phần tăng cường tính tích cực HS học tập Trong năm gần đây, trên sở thành tựu công nghệ phần mềm, các PMDH đã tạo môi trường hoạt động thuận lợi cho HS Trong môi trường này, HS là chủ thể hoạt động, tác động lên các đối tượng và qua đó HS chiếm lĩnh các tri thức và kỹ Với phát triển công nghệ mạng, Internet và các ứng dụng trên mạng đã tạo điều kiện thuận lợi cho HS tra cứu, tìm kiếm thông tin trên hệ thống tài nguyên gần “vô tận” trên các website, các thư viện điện tử Việc tăng cường giao lưu, hợp tác, trao đổi học tập HS với HS, HS với GV không còn bị hạn chế mặt thời gian và khoảng cách địa lý Trong môi trường này, GV và SGK không còn là nguồn cung cấp thông tin nhất, mà HS cung cấp nhiều nguồn tri thức khác để phát triển lực hoạt động độc lập tăng cường khả hợp tác thân • Xét vai trò người thầy dạy học toán 15 Trước hết cần loại bỏ tư tưởng sai lạc là MTĐT có thể thay hoàn toàn người GV dạy học toán Việc dạy học toán luôn luôn đòi hỏi cao vai trò mà đặc biệt là công sức và khả sư phạm người GV Tuy nhiên vai trò người GV điều kiện sử dụng MTĐT và PMDH có thay đổi so với truyền thống Người GV phải là người hướng dẫn, đạo HS phát huy hết khả mình hoạt động học tập Người GV là người tổ chức, điều khiển, tác động lên HS và đôi môi trường tin học, chẳng hạn: - Thiết kế, tạo các tình để HS hoạt động với MTĐT - Chỉ cho HS biết phải sử dụng MTĐT và PMDH nào và giúp đỡ HS vượt qua các khó khăn mà các em gặp phải quá trình này - Thiết kế các môđun theo ý đồ sư phạm để HS sử dụng các môdul này tiếp cận và đạt mục đích cách nhanh chóng Ngoài GV còn là người địa nguồn thông tin cho HS khai thác, ví dụ dạy định lý Py-ta-go, GV cho HS địa các website lịch sử, thân nhà bác học Py-ta-go, việc chứng minh định lý Py-ta-go… • Xét góc độ thực phân hoá dạy học toán CNTT-TT tạo điều kiện cho việc thực phân hoá cao quá trình dạy học toán Để thực phân hoá, GV phải nắm bắt và xử lý kịp thời diễn biến hoạt động học tập HS lớp Công việc này khó thực môi trường dạy học truyền thống GV đảm nhận việc lên lớp cho ba, bốn chục HS Nếu sử dụng CNTT-TT thì chính MTĐT thay GV thời điểm nào đó để đưa hỗ trợ kịp thời HS gặp khó khăn với liều lượng thích hợp đồng thời đưa chương trình, nội dung công việc tuỳ thuộc vào mức độ nhận thức HS Nếu HS có MTĐT nhà riêng thì các PMDH lại là “thầy giáo” nhà kiểm soát, đánh giá kết và giúp HS học tập cách hiệu Nếu GV dạy học phòng đa phương tiện với hệ thống Hiclass thì việc thực phân hoá dạy học toán thực cách thuận lợi Theo Đào Thái Lai dù cố gắng đến đâu điều kiện các đồ dùng, phương tiện dạy học truyền thống thì việc đảm bảo các nguyên tắc phân hoá dạy học toán bị hạn chế Với MTĐT và PMDH, HS có trợ giảng riêng luôn sẵn sàng giúp đỡ HS vượt qua các trở ngại thời điểm cần thiết Việc khai thác PMDH và Internet đã nối dài cánh tay người thầy dạy toán đến gia đình, tới HS cụ thể và ngoài việc hướng dẫn HS học tập, công tác kiểm tra, đánh giá thực chỗ • Xét vai trò hỗ trợ khả sâu vào các phương pháp học tập, phương pháp thực nghiệm toán học MTĐT với các phần mềm cho phép GV, HS tạo các mô hình, mô tả quá trình diễn biến các đại lượng toán học tổ chức các thực nghiệm toán học Bằng quan sát trực quan quá trình MTĐT đưa ra, HS nêu giả thuyết và sử dụng MTĐT để kiểm tra giả thuyết mình Đây là sở cho HS sử dụng suy luận có lý để 16 khẳng định bác bỏ giả thuyết bước Vấn đề này khó thực sử dụng các phương tiện đồ dùng dạy học truyền thống Trong quá trình học tập, với hỗ trợ MTĐT và PMDH, HS tiến hành hàng loạt các hoạt động tìm hiểu, khám phá, phân tích và kiểm chứng các giả thuyết mình, đây chính là quá trình tới lời giải đúng đắn cho bài toán Qua các hoạt động này, HS hình thành, rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp thực nghiệm toán học • Xét việc áp dụng các hình thức dạy học dạy học toán Các hình thức dạy học truyền thống dạy học đồng loạt, dạy học theo nhóm, dạy học cá thể có điều kiện kết hợp cách hiệu quả, linh hoạt sử dụng, khai thác CNTT-TT Hơn các hình thức dạy học “mở” hơn, chẳng hạn khái niệm dạy học đồng loạt không là thầy lên lớp giảng đường hình thức truyền thống mà thầy địa điểm nào đó (chẳng hạn Hà Nội) có thể lên lớp và truyền trực tiếp lên mạng Internet và đông HS cùng vào mạng để tham dự lớp học này Hình thức học theo nhóm mở rộng bao gồm các HS cùng quan tâm, nghiên cứu và trao đổi với nội dung cụ thể mà không giới hạn phạm vi bạn bè lớp, trường sinh sống gần mà tất thông qua mạng Internet, chí HS cùng lúc có thể tham gia nhiều hình thức học tập tham gia học tập theo nhiều nhóm khác • Xét góc độ kiểm soát và đánh giá quá trình học tập HS Với trợ giúp các phần mềm kiểm tra, đánh giá, GV có điều kiện kiểm soát chặt chẽ toàn quá trình học tập HS Việc kiểm tra đánh giá tiến hành liên tục, thời điểm quá trình học tập HS Với các phần mềm ghi trên đĩa CD-ROM hay trên các website cung cấp các đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan, các đề tự luận giúp GV, HS thực kiểm tra đánh giá cách nhanh chóng và đơn giản Sử dụng các phần mềm công cụ, GV nhận định cách chính xác kỹ tính toán, khả tập trung chú ý, khả suy luận lôgíc HS Với khả lưu trữ và xử lý gần “vô tận” MTĐT, GV có thể lưu lại toàn quá trình học tập HS để có định hướng đúng đắn quá trình học tập HS • Xét việc hình thành phẩm chất, đạo đức, tác phong cho HS quá trình dạy học toán Việc sử dụng CNTT-TT ngồi trên ghế nhà trường đã trực tiếp góp phần hình thành và phát triển kỹ sử dụng thành thạo MTĐT và làm việc môi trường CNTT-TT cho HS Đây là đặc tính không thể thiếu người lao động thời đại công nghệ cao trên sở phát triển CNTT-TT Sử dụng CNTT-TT quá trình thu thập và xử lý thông tin đã giúp hình thành và phát triển cho HS cách giải vấn đề hoàn toàn mới: đưa các định trên sở kết xử lý thông tin Cách học này tránh kiểu học vẹt, máy móc, nhồi nhét thụ động trước đây và góp phần hình thành cho HS phương pháp nghiên cứu toán học mới, đặc biệt là dạy học hình học Trong quá trình học tập với trợ giúp CNTT-TT, HS có điều kiện phát triển lực làm việc với cường độ cao cách khoa học, đức tính cần cù, chịu khó, khả độc lập, sáng tạo, tự chủ và kỷ luật cao 17 Việc tự đánh giá, kiểm tra kiến thức thân các phần mềm trên MTĐT giúp HS rèn luyện đức tính trung thực, cẩn thận, chính xác và kiên trì, khả đoán Nhận định chung - CNTT-TT khắc phục việc dạy học đơn truyền thụ chiều, HS thụ động tiếp thu và tái cách máy móc - CNTT-TT tạo môi trường thuận lợi chưa có để giúp HS học toán cách tích cực, chủ động, tự mình giải vấn đề và phát triển tư sáng tạo, khả tự học - CNTT-TT giúp hướng tới việc khuyến khích HS bên cạnh việc tích luỹ kiến thức còn chú trọng đến phát triển lực mà chủ yếu là lực giải vấn đề - CNTT-TT giúp tạo các hình thức dạy học phong phú, hiệu - Việc sử dụng CNTT-TT góp phần nâng cao ý thức và hiệu việc sử dụng phương tiện dạy học - Với dịch vụ phong phú CNTT-TT, người GV có điều kiện để lựa chọn phương pháp dạy học theo nội dung, sở trường, đối tượng HS cho phù hợp - Với hỗ trợ đắc lực CNTT-TT, GV có môi trường và điều kiện để tổ chức các hoạt động thảo luận, tranh luận HS có điều kiện phát huy nhằm tăng cường khả hợp tác học tập 18 Chương SỬ DỤNG PHẦN MỀM GRAPH TRONG DẠY HỌC TOÁN 2.1 Giới thiệu phần mềm Graph PHẦN MỀM GRAPH LÀ MỘT PHẦN MỀM HỖ TRỢ MINH HOẠ VÀ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG BỘ MÔN TOÁN PHỔ THÔNG TƯƠNG ĐỐI GỌN NHẸ ĐƯỢC CÀI ĐẶT TRONG MÔI TRƯỜNG HỆ ĐIỀU HÀNH WINDOWS TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH CHỨA GỌN TRÊN MỘT ĐĨA MỀM 1.44 MB CỦA IVAN JOHANSEN PHẦN MỀM NÀY HIỆN NAY CÓ THỂ DOWNLOAD MIỀN PHÍ TẠI ĐỊA CHỈ: HTTP://WWW.PADONWAN.DK 2.2 Làm việc với Graph Để nạp chương trình Graph, ta thực dãy thao tác: Start/Programs/Graph nháy chuột vào biểu tượng Graph GIAO DIỆN CỦA PHẦN MỀM GRAPH GỒM CÁC THÀNH PHẦN: HỆ THỐNG MENU, THANH CÔNG CỤ VÀ TRANG CÔNG TÁC ĐƯỢC CHIA THÀNH PHẦN: CỬA SỔ TRÁI LÀ DANH SÁCH CÁC ĐỐI TƯỢNG: DANH SÁCH (FUNCTIONS), HÀM DANH SÁCH CÁC ĐIỂM (POINT SERIES), DANH SÁCH CÁC MIỀN ĐƯỢC LỰA CHỌN (SHADES) VÀ DANH SÁCH TÊN CÁC ĐỐI TƯỢNG (LABELS), CỬA SỔ 19 BÊN PHẢI DÀNH ĐỂ HIỂN THỊ CÁC ĐỐI TƯỢNG NHƯ ĐỒ THỊ, ĐƯỜNG THẲNG, ĐIỂM, NHÃN TÊN ĐỐI TƯỢNG, 2.3 Giới thiệu hệ thống Menu Hệ thống menu Graph gồm chức bản: File, Edit, Function, Zoom, Calc và Hepl 2.3.1 Menu File: - Mở tệp (New - Ctrl+N), - Mở tệp đã có (Open - CTrl+O), - Lưu trữ tệp (Save - Ctrl+S, Save as), - In ấn (Print), - Kết thúc phiên làm việc (Exit - Alt+F4), - Lưu trữ kết dạng ảnh (Save as image - Ctrl+B), chức này giúp ta có các đồ thị đẹp để thiết kế giáo án điện tử 2.3.2 Menu Edit: - Huỷ bỏ thao tác trước đó ( Undo - Ctrl+Z), - Lặp lại thao tác trước đó (Redo - Ctrl+Y), - Cắt đối tượng lưu vào đệm (Cut - Ctrl+X), - Copy đối tượng lưu vào đệm (Copy - Ctrl+C), - Dán đối tượng từ đệm trang công tác (Paste - Ctrl+V), - Sao chép hình ảnh (Copy image), - Tuỳ biến hệ trục toạ độ (Axes - Ctrl+A), - Xác lập môi trường làm việc (Options) 2.3.3 Menu Function: - Khởi tạo hàm mới( Insert function- Ins), - Tạo vẽ tiếp tuyến (Insert tangent - F2), - Đánh dấu miền(Insert shade - F3), - Vẽ điểm trên hệ toạ độ trang công tác (Insert point series -F4), - Vẽ hệ thống điểm (Insert trendline-Ctrl+T), - Đặt tên cho các đối tượng (Insert label ), - Cập nhật các đối tượng lựa chọn (Edit ), 20 - Xoá bỏ các đối tượng lựa chọn (Delete – Ctrl+Del), - Chèn đồ thị đạo hàm hàm số (Insert f’(x)) 2.3.4 Menu Zoom : Hệ thống các chức menu Zoom gồm các lệnh để điều khiển, thay đổi góc độ hiển thị trang làm việc, đó chú ý các chức sau: - Điều chỉnh theo hướng thu hẹp khoảng [a,b] trục hoành hiển thị trên trang công tác (In), - Điều chỉnh theo hướng gia tăng khoảng [a,b] trục hoành hiển thị trên trang công tác (Out), - Chuyển trạng thái chuẩn (Standard-Ctrl+D), - Chuyển trạng thái cho phép di chuyển các đối tượng trên trang công tác (Move system - Ctrl+M), - Chuyển chế độ hiển thị cho quan sát tất các điểm trên trang công tác (All points) 2.3.5 Menu Calc: - Xác định độ dài đồ thị f(x) trên đoạn [a,b] nào đó (Length of path), - Tính diện tích phần giới hạn các đường thẳng x=a, x=b với đồ thị f(x) ( Area), - Xác định giá trị f(x) điểm xo nào đó (Evaluate - Ctrl+E), - Tạo bảng tính giá trị f(x) đoạn [a,b] với bước chia cách (Table) 2.4 Một số chức 2.4.1 VẼ ĐỒ THỊ HÀM F(X) Để khởi tạo đồ thị mới, dãy thao tác sau:-> Function- > Insert function (hoặc chọn biểu tượng trên công cụ) Xuất bảng khai báo các tham số: + Biểu thức tổng quát f(x), + Giới hạn phạm vi giá trị đối số, + Kiểu nét vẽ, + Độ rộng nét vẽ, 21 + Mầu nét vẽ, Khai báo xong, nhấn OK để hoàn tất công việc 2.4.2 Cập nhật đối tượng Để chỉnh sửa đồ thị hàm số đã có, thao tác sau: Trước tiên lựa chọn đồ thị chỉnh sửa, chọn: ->Function ->Edit (hoặc bấm đúp vào biểu thức f(x) cửa sổ bên trái) xuất sổ Edit function để ta cập nhật lại Ta có thể khai báo lại giá trị đoạn [a,b], chọn lại độ dày nét vẽ, nhập nội dung ghi chú cho đối tượng mầu vẽ đường tiếp tuyến Nhấn OK để hoàn tất công việc 2.4.3 Vẽ tiếp tuyến với đồ thị f(x) điểm xo Để vẽ tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) điểm xo trước tiên phải lựa chọn hàm số, chọn: -> Function -> Insert tangent Xuất cửa sổ Insert tangent Ta nhập giá trị xo cửa sổ: x=, sau đó chọn độ rộng, kiểu đường vẽ tiếp tuyến, mầu và có thể nhập nội dung ghi chú cho tiếp tuyến cửa sổ: Description Sau cùng nhấn OK để hoàn tất Để điều chỉnh tiếp tuyến đã vẽ, bấm đúp vào biểu thức tiếp tuyến cửa sổ trái, xuất cửa sổ Edit tangent để ta cập nhật 22 2.4.4 Chèn đồ thị đạo hàm f’(x) Graph có chức vẽ cùng hệ trục toạ độ đồ thị hàm số f(x) và f’(x) Để sử dụng chức này, trước tiên ta chọn hàm cần chèn thêm đồ thị đạo hàm cửa sổ bên trái, sau đó thao tác: ->Function -> Insert f’(x) Xuất cửa sổ Insert (f’x) Ta khai báo khoảng [a,b], kiểu nét vẽ, độ dày, mầu và ghi chú cho đồ thị này Nhấn OK để hoàn tất 2.4.5 Xác định độ dài đồ thị f(x) trên đoạn [a,b] Chức Length of path cho phép ta biết giá trị độ dài đồ thị hàm số f(x) trên đoạn [a,b] Để sử dụng chức này, trước tiên ta chọn hàm cửa sổ bên trái sau đó thao tác: ->Calc -> length of path Xuất cửa sổ cho ta nhập giá trị hai đầu mút a cửa sổ From: và b cửa sổ To:, ta có kết thông báo ô Length Có thể nhập các giá trị a, b khác để tính nhiều lần 2.4.6 Tính diện tích Graph có chức tính nhanh diện tích phần mặt phẳng giới hạn các đường thẳng x=a, x=b với đồ thị f(x) Để sử dụng chức tính diện tích hình phẳng, trước tiên ta chọn hàm cửa sổ bên trái, ta thao tác sau: -> Calc -> Area Xuất cửa sổ, ta nhập giá trị đầu mút a cửa sổ From: b cửa sổ To:, ta có kết diện tích thông báo cửa sổ Area Trên màn hình đồ hoạ thấy phần diện tích tương ứng biểu diễn các đường gạch sọc Ta có thể nhập các giá trị đầu mút a, b khác để tính diện tích các miền khác 23 2.4.7 Tính giá trị f(x), f’(x), f’’(x) điểm xo Để sử dụng chức này, trước tiên ta chọn hàm cửa sổ bên trái, ta thực thao tác: -> Calc -> Evaluate, xuất cửa sổ để ta nhập giá trị điểm xo cần tính Kết thông báo cửa sổ bên là : f(x), f’(x), f’’(x) Ta có thể thay đổi giá trị xo để có kết các điểm khác 2.4.8 Tính giá trị f(x) đoạn [a,b] với bước chia cách CHỨC NĂNG CALCULATE TABLE CHO PHÂN HOẠCH ĐOẠN [A,B] BỞI MỘT LƯỚI CÁC NÚT CÁCH ĐỀU NHAU MỘT ĐOẠN DX VÀ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ F(X) TẠI CÁC ĐIỂM CHIA Để lập bảng, trước tiên ta chọn hàm cửa sổ bên trái, và thao tác: >Calc ->Table, xuất cửa sổ Calculate table Ta khai báo khoảng [a,b] và bước chia dx Nhấn nút Calc ta có kết cần thiết 2.4.9 Vẽ các điểm trên hệ trục toạ độ: Để sử dụng chức này, ta thao tác sau:->Function ->Insert point series , xuất cửa sổ: Insert point series Ta cần khai báo toạ độ điểm cần vẽ Bên trái có các lựa chọn - Kiểu vẽ điểm: Style, - Mầu vẽ điểm: Color,-Kích thước điểm: Size, - Hiện toạ độ điểm Show coordinates Khai báo song nhấn OK, ta nhận hình ảnh các điểm trên màn hình 24 2.4.10 In ấn kết Để in các kết quả, ta chọn: ->File -> Print Xuất cửa sổ Page Setup để ta xác định các thông số trước in Nếu cần lựa chọn máy in danh sách các máy in đã cài đặt, ta chọn tiếp Printer Để đưa máy in, ta chọn OK 2.5 Thư viện các hàm Graph TRONG PHẦN MỀM GRAPH, CÁC HÀM ĐƯỢC THIẾT KẾ CÀI ĐẶT TRONG THƯ VIỆN TƯƠNG ĐỐI PHONG PHÚ, TUY NHIÊN CÁC HÀM SAU THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG NHIỀU TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG: ABS - Hàm lấy giá trị tuyệt đối đối số, SQR - Hàm cho giá trị bình phương đối số, SQRT - Hàm cho giá trị là bậc hai đối số, SIN - Hàm cho giá trị hàm số sin đối số, COS - Hàm cho giá trị hàm số cosin đối số, TAN - Hàm cho giá trị hàm số tang đối số, ARCSIN - Hàm cho giá trị hàm số ngược hàm số sin, ARCCOS - Hàm cho giá trị hàm số ngược hàm cosin, ARCTAN - Hàm cho giá trị hàm số ngược hàm tan, LN - Hàm cho giá trị logarit số e đối số, LOG - Hàm cho giá trị logarit số thập phân đối số, PI - Cho giá trị số pi, 25 Toán tử ^ : dùng để biểu diễn luỹ thừa, ví dụ 10^3 là 1000, 2^8 là 256 Để biết thêm chi tiết, chọn Help để tra cứu thông tin cần thiết 2.6 Khai thác phần mềm Graph Phương pháp chủ yếu là dùng Graph để minh hoạ và kiểm tra kết Sau học sinh đã hoàn thành khối lượng công việc, giáo viên có thể sử dụng Graph để học sinh kiểm tra lại kết tính toán mình và khảo sát chi tiết thêm nhờ vào các công cụ Graph chẳng hạn ta có thể sử dụng Graph để vẽ đồ thị sau đó lưu trữ đồ thị dạng ảnh để đưa vào giáo án soạn trên Word PowerPoint Ví dụ 1: Sử dụng phần mềm Graph để biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn ax+by < c (chẳng hạn bất phương trình 2x+y < 3) • Bước 1: Chọn chức Function/Insert Function để vẽ đồ thị hàm số Graph Ta nhập biểu thức y=(c-ax)/b vào hộp thoại Function Equation (ví dụ y=3-2x), ta nhận đường thẳng ∆ là đồ thị hàm số y=(cax)/b • Bước 2: Lấy điểm M0(x0, y0) không thuộc đường thẳng ∆, chẳng hạn ta lấy gốc toạ độ O(0; 0) và so sánh giá trị biểu thức ax0 + by0 với c để xác định nửa mặt phẳng bờ ∆ nào là miền nghiệm Hình ax + by < c • Bước 3: Chọn chức Function/Insert Shade và lựa chọn mô hình tương ứng, ta thu hình ảnh biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn ax+by < c (hình 1) 26 Để minh hoạ tập nghiệm các bất phương trình khác, ta mở hộp thoại Insert Function để thay đổi biểu thức và tô lại (Shade) miền nghiệm Ví dụ 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: ⎧x+ y+2≤0 ⎪ ⎨ x − y −1≤ ⎪2 x − y + ≥ ⎩ Hoàn toàn tương tự Hình ví dụ 1, ta vẽ và xác định miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn hệ Kết ta có biểu diễn hình học tập nghiệm hệ (hình 2) 2.7 Bài tập: 1) Vẽ đồ thị các hàm số : y1=ax3+bx2+cx+d; y2=ax4+bx3+cx2+dx+e ax + bx ax + bx + c y4 = cx + dx dx + ex 2) Minh hoạ việc từ đồ thị hàm số f(x) suy đồ thị các hàm số: f(|x|) |f(x)|, |f(|x|)| y3 = tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit 3) Sử dụng các chức Graph để kiểm tra kết tính toán các bài tập tính độ dài, diện tích và tích phân xác định sách giáo khoa THPT 27 Chương SỬ DỤNG PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG CABRI GEOMETRY 3.1 Tổng quan phần mềm hình học động Cabri Geometry 3.1.1 Khởi động Cabri Geometry Nếu máy tính bạn chưa cài đặt phần mềm Cabri Geometry thì bạn có thể download Cabri Geometry trên Internet để cài đặt Để gọi Cabri làm việc ta chọn các lệnh: Start/Programs/Cabri Geometry II Plus/Cabri Geometry II Plus bấm chuột vào logo Cabri Geometry trên màn hình 3.1.2 Giao diện Cabri Geometry Menu bar Hệ thống công cụ Vùng để vẽ hình Hình 3.1 Cửa sổ làm việc Cabri Geometry bao gồm các thành phần chính như: hệ thống menu bar, hệ thống công cụ và vùng làm việc dành để vẽ, dựng các đối tượng hình học (hình 3.1) 3.1.3 Hệ thống menu bar Cabri Geometry Hệ thống menu bar Cabri Geometry gồm nhóm chức chính, nhóm ứng với hệ thống menu dọc (PopUp) • Nhóm chức File: gồm 11 chức (hình 3.2) 28 – New (Ctrl+N): Mở tệp – Open… (Ctrl+O): Mở tệp đã lưu trên nhớ ngoài Khi xuất cửa sổ Open a File, ta phải chọn ổ đĩa, thư mục và tên tệp tin cần mở chọn lệnh Open – Close (Ctrl+F4): Đóng tệp tin làm việc Nếu ta chưa lưu trữ tệp tin, xuất thông báo (hình 3.3) Khi đó chọn Yes thì Cabri Geometry lưu trữ tệp tin trước đóng Nếu không muốn lưu lại thông tin ta Hình 3.2 chọn No Nếu chọn Cancel ta tiếp tục làm việc với tệp tin thời Hình 3.3 – Save (Ctrl+S): Lưu trữ tệp tin Nếu là lần lưu trữ đầu tiên xuất cửa sổ Save File As Ta phải chọn ổ đĩa, thư mục và đặt tên cho tệp tin này Những lần ghi sau, Cabri Geometry ghi theo thông số đã chọn (hình 3.4) – Save As…: Lưu trữ tệp tin đã có với tên Hình 3.4 – Export figure for calcs : Chuyển đổi tệp tin theo định dạng các máy tính điện tử có chức đồ hoạ TI–83; TI–88; TI–92 – Revert…: Chuyển giao diện làm việc tình trạng ban đầu – Show Page : Xem nội dung trước in (có thể chọn vùng in cách di chuyển khung chữ nhật đến vị trí cần thiết) 29 – Page Setup : Định các thông số trước in nội dung tệp – Print… (Ctrl+P): Thực lệnh in – Exit (Ctrl+F4): Kết thúc phiên làm việc • Nhóm chức Edit: gồm chức (hình 3.5) Hình 3.5 – Undo (Ctrl+Z): Huỷ bỏ lệnh vừa thực – Cut (Ctrl+X): Xoá các đối tượng đã lựa chọn trên màn hình và lưu tạm chúng vào đệm Clipboard – Copy (Ctrl+C): Lưu trữ tạm thời các đối tượng đã lựa chọn trên màn hình vào đệm Clipboard – Paste (Ctrl+V): Đưa các đối tượng lưu trữ đệm Clipboard vùng làm việc – Clear (Del): Xoá bỏ các đối tượng đã lựa chọn – Select All (Ctrl+A): Đánh dấu lựa chọn tất các đối tượng – Replay Construction…: Xem lại toàn quá trình dựng hình – Refresh Drawing (Ctrl+F): Lấy lại hoạ tiết hình đã dựng • Nhóm chức Options: gồm chức (hình 3.6) Hình 3.6 30 – Show/Hide Attributes (F9): Hiện hay ẩn bảng lựa chọn thuộc tính các đối tượng – Show Figure Description (F10): Ẩn hay bảng liệt kê các thao tác dựng hình đã thực –Preferences : Khai báo lựa chọn các tham số hệ thống lựa chọn mầu đối tượng, chế độ hiển thị, font chữ hệ thống, dạng phương trình (hình 3.7) Hình 3.7 Nếu muốn thay đổi các thuộc tính đối tượng nào đó thì cần phải khai báo, lựa chọn danh sách các mẫu sẵn có, bấm chuột vào ô: [x] Keep as defaults Nếu muốn lưu trữ cấu hình bấm chọn lệnh Save to file – Language : Lựa chọn ngôn ngữ hiển thị Sẽ có nhiều lựa chọn tiếng Anh, Pháp, Đức, Đan Mạch ta cần bấm chuột vào ngôn ngữ cần sử dụng – Font…: Lựa chọn kiểu chữ cho đối tượng lựa chọn • Nhóm chức Session: gồm chức (hình 3.8) Hình 3.8 31 – Begin recording (F2): Bắt đầu ghi lại chuỗi các thao tác vẽ, dựng hình và lưu trữ dạng tệp tin thư mục riêng – Stop playing/ Read a session (F4): Kết thúc quá trình ghi hay đọc recording đã có (khi đó ta có thể xem lại các bước dựng hình đã ghi) – Previous (F6): Chuyển thao tác trước đó – Next (F7): Chuyển đến thao tác – Print a session… (F5): Ghi nội dung recording file • Nhóm chức Window Hệ thống gồm các lệnh dùng để bố trí xếp các cửa sổ theo kiểu dàn ngang hay lợp ngói, đóng các cửa sổ mở • Chức Help Hình 3.9 Nếu bật chức Help, ta chuột vào công cụ nào thì phía cửa sổ lên chức công cụ đó (hình 3.9) 3.2 Thao tác với các công cụ Cabri Geometry Hệ thống công cụ Cabri Geometry gồm 11 nhóm chức Biểu tượng công cụ lựa chọn có màu sáng Để sử dụng công cụ nào đó, ta bấm chuột vào biểu tượng nhóm chức di chuyển chuột bấm chọn công cụ cần sử dụng Phần này chúng tôi liệt kê các công cụ Cabri Geometry Để thực hành, bạn đọc nên thao tác dựa theo các ví dụ chi tiết phần 32 3.2.1 Nhóm chức chọn trạng thái làm việc với chuột Khi bấm chuột vào nhóm chức này, xuất danh sách công cụ: Pointer: Sử dụng để lựa chọn, dịch chuyển các đối – tượng hình học Sau chọn công cụ Pointer: • Để chọn đối tượng nào đó, ta chuột vào đối tượng và bấm (click), đó chuột có dạng hình bàn tay và lên chú thích kiểu đối tượng • Để chọn nhiều đối tượng lúc, ta nhấn phím Shift bấm chuột vào các đối tượng cần chọn • Để di chuyển đối tượng, sau chọn đối tượng ta giữ phím chuột di chuyển chuột (drag) để thay đổi vị trí hình vẽ Rotate: Sử dụng để xoay hình xung quanh điểm hay tâm – hình Sau chọn công cụ Rotate ta bấm chuột xác định tâm quay sau đó bấm chuột vào đối tượng và giữ phím để xoay hình Dilate: Thay đổi kích thước hình phép đồng dạng – Sau chọn công cụ Dilate ta cần bấm chuột xác định điểm chọn làm tâm phép đồng dạng sau đó bấm chuột vào đối tượng và giữ phím kéo để thay đổi kích thước – Rotale and Dilate: Có thể cùng lúc vừa xoay vừa thay đổi kích thước hình 3.2.2 Nhóm chức chọn công cụ tạo điểm Khi bấm chuột vào nhóm chức này, xuất công cụ: – Point: Tạo điểm Khi chọn công cụ Point chuột có hình dạng bút chì, đưa đầu bút chì đến vị trí xác định điểm, bấm chuột trái Có thể xác định nhiều điểm mà không cần chọn lại công cụ – Point on Object: Lấy điểm thuộc đối tượng đã có 33 Sau chọn công cụ Point on Object, ta đưa chuột vào đối tượng, xuất câu thông báo, chẳng hạn“lấy điểm này trên đường tròn” cần chọn điểm vị trí nào, ta bấm chuột vị trí đó (hình 3.10) – Hình 3.10 Intersection Points: Xác định điểm là giao các hình hình học đã có Để xác định giao hai đối tượng nào đó, ta chọn công cụ Intersection Points đưa chuột bấm vào hai đối tượng đó Cũng có thể chuột vào vị trí là giao các đối tượng, xuất dòng thông báo “Lấy giao điểm” ta bấm chuột (hình 3.11) 3.2.3 Nhóm chức chọn công cụ vẽ các đối Hình 3.11 tượng hình học Khi bấm chuột chọn nhóm chức này, xuất bảng công cụ dựng các đối tượng hình học bản: – Line: Dựng đường thẳng Một đường thẳng xác định hai điểm Để dựng đường thẳng, trước hết ta chọn công cụ Line sau đó đưa chuột bấm chọn vị trí hai điểm trên màn hình Khi thay đổi vị trí hai điểm thì đường thẳng cùng thay đổi vị trí cách tương ứng – Segment: Dựng đoạn thẳng Thao tác dựng đoạn thẳng tương tự dựng đường thẳng Ta chọn công cụ Segment sau đó đưa chuột bấm vào vị trí hai đầu mút đoạn thẳng cần dựng – Ray: Dựng tia Để dựng tia ta phải xác định điểm gốc và hướng tia Chọn công cụ Ray sau đó bấm chuột xác định điểm gốc tia, di chuyển chuột chọn hướng tia và bấm chuột xác định điểm tiếp theo, ta tia cần dựng 34 – Vector: Dựng vectơ Để dựng vectơ ta chọn công cụ Vector sau đó bấm chuột xác định điểm gốc và điểm vectơ cần dựng – Triangle: Dựng tam giác Để dựng tam giác, ta chọn công cụ Triangle sau đó di chuyển và bấm chuột xác định vị trí đỉnh tam giác, ta nhận tam giác tương ứng với điểm đã chọn – Polygon: Dựng đa giác n cạnh Tương tự dựng tam giác, ta chọn công cụ Polygon sau đó đưa chuột bấm xác định vị trí các đỉnh Kết thúc bấm đúp chuột trái, ta đa giác tương ứng với các điểm đã chọn – Regular Polygon: Dựng đa giác (n<=30) Để dựng đa giác ta chọn công cụ Regular Polygon bấm chuột xác định điểm chọn làm tâm đa giác, sau đó di chuyển chuột để xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đó Ở tâm xuất số cạnh đa giác, ta di chuyển chuột để xác định số cạnh cần có Kết thúc bấm chuột trái 3.2.4 Nhóm chức chọn công cụ vẽ các đường cong Khi bấm chuột vào nhóm chức này, xuất bảng gồm công cụ để vẽ cung, đường tròn và đường conic – Circle: Vẽ đường tròn Để vẽ đường tròn ta chọn công cụ Circle sau đó bấm chuột xác định vị trí tâm hình tròn và tiếp tục di chuyển chuột để xác định bán kính, bấm chuột trái để kết thúc Để thay đổi bán kính, ta trở chế độ Pointer sau đó chuột vào đường tròn Khi xuất hình bàn tay, ta giữ chuột kéo để thay đổi bán kính Muốn di chuyển đường tròn ta trở chế độ Pointer chuột vào tâm, giữ phím trái để di chuyển – Arc: Vẽ cung tròn qua ba điểm Để dựng cung tròn, trước hết chọn công cụ Arc, sau đó đưa chuột bấm vào 35 vị trí ba điểm xác định cung tròn Khi cho thay đổi vị trí ba điểm, cung tròn thay đổi theo Muốn thay đổi vị trí cung tròn ta đưa chuột vào điểm bất kì trên cung tròn (ngoài ba điểm trên) kéo thả – Conic: Vẽ đường conic Đường conic xác định trên sở điểm Ta chọn công cụ Conic sau đó ta xác định lần bấm chuột chọn điểm sở đường conic Tuỳ vị trí năm điểm cho ta elip hay parabol, hypecbol 3.2.5 Nhóm chức chọn công cụ dựng các đối tượng dẫn xuất từ các đối tượng hình học đã có Khi bấm chuột vào nhóm chức này xuất bảng 10 công cụ: – Perpendicular Line: Dựng đường thẳng vuông góc Để dựng đường thẳng qua điểm và vuông góc với đường thẳng (đoạn thẳng…) cho trước ta chọn công cụ Perpendicular Line bấm chuột chọn xác định điểm mà đường thẳng qua và đường thẳng (đoạn thẳng ) vuông góc Cũng có thể thao tác theo trình tự xác định đường thẳng (đoạn thẳng) trước, điểm sau (hình 3.12) Parallel – Line: Dựng đường song song Để dựng đường thẳng qua điểm và song song với đường thẳng (đoạn thẳng ) cho trước: Chọn Hình 3.12 công cụ Parallel Line bấm chuột xác định đường thẳng (đoạn thẳng ) và điểm mà đường thẳng song song qua – Midpoint: Xác định điểm hai điểm, trung điểm đoạn thẳng Sau chọn công cụ Midpoint, đưa chuột bấm xác định hai điểm bấm 36 chọn đoạn thẳng, cạnh đa diện ta điểm cần dựng (hình 3.13) – Perpendicular Bisector: Dựng đường trung trực Hình 3.13 Để dựng đường trung trực đoạn thẳng trước tiên ta chọn công cụ Perpendicular Bisector sau đó đưa chuột bấm xác định hai đầu mút đoạn thẳng đoạn thẳng đã có – Angle Bisector: Dựng đường phân giác Angle Bisector sau đó đưa chuột Để dựng đường phân giác ta chọn công cụ bấm xác định điểm theo thứ tự thuộc cạnh thứ nhất, đỉnh và cạnh còn lại góc – Vector Sum: Xác định tổng hai vectơ Để dựng vectơ tổng hai vectơ: Chọn công cụ Vector Sum sau đó đưa chuột bấm xác định hai vectơ thành phần bấm chọn vị trí làm gốc vectơ tổng – Compass: Dựng đường tròn với bán kính cho trước Để dựng đường tròn có bán kính cho trước: Chọn công cụ Compass sau đó đưa chuột bấm xác định đoạn thẳng chọn làm độ dài bán kính (hoặc bấm chọn hai điểm phân biệt có khoảng cách là bán Hình 3.14 kính) và bấm vào vị trí (điểm) bất kì chọn làm tâm đường tròn (hình 3.14) – Measurement Transfer: Xác định điểm cách điểm cho trước khoảng cho trước Để thực chức này trước hết phải có số thực (có thể là kết đo đạc các đối tượng, kết tính toán nhập trực tiếp từ bàn phím) Thao tác dựng điểm sau: Chọn công cụ Measurement Transfer đưa chuột bấm chọn giá trị số trên màn hình và điểm đã cho Trên màn hình xuất đường chấm kẻ có độ dài giá trị số đã chọn Ta chọn hướng và bấm chuột trái để xác định điểm cần dựng 37 – Locus: Dựng quỹ tích Để dựng quỹ tích đối tượng nào đó, ta chọn công cụ Locus và sau đó dùng chuột bấm vào yếu tố quỹ tích và yếu tố gây quỹ tích • Ví dụ 3.1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm B, C cố định, A thay đổi G là trọng tâm tam giácABC Tìm quỹ tích điểm G Hình 3.15 Bước 1: Sử dụng các công cụ Cabri Geometry để dựng hình Bước 2: Chọn công cụ Locus bấm vào điểm G (yếu tố quỹ tích) bấm vào điểm A (yếu tố gây quỹ tích) Ta nhận hình ảnh quỹ tích điểm G (hình 3.15) – Redefine Object: Định nghĩa đối tượng hình quá trình dựng hình Giả sử ta đã thực n bước dựng hình muốn thay đổi lại bước dựng thứ m nào đó (m < n) Ví dụ ta dựng tam giác ABC và xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao hai đường trung trực cạnh AB và AC lại muốn thay đổi lại thành xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hình 3.16 ta sử dụng công cụ Để không phải thao tác lại m–1 thao tác đầu, Redefine Object Khi chọn công cụ này xuất danh sách n bước dựng hình, ta bấm chọn vào bước thứ m và thực thao tác (hình 3.16) Trong ví dụ trên ta chọn Angle Bisector để dựng các đường phân giác 38 3.2.6 Nhóm chức chọn công cụ dựng ảnh qua các phép biến hình Khi bấm chuột vào nhóm chức này, xuất bảng gồm công cụ: – Reflection: Dựng hình qua phép đối xứng trục Để dựng hình đối xứng đối tượng qua đường, đoạn thẳng, tia, trục toạ độ, cạnh tam giác, đa giác ta chọn công cụ Reflection sau đó bấm chuột chọn đối tượng ban đầu và đối tượng chọn làm trục đối xứng (hình 3.17) – Symmetry: Dựng hình qua phép đối xứng tâm Sau chọn công cụ Symmetry ta bấm chuột xác định đối tượng ban đầu và điểm chọn làm Hình 3.17 tâm phép đối xứng, ta thu ảnh đối tượng đã chọn qua phép đối xứng tâm – Translation: Dựng hình qua phép tịnh tiến Để dựng ảnh đối tượng hình học qua phép tịnh tiến theo vectơ: Bước 1: Xác định vectơ làm sở cho phép tịnh Hình 3.18 tiến Bước 2: Chọn công cụ Translation sau đó dùng chuột bấm chọn đối tượng cần dựng ảnh qua phép tịnh tiến và vectơ, ta ảnh hình đó qua phép tịnh tiến (hình 3.18) – Rotation: Xác định ảnh qua phép quay Để dựng ảnh đối tượng hình học qua phép quay ta chọn công cụ Rotation tiếp bấm chuột chọn đối tượng ban đầu, điểm chọn làm tâm Hình 3.19 39 quay và đại lượng xác định góc quay • Ví dụ 3.2: Để thực phép quay cung OO' xung quanh tâm O với góc quay 600 Rotation bấm chuột vào cung OO', điểm O và số 60 Ta nhận ta chọn công cụ ảnh cung OO' qua phép quay (hình 3.19) – Dilation: Dựng hình qua phép vị tự Để dựng ảnh đối tượng qua phép vị tự trước tiên ta phải xác định tâm và hệ số phép vị tự Thao tác: Chọn công cụ Dilation bấm chuột lựa chọn đối tượng ban đầu, điểm xác định làm tâm và hệ số phép vị tự Hình 3.20 • Ví dụ 3.3: Để dựng ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm A và hệ số k=2.2 ta chọn công cụ Dilation sau đó bấm chuột vào đường tròn, tỉ số k và điểm A Ta thu ảnh (O) qua phép vị tự (hình 3.20) – Inverse: Dựng hình qua phép nghịch đảo Để dựng ảnh điểm qua phép nghịch đảo: Chọn công cụ Inverse, bấm chuột lựa chọn điểm ban đầu và đường tròn nghịch đảo 3.2.7 Nhóm chức chọn công cụ xây dựng Macro Để dựng đối tượng nào đó ta thường phải tiến hành nhiều thao tác (chẳng hạn dựng đường tròn nội tiếp tam giác) Nếu ta ghi lại chuỗi các thao tác dựng hình dạng Macro thì từ lần sau ta không thiết phải thực lại các bước dựng hình mà gọi thực Macro Cabri Geometry thực tự động tất các bước dựng hình ghi Macro đó Khi bấm chuột chọn nhóm chức này, xuất bảng gồm công cụ: – Initial Objects: Xác định các đối tượng ban đầu – Final Object: Xác định các đối tượng thu sau kết thúc thực các lệnh Macro 40 – Define Macro: Định nghĩa tên và chọn phím tắt cho Macro • Các bước tạo Macro: Bước 1: Dựng hoàn chỉnh các bước dựng hình (ví dụ ta vẽ tam giác ABC, hai đường trung tuyến tam giác và xác định giao chúng) Bước 2: Bấm vào biểu tượng, chọn Initial Objects, sau đó bấm chuột vào đối tượng coi là đối tượng xuất phát ban đầu –X (trong ví dụ trên thì ta phải bấm chuột vào tam giác ABC) Bước 3: Bấm vào biểu tượng, chọn Final Objects, sau đó bấm chuột vào đối tượng coi là đối tượng kết thúc –Y (trong ví dụ trên ta phải bấm chuột vào hai trung tuyến và giao chúng) Hình 3.21 Bước 4: Bấm vào biểu tượng, chọn Define Macro (hình 3.21): Bạn cần đặt tên cho Macro, nhập các thông tin cần thiết và chọn OK Chạy Macro: Sau gọi tên Macro ta bấm chuột vào các đối tượng làm sở để thực Macro, ta thu kết (trong ví dụ trên ta gọi Macro và bấm vào tam giác ba điểm không thẳng hàng bất kì, ta nhận hình ảnh hai đường trung tuyến và trọng tâm tam giác) • Ví dụ 3.4: Xây dựng Macro dựng đường tròn nội tiếp tam giác ta tiến hành sau: Bước 1: – Dựng tam giác ABC; – Dựng hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B, C; 41 – Xác định giao điểm O hai đường phân giác; – Dựng đường thẳng d qua điểm O và vuông góc với cạnh BC – Xác định giao điểm H cạnh BC với đường thẳng d – Dựng đường tròn tâm O và qua điểm H Bước 2: Chọn Initial Objects, sau đó bấm chuột vào tam giác ABC Bước 3: Chọn Final Objects sau đó bấm chuột vào đường tròn nội tiếp Bước 4: Chọn Define Macro và đặt tên cho Macro là DT_N_Tiep Hình 3.22 Để thực Macro, ta bấm vào nhóm chức chọn DT_N_Tiep sau đó đưa chuột bấm vào tam giác MNP cần dựng đường tròn nội tiếp Ta có kết (hình 3.22) Như vậy, chức Macro cho phép ta mở rộng các công cụ Cabri Geometry Ta có thể xây dựng hệ thống Macro bao gồm tất các thao tác dựng hình thường dùng chương trình phổ thông và lưu lại dạng file Việc sử dụng chúng cho phép rút ngắn thời gian vẽ hình 3.2.8 Nhóm chức chọn công cụ kiểm tra thuộc tính Khi bấm chuột chọn nhóm chức này, xuất bảng gồm công cụ: – Collinear: Kiểm tra xem ba điểm có thẳng hàng hay không? Sau chọn công cụ Collinear ta dùng chuột bấm xác định ba điểm cần kiểm tra Xuất khung hình chữ nhật di chuyển theo vị trí 42 chuột Ta di chuyển khung này đến vị trí nào đó trên màn hình, bấm chuột Nội dung thông báo kết kiểm tra cho biết ba điểm có thẳng hàng hay không – Parallel: Kiểm tra hai đường thẳng, đoạn thẳng có song song không? Để kiểm tra xem hai đường thẳng, đoạn thẳng có song song với hay không, ta chọn công cụ Parallel đưa chuột bấm chọn hai đường thẳng, đoạn thẳng cần kiểm tra Cabri Geometry đưa thông báo cho biết chúng có song song hay không – Perpendicular: Kiểm tra hai đường thẳng, đoạn thẳng có vuông góc với không? Thao tác: Chọn công cụ Perpendicular xác định hai đường thẳng, đoạn thẳng cần kiểm tra – Equidistant: Kiểm tra hai điểm có cách điểm thứ ba hay không? Chọn công cụ Equidistant, sau đó bấm chuột vào ba điểm cần kiểm tra – Member: Kiểm tra điểm có thuộc hình hay không? Chức trên sử dụng để kiểm tra Hình 3.23 đối tượng này có thuộc đối tượng khác không? Thao tác: Chọn công cụ Member lựa chọn đối tượng cần kiểm tra và đối tượng có khả chứa đối tượng cần kiểm tra • Ví dụ 3.5: Dựng ngoài ba cạnh tam giác ABC các tam giác ABC', BCA' và ACB' Gọi I là giao điểm CC' với BB' Sử dụng công cụ Member bấm chọn điểm I, đoạn thẳng AA' Cabri Geometry thông báo cho biết điểm I thuộc đoạn thẳng AA' (hình 3.23) 3.2.9 Nhóm chức chọn công cụ đo đạc tính toán Khi bấm chuột vào nhóm chức này, xuất bảng các công cụ: 43 – Distance and Length: Đo khoảng cách, độ dài, chu vi Chức này cho phép ta đo khoảng cách hai điểm, độ dài đoạn thẳng, cung, chu vi đa giác, đường tròn Thao tác: Chọn công cụ Distance and Length sau đó bấm chuột xác định đối tượng cần đo đạc, ta nhận kết • Ví dụ 3.6: Vẽ tam giác vuông ABC, vuông A Dựng trung tuyến AM Chọn công cụ Distance and Length đưa chuột bấm vào đường trung tuyến AM và sau đó bấm chọn hai điểm B, C Kết Cabri Geometry cho ta số đo đoạn thẳng AM và BC (hình 1.24) Kết cho thấy tam giác vuông ABC thay đổi thì độ dài cạnh huyền BC luôn gấp đôi độ dài trung tuyến AM – Area: Tính diện tích hình tròn, tam giác, đa giác Chọn công cụ Area sau đó đưa chuột bấm xác định đối tượng cần đo diện tích, ta nhận kết Hình 3.24 – Slope: Xác định hệ số góc y/x Để xác định hệ số góc (tanα) đường thẳng, đoạn thẳng, tia hay vectơ, ta chọn công cụ – Slope sau đó đưa chuột bấm xác định đối tượng Angle: Đo góc Thao tác: Sau chọn công cụ Angle ta dùng chuột bấm xác định điểm theo thứ tự thuộc cạnh thứ nhất, đỉnh và cạnh còn lại góc, ta nhận số đo góc đã chọn (hình 3.24) – Equation and Coordinates: Cho toạ độ điểm, phương trình đường màn hình Thao tác: Chọn công cụ Equation and Coordinates sau đó đưa chuột bấm vào đối tượng hình học (điểm, đường thẳng, đường tròn, đồ thị ) Cabri Geometry 44 màn hình toạ độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn mà ta đã chọn – Calculate: Tính toán với số liệu động Hình 3.25 Để tính kết biểu thức ta chọn công cụ Calculate, đó màn hình có máy tính các phép toán số học (hình 3.25) Để tính toán với số liệu đo đạc, tính toán đã có trên màn hình, ta việc đưa chuột bấm vào giá trị đó Cabri Geometry tự động chuyển giá trị đó vào biểu thức Chọn chức “=”, ta kết và có thể đưa giá trị biểu thức này “Result” màn hình Mặt khác, ta có thể tính toán máy tính bỏ túi – Tabulate: Đặt các số liệu tính toán vào bảng Chọn công cụ Tabulate sau đó đưa chuột màn hình vạch khung bảng, số cột và số dòng tuỳ theo ta lựa chọn Để chuyển liệu vào bảng, ta phải chuyển dòng cách chuột vào liệu cần đưa vào bảng 3.2.10 Nhóm chức chọn công cụ số đặt tên cho đối tượng và xác định yếu tố động Khi bấm chuột chọn nhóm chức này, xuất bảng gồm công cụ: – Label: Tạo, sửa tên cho đối tượng hình học Để đặt tên cho đối tượng hình học, ta chọn công cụ Label sau đó đưa chuột bấm vào đối tượng cần đặt tên Xuất khung hình chữ nhật để ta nhập tên cho đối tượng hình học đó – Comments: Tạo, sửa lời chú thích 45 Công cụ Comments sử dụng ta cần đưa thông tin dạng văn vào trang làm việc Thao tác sau: Chọn công cụ Comments sau đó đưa chuột kéo rê tạo thành khung chữ nhật để ta nhập nội dung văn – Numerical Edit : Tạo, sửa các số thực Sau chọn công cụ Numerical Edit ta đưa chuột bấm xác định vị trí đặt số trên màn Hình 3.26 hình Xuất khung chữ nhật để ta nhập giá trị số đó Ta dễ dàng thay đổi giá trị tăng giảm cách bấm chuột vào biểu tượng hình mũi tên hộp thoại lưu trữ số (hình 3.26) – Mark Angle: Đánh dấu góc đã chọn Thao tác: Chọn công cụ Mark Angle sau đó đưa chuột bấm xác định điểm tương ứng thuộc cạnh thứ nhất, đỉnh và cạnh còn lại góc cần đánh dấu – Fix/ Free: Xác định cố định hay chuyển động Một đối tượng bị gán thuộc tính cố định–Fix (khi đó ta thấy hình ảnh đinh gim) thì ta không thể thay đổi vị trí nó Ta có thể thay đổi vị trí đối tượng chúng trạng thái tự do–Free Để xác định hay gỡ bỏ thuộc tính cố định (tự do) cho đối tượng nào ta chọn công cụ Fix/Free bấm chuột vào đối tượng đó – Trace On/Off: Để lại vết cho đối tượng hình học di chuyển Một đối tượng gán thuộc tính Trace On thì chúng để lại vết chúng trên màn hình thay đổi vị trí Trái lại đối tượng gán thuộc tính Trace Off thì thay đổi vị trí chúng không để lại vết Để xác lập (hay gỡ bỏ) thuộc tính Trace cho đối tượng nào thì ta chọn công cụ Trace On/Off bấm chuột vào đối tượng đó – Animation: Tạo chuyển động Một đối tượng hình học có thể chuyển động theo ràng buộc xác định (ví dụ lấy điểm thuộc đường Hình 3.27 46 tròn (đường thẳng ) thì ta có thể cho điểm đó chuyển động luôn thuộc đường tròn (đường thẳng )) Muốn tạo chuyển động cho đối tượng hình học nào ta chọn công cụ Animation bấm chuột vào đối tượng đó Cũng có thể bấm chuột vào đối tượng, giữ phím, kéo nhẹ (xuất hình lò xo) thả chuột (hình 3.27) Muốn dừng chuyển động đối tượng ta bấm chuột vào vị trí bất kì trang làm việc Đây là chức hỗ trợ dạy học nội dung quỹ tích trực quan – Multiple Animation: Thực chuyển động phức tạp, hỗn hợp Multiple Animation lựa chọn Tương tự trên, ta chọn chức đối tượng và phương thức chuyển động Để thực chuyển động, ta ấn phím Enter 3.2.11 Nhóm chức chọn công cụ định dạng các đối tượng Khi bấm chuột chọn nhóm chức này này, xuất bảng công cụ: – Hide/ Show: Cho ẩn, các đối tượng – Color: Tô màu nét vẽ – Fill: Chọn mầu bên hình vẽ – Thick: Thay đổi kiểu nét vẽ dầy– mỏng – Dotted: Chọn kiểu nét liền hay nét đứt – Modify Appearance: Sửa kí hiệu trên hình – Show Axes: Ẩn hay trục toạ độ – New Axes: Đặt toạ độ – Define Grid: Định nghĩa lưới • Cách sử dụng các công cụ định dạng: Khi ta chọn công cụ trên, tuỳ theo công cụ lựa chọn xuất bảng các lựa chọn tương ứng Ta bấm chuột vào Hình 3.28 lựa chọn đó (ví dụ kiểu đường kẻ, màu sắc ) sau đó đưa bút chì bấm vào đối tượng ta cần 47 định dạng theo (hình 3.28) Công cụ “ẩn/hiện” Hide/ Show cho phép che (không màn hình) đối tượng đánh dấu để làm cho hình vẽ đơn giản, đỡ rắc rối 3.3 Việt hoá giao diện Cabri Geometry Các lệnh Cabri Geometry phiên gốc thường là tiếng Anh số câu lệnh Cabri Geometry không nhiều nên việc ghi nhớ chúng không quá khó Đi kèm với lệnh là biểu tượng, giáo viên và học sinh cần nhìn vào biểu tượng biết chức tương ứng câu lệnh Đối với học sinh các trường Trung học sở vùng, miền còn hạn chế ngoại ngữ, chúng ta có thể Việt hoá hệ thống các câu lệnh Cabri Geometry (một số chuyên gia Ngô Ánh Tuyết, Vũ Đình Hoà, Nguyễn Vũ Quốc Hưng… đã Việt hoá Cabri Geometry) Ta mở tệp US–English.cgl (Cabri Geometry Language) và thay đổi nội dung các nhãn từ tiếng Anh sang tiếng Việt (hình 3.29) Như vậy, để sử dụng, khai thác các tính Cabri Geometry không đòi hỏi nhiều giáo viên, học sinh kiến thức tin học và thời gian chuẩn bị, ta có thể triển khai việc sử dụng Cabri Geometry hỗ trợ dạy học hình học trên diện rộng Hình 3.29 3.4 Sử dụng phần mềm Cabri Geometry hỗ trợ dạy học 3.4.1 Vẽ đồ thi hàm số y=f(x) Trong dạy học hàm số thì nội dung quan trọng là vẽ đồ thị hàm số Tuy nhiên để HS thật hình dung thấy đồ thị hàm số y=f(x) là tập hợp tất các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng toạ độ thì là công việc không đễ dàng vì đó HS phải hoàn thành khối lượng tính toán lớn Để khắc 48 phục khó khăn này, theo chúng tôi có thể sử dụng các phần mềm động Cabri Geometry, Geometr's Sketchpad… theo các bước sau: - Xác định hệ trục toạ độ Oxy - Lấy điểm X(x;0) thuộc miền xác định hàm số - Tính giá trị y =f(x) - Dựng điểm M (x; f(x)) - Cho điểm X(x;0) thay đổi miền xác định hàm số và quan sát, nghiên cứu quy luật biến đổi điểm M(x; f(x)) - Để dựng tiếp tuyến điểm cố định MO thuộc đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm M thuộc đồ thị hàm số và tiếp tuyến chính là vị trí giới hạn cát tuyến MOM điểm M di chuyển dần tới điểm MO • Ví dụ 3.7: Vẽ đồ thị hàm số y= ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d bất kỳ) Show Axes: hệ trục toạ độ Oxy - Chọn chức - Chọn công cụ Numerical Edit: nhập các giá trị a, b, c, d - Chọn chức Point on Object: lấy điểm X (x; 0) trên Ox - Chọn chức Equation and Coordinates: vào điểm X để toạ độ điểm X màn hình - Chọn cộng cụ Calculate: nhập biểu thức tính giá trị ax3+bx2+cx+d, đó x là hoành độ điểm X - Chọn chức Measurement Transfer: bấm chọn giá trị vừa tính sau đó vào trục tung Oy Ta xác định điểm Y thuộc Oy - Chọn công cụ Perpendicular Line: dựng các đường vuông góc với trục Ox điểm X, vuông góc với Oy điểm Y - Chọn chức Intersection Points: xác giao điểm M hai đường thẳng vuông góc vừa dựng M là điểm có toạ độ (x, f(x)) - Chọn chức Trace On/Off : gán thuộc tính để lại vết cho điểm M - Cho điểm X thay đổi đó vết để lại tập hợp các điểm M cho ta hình ảnh đồ thị Hình 3.30 49 hàm số y=f(x) (hình 3.30) • Ví dụ 3.8: Minh hoạ hình ảnh tiếp tuyến đồ thị điểm Mo(x,f(x)) Chẳng hạn với hàm số y= ax3+bx2+cx+d (ví dụ 3.7) - Chọn chức Locus: vào điểm M và điểm X để Cabri Geometry đưa đồ thị hàm số - Chọn chức Point on Object: lấy Mo, M thuộc đồ thị - Chọn chức Line: dựng đường thẳng qua hai điểm Mo, M -Cho điểm M tiến gần tới điểm Mo để HS quan sát cách trực quan gần đúng tiếp tuyến với đồ thị điểm MO -Cho điểm MO di chuyển đến các vị trí đặc biệt để HS nhận xét vị trí tiếp tuyến đồ thị hàm số các điểm này (hình 3.31) • Ví dụ 3.9: Dự đoán số nghiệm thực phương trình y = m Chẳng hạn với hàm số y= ax3+bx2+cx+d (ví dụ 3.7) Lấy điểm P(0; m) trên trục Oy và dựng đường thẳng d qua điểm P song song với trục hoành Ox Hình 3.31 Cho điểm P di chuyển trên Oy Qua quan sát số giao điểm d với đồ thị hàm số HS phát mối quan hệ m với số nghiệm phương trình y=m (hình 3.31) 3.4.2 Minh hoạ điểm cố định họ đường Bài toán: Trong mặt phẳng Oxy cho (Cm) là đồ thị hàm số y=f(x,m) Hãy tìm điểm cố định họ đường (Cm) Cơ sở lý thuyết: Với giá trị tham số m cho trước, ta có đồ thị (Cm) tương ứng Với giá trị khác m, ta có đồ thị (Cm) Ta có thể xem tập hợp các đường (Cm) khác là vị trí đồ thị (Cm) m thay đổi nghĩa là (Cm) di động mp Oxy m thay đổi Có khả - Hoặc là điểm (Cm) di động - Hoặc có vài điểm (Cm) đứng yên m thay đổi 50 Những điểm đứng yên m thay đổi gọi là điểm cố định họ đường (Cm) Đó là điểm mà đường (Cm) qua, nghĩa là điểm mà (Cm) luôn luôn qua với giá trị m Phương pháp giải: Giả sử A(xo, yo) là điểm cố định (Cm): y=(f(x, m) <=> yo = f(xo, m) với ∀ m (1) Điều này có nghĩa là (1) là phương trình vô định theo tham số m Mặt khác phương trình bậc αm + β = (hoặc bậc 2: αm2 + βm + γ = ) m vô định và αm + β = với ∀ m (hoặc αm2 + βm + γ = với ∀ m) ⎧α = <=> ⎨ ⎩β = (*) ⎧α = ⎪⎨ β = (*) ⎪γ = ⎩ Giải hệ (*), tìm điểm cố định (Cm) Phương pháp khai thác phần mềm Phương án 1: Dự đoán điểm cố định Với hàm số y=f(x,m) bất kỳ, ta có thể đặt câu hỏi: Liệu họ đường (Cm) có điểm cố định không? Để dự đoán, GV có thể tổ chức cho HS sử dụng PMHH Geometry Cabri theo hướng sau: Bước 1: Xác định biểu thức hàm số y=f(x,m) với ba giá trị khác m Bước 2: Gọi Geometry Cabri làm việc và nhập các biểu thức trên Bước 3: Lần lượt vẽ đồ thị tương ứng với các trường hợp trên Từ hình ảnh trực quan, HS có thể đưa dự đoán mình: Nếu đồ thị qua điểm thì có thể đây là điểm cố định họ đường (Cm), trái lại họ đường (Cm) không có điểm cố định • Ví dụ 3.10: Xét xem đồ thị sau đây có điểm cố định hay không? y= mx + 2(m + 1)x + 3m2 − m x +1 Ta tổ chức cho HS tham gia các hoạt động sau: Hoạt động 1: Sử dụng Geometry Cabri HS vẽ đồ thị tương ứng với các giá trị khác m y1 = 2x tương ứng với m = x +1 51 y2 = x + 4x + 10 tương ứng với m = x +1 y3 = −x2 + tương ứng với m = -1 x +1 - Chọn chức Show Axes: hệ trục toạ độ Oxy - Chọn chức Expression (nhập biểu thức), sau đó bấm vào màn hình làm việc, xuất hộp chữ nhật ta nhập biểu thức hàm số - Chọn chức Apply an Expression (xác lập đồ thị hàm số) bấm chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạn độ, ta hình ảnh đồ thị hàm số Hoạt động 2: Dự đoán kết - Từ hình ảnh trực quan, HS nhận thấy đồ thị đã cho không có điểm cố định (hình 3.32) Hoạt động 3: Làm sáng tỏ vấn đề - Điều nhận xét trực quan là chính xác vì giả sử đồ thị có điểm cố định (xo, yo) với xo ≠ -1 thì dẫn tới phương trình: 3m2 +(xo2+ 2xo-1)m +2xo-yo(xo+1)=0 với ∀ m Điều này không thể xảy vì hệ số sốhạng có bậc cao (theo tham số m) (3m2) là số khác không • Ví dụ 3.11: Cho (Cm) là đồ thị hàm số: Hình 3.32 y=x3 - mx2 -(2m2-7m+7)x+2(m-1)(2m-3) Tìm điểm cố định (Cm) Ta tổ chức cho HS tham gia các hoạt động sau: Hoạt động 1: Sử dụng Geometry Cabri HS vẽ đồ thị tương ứng với các giá trị khác m y1= x3 - 7x+6 tương ứng với giá trị m = 0; y2 = x3 - x2 -2x tương ứng với giá trị m = 1; y3 = x3 + x2 -16x+20 tương ứng với giá trị m = -1; 52 - Chọn chức Show Axes: hệ trục toạ độ Oxy - Chọn chức Expression (nhập biểu thức), sau đó bấm vào màn hình làm việc, xuất hộp chữ nhật ta nhập biểu thức hàm số - Chọn chức Apply an Expression (xác lập đồ thị hàm số) bấm chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạn độ, ta hình ảnh đồ thị hàm số (hình 3.33) Hoạt động 2: Xác định điểm cố định Từ hình ảnh trực quan cho thấy, (Cm) có thể có điểm cố định! Ta làm sáng tỏ vấn đề này: Hình 3.33 Hàm số đã cho có thể viết dạng: 2(-x+2)m2-(x2-7x+10)m+x3-7x+6-y=0 Nếu đồ thị hàm số có điểm cố định thì toạ độ (x, y) điểm cố định là nghiệm hệ: −x + = ⎧ ⎪ ⎨ x − 7x + 10 = ⎪ x − 7x + − y = ⎩ x=2 ⎧ ⎧x = ⎪ <=> ⎨ x = ∨ x = <=> ⎨ ⎩y = ⎪ y = x − 7x + ⎩ Hoạt động 3: Minh hoạ kết quả: - Chọn chức Intersection Points bấm vào hai số đồ thị vừa dựng để xác định giao điểm chúng - Chọn chức Equation and Coordinates bấm vào giao điểm vừa xác định Kết Geometry Cabri cho biết toạ độ giao điểm là (2; 0), hoàn toàn trùng với kết trên • Ví dụ 3.12: Tìm điểm cố định đồ thị y=x3-2m2x2+3mx+2m2-3m+1 Không ít HS đã tìm điểm cố định: (1; 2), (-1; 0) cách đưa lời giải sau: - Hàm số đã cho có thể viết dạng 2(1-x2)m2 - 3(1-x)m+x3+1-y=0 - Nếu đồ thị hàm số đã cho có điểm cố định thì toạ độ (x; y) điểm cố định phải là nghiệm hệ: 53 ⎧ − x2 = ⎧ x = ±1 ⎪ <=> ⎪⎨ x = ⎨ 1− x = ⎪y = x3 + ⎪x3 + − y = ⎩ ⎩ - Phương trình thứ hệ có nghiệm là x1 = 1, x2 =-1 thay vào ta toạ độ điểm cố định là (1; 2) và (-1; 0) Trước sai lầm lời giải là chỗ: phương trình thứ hệ có nghiệm x=1 đó nghiệm chung hai phương trình đầu là x=1 nên thay x=1 vào phương trình thứ hệ ta có y=2, GV tổ chức cho HS sử dụng Geometry Cabri sau: HS vẽ đồ thị tương ứng với các giá trị khác m y1= x3 +1 tương ứng với giá trị m = 0; y2 = x3 - 2x2 -3x tương ứng với giá trị m = 1; - Chọn chức Show Axes: hệ trục toạ độ Oxy - Chọn chức Expression (nhập biểu thức), sau đó bấm vào màn hình làm việc, xuất hộp chữ nhật ta nhập biểu thức hàm số Hình 3.34 - Chọn chức Apply an Expression (xác lập đồ thị hàm số) bấm chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạn độ, ta hình ảnh đồ thị hàm số (hình 3.34) Từng hình ảnh trực quan, HS "cảm thấy" kết có điểm cố định "hình như" là chính xác, nhiên có thể tính toán "nhầm" GV tiếp tục cho HS dụng thêm đồ thị hàm số thứ 3: y3 = x3 -2x2 - 3x+6 tương ứng với giá trị m= -1 Hình ảnh thu (hình 3.35) cho thấy: đồ thi đã cho có điểm cố định là: (1; 2) • Ví dụ 3.13: Xét bài tập: "Chứng tỏ đồ thị hàm số Hình 3.35 y= (m + 1) x + m + luôn luôn qua hai điểm cố x+m+2 54 định bất chấp m (ngoại trừ vài giá trị m mà ta tìm ra)" Sau HS đã giải xong bài toán, hai điểm cố định với giá trị m ngoại trừ giá trị m = -2, m=2, ta có thể sử dụng phần mềm Cabri Geometry để minh hoạ kết sau • Bước 1: Dựng đồ thị hàm số với giá trị m tuỳ ý - Chọn chức Point on Object: X (x; 0), M(m; 0) trên trục Ox - Chọn chức Equation and Coordinates: cho toạ độ hai điểm X, M màn hình - Chọn cộng cụ Calculate: tính giá trị hàm số đó x là hoành độ điểm X, m là hoành độ điểm M - Chọn chức Measurement Transfer: bấm chọn giá trị vừa tính sau đó vào trục tung Oy Ta xác định điểm Y thuộc Oy - Chọn công cụ Perpendicular Line: dựng các đường vuông góc với trục Ox điểm X, vuông góc với Oy Hình 3.36 điểm Y - Chọn chức Intersection Points: xác giao điểm N hai đường thẳng vuông góc vừa dựng N là điểm có toạ độ (x, f(x)) - Chọn chức Locus: vào điểm N và điểm X để Cabri Geometry đưa đồ thị hàm số • Bước 2: Minh hoạ hình ảnh điểm cố định - Chọn chức Trace On/Off : gán thuộc tính để lại vết cho đường cong - Cho điểm M thay đổi đó vết để lại họ đường cong tương ứng với các giá trị m cho ta hình ảnh đồ thị hàm số y=f(x) (hình 3.36) Hình ảnh cho thấy rõ ràng đồ thị hàm số đã cho luôn qua hai điểm cố định (0; 1) và (-4; -3) • Ví dụ 3.14: Chứng minh ∀m, parabol (Pm): y=x2 +(2m+1)x+m2-1 luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định 55 Đường thẳng cần tìm có phương trình y=x+1 GV có thể khai thác Geometry Cabri để minh hoạ kết bài tập trên sau: - Chọn chức Show Axes: hệ trục toạ độ Oxy - Chọn chức Point on Object: X (x; 0), M(m; 0) trên trục Ox - Chọn chức Equation and Coordinates: cho toạ độ hai điểm X, M màn hình - Chọn cộng cụ Calculate: tính giá trị hàm số đó x là hoành độ điểm X, m là hoành độ điểm M Measurement Transfer: bấm chọn giá trị vừa tính sau - Chọn chức đó vào trục tung Oy Ta xác định điểm Y thuộc Oy - Chọn công cụ Perpendicular Line: dựng các đường vuông góc với trục Ox điểm X, vuông góc với Oy điểm Y - Chọn chức Intersection Points: xác giao điểm N hai đường thẳng vuông góc vừa dựng N là điểm có toạ độ (x, f(x)) - Chọn chức Locus: vào điểm N và điểm X để Cabri Geometry đưa đồ thị hàm số - Trace On/Off bấm vào đồ thi để xác định thuộc tính để lại vết cho đồ thị - Trở chế độ trỏ ( Pointer) sau đó bấm, giữ di chuyển điểm m trên trục hoành Kết trực quan cho ta thấy rõ (Pm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y=x1 (hình 3.37) Ví dụ 3.15: Đường thẳng (D) qua gốc toạ độ O cắt parabol (P): y=x2 - 4x+3 điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích Hình 3.37 trung điểm I đoạn AB GV có thể minh hoạ kết cho HS sau: - Chọn chức Show Axes: hệ trục toạ độ Oxy 56 - Chọn chức Expression (nhập biểu thức), xuất hộp chữ nhật ta nhập biểu thức hàm số x2 - 4x+3 - Chọn chức Apply an Expression (xác lập đồ thị hàm số) bấm chọ biểu thức hàm số, sau đó bấm vào trục toạ độ, ta hình ảnh đồ thị hàm số - Chọn chức - Chọn chức Line dựng đường thẳng qua gốc toạ độ Intersection Points: Xác định giao (P) và (D) đặt tên cho giao điểm là A, B - Chọn công cụ Midpoint: Xác định trung điểm I A, B - Chọn công cụ Trace On/Off: Để lại vết cho điểm I - Cho đường thẳng (D) thay đổi vị trí, ta thu hình ảnh trực Hình 3.38 quan quỹ tích điểm I (hình 3.38) 3.4.3 Minh hoạ phương pháp tìm cực trị biểu thức P(x; y) = ax + by trên miền đa giác lồi Tương tự phần mềm Sketchpad, phần mềm Cabri Geometry sử dụng rộng rãi dạy học hình học phẳng Với Cabri Geometry ta dễ dàng tạo các đối tượng hình học và nghiên cứu chúng các trạng thái động Với Cabri Geometry, ta có công cụ tốt để hỗ trợ dạy học số nội dung chương trình đại số 10, ví dụ: Hàm số, hàm số y = ax+b, hàm số bậc hai, giải nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Ví dụ 3.16: Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít 140 kg chất A và kg chất B Từ nguyên liệu loại I giá triệu đồng, có thể chiết xuất 20 kg chất A và 0,6 kg chất B Từ nguyên liệu loại II giá triệu đồng, có thể chiết xuất 10 kg chất A và 1,5 kg chất B Hỏi phải dùng bao nhiều nguyên liệu loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, biết sở cung cấp nguyên liệu có thể cung cấp không quá 10 nguyên liệu loại I và không quá nguyên liệu loại II” 57 Trước tiên GV phân tích đưa bài toán đã cho trở thành: Tìm các số x và y thoả mãn hệ bất phương trình: ⎧ ≤ x ≤ 10 ⎪ 0≤ y≤9 (*) ⎪ ⎨ ⎪ x + y ≥ 14 ⎪ ⎩ x + y ≥ 30 cho T(x; y) = 4x + 3y có giá trị nhỏ Tiếp theo ta sử dụng Cabri Geometry sau: • Hoạt động Sử dụng Cabri Geometry để xác định miền Hình 3.40 - Chọn chức nghiệm Expression để nhập biểu thức xác định các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình hệ (*) - Chọn chức Evaluate an Expression nhấp chuột vào biểu thức vừa nhập và sau đó nhấp chuột vào hệ trục toạ độ, ta nhận các đường thẳng - Chọn chức Intersection Points để xác định giao các đường thẳng, ta đặt tên cho các giao điểm là A, B, C, D Tuỳ vào dấu các bất phương trình bậc hai ẩn, HS xác định miền nghiệm bất phương trình hệ Kết miền nghiệm hệ bất phương trình là tứ giác ABCD Chọn chức Polygon để xác định đa giác ABCD Đa giác ABCD (kể biên) chính là miền nghiệm hệ điều kiện ràng buộc (I) (hình3 40 ) • Hoạt động 2: Sử dụng Cabri Geometry để vẽ đường thẳng T(x,y) - Chọn Hình 3.41 58 chức Numerical Edit nhập số thực c - Vẽ đường thẳng T(x; y) có phương trình 4x+3y = c • Hoạt động 3: Cho đường thẳng T(x; y) để HS dự đoán giá trị nhỏ T(x; y) - Cho giá trị c thay đổi, đường T(x; y) thay đổi theo Trực quan cho thấy giá trị c tăng, đường thẳng T(x; y) di chuyển song song từ phía góc phần tư thứ ba lên trên góc phần tư thứ Vấn đề đặt là số đường thẳng T(x; y) giao với đa giác ABCD, cần xác định đường thẳng cho đó giá trị T(x; y) là nhỏ Căn vào chiều di chuyển đường thẳng T(x;y) và giá trị tương ứng T(x; y) HS dự đoán nghiệm bài toán: giá trị T(x; y) đạt giá trị nhỏ đường thẳng đồng mức qua điểm A và giá trị nhỏ cần tìm là T(x; y)=32 - Chọn chức Equation and Coordinates cho toạ độ các giao điểm, kết điểm A có toạ độ (5; 4) Thế toạ độ điểm A vào biểu thức T(x; y), HS thu kết T(x; y) = 32 (hình 3.41 ) Như vậy, nhờ tính động và trực quan Cabri Geometry, ta có điều kiện tổ chức các hoạt động cho HS tiếp cận với vấn đề khó chương trình đại số 10 cách sinh động Hơn sử dụng Cabri Geometry còn cho phép HS đến nhận xét thú vị là: Qua các ví dụ trình bày sách giáo khoa và sách bài tập thì T(x; y) đạt giá trị nhỏ (hay lớn nhất) đỉnh nào đó đa giác tương ứng với miền nghiệm hệ bất phương trình là điều kiện ràng buộc ban đầu bài toán 3.4.4 Sử dụng Cabri Geometry đểminh hoạ kết giải bài tập Ví dụ 3.17 Cho hàm số y=x2 + x -2 có đồ thị là parabol (P), hàm số y = 3x+k có đồ thị là đường thẳng (d) a) Hãy biện luận số nghiệm phương trình x2 + x – = 3x + k, từ đó suy số điểm chung parabol (P) và đường thẳng (d) b) Với giá trị nào k thì đường thẳng (d) cắt parabol (p) hai điểm nằm hai phía khác trục hoành? c) Với giá trị nào k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt cùng phía trục hoành Khi đó hai điểm phía nào trục hoành? Sau HS hoàn thành việc giải bài tập trên, ta có thể sử dụng Cabri Geometry để minh hoạ kết giải bài tập sau: 59 • Bước 1: - Vẽ đồ thị hàm số y= x2 + x – (P) - Lấy số thực ko và vẽ đồ thị hàm số y = 3x+ko • Bước 2: Cho giá trị ko thay đổi, HS quan sát cách trực quan kết lời giải mình qua các trường hợp cụ thể trên màn hình Ta có thể cho toạ độ các giao điểm (P) Hình 3.42 và (d) (nếu có) lên màn hình để HS đối chiếu kết Cabri Geometry đưa với kết tìm nghiệm mình vài trường hợp cụ thể (hình 3.42) Ví dụ 3.18 Sử dụng PMHH dạy bài phương trình elip Trong dạy bài phương trình elip, ta có thể sử dụng phần mềm Cabri Geometry các tình sau: ‰ Hình thành hình ảnh elip - Lấy hai điểm F1, F2 cố định và đoạn thẳng AB không đổi có độ dài Hình 3.43 2a lớn F1F2 Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB - Lần lượt dựng đường tròn tâm F1 có bán kính độ dài đoạn thẳng AC và đường tròn tâm F2 có bán kính độ dài đoạn thẳng CB Gọi giao hai đường tròn vừa dựng (nếu có) là M Rõ ràng ta thấy MF1+MF2 =AC + CB = 2a Cho thay đổi độ dài MF1, MF2 cách thay đổi vị trí điểm C trên đoạn AB, HS nhận hình ảnh trực quan tập hợp các điểm M, đây chính là hình dạng elip (hình 3.43) Mặt khác sách giáo khoa (SGK) lại đưa độ dài sợi dây lại phải lớp 2F1F2 thì nhiều HS chưa biết lý Khi sử dụng phần mềm Cabri ta việc sử dụng chuột cho thay đổi độ dài đoạn thẳng AB để HS quan sát hình ảnh quỹ tích điểm M để tự mình giải vấn đề này 60 3.5 Phương pháp khai thác phần mềm Cabri Geometry hỗ trợ dạy học toán 3.5.1 Phương án giáo viên sử dụng Cabri Geometry Ở công đoạn chuẩn bị, GV cần lựa chọn số thông tin từ bài soạn như: hình vẽ, khái niệm, tính chất, câu hỏi, để thiết kế thành các môdul trang làm việc Cabri Geometry theo kịch dự tính trước Trong lên lớp, bên cạnh việc cung cấp cho học sinh (HS) hình vẽ sinh động, trực quan GV khai thác Cabri Geometry để tạo các tình có dụng ý sư phạm Việc sử dụng Cabri Geometry thường diễn theo các bước sau: Bước 1: Tiếp cận vấn đề: GV đưa hình vẽ Cabri Geometry dạng tĩnh để HS xác định rõ yếu tố ban đầu Bước 2: Khám phá tri thức: Trước hết GV cho thay đổi vài yếu tố hình vẽ, HS quan sát thay đổi các đối tượng và mối quan hệ chúng để đưa các nhận xét, dự đoán Tiếp theo GV sử dụng các chức kiểm tra Cabri Geometry để kiểm thử các dự đoán mà HS đưa Từ kết xử lý Cabri Geometry mà HS loại bỏ tìm cách chứng minh Bước 3: Minh hoạ kết GV sử dụng Cabri Geometry minh hoạ các kết cách sinh động và có thể đưa ướng phát triển, mở rộng bài toán Ví dụ 3.19: Tìm hiểu ảnh đường tròn qua phép tịnh tiến Hoạt động giáo viên → -Vẽ véc tơ u và đường tròn (O, R) Hoạt động học sinh Quan sát và rút các nhận xét: -Lấy điểm M ∈ (O, R) -Xác định M’, O' là ảnh M, O - MM ' = u ; OO' = u ; MM’ = OO’; OM=O’M’ qua phép tịnh tiến theo véc tơ u Kết luận: -Đặt thuộc tính để lại vết cho điểm -Ảnh (O,R) qua phép tịnh tiến là (O’, M’ và cho thay đổi vị trí điểm M R) (hình 3.44) -Vậy phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính 61 Hoàn toàn tương tự ta có thể minh hoạ các tính chất các phép biến hình khác cách sinh động Cabri Geometry Ví dụ 3.20: “Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và điểm A thay đổi Hình 3.44 trên đường tròn đó Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm trên đường tròn cố định” • Bước 1: Tiếp cận vấn đề Hoạt động giáo viên - Vẽ hình Hoạt động học sinh -Xác định yếu tố cố định: Đường tròn (O, R), Hai điểm B, C -Xác định yếu tố thay đổi: Hai điểm A, H • Bước 2: Khám phá tri thức Hoạt động giáo viên -Cho điểm C thay đổi vị trí Hoạt động học sinh Phát trường hợp tam giác ABC ? Hãy phát các vị trí đặc biệt vuông A thì BC là đường kính nên trực BC tâm H tam giác ABC chính là A Vậy H nằm trên đường tròn (O, R) cố định -Cho điểm A thay đổi vị trí Phát tam giác ABC vuông C Khi ? Hãy phát các vị trí đặc biệt đó vị trí điểm A chính là điểm B’ (HS tam giác ABC có thể trường hợp tam giác ABC vuông B) -Dựng điểm B’, nối B’ với các điểm A, C Phát hiện: ? Hãy quan sát và các yếu tố -BB’ là đường kính (O, R) đặc biệt hình vẽ -AH = B’C, AHCB’ là hình bình hành -Cho điểm A thay đổi vị trí ? Hãy quan sát và cho biết mối Nhận định: quan hệ AH , B' C -Khi A thay đổi luôn có AH = B' C ? Hãy phép tịnh tiến biến -Vì B' C cố định và A thay đổi luôn có điểm A thành điểm H AH = B ' C nên phép tịnh tiến theo véc tơ 62 B ' C biến điểm A thành điểm H Kết luận: trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định là ảnh đường tròn (O, R) qua phép tịnh tiến theo véc tơ B' C Hình 3.45 Bước 3: Minh hoạ kết Hoạt động giáo viên -Để lại vết cho H Hoạt động học sinh Quan sát quỹ tích điểm H (hình 3.45) -Cho điểm A chuyển động Hoàn toàn tương tự, GV có thể sử dụng Cabri Geometry giúp HS sử dụng phép đối xứng trục hay phép đối xứng tâm để giải bài tập này 5.2 Phương án học sinh sử dụng Cabri Geometry Phần mềm Cabri Geometry cho phép tạo dựng môi trường làm việc có tính thân thiện cao HS tương tác với Cabri Geometry để khám phá, dự đoán lại “hỏi lại” Cabri Geometry để kiểm tra, củng cố hay bác bỏ dự đoán mình theo quy trình sau: Vẽ hình Quan sát, đo đạc, cho thay đổi hình vẽ Dự đoán Đ S Kiểm tra dự đoán Tìm cách chứng minh Ví dụ 3.21: Nghiên cứu tính chất phép vị tự 63 Bước 1: Tiếp cận vấn đề -Sử dụng chức Point để xác định điểm O và các điểm M, N, P -Sử dụng chức Numerical Edit để xác định tỷ số k -Sử dụng chức Dilation để xác định ảnh các điểm M, N, P qua phép vị tự Hình 3.46 tâm O tỷ số k Bước 2: Khám phá tính chất phép vị tự (hình 3.46) Tương tác với hình vẽ Kết - So sánh M ' N ' và MN ? - M ' N ' = k MN - So sánh độ dài M’N’ với MN? - M’N’ =|k|MN - Cho tỷ số k > - M và M’ cùng phía với điểm O - Cho tỷ số k < - M và M’ hai phía so với điểm O - Cho tỷ số k = - M và M’ trùng - Cho tỷ số k = -1 - M và M’ đối xứng qua điểm O Hoàn toàn tương tự , qua quá trình tương tác với Cabri Geometry HS khám phá các tính chất khác phép vị tự biến góc thành góc nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỷ số đồng dạng là |k| Ví dụ 3.22: “Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường kính thay đổi (O) khác đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA và PB M, N”[1] a) Chứng minh Q là trung điểm CM, N là trung điểm CQ Cho PQ thay đổi vị trí, sau vài trường hợp, HS nhận thấy “hình như” BQ//PM! Sử dụng Cabri Geometry để kiểm tra, kết HS nhận thông báo:”khi PQ thay đổi thì Hình 3.47 BQ luôn luôn song song với BM” (hình 3.47) Vì B là trung 64 điểm AC nên BQ là đường trung bình tam giác CAM hay Q là trung điểm CM Đến đây HS chứng minh BQ là đường trung bình tam giác CAM Hoàn toàn tương tự, HS tìm cách chứng minh BN là đường trung bình tam giác CAQ nên N là trung điểm CQ b) Tìm quỹ tích các điểm M, N đường kính PQ thay đổi Xuất phát từ việc chứng minh Q là trung điểm CM nên đường kính PQ thay đổi, ta luôn có: CM = 2CQ Như phép vị tự V tâm C, tỷ số k=2 biến điểm Q thành điểm M Suy đường kính PQ thay đổi, Q chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích M là ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O’) mà CO ' = 2CO Sử dụng Cabri Geometry cho PQ thay đổi và quan sát vết điểm M, ta nhận hình ảnh quỹ tích M Việc tìm quỹ tích điểm N hoàn toàn tương tự Ví dụ 3.23: “Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên đường tròn (O, R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC” Sau HS phát phép vị tự tâm I, tỷ số k= biến điểm A thành điểm G Vì A chạy trên đường tròn (O, R) nên quỹ tích G là ảnh đường tròn (O, R) qua phép vị tự nói trên GV đặt vấn đề: Trong trường hợp đường tròn (O, R) có điểm chung với đường thẳng BC thì quỹ tích điểm G nào? Hình 3.48 Nếu sử dụng phương pháp truyền thống HS cần phải vẽ nhiều trường hợp có thể đưa dự đoán mình (và đôi thời gian không cho phép) Nếu ta sử dụng Cabri Geometry thì công việc trở nên đơn giản HS việc thay đổi vị trí đường thẳng BC và cho điểm A di chuyển trên đường tròn (O, R) để phát trường hợp suy biến: - Ba điểm A, B, C thẳng hàng, - Điểm A trùng với B C HS có thể sử dụng thêm các chức đo đạc, kiểm tra Cabri Geometry để đến xác định quỹ tích điểm G (hình 3.48) 65 Ví dụ 3.24: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm chuyển động trên cung BC không chứa đỉnh A Nối A với D Hạ CH vuông góc với AD Minh hoạ quỹ tích điểm H Sử dụng Cabri ta vẽ hình, sau đó cho điểm D di chuyển, ta phát ít có điểm cố định thuộc quỹ tích: - Điểm E (chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB tương ứng với trường hợp D chạy đến trùng với B) - Điểm C (tương ứng với trường hợp D trùng với C) - Điểm F (chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC, ứng với trường hợp AD trùng với đường cao hạ từ A đến BC) Như vậy, ta dự đoán quỹ tích là cung chứa góc Dùng chức để lại vết hình ảnh quỹ tích điểm H Ví dụ 3.25: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Minh hoạ quỹ tích giao điểm O hai đường chéo hình thoi đó Bước 1: Sử dụng chuột cho hình thoi ABCD thay đổi - Hình thoi ABCD trở thành hình vuông ABC1D1 => Xác định điểm O1 thuộc quỹ tích - Hình thoi ABCD trở thành hình vuông ABC2D2 => Xác định điểm O2 thuộc quỹ tích - Hình thoi ABCD có điểm C tiến trùng với điểm B => Điểm O trùng với điểm B Như vậy, trực quan kiếm tra ta thấy rõ điểm không thẳng hàng, quỹ tích có khả là đường tròn qua B Vì vai trò điểm A và B nên cho điểm D tiến trùng với điểm A, ta phát điểm A thuộc quỹ tích Ta dự đoán quỹ tích điểm O là đường tròn nhận AB là đường kính Bước 2: Vẽ trường hợp bất kỳ, ta kiểm tra điểm O có thuộc đường tròn nhận AB là đường kính hay không Kết cho thấy “Điểm này nằm trên đối tượng” 66 Ví dụ 3.26: Trong đường tròn (O), AB là đường kính cố định, M là điểm chạy trên đường tròn Nối MA, MB và trên tia đối tia MA ta lấy điểm I cho MI = 2MB Tìm tập hợp các điểm I nói trên Với Cabri ta cho vị trí điểm M thay đổi, qua ba vị trí cụ thể ta có dự đoán: quỹ tích điểm I không thể là thẳng, có khả quỹ tích điểm I là cung chứa góc Từ đây gợi ý cho ta tìm yếu tố góc không đổi Điều đặc biệt bài này là: Nếu sử dụng tính luôn tự đồng dạng tam giác MBI thì dừng việc đưa kết luận góc ∠AIB không đổi Vậy quỹ tích là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB Tuy nhiên, với Cabri ta có kết luận tương đối thú vị Quỹ tích điểm I là nửa đường tròn đường kính BIo Trong đó Io nằm trên tiếp tuyến với đường tròn điểm A cho AIo = 2AB Ta mở rộng bài toán theo hai hướng sau: + AB không phải là đường kính mà là dây cung (O) + MI = k.MB (với k là số thực dương cho trước) Kết thú vị Quỹ tích là phần cung chứa góc qua A, B 67 Chương SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG DẠY HỌC TOÁN 4.1 Tổng quan chung phần mềm Maple Phần mềm Maple là kết nhóm các nhà khoa học trường Đại học Waterloo - Canada và là phần mềm toán học sử dụng rộng rãi MAPLE là phần mềm có môi trường tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình thức đó ta dễ dàng tính các giá trị gần đúng, rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích phân hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, biến đổi ma trận, khai triển các chuỗi, tính toán thống kê, xử lý số liệu, số phức, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và lập trình giải các bài toán với cấu trúc chương trình đơn giản Ngoài ra, với phần mềm này ta dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức Hyperlink tạo các siêu văn đơn giản mà không cần đến hỗ trợ phần mềm nào khác (chẳng hạn PageText, Word, FrontPage ) Với các chức trên, MAPLE là công cụ đắc lực hỗ trợ cho người làm toán • Khởi động Maple: Nếu Maple cài đặt đúng quy trình, để làm việc với MAPLE ta chọn: ->Start -> Programs -> Maple9 -> Classic Worksheet Maple bấm chuột vào biểu tượng Maple trên màn hình: • Giao diện cửa sổ làm việc Maple Giao diện làm việc Maple gồm các thành phần sau: 68 Hệ thống Menu lệnh Thanh công cụ Lệnh Maple Kết thực lệnh Maple Các thành phần chính cửa sổ làm việc Maple: -Tittle Bar (Thanh tiêu đề): Dòng chứa tên chương trình và tệp mở - Menu Bar (Thực đơn ngang): Dòng chứa các chức năng, ứng với chức là thực đơn dọc tương ứng -Tool Bar (Thanh công cụ): Chứa số biểu tượng (Icon) thể số lệnh thông dụng để người sử dụng thao tác nhanh Ngoài chế độ văn Maple còn có công cụ Formatting Bar dùng để định dạng văn • Quản lý thông tin với Maple Với Maple, các thao tác như: lưu trữ tệp, mở tệp đã có, mở tệp mới, hoàn toàn tương tự các phần mềm quen thuộc môi trường Windows Winword, Excell, • Định dạng các đối tượng Maple 69 Để định dạng các đối tượng Maple, thay đổi kiểu chữ các dòng lệnh, các dòng thông báo kết quả, lề ta tiến hành sau: Bước 1: Lựa chọn đối tượng Bước 2: -> Format -> Paragraph Khi đó xuất bảng để chọn các tham số Để thay đổi các thông số ngầm định, ta chọn: -> Format-> Styles Xuất bảng để ta khai báo các thông số cần xác định • Các đối tượng tích hợp tệp tin Maple Trang công tác (Worksheet) là môi trường mà người sử dụng có thể tính toán, thực hành trên đó - còn gọi là trang công tác Khi người sử dụng lưu trữ các kết lên đĩa từ, Worksheet ghi thành File với phần mở rộng ngầm định là mws Một Worksheet Maple thường có thành phần sau: -Cụm xử lý (Execution group) bao gồm các đối tượng Maple như: lệnh, kết tính toán Maple, đồ thị, 70 Để tạo cụm xử lý mới, ta kích chuột vào biểu tượng [> trên công cụ chọn: -> Insert -> Execution Group -> After cursor -Đoạn (Paragraph): Khái niệm Paragraph với Maple hiểu khái niệm Paragraph phần mềm soạn thảo văn Winword Để tạo Paragraph mới, ta chọn: Insert-> Paagraph -> After cursor -Mục (Section): Mục có thể coi là các modul thành phần cấu thành nên trang công tác Một trang có thể gồm nhiều mục, mục có thể chứa đoạn và mục Biểu tượng mục là dấu [+], ta nháy chuột vào biểu tượng này thì nội dung mục trải và biểu tượng mục biến thành [-], ta nháy chuột vào biểu tượng [-] này thì nội dung mục thu lại Để tạo mục mới, ta chọn: -> Insert-> Section -Siêu liên kết (Hyperlink): Khái niệm siêu liên kết đã trở nên quen thuộc với chúng ta thời đại bùng nổ Internet Một siêu liên kết là đối tượng mà ta kích hoạt vào đó thì dẫn ta đến đoạn, mục hay Worksheet nào khác Để tạo siêu liên kết ta chọn đối tượng mang siêu liên kết sau đó chọn: -> Format -> Convert to -> Hyperlink Tại mục: Link Target có các lựa chọn: -URL: Liên kết đến địa websize nào đó -Worksheet: Liên kết đến tệp nào đó Maple -Help Topic: Chuyển đến chủ đề nội dung Help Maple -Bookmark: Chuyển đến bookmark nào đó đã định nghĩa trước đó Có thể nhấn Browse để tìm kiếm địa đích mối liên kết Khai báo xong nhấn OK để hoàn tất - Văn (Text): là đối tượng sử dụng nhiều Maple với mục đích cung cấp thông tin dạng văn Để tạo đoạn văn mới, ta kích chuột vào biểu tượng chữ [T] trên Tool Bar có thể chọn: -> Insert -> Text 71 • Lệnh và Kết Maple (Maple Input and Output) Lệnh Maple (Maple Input) là từ tựa tiếng Anh sử dụng theo nghĩa định và phải tuân theo cú pháp Maple Lệnh nhập sau dấu nhắc lệnh "[>" và kết thúc dấu “ : ” “ ; ”, ví dụ để giải phương trình 5x2 + 3x- = 0, ta gõ lệnh [> solve(5*x^2 + 3*x- 2,{x}); ↵ Mỗi câu lệnh Maple kết thúc lệnh dấu (;) kết hiển thị màn hình, kết thúc lệnh dấu (:) thì Maple tiến hành tính toán bình thường kết không hiển thị màn hình Lệnh thực trỏ cuối dòng lệnh mà ta nhấn Enter (kí hiệu ↵) Lệnh Maple có hai loại lệnh trơ và lệnh trực tiếp: Lệnh trơ và lệnh trực tiếp khác chỗ chữ cái đầu tiên lệnh trơ viết in hoa Lệnh trực tiếp cho kết ngay, còn lệnh trơ cho ta biểu thức tượng trưng Ví dụ: Tính x + − 64 − x (Đề thi tuyển sinh ĐHTN - Khối D - 1999) Lim x x −> Nếu ta sử dụng lệnh trơ Limit: [> Limit((2*sqrt(x+4)-(64-x)^(1/3))/x,x=0); ↵ kết sau: x + − ( 64 − x ) lim x x→ ( 1/3 ) Nếu ta sử dụng lệnh trực tiếp: [> limit((2*sqrt(x+4)-(64-x)^(1/3))/x,x=0); ↵ kết sau: ( 1/3 ) 1 + 64 192 Tuy nhiên kết trên chưa gọn, ta có thể sử dụng lệnh sau: [> simplify(limit((2*sqrt(x+4)-(64-x)^(1/3))/x,x=0)); ↵ kết sau: 25 48 1 kết + 192 64 ( 1/3 ) sau đã rút gọn là 25 48 Kết tính toán (Maple Output) đưa màn hình, thường là mầu xanh cô ban sau ta nhấn phím enter để thực câu lệnh Tuy nhiên Maple có chế độ cho phép thực nhóm các câu lệnh (như tệp bat MS - DOS) để người sử dụng thực nhóm các câu lệnh nhằm giải 72 π /2 ∫ sin vấn đề nào đó, ví dụ tính tích phân I2n= 2n xdx (Đề thi tuyển sinh ĐHTN - khối A - 1996) Ta nhập vào dòng lệnh sau: [> Int(sin(x)^(2*n),x=0 Pi/2); (nhấn tổ hợp Shift + Enter để xuống dòng) T:=n->int(sin(x)^(2*n),x=0 Pi/2); ↵ màn hình kết sau: 1/2 π ⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 sin( x ) (2 n ) dx 1/2 π T := n → ⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 sin( x ) (2 n ) dx Để tính giá trị tích phân với n cụ thể ta việc gõ lệnh [>T(n) ↵, chẳng hạn với n = 0, I0 = I100= π , n=10, I10 = 46189 π , với n = 100, ta có: 524288 11318564332012910145675522134685520484313073709426667105165 π 401734511064747568885490523085290650630550748445698208825344 và cần tính I2009 π /2 ∫ sin 2009 xdx , ta gõ [>T(2009) ↵ -Đồ thị (Graph): Maple cho phép vẽ và hiển thị đồ thị trang công tác, tính này gọi là "Khả đồ hoạ trực tiếp" Ví dụ: vẽ đồ thị hàm số y= x − mx − x + m + với m = (Đề thi tuyển sinh vào 3 ĐHTN - năm học 1999 - 2000, khối A, B) Ta sử dụng lệnh plot sau [> plot(x^3/3-x+2/3,x=-3 2); ↵ Kết ta đồ thị sau: 73 4.2 Sử dụng các lệnh đơn giản Maple Maple cung cấp hệ thống các hàm phủ khắp các lĩnh vực toán học, bạn đọc cần tham khảo tài liệu nhóm tác giả Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng, đây chúng tôi mô tả số câu lệnh đơn giản thường sử dụng -Lệnh xoá tất các biến nhớ việc tính toán trước đó và khởi động quy trình tính toán mới: [> restart; -Để xác định giá trị cho biến, hằng, hàm khai báo thủ tục, Maple sử dụng câu lệnh gán “:=” , ví dụ:Xác định biến n nhận giá trị 5: [> n := 5; ↵ n := [> z := (x^2 + 1)/(x - y); #Khai báo dạng tổng quát cuả Z ↵ z := x2 + x−y -Lệnh tìm số nguyên tố đứng trước số nguyên a đã xác định: prevprime(a); Ví dụ, với a = 100, ta gõ lệnh: [> prevprime(100); ↵ - Lệnh tìm số nguyên tố đứng sau số nguyên a: nextprime(a); Ví dụ a = 100 , ta gõ lệnh: [> nextprime(100); ↵ -Lệnh tìm nghiệm nguyên phương trình: isolve(f,{x,y }); Trong đó f là biểu thức phương trình hệ phương trình, {x,y } là danh sách các ẩn Ví dụ, tìm nghiệm nguyên bài toán cổ vừa gà vừa chó bó lại cho tròn 36 100 chân chẵn Gọi số gà là x, số chó là y ta thực lệnh: [> isolve({2*x+4*y=100,x+y=36},{x,y});↵ { y = 14, x = 22 } Kết cho ta đáp số bài toán là: số gà là 22, số chó là 14 -Lệnh tìm thương và phần dư: iquo(a,b); và irem(a,b); đó a, b là các biểu thức Ví dụ với a=23, b = 4, ta gõ lệnh: [> Thuong = iquo(23,4); ↵ Thuong = [> Du = irem(23,4); ↵ Du = 74 -Lệnh tính tổng vô hạn và tổng hữu hạn các số hạng sum(f,n=a b); đó f là biểu thức số hạng tổng quát, a b ∈ N là cận dưới, cận trên giới hạn tính tổng, ví dụ: [> F = Sum((1+n^2)/(1+n+n^3),n=1 10); ↵ F= 10 ∑ n=1 + n2 + n + n3 [>F = sum((1+n^2)/(1+n+n^3),n=1 10); ↵ F= 26427131228884246127 10434641980997032227 [>F = evalf(sum((1+n^2)/(1+n+n^3),n=1 10)); ↵ F = 2.532634208 -Lệnh tính tích hữu hạn và vô hạn các số Product(f, n=a b); đó f là biểu thức số hạng tổng quát, a b ∈ N là cận dưới, cận trên giới hạn tính tích, ví dụ: [> F = Product((n^3+5*n+6)/(n^2+1),n=0 5); ↵ F= ∏ n=0 n3 + n + + n2 [>F = product((n^3+5*n+6)/(n^2+1),n=0 5); ↵ F= 2239488 85 -Xác định độ chính xác các phép tính số học: evalf(f,n); đó f là biểu thức, n là số các chữ số sau dấu phẩy, ví dụ: [> evalf(Pi,30); ↵ 3.14159265358979323846264338328 -Tính toán với các số phức Maple thực theo quy tắc thông thường, ví dụ: [> (1+3*I)*(3+8*I); ↵ -21 + 17 I [> (1+3*I)/(3+8*I); ↵ 27 + I 73 73 -Chuyển số phức x dạng toạ độ cực: convert((x),polar), ví dụ: [> convert((1+3*I)/(3+8*I),polar); ↵ 1 polar⎛⎜⎜ 730 , arctan⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ ⎞⎟⎟ ⎝ 73 ⎝ 27 ⎠ ⎠ -Lệnh khai triển biểu thức đại số: expand(f), ví dụ: [> expand((2*x+y)^3); ↵ x3 + 12 x2 y + x y2 + y3 75 -Lệnh phân tích đa thức thành nhân tử: factor(f), ví dụ: [> factor(6*x^2+18*x-24); ↵ (x + 4) (x − 1) -Lệnh xác định bậc đa thức: degree(f),ví dụ: [> degree(x^12-x^10+x^15+1); ↵ 15 -Lệnh viết đa thức dạng bình phương tổng: completesquare() (lệnh này phải phải mở gói công cụ student), ví dụ: [> with(student): completesquare(x^2 - 2*x*a + a^2 + y^2 -2*y*b + b^2 = 23, x); ↵ ( x − a )2 + y2 − y b + b2 = 23 -Lệnh xếp đa thức theo bậc: collect(f,x), đó f là biểu thức, x là ẩn chọn để xếp theo thứ bậc, ví dụ: [> f := a^3*x-x+a^3+a; ↵ f := a x − x + a + a [> collect(f,x); ↵ ( a3 − ) x + a3 + a [> collect(f,x,factor); ↵ ( a − ) ( a2 + a + ) x + a ( a2 + ) -Lệnh đơn giản (rút gọn) biểu thức: simplify(), ví dụ: [> e := cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 - cos(2*x): simplify(e); ↵ cos( x )4 ( cos( x ) + ) -Lệnh tối giản phân thức: normal(), ví dụ: [> normal( (x^2-y^2)/(x-y)^3 ); ↵ x+y ( x − y )2 -Lệnh khử thức mẫu số: readlib() Trước thực lệnh này cần mở thư viện readlib(rationalize), ví dụ:[> readlib(rationalize):2/(2-sqrt(2)); ↵ 2− [> rationalize(%);↵ 2+ -Khai báo hàm số: Để định nghĩa hàm số ta dùng dấu gán (:=) Ví dụ: [> f:=x->2*x^3+x^2/3+x-1; ↵ 76 f := x → x3 + x2 + x − Sau đã định nghĩa hàm số ta có thể tính giá trị hàm số, ví dụ tính giá trị hàm số x=0.12345: [> f(0.12345); ↵ -0.8677073006 -Giải phương trình solve(f,{d/s biến}) Bước 1: định nghĩa phương trình lệnh gán := , ví dụ : [> eq := x^4-5*x^2+6*x=2; ↵ eq := x4 − x2 + x = Bước 2: giải phương trình lệnh solve(); [> solve(eq,x); ↵ 1, 1, − 1, −1 − -Giải hệ phương trình solve({d/s pt},{d/s ẩn}) Bước 1: định nghĩa các phương trình lệnh gán :=, ví dụ : [> Pt1:=x+y+z-3=0; ↵ Pt1 := x + y + z − = [>Pt2:=2*x-3*y+z=2; ↵ Pt2 := x − y + z = [>Pt3:=x-y+5*z=5; ↵ Pt3 := x − y + z = Bước 2: giải phương trình lệnh solve [> solve({Pt1,Pt2,Pt3},{x,y,z});↵ {z = 17 ,x= ,y= } 11 11 11 -Giải bất phương trình solve() : Bước 1: định nghĩa các bất phương trình lệnh gán := [> Bpt:=sqrt(7*x+1)-sqrt(3*x-18)<=sqrt(2*x+7); ↵ Bpt := x + − x − 18 ≤ x + Bước 2: dùng lệnh solve(): [> solve(Bpt,{x});↵ {9 ≤ x} Ta có thể giải trực tiếp bất phương trình trên sau : 77 [> solve(sqrt(7*x+1)-sqrt(3*x-18)<=sqrt(2*x+7),{x}); ↵ {9 ≤ x} -Giải hệ bất phương trình với lệnh solve(), ví dụ : Bước 1: định nghĩa các bất phương trình: [> Bpt1:=x^3-11*x^2+10*x<0; ↵ Bpt1 := x3 − 11 x2 + 10 x < [> Bpt2:=x^3-12*x^2+32*x>0; ↵ Bpt2 := < x3 − 12 x2 + 32 x Bước 2: dùng lệnh :[> solve({Bpt1,Bpt2},x); ↵ { < x, x < }, { < x, x < 10 } Hoặc ta có thể đưa trực tiếp bất phương trình vào câu lệnh sau: [> solve({x^3-11*x^2+10*x<0,x^3-12*x^2+32*x>0},x); ↵ { < x, x < }, { < x, x < 10 } • Vẽ đồ thị không gian hai chiều plot() Ví dụ: vẽ đồ thị hàm số x4+2x3-x2+1 [> restart: with(plots): [> plot(x^4+2*x^3-x^2+1,x=-3 3,-4 12); ↵ Ví dụ: vẽ đồ thị hàm số |x4+2x3-x2+1| [> plot(abs(x^4+2*x^3-x^2+1),x=-3 3,-4 12); ↵ 78 Ví dụ : vẽ đồ thị hàm số y= x4+2x3-x2+1và y=2x3-2*x+2 trên cùng hệ trục toạ độ: [> plot([x^4+2*x^3-x^2+1,2*x^3-2*x+2],x=-3 3,-4 12); ↵ • Vẽ đồ thị hàm ẩn với lệnh implicitplot() Ví dụ: vẽ elip có phương trình x2/9 + y2/4 = [> implicitplot(x^2/9+y^2/4=1,x=-4 4,y=-2 2); ↵ • Vẽ đồ thị hàm xác định khúc: Trước hết cần, khai báo hàm khúc với câu lệnh: piecewise() , [> piecewise(x*x>4 and x<8,x^3-2*x,x-4); ↵ { x3 − x x−4 −x2 < -4 and x < otherwise sau đó dùng lệnh vẽ đồ thị: [> plot(piecewise(x*x>4 and x<8,x^3-2*x,x-4),x=-3 3); ↵ 79 • Vẽ đồ thị hàm sin, cos theo tham số t [> plot([sin(t),cos(t)],t=-Pi Pi); ↵ • Vẽ đồ thị không gian ba chiều Trước tiên ta khởi động chương trình và nạp thư viện : [> restart: with(plots): with(plottools): ↵ Tiếp theo vẽ mặt hai chiều không gian ba chiều lệnh plot3d() [> f:=x*exp(-x^2-y^2); [> plot3d(sin(x+y), x=-1 1, y=-1 1); ↵ [> c1:= [cos(x)-2*cos(0.4*y), sin(x)-2*sin(0.4*y), y]: c2:= [cos(x)+2*cos(0.4*y), sin(x)+2*sin(0.4*y), y]: c3:= [cos(x)+2*sin(0.4*y), sin(x)-2*cos(0.4*y), y]: c4:= [cos(x)-2*sin(0.4*y), sin(x)+2*cos(0.4*y), y]: plot3d({c1, c2, c3, c4}, x=0 2*Pi, y=0 10, grid=[25,15], style=patch, color=sin(x)); ↵ • Vẽ đồ thị phục thuộc tham số (động) 80 Maple có chức hỗ trợ vận động (animation) đồ thị hai chiều và đồ thị ba chiều với cú pháp [>animate (cho đồ thị hai chiều), và cú pháp [>animate3d (cho đồ thị ba chiều) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm y=tsin(xt) [> animate(t*sin(x*t),x=-Pi Pi,t=-2 2); ↵ Muốn cho đồ thị chuyển động thì khung đồ thị ta nhấn chuột phải sau đó chọn -> Animation -> Play Muốn cho đồ thị chuyển động liên tục không ngừng trên công cụ: nhắp chuột vào nút thì đồ thị chuyển động liên tục, nút Tương tự ta có thể cho đồ thị ba chiều vận động [> animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi Pi,y=-Pi Pi,t=1 2); ↵ dừng vận động 81 • Khai báo hàm toán tử “->” Để khai báo hàm (f) xác định biểu thức (bt(x)), Maple sử dụng toán tử “->” với cú pháp sau: [> tên hàm := x-> biểu thức xác định hàm f (đối số).Ví dụ [> f:=x-> x^3+2*x-5*x+4; ↵ f := x → x3 − x + Sau đã khai báo hàm, để tính giá trị hàm giá trị nào đó, ta việc thay giá trị cụ thể đó vào lời gọi hàm [> f(value);, ví dụ: [> f(3); ↵ 22 • Khai báo hàm tự tạo proc() end Giữa proc(d/s tham số) end: là các câu lệnh hàm ví dụ: [> Max:=proc(a,b,c) if a < b then if b < c then c else b fi; elif a < c then c else a fi; end: ↵ Sau đó gọi hàm Max với các số cụ thể kết ví dụ: [> Max(23,5,87); • Các cấu trúc sử dụng lập trình Maple - Cấu trúc lặp điều kiện trước While <Điều kiện> Do < danh sách các câu lệnh> od; Vòng lặp While thực lặp lặp lại các câu lệnh và od điều kiện sau từ khoá While còn đúng Nếu muốn thoát sớm khỏi vòng lặp cần phải sử dụng các lệnh Return, Break, Quit 82 Ví dụ: thuật toán Ơclit tìm ước số chung lớn hai số tự nhiên: [> restart; ↵ [> a:=126:b:=34: # khai bao hai so tu nhien a=126, b=34 [> while b <> d:=irem(a,b); a:=b; b:=d; od; print(` USCLN cua hai so la:`); value(a); ↵ Ví dụ: viết màn hình n số hạng đầu dãy Fibonacci [>restart; f(0):=1; f(1):=1; n:=2; while n <= 20 f(n):=f(n-1)+f(n-2); n:=n+1; od; seq(f(i),i=3 2); ↵ - Cấu trúc lặp biết trước số lần For <biến> from <cận đầu> by <bước thay đổi> to <cận cuối> Do <d/s các câu lệnh>; od; Hoặc For < tên biến> in <danh sách giá trị> Do <d/s các lệnh>; od; Ví dụ: tính tổng bình phương các số chẵn mảng: [> restart; mang:=[2,5,7,8,9,23,45,67,89,24,36,42]; tong:=0; for i in mang if irem(i,2)=0 then tong:=tong+i^2; fi; od; print(` tong can tim la:`,tong); ↵ Khi thực ta kết quả: mang := [ 2, 5, 7, 8, 9, 23, 45, 67, 89, 24, 36, 42 ] tong := tong can tim la:, 3704 - Cấu trúc rẽ nhánh 83 if <điều kiện 1> then < d/s các câu lệnh 1>; elif < điều kiện 2> then < d/s các câu lệnh 2>; else < d/s các câu lệnh 3>; fi; Ví dụ giải phương trình bậc 2, trước tiên ta khai báo proc() : [> ptb2:=proc(a,b,c) local delta,x1,x2; delta:=b*b-4*a*c; if delta < then print(` phuong trinh da cho vo nghiem`); elif delta=0 then x1:=-b/(2*a); print(` phuong trinh co nghiem kep:x1=`,x1); else x1:=(-b-sqrt(delta))/(2*a); x2:=(-b+sqrt(delta))/(2*a); print(` phuong trinh da cho co nghiem phan biet :`); print(x1); print(x2); fi; end; ↵ Để giải phương trình bậc hai, ta cần gọi tên proc() với các hệ số thực sự, ví dụ: [> ptb2(1,2,1); ↵ phuong trinh co nghiem kep:x1=, -1 [> ptb2(1,2,-1); ↵ phuong trinh da cho co nghiem phan biet : −1 − −1 + [> ptb2(1,2,3); ↵ phuong trinh da cho vo nghiem Để tìm hiểu lập trình với Maple, bạn đọc tìm thấy hướng dẫn chi tiết, chuyên sâu các tài liệu [1],[2],[3],[4] 4.3 Sử dụng các câu lệnh Maple hỗ trợ dạy học khảo sát hàm số 4.3.1 Những câu lệnh Male hỗ trợ dạy học khảo sát hàm số Ta có thể sử dụng các hàm Maple khảo sát hàm số, chẳng hạn như: xác định miền giá trị, khoảng đơn điệu, miền lồi, cực trị và điểm uốn, vẽ đồ thị, • Xác định miền xác định hàm số f(x): 84 Để xác định miền giá trị các hàm phân thức trình bày sách giáo khoa giải tích lớp 12, trước tiên ta dùng lệnh denom() để tách lấy mẫu số Miền xác định hàm số chính là tập các giá trị làm cho mẫu số có nghĩa Ví dụ tìm miền xác định hàm số: Y= x2 + x + 2x+2 Ta dùng nhóm các lệnh sau: [> restart; Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2); Y:=simplify(Y): print(`Tap xac dinh cua ham so la:`); a:=solve(denom(Y)=0,x): if(type(denom(Y),realcons)=true)or(coeff(denom(Y),x^2)<>0 and type(a[1],realcons) =falsse) then D=R;fi; if coeff(denom(Y),x^2)=0 and coeff(denom(Y),x)<>0 then D={x<>a};fi; ↵ Kết thực chương trình: Y := x2 + x + 2x+2 Tap xac dinh cua ham so la: D = { x ≠ -1 } • Tìm khoảng đơn điệu hàm số: Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số với lệnh: [> diff(f(x),x); Bước 2: Xác định chiều biến thiên: Xác định khoảng đồng biến hàm số (tức là tìm khoảng mà đạo hàm hàm số không âm), ta sử dụng lệnh: [> dhbn := bieuthuc f'(x) >=0; Bước 3: Giải phương trình lệnh [> solve(dhbn,{x}); Xác định khoảng nghịch biến hàm số, tương tự trên, ta dùng lệnh: [> dhbn := bieuthuc f'(x) <=0; và giải phương trình lệnh: [> solve(dhbn,{x}); • Thí dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: y = x − x + x − Bước 1: Tính đạo hàm: [> diff(x^3-6*x^2+4*x-8,x); ↵ x2 − 12 x + Bước 2: Thiết lập bất phương trình [> dhbn:=(3*x^2-12*x+4>=0); ↵ 85 dhbn := ≤ x − 12 x + Bước 3: Giải bất phương trình: [> solve(dhbn,{x});↵ {x ≤ − • 2 }, { + ≤ x} 3 Tìm miền lồi, miền lõm hàm số Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất: [> dhb1:=diff(f(x),x); Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai: [> dhb2:=diff(dhb1,x); Bước 3: Giải bất phương trình f"(x) ≥ để tìm miền lồi hàm số, lệnh: [> solve(dhb2>=0,x); Ví dụ xét hàm số y = x4 − x2 Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất: [> a:=diff(x^4-x^2,x); ↵ a := x3 − x Bước 2: Tìm đạo hàm bậc : [> b:=diff(a,x); ↵ b := 12 x2 − Bước 3: Giải phương trình tìm miền dương đạo hàm bậc (miền lồi hàm số) [> solve(b>=0,x); ↵ 1 RealRange⎛⎜⎜ −∞, − ⎞⎟⎟, RealRange⎛⎜⎜ , ∞ ⎞⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝6 ⎠ • Tìm cực đại, cực tiểu: Để xác định cực đại, cực tiểu hàm số ta xét đạo hàm bậc và tính đơn điệu hàm số dùng tính lồi thông qua đạo hàm bậc hai, cụ thể: Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số: [> diff(f(x), x); Bước 2: Giải phương trình f'(x)=0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị [> solve(f'(x)=0, x); Bước 3: Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến hàm số: [> solve(f'(x)>=, x); Bước 4: Xét xem x0 : 1) Nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x0 là điểm cực đại 2) Nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì x0 là điểm cực tiểu 3) Nếu qua x0 đạo hàm không đổi dấu thì x0 không phải là điểm cực trị Ví dụ tìm cực trị hàm số y = x − x + x − 86 Bước 1: [> a:=diff(x^3-6*x^2+4*x-8,x); ↵ a := x2 − 12 x + Bước 2: [> b:=solve(a=0,{x});↵ b := { x = + 2 }, { x = − 6} 3 Bước 3: [> c:=solve(a>=0,{x});↵ c := { x ≤ − 2 }, { + ≤ x} 3 Bước 4: [> c:=solve(a<=0,{x});↵ c := { − Qua x1 = − 6 đạo hàm bậc đổi dấu từ dương sang âm nên x1 = − 3 điểm cực đại, còn qua x2 = + x2 = + 2 ≤ x, x ≤ + 6} 3 là đạo hàm bậc đổi dấu từ âm sang dương nên là điểm cực tiểu hàm số y = x − x + x − Nếu dựa vào đạo hàm bậc hai ta có thể tiến hành các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm hàm số: [> dhb1:=diff(f(x),x); Bước 2: Giải phương trình f'(x)=0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị [> solve(dhb1=0,x); Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai: [> dhb2:=diff(dhb1,x); Thí dụ Tìm cực trị y = x3 − x2 + x − Bước 1: [> a:=diff(x^3-6*x^2+4*x-8,x); ↵ a := x2 − 12 x + Bước 2: Tìm điểm mà đạo hàm bậc 0: [> solve(a=0,{x});↵ {x = + 2 }, { x = − 6} 3 Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai: [> b:=diff(a,x); ↵ b := x − 12 Bước 4: Tính giá trị đạo hàm bậc hai điểm mà đó đạo hàm bậc không: [> subs(x=2+2/3*sqrt(6),b); ↵ 87 [> subs(x=2-2/3*sqrt(6),b); ↵ −4 Bước 5: Xét giá trị đạo hàm bậc hai và kết luận, chẳng hạn ví dụ này, ta có: y"( + (2− • )= >0 x2 = + nên 6 )= < nên x1 = − 3 là điểm cực tiểu, còn y" là điểm cực đại hàm số Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đó đạo hàm bậc hai đổi dấu Để xác định điểm uốn hàm số, ta thực các câu lệnh sau: Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất: [> dhb1:=diff(f(x),x); Trong đó f( x ) là hàm số mà ta cần khảo sát Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai: [> dhb2:=diff(dhb1,x); Bước 3: Điểm x0 là điểm uốn hàm số x0 là nghiệm chung hai bất phương trình: [> solve(dhb2>=0); và [> solve(dhb2<=0); Ví dụ: Tìm điểm uốn hàm số x4 – 2x2 Bước 1: [> a:=diff(x^4-2*x^2,x); ↵ a := x3 − x Bước 2: [> b:=diff(a,x); ↵ b := 12 x2 − Bước 3: [> solve(b >=0); solve(b <=0); ↵ 1 RealRange⎛⎜⎜ −∞, − ⎞⎟⎟, RealRange⎛⎜⎜ , ∞ ⎞⎟⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 RealRange⎛⎜⎜ − 3, ⎞⎟⎟ 3 ⎝ ⎠ Kết luận: x=− 3 và x= 3 là hai điểm uốn đồ thị hàm số đã cho • Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số: Các hàm minimize(expr, vars, ranges) và maximize(expr, vars,ranges) dùng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm số xác định biểu thức expr theo giá trị các đối số liệt kê (vars) phạm vi nào đó (ranges).Ví dụ : [> minimize(exp(tan(x)), x=0 10); ↵ 88 [> minimize(x^2-3*x+y^2+3*y+3); ↵ -3 [> minimize(x^2-3*x+y^2+3*y+3, location); ↵ -3 ⎡ -3 -3 , { ⎢ { x = , y = }, ⎤⎥⎥ } ⎢⎣ 2 2⎦ [> minimize(x^2-3*x+y^2+3*y+3, x=2 4, y=-4 -2, location); ↵ -1, { [ { y = -2, x = }, -1 ] } [> minimize(abs(exp(-x^2)-1/2), x=-4 4); ↵ [> minimize(x^4 - x^2, x=-3 3, location=true); ↵ -1 ⎡ -1 -1 , { ⎢⎢ { x = }, ⎤⎥⎥, ⎡⎢⎢ { x = − }, ⎤⎥⎥ } ⎣ 4⎦ ⎣ 4⎦ [> minimize(x^2 + cos(x), [x=0 3]); ↵ • Xác định cực trị địa phương hàm số: extrema(f,{},x) Ví dụ xác định giá trị cực tiểu, cực đại hàm số x4- 2x2 [> y:=x^4-2*x^2 ;# khai báo hàm số↵ y := x4 − x2 [> extrema(y,{},x);# xác định cực đại, cực tiểu hàm số↵ { -1, } • Xác định các đường tiệm cận: Ta sử dụng lệnh tách mẫu số f(x) lệnh denom(), dùng lệnh solve() tìm nghiệm mẫu số ta tiệm cận đứng Lần lượt tính các giới hạn a= lim(f(x)/x) và b=lim(f(x)-ax) x tiến tới vô cùng, các giới hạn này tồn cho ta tiệm cận xiên y=ax+b Ví dụ xác định tiệm cận hàm số : Y= x2 + x + 2x+2 [> Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2); a:=limit(Y/x,x=infinity); b:=limit(Y-a*x,x=infinity); ms:=solve(denom(Y)=0,x); 89 if a<>infinity or a <>-infinity then print(`tiem can dung:`,x=ms); print(` tiem can xien y=`,x*a+b); fi; ↵ Kết thực chương trình: Y= x2 + x + 2x+2 a := b := ms := -1 tiem can dung:, x = -1 tiem can xien y=, x • Xác định giao điểm đồ thị hàm số Y=f(x )với các trục toạ độ Sử dụng gói công cụ student, sau đó dùng các lệnh: Tìm giao điểm với trục tung intercept(y=Y,x=0,{x,y}), tìm giao điểm với trục hoành: intercept(y=Y,y=0,{x,y}), ví dụ xác định giao điểm với các trục toạn độ hàm số: Y = x2 + x + 2x+2 [> restart:with(student): Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2); # mở gói công cụ và khai báo hàm [> intercept(y=Y,y=0,{x,y}); # giao điểm với trục hoành intercept(y=Y,x=0,{x,y}); # giao điểm với trục tung↵ Kết thực chương trình: { y = 0, x = RootOf( + _Z + _Z, label = _L1 ) } {y = , x = 0} Như đồ thị hàm số không cắt trục hoành mà có giao điểm với trục tung điểm có toạ độ x = 0, y = 1/2 • Vẽ đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị là chức mạnh Maple Để vẽ 90 đồ thị hàm số f(x) trên đoạn [a,b], ta sử dụng lệnh: [>plot(f(x),x=a b); ví dụ với hàm số x4-2x2 trên đoạn [-2, 2]: [> plot(x^4-2*x^2,x=-2 2); ↵ Kết ta đồ thị hìnhvẽ Qua hình dạng đồ thị, lần chứng tỏ việc xác định chiều biến thiên, điểm uốn, chiều lồi, lõm, cực đại, cực tiểu với các câu lệnh Maple 4.3.2 Một số ví dụ minh hoạ • Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y= x − mx − x + m + với m = (Đề thi tuyển sinh vào 3 ĐH Thái Nguyên - Năm học 1999-2000, khối A, B) Ta sử dụng chương trình sau: [> Restart: print(` Khao sat ham so y=x^3/3-mx^2-x+m+2/3 voi gia tri m=0`); Y:=(x^3/3-x+2/3); print(`Tap xac dinh cua ham so la D=R:`); print(`Tinh dao ham bac nhat cua ham so`); dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x))); print(`giai phuong trinh f' = 0:`); solve(diff(Y,x)=0,{x}); print(` Ham so se dong bien tren khoang`); solve(diff(Y,x)>0); print(` Ham so nghich bien tren khoang`); solve(diff(Y,x)<0); print(` Tim cac gia tri cuc tri dia phuong`); Ymin_max:=extrema(Y,{},x); print(`Tinh dao ham bac hai cua ham so`); z:=simplify(diff(Y,x$2)); print(` Diem uon cua thi ham so la`); solve({z=0,Y=y},{x,y}); print(` Tim giao diem voi truc tung`); student[intercept](y=Y,x=0,{x,y}); print(`Tim giao diem voi truc hoanh`); student[intercept](y=Y,y=0,{x,y}); 91 print(` Do thi ham so co dang sau`); plot(Y,x=-5 5,color=red); ↵ Kết thực chương trình : Khao sat ham so y=x^3/3-mx^2-x+m+2/3 voi gia tri m=0 Y := x −x+ 3 Tap xac dinh cua ham so la: D=R Tinh dao ham bac nhat cua ham so dy = (x − 1) (x + 1) dx giai phuong trinh f' = 0: { x = }, { x = -1 } Ham so se dong bien tren khoan RealRange( −∞, Open( -1 ) ), RealRange( Open( ), ∞ ) Ham so ngich bien tren khoang RealRange( Open( -1 ), Open( ) ) Tim cac gia tri cuc tri dia phuong Ymin_max := { 0, } Tinh dao ham bac hai cua ham so z := x Diem uon cua thi ham so la { x = 0, y = } Tim giao diem voi truc tung { x = 0, y = } Tim giao diem voi truc hoanh { x = -2, y = }, { x = 1, y = }, { x = 1, y = } Do thi ham so co dang sau 92 • Ví dụ 2: Khảo sát hàm phân thức: y= x2 − x + 2x−2 [> restart; Y:=(x^2-3*x+4)/(2*x-2);Y:=simplify(Y): print(`Tap xac dinh cua ham so la:`); dk:=solve(denom(Y)=0,x): if(type(denom(Y),realcons)=true)or(coeff(denom(Y),x^2)<>0 and type(dk[1],realcons) =falsse) then D=R;fi; if coeff(denom(Y),x^2)=0 and coeff(denom(Y),x)<>0 then D={x<>dk};fi; a:=limit(Y/x,x=infinity):b:=limit(Y-a*x,x=infinity):ms:=solve(denom(Y)=0,x): if a<>infinity or a <>-infinity then print(`tiem can dung:`,x=ms); print(` tiem can xien y=`,x*a+b); fi; print(`Tinh dao ham bac nhat cua ham so`); dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x))); print(`giai phuong trinh f' = 0:`); solve(diff(Y,x)=0,{x}); print(` Ham so se dong bien tren khoang`); solve(diff(Y,x)>0); print(` Ham so nghich bien tren khoang`); solve(diff(Y,x)<0); print(` Tim cac gia tri cuc tri dia phuong`); Ymin_max:=extrema(Y,{},x); print(` Tim giao diem voi truc tung`); student[intercept](y=Y,x=0,{x,y}); print(`Tim giao diem voi truc hoanh`); student[intercept](y=Y,y=0,{x,y}); print(` Do thi ham so co dang sau`); plot({Y,x*a+b},x=-4 4,-6 4,color=red); ↵ Kết thực chương trình: 93 Y := x2 − x + 2x−2 Tap xac dinh cua ham so la: D = {x ≠ 1} tiem can dung:, x = tiem can xien y=, x −1 Tinh dao ham bac nhat cua ham so dy x2 − x − = dx ( x − )2 giai phuong trinh f' = 0: { x = + }, { x = − } Ham so se dong bien tren khoan RealRange( −∞, Open( − ) ), RealRange( Open( + ), ∞ ) Ham so ngich bien tren khoang RealRange( Open( − ), Open( ) ), RealRange( Open( ), Open( + ) ) Tim cac gia tri cuc tri dia phuong Ymin_max := { − (4 + ) ( −4 + ) ,− } 4 Tinh dao ham bac hai cua ham so z := ( x − )3 Tim giao diem voi truc tung { y = -2, x = } Tim giao diem voi truc hoanh { y = 0, x = RootOf( _Z − _Z + 4, label = _L1 ) } Do thi ham so co dang sau Như vậy, để khảo sát các hàm số khác chương trình phổ thông, bạn đọc cần thay đổi chút ít, và ta đã có công cụ mạnh để kiểm tra và minh hoạ cho các bài toán khảo sát hàm số 94 • Ví dụ 3: Tìm quỹ tích các điểm M(xo,yo) mà từ đó kẻ tiếp tuyến vuông góc với parabol y = − x − x + (phỏng theo đề thi tuyển sinh vào ĐHTN - Năm học 1999 - 2000, khối A, B) Ta sử dụng chương trình con: [> restart; y:=(-x^2/3-2*x/3+1): y2:=k*(x-xo)+yo:'y'=y2: f:=y-y2:f: delta:=collect(simplify(discrim(f,x)),k): solve(delta,{k}): k1:=coeff(delta,k^2): k2:=coeff(delta,k,0): y3:=solve(k1*k2=-1,{yo}): print(`Ket luan ta co phuong trinh quy tich la`); print(y3); Thực chương trình, ta có kết quả: Ket luan ta co phuong trinh quy tich la { yo = 25 } 12 • Ví dụ 4: Cho tam thức bậc hai p(x) = (m+1)*x^2 + *(m+10)*x -12 Tìm giá trị tham số m cho p(x) có nghiệm x1,x2 thoả mãn: 1< x1 < < x2 Ta sử các câu lệnh sau sau: [> restart; p(x):=(m+1)*x^2+3*(m+10)*x-12; ↵ p( x ) := ( m + ) x2 + ( m + 10 ) x − 12 [> i:=1;j:=3; ↵ i := j := [> a:=coeff(p(x),x^2); ↵ a := m + [>(j):=subs(x=j,p(x));dk1:=a*p(j)<0;p(i):=subs(x=i,p(x));dk2:=a*p(i)>0; ↵ p( ) := 18 m + 87 dk1 := ( m + ) ( 18 m + 87 ) < p( ) := m + 19 dk2 := < ( m + ) ( m + 19 ) 95 [> solve({dk1,dk2},{m});↵ { -29 -19 < m, m < } • Ví dụ 5: Chương trình khảo sát hàm số y = ax+b cx+d [> restart: with(plots): with(student): kshbntbn:=proc(a,b,c,d) local Y,dhbn,xm,ytc; Y:=(a*x+b)/(c*x+d); dhbn:=simplify(diff(Y,x)); print(`Khao sat ham so`); print(Y); print(`1.Tap xac dinh`); print(D={x<>-d/c}); print(`Chieu bien thien`); print(`Dao ham bac nhat`); print(dhbn); if numer(dhbn)>0 then print(`Ham so luon dong bien tren D`); fi; if numer(dhbn)<0 then print(`Ham so luon nghich bien tren D`); fi; print(`Ham so khong co cuc tri`); xm:=-d/c: ytc:=limit(Y,x=+infinity); print(Limit(Y,x=xm)=infinity); print(`Ham so co tiem can dung la: x=`,xm); print(Limit(Y,x=-infinity)=limit(Y,x=-infinity)); print(Limit(Y,x=+infinity)=limit(Y,x=+infinity)); print(`Suy ham so co tiem can ngang la y=`,ytc); print(`Do thi cua ham so`); print(`Do thi ham so cat truc hoanh tai`); print(intercept(y=Y,y=0,{x,y})); print(`Do thi ham so cat truc tung tai`); print(intercept(y=Y,x=0,{x,y})); print(`Diem doi xung cua thi ham so la:`); print(intercept(y=ytc,x=xm,{x,y})); plot({Y,ytc},x=-5+xm 5+xm,y=-5+ytc 5+ytc); end: 96 Để sử dụng chương trình, ta việc gọi tên chương trình với các tham số thực cụ thể, ví dụ: [> kshbntbn(1,2,3,4); • Ví dụ 6: Bài toán xác định phương trình đường cong luôn tiếp xúc với đường cong cho trước: [>restart: a:=1: b:=-2: c:=m: d:=(1-m^2)/4: y:=a*x^3+b*x^2+c*x+d; print(`Do dang cua phuong trinh (Hm) cho, ta chon duong cong co dinh co phuong trinh la:`); y1:=a*x^3+b1*x^2+c1*x+d1; print(` phuong trinh hoanh giao diem la:`); A:=y-y1: print(A,`= (1)`); B:=collect(A,x): print(`<=>`,B=0); p1:=coeff(B,x,2): p2:=coeff(B,x,1): p3:=coeff(B,x,0): C:=p2*p2-4*p1*p3: print(`<=>`,delta=0,`voi moi m`,`<=>`,C=0,`voi moi m`); C:=p2*p2-4*p1*p3: D1:=collect(C,m): print(`<=>`,D1=0,`voi moi m.Dieu xay va chi khi`); p11:=coeff(D1,m,2): p12:=coeff(D1,m,1): p13:=coeff(D1,m,0): print(p11=0, p12=0, `va`,p13=0); print(`<=>`,solve({p11,p12,p13},{b1,c1,d1}));↵ • Ví dụ 7: Bài toán tìm đường thẳng luôn tiếp xúc với đường cong cho trước: [> restart:a:=0:b:=(m+1):c:=m:a1:=1:b1:=m: print(`Tim phuong trinh cua duong thang luon tiep xuc voi ho duong cong`); y:=(a*x^2+b*x+c)/(a1*x+b1): print(`(Hm):`,y);y1:=k*x+n: print(`Mot duong thang bat ky co he so goc la k co phuong trinh la:`); print(`(d) :`,y1); print(`Ta co phuong trinh hoanh giao diem cua ho duong cong (Hm) va duong thang (d) la:`); A:=numer(y)-denom(y)*y1: A=0; B:=expand(A): C:=collect(B,x): 97 print(`<=>`,C=0,` (1)`); p1:=coeff(C,x,2): p2:=coeff(C,x,1): p3:=coeff(C,x,0): D1:=p2^2-4*p1*p3: D2:=collect(D1,m): print(`De duong thang la tiep tuyen cua ho duong cong (Hm) thi (1) phai co nghiem kep voi moi m `); print(`<=>`, delta=0,` <=>`,D1=0,` voi moi m`); print(`<=>`, D2=0,` voi moi m.`,` Dieu xay voi moi m va chi `); p11:=coeff(D2,m,2): p12:=coeff(D2,m,1): p13:=coeff(D2,m,0): print(p11=0, p12=0 ,` va `, p13=0); p11:=coeff(D2,m,2): p12:=coeff(D2,m,1): p13:=coeff(D2,m,0): print(`<=>`,solve({p11,p12,p13},{k,n})); print(`Vay ta co phuong trinh cua duong thang can tim la:`); ↵ • Ví dụ 8: Bài toán tìm điểm cố định đường cong: [> restart: y1:=(m^2*x^2+(2*m+m^2)*x-1+m)/(m*x-1); print(`Tim diem co dinh cua ho duong cong `); print(`(Hm): y=`,y1); print(`Ta viet phuong cua ham so lai duoi dang`); print(y1-y = 0); mau:=denom(y1):tu:=numer(y1):A:=tu-y*mau:B:=collect(A,m): print(`<=>`,B = 0); print(`Muon dang thuc dung voi m thi:`); p1:=coeff(B,m,2):p2:=coeff(B,m,1):p3:=coeff(B,m,0): print(p1 = 0,p2 = 0,` va `,p3 = 0); print(`<=> `,solve({p1,p2,p3},{x,y})); print(`Diem co dinh cua ho duong cong la: `,solve({p1,p2,p3},{x,y}));↵ 4.4 Các câu lệnh Maple hỗ trợ giải các bài toán giải tích -Tính giới hạn hàm số f(x) x tiến tới a: limit(f,x=a); giá trị dương vô cùng, âm vô cùng viết là infinity, - infinity Ví dụ: [> limit((2*x^3+6*x-1)/(2*x^2+3),x=2); ↵ 27 11 98 [> Limit(sqrt(2*x^3+x+2)/(2*x+1),x=1); ↵ x3 + x + 2x+1 lim x→ [> limit((2*x^2+3*x-5)/(x^2+3),x=infinity); ↵ -Tính đạo hàm hàm số f(x) theo biến x: diff(f(x),x); Diff(f(x),x); Ví dụ [> diff((2*x^3+6*x-1)/(2*x^2+3),x); ↵ x2 + ( x3 + x − ) x − 2 x2 + ( x2 + ) [> Diff(sqrt(2*x^3+x+2)/(2*x+1),x); ↵ ∂ ∂x x3 + x + 2x+1 -Tính đạo hàm bậc n hàm số f(x) theo biến x: diff(f(x),x$n); Ví dụ [> diff((2*x^3+6*x-1)/(2*x^2+3),x$2); ↵ 12 x x2 + − ( x2 + ) x ( x2 + ) + 32 ( x3 + x − ) x2 ( x2 + ) − ( x3 + x − ) ( x2 + ) [> Diff(sqrt(2*x^3+x+2)/(2*x+1),x$3); ↵ ∂3 ∂x x3 + x + 2x+1 -Tìm nguyên hàm hàm số f(x) theo biến x: int(f(x),x); Int(f(x),x); Ví dụ: [> int(sin(x)^2+cos(x)^4,x); ↵ − cos( x ) sin( x ) + x + cos( x )3 sin( x ) 8 [> Int((2*x^2+3*x-5)/(x^2+3),x); ↵ -Tính tích phân xác định hàm số f(x) trên đoạn [a,b]: int(f(x),x=a b); Int(f(x),x=a b); Ví dụ: [> int((2*x^2+3*x-5)/(x^2+3),x=-1 1); ↵ − 11 π+4 [> int(sin(x)^2+cos(x)^4,x=-Pi Pi); ↵ π [> Int(sqrt(2*x^3+x+2)/(2*x+1),x=-2 2); ↵ 99 ⌠ x3 + x + ⎮ ⎮ dx ⎮ 2x+1 ⎮ ⌡-2 -Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số trên miền D: minimize(f,x=a b); maximize(f,x=a b) Ví dụ: [> maximize(sin(x)^2+cos(x)^4,x=-Pi Pi); ↵ [> minimize((2*x^3+6*x-1)/(2*x^2+3),x=2 5); ↵ 27 11 -Để xác định nguyên hàm hàm số, ta có thể sử dụng đoạn lệnh sau: [> with(Maplets): with(Maplets[Elements]): integrationMaplet3:= Maplet( Window('title'="TINH NGUYEN HAM", [["NGUYEN HAM: ", TextField['TF1']()],["BIEN XAC DINH TRONG NGUYEN HAM: ", TextField['TF2'](3)], MathMLViewer['TB1'](), ["Do thi ham va nguyen ham cua no"], Plotter['PL1'](), [Button("NGUYEN HAM", Evaluate(TB1 = 'MathML[Export](int(TF1, TF2))')),Button("DO THI", Evaluate('PL1'='plot([TF1, eval(int(TF1,TF2)) ], x=-2 2)')), Button("OK", Shutdown(['TF1', 'TF2']))]] ) ): [> Maplets[Display]( integrationMaplet3 ); Khi đó trên màn hình xuất cửa sổ, ta nhập dạng biểu thức hàm số cần tìm nguyên hàm và tên biến, ta nhận biểu thức nguyên hàm Nếu nhấn nút “Đồ thị” ta thu dạng đồ thị f(x) và nguyên hàm F(x) nó: 100 -Để xác định tích phân xác định hàm số f(x) trên đoạn [a,b], ta có thể sử dụng đoạn lệnh sau: [> restart: with(Maplets):with(Maplets[Elements]):with(student): TICH_PHAN:= Maplet( Window('title'="TINH TICH PHAN",[["NHAP HAM SO CAN TINH TICH PHAN: ", TextField['TF1']()],["NHAP CAN DUOI: ", TextField['TF2'](4)],["NHAP CAN TREN: ", TextField['TF3'](3)], MathMLViewer['TB1'](),["DO THI CUA HAM DA NHAP "], Plotter['PL1'](ld),[Button("TICH ='MathML[Export](int(TF1, PHAN", x=TF2 TF3))')), Evaluate('PL1'='middlebox(TF1,x=-5 5,colour = Evaluate(TB1 Button("DO red)')), THI", Button("OK", Shutdown(['TF1', 'TF2','TF3']))]] ) ): [> Maplets[Display](TICH_PHAN ); Khi đó trên màm hình xuất cửa sổ để nhập dạng biểu thức hàm số cần tìm tích phân xác định và cận lấy tích phân, ta nhận kết Nếu nhấn nút “Đồ thị” ta thu dạng đồ thị f(x) 101 4.5 Nhóm các lệnh Maple hỗ trợ dạy học đại số tuyến tính 4.5.1 Một số câu lệnh thường dùng Để khai thác mạnh Maple lĩnh vực đại số tuyến tính, ta khởi động chương trình lệnh restart và nạp gói công cụ chuyên ngành linalg -Lệnh khai báo ma trận: matrix() array() ,ví dụ: [> matrix([[5,4],[6,3]]); ↵ ⎡⎢ ⎢⎣ 4⎤ ⎥ 3⎥⎦ [> B:=array([[4,1,3],[2, 2,5]]); ↵ B := ⎡⎢⎢ ⎣2 3⎤ ⎥ 5⎥⎦ -Lệnh tính tổng hai ma trận: evalm() add() , ví dụ [> A:=array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]); ↵ ⎡⎢ A := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣7 3⎤ ⎥ 6⎥⎥ ⎥ 9⎥⎦ 7⎤ ⎥ 4⎥⎥ ⎥ 1⎥⎦ [> B:=matrix(3,3,[9,8,7,6,5,4,3,2,1]); ↵ ⎡⎢ B := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣3 [> evalm(A+B); ↵ ⎡⎢10 10 10⎤⎥ ⎢⎢10 10 10⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎣10 10 10⎥⎦ -Lệnh nhân ma trận: multiply(), ví dụ với hai ma trận A, B đã khai báo trên, ta có: [> multiply(A,B); ↵ 24 18⎤ ⎡⎢ 30 ⎥ ⎢⎢ 84 69 54⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎣138 114 90⎥⎦ -Lệnh tìm tích ma trận và véctơ: innerprod(), ví dụ: [> restart: with(linalg): u := vector(3, [1,2,3]); ↵ u := [ 1, 2, ] [> A := matrix(3,3, [1,2,3,4,5,6,7,8,9]); ↵ 102 ⎡⎢ A := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣7 3⎤ ⎥ 6⎥⎥ ⎥ 9⎥⎦ [> innerprod(u, A); ↵ [ 30, 36, 42 ] [> w := vector(3, [9,8,7]); ↵ w := [ 9, 8, ] [> innerprod(u,w); ↵ 46 -Lệnh tính tích vô hướng hai véc tơ: dotprod(), ví dụ: [> u := vector([1,2,3,4,5]); ↵ u := [ 1, 2, 3, 4, ] [> v := vector([6,7,8,9,10] ); ↵ v := [ 6, 7, 8, 9, 10 ] [> dotprod(u, v); ↵ 130 -Lệnh tạo ma trận con: submatrix(), ví dụ: [> A := array([[1,2,3],[4,x,6]] ); ↵ A := ⎡⎢⎢ ⎣4 x 3⎤ ⎥ 6⎥⎦ [> submatrix(A, 2, 3); ↵ ⎡2 ⎢⎢ ⎣x 3⎤ ⎥ 6⎥⎦ ⎡⎢ x ⎢⎣ 4⎤ ⎥ 1⎥⎦ [> submatrix(A, [2,1], [2,1]); ↵ -Lệnh nhân dòng ma trận với biểu thức mulrow(), mulcol(), ví dụ: [> A := matrix( [[1,2],[3,4]] ); ↵ A := ⎡⎢⎢ ⎣3 2⎤ ⎥ 4⎥⎦ [> mulrow(A, 2, 2); ↵ ⎡⎢ ⎢⎣ 2⎤ ⎥ 8⎥⎦ [> mulcol(A, 2, x); ↵ 103 ⎡⎢1 x⎤⎥ ⎢⎣3 x⎥⎦ -Lệnh tìm ma trận chuyển vị: transpose(), ví dụ: [> A := array( [[5,10,15],[20,25,30]] ); ↵ A := ⎡⎢⎢ ⎣20 10 15⎤ ⎥ 25 30⎥⎦ [> transpose(A); ↵ ⎡⎢ ⎢⎢10 ⎢⎢ ⎣15 20⎤ ⎥ 25⎥⎥ ⎥ 30⎥⎦ -Lệnh tìm bất biến ma trận permanent(), ví dụ: [> A := matrix( [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] ); ↵ ⎡⎢ A := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣7 3⎤ ⎥ 6⎥⎥ ⎥ 9⎥⎦ b e h c⎤ ⎥ f ⎥⎥ ⎥ i ⎥⎦ [> permanent(A); ↵ 450 [> B := matrix( [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]] ); ↵ ⎡⎢ a B := ⎢⎢ d ⎢⎢ ⎣g [> permanent(B); ↵ aei+afh+d bi+d ch+gbf+gce -Lệnh tính giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận eigenvectors (), ví dụ: [> A := matrix(3,3, [1,-3,3,3,-5,3,6,-6,4]); ↵ ⎡⎢1 A := ⎢⎢3 ⎢⎢ ⎣6 -3 3⎤ ⎥ -5 3⎥⎥ ⎥ -6 4⎥⎦ [> e := eigenvalues(A); ↵ e := 4, -2, -2 [> v := [eigenvectors(A)]; v := [ [ 4, 1, { [ 1, 1, ] } ], [ -2, 2, { [ 1, 1, ], [ -1, 0, ] } ] ] Kết lệnh eigenvectors xắp xếp sau: số đầu tiên móc vuông dòng là giá trị riêng, số thứ hai là bội đại số giá trị riêng, và cuối cùng là tập 104 các véctơ sở không gian riêng ứng với giá trị riêng đó Mỗi móc vuông ứng với giá trị riêng ma trận, cụ thể: [> v[1][1]; ↵ [> v[1][3]; ↵ { [ 1, 1, ] } [> v[2][1]; ↵ -2 [> v[2][2]; -Lệnh tìm ma trận đặc trưng charmat(), ví dụ: [> A := matrix(3,3,[1,2,3,1,2,3,1,5,6]); ↵ ⎡⎢ A := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣1 2 3⎤ ⎥ 3⎥⎥ ⎥ 6⎥⎦ [> charmat(A, lambda); ↵ ⎡⎢λ − ⎢⎢ -1 ⎢⎢ ⎣ -1 -2 λ−2 -5 -3 ⎤ ⎥ -3 ⎥⎥ ⎥ λ − 6⎥⎦ -Lệnh tìm đa thức đặc trưng ma trận: charpoly(), ví dụ: [> A:= matrix(3,3,[1,2,3,1,2,3,1,5,6]); ↵ ⎡⎢ A := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣1 2 3⎤ ⎥ 3⎥⎥ ⎥ 6⎥⎦ [> charpoly(A,x); ↵ x3 − x2 -Lệnh tính hạng ma trận rank(), ví dụ: [> A := matrix(3,3, [x,1,0,0,0,1,x*y,y,1]); ↵ ⎡⎢ x A := ⎢⎢ 0 ⎢⎢ ⎣x y y 0⎤ ⎥ 1⎥⎥ ⎥ 1⎥⎦ [> rank(A); ↵ 105 -Lệnh tính định thức det (), ví dụ: [> A := hilbert(3); ↵ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ A := ⎢⎢ ⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 1 3 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ [> det(A); ↵ 2160 -Lệnh giải phương trình đại số tuyến tính Ax=u: linsolve (), ví dụ: [> A := matrix( [[1,2],[1,3]] ): b := vector( [1,-2]): linsolve(A, b); ↵ [ 7, -3 ] [> B := matrix( [[1,1],[-2,1]] ): linsolve(A, B); ↵ ⎡7 ⎢⎢ ⎣ -3 1⎤ ⎥ 0⎥⎦ [> A := matrix( [[5,7],[0,0]] ): b := vector( [3,0] ): linsolve(A, b, 'r'); ↵ ⎡ − _t , _t ⎤ ⎢⎢ ⎥ ⎣ 5 1 ⎥⎦ 4.5.2 Sử dụng Maple hỗ trợ kiểm tra kết tính toán • Tính lũy thừa ma trận vuông Thuật toán: (Ứng dụng định lí Hamiltơn - Cayley):“ Giả sử A là ma trận vuông và PA (λ) thỏa mãn: P A ( λ ) = ( − 1) n λ n + p 1λ n −1 + + p n −1λ + p n là đa thức đặc trưng A Khi đó, PA (A) = “ Vậy đa thức Q( λ ) chia hết cho Pn (λ) thì ta có Q(A) = Đặc biệt: Q ( λ ) = S ( λ ).Pn ( λ ) + R ( λ ) ⇒ Q ( A ) = R ( A ) Chương trình thiết kế nhằm thực các nội dung: - Tính đa thức đặc trưng A 106 - Tìm dư chia xn cho đa thức đặc trưng A (khi đó đa thức dư có bậc nhỏ cấp ma trận đơn vị) - Tính An theo đa thức dư [> restart; Mã chương trình with(LinearAlgebra): Luythua:=proc(A, n) local p, r, f, x; p:=CharacteristicPolynomial(A, x); r:=rem(x^n, p, x); f := unapply(r, x); f(A); end: ↵ Minh hoạ việc sử dụng chương trình (thực chương trình với các tham số): [> with(LinearAlgebra): ↵ [> A:=<<(sqrt(3)/2) + 1, 1/2>|<-5/2, (sqrt(3)/2-1)>>;# Khai báo ma trận A↵ ⎡ +1 ⎢ A := ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ − 1⎥ ⎦ − [> Luythua(A, 2002); # Thực thủ tục tính luỹ thừa với số mũ là 2002↵ ⎡1 ⎢ − ⎢2 ⎢ ⎢ − ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ + 3⎥ ⎦ Ta có thể mở rộng cho bất kì đa thức bậc n với ẩn là ma trận A, cách thay r:=rem(x^n, p, x) r:=rem( f(x) , p, x) • Kiểm tra tính lũy linh ma trận vuông Xét vấn đề kiểm tra ma trận vuông bất kì có phải là ma trận lũy linh hay không? Nếu ma trận đó là ma trận lũy linh thì bậc ma trận lũy linh đó (Xét đến ma trận lũy linh bậc 100000000) Thuật toán: - Tìm tất các giá trị riêng ma trận - Nếu tất các giá trị riêng ma trận thì ma trận là lũy linh, ngược lại ma trận là không lũy linh - Nếu ma trận là lũy linh thì ta tìm bậc lũy linh: + Tính lũy thừa ma trận (số lũy thừa lặp từ đến 100000000) 107 + Lập ma trận không cấp với ma trận đã cho + Nếu tồn số i cho lũy thừa bậc i thì ma trận đã cho ma trận không Lấy số i đó ta bậc lũy linh ma trận đã cho Mã chương trình: [> restart;with(linalg): with(LinearAlgebra): LLkhong:=proc(A) local i, M, p, k, L, u, J, Q, P; p:=CharacteristicPolynomial(A, x); k:=solve(p=0,{x}); L:={k}; u:=nops(L); M:=Matrix(1 rowdim(A), coldim(A), shape=zero); if equal(M, A)=true then print(‘ Trường hợp tầm thường ‘); else if u=1 and L[1]={x=0} then for i from to 100000000 if equal(M, A^i)=true then print(‘ Ma trận đã cho là ma trận lũy linh có bậc là ‘, i); break; fi; od; else print(‘ Ma trận đã cho không phải là ma trận lũy linh ‘); fi; fi; end: ↵ Minh hoạ việc sử dụng chương trình [> with(LinearAlgebra): A:=<<0,-1,-2>|<-2,0,0>|<1,0,0>>;# Khai báo ma trận#↵ ⎡ -2 1⎤ ⎥ ⎢ A := ⎢⎢-1 0⎥⎥ ⎢-2 0⎥ ⎦ ⎣ [> LLkhong(A);# Thực chương trình con#↵ Ma trận đã cho là ma trận lũy linh có bậc là, [> J:=JordanForm(A): Q := JordanForm(A, output='Q'): ↵ [> Q^(-1) A Q; ↵ ⎡0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣ 0 0⎤ ⎥ 1⎥⎥ 0⎥⎦ Để dạng chéo ma trận ban đầu ta dựa vào dạng gần với ma trận chéo trên để tính hạng (ma trận có hạng 2), định thức ma trận ban đầu (một ma trận lũy linh luôn có tất các giá trị riêng không, đó có định thức không) • Kiểm tra tính giao hoán phép nhân các ma trận Mã chương trình: 108 [> with(linalg): [>GiaohoanK:=proc(A,B) local C, D, n1, n2, m1, m2; n1:=rowdim(A); m1:=coldim(B); m2:=rowdim(B); n2:=coldim(A); if n1- n2 <> or m1- m2 <> or n1-m1 <> then print(‘ Nhap lai cac ma tran ‘) else C:=multiply(A, B); D:=multiply(B, A); if equal(C, D)=true then print('true') else print('false'); fi; fi; end: ↵ Minh hoạ việc sử dụng chương trình [> A:=matrix(3,3,[2,0,0,0,3,0,0,0,3]); ↵ ⎡2 ⎢ A := ⎢⎢ ⎢0 ⎣ 0⎤ ⎥ 0⎥⎥ 3⎥⎦ 0 0⎤ ⎥ 0⎥⎥ 0⎥⎦ [>B:=matrix(3,3,[0,0,0,0,0,0,0,1,0]); ↵ ⎡0 ⎢ B := ⎢⎢ ⎢0 ⎣ [> GiaohoanK(A,B); ↵ true • Kiểm tra tính chéo hóa ma trận vuông và đưa ma trận đó dạng ma trận chéo (nếu ma trận đó chéo hóa được) Mã chương trình: [> CheohoaK:=proc(A) local B; B := diag(eigenvalues(A)); if issimilar(A, B)= true then print(' true '); print(‘ Dạng chéo ma trận là ‘); print(B); else print(' false '); fi; end: ↵ Minh hoạ việc sử dụng chương trình [> with(linalg,matrix,issimilar,eigenvalues,diag): ↵ [> A := matrix(4,4,[1,0,0,0,1,-2,3,-2,0,1,1,-1,-1,-2,0,1]); ↵ ⎡ 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ -2 -2⎥ ⎢ ⎥ A := ⎢ ⎥ ⎢ 1 -1⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣-1 -2 1⎦ 109 [> CheohoaK(A); ↵ true Dạng chéo ma trận là ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣ 0 0 − + 2 0 13 − − 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 13 ⎥⎥ ⎦ • Kiểm tra và khẳng định tính đúng đắn các mệnh đề Xét mệnh đề sau: “ Hai ma trận vuông đồng dạng thì có cùng vết “ Liệu điều đó có đúng không và mệnh đề đảo có đúng không? Ta sử dụng các câu lệnh sau Maple: [> A := matrix(3,3,[0,1,2,-1,-1,-1,2,0,1]); ↵ ⎡ 2⎤ ⎥ ⎢ A := ⎢⎢-1 -1 -1⎥⎥ ⎢ 1⎥ ⎦ ⎣ [> B := diag(eigenvalues(A)); ↵ [ > CheohoaK(A); ↵ true ⎡-1 ⎢ ⎢ ⎢ + 13 B := ⎢⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎢ ⎣ [> issimilar(A, B); ↵ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 − 13 ⎥⎥⎥ 2 ⎦ true [> trace(A); ↵ [> trace(B); ↵ [> C := matrix(3,3,[0,2,3,0-1,0,2,3,-1,0]); ↵ ⎡ 3⎤ ⎥ ⎢ C := ⎢⎢-1 2⎥⎥ ⎢ -1 0⎥ ⎦ ⎣ [> trace(A); ↵ [> trace(C); ↵ [> issimilar(A, C); ↵ false 110 Như trên ta thấy hai ma trận cùng vết (A và C) không đồng dạng, suy mệnh đề đảo không đúng • Tính định thức ma trận min(i, j) n i,j=1 Trước hết ta dùng các hàm Maple tạo ma trận với cấp xác định thỏa mãn điều kiện bài toán sau đó tính định thức ma trận đó Dựa trên kết để suy luận sau đó tổng quát hóa cho ma trận có cấp n bất kì Mã chương trình: [> with(linalg): [> n:=5: A:=array(1 n,1 n): for i to n for j to n if i < j then A[i, j]:= i; else A[i, j]:= j; fi; od; od; print(A); ↵ Kết thực thủ tục: ⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢⎢ ⎣1 [> det(A); ↵ 2 2 3 3 4 1⎤ ⎥ 2⎥⎥ 3⎥⎥ ⎥ 4⎥⎥ ⎥ 5⎥⎦ Ta thấy kết định thức Ta xét thêm ma trận cấp cao (cấp 10) cách thay n:=10 vào đầu các câu lệnh trên Kết ta ma trận có định thức Đến đây nảy sinh vấn đề: Vậy liệu ma trận có dạng với cấp thì kết trên còn đúng không ? Nếu điều đó đúng thì chắn ma trận A phân tích thành hai hay nhiều ma trận có định thức Để tìm hiểu, ta thực lệnh sau: [> A1 := LUdecomp(A, L='A2',U='u'): ↵ [> evalm(A1); ↵ 111 ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎢ ⎣0 1 0 1 0 1 1 1⎤ ⎥ 1⎥⎥ 1⎥⎥ ⎥ 1⎥⎥ ⎥ 1⎥⎦ ⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢⎢ ⎣1 1 1 0 1 0 1 0⎤ ⎥ 0⎥⎥ 0⎥⎥ ⎥ 0⎥⎥ ⎥ 1⎥⎦ [> evalm(A2); ↵ Với lệnh trên ta thấy rõ ràng là ma trận A là tích hai ma trận A1 và A2, đó các ma trận A1 (ma trận tam giác trên) và A2 (ma trận tam giác dưới) là các ma trận có định thức Bằng việc thay đổi các bậc A, ta thấy kết trên đúng Do vậy, ta nhân hai ma trận A1, A2 cấp n và thu kết là ma trận A Như vậy, bài toán đã giải xong • Tìm ma trận nghịch đảo Xét ma trận A có dạng sau: ⎡ ⎢ a ⎢ A = ⎢ a2 ⎢ ⎢ ⎢⎣ a n −1 a 0 a n−2 n−3 a 0⎤ ⎥⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ Trước hết, ta tìm ma trận nghịch đảo ma trận B có dạng trên có bậc hoàn toàn xác định (chẳng hạn với bậc 5), sau đó tìm ma trận nghịch đảo ma trận B, từ dạng ma trận B-1 ta có thể dự đoán dạng nghịch đảo ma trận A Mã chương trình: [> restart; :with(linalg): ↵ [>B:=matrix(5,5,[1,0,0,0,0,a,1,0,0,0,a^2,a,1,0,0,a^3,a^2,a,1,0,a^4,a^3,a^2,a,1]); ↵ ⎡1 ⎢ ⎢a ⎢ ⎢ B := ⎢⎢a ⎢a ⎢ ⎢ ⎢a ⎣ a a2 a3 0 a a2 0 a 0⎤ ⎥ 0⎥⎥ ⎥ 0⎥⎥ 0⎥⎥ ⎥ 1⎥⎦ [> inverse(B); ↵ 112 ⎡1 ⎢ ⎢−a ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎢ ⎣0 −a 0 0 −a 0 0 −a 0⎤ ⎥ 0⎥⎥ 0⎥⎥ ⎥ 0⎥⎥ ⎥ 1⎥⎦ Từ đây dự đoán ma trận nghịch đảo A có dạng sau: ⎡1 ⎢ −a ⎢ ⎢ −a A −1 = ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0 0⎤ ⎥⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ −a 1⎥⎦ 0 • Kiểm tra tính khác không định thức cách dùng phép chia có dư cho các phần tử ma trận để đưa ma trận đó dạng đơn giản Mã chương trình: [> with(linalg): [> Matrixmod:=proc(A, p) local u, v, i, j, B; u:=rowdim(A);v:=coldim(A); B:=array(1 u, v); for i to u for j to v B[i,j]:=A[i, j] mod p;od;od; print(B); end: ↵ Minh hoạ việc sử dụng chương trình [>A:=matrix(6,6,[7,82,62,54,24,90,86,13,24,26,6,8,0,2,5,8,0,12,2,4,6,9,64,24,12,4,6,8,1, 8,2,4,24,26,8,67]); ↵ ⎡ 82 62 54 24 90⎤ ⎥ ⎢ ⎢86 13 24 26 8⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 12⎥ ⎥ ⎢ ⎥ A := ⎢⎢ ⎥ ⎢ 64 24⎥ ⎥ ⎢ ⎢12 8⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 24 26 67⎥ ⎦ ⎣ [> Matrixmod(A, 2); ↵ 113 ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎤ ⎥ 0⎥⎥ 0⎥⎥ ⎥ 0⎥⎥ ⎥ 0⎥⎥ 1⎥⎦ Rõ ràng ma trận kết là ma trận đơn vị nên có định thức khác không đó ma trận đã cho có định thức khác không • Tìm hạng ma trận vuông cấp n mà các phần tử trên đường chéo chính 0, còn các phần tử còn lại -1 Trước hết ta tạo ma trận để thỏa mãn giả thiết đề bài (vì thư viện Maple chưa có sẵn) có các phần tử trên đường chéo chính 0, các phần tử còn lại lấy các giá trị -1 cách tùy ý Mã chương trình: - Tạo ma trận: [> Matrixransign:=proc(m,n) local i, j, a, c, A; A:=matrix(m, n, []); for i to m for j to n a:=rand(-99 99): c:=a(); if i<>j then A[i, j]:=sign(c); else A[i, j]:=0; fi; od; od; print(A); print(‘ Hạng A là ‘,rank(A)); end: ↵ -Sau đã xây dựng xong chương trình tạo ma trận, tiến hành tính hạng các ma trận ngẫu nhiên với cấp ma trận thay đổi Ta cấp 5: [> Matrixransign(5,5); ⎡ ⎢ ⎢ -1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ -1 ⎢ ⎢⎢ ⎣ -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 ⎤ ⎥ -1 ⎥⎥ -1 ⎥⎥ ⎥ -1 ⎥⎥ ⎥ ⎥⎦ Kết hạng A : Ta tiếp tục thử cho các ma trận ngẫu nhiên khác, sau số ma trận có hạng không đổi, ta gặp ma trận sau đây có hạng là [> Matrixransign(5,5); ↵ 114 ⎡0 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢ ⎢-1 ⎢ ⎢⎢ ⎣1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1⎤ ⎥ -1 ⎥⎥ -1 ⎥⎥ ⎥ -1 ⎥⎥ ⎥ ⎥⎦ 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 Kết hạng A: Tiếp tục với ma trận cấp : [>Matrixransign(7,7); ↵ ⎡0 ⎢ ⎢-1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢ ⎢-1 ⎢ ⎢ ⎢-1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢⎢ ⎣1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1⎤ ⎥ -1⎥⎥ -1⎥⎥ ⎥ 1⎥⎥ ⎥ -1⎥⎥ -1⎥⎥ ⎥ 0⎥⎦ Kết hạng A: Tiếp tục thử ta kết đây: [> Matrixransign(7,7); ↵ ⎡ ⎢ ⎢ -1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ -1 ⎢ ⎢ ⎢ -1 ⎢ ⎢ -1 ⎢ ⎢⎢ ⎣ -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 ⎤ ⎥ -1 ⎥⎥ -1 ⎥⎥ ⎥ -1 ⎥⎥ ⎥ -1 ⎥⎥ -1 ⎥⎥ ⎥ ⎥⎦ Kết hạng A: Như vậy, hạng ma trận có thể là (bằng cấp ma trận) Từ đó ta đến dự đoán sau "Hạng ma trận trên là n là n-1 " Mở rộng bài toán: Thay giả thiết các phần tử -1 phần tử tùy ý ta kết tương tự: " Trên đường chéo ma trận cấp n là các số 0, còn các phần tử khác là là c (c∈Z), ta có hạng ma trận này là n-1, là n " • Xét tính khả ngịch ma trận Ta thấy ma trận đơn vị có các phần tử trên đường chéo chính 1, còn các phần tử khác không Rõ ràng đây là ma trận khả nghịch Vấn đề đặt là liệu có mối quan hệ nào các phần tử trên đường chéo chính với các phần tử còn lại ma trận vuông cho ma trận đó là khả nghịch không? Ta xây dựng chương trình bao gồm các nhiệm vụ: - Tính tổng các trị tuyệt đối các phần tử nằm ngoài đường chéo 115 - Tính giá trị nhỏ trị tuyệt đối các phần tử trên đường chéo - Xét tính khả nghịch ma trận đó Mã chương trình: [> with(linalg): [> Chuan:=proc(A) local i, j, M, N, K; if rowdim(A) <> coldim(A) then print(‘ Nhap ma tran vuong ‘); else M:=0; K:=0; N:=abs(A[1, 1]); for i to rowdim(A) if N > abs(A[i, i]) then N:=abs(A[i, i]); fi; K:=K + abs(A[i, i]); for j to rowdim(A) M:= M +abs(A[i, j]); od; od; print(‘ Phần tử trên đường chéo chính có trị tuyệt đối bé là ‘, N); print(‘ Tổng trị tuyệt đối các phần tử ngoài đường chéo chính là ‘, M-K); print(‘ Định thức ma trận A là ‘, det(A)); fi; end: ↵ Minh hoạ việc sử dụng chương trình [> A:=matrix(2,2,[-4,-1,0,2]); ↵ -4 -1⎤ A := ⎢⎢⎡ ⎥⎥ ⎣ 2⎦ [> Chuan(A); ↵ Phần tử trên đường chéo chính có trị tuyệt đối bé là , Tổng trị tuyệt đối các phần tử ngoài đường chéo chính là , Định thức ma trận A là , -8 Ta thấy ma trận trên khả nghịch, có ∑a i≠ j ij =1, min( aii ) =2 Có vượt trội trị tuyệt đối các phần tử nằm trên đường chéo chính Ta tiếp tục thử với các ma trận khác: [> A:=matrix(4,4,[6,-1,0,1,0,7,1,-1,0,-1,-9,0,0,0,0,7]); ↵ ⎡6 ⎢ ⎢0 A := ⎢⎢ ⎢0 ⎢⎢ ⎣0 -1 1⎤ ⎥ -1⎥⎥ -1 -9 0⎥⎥ ⎥ 0 7⎥⎦ [> Chuan(A); ↵ Phần tử trên đường chéo chính có trị tuyệt đối bé là , 116 Tổng trị tuyệt đối các phần tử ngoài đường chéo chính là , Định thức ma trận A là , -2604 Kết trên cho thấy các phần tử trên đường chéo chính có vượt trội trị tuyệt đối so với các phần tử nằm ngoài đường chéo chính thì định thức ma trận đó khác không.Ta tiếp tục lập các ma trận thỏa mãn nhận xét trên và xem định thức nó có khác không không ? [> A:=matrix(4,4,[-16,-1,0,1,0,12,1,-1,0,-1,-19,0,-2,1,3,17]): Chuan(A); ↵ Phần tử trên đường chéo chính có trị tuyệt đối bé là , 12 Tổng trị tuyệt đối các phần tử ngoài đường chéo chính là , 11 Định thức ma trận A là, 61584 Tương tự ta thấy các ma trận thỏa mãn nhận xét có định thức khác không Từ đó ta sở để đến dự đoán là: " Một ma trận vuông cấp n A=( aij ) thỏa mãn min( aii ) > ∑a i≠ j ij thì ma trận đó khả nghịch ".Đây là cách phát biểu khác định lí Hađamard • Đưa biểu thức toạ độ dạng toàn phương dạng chính tắc Thiết lập chu trình với Maple [> restart; with(linalg): sqsum:=proc(f::quadratic) local i,l,n,x,J,S,K,F,kk; if ldegree(f)<>2 then error "f is not quadratic form" end if; S:=f;K:=0; indets(f): x:=convert(%,list): n:=nops(x): while S<>0 while has(S,{seq(x[i]^2,i=1 n)}) for i to n if has(S,x[i]^2) then K:=K+diff(S,x[i])^2/4/coeff(S,x[i]^2); S:=expand(Q-K); end if; 117 end do; end do; if S<>0 then if type(S,`+`) then op(1,S) else S; fi; indets(%); l := [coeff(coeff(%%,%[1]),%[2]),%[1],%[2]]; K:=K+(diff(S,l[2])+diff(S,l[3]))^2/(4*l[1])(diff(S,l[2])-diff(S,l[3]))^2/(4*l[1]); S:=expand(f-K); end if; end do; K:=map(simplify,K); RETURN(K); end: ↵ Các ví dụ minh hoạ sử dụng chương trình Ví dụ 1: [> Q:=x1^2 + 4*x2^2+ x3^2+ 4*x1*x2 + 2*x1*x3 + 2*x2*x3; ↵ Q := x12 + x2 + x32 + x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 [> sqsum(Q); ↵ ( x3 + x2 ) ( −x3 + x2 ) ( x1 + x2 + x3 ) − + 2 Ví dụ 2: [> Q:=x*y+y*z+x*z; ↵ Q := x y + y z + x z [> sqsum(Q); ↵ ( x + z + y ) ( −x + y ) − − z2 4 Ví dụ 3: [> Q:=sum(sum(x[i]*x[j],j=1 i-1),i=1 8); ↵ Q := x6 x2 + x2 x1 + x3 x1 + x4 x1 + x4 x2 + x4 x3 + x5 x1 + x5 x2 + x5 x3 + x5 x4 + x6 x1 + x6 x3 + x6 x4 + x6 x5 + x7 x1 + x7 x2 + x7 x3 + x7 x4 + x7 x5 + x7 x6 + x3 x2 + x8 x1 + x8 x2 + x8 x3 + x8 x4 + x8 x5 + x8 x6 + x8 x7 [> sqsum(Q); ↵ 118 1 2 ( x6 + x1 + x4 + x5 + x7 + x3 + x8 + x2 ) − ( −x6 + x2 ) 4 1 2 ( x4 + x5 + x7 + x8 + x1 ) − ( x1 + x4 + x5 + x7 + x8 + x3 ) − 12 1 2 2 − ( x4 + x7 + x8 + x5 ) − ( x4 + x8 + x7 ) − ( x8 + x4 ) − x 24 40 60 12 4.6 Khai thác các thư viện Maple dạy học toán • Tính giới hạn hàm số đối số dần đến điểm nào đó Câu lệnh: [>Student[Precalculus][LimitTutor]; # lệnh mở gói công cụ LimitTutor(f, pt); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số (hàm số) chứa biến, pt - (tuỳ chọn) số hay biểu thức có dạng name=constant, đó name là tên biến số f Mặc định là Ví dụ Tính giới hạn hàm số x2 + 2x + x → 0: [> with(Student[Precalculus]): LimitTutor(x^2 + 2*x + 3); Kết thực hiện: Trên màn hình xuất cửa sổ mô tả dạng đồ thị và bảng giá trị hàm số số điểm bên phải, bên trái điểm Ta có thể thay đổi giá trị xủa x0 cách thay đổi giá trị ô “x=” thay đổi biểu thức hàm số f(x) hộp thoại “f(x)=” Chú ý Nếu dùng lệnh LimitTutor() thì chương trình đưa hàm số mặc định Xem chi tiết cách sử dụng mục Help chương trình • Vẽ đồ thị đường thẳng Câu lệnh: [>Student[Precalculus][LineTutor];LineTutor(f); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số bậc biến x và y Ví dụ: [> with(Student[Precalculus]):LineTutor(); 119 Khi thực lệnh, trên màn hình xuất bảng, ta chọn dạng: - Point, slope: Vẽ đường thẳng qua điểm P(x,y) với hệ số góc m; - Two Points: Vẽ đường thẳng qua điểm P1(x1,y1), P2(x2,y2); - Slope,intercept: Vẽ đường thẳng dạng y=ax+b; - General form: Vẽ đường thẳng ax+by=0 Ví dụ đường thẳng qua điểm P(2, 0) và có hệ số góc m = sau: • Tìm nghiệm gần đúng và minh hoạ đồ thị các nghiệm đa thức Câu lệnh: [>Student[Precalculus][PolynomialTutor];PolynomialTutor(p); Trong đó: p - (tuỳ chọn) đa thức biến Ví dụ: [> with(Student[Precalculus]):PolynomialTutor(2*x^2+2*x-1); • Xác định hệ số góc đường cong Câu lệnh:[> Student[Precalculus][FunctionSlopeTutor]; FunctionSlopeTutor(f, pt) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, 120 pt - (tuỳ chọn) số hay biểu thức dạng name=constant, đó name là tên biến số biểu thức f Mặc định là Ví dụ: [> with(Student[Precalculus]): FunctionSlopeTutor(x^3+3*x^2+x-3); Kết hộp thoại sau: Ta có thể thay đổi giá trị x và biểu thức f(x) để các kết cần có • Vẽ đồ thị hàm phân thức Câu lệnh:[> Student[Precalculus][RationalFunctionTutor]; RationalFunctionTutor(f) Trong đó: f - (tuỳ chọn) hàm phân thức biến số Ví dụ.[> with(Student[Precalculus]): RationalFunctionTutor(); • Vẽ đồ thị và các yếu tố liên quan đến đường côníc Câu lệnh:[ >Student[Precalculus][ConicsTutor] ; 121 ConicsTutor(f) Trong đó: f - (tuỳ chọn) các dạng sau đây: biểu thức đại số bậc hai biến x và y, không có hạng tử xy; phương trình dạng r = g(t), đó g(t) là phương trình côníc với biến t; biểu thức g(t), đó g(t) là phương trình côníc với biến t Ví dụ.[> with(Student[Precalculus]): ConicsTutor(x^2/16 + y^2/9 = 1); Kết thực sau: • Vẽ đồ thị hàm số hợp hai hàm số cho trước Câu lệnh:[> Student[Precalculus][CompositionTutor]; CompositionTutor(f, g) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, g - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến Ví dụ: [> with(Student[Precalculus]): CompositionTutor(); CompositionTutor(x^3+2, 1/x^2); Kết trên màn hình bao gồm đồ thị các hàm số f(x), g(x) và hàm hợp f(g(x)) biểu diễn các mầu khác Ta có thể tuỳ chọn thể đồ thị hàm f(g(x)) g(f(x)) 122 • Minh hoạ miền nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính Câu lệnh:[> LinearInequalitiesTutor(s) Trong đó: s - (tuỳ chọn) là bất phương trình tuyến tính với biến x và y hệ bất phương trình (được cho tối đa là bất phương trình) Ví dụ.[> with(Student[Precalculus]): LinearInequalitiesTutor(); Ta có thể thay đổi dạng các bất phưng trình cách thay số trực tiếp các hộp thoại vá nhấn nút Display 123 • Vẽ đồ thị số hàm số sơ cấp dạng af(bx + c) + d Câu lệnh:[> StandardFunctionsTutor(f); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến Ví dụ.[>with(Student[Precalculus]): StandardFunctionsTutor(); Kết quả, trên màn hình xuất hộp thoại, ta có thể thay đổi các tham số để khảo sát các dạng cần thiết • Thay đổi màu mặc định cho đồ thị các Section Câu lệnh:[> SetColors(color1, color2, , color10) Trong đó: color1, color2, , color10 - (tuỳ chọn) các màu Ví dụ.[> with(Student): SetColors(); SetColors('blue', 'red'); • Tính đạo hàm hàm số theo bước Câu lệnh:[> Student[Calculus1][DiffTutor]; DiffTutor(f, var); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y = xsin(x) [> with(Student[Calculus1]): DiffTutor(x*sin(x), x); 124 Kết trên màn hình cho ta thấy kết bước quá trình tính đạo hàm • Tìm nguyên hàm và tính tích phân xác định Câu lệnh : [> IntTutor(f, var); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến,var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Tính tích phân ∫0 x + dx [> with(Student[Calculus1]): IntTutor(1/(x^2+1), x); • Tính giới hạn hàm số - Tính giới hạn hàm số theo bước 125 Câu lệnh:[> LimitTutor(f, a, dir); LimitTutor(f, var=a, dir); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a - (tuỳ chọn) điểm, dir - (tuỳ chọn) hướng lấy giới hạn, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Tính giới hạn sau lim ( x.cosx.lnx ) x →0 [> with(Student[Calculus1]): LimitTutor(x*cos(x)*ln(x)); • Xấp xỉ tích phân - Biểu diễn đồ thị số phương pháp xấp xỉ tích phân Qua đó, ta thấy hàm số đã cho thì dùng phương pháp nào thì sai số là ít Câu lệnh:[> Student[Calculus1][ApproximateIntTutor]; ApproximateIntTutor(f, a b) ApproximateIntTutor(f, var=a b) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền lấy tích phân, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ.[> with(Student[Calculus1]):ApproximateIntTutor(cos(x), Pi/2); ApproximateIntTutor(cos(x), x=0 Pi/2); 126 Chú ý Để so sánh chính xác so với cách tính tích phân với phương pháp khác ta nhấn vào nút compare • Tính độ dài cung Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]):ArcLengthTutor(f, a b); [>with(Student[Calculus1]):ArcLengthTutor(f, var=a b); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền tính độ dài; var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Tính độ dài đường cong y = - x3 trên đoạn [0; 2] [> with(Student[Calculus1]): ArcLengthTutor(2-x^3, x=0 2); • Đồ thị biểu thức đại số và đạo hàm nó Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]):DerivativeTutor(f, a b); DerivativeTutor(f, var=a b) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền vẽ đồ thị Ví dụ.[> with(Student[Calculus1]): DerivativeTutor(x*cos(x), -2*Pi 2*Pi); 127 • Tính giá trị trung bình hàm số Giá trị trung bình hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b] M xác định biểu thức: M= b f ( x)dx b − a ∫a Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]):FunctionAverageTutor(f, a b); FunctionAverageTutor(f, var=a b); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền lấy giá trị trung bình, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Tính giá trị trung bình hàm số y = - x3 trên đoạn [-2; 2] [> with(Student[Calculus1]): FunctionAverageTutor(2-x^3, -2 2); Kết thực cho ta thấy giá trị M và dạng đồ thị hàm số f(x) 128 • Đồ thị hàm số và hàm ngược nó qua đường thẳng y = x Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]):InverseTutor(f, a b); InverseTutor(f, var=a b) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) mền vẽ đồ thị, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ: [> with(Student[Calculus1]): InverseTutor(sin(x),-2*Pi 2*Pi); InverseTutor(1-exp(x), 2); • Mô tả tiếp tuyến - cát tuyến hàm số điểm Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]):TangentSecantTutor(f, a); TangentSecantTutor(f, var=a) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a - (tuỳ chọn) điểm, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ.[> with(Student[Calculus1]): TangentSecantTutor(x^2, x=4); 129 • Phương trình tiếp tuyến điểm Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]):TangentTutor(f, a); TangentTutor(f, var=a); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a - (tuỳ chọn) điểm, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ.[>with(Student[Calculus1]): TangentTutor(1-exp(x), 2); • Đa thức xấp xỉ Taylor Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]): TaylorApproximationTutor(f, a); TaylorApproximationTutor(f, var=a) Trong đó: f- (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a - (tuỳ chọn) điểm, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ.[> with(Student[Calculus1]): TaylorApproximationTutor(sin(x), x=0); 130 • Thể tích khối tròn xoay Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]): VolumeOfRevolutionTutor(f, var=a b) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền tính thể tích, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Tính thể tích khối tròn xoay tạo đường cong y = + sinx trên đoạn [0; π ] quay quanh trục hoành [> with(Student[Calculus1]): VolumeOfRevolutionTutor(1+sin(x), Pi); • Tính diện tích các mặt tròn xoay Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]):SurfaceOfRevolutionTutor(f, var=a b); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền tính tích, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Tính diện tích mặt tròn xoay tạo đường cong y = x2 trên đoạn [0; 2] quay quanh trục tung [> with(Student[Calculus1]): SurfaceOfRevolutionTutor(x^2, x = 2); 131 • Tìm nghiệm gần đúng theo phương pháp Niutơn Cho hàm số y = f(x) khả vi và có nghiệm nằm khoảng (a; b) Gọi { xi }i∈N * là dãy các nghiệm gần đúng phương trình f(x) = Khi đó, ta có: Công thức Niutơn: xn+1 = xn − f ' ( xn ) f ( xn ) Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]): NewtonsMethodTutor(f, a) NewtonsMethodTutor(f, var=a) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a - (tuỳ chọn) điểm, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ.Tìm nghiệm gần đúng phương trình x5 + x2-1=0 khoảng (-2; 2) Ta đặt f(x) = x5 + x2 - Khi đó, dễ thấy f(0).f(1) = - < ⇒ f(x) = có nghiệm khoảng (0; 1): [> with(Student[Calculus1]): NewtonsMethodTutor(x^5 + x^ - 1, x = 2); • Minh hoạ kết định lí Lagrăng Câu lệnh:[> > with(Student[Calculus1]): MeanValueTheoremTutor(f, var=a b) Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền vẽ đồ thị, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ.[> with(Student[Calculus1]): 132 MeanValueTheoremTutor(x*sin(x), -2*Pi 2*Pi ); • Khảo sát đường cong Câu lệnh:[> with(Student[Calculus1]): CurveAnalysisTutor(f, a b); CurveAnalysisTutor(f, var=a b); Trong đó: f - (tuỳ chọn) biểu thức đại số chứa biến, a b - (tuỳ chọn) miền vẽ đồ thị, var - (tuỳ chọn) biến số Ví dụ Xác định các điểm cực đại, cực tiểu; miền tăng, giảm; khoảng lồi, lõm hàm số y = xsinx trên đoạn [ −2π ;2π ] [> with(Student[Calculus1]): CurveAnalysisTutor(x*sin(x)); • Tính giá trị riêng ma trận Câu lệnh:[> with(Student[LinearAlgebra]): EigenvaluesTutor(M) 133 Trong đó: M - ma trận vuông Ví dụ Tính các giá trị riêng ma trận vuông sau: ⎡1 ⎤ ⎢2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ [> with(Student[LinearAlgebra]): M := <<1,2,0>|<2,3,2>|<0,2,1>>; ⎡ 0⎤ ⎥ ⎢ M := ⎢⎢ 2⎥⎥ ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎦ ⎣ [> EigenvaluesTutor( M ); Tiếp tục ta kết sau: • Tính véctơ riêng ma trận Câu lệnh:[ > with(Student[LinearAlgebra]): EigenvectorsTutor(M) Trong đó: M - ma trận vuông Ví dụ [> with(Student[LinearAlgebra]): M := <<1,2,0>|<2,3,2>|<0,2,1>>; 134 ⎡1 ⎢ M := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ 0⎤ ⎥ 2⎥⎥ 1⎥⎥⎦ [> EigenvectorsTutor( M ); Tiếp tục ta có: + Với t = 1⇒ véctơ riêng là (-1; 0; 1) + Với t = ⇒ véctơ riêng là (1; 2; 1) • Đưa ma trận dạng Gauxơ Câu lệnh:[ > with(Student[LinearAlgebra]): GaussianEliminationTutor(M) GaussianEliminationTutor(M, v) Trong đó: M - Ma trận, v - Véctơ Chú ý Trong Section này số chiều ma trận không lớn 5x5 Ví dụ [> with(Student[LinearAlgebra]): [> M := <<1,2,0>|<2,3,2>|<0,2,1>|<3,5,5>>; ⎡1 ⎢ M := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ [> v := <5,4,2>; 2 3⎤ ⎥ 5⎥⎥ 5⎥⎥⎦ ⎡ 5⎤ ⎢ ⎥ v := ⎢⎢ 4⎥⎥ ⎢⎢ 2⎥⎥ ⎣ ⎦ [> GaussianEliminationTutor(M); GaussianEliminationTutor(M, v); 135 Chúng ta có thể tìm không gian các véctơ cột, không gian các véctơ dòng, hạng ma trận • Đưa ma trận dạng Gauxơ - Jordan Câu lệnh:[ > with(Student[LinearAlgebra]): GaussJordanEliminationTutor(M) GaussJordanEliminationTutor(M, v) Trong đó: M - Ma trận, v - Véctơ Chú ý Trong Section này số chiều ma trận không lớn 5x5 Ví dụ: [> with(Student[LinearAlgebra]): M := <<1,2,0>|<2,3,2>|<0,2,1>|<3,5,5>>; 136 ⎡1 ⎢ M := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ [> v := <5,4,2>; 2 3⎤ ⎥ 5⎥⎥ 5⎥⎥⎦ ⎡ 5⎤ ⎢ ⎥ v := ⎢⎢ 4⎥⎥ ⎢⎢ 2⎥⎥ ⎣ ⎦ [> GaussJordanEliminationTutor( M ); GaussJordanEliminationTutor( M, v ); • Tính ma trận nghịch đảo 137 Câu lệnh:[ > with(Student[LinearAlgebra]): InverseTutor(M); Trong đó: M - Ma trận vuông Ví dụ Tính ma trận nghịch đảo ma trận : ⎡1 ⎤ ⎢2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ [> with(Student[LinearAlgebra]): M := <<1,2,0>|<2,3,2>|<0,2,1>>; ⎡1 ⎢ M := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ [> M^(-1); ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 5 -4 5 -1 5 0⎤ ⎥ 2⎥⎥ 1⎥⎥⎦ -4 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ [> InverseTutor( M ); 138 Chúng ta có thể thực bước và thử tính toán trên dòng, cột Để đưa kết cuối cùng ta nhấn nút Hint • Giải hệ phương trình tuyến tính Câu lệnh:[ > with(Student[LinearAlgebra]): LinearSolveTutor(M) LinearSolveTutor(M, v) Trong đó: M - Ma trận, v - Véctơ Ví dụ:[> with(Student[LinearAlgebra]): M := <<1,2,0>|<2,3,2>|<0,2,1>|<3,5,5>>; ⎡1 ⎢ M := ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ [> v := <5,4,2>; 2 3⎤ ⎥ 5⎥⎥ 5⎥⎥⎦ ⎡ 5⎤ ⎢ ⎥ v := ⎢⎢ 4⎥⎥ ⎢⎢ 2⎥⎥ ⎣ ⎦ [> LinearSolveTutor( M ); LinearSolveTutor( M, v ); 139 Sử dụng nút Hint để đưa kết cuối cùng bài toán Trong tất các Section trình bày trên có mục Help nhằm hướng dẫn cách sử dụng và khai thác có hiệu các chương trình này Các ví dụ tương tự còn nhiều, khuân khổ phạm vi mục nhỏ không thể đưa hết được, chúng tôi coi bài tập để bạn đọc tiếp tục tìm hiểu, khám phá 140 Nguồn tài liệu giáo trình đã trích dẫn, tham khảo [1] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục Tạ Duy Phượng -Hướng dẫn thực hành tính toán trên chương trình Maple V NXB Giáo dục 1998 [2] Phạm Huy Điển (chủ biên)-Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple NXB KH&KT 2002 [3] Nguyễn Bá Kim -Phương pháp dạy học môn toán NXB ĐHSP – 2002 [4] Mai Công Mãn -Sử dụng Maple giảng dạy môn hình học phẳng – Luận văn Thạc sỹ toán học 2000 [5] Đào Thái Lai –Ứng dụng CNTT và vấn đề đổi PPDH môn Toán Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục , số 9/2002 [6] Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà -Giải toán trên máy vi tính NXB Đà Nằng,1998 [7] Lê Công Triêm, Nguyễn Quang lạc – Một số quan điểm sở lý luận dạy học việc sử dụng MTĐT Tạp chí NCGD – 1992 [8] Sue Johnston Wilder, David Pimm The free NCET (1995) leaflet, Mathematics ang IT - apupil's entitlement [9] Sue Johnston Wilder, David Pimm The free NCET (1995) leaflet, Mathematics ang IT - apupil's entitlement [10] Investigating transformation usng Geometer’s sketchpad through coopeerative learning – SM-106 SEAMEO [11] Tran Vui Investigating Geometry with the Geometer’s Sketchpad – A Conjecturing Approach SEAMEO RECSAM, Penang, Malaysia [12] Asst.Prof.Krongthong Khairiee Teaching and Learning Mathematies Using The Geometer’s Sketchpad SEAMEO RECSAM, Penang Malaysia, 2002 [13] Technology for Teaching Priscilia Norton, Debra Sprague – George Mason University – 2001 [14 Leone Burton and barbara Jaworski -Technology in mathematies Teaching and Learning – A bridge between teaching ang learning Chartwell Bratt, England, 1995 141