Trên đờng thẳng d vuông góc vơíu P t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = 2R a TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp SABCD b Chứng minh O cách đều bốn mặt của hình chóp SABCD từ đó t[r]
(1)I DiÖn tÝch, ThÓ tÝch khèi ®a diÖn 1) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy AB = a và các mặt bên hợp với đáy góc TÝnh thÓ tÝch vµ S xq cña h×nh chãp 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = b, SA (ABCD) M lµ ®iÓm thuéc SA víi AM= x, mÆt ph¼ng (MBC) c¾t SD t¹i N TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn ABCDMN theo a, b vµ x 3) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là ABC vuông cân có AB = AC = a, cạnh bên AA' = a gäi E lµ trung ®iÓm cña AB, F lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E lªn BC mÆt ph¼ng (C'EF) chia lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần đó 4) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông có CA = CB = a; CC' = 2a M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ AA', mÆt ph¼ng (C'MN) c¾t BC t¹i P a) CM: PC = 2PB b) TÝnh: V ❑AMNCPC' 5) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a Gäi E, F lµ trung ®iÓm cña C'D' vµ C'B' MÆt ph¼ng (AEF) chia h×nh lËp ph¬ng thµnh hai phÇn TÝnh thÓ tÝch cña mçi phÇn 6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), SA = h Gọi I, J, K là trung ®iÓm cña SA, BC, CD Chøng minh mÆt ph¼ng (IJK) chia h×nh chãp S.ABCD thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng 7) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy avà góc ASB = a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp b) Chứng minh đờng cao hình chóp a α cot g2 −1 2 √ c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 8) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là tam gíc cân đỉnh A Trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc và tạo với mặt phẳng (SAD) gãc a) Xác định các góc và b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp 9) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a E vµ F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña C'B' vµ C'D' a) Xác định thiết diện hình lập phơng tạo (AEF) b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph¬ng mÆt ph¼ng (AEF) c¾t 10) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Từ A hạ các đờng vuông góc AE với SB và AF với SD a) Chøng minh: (AEF) SC b) Gọi P là giao điểm (AEF) với SC Tìm quỹ tích P S chạy trên nửa đờng thẳng Ax vuông góc với đáy ABCD c) Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tríc víi điều kiện V không vợt quá giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định II To¸n tæng hîp 1) Cho ABC có đờng cao AH = 3a, lấy điểm O trên đoạn AH cho AO = a Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác O lấy điểm S cho OS = BC a) CM: BC SA b) TÝnh SO, SA, SH theo a (2) c) Qua I trªn ®o¹n OH vÏ mÆt ph¼ng () OH () c¾t AB, AC, SC, SB lÇn lît t¹i M, N, P, Q CM: MNPQ lµ h×nh thang c©n d) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = AI Xác định x để diện tích này có giá trị lớn nhÊt 2) Cho h×nh chãp S.ABC cã SA (ABCD) §¸y ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c c©n Gäi B' vµ C' lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB vµ SC a) Chứng minh tứ giác BCC'B' nội tiếp đợc và các cạnh BC và B'C' không song song b) CM: ®iÓm A, B, C, B', C' ë trªn mét mÆt cÇu c) Gọi I là giao điểm đờng thẳng BC và B'C' CM: góc IAB = góc ICA 3) Cho hai nửa đờng thẳng chéo Ax, By hợp với góc là 600, AB = a lµ ®o¹n vu«ng gãc chung Trªn Ax, By lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm C, D cho AC = 2a, BD = a Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa By // Ax, E lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C lªn () a) CM: CD By b) Chứng minh điểm A, B, C, D, E trên mặt cầu, tính bán kính mặt cầu đó c) TÝnh gãc hîp bëi CD vµ mÆt ph¼ng (ABC) d) Tính độ dài đoạn vuông góc chung CE và AD 4) Cho hai nửa đờng thẳng Ax, By hợp với góc nhọn nhận AB = h làm đoạn vuông góc chung Trªn By lÊy ®iÓm C víi BC = a, gäi D lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn Ax Gäi Az là nửa đờng thẳng qua A và // By a) Tính độ dài AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD) b) Xác định tâm mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D c) Tính khoảng cách từ D đến By 5) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy avà góc ASB = a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp b) Chứng minh đờng cao hình chóp a α cot g2 −1 2 √ c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp 6) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là tam gíc cân đỉnh A Trung tuyến AD a Cạnh SB tạo với đáy góc và tạo với mặt phẳng (SAD) gãc a) Xác định các góc và b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp 7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AB và là điểm di động trên đờng thẳng BC a) Chøng minh r»ng SH (ABCD) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD b) T×m tËp hîp c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn DM c) Tính khoảng cách từ S đến DM theoa và x = CM 8) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A'B'C'D' c¹nh a E vµ F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña C'B' vµ C'D' a) Xác định thiết diện hình lập phơng tạo (AEF) b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph¬ng mÆt ph¼ng (AEF) c¾t 9) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a; SA = a và SA (ABCD), AI, AJ và AE là các đờng cao xuất phát từ A tam giác SAB, SAD và SAC a) Chứng minh: AI, AJ, AE đồng phẳng Chứng minh tứ giác AIEJ có các đờng chéo vuông góc và tính diện tích nó 10) Cho hình chóp SABCD đáy là hình chữ nhật cạnh; SA (ABCD) Dựng các đờng cao AH, AK tam gi¸c SAB vµ SAD Chøng minh: (AHK) (SBC) vµ (AHK) (SCD) (3) 11) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật A lÊy mét ®iÓm S mÆt ph¼ng qua CD c¾t SA t¹i M vµ SB t¹i N a) CDMN lµ h×nh g×? Nói cách dựng đờng vuông góc hạ từ S vuông góc với (CDMN) 12) Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D vµ AB = 2a; AC = DC = a; SA = a lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) a) Chøng minh (SAC) (SBC) TÝnh gãc nhÞ diÖn (A, SB, C) 13) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a Hai điểm M và N di động trên các cạnh BC và CD Đặt Chứng minh: = x và CN = y Trên đờng thẳng At vuông góc với (P) lấy điểm S Tìm hệ thức liên hệ x và y để: a) Gãc cña c¸c mÆt ph¼ng (SAM) vµ (SAN) b»ng 450 (SAM) (SMN) 14) Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vu«ng gãc víi nhau; SA = a a) Chøng minh: (SAB) (SBC) vµ (SBD) (SAC) b) Xác định và tính góc nhị diện (S, BD, A) c) Xác định và tính góc nhị diện (B, SC, D) 15) Cho hình vuông ABCD cạch a Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng hình vuông A ta lấy điểm S với AS = h Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a) SC vµ BD b) SC vµ AD 16) Trªn c¹nh AD cña h×nh vu«ng ABCD c¹nh a lÊy ®iÓm M víi AM = x (0 < x < a) vµ trªn nửa đờng thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) A ta lấy điểm S cho AS = y > a) Chøng minh r»ng nhÞ diÖn c¹nh SB cña h×nh chãp SABCM lµ nhÞ diÖn vu«ng b) Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña SC; H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn Chøng minh: T×m quü tÝch cña H M ch¹y trªn c¹nh AD vµ S ch¹y trªn Ax 17) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông A và B, AB = BC = a; AD = 2a; đờng cao hình chóp là SA = 2a a) Xác định và tính đoạn vuông góc chung AD và SC b) TÝnh gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh SD 18) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lụa giác cạnh a, chiếu cao SA = h a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD b) mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD đờng thẳngại B’, C’ , D’ Chứng minh r»ng tø gi¸c AB’C’D’ néi tiÕp c) Chøng minh: A’B’ > C’D’ 19) Cho hình chóp SABCD, đáy là hình vuông ABCD cạnh a, chiều cao SA a) H·y nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc víi SC b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn 20) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lục giác ABCD với AD = 2a, AB = BC = CD = A Cạnh SA = h vuông góc với đáy (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với SD cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ a) Chøng minh r»ng AB’C’D’ lµ mét tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’ c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB’C’D’ 21) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Từ A hạ các đờng vuông góc AE với SB và AF với SD d) Chøng minh: (AEF) SC e) Gọi P là giao điểm (AEF) với SC Tìm quỹ tích P S chạy trên nửa đờng thẳng Ax vuông góc với đáy ABCD f) Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tríc víi điều kiện V không vợt quá giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định 22) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD Trên đờng thẳng Ox vuông góc với (P) ta lấy điểm S 1/ Giả sử các mặt bên hình chóp SABCD tạo với đáy góc (4) a) Xác định đờng vuông góc chung SA và CD Tính độ dài đờng vuông góc chung đó theo a vµ b) Mét mÆt ph¼ng ®i qua AC vµ vu«ng gãc víi (SAD) chia h×nh cÇu thµnh hai phÇn TÝnh tỷ số thể tích hai phần đó 2/ Giả sử điểm S thay đổi, hãy xác định vị trí S trên Ox cho mặt phân giác góc nhị diện ứng với cạnh đáy mặt xung quanh hình chóp SABCD thành hai phần có diÖn tÝch b»ng 23) Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (r) bán kính R; A là điểm cố định trên (r), S là điểm trên đờng thẳng (d) vuông góc với (P) A ABCD là tứ giác nội tiếp (r) có hai đờng cheo AC vµ BD vu«ng gãc víi a) Giả sử S cố định, phải chọn đáy ABCD nào để hình chóp SABCD có thể tích lớn nhÊt b) Với ABCD đã định chọn nh câu a Giả sử S di động trên (d) Trên đoạn AB lấy điểm M Đặt AM = x (0 x R √ ) và AS = y Biết SM = R √ Hãy xác định vị trí M trên AB để hình chóp SAMBC có thể tích lớn 24) Cho hình chóp SABCD đó đáy ABCD là hình chữ nhật Cạnh bên SA (ABCD) Mét mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SC c¾t SB ë B’, c¾t SD ë D’ a) Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối vuông góc b) Chứng minh S di chuyển trên đờng thẳng vuông góc với (ABCD) A thì mặt phẳng (AB’C’D’) luôn qua đờng thẳng cố định Chứng minh các điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng nằm trên mặt cầu cố định c) Gi¶ sö gãc SC vµ mÆt (SAB) b»ng x TÝnh tû sè gi÷a thÓ tÝch cña h×nh chãp SAB’C’D’ vµ thÓ tÝch h×nh chãp SABCD theo x, biÕt r»ng AB = BC 25) Cho hình chóp SABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b Cạnh SA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ SA = 2a M lµ ®iÓm trªn SA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ SA = 2a M lµ ®iÓm trªn SA víi AM = x (0 x 2a) a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiế diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó b) Xác định x cho thiết diện nói trên có diện tích lớn c) Xác định x cho mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần có thể tích b»ng 26) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, góc A = Biết SA vu«ng gãc víi (ABC) vµ SA = h cho biÕt tån t¹i ®iÓm M, N, P lÇn lît thuéc AB, AC, BC cho AM = AN = AP và các tam giác SMP, SNP, tơng đơng a) Chøng minh P lµ trung ®iÓm cña BC b) TÝng thÓ tÝch cña h×nh chãp SAMPN c) Chøng minh h×nh chãp SAMPN cã mÆt cÇu néi tiÕp TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA (ABCD), AB = a, AD = b, SA = 2a Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA MÆt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g× TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn Êy đh đà lạt – d - 2000 28) Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đờng thẳng d qua A và vuông góc vơi mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S cho SA = a Trên cạnh CD lấy điểm M di động Hạ SH BM và AK SH §Æt gãc ABM = a) Chøng minh: AK (SBM) vµ tÝnh AK theo a vµ Hạ AI SB Chứng minh SB (AKI) và tìm quỹ tích K M thay đổi trên cạnh CD ®h qg – d - 2000 Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b , C 60 Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 300 1/Tính độ dài đoạn AC’ 2/Tính V khối lăng trụ (5) Bài 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A,B,C.Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 60 1/Tính V khối lăng trụ 2/C/m mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật S 3/Tính xq hình lăng trụ Bài 3: Tính V khối tứ diện đều cạnh a Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD 1/Biết AB =a và góc giữa mặt bên và đáy bằng ,tính V khối chóp 2/Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng Tính V khối chóp Bài 5:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC 1/Biết AB=a và SA=l ,tính V khối chóp 2/Biết SA=l và góc giữa mặt bên và đáy bằng ,tính V khối chóp Bài 6: Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc giữa đường cao với mặt bên là 30 Tính V khối chóp cụt Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông S va S của hình trụ 1/Tính xq 2/Tính V khối trụ tương ứng 3/Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ đã cho Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3.A và B là điểm trên đường tròn đáy cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30 S va S S va S của hình trụ 1/Tính xq 2/Tính V khối trụ tương ứng Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a của hình nón 1/Tính xq 2/Tính V khối nón tương ứng Bài 10: Cho một tứ diện đều có cạnh là a 1/Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 2/Tính S mặt cầu 3/Tính V khối cầu tương ứng Bài 11: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a ,cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60 1/Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2/Tính S mặt cầu 3/Tính V khối cầu tương ứng Bài 12: Cho hình nón có đường cao SO=h và bán kính đáy R Gọi M là điểm trên (6) đoạn OS, đặt OM = x (0<x<h) 1/Tính S thiết diện () vuông góc với trục tại M 2/ Tính V của khối nón đỉnh O và đáy () theo R ,h và x Xác định x cho V đạt giá trị lớn nhất? Bài 13: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là 1/Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp 2/ Tính giá trị của tan để các mặt cầu này có tâm trùng Bài 14: Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh l bằng đường kính đáy.Một hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc vớ đáy hình nón 1/Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu Sxq 2/Tính của phần mặt nón nằm mặt cầu S 3/Tính S mặt cầu và so sánh với của mặt nón Bài 15: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a,góc giữa đường thẳng AB’ S và mp(BB’CC’) bằng Tính xq của hình lăng trụ Bài 16: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu của A’ xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho BAA ' 45 1/C/m BCC’B’ là hình chữ nhật 2/Tính Sxq của hình lăng trụ Bài 17: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB 1/Tính Sxq của hình chóp a cot2 2/C/m rằng đường cao của hình chóp bằng : 3/ Gọi O là giao điểm các đường chéo của đáy ABCD Xác định góc để mặt cầu tâm O qua điểm S,A,B,C,D Bài 18: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 Tính V khối chóp đó Bài 19: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=5a ,BC =6a ,và các mặt bên tạo với đáy một góc 60 Tính V khối chóp đó Bài 20: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B.Cạnh SA vuông góc với đáy.Từ A kẻ các đoạn thẳng AD SB, AE SC Biết AB=a, BC=b,SA=c 1/Tính V khối chóp S.ADE 2/Tính khoảng cách từ E đến mp(SAB) (7) Bài 21: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ điểm bất kỳcủa tứ diện đều đến các mặt của nó là số không đổi Bài 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =2a ,AA’ =a.Lấy điểm M trên cạnh AD cho AM =3MD 1/Tính V khối chóp M.AB’C 2/Tính khoảng cách từMđến mp(AB’C) Bài 23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =b ,AA’ =c.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’.Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Bài 24: Cho đoạn thẳng AB và CD chéo ,AC là đường vuông góc chung của chúng Biết rằng AC=h, AB =a, CD =b và góc giữa đường thẳng AB và CD bằng 600 Tính V tứ diện ABCD Bài 25: Cho tứ diện đều ABCD.Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm V(H) các cạnh của tứ diện đều đó Tính tỉ số VABCD Bài 26: Tính V khối tứ diện đều cạnh a Bài 27: Tính V khối bát diện đều cạnh a Bài 28: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính tỉ số V khói hộp đó và V khối tứ diện ACB’D’ Bài 29: Cho hình chóp S.ABC.Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy điểm A’, VS.A 'B'C' SA ' SB' SC' V SA SB SC B’, C’ khác với S C/m : S.ABC Bài 30: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB=a Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một góc 60 Tính V khối chóp đó Bài 31: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a ,BC=6a ,CA=7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy một góc 60 Tính V khối chóp đó Bài 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ,SA vuông góc với đáy và AB=a ,AD=b, SA =c.Lấy các điểm B’,D’ theo thứ tự thuộc SB,SD cho AB' SB,AD' SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính V khối chóp đó Bài 33: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đáy là hình vuông cạnh a ,cạnh bên tạo với đáy một góc 60 Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng qua AM và song song với BD ,cắt SB tại E và cắt SD tại F.Tính V khối chóp S.AEMF Bài 34: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a 1/ Tính V khối tứ diện A’BB’C 2/Mặt phẳng qua A’B’ và trọng tâm ABC , cắt AC và BC lần lượt tại E và F.Tính V khối chóp C.A’B’FE Bài 35: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.cạnh a Gọi M là trung điểm của A’B’,N là trung điểm của BC (8) 1/Tính V khối tứ diện ADMN 2/Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành khối đa diện Gọi (H) là V(H) V khối đa diện chứa đỉnh A,(H’) là khối đa diện còn lại Tính tỉ số (H') Bài 36: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA =a ,đáy là tam giác vuông cân có AB =BC =a Gọi B’ là trung điểm của SB ,C’ là chân đường cao hạ từ A của ABC 1/ Tính V khối chóp S.ABC 2/C/m : SC mp(AB'C') 3/Tính V khối chóp S.AB’C’ Bài 37: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a , ABC vuông ở C có AB=2a, CAB 300 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB 1/ Tính V khối chóp H.ABC 2/C/m : AH SB và SB mp(AHK ) 3/ Tính V khối chóp S.AHK Bài 38: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB=a ,BC =2a ,AA’=3a Một mp(P) qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn thẳng CC’ và BB’ tại M và N 1/ Tính V khối chóp C.A’AB 2/C/m : AN A 'B 3/Tính V khối tứ diện A’AMN 4/Tính SAMN Bài 39: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a, AC a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC.Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa đường thẳng AA’,B’C’ Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA=a , SB a và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDNvà tính cosin của góc giữa đường thẳng SM,DN Bài 41:Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông ,AB=BC=a, cạnh bên AA ' a Gọi M là trung điểm của cạnh BC.Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa đường thẳng AM,B’C Bài 42:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.C/m : AM BP và V khối tứ diện CMNP (9) Bài 43:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE ,N là trung điểm của BC C/m : MN BD và tính khoảng cách giữa đường thẳng MN và AC Bài 44:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ABC BAD 90 , BA=BC=a ,AD =2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a Gọi H là hình d H;(SCD) chiếu vuông góc của A trên SB C/m SCD vuông và tính Bài 45:Cho hình trụ có các đáy là hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính V khối tứ diện OO’AB Bài 46:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a , AD a ,SA= a và SA mp(ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC I là giao điểm của BM và AC 1/Cmr: mp(SAC) mp(SMB) 2/Tính V khối tứ diện ANIB Bài 47:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =2a và SA mp(ABC) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính V khối chóp A.BCMN Bài 48: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDE.A’B’C’D’E’ cạnh bên l, mặt chéo qua cạnh đáy đối diện hợp với đáy góc 60 Tính V lăng trụ Bài 49: Cạnh đáy của hình chóp tam giác đều bằng a; mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy góc Tính V khối chóp Bài 50: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D=a tạo thành với mặt phẳng đáy ABCD góc bằng và tạo thành với mặt bên AA’D’D góc bằng Tính V của hình hộp chữ nhật trên Bài 51: Đường sinh của hình nón có độ dài bằng a và tạo thành với đáy góc Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón Bài 52: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ,cạnh huyền BC = a Mặt bên SBC tạo với đáy góc Hai mặt bên còn lại vuông góc với đáy 1/C/m SA là đường cao của hình chóp 2/Tính V khối chóp Bài 53: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông và chiều cao S bằng h Góc giữa đường chéo và mặt đáy của hình hộp chữ nhật đó bằng Tính xq và V của hình hộp đó Bài 54: Cho hình chóp tam giác S.ABC Hai mặt bên SAB và SBC của hình chóp cùng vuông góc với đáy ,mặt bên còn lại tạo với đáy góc Đáy ABC của hình chóp có S 900 B A , 60 , cạnh BC =a Tính xq và V của hình chóp (10) Bài 55: Đáy của hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác cân có AB=AC =a và 2 A Góc giữa mặt phẳng qua đỉnh A’,B,C và mặt đáy( ABC) bằng Sxq Tính và V của hình lăng trụ đó Bài 56: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có cạnh đáy bằng a và điểm D trên cạnh BB’.Mặt phẳng qua các điểm D,A,C tạo với mặt đáy (ABC) góc và mp qua các điểm DA’C’ tạo với mặt đáy A’B’C’ góc Tính V lăng trụ Bài 57: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S Trong đáy của hình nón đó có hình vuông 00 450 ASB ABCD nội tiếp , cạnh bằng a Biết rằng = 2 Sxq Tính V và của hình nón Bài 58: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Đáy ABC là tam giác cân có AB=AC = 120 Đường chéo của mặt BB’C’C bằng d và tạo với mặt đáy góc S Tính xq và V của hình lăng trụ đó Bài 59: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC =a và C Đường chéo BC của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc Tính V lăng trụ Bài 60: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , A , và chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O các đương S chéo của đáy Cho BB’ =a Tính V và xq của hình hộp đó Bài 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; (SAC) vuông góc với đáy ; ASC 90 và SA tạo với đáy góc bằng Tính V của hình chóp Bài 62: Cho hình chóp S.ABC có BAC 90 ,ABC ;SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) (ABC) Tính V của hình chóp Bài 63: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên S bằng Tính xq và V của hình chóp đó Bài 64: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên đều là tam giác vuông đỉnh S và SA=SB=SC =a Tính d S;(ABC) Bài 65: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , đường cao SA=a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H cắt SC tại K Tính SK và SAHK Bài 66: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành ABCD có diện tích bằng a2 và góc giữa đường chéo bằng 600 Biết rằng các cạnh bên của hình chóp nghiêng đếu trên mặt đáy góc 45 (11) 1/ Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật 2/ Tính V của hình chóp đó Bài 67: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B ,AB=BC=2a ; đường cao của hình chóp là SA =2a 1/ Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và SC 2/ Tính V của hình chóp đó Bài 68: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x ,còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 1/C/m: SA SC 2/Tính V của hình chóp đó Bài 69: Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a và AD= 2a Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy ,mp(SBD) tạo với mp chứa đáy góc 45 1/Tính V của hình chóp đó 2/Tính d C;(SBD) Bài 70: Cho tứ diện ABCD có AB=a ,BC =b, BD =c, ABD ABC 60 , CBD 900 Tính V của tứ diện đó Bài 71: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,trong đó ABC là tam giác đều cạnh c, A’H vuông góc với mp(ABC).(H là trực tâm của tam giác ABC ), cạnh bên AA’ tạo với mp(ABC) góc 1/C/mr: AA’ BC 2/Tính V của khối lăng trụ Bài 72: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 1/Tính V của hình chóp S.ABCD 2/Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp Bài 73: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SO =1 và đáy ABC có cạnh bằng Điểm M,N là trung điểm của cạnh AB,AC tương ứng Tính V của hình chóp S.AMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó Bài 74: Trong mp(P) cho điểm O và đường thẳng d cách O một khoảng OH =h .Lấy trên d hai điểm phân biệt B,C cho BOH COH 30 Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O, lấy điểm A cho OA =OB 1/Tính V của tứ diện OABC d O;(ABC) theo h 2/Tính Bài 75: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x và các cạnh còn lại đều bằng 1/C/m : SA SC 2/Tính V của hình chóp Xác định x để bài toán có nghĩa Bài 76: Tính V của khối tứ diện ABCD , biết AB =a, AC=AD=BC=BD=CD= a (12) Bài 77: Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB =SC =d và ASB 90 , 900 BSC 600 , ASC 1/C/m : ABC là tam giác vuông 2/Tính V của tứ diện SABC Bài 78: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD 60 Biết AB' BD' Tính V của khối lăng trụ trên theo a Bài 79: Trên nửa đường tròn đường kính AB =2R , lấy điểm C tuỳ ý Dựng CH AB (H thuộc AB) và gọi I là trung điểm của CH Trên nửa đường thẳng It vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S cho ASB 90 1/C/m : SHC là tam giác đều 2/Đặt AH =h Tính V của tứ diện SABC theo h và R Bài 80: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB,AC,AD,vuông góc với từng đôi một và AB=a, AC=2a ,AD =3a Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a Bài 81: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a I là trung điểm của AB Qua I dựng đường vuông góc với mp(ABC) và trên đó lấy điểm S cho 2IS a 1/C/m: SAD là tam giác vuông d C;(SAD) 2/Tính V của hình chóp S.ACD Suy Bài 82: Bên hình trụ tròn xoay có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà đỉnh liên tiếp A,B nằm trên đường tròn đáy thứ của hình trụ, đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ của hình trụ.Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính Sxq và V của hình trụ đó Bài 83: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm Obán kính R và 1200 A Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S cho SA= a 1/Tính V tứ diện SABC theo a và R 2/Cho R =2a, gọi I là trung điểm của BC.Tính số đo giữa SI và hình chiếu của nó trên mp(ABC) Bài 84: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy là hình chữ nhật có AB=2a, BC=a, Các cạnh bên của hình chóp đều bằng a Tính V của hình chóp S.ABCD theo a Bài 85: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD lần lượt vuông góc với từng đôi một, AB=a, AC=2a ,AD=3a 1/Tính d A;(BCD) 2/Tính SBCD Bài 86: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a ,đường cao SO =h 1/Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (13) 2/Tính V của hình chóp S.ABCD Bài 87: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 0 Góc giữa mặt bên và đáy là ( 45 90 ) Tính STP và V hình chóp Bài 88: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a Cạnh bên SA= a Một mp(P) qua AB và vuông góc với mp(SCD) (P) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’ 1/Tính S tứ giác ABC’D’ 2/Tính V hình đa diện ABCDD’C’ Bài 89: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng h và đường thẳng AB’ ,BC’ vuông góc với Tính V lăng trụ đó Bài 90: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB =a và góc SAB Tính V của hình chóp S.ABCD theo a và Bài 91: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy 1/Tính STP của hình chóp 2/Hạ AE SB , AF SD C/m: SC mp(AEF) Bài 92: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA=SB =SC= =SD =a.Tính STP và V hình chóp S.ABCD Bài 93: Cho SABC là tứ diện có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC =2a , cạnh SA mp(ABC) và SA =a 1/Tính d A;mp(SBC) d O;mp(SBC) 2/Gọi O là trung điểm của AC Tính Bài 94: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D , AB=AD =a ,CD=2a Cạnh bên SD mp(ABCD) ,SD= a 1/C/mr: SBC vuông Tính SSBC d A;(SBC) 2/Tính Bài 95: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ,biết AB=2a ,BC =a ,các cạnh bên của hình chóp bằng và bằng a Tính V hình chóp Bài 96: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D , AB=AD =a ,CD=2a Cạnh bên SD mp(ABCD) ,SD a Từ trung điểm E của DC dựng EK SC (K SC) Tính V hình chóp S.ABCD theo a và SC mp(EBK ) Bài 97: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA (ABCD) , SA= a H là hình chiếu của A lên SD (14) 1/C/m : AH (SBC) d O;(SBC) 2/Gọi O là giao điểm của AC và BD Tính Bài 98: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D.Biết rằng AB=2a ,AD=CD =a (a>0) Cạnh bên SA =3a vuông góc với đáy 1/Tính SSBD 2/Tính V tứ diện SBCD theo a Bài 99: Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mp qua trục của nó , ta được tam giác S S vuông cân có cạnh huyền bằng a Tính xq , và V của hình nón Bài 100: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh SA vuông góc với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD SB và AE Sc Biết AB =a ,BC =b, SA =c 1/Tính V của khối chóp S.ADE 2/Tính d E;(SAB) Kim tù th¸p bài1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh a Mặt bên tạo với mặt đáy hình chóp góc 600 Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và cắt SC, SD lần lợt M và N Cho biết góc tạo mặt phẳng (P) và mặt đáy hình chóp là 300 a) Tø gi¸c ABMN lµ h×nh g×? b) TÝnh VSABMN theo a ®h sp – a - 2000 bài2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh a và SA = SB = SC = SD = a a) TÝnh STP vµ VSABCD theo a ®h sp – d - 2001 b) TÝnh cosin cña gãc nhÞ diÖn (SAB, SAD) bµi3: Cho h×nh thoi ABCD t©m O; SO lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh thoi a) Chøng minh r»ng (SAC) lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña c¸c nhÞ diÖn c¹nh SA vµ SC Suy O cách bốn mặt bên hình chóp SABCD Tìm điểm cách năm mặt hình chóp bài4: Cho hình chóp SABCD đáy là hình vuông cạnh a Gọi O là tâm hình vuông; SO vuông gãc víi (ABCD); SA = b, SA t¹o víi (ABCD) vµ (SBC) hai gãc b»ng vµ b»ng a) Xác định hình chiếu H A xuống mặt phẳng (SBC) Chứng minh SO = AH b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b råi suy gi¸ trÞ cña tg bài5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD, diện tích a2 √ và góc hai đờng chéo 600 Biết các cạnh hình chóp nghiêng trên mặt đáy gãc 450 a) Chøng minh: ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp bài6: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, đờng cao h Gọi (P) là mặt phẳng qua A vµ vu«ng gãc víi SC t¹i C’ a) h phải thoả mãn điều kiện gì a để C’ SC? b) Trong điều kiện đó (P) còn cắt SB, SD lần lợt B’, D’ Chứng minh B’C’D’ là tam gi¸c tï bài7: Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh a , đờng cao SO = a √ a) M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n OC víi AM = x Qua M ta dùng mÆt ph¼ng (P) song song víi SA vµ BD Nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã theo a vµ x b) NÕu M thuéc ®o¹n AO, h·y lÆp l¹i c©u hái trªn bài8: Cho hình chóp tứ giác SABCD Gọi M, N, E lần lợt là trung điểm AB, AD và SC a) Dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNE) b) TÝnh tû sè thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh chãp ph©n chia bëi thiÕt diÖn trªn (15) bài9: Cho hình chóp tứ giác SABCD đỉnh S, cạnh đáy a, đờng cao SH Một điểm M b¾t kú thuéc AH, mÆt ph¼ng (P) qua M song song víi AD vµ SH c¾t AB, DC, SD vµ SA lÇn lît t¹i I, J, K, L a) Cho biết SH = a √ Xác định vị trí M trên AH để thiết diện IJKL là tứ giác ngo¹i tiÕp b) Xác định vị trí M trên AH để thể tích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhât c) mặt phẳng (P) cắt DB N Tìm quỹ tích giao điểm P hai đờng chéo tứ giác MNKL M thay đổi trên AH bài10: Cho hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, góc mặt bên và mặt đáy là Qua cạnh đáy ta dựng mặt phẳng tạo với mặt đáy góc Tính diện tích thiết diện bài11: Cho hình chóp tứ giác SABCD đó ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a a) TÝnh chiÕu cao vµ thÓ tÝch h×nh chãp b) Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AD vµ SC MÆt ph¼ng MNP c¾t SB vµ SD t¹i Q vµ R So s¸nh c¸c ®o¹n QB vµ RD víi SB c) Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia hình chóp đã cho thành hai phần có thể tích nhau; kết đó có đúng không SA = SB = SC a bài12: Chop hình chóp tứ giác SABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB = Tính thÓ tÝch h×nh chãp SABCD theo a vµ ®h y hn - 2000 bài13: Cho hình chóp tứ giác đều: SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Góc phẳng nhị diện tạo mặt bên và đáy là (450 < < 900) a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ VSABCD b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Tõ M kÎ MK vu«ng gãc víi mp(SAD) MÆt ph¼ng (BCK) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ ®h nn - 2000 bài14: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đờng cao SH, đờng trung đoạn thuộc mặt bên (SBC) là SN = a và hợp với đờng cao SH góc a) TÝnh VSABCD theo a vµ c® l® xh - 2000 b) Trong mÆt ph¼ng (SHN) vµ HK SN Chøng minh: HK lµ kho¶ng c¸ch tõ H tíi mÆt (SBC) TÝnh HK biÕt a = 3960 vµ = 22030’ c) TÝnh HK biÕt diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp lµ: STP = 8a2sincos2(450 – /2) Chãp côt: bài1: Một chóp cụt tứ giác có chiều cao h, cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ, cạnh bên tạo với cạnh đáy lớn xuất phát từ cùng đỉnh góc TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch chãp côt bài2: Biết hai đáy chóp cụt có diện tích B, B’ Tính diện tích thiết diện trung bình , tức kà thiết diện qua điểm cạnh bên và song song với hai đáy chóp cụt bài3: Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho sẵn Tính thể tích hình chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ bài4: Cho chóp cụt tứ giác ABCDA’B’C’D’ Tính tỷ số diện tích hai tứ giác ACC’A’ và ABC’D’ biết góc mặt phẳng tạo bới hai tứ giác đó là bài5: Cho chóp cụt lục giác ngoại tiếp hình cầu tâm I bán kính R Gọi O và O’ là tâm hai đáy, x và y là trung đoạn hai đáy a) Chứng minh với R cho sẵn thì tích xy không đổi b) Tính thể tích chóp cụt theo x, y và R Tính giá trị nhỏ thể tích x, y thay đổi c) Tính góc mặt bên với đáy lớn x + y = 4R x – y = 2R bài6: Cho hình chóp cụt tam giác ABCA’B’C’ ngoại tiếp hình cầu tâm O bán kính R a) Chøng minh hai mÆt ph¼ng (OBC) vµ (OB’C’) vu«ng gãc víi b) H lµ giao ®iÓm cña BC’ vµ B’C’ Chøng tá OH vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BCC’B’) c) Trong các hình chóp cụt nói trên xác định hình chóp cụt có thể tích nhỏ nhất, Chứng minh r»ng ®iÒu kiÖn nµy diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp côt còng nhá nhÊt TÝnh c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt nãi trªn (16) H×nh chãp: bài1: Cho hình chóp SABCD với ABCD là nửa lục giác (AD > BC) và SA (ABCD) Một mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t D’ vµ c¾t SB, SC t¹i B’, C’ Chøng minh: AB’C’D’ lµ tø gi¸c néi tiÕp bài2: Cho hình vuông ABCD cạch a Từ trung điểm I AD ta dựng đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S cho SAD là tam giác a) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung SD và AB b) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung SA và CM đó M là trung ®iÓm cña AB bài3: Trong mp() cho hình chữ nhật ABCD Gọi (C) là đờng tròn đờng kính BD mặt phẳng qua BD và vuông góc với (); M là điểm di động trên (C) a) Chøng minh: AM MC b) Có vị trí nào M trên (C) để (MAB) (MCD) không? c) Gọi () là mặt phẳng qua CD và vuông góc với () đờng thẳng AM cắt () M’ Gọi H’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M’ lªn CD Chøng minh r»ng: DH’ = k2M’H2 víi k lµ số không phụ thuộc vào M Từ đó suy quỹ tích M’ M chuyển động trªn (C) bài4: Cho hình vuông ABCD nằm mp(P) Qua A dựng nửa đờng thẳng Ax (P) M là điểm trên Ax đờng thẳng qua M vuông góc với mp(MCB) cắt (P) R Đờng thẳng qua M vu«ng gãc víi mp(MCD) c¾t (P) ë S a) Chøng minh: A, B, R th¼ng hµng vµ A, D, S th¼ng hµng b) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n RS M di chuyÓn trªn Ax c) Gọi H là chân đờng cao kẻ từ A MAI Chứng minh AH là đờng cao tứ diện ARMS vµ H lµ trùc t©m cña MRS bài5: Cho hình chóp SABCD có các đặc điểm sau: Đáy là hình thang cân ABCD ngoại tiếp đờng tròn tâm O bán kính a, AB // CD và CD = 4AB SO = 2a là đờng cao a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp b) Chứng minh O cách bốn mặt bên hình chóp Xác định tâm và bán kính h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp bµi6: Cho tø diÖn ABCD víi AB = a; CD = b a) Xác định hình dạng thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) song song với AB và CD b) Xác định vị trí mặt phẳng (P) cho diện tích thiết diện lớn c) Xác định vị trí mặt phẳng (P) cho thiết diện là hình thoi bài7: Cho hình chóp PQRS đáy là tam giác QRS cạnh m, PQ = m √ ; đờng cao cña h×nh chãp kÎ tõ P ®i qua trung ®iÓm cña RS Ngêi ta c¾t h×nh chãp b»ng mét mÆt ph¼ng song song với PQ và RS và cách đỉnh Q đoạn d a) Nêu cách dựng thiết diện Xác định hình dáng thiết diện b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn bài8: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SA = x, còn tất các cạnh khác độ dài a) Chøng minh SA SC b) Tính thể tích hình chóp Xác định x để bài toán có nghĩa Xác định x để thể tích lín nhÊt bài9: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i A’, B’, C’, D’ Chøng minh hÖ thøc: SA SC SB SD + = + SA ' SC' SB' SD' bài10: Hai hình chóp tam giác có chung chiều cao, đỉnh, các cạnh bên hình chóp trùng víi t©m cña h×nh chãp kia, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp nµy c¾t c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp Cạnh bên l hình chóp thứ tạo với đờng cao góc Cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đờng cao góc Tính thể tích phần chung hai hình chóp bài11: Trong mặt phẳng () cho OAB và điểm di động M trên đoạn AB Từ M ta dựng hai đờng thẳng song song với OB và OA, Lần lợt cắt OA, OB P và Q; Gọi I là giao điê,r AQ và BP Trên đờng thẳng vuông góc với mp() M ta lấy điểm S M Đặt OA = a, OB = b (17) a) Chøng minh: OP OQ + =1 Từ đó suy thể tích hai hình chóp SOPIQ và SIAB a b b) Cho gãc AOB = 600, a = 2b vµ SM = b √ Gäi 1, 2 lÇn lît lµ gãc ph¼ng cña hai nhÞ diện tạo bới (SOA) và (SOB) với mp() Chứng minh rằng: M động trên đoạn 2 1 tg tg AB th× ta lu«n cã hÖ thøc: bµi12: §¸y cña h×nh chãp lµ tam gi¸c vu«ng cã diÖn tÝch Q vµ gãc nhän MÆt bªn qua c¹nh vuông góc với mặt đáy; hai cạnh bên còn lại hợp với mặt đáy góc a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo , , Q b) Với giá trị nào thì tiếp tuyến đó lớn (Q, khônh đổi) bài13: Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đờng tròn tâm O bán kính R, các cạnh đáy AB và CD thoả mãn điều kiện AB/CD = ẳ Trên đờng thẳng d vuông góc vơíu (P) t¹i O lÊy ®iÓm S cho OS = 2R a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp SABCD b) Chứng minh O cách bốn mặt hình chóp SABCD từ đó tìm tâm và bán kính mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp bài14: Chứng minh hình chóp có các mặt bên làm với mặt đáy góc thì hình chóp có mặt cầu nội tiếp Điều ngợc lại có đúng không? bài15: Cho hình chóp tam giác SABC có chân đờng cao SH = h Gọi I, J, K lần lợt là trực t©m c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp a) Chøng minh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp SIJK cã t©m trªn SH b) Gäi r lµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy TÝnh thÓ tÝch cña SABC theo r vµ h bài16: Cho hình chóp tam giác SABC với cạnh đáy AB = a và đờng cao SH = h a) TÝnh theo a vµ h c¸c b¸n kÝnh r, R cña c¸c mÆt cÇu néi tiÕp, ngo¹i tiÕp h×nh chãp b) Giả sử a cố định, h thay đổi Xác định để r/R lớn bài17: Cho hình chóp tam giác có diện tích mặt cầu ngoại tiếp là S và diện tích mặt cầu nội tiÕp lµ s a) Chøng minh: S 9s b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo S vµ s (18)