Mặt bên SAB là tam giác ñều nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy ABCD, 1 Chứng minh rằng chân ñường cao khối chóp trùng với trung ñiểm cạnh AB.. Vậy H là chân ñường cao của khối chóp.[r]
(1)Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH CHUYÊN ĐỀ THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP ● Các bài toán thuộc chủ ñề này có các ñề thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng câu số Hai nội dung chính ñược hỏi ñến là: - Tính thể tích khối ña diện cho trước - Sử dụng phương pháp thể tích ñể tìm khoảng cách ñiểm ñến mặt phẳng khoảng cách hai ñường thẳng chéo ● Các nội dung sau ñây chưa ñược ñề cập ñến các ñề thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng và ñều nằm hạn chế kiến thức môn Toán áp dụng cho các ñề thi tuyển sinh Bộ giáo dục và đào tạo quy ựịnh - Các bài toán thể tích khối ña diện có kết hợp với việc tìm giá trị lớn và nhỏ - Các bài toán so sánh thể tích ● Công thức Khối chóp: V = S h Với S: diện tích ñáy, h: chiều cao Ghi chú: Thông thường tính V khó chỗ xác dịnh ñường cao DAÏNG KHOÁI CHOÙP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vuông góc với ñáy ABC và SB hợp với ñáy góc 60o Tính thể tích hình chóp Hướng dẫn: - Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ AB là hình chiếu SB trên S = 60o (ABC) Vậy góc SB, ( ABC ) = SAB a - ∆ABC vuông cân nên BA = BC = 2 a C - S∆ABC = BA.BC = a A a 60o - ∆SAB ⇒ SA = AB.tan60o = 2 B 1 a a a3 - Vậy V = S∆ABC SA = = 3 24 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp A Hướng dẫn: ( ABC ) ⊥ ( SBC ) a_ - Ta có ⇒ AC ⊥ (SBC ) ( ASC ) ⊥ ( SBC ) Ví dụ 2: - 1 a2 a3 Do ñó V = S∆SBC AC = a = 3 12 B C / / \ S Lop12.net (2) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác ñều cạnh a, biết SA vuông góc với ñáy (ABC) và (SBC) hợp với ñáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Hướng dẫn: - Gọi M là trung ñiểm BC Suy SM ⊥ BC S Vì tam giác ABC ñều nên AM ⊥ BC = 60o Vậy góc ( SBC ) ; ( ABC ) = SMA Ví dụ 3: - a 3a 3= 2 1 a 3a a Vậy V = S∆ABC SA = = 3 ∆SAM ⇒ SA = AM tan 60o = C A 60 o a M B Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông có cạnh a, SA vuông góc ñáy (ABCD) và mặt bên (SCD)hợp với ñáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABCD Hướng dẫn: - Vì ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD, SD ⊥ CD, AD ⊥ CD Suy góc = 600 ( SCD ) , ( ABCD ) = SDA Ví dụ 4: - ∆SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a - 1 a3 Vậy V = S□ ABCD SA = a a = 3 Ví dụ 5*: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông C, AC = a, AB = 2a , SA vuông góc với ñáy Góc (SAB) và (SBC) 60o Gọi H, K là hình chiếu A lên SB, SC 1) Chứng minh AK ⊥ HK 2) Tính thể tích khối chóp S.ABC Hướng dẫn: 1) Ta có AK ⊥ SC, AK ⊥ BC Suy AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ HK 2) ∆ABC vuông nên BC = AB2 − AC2 = a - ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB AH ⊥ SB SB ⊥ AH + ⇒ SB ⊥ HK SB ⊥ AK = 600 Suy ( SAB ) , ( SBC ) = AH, KH = AHK + - 3.AH 1 1 ∆SAB có = + = + 2 2 AH SA AB SA 4a ∆AHK ⇒ AK = AH.sin600 = Lop12.net (1) (2) (3) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 1 1 = + = + (3) 2 2 AK SA AC SA a a - Từ (1), (2) và (3) ta tính ñược SA = 1 1 a a3 - Do ñó: V = S∆ABC SA = AC.CB.SA = a.a = 3 2 12 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc ñáy Góc SC và ñáy 600 và M là trung ñiểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp M.BCD Hướng dẫn: 1) S□ ABCD = ( 2a ) = 4a ∆SAC có - ( ) ∆SAC ⇒ SA = AC.tan600 = 2a = 2a 1 8a Do ñó: V = S□ ABCD SA = 4a 2a = 3 2) Kẻ MH / /SA ⇒ MH ⊥ ( DBC ) - - 1 Ta có: MH = SA ; S∆BCD = S□ ABCD 2 2a Do ñớ: VM.BCD = VS.ABCD = BAØI TAÄP Bài Bài Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ñáy (ABC) và SA = h , biết tam giác ABC ñều và mặt (SBC) hợp với ñáy (ABC) góc 30o Tính thể tích khối h3 chóp S.ABC ðS: S = h 3, V = Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) biết AC = AD = cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính thể tích ABCD ðS: S = 6cm , h = 4cm, V = 8cm3 Cho khối chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác cân A với BC = 2a , góc = 120o , biết SA ⊥ ( ABC ) và mặt (SBC) hợp với ñáy góc 450 Tính thể BAC a2 a a3 ,h= ,V= 3 Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân ñỉnh B, AC = a và SB = a ðường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích tích khối chóp SABC Bài a2 a3 , h = a 3, V = Hình chóp S.ABC có #ABC vuông B, SA ⊥ ( ABC ) , ACB = 600 , BC = a, khối chóp S.ABC Bài ðS: S = ðS: S = SA = a 3, M là trung ñiểm SB Tính thể tích M.ABC Lop12.net (4) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài a3 Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông biết SA ⊥ ( ABCD ) , SC = a , Bài và SC hợp với ñáy góc 600 Tính thể tích khối chóp a2 a a3 ðS: S = , h = ,V= 48 Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình chữ nhật biết SA ⊥ ( ABCD ) , ðS: VM.ABC = Bài 8* SC hợp với ñáy góc 450 và AB = 3a, BC = 4a Tính thể tích khối chóp ðS: S = 12a , h = 5a, V = 20a Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC) đáy (ABC) là tam giác cân ựỉnh A, ựộ dài ựường trung tuyến AM = a Mặt bên = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC (SBC) tạo với ñáy góc 450 và góc SBA a3 Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân B với BA = BC = a , biết SA vuông góc với ñáy (ABC) và SC hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích a2 a3 hình chóp S.ABC ðS: S = , SA = a 2, V = Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) vuông A và SB vuông góc với ñáy (ABC), biết SB = a , SC hợp với (SAB) góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) góc 60o a2 a3 Tính thể tích hình chóp S.ABC ðS: S = ,V= 27 3 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên SA vuông = 1200 , tính thể tích khối chóp S.ABC góc với mặt phẳng ñáy Biết góc BAC a2 a a3 theo a (TNPT 2009) ðS: S = ,h= ,V= 12 36 Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình thoi cạnh a và góc nhọn A 600 và SA ⊥ ( ABCD ) , biết khoảng cách từ A ñến cạnh SC a Tính thể tích ðS: S = a 2, h = a, V = Bài 9* Bài 10* Bài 11* Bài 12* a2 a a3 ,h= ,V= Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với ñáy, góc cạnh SC với mặt bên (SAB) là α Cho SA = a Tính khối chóp S.ABCD Bài 13* ðS: S = a sin α a.sin α thể tích khối chóp S.ABCD ðS: S = , h = a, V = 3.cos2α cos2α Cho khối chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình thang vuông A và B biết AB = BC = a , AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) , và (SCD) hợp với ñáy góc 600 Tính Bài 14* thể thích khối chóp S.ABCD ðS: S = Lop12.net 3a a3 , h = a 6, V = 2 (5) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH DAÏNG KHOÁI CHOÙP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông có cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác ñều nằm mặt phẳng vuông góc với ñáy (ABCD), 1) Chứng minh chân ñường cao khối chóp trùng với trung ñiểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hướng dẫn: S 1) Gọi H là trung ñiểm AB - ∆SAB ñều ⇒ SH ⊥ AB mà ( SAB) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Ví dụ 1: Vậy H là chân ñường cao khối chóp a 2) Ta có ∆SAB ñều nên SH = 1 a a3 - Vậy V = S□ ABCD SH = a = 3 - D A H B a C Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác ñều, BCD là tam giác vuông cân D, ( ABC ) ⊥ ( BCD ) Cạnh AD = a và hợp với (BCD) góc 600 Tính thể tích tứ diện ABCD Hướng dẫn: - Gọi H là trung ñiểm BC Ta có tam giác ABC A ñều nên AH ⊥ ( BCD ) , mà ( ABC ) ⊥ ( BCD ) suy Ví dụ 2: AH ⊥ ( BCD ) - Ta có: AH ⊥ HD ⇒ AH = AD.sin 60o = a và HD = AD.cos60o = a - a B a ∆BCD ⇒ BC = 2HD = = a 1 a a a3 Vậy V = S∆BCD AH = a = 3 2 24 60 o H D C Cho hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông cân B, có BC = a Mặt bên (SAC) vuông góc với ñáy, các mặt bên S còn lại ñều tạo với mặt ñáy góc 600 1) Chứng minh chân ñường cao khối chóp trùng với trung ñiểm cạnh AC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABC Hướng dẫn: 1) Kẻ SH ⊥ BC vì ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) H - Gọi I, J là hình chiếu H trên AB và BC suy A 45 C = SJH = 45o SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC , theo giả thiết SIH Ví dụ 3: I J B Lop12.net (6) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ta có ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH là ñường phân giác ∆ABC từ ñó suy H là trung ñiểm AC a 2) HI = HJ = SH = 1 a a3 - Vậy V = S∆ABC SH = a = 3 2 12 - BAØI TAÄP Bài Bài Bài Bài Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC ñều cạnh a, tam giác SBC cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC) Cạnh bên SA hợp với ñáy góc 450 1) Chứng minh chân ñường cao chóp là trung ñiểm BC a2 a a3 2) Tính thể tích khối chóp SABC ðS: S = ,h= ,V= 24 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC vuông cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 450 Tính thể tích khối chóp SABC a2 a a3 ðS: S = , h = , V = 2 12 Hình chóp S.ABC có ñáy (ABC) là tam giác vuông A, AB = a, AC = a , mặt bên (SBC) là tam giác cân S với SB = SC = 2a và vuông góc với mặt phẳng ñáy a2 a3 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC ðS: S = , h = a 3, V = 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = 4a , (SAB) ⊥ ( ABCD ) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với ñáy (ABCD) góc a 8a 3 ,V= Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân S, nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích a a3 hình chóp SABCD ðS: S = a , h = ,V= 12 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông A và D; AD = CD = a AB = 2a , biết tam giác SAB ñều nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính 3a a3 thể tích khối chóp SABCD ðS: S = , h = a 3, V = 2 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy (ABCD) là hình vuông cạnh a Biết SA = SB = 2a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với Tính thể tích khối chóp a 15 a 15 ðS: S = a , h = S.ABCD ,V= o o Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90 ; ABC = 30 ; SBC là tam giác ñều cạnh a và 300 Tính thể tích hình chóp SABCD Bài Bài Bài Bài 8* ðS: S = 8a , h = (SAB ) ⊥ ( ABC ) Tính thể tích khối chóp SABC HD: VS.ABC = VC.SAB = S∆SAB CA ðS: S∆SAB = Lop12.net a2 a a2 , CA = , V = 24 (7) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 9* Bài 10* Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác ñều nằm hai mặt phẳng vuông góc với biết AD = a Tính thể tích tứ diện a2 a a3 ,h= ,V= ðS: S = 36 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB ñều cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 300 Tính thể tích hình chóp SABCD DAÏNG KHỐI CHÓP ĐỀU +) Các cạnh bên hợp với ñáy góc ⇒ hình chiếu ñỉnh hình chóp trùng với tâm ña giác ñáy (tâm ñường tròn ngoại tiếp ña giác) +) Các mặt bên hợp với ñáy góc ⇒ hình chiếu ñỉnh hình chóp trùng với tâm ñường tròn nội tiếp ña giác Ví dụ Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC cạnh ñáy a và cạnh bên 2a 1) Chứng minh chân ñường cao kẻ từ S hình chóp là tâm tam giác ñều ABC 2) Tính thể tích chóp ñều SABC S Hướng dẫn: 1) Dựng SO ⊥ ( ABC ) Ta có SA = SB = SC , suy Lưu ý: 2a OA = OB = OC Vậy O là tâm tam giác ñều ABC 2) Ta có tam giác ABC ñều nên 2 a a - AO = AH = = 3 - 11a a 11 ∆SAO ⇒ SO = SA − OA = = 3 - 1 a a 11 a 11 Vậy V = S∆ABC SO = = 3 12 C A O a H B Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh có ñộ dài a 1) Chứng minh S.ABCD là chóp tứ giác ñều 2) Tính thể tích khối chóp SABCD S Hướng dẫn: 1) Dựng SO ⊥ ( ABCD ) Ta có SA = SB = SC = SD suy Ví dụ OA = OB = OC = OD Tứ giác ABCD là hình thoi có ñường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông 2) Ta có SA + SB2 = AB2 + BC2 = AC a nên ∆ASC vuông S suy OS = 1 a a3 - Vậy V = S□ ABCD SO = a = 3 Ví dụ C D O A a B Cho khối tứ diện ñều ABCD cạnh a, M là trung ñiểm DC 1) Tính thể tích khối tứ diện ñều ABCD 2) Tính khoảng cách từ M ñến mp(ABC) Suy thể tích hình chóp MABC 3) Dùng tỉ số thể tích kiểm tra lại kết câu Lop12.net (8) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Hướng dẫn: 1) Gọi O là tâm ∆ABC Suy DO ⊥ ( ABC ) - D M a2 S∆ABC = a OC = CI = 3 A a - ∆DOC vuông nên DO = DC2 − OC = 3 1 a a a - Vậy V = S∆ABC DO = = 3 12 2) Kẻ MH // DO, khoảng cách từ M ñến mp(ABC) là MH a - MH = DO = 1 a a a3 = - Vậy V = S∆ABC MH = 3 24 V V CD 3) Ta có: D.ABC = C.ABD = = VM.ABC VC.ABM CM C O I H a B BAØI TAÄP Bài Bài Bài Bài Bài Bài Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên a và hợp với ñáy (ABC) a23 a 3a góc 600 Tính thể tích hình chóp ðS: S = ,h= ,V= 16 16 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên a, góc ñáy mặt bên là 450 a2 a a3 Tính thể tích hình chóp SABC ðS: S = ,h= ,V= Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy a và mặt bên hợp với ñáy góc a2 a a3 ðS: S = 600 Tính thể tích hình chóp SABC ,h= ,V= 24 o Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy a và ASB = 60 Tính thể tích hình a a3 chóp S.ABCD ðS: S = a , h = ,V= Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có mặt bên hợp với ñáy góc 450 và khoảng cách từ chân ñường cao chóp ñến mặt bên a Tính thể tích hình chóp 8a S.ABCD ðS: S = 8a , h = a 2, V = Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh Tính cạnh hình chóp này ( canh ) ⇒ AB = 3a 9a thể tích nó V = ðS: V = Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên a và mặt bên hợp với ñáy góc a23 a a3 ðS: S = 450 Tính thể tích hình chóp SABC ,h= ,V= 45 Bài 7* Lop12.net (9) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 8* Bài 9* Bài 10* Bài 11* Bài 12* Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñường cao h và mặt bên có góc ñỉnh h2 3 h3 600 Tính thể tích hình chóp ðS: S = ⇒ V= 8 Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñường cao h và hợp với mặt bên góc h2 h3 ðS: S = 30 Tính thể tích hình chóp ,V= 3 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có chiều cao h, góc ñỉnh mặt bên 2h 600 Tính thể tích hình chóp ðS: S = 2h , V = Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh a, và SH là ñường cao hình chóp Khoảng cách từ trung ñiểm I SH ñến mặt bên (SDC) b Tìm thể tích 2ab 2a b hình chóp S.ABCD ðS: S = a , h = a > 4b ) , V = ( a − 16b a − 16b =α Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñộ dài cạnh ñáy AB = a và góc SAB Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và α ðS: S = a , h = a cosα 2.sin Bài 13* α , V= a cosα 6sin α 2 Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD cạnh ñáy a, góc mặt phẳng (SAB) và (SBC) là α Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α a a3 ðS: S = a , h = , V= α α 2.tan 6.tan 2 DAÏNG KHOÁI CHOÙP BAÁT KYØ Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a , góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung ñiểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Chính thức…….khối A năm 2009) Hướng dẫn: - Gọi H là hình chiếu I lên BC ( SBI ) ⊥ ( ABCD ) - ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ( SCI ) ⊥ ( ABCD ) = 600 - Suy góc ( SBC ) , ( ABCD ) = SHI - Ta tính ñược IC = a 2; IB = a = BC Ví dụ - SABCD = 3a ; S∆IBC = SABCD − S∆ABI − S∆CDI = ⇒ IH = - 3a 2 2S∆IBC 3a 15a = ⇒ SI = BC 5 15a VS.ABCD = SABCD SI = 15 Lop12.net (10) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành và SABCD = Góc hai ñường chéo 600 Các cạnh bên nghiêng ñều trên ñáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hướng dẫn: - Hạ SO vuông góc với ñáy Vì các cạnh bên tạo với ñáy góc nên O cách ñều ñỉnh A, B, C, D Suy tứ giác ABCD là hình chữ nhật - ðặt AC = BD = x Vì ShcnABCD = AC.BD.sin60o 3 x = x = ⇒ x = 2 = SDO = 450 , ñó ∆SOD SD, ( ABCD ) = SD,OD = - BD = = 3.1 = 3 vuông cân ⇒ SO = OD = - Vậy VS.ABCD Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với ñáy góc 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC Hướng dẫn: - Hạ SH ⊥ ( ABC ) , kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ BC, HJ ⊥ AC suy SE ⊥ AB, SF ⊥ BC, SJ ⊥ AC = SFH = SJH = 600 - Ta có SEH Ví dụ - ⇒ ∆SEH = ∆SFH = ∆SJH ⇒ HE = HF = HJ = r (r là bán kính ñường tròn ngọai tiếp ∆ABC ) Ta có S∆ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) a+b+c = 9a nên S∆ABC = a 9.4.3.2 với p = - Mặt khác S∆ABC = p.r ⇒ r = S∆ABC 6.a = p Tam giác vuông SHE suy SH = r.tan 600 = 2.a 1 - Do ñó VS.ABC = SABC SH = 6a 2 2a = 3a 3 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi = 600 , SA = SC = a , cạnh a, BAD SB = SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hướng dẫn: - Gọi O = AC ∩ BD Theo giả thiết ta có: - Lop12.net (11) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH SA = SC SO ⊥ AC ⇒ ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) SO ⊥ BD SB = SD Suy SO là ñường cao khối chóp a - Ta lại có tam giác ABD ñều ⇒ AO = a a mà SA = ⇒ SO = 2 1 a2 a a3 - Do ñó V = SABCD SO = ( 2.SABD ) SO = = 3 BAØI TAÄP Bài HD: Bài HD : a và mặt bên (SAB) hợp với ñáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Tam giác ABC vuông A nên tâm O là trung ñiểm BC Vì SA = SB = SC nên S nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng (ABC) a a2 a3 Do ñó SO ⊥ ( ABC ) Từ ñó ta tính ñược SO = , S∆ABC = , V= 18 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang với ñáy lớn AB = 2, ACB Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông A, BC = a, SA = SB = SC = = 90 ∆SAC và ∆SBD là các tam giác ñều có cạnh Tính thể tích khối chóp S.ABCD Vì ∆SAC = ∆SBD nên AC = BD suy hình thang ABCD là hình thang cân, góc = 90 nên hình thang ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O(trung ñiểm AB) ñường ACB kính AB Mặt khác ∆SAC = ∆SBD suy SA = SB = SC = SD ñó S nằm trên ñường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD) suy SO ⊥ ( ABCD ) Từ ñó ta tính 3 ⇒ VS.ABCD = 4 = 60o , CSA = 90o Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a; ASB = 60o , BSC Tính thể tích hình chóp S.ABCD Dùng ñịnh lý hàm số cosin ñể tính các cạnh tam giác ABC, sau ñó kiểm tra ta thấy tam giác ABC vuông C Hoặc dùng vectơ: CA.CB = CS + SA CS + SB = ñược SO = 2, SABCD = Bài HD: ( )( ) suy tâm tam giác ABC là trung ñiểm AB Vì SA = SB = SC nên S nằm trên ñường thẳng ñi qua O và vuông góc với (ABC) suy SO ⊥ ( ABC ) Từ ñó ta tính Bài a a2 a3 ñược SO = , S∆ABC = ⇒ VS.ABC = 2 12 Trong mặt phẳng ( P ) cho nửa ñường tròn ñường kính AB = 2R và ñiểm C thuộc nửa ñường tròn ñó cho AC = R Trên ñường thẳng vuông góc với ( P ) A lấy ñiểm HD: S cho ( SAB ) , ( SBC ) = 60o Gọi H, K là hình chiếu A trên SB, SC Chứng minh ∆AHK vuông và tính thể tích hình chóp S.ABC R3 Xem ví dụ Dạng ðS: V = 12 Lop12.net (12) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài HD: = 1200 Hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác cân, cạnh ñáy BC = a , góc BAC Các cạnh bên nghiêng với ñáy góc 60 Tính thể tích hình chóp S.ABC a a Xét tam giác cân ABC A, ta tính ñược AC = AB = , ñường cao AH = , 3 a2 abc abc a suy S∆ABC = Mặt khác S∆ABC = (R là bán kính ñường ⇒ R= = 4R 4S 3 tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Vì các cạnh bên nghiêng với ñáy góc nên S nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm O tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC), tức là SO ⊥ ( ABC ) Từ ñó ta tính ñược SO = R tan 600 = a Suy thể tích hình chóp VS.ABC = Bài HD: Bài HD: Bài HD: a = SAC = 300 Tính thể Hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = , SA = a 3, SAB tích hình chóp S.ABC ∆SAB = ∆SAB ( c − g − c ) Dùng ñịnh lý hàm số cosin ta tính ñược SB = SC = a Suy ∆SBC = ∆ABC ( c − c − c ) Gọi I là trung ñiểm BC, suy SI và AI cùng vuông góc với AC Trong tam giác SAI kẻ SH vuông góc với AI, ta chứng minh ñược SH chính a 15 3a là ñường cao hình chóp S∆ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = , SH = 16 15 a3 Do ñó VS.ABC = 16 Hình chóp S.ABC có SA = x, BC = y , các cạnh còn lại ñều Tính thể tích hình chóp S.ABC Cách giải giống bài Hình tứ diện ABCD có BC = CD = DB, AB = AC = AD Gọi H là chân ñường cao tứ diện xuất từ A, K là chân ñường vuông góc hạ từ H xuống AD Cho AH = a, KH = b Tính thể tích tứ diện ABCD thao a và b Vì BC = CD = DB, AB = AC = AD nên ta chọn mặt ñáy là BCD, ñỉnh là A Suy ñáy là tam giác ñều và tứ diện chính là hình chóp tam giác ñều A.BCD Do ñó AH ⊥ ( BCD ) , với H là tâm tam giác BCD Dùng hệ thức lượng tam giác AHB tính ñược BH = ñó ta tính ñược S∆BCD Bài HD: a3 12 ab a − b2 suy cạnh tam giác ñều BCD là ab a − b2 Từ a 2b2 3 3.a b = , AH = a ⇒ VABCD = a − b2 a − b2 ( ) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác cân AB = AC = a Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = SB = a, SC = b Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và b Ta thấy AB = AC = SA = a nên ta chọn mặt ñáy là (SBC) và ñỉnh là A Suy A nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm O tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Theo ñề bài ( SBC ) ⊥ ( ABC ) nên tâm O tam giác SBC thuộc BC, suy ∆SBC vuông S và tâm O tam giác là trung ñiểm BC Từ ñó ta tính ñược S∆SBC 3a − b ab 3a − b = ab, AO = ⇒ VS.ABC = VA.SBC = 2 12 Lop12.net (13) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 10 HD: Bài 11* HD: Bài 12 HD: Bài 13* Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh A, AB = a Gọi I là trung ñiểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt ñáy (ABC) thỏa mãn IA = −2IH , góc SC và mặt ñáy (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Tam giác ABC vuông nên S∆ABC = a và BC = 2a ⇒ IC = a ⇒ IA = a Từ hệ thức a a , tam giác IA = −2IH suy IH = Tam giác vuông HIC tính ñược HC = 2 a 15 a 15 vuông SHC tính ñược SH = HC.tan 600 = Do ñó VS.ABC = Cho hình chóp vuông S.ABC có SA = a, SB = b ,SC = c các cạnh ñó ñôi vuông góc với Gọi O là hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp O.SBC abc Nếu ñề bài yêu cầu tính thể tích hình chóp S.ABC thì ñơn giản, VS.ABC = Nhưng ñây yêu cầu bài toán là tính thể tích hình chóp O.SBC , với O là hình chiếu, là chân ñường cao hạ từ ñỉnh S hình chóp Cách Các mặt bên là tam giác vuông nên ta tính ñược các cạnh tam giác ABC, dùng công thức hêrông tính ñược diện tích tam giác ABC, từ ñó suy SO 3V = S.ABC Trong hai tam giác vuông SOC và SOB ta tính ñược OB và OC, lại dùng S∆ABC hêrông ñể tính diện tích tam giác OBC, từ ñó tính ñược thể tích hình chóp O.SBC Cách ðây là bài tập sách giáo khoa lớp 11, ta ñi chứng minh hình chiếu S xuống mặt ñáy chính là trực tâm tam giác ABC Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi Hai ñường chéo AC = 3a , BD = 2a và cắt O Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt a phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Diện tích hình thoi nửa tích hai ñường chéo SABCD = 3a Gọi M là trung ñiểm AB, tam giác SOM kẻ OH ⊥ SM , ta dể dàng chứng minh ñược OH chính là khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SAB) Trong tam giác vuông OAB ta tính ñược a a a3 Trong tam giác vuông SOH ta tính ñược SO = Vậy VS.ABCD = OM = 2 Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi SA = a ; < a < các cạnh còn ( ) lại ñều Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a HD: ∆SBD = ∆CBD ( c − c − c ) suy SO = CO Trong tam giác SAC có SO = AC nên tam giác SAC vuông S, từ ñó tính ñược AC = + a Dùng công thức hêrông tính diện tích tam giác ACD sau ñó nhân ta ñược diện tích hình thoi SABCD = + a − a Gọi H là hình chiếu S xuống mặt phẳng ABCD, vì SB = SD nên HB = HD , suy H ∈ CA Trong tam giác vuông SAC có SH là ñường cao, áp dụng hệ thức lượng ta tính ñược SH = Lop12.net a 1+ a2 Vậy V = a − a2 (14) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 14 HD: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác ñều và nằm mặt phẳng vuông góc với ñáy Gọi M, N, P là trung ñiểm các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP (Chính thức…….khối A năm 2007) Gọi H là trung ñiểm AD, dể dàng chứng minh ñược SH ⊥ ( ABCD ) , suy SH ⊥ BP Trong tam giác SHB, từ M kẻ MK / /SH , ñó MK ⊥ ( ABCD ) và SH a a2 a3 S∆CNP = = ⇒ VC.MNP = VM.CNP = 96 1 Cách Dùng tỉ số thể tích: Ta có VS.AMC = VS.ABC = VS.ABCD ⇒ VS.AMCD 2 3.VM.ABC = VS.ABCD ⇒ VM.ABC = VS.ABCD Suy d ( M, ( ABC ) ) = Cách này khá S∆ABC 4 dài dòng, giúp cho việc rèn luyện tỉ số thể tích MK = Bài 15 Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ñáy là tam giác cân A, ñộ dài trung tuyến AD a, cạnh bên SB tạo với ñáy góc α và tạo với mặt phẳng (SAD) góc β Tính thể tích khối chóp S.ABC HD: , góc SB và mặt phẳng Trước hết xác ñịnh góc SB và ñáy là góc SBA Gọi AB = x , suy BD = x − a Tam giác vuông SBD có (SAD) là góc BSD SB = x2 − a2 , SD = sin β x2 − a2 Tam giác vuông SBA có SA = tan β x2 − a2 giác vuông SAD có SD = SA + AD ⇔ tan β ra: x − a = a.sin β cos β − sin α 2 Do ñó SA = 2 x − a sin α = + a Suy sin β a.sin α cos β − sin α x − a sin α Tam sin β , BC = 2a.sin β cos β − sin α 1 1 a sin α sin β Vậy VS.ABC = S∆ABC SA = AD.BC SA = 3 2 ( cos β − sin α ) Bài 16* = α SBC là Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông A, góc ABC tam giác ñều cạnh a và ( SAB ) ⊥ ( ABC ) 1) Tìm ñiều kiện α ñể tồn hình chóp S.ABC thỏa mãn các ñiều kiện nói trên 2) Khi α = 450 Tính thể tích khối chóp SABC HD: 1) Kẻ SH ⊥ AB , vì tam giác SBC ñều nên SB = SC , ñó HB = HC Mặt khác H ∈ AB Suy H là giao ñiểm AB và ñường trung trực ñoạn BC Vì Lop12.net (15) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH BH < BS ⇔ BH < a Gọi O là trung ñiểm BC, xét tam giác vuông BOH ta có: a a BO = > = Suy α < 600 cosα = BH BH a 2) Khi α = 450 thì ∆ABC vuông cân A Ta dễ dàng tính ñược VS.ABC = a3 24 Bài 17** Cho tứ diện ABCD Gọi d là khoảng cách hai ñường thẳng AD và BC, α là góc hai ñường thẳng ñó Chứng minh rằng: VA.BCD = AD.BC.d.sinα HD: Trong mặt phẳng (ABD) dựng hình bình hành ABED Suy DE / /AB ⇒ DE / / ( ABC ) Do ñó: VA.BCD = VD.ABC = VE.ABC = VA.EBC Gọi MN là ñường vuông góc chung AD và BC, với M ∈ AD, N ∈ BC Suy VA.EBC = VM.EBC Vì MN ⊥ AD MN ⊥ BE ⇒ ⇒ MN ⊥ ( EBC ) MN ⊥ BC MN ⊥ BC ( ) 1 1 Vậy VM.EBC = S∆EBC MN = EB.BC.sin EB, BC MN 3 2 ( ) = AD.BC.sin AD, BC d ( AD, BC ) Bài 18* Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh ñối nhau: AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c ( tứ diện gần ñều) HD1: ( ) Áp dụng công thức VA.DCB = AB.CD.sin AB, CD d ( AB, CD ) - ∆ABC = ∆BAD ( c − c − c ) Gọi M là trung ñiểm AB suy MC = MD (2 trung tuyến tương ứng) Gọi N là trung ñiểm CD, suy MN ⊥ CD Tương tự MN ⊥ AB Vậy MN = d ( AB, CD ) - Xét tam giác ACD có AN là trung tuyến ⇒ AN = vuông AMN ta có ⇒ MN = AN − AM ⇒ MN = - 2b + 2c − a Xét tam giác b + c2 − a Gọi P là trung ñiểm BC, H là trung ñiểm AC , K là trung ñiểm BD Tương tự ta tính ñược HK = ( ) a + c2 − b = AB, Ta có HPK CD Áp dụng ñịnh ( ) b2 − c2 Từ ñó suy lý hàm số cosin tam giác HPK ta có cos HPK = a2 Lop12.net (16) Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ( ) 2 2 2 = a +b −c a +c −b sin HPK a2 VA.DCB = AB.CD.sin AB, CD d ( AB, CD ) = a + b − c2 b + c − a c2 + a − b 12 ( HD2: - ) Dựng tam giác PQR cho B, C, D là trung ñiểm PQ, QR, RP - S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = S∆PQR ⇒ S∆BCD = S∆PQR - Xét tam giác APR ta có: AD = BC = PR và D là trung ñiểm PR nên tam giác APR vuông A, suy AR ⊥ AP Tương tự AR ⊥ AQ và AP ⊥ AQ - 1 1 1 Ta có VA.BCD = VA.PQR = VR.APQ = AQ.AP AR = AQ.AP.AR 4 3 24 - Tương tự HD1 Gọi M, N là trung ñiểm AB và CD, ta tính ñược b + c2 − a , suy AR = 2MN = b + c2 − a MN = - AP = c2 + a − b ; AQ = a + b − c2 - Vậy VA.DCB = a + b2 − c b2 + c2 − a c + a − b2 12 TRUNG TÂM LUYỆN THI CHẤT LƯỢNG CAO GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 - 0563.602.929 Thầy KHÁNH (GV TOÁN) 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop12.net (17)