+Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối A’B’CF 3 Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa diệ[r]
(1)DAÏY BAØI TAÄP KHOÁI ÑA DIEÄN A Nội dung nghiên cứu: I Kiến thức bản: 1) Cho ABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC AB2 AC b) BA2 BH BC; CA2 CH CB c) AB AC = BC AH d) e) A 1 2 AH AB AC AC CB AC sin B , cosB , tan B AB AB CB C H B 2) Công thức tính diện tích tam giác : * Công thức chung: S đáy x cao * Đặc biệt : + ABC vuông A : S AB AC + ABC cạnh a: S a2 3) Công thức tính diện tích các tứ giác: * Diện tích hình vuông: * Diện tích hình chữ nhật * Diện tích hình thang * Diện tích hình bình hành * Diện tích hình thoi 4) Định lý đường trung bình, Talet 5) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý: d a; d b d a, b ; a b Muốn chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt cùng chứa mặt phẳng d d a a 6) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: (2) Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng chứa mặt phẳng đó 7) Cách xác định góc đường thẳng a và mặt phẳng : + Xác định hình chiếu d a trên mặt phẳng + Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc d và a 8) Lưu ý công thức tỉ số thể tích Cho hình chóp SABC, A ' SA, B ' SB , C ' SC , ta có: VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' x x VSABC SA SB SC (*) S A' A B' C' B C II.Nội dung chính: 1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách xác định chiều cao và đáy khối đa diện Phương pháp: + Xác định đáy và dựng chiều cao khối đa diện + Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc SC và đáy 60 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp MBCD Với M là trung điểm SB Lời giải: S a)Ta có V M B A S ABCD SA + S ABCD (2a)2 4a + SAC có : SA AC tan C 2a 8a3 V 4a 2a 3 H D C Yêu cầu: + Học sinh xác định góc + Xác định công thức thể tích khối, tính độ dài đường cao SA b) Kẻ MH / / SA MH ( DBC) +Xác định đường cao 1 Ta có: MH SA , S BCD S ABCD trường hợp chân đường cao có thể 2 không thuộc mặt đáy khối 2a +Sử dụng hệ thức tam giác VMBCD V vuông Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn xác định góc đường thẳng và mặt phẳng (3) +Học sinh gặp khó khăn tính SA vì không biết sử dụng hệ thức tam giác vuông Bài 2: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M là trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) Lời giải: a) Gọi O ABC DO ( ABC ) là tâm V S ABC DO + S ABC a2 a , OC CI 3 + DOC vuông có : DO DC OC a Yêu cầu: a a a3 V + Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện 12 và tính chất đặc biệt khối b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M +Xác định đường cao và ghi thể đến mp(ABC) là MH tích khối a MH DO +Sử dụng định lý Pitago Nhận xét: + Học sinh đa phần quên tứ diện và tính chất các mặt, các cạnh nó + Còn yếu tính toán độ dài các yếu tố có hình vẽ + Bài tập này là bài 1/25 sgk lớp 12 bổ sung thêm câu b Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a , AD = a, AA’=a, O là giao điểm AC và BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V Ta có : V AB.AD.AA' a 3.a a3 B A O M D c ABD có : DB AB AD2 2a A' D' B' * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: C' (4) a3 VOA ' B 'C ' D ' V Yêu cầu: 3 +Học sinh xác định công thức thể b) M là trung điểm BC OM ( BB ' C ') tích khối hộp và khối chóp 1 a a a3 +Biết khai thác tính chất hình hộp V O BB ' C ' S BB ' C ' OM 3 2 12 đứng để làm bài: Chọn đáy khối OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ tứ 3V hình hộp) diện OBB’C’ Ta có : C ' H OBB 'C ' SOBB ' +Giải câu b) tương tự bài 1b ABD có : DB AB AD2 2a SOBB ' a C ' H 2a + Bài tập này rèn kỷ làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích 2) Bài tập dạng: Phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện Phương pháp: Phân chia lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích (Trên sở phát khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ Lời giải: A B Hình lập phương chia thành: khối D ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, C D’ACD, AB’A’D’ + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều A' B' cao nên có cùng thể tích D' C' 1 Khối CB’D’C’ có V1 a a a3 + Khối lập phương có thể tích: Yêu cầu: +Học sinh biết chọn đáy và chiều cao khối nhỏ tính VACB ' D ' V2 a3 1 a3 a3 a3 Nhận xét: + Học sinh gặp nhiều khó khăn phân chia khối, giáo viên hướng dẫn + Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa nhà Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE (5) E A C VA ' B ' BC S A ' B ' B CI a a a3 2 12 F I B C' A' J Lời giải: a) Khối A’B’ BC: Gọi I là trung điểm AB, Ta có: b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ và CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên VA 'CEF B' SCEF A ' A a2 S ABC 16 a 48 SCEF Yêu cầu: + Học sinh biết cách tính khối A’B’ VA 'CEF BC +Biết phân khối chóp CA’B’FE +Gọi J là trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên thành hai khối chóp tam giác + Biết đường thẳng nào vuông VA ' B 'CF SCFB' A ' J góc với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho khối CEFA’ a2 SCFB' SCBB ' + Tương tự cho khối CFA’B’ VA ' B 'CF a a a3 24 a3 + Vậy : VCA'B'FE 16 + Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 và thay đổi số giả thiết Elà trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả học sinh +Sau gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính thể tích khối A’B’CF 3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách lập tỉ số thể tích hai khối đa diện Phương pháp: + Tìm tỉ số thể tích khối đa diện đã cho với khối đa diện dễ tìm thể tích + Rút thể tích khối đa diện đã cho + Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC a , SA vuông góc với đáy, SA a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN (6) Lời giải: S a)Ta có: VS ABC S ABC SA + SA a + ABC cân có : AC a AB a N a 1 a3 a a S ABC G A C M Vậy: VSABC I B b) Gọi I là trung điểm BC Yêu cầu: SG +Học sinh ghi thể tích khối G là trọng tâm,ta có : SI SABC và tính // BC MN// BC +Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các SM SN SG đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai SB SC SI khối V SM SN SAMN + Nắm công thức (*) để lập tỉ số VSABC SB SC thể tích khối chóp 2a Vậy: VSAMN VSABC 27 Nhận xét: +Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet +Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua bài toán khó sách giáo khoa Bài 7: (Bài 9/26 Sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt SB E và cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: S a) Gọi I SO AM Ta có (AEMF) //BD EF // BD E B S ABCD SO a2 b) VS ABCD M + S ABCD I C F + SOC có : SO AO.tan 60 O A Yêu cầu: D Vậy : VS ABCD c) VS AEMF : a3 a (7) +Học sinh dựng E, F pháp vấn giáo viên +Tính thể tích khối S.ABCD sau đã làm qua nhiều bài tập +Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF cách lập tỉ số ( tương tự bài 5) Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có : SM SC SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: SI SF SO SD V SM SF SAMF VSACD SC SD 1 a3 VSAMF VSACD VSACD 36 VS AEMF a3 a3 2 36 18 Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn xác định E,F +Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet +Sau làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số dễ dàng Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) Cho tam giác ABC vuông cân A và AB a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F và cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: D a)Tính VABCD Ta có: VABCD F 1 S ABC AD a3 3 b) Ta có: AB AC, AB CD C AB EC E B DB EC EC ( ABD) Ta có: c) Tính VDCEF : A Yêu cầu: +Học sinh chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng +Nắm nhu cầu tính các tỉ số DE DF , DA DB Ta có: Mà DE.DA DC , chia cho DA2 DE DC a2 2 DA DA 2a Tương tự: DF DC a2 2 DB DB DC CB +Biết dụng hệ thức tam giác vuông để suy VDCEF DE DF (*) VDABC DA DB DE DA Từ (*) VDCEF VDABC (8) Vậy a3 VDCEF VABCD 36 Nhận xét: + Kỷ chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa tốt DE DC + Giáo viên giúp học sinh rút tỉ số từ hệ thức DE.DA DC tam giác DA DA vuông và khắc sâu để sử dụng Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA a Gọi B’, D’ là hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: S a) Ta có: VS ABCD D' b) Ta có BC (SAB) BC AB ' Ta có SB AB ' Suy ra: AB ' (SBC ) B' C' c) Tính VS AB 'C ' D ' I B A C D AB ' (SBC ) biết +Tính VS AB 'C ' : VSA ' B 'C ' SB ' SC ' (*) VSABC SB SC SC ' SAC vuông cân nên SC SB ' SA2 2a 2a 2 Ta có: SB SB SA2 AB 3a V Từ (*) SA' B 'C ' VSABC Ta có: O Yêu cầu: +Học sinh a3 S ABCD SA 3 chứng minh + Biết phân thành hai khối chóp nhau: S AB ' C ', S AC ' D ' + Sử dụng tỉ số để giải bài a3 a3 VSA ' B 'C ' 3 + VS AB 'C ' D ' 2VS AB 'C ' 2a Nhận xét: + Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa Tuy nhiên, tôi thay đổi số giả thiết để phù hợp với khả học sinh: “Hình chữ nhật” thay hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” thay " SA a " Nếu giữ nguyên các kích thước thì việc tính toán quá nặng 10 (9) +Sau làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán dễ dàng và nhẹ nhàng 4)Bài tập nhà: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác cạnh a, SA vuông góc đáy, SA= a Gọi H là trực tâm tam giác ABC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính độ dài đường cao đỉnh A SABC Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC= a , góc AC’ và mp(A’A’C’D’) 30 M là trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật b) Tính thể tích khối MACB’ Bài : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’ b) Tính thể tích khối CBA’B’ Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC cạnh a Góc mp(SBC) và mp(ABC) 60 Tính thể tích khối chóp SABC Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân A, BC = a , SA=2a E là trung điểm SB, F là hình chiếu A lên SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính thể tích khối SAEF c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE) Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a, M là trung điểm SB a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.DCM c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA N Tính thể tích khối chóp S.MNDC Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật, AB = 2BC=a, SA= a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) AH, AK là đường cao tam giác SAB và SAD Tính thể tích khối S.AHK 11 (10)