ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 MÔN TOÁN

- Hình học: Hệ thức lượng trong tam giác vuông; các góc của đường tròn, liên hệ đường kính và dây, tứ giác nội tiếp, tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau.. ĐỀ MINH HOẠ.[r]

TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG TỔ TOÁN – LÍ – TIN - KTCN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH 10 MÔN: TOÁN Năm học: 2020 – 2021 A NỘI DUNG ÔN TẬP - Các nội dung liên quan đến biểu thức đại số, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức bậc hai, bậc ba, các bài toán tính toán và rút gọn biểu thức đại số cùng các câu hỏi phụ liên quan đến phần rút gọn biểu thức - Bất đẳng thức Cô si - Những bài toán mang tính thực tế giải bài toán cách lập phương trình hệ phương trình và hình học không gian - Kiến thức phương trình, hệ phương trình và hàm số - Hình học: Hệ thức lượng tam giác vuông; các góc đường tròn, liên hệ đường kính và dây, tứ giác nội tiếp, tính chất tiếp tuyến cắt B ĐỀ MINH HOẠ ĐỀ Bài Cho hai biểu thức: x x x A B   x 2 x  x 2 x x  1) Tính giá trị biểu thức A x 36 A P B 2) Rút gọn biểu thức 3) Chứng minh P  P với x   x 0; x 1 Bài  3  x  3  y  8   4  x  3  3  y 1) Giải hệ phương trình:  2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng (d): y  m   x  với m 2 a) Gọi A là giao điểm đường thẳng (d) với trục Oy Tìm tọa độ điểm A b) Tìm tất các giá trị m để (d) cắt trục Ox điểm B cho tam giác OAB cân Bài Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Kẻ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) Trên Ax lấy điểm P cho AP>R Kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm) 1) Chứng minh điểm A, P, M, O cùng thuộc đường tròn 2) Đường thẳng vuông góc với AB O cắt BM N Chứng minh tứ giác APNO là hình chữ nhật 3) Gọi K là giao điểm AN với OP, E là giao điểm ON với PM, D là giao điểm PN với OM Chứng minh EK ED EO.EN 4) Xác định vị trí điểm P trên Ax cho K thuộc đường tròn (O) Bài Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c 1 a2 b2 c2 P   a b b  c c  a Tìm giá trị nhỏ biểu thức HD: x A x  , ta có: 1) Thay x 36 (tmđk) vào 36 6    36   A x 36 Vậy 2) P A.B A x x  1  1  x1 x1 x1 3) Có 1 x 1 x 1 x      1 1 x1 x1 Vì P  P   P   P    P  P  1   P P 0 P  P Vậy P  P với x  Bài 1) Đk: y 2  x  3 a    y  b Đặt  ta hệ phương trình: 3a  5b 8 3a  5b 8 23a 23     b 4a  4a  b 3 20a  5b 15 Thay a  x  3 ; b y  ta có: a 1  b 1  x  3 1   x  2(tm)     y   y 3(tm)  x   Vậy hệ có nghiệm  y 3 2) a) Vì A là giao điểm đường thẳng (d) với trục Oy  xA 0 Thay x 0 vào hàm số y  m   x  ta y  m      y 3 A  Điểm A có tọa độ A(0;3) b) Vì điểm B là giao đường thẳng (d) với trục Ox  y 0 B +, Thay y 0 vào đồ thị hàm số y  m   x  0 ta được:  3  3 x   m  ;0  B m  (m 2)  Điểm B có tọa độ   3 OA  y  3 OB  xB  m   m  A Có , Vì A  Oy; B  Ox mà Ox  Oy  OA  OB  AOB vuông O  AOB vuông cân O thì OA OB  m  1  m 3  3  m  3  m  1    m  m    m 1 Vậy với m 1 và m 3 thì AOB vuông cân O Bài a) Vì AP, MP là tiếp tuyến (O) tiếp điểm A và M  AP  AO; PM  MO  PAO vuông A và PMO vuông M Xét PAO vuông A có AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền PO OP  KA KP KO  (1) Xét PMO vuông M có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OP OP  KM KP KO  (2) ’ OP  KA KM KP KO  Từ (1) và (2) ta có:  Bốn điểm P; A; O; M cùng thuộc đường tròn b) Nối A với M Xét (O) có AP, PM là tiếp tuyến cắt P (A, M là tiếp điểm)  OP là đường phân giác AOM AMO cân O ( AO OM R ) có OP là đường phân giác  OP đồng thời là đường cao (tính chất tam giác cân)  OP  AM Xét (O) có AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  AMB 90o  AM  MB OP  AM (cmt )    OP / / MB MB  AM ( cmt )  Ta có: (quan hệ từ vuông góc đến song song)    POA NBO (2 góc đồng vị) Xét PAO và NOB có:    POA NBO   OA OB(R)   PAO NOB( g.c.g )   PAO NOB(90o )   PA NO (2 cạnh tương ứng) PA / / NO(cùng  AB)   PA  NO  tứ giác PNOA là hình bình hành (dhnb) mà Ta có:  NOA 90o  Tứ giác PNOA là hình chữ nhật (dhnb) c) Ta có: Tứ giác PNOA là hình chữ nhật (cm câu b)  PA ON   PK KO (tính chất hình chữ nhật) Mà PA PM o    Xét PDM : DPM  PMD  PDM 180 (định lí tổng góc tam giác)    DPM  90o  PDM 180o    DPM  PDM 90o (3) o    Xét ODN : NOD  DNO  NDO 180 (định lí tổng góc tam giác)    NOD  90o  NDO 180o    NOD  NDO 90o (4) Từ (3) và (4), ta có:     DPM  PDM NOD  NDO    DPM NOD Xét PDM và ODN có:    DPM NOD   PM ON     PMD OND (90o )   PDM ODN ( g.c.g )  DP DO (2 cạnh tương ứng)  POD cân D Chứng minh E là trực tâm  DE thuộc phần đường cao POD cân D có DE thuộc đường cao  DE thuộc đường trung tuyến  E, D, K thẳng hàng POD cân D có DK là trung tuyến  DK đồng thời là đường cao (tính chất tam giác cân)  DK  PO   EKO 90o Xét DEN và OEK có:   DEN OEK (2 _ doi _ dinh)    DNE OKE (90o )  EN    DEN OEK ( g.g )  ED EK EO  EK ED EO.EN =>đpcm d) Vì K là giao điểm đường chéo hình chữ nhật APNO  KA KO  AKO cân K (dhnb) Vì điểm K  (O)  OK R OA  KA KO OA R  KAO    KOA 60o hay POA 60o Xét PAO vuông A có: PA AP  tan POA   tan 60o   AP tan 60o.R R OA R Vậy điểm P  Ax và cách A khoảng R thì điểm K  (O) Bài 5: Vì a, b, c là các số thực dương a b a2  a  b và là các số dương  Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho hai số không âm, ta được: a2 a b a2 a  b  2 a a b a b b2 b  c a2 b  c  2 b b c Tương tự: b  c c2 ca a2 c  a  2 c ca ca a2 b2 c2 a  b b  c c  a       a  b  c a b b c c  a 4 a2 b2 c2  a  b  c      a  b  c a b b c c  a a2 b2 c2  a  b  c      a  b  c a b b c c  a a2 b2 c2 1    1    a  b  c 1 a b b c c  a 2  P 2 2 4a  a  b  ;4b  b  c  ;4c  c  a   a b c  Dấu “=” xảy 1 P a b c  Vậy giá trị nhỏ ĐỀ Câu 1: a) Cho biết a =  và b =  Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 3x + y =  b) Giải hệ phương trình:  x - 2y = -  x    : x   x - x 1 (với x > 0, x 1) Câu 2: Cho biểu thức P =  x - x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị x để P > Câu 3: Cho phương trình: x2 – 5x + m = (m là tham số) a) Giải phương trình trên m = x  x 3 b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc với AB I (I nằm A và O ) Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc đường thẳng cố định Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:P = 1  a b Lời giải: Câu 1: a) Ta có: a + b = (  ) + (  a.b = (  )(  3x + y = b)    x - 2y = - 6x + 2y = 10    x - 2y = - Vậy hpt có nghiệm (1 ; 2) Câu 2: 3)=4 ) = Suy P = 7x =    y = - 3x x =  y = 1 x  x   a) P =   :  x x1 x   x - x 1 x- x    x   x1  x 1  x - x1 x x x x-1    x - 1  x  x > 2 b) Với x > 0, x 1 thì x Vậy với x > thì P > Câu 3: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + = ∆ = 25 – 4.6 = Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 3; x2 = b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m 25  m (*) Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆  Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = (1); x1x2 = m (2) x  x 3 Mặt khác theo bài thì (3) Từ (1) và (3) suy x = 4; x2 = x1 = 1; x2 = (4) Từ (2) và (4) suy ra: m = Thử lại thì thoả mãn x  x 3 ⇔ (x1 −x2 )2=9 ⇔(x 1+ x2 )2−4 x1 x 2=9 Cách : Câu 4: ^ =900 (gt) a) Tứ giác BEFI có: BIF C ^ =900 (góc nội tiếp chắn nửa đường BEA tròn) F ^ =90 Hay BEF A ⇒^ BIF+ ^ BEF =180 I O Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF AC= ^ AD , b) Vì AB  CD nên ^ D ^ suy ^ ACF = AEC Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung ^ ACF = ^ AEC AC AE   AF AC Suy ra: ∆ACF ~ với ∆AEC E B  AE.AF = AC c) Theo câu b) ta có ^ ACF = ^ AEC , suy AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1) Mặt khác ^ ACB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy AC  CB (2) Từ (1) và (2) suy CB chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định E thay đổi trên cung nhỏ BC Câu 5: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 0  (a + b)2  4ab   a + b ab  4 1  P     a + b b a  a + b  a + b , mà a + b  2  a - b  0 4   a=b=    a + b  2  P  Dấu “ = ” xảy a + b = 2 Vậy: P = ĐỀ Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – = 2x + y =  b) 3x + 4y = -1 Câu 2: Rút gọn các biểu thức: 3 2  1 a) A =    x+2 x  x 4  x + x  x   b) B = ( với x > 0, x  ) Câu 3: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – trên cùng hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm các đồ thị đã vẽ trên phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE và CF cắt H a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếpđường tròn b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE và CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA  EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x -x y +x+y- y +1 Lời giải: Câu 1: a) Đặt x2 = y, y 0 Khi đó phương trình đã cho có dạng: y2 + 3y – = (1) Phương trình (1) có a+b+c = a+3-4= nên (1) có hai nghiệm y1 = 1; y2 = - Do y 0 nên có y1 = thỏa mãn Với y1 = ta tính x = 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 2x + y = 8x + 4y =    3x + 4y = -1 3x + 4y = -1   b) Vậy hpt có nghiệm (1; -1) Câu 2: 5x =   2x + y =    x+2 x =  b) B =     x   x  x + x 4       x x 2  x  1    x-4 x-4 x x 2 Câu 3: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – 10 x -20 -1 y = - x2 -4 -1 -1 -4 x -1 y = x – -2 = x =  y = -  x 2     x ( x + 2)  ( x  2) x  b) Hoành độ giao điểm đường thẳng y = x – và parabol y = - x2 là nghiệm phương trình:- x2 = x –  x2 + x – = Suy các giao điểm cần tìm là: L( 1; -1 ) và K ( - 2; - ) (xem hình vẽ) O Câu 4: a) Tứ giác AEHF có: ^ AEH + ^ AFH=180 (gt) Suy AEHFlà tứ giác nội tiếp ^=^ - Tứ giác BCEF có: BEC BFC=90 (gt) Nên E, F cùng nhìn BC góc Suy BCEF là tứ giác nội tiếp ^ b)Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra: B EF = ^ BCF (1) ^ Mặt khác ^ BMN = BCF (góc nội tiếp cùng chắn cung BN)(2) ^=^ Từ (1) và (2) suy ra: BEF BMN  MN // EF c) Ta có: ^ ABM = ^ ACN ( BCEF nội tiếp) ⇒ ^ AM = ^ AN  AM = AN, lại có OM = ON nên suy OA là đường trung trực MN  OA  MN , mà MN song song với EF nên suy OA  EF Câu 5: ĐK: y >0 ; x  R.Ta có: P = y  y 3y = x - x( y - 1) + + + x2 - x y + x + y - y + 4    x   2 y  1  1 2    y      4 3 3 Dấu “=” xảy ⇔ x=  −1 Min P = , y= 3 Suy ra: