HINH KG12 RAT HAY

Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P).. Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC.[r]

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vng góc gọi hệ trục toạ độ vng góc Oxyz khơng gian z



k

 i O



j y x

 O ( 0;0;0) gọi góc toạ độ  Các trục tọa độ:

 Ox : trục hoành  Oy : trục tung  Oz : trục cao

 Các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi vuông góc với

 , ,

  

i j k véctơ đơn vị

nằm trục Ox, Oy, Oz  i



= (1;0;0), j 

= (0;1;0), k



= (0;0;1)  i  j k 1

  

2 2

1

i j k 

  

 i j

 

, jk  

, ki.  i j. 0



, j k. 0  

, k i 0.  i j, k

    

  

,  j k,   i   

, k i,   j    CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

 M Ox  M(x;0;0)  M Oy  M(0;y;0)  M Oz  M(0;0;z)

 M (Oxy)  M(x;y;0)  M (Oyz)  M(0;y;z)  M (Oxz)  M(x;0;z)  Tọa độ điểm:  . .   ( ; ; )

                                                       

O M x i y j z k M x y z

 Tọa độ vectở:  1.  2.  3  ( ; ; )1

    

a a i a j a k a a a a

CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.

Cho  1; ;1 1,  2; ;2 2

 

a x y z b x y z

số k tuỳ ý, ta có:

1 Tổng hai vectơ vectơ.

   1 2; 1 2; 1 2

 

a b x x y y z z

2 Hiệu hai vectơ vectơ.

   1 2; 1 2; 1 2

 

a b x x y y z z

3 Tích vectơ với số thực vectơ.

 .  . 1; ;1 1  1; 1; 1



k a k x y z kx ky kz

4 Độ dài vectơ Bằng      

2 2

hoành  tung  cao



2 2

1 1

  



a x y z

5 Vectơ khơng có tọa độ là:

 

6 Hai vectơ nhau: Tọa độ tương ứng nhau.



1

1

1

  

   

 



  x x

a b y y

z z

7 Tích vơ hướng hai vectơ: Bằng: hồnh.hồnh+tung.tung+cao.cao.

 .  1.  1.  1.

 

a b x x y y z z a b a b . 0

8 Góc hai vectơ: Bằng tích vơ hướng chia tích độ dài.



  .

os a,

.

    

 a b

c b

a b

1 2

2 2 2

1 1 2

. . .

.

x x y y z z

x y z x y z

 



   

CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ

Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB) Khi đó:

1) Tọa độ vectơ AB là:

 B A; B A; B A

AB x  x y  y z  z



2) Độ dài đoạn thẳng AB đồ dài 

AB:

 2  2  2

  B  A  B  A  B  A

AB AB x x y y z z

.

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay gọi khoảng cách hai điểm A B.

3) Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB là:

A B

I

A B

I

A B

I

x x

x

2

y y

y

2 z z z

2

 

  

 

  

 

 

  I x y z I; ;I I

4) Tọa độ trọng tâm tam giác:

Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC)

Khi toạ độ trọng tâm G ABC là:

 

3

; ; 3

3

 

   

 



 

 

 

   

A B C G

A B C

G G G G

A B C G

x x x

x

y y y

y G x y z

z z z

z

5) Tích có hướng tính chất tích có hướng:

Cho  1; ;1 1,  2; ;2 2

 

a x y z b x y z Khi đó:



1 1 1 2 2 2

,  ; ; 

   

 

 

  y z z x x y

a b

y z z x x y

 Hai vectơ 

a, b phương   ,  0

  

a b

 Hai vectơ



a, b không phương   ,  0

  

a b

 Ba vectơ , ,c

  

a b đồng phẳng   , .c 0   

a b

 Ba vectơ , ,c

  

a b không đồng phẳng   , .c 0   

a b

6) Chứng minh hai vectơ phương.

 Cách 1:  a b phương  a k b 

 Cách 2: 



a b phương

1 1

2 2

 x y z

x y z vớix ,y ,z2 0





a b phương

2 2

1 1

 x y z

x y z

với x ,y ,z1 1 0

 Cách

3:  a b phương  a,b 0

  

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Ba điểm không thẳng hàng.

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

Cần nhớ Phương pháp

C B

A

Ba điểm A, B, C thẳng hàng

 hai vectơ ,

                           

AB AC phương

, 0

 

               AB AC  

Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ba điểm nằm đường thẳng.

Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực bước sau:

Bước 1: Tính

 

 

; ; ; ;

 



AB

AC

Bước 2: Tính  ,   0;0;0 0

  

AB AC

Bước 3: Kết luận hai vectơ ,

                           

AB AC phương, nên ba điểm A,

B, C thẳng hàng

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:

Cần nhớ Phương pháp

C B

A

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

 hai vectơ ,

 

AB AC không phương

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực các bước sau:

Bước 1: Tính

 

 

; ; ; ;

   AB

AC

Bước 2: Tính  ,    ; ;  0

  

AB AC

Bước 3: Vậy hai vectơ ,

 

AB AC không phương, nên ba điểm

A, B, C không thẳng hàng

, 0

 

   

  

AB AC

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng. Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.

Cần nhớ Phương pháp

D

C B

A

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

 , ,

  

AB AC AD đồng phẳng

  ,  . 0

  

AB AC AD

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

 

 

 

; ; ; ; ; ;

     

AB AC

AD .

Bước 2: Tính

 

, ; ; , . 0

  

 

   

 

 

  

AB AC AB AC AD

Bước 3: Vậy ba vectơ , ,   

AB AC AD không đồng phẳng, nên bốn

điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Chú ý:

 A, B, C, D khơng đồng phẳng A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện ABCD.

 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện ta chứng minh bốn điểm A, B, C, D không

đồng phẳng

Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

Cần nhớ Phương pháp

D

C B A

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

 , ,

  

AB AC AD đồng phẳng

  ,  . 0

  

AB AC AD

Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng bốn điểm thuộc mp.

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực các bước sau:

Bước 1: Tính

 

 

 

; ; ; ; ; ;

     

AB AC

AD .

Bước 2: Tính

 

, ; ;

, . 0

  

 

  

 

 

  

AB AC AB AC AD

Bước 3: Vậy ba vectơ , ,   

AB AC AD đồng phẳng, nên bốn điểm A,

B, C, D đồng phẳng

Vấn đề 3: Hình chiếu vng góc.

Hình chiếu vng góc lên trục tọa độ Hình chiếu vng góc lên mp tọa độ 1 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm

M(x;y;z) trục tọa độ.

2 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0)

Phương pháp

 Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) trục Ox là: M(x0;0;0)

 Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) trục Oy là: M(0;y0;0)

 Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) trục Oz là: M(0;0;z0)

Phương pháp

 Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) (Oxy) là: M(x0;y0;0)

 Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) (Oyz) là: M(0;y0;z0)

 Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) (Oxz) là: M(x0;0;z0)

Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.

Cần nhớ Phương pháp

Thể tích khối tứ diện ABCD

A                                               1

V = AB, AC AD

6

D

B

C

Bước 1: Tính

      ; ; ; ; ; ;       AB AC AD

Bước 2: Tính

  , ; ; , .                                          AB AC AB AC AD

Bước 3:

 

 

  

1

V = AB, AC AD

6

Chú ý: Thể tích khơng âm.

Vấn đề 5: Diện tích tam giác.

Diện tích tam giác ABC

ABC  

1

S = AB , AC

2                             A

B C Chú ý: Diện tích khơng âm.

Bước 1: Tính

    ; ; ; ;    AB AC

Bước 2: Tính  ,    ; ; 

 

AB AC

Bước 3: Tính

2 2

AB ,AC h t c

                                   .

Bước 4: ADCT

ABC  

1

S = AB , AC

2                             MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu.

Dạng 1 Dạng 2

MC (S):          

2 2 2

x a y b z c R

Có tâm I(a;b;c) bán kính R

Mặt cầu (S): x2 y2 z2  2ax-2by-2cz+d=0

Có tâm I(a;b;c) với

he äsoá x a

-2 he äsoá y b

-2 he äsoá z c -2            

Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng          

2 2 2

x a y b z c R

Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) bán kính R=m (với m số thực). Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S):          

2 2 2

x a y b z c R (*).

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m  Thế tâm I bán kính R vào pt (*)

Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) đường kính n (với n số thực). Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S):          

2 2 2

x a y b z c R

(*)

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R= n 2.  Thế tâm I bán kính R vào pt (*)

Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) qua điểm A. Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S):          

2 2 2

x a y b z c R (*).  Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Bán kính R=IA IA



 Thế tâm I bán kính R vào pt (*)

Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm với bán kính R hay độ dài đoạn thẳng IA với bán kính R.

Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB. Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S):          

2 2 2

x a y b z c R (*).

 Gọi I trung điểm AB I ; ;    Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Bán kính R=IA IA



 Thế tâm I bán kính R vào pt (*)

Chú ý:

 Đường kính AB nên A B thuộc mặt cầu nên IA=IB bán kính.

 Ta tính R theo cách sau: R=IB IB



R=

AB AB

2  2



Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S):          

2 2 2

x a y b z c R (*).  Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:

    

 

 

0 0

2 2

Ax By Cz D

R d I,(P)

A B C

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: x2y2 z2  2ax-2by-2cz+d=0. Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.

Phướng pháp.

 Pt mặt cầu (S) có dạng:

2 2

x y z  2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C, D thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*). thế tọa độ điểm B vào pt (*). thế tọa độ điểm C vào pt (*) thế tọa độ điểm D vào pt (*) 

      

 Giải hệ phương trình phương pháp thế, ta tìm a, b, c, d  Sau a, ,b , c, d vào pt (*).

Chú ý: Đề hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp.

Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phướng pháp.

 Pt mặt cầu (S) có dạng:

2 2

x y z  2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*). thế tọa độ điểm B vào pt (*). thế tọa độ điểm C vào pt (*) 

    

 Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên tọa độ a;b;c vào pt (P) ta phương trình thứ tư Ta giải hệ bốn pt, ta tìm a,b,c,d

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp vectơ pháp tuyến.

Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0 có vectơ pháp

tuyến nA;B;C 

. Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0  Mặt phẳng (P) có VTPT nA;B;C



 Ptmp (P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0 song song

hoặc chứa giá hai vectơ a , b   .

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0

 Hai vectơ có giá song song nằm mp(P)

   

a= , b 

 Mặt phẳng (P) có VTPT n a,b

 



 

  

 Ptmp(P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

M n

 P)

a

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M vng góc với đường thẳng d.

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua M

 Mặt phẳng (P) có VTPT: nP ad a ;a ;a1 3  

                         

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0 C z z  0 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua A

 Mặt phẳng (P) có VTPT: n AB,AC

 

 



                           

 Pt(P): A x x  0B y y  0 C z z  0 0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B vng góc với mp(Q).

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm A

 Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là:

Q

AB n   

 

 

 

 

 

 

 

 

 Nên mp(P) có VTPT: n AB,nQ

 

 

  

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0 C z z  0 0

Dạng 6:

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d d’.

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M d

 Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: ad  ad' 

 

 Mp(P) có VTPT: n a ,ad d'

 

 

  

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0 C z z  0 0

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A đường thẳng d. Phương pháp:

 Chọn điểm M thuộc đt d  Mặt phẳng (P) qua điểm A

 Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: AM a d 

 

 Nên mp(P) có VTPT: n AM,ad

 

 

  

M



d a d

P) 

,

nAB AC

 



                           

A CB

B

Q

n

P )

Q ) A

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) qua điểm M song song với mp(Q).

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z 0 0

 Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có VTPT



                           

P Q

n n .

 Ptmp(P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) mp trung trực đoạn thẳng AB.

Phương pháp:

 Gọi I trung điểm AB I   Mặt phẳng (P) qua điểm I

 Mặt phẳng (P) có VTPT n AB



 

 Ptmp (P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

Dạng 9: Viết phương trình mp (P) qua điểm M vng góc với hai mp (Q) (R). Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M

 Hai vectơ có giá song song nằm mp(P) là: nQ  ,nR 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Nên mp(P) có VTPT: n n ,nQ R

 

 



                           

 Ptmp(P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S):

Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm A. Phương pháp:

 Xác định tâm I mc(S)  Mặt phẳng (P) qua điểm A

 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IA

 

 Ptmp(P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nm;n;p 

tiếp xúc mặt cầu (S). Phương pháp:

 Trước tiên: Ta xác định tâm I bán kính R mặt cầu  Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0

Vì mp(P) có VTPT nm;n;p



mx ny pz 0

   D .

 Do mp(P) tiếp xúc mc(S) d I; P   R

Chú ý:

A B A B

A B

 

   

 .

Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) (,())dIPR

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )

d I d R

 

Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D =

P)

A I B

r = d(I,(P)) I

0 0

2 2

A

( , ( )) x By Cz D

d M P

A B C

  



 

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A,B.

Phương pháp:

 Đường thẳng d qua điểm A  Đường thẳng d có VTCP: a AB



 

 Pt tham số:

0

0

0

 

 

 



   

x x at y y bt z z ct

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M song song với đường thẳng d’. Phương pháp:

 Đường thẳng d qua điểm M  Đường thẳng d có VTCP: ad ad'

 

 Pt tham số:

0

0

0

 

 

 



   

x x at y y bt z z ct

Chú ý: Hai đường thẳng song song vectơ phương.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P). Phương pháp:

 Đường thẳng d qua điểm M  Đường thẳng d có VTCP: ad nP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Pt tham số:

0

0

0

 

 

 



   

x x at y y bt z z ct

VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tìm giao điểm đường thẳng d:

0

0

0

 

 

 



   

x x at y y bt z z ct

mp(P): Ax+By+Cz+D=0

Phương pháp:

 Gọi H giao điểm d (P)

 Tọa độ điểm H nghiệm hệ pt:

0 0

Ax+By+Cz+D=0

x x at

y y bt

z z ct

 

 

 

 

 

  

 Xét pt: Ax0 at+By0bt+Cz0 ct+D=0 (*).Giải pt (*) tìm t x, y, z  H

VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA M LÊN MP(P).

Phương pháp:

 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H d (P)

 Điểm H hình chiếu vng góc M lên (P)

Cần nhớ: Hình chiếu vng góc M lên (P) giao điểm đường thẳng d qua M vng góc với (P)

VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P). Phương pháp:

 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H d (P)

 Do M M’ đối xứng qua (P) nên H trung điểm đoạn thẳng MM”

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

2 2

 

 

  



 



      

 

 

 

   

M M

H

H M M

M M

H M H M

H M M

M M

H

x x

x

x x x

y y

y y y y

z z z

z z

z

 M’=

Cần nhớ: Hai điểm M M’ đối xứng qua (P) H trung điểm đoạn thẳng MM’

VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.

Phương pháp:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H d (P)

 Điểm H hình chiếu vng góc M lên d

Cần nhớ: Hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d giao điểm đường thẳng d qua M vuông góc với (P)

VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d. Phương pháp:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H d (P)

 Do M M’ đối xứng qua d nên H trung điểm đoạn thẳng MM’

M H

)

P

d

M/

M M

/  H P)

(d)

(d) H 

M

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

2 2

 

 

  



 



      

 

 

 

   

M M

H

H M M

M M

H M H M

H M M

M M

H

x x

x

x x x

y y

y y y y

z z z

z z

z

 M’=

Cần nhớ: Hai điểm M M’ đối xứng qua d H trung điểm đoạn thẳng MM’

VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp:

Bước 1:

 Xác định điểm M thuộc d VTCP a

 d  Xác định điểm M’ thuộc d VTCP a'



d’

Bước 2:

 Xét phương hai vectơ phương cách tính a,a'

  

 



 

 Nếu a,a' 0

  

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

a,a' 

 

phương d song song với d d trùng với d’

o Nếu M thuộc d mà khơng thuộc d’ d song song d’.

o Nếu M thuộc d thuộc d’ d trùng với d’.

 Nếu a,a' 0

  

 

  

a,a'  

khơng phương d cắt d’ d d’ chéo

o Nếu a,a' MM' 0    

d d’ cắt nhau.

o Nếu a,a' MM' 0    

d d’ chéo nhau.

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.

Phương pháp: Để xét vị trí tường đối đt d:

0

0

0

 

 

 



   

x x at y y bt z z ct

mp(P): Ax+By+Cz+D=0

Ta làm sau:

 Xét pt: Ax0at+By0 bt+Cz0ct+D=0 (*).Giải pt tìm t

o Pt(*) có nghiệm t d cắt mp(P) điểm

o Pt (*) vô nghiệm  d song song với (P)

Chú ý:



0t vô nghiệm. 0t =-2 vô nghiệm.



0t vô số nghiệm

VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH. 1/ Chứng tam giác ABC tam giác vuông A.

Cần nhớ: Tam giác ABC vuông A

AB AC AB AC AB.AC 0

                      Phương pháp:

 Tính AB ,AC  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Tính AB.AC H.H T.T C.C 0   

                           

 Suy AB AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Suy AB AC

 Kết luận tam giác ABC vuông A

Chú ý:

 Nếu tam giác ABC vuông B  BC BA BC BA.BC 0  

   

 Nếu tam giác ABC vuông C C CB CA CB CA.CB 0  

   

2/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ VNG GĨC với nhau.

Cần nhớ: d d'  ad ad'  a ad d' 0

   

Phương pháp:

 Đường thẳng d có VTCP: a

 =  Đường thẳng d’ có VTCP: a'



=  Tính a.a H.H T.T C.C 0   

 

 Suy ra: a a

 

 Kết luận d d’ vng góc với

3/ Tìm tham số để đường thẳng d VNG GĨC đường thẳng d’. Phương pháp:

Do d d'  ad ad'  a ad d'  0 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

ta giải pt tìm tham số. 4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’.

Cần nhớ:

 Hai đường thẳng song song khơng có điểm

chung tức điểm thuộc đường thẳng không thuộc đường thẳng

 Hai đường thẳng song song hai vectơ phương phương với

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d d’ SONG SONG với nhau:

Cách 1:

Bước 1: Chứng minh hai vectơ phương a,a' 

 

 Ta chứng minh a,a' 0

  

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận

Cách 2:

Bước 1: Lập tỉ số: Tức

 

 

1

1

a a ;a ;a a' a' ;a' ;a'

  



phương

3

1

1

a

a a

a' a' a'

  

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận

5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’. Phương pháp:

Bước 1: Chỉ hai vectơ phương

 

 

1

1

a a ;a ;a a' a' ;a' ;a'

   

Bước 2: Vì d //d’ nên a,a'  

phương

3

1

1

a

a a

a' a' a'

  

, lập pt hệ pt để tìm m

6/ Tìm giao điểm hai đường thẳng:

d:

0

0

0

 

 

 



   

x x at y y bt z z ct

d’:

0

0

0 ' ' '

' ' ' ' ' '

 

 

 



   

x x a t y y b t z z c t

Cách tìm: Bước 1:

 Gọi I giao điểm d d’

 Tọa độ giao điểm nghiệm hệ pt:

0

0

0

' ' ' (1) ' ' ' (2) ' ' ' (3)

  

 

  



   



x at x a t

y bt y b t

z ct z c t

(*)

Bước 2: Để giải hệ (*) ta giải hệ gồm pt (1) (2), t t’ vào pt(3) thử lại.

 Giải hệ pt

0

0

' ' ' (1) ' ' ' ' ' (2) ' '

    

 



 

     



x at x a t at a t m

y bt y b t bt b t n Tìm t t’.

 Thế t t’ vào pt (3) thỏa t t’ nghiệm hệ (*), khơng thỏa hệ (*) vơ nghiệm

 Thế t t’ vào pt d d’ để tìm tọa độ giao điểm I

7/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ CẮT nhau. Cách 1:

 Chỉ điểm M thuộc d vectơ phương a

 d  Chỉ điểm M’ thuộc d’ vectơ phương a'



 Chứng minh:

a,a' 0

a,a' MM' 0

  

 



  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

Cách 2: Tìm giao điểm d d’

8/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ CHÉO nhau.

 Chỉ điểm M thuộc d vectơ phương a

 d  Chỉ điểm M’ thuộc d’ vectơ phương a'



d’

 Chứng minh: a,a' MM' 0

  

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. Cách tính:

Để tính khoảng cách hai mp song song (P) (Q) ta làm sau:

 Chọn điểm M thuộc (P)



   

     Ax0 By2 2Cz02 D

d P , Q d M, Q

A B C

  

 

  .

VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

 Chọn điểm M thuộc d.  d d,d'  d M,d' .

VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

0

0

0

 

 

 



   

x x at y y bt z z ct

 Đường thẳng tập hợp vô số điểm

 Nếu chọn điểm M thuộc d điểm M có tọa độ là: M x at;y0 bt;z0 ct

VẤN ĐỀ 18: GĨC.

1/ Góc hai đường thẳng góc hai vectơ phương.

  a.a'

cos = cos a,a'

a a'

 



 

 

 

Chú ý: 00  900. 2/ Góc hai mặt phẳng góc hai vectơ pháp tuyến.

  n.n'

cos = cos n,n'

n n'

 

   

 

Chú ý: 00  900.

3/ Góc đường thẳng mặt phẳng góc vectơ phương vectơ pháp tuyến.

  a.n

sin = cos a,n

a n

 

   

 

Chú ý: 00  900.

 Xác định tâm I bán kính r mặt cầu (S).

 Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d d I, P   .

o TH1: d r  (P) (S)=   (hay (P) (S) khơng có điểm chung).

o TH2: d r  (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).

o TH3: d r  (P) cắt (S) theo thiết diện đường tròn (C).

 Cách xác định tâm bán kính đường trịn(C).

- Gọi H tâm (C).

Khi H giao điểm đường thẳng d qua tâm I vng góc mp(P).

CÁC DẠNG TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.

2 Các dạng tốn.

Dạng 1:Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm M(x ;y ;z )0 0 và vng góc với đường thẳng d. 0

HD

P d

Điểm qua M(x ;y ;z )

VTPT n a

    

 



                           

Cần nhớ: MP vng góc đường thẳng nhận VTCP đt làm VTPT.

Bài 1:Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) vng góc với đt d:

x 2t

y 3t

z 2   

     

Bài giải

HD

P d

Điểm ñi qua A(2;2-1)

VTPT n a

    

 



 

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP ad 2; 3;0 

 

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

      

    

   

2 x y 2 0 z 1 0

2x 3y 0 2x 3y 0 Cần nhớ:

- Mp(P) vng góc đường thẳng d nhận vectơ ad



làm vectơ pháp tuyến.

Bài 2:Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) vng góc với đường thẳng

d:

x y 2 z

1 2 2

 

 



1 Kiến thức cần nhớ:

- Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: Vectơ n 0 đgl vectơ pháp tuyến mp(P) giá

của n vng góc với (P), viết tắt n (P) .

- Nếu hai vectơ a, b  khơng phương có giá song song nằm mp(P) mp(P) có vectơ pháp tuyến là: nP a,b

                                         

.

- Phương trình tổng qt mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2B C2 0 - Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x ;y ;z )0 0 có vectơ pháp tuyến nP A;B;C



có dạng: A x x  0 B y y  0C z z  0 0.

Cần nhớ:

- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:  

0 0

P

một điểm M(x ;y ;z ) thuoäc mp

moät VTPT n A;B;C

  

 



Bài giải

HD

P d

Điểm qua A(2;2-1)

VTPT n a

    

 



 

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP ad 1;2; 2 

 

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       

      

    

x 2 y 2 z 1 0

x 2y 2z 0 x 2y 2z 0

Cần nhớ: Mp(P) vng góc đường thẳng d nhận vectơ ad



làm vectơ pháp tuyến.

Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vng góc với AC.

Bài giải

HD

P

Điểm ñi qua B(0;2;0)

VTPT n AC

    

 



 

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP AC  2;0;2

                           

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

        

    

x 0 0 y 2 z 0 0

x + 2z = 0 x+z=0

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC 

làm vectơ pháp tuyến.

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc với BC B.

Bài giải

HD

P

Điểm qua B(0;2;0)

VTPT n BC

    

 



 

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP BC0; 2;2 

 

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       

     

x y 2 2 z 0 0

y+4+2z=0 y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp(P) vng góc đường thẳng BC nhận vectơ BC 

làm vectơ pháp tuyến.

Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB.

Bài giải

HD

P

Điểm qua trung điểm I(2;2;2)

VTPT n AB

    

 



 

- Gọi I trung điểm AB I 2;2;2 

- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP AB2;2;2

 

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       

     

x y 2 2 z 0 0

y+4+2z=0 y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp trung trực đoạn thẳng AB mp vng góc với đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn thẳng AB.

Kiến thức cần nhớ:

- Trục Ox có VTCP i1;0;0



- Trục Oy có VTCP j0;1;0



- Trục Oz có VTCP k0;0;1



- Mp (Oxy) có VTPT: ni, j  k 0;0;1

   

- Mp (Oyz) có VTPT: nj,k  i 1;0;0

   

- Mp (Oxz) có VTPT:     

   

n k,i j 0;1;0

Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với trục Ox.

Bài giải  

HD

P

Điểm qua M(1;2;3)

VTPT n i 1;0;0

    

  



                           

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP  i 1;0;0  

                         

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       



x y 2 0 z 3 0

x-1=0

Cần nhớ: Mp(P) vng góc trục Ox nhận vectơ i 

làm vectơ pháp tuyến.

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với trục Oy.

Bài giải  

HD

P

Điểm qua M(1;2;3)

VTPT n j 0;1;0

    

  



 

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP  j 0;1;0

 

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       



x 1 y 2 0 z 3 0

y-2=0

Cần nhớ: Mp(P) vng góc trục Oy nhận vectơ j 

làm vectơ pháp tuyến.

Bài giải  

HD

P

Điểm ñi qua M(1;2;3)

VTPT n k 0;0;1

    

  



 

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP  k 0;0;1

 

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       

  

x y z 3 0

z =0

Cần nhớ: Mp(P) vng góc trục Oz nhận vectơ k 

làm vectơ pháp tuyến.

Dạng 2:Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C

0 0

HD

P

Điểm qua A(x ;y ;z )

VTPT n AB,AC

    

 



  



                                         

Bài 1:Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)

Bài giải

HD

P Điểm qua A

VTPT n AB,AC

    

 



  



  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP AB,AC

                                         

Với

 

 

AB 1;1;0

AC 1;0;1

     

 nP AB,AC 1;1;1

                                         

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0 C z z  0 0

     

       

    

    

x 1 y z 0 0

x y z 0 x y z 0

Bài 2:Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1) Viết phương trình mp(OMN).

Bài giải

HD

P

Điểm qua O, VTPT n OM,ON

                  

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP OM,ON

  

Với

 

 

OM 1;1;1

ON 1; 1;1



 

 

 nP OM,ON 2;0; 2 

  

     

       

   

x 0 0 y z 0 0

x 2z 0

Dạng 3:Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm M(x ;y ;z )0 0 và song song với mp(Q) 0

HD

P Q

Điểm qua M(x ;y ;z )

VTPT n n

         

Bài 1:Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) song song với mp(Q): 2x+2y+z=0.

Bài giải

HD

P Q

Điểm qua A(1;2;3)

VTPT n n

         

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP nQ 2;2;1

                           

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       

       

     

x y z 3 0

x 2y z 0 x 2y z 0

Cần nhớ: Hai mp song song VTPT.

Bài 2:Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) song song với mp(ABC)

Bài giải

HD

P ABC Điểm qua M

VTPT n n AB,AC

                                                                    

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP AB,AC

                                          Với     AB 1;1;0 AC 1;0;1      

 nP AB,AC 1;1;1

                                         

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       

      

    

x 1 y z 3 0

x y z 0 x y z 0

Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT nABC AB,AC

  

.

Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) song song mp(Oxy).

Bài giải  

HD

P

Điểm qua M(1;2;3)

VTPT n i, j k 0;0;1

                 

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP i, j  k 0;0;1

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       



x y z 3 0

z-3=0

Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) song song mp(Oxz).

Bài giải  

    

 

  

  



   

HD

P

Điểm qua M(1;2;3)

VTPT n k,i j 0;1;0

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP i,k  j 0;1;0

   

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       



x 1 y 2 0 z 3 0

y-2=0

Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) song song mp(Oyz).

Bài giải  

HD

P

Điểm qua M(1;2;3)

VTPT n j,k i 1;0;0

    

 

  

  



   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3)

- Mặt phẳng (P) có VTPT nP j,k  i 1;0;0

   

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       



x y 2 0 z 3 0

x-1=0

Dạng 4:Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B vng góc với mp(Q)

HD

P Q

Điểm qua A

VTPT n AB,n

    

 



  



                                         

Bài 1: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) vng góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0

Bài giải

HD

P Q

Điểm ñi qua A

VTPT n AB,n

    

 



  



  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ khơng phương có giá song song nằm (P) là:

 

 

Q

AB 1; 2;5

n 2; 1;3

  

 

 

- Mặt phẳng (P) có VTPT : nP AB,nQ   1;13;5

  

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

        



x 13 y z 1 0

Bài 2: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) vng góc với mp(Oxy)

Bài giải

HD

P Điểm qua A

VTPT n AB,k

    

 



  



                                         

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ không phương có giá song song nằm (P) là:

 

 

AB 1; 2;5

k 0;0;1

  

 



- Mặt phẳng (P) có VTPT nP AB,k

                                         

=(-2;1;0)

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

        

  

x y z 1 0

x+y+5=0

Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) vng góc với mp(Oyz)

Bài giải

HD

P Điểm ñi qua O

VTPT n OA,i

    

 



  



                                         

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0)

- Hai vectơ không phương có giá song song nằm (P) là:

 

 

OA 1;1;1

i 1;0;0

  



- Mặt phẳng (P) có VTPT nP OA,i

                                         

=(0;1;-1)

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

     

       



x y z 0 0

y-z=0

Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng.

Kiến thức cần nhớ:

- Vectơ phương đường thẳng vectơ có giá song song với đường thẳng trùng với đường thẳng.

- Đường thẳng d qua điểm M(x ;y ;z )0 0 có vectơ phương ad a;b;c



:

 Có pt tham số:

0 0

x x at

y y bt

z z ct

 

 

 



  

 .

 Có phương trình tắc:

0 0

x x y y z z , a.b.c 0

a b c

  

  

0 0

một điểm M(x ;y ;z ) thuộc đường thẳng 

Các dạng toán.

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B

HD

AB Điểm ñi qua A

VTPT a AB

    

 



                           

Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ phương vectơ AB .

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).

Bài giải

HD

AB Điểm qua A

VTPT a AB

    

 



 

- Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng AB có vectơ phương là: aAB AB                            

=(1;-1;1)

- Pt tham số AB là:

   

 

 

    

 

     

 

0 0

x x at x t

y y bt y t

z t

z z ct .

Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG.

Bài giải

HD

OG Điểm qua O

VTPT a OG

    

 



 

- Ta có G(2;3;4)

- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng OG có vectơ phương là: aOG OG

 

=(2;3;4)

- Pt tham số OG là:

    

  

  

      

  

       

 



0 0

x x at x 2t x 2t

y y bt y 3t y 3t

z 4t z 4t

z z ct .

Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ phương OG



Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P).

HD

d P

Điểm qua M

VTPT a n

    

 



 

Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) vng góc với mp(P): x-2y-z-1=0.

Bài giải

HD

d P Điểm qua M

VTPT a n

    

 



 

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad nP

 

=(1;-2;-1)

- Pt tham số d là:

   

 

 

    

 

     

 

0 0

x x at x t

y y bt y 2t

z t

z z ct .

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ vng góc mp(ABC).

Bài giải

HD

d ABC Điểm ñi qua O

VTPT a n AB,AC

    

 

 

  



                                                       

- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad nABC AB,AC

   

=(1;1;1)

- Pt tham số d là:

  

 

 

   

 

    

 

0 0

x x at x t

y y bt y t

z t

z z ct

.

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) vng góc mp(Oxy).

Bài giải

HD

d

Điểm qua M

VTPT a i, j k

    

 

 

  



   

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad k

 

=(0;0;1)

- Pt tham số d là:

  

 

 

   

 

     

 

0 0

x x at x 1

y y bt y 2

z t

z z ct

.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M song song đường thẳng d’.

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) song song với đường thẳng d’:

x t y 3t z 4t

  

   

   

Bài giải

HD

d d ' Điểm qua M

VTPT a a

    

 



 

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad ad '

 

=(1;-3;4)

- Pt tham số d là:

   

 

 

    

 

     

 

0 0

x x at x t

y y bt y 3t

z 4t

z z ct .

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) song song với đường thẳng d’:

x 12 y 23 z

1 3 4

 

 



Bài giải

HD

d d ' Điểm qua M

VTPT a a

    

 



 

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad ad '

 

- Pt tham số d là:

   

 

 

    

 

     

 

0 0

x x at x t

y y bt y 3t

z 4t

z z ct .

Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A song song với đường thẳng BC.

Bài giải

HD

d Điểm qua A

VTPT a BC

    

 



 

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad BC

 

=(1;-3;4)

- Pt tham số d là:

   

 

 

    

 

     

 

0 0

x x at x t

y y bt y 3t

z 4t

z z ct .

Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) song song trục Ox.

Bài giải

HD

d Điểm qua A

VTPT a i

    

 



 

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad i

 

=(1;0;0)

- Pt tham số d là:

   

 

 

   

 

    

 

0 0

x x at x t

y y bt y 2

z 3

z z ct .

Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) song song trục Oy.

Bài giải

HD

d Điểm qua A

VTPT a j

    

 



 

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ phương là: ad  j 0;1;0

 

- Pt tham số d là:

  

 

 

    

 

    

 

0 0

x x at x 1

y y bt y t

z 3

z z ct .

Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) song song trục Oz.

Bài giải

HD

d Điểm qua A

VTPT a k

    

 



 

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là ad  k 0;0;1

 

x 1 Pt : y 2

z t   

  

   

Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP i1;0;0



có pt tham số là:

x t y 0 z 0   

   

 .

Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP j0;1;0



có pt tham số là:

x 0 y t z 0

  

   

 .

Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP k 0;0;1



có pt tham số là:

x 0 y 0 z t

  

   

 .

Phương trình mặt phẳng tọa độ.

Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT: ni, j  k 0;0;1

   

có pt: z=0

Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT:     

   

n k,i j 0;1;0

có pt: y=0

Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT: nj,k  i 1;0;0

   

có pt: x=0

Kiến thức khơng quên:

 Pt mp(Oxy) là: z=0  Pt mp(Oxz) là: y=0  Pt mp(Oyz) là: x=0

Vấn đề 2: Các dạng tốn khác.

Dạng 1: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng.

Bài 1: Tìm giao điểm đường thẳng d:

x 1 t

y 1 t

z 2t

  



  

 

 và mp(P):x+y-2z-4=0.

Bài giải.

- Gọi H(x;y;z) giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P)

- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

t+4-4=0

-2+2t=0 2t=2 t=1

x=-1+1=0

y=-1+1=0 H(0;0; 2)

z=-2.1=-2     

  

 

   

 

Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho dạng tắc ta chuyển pt tắc dạng tham số

Bài 2: Tìm giao điểm đường thẳng d:

x y 1 z

1 1 2

 

 

 và mp(P):x+y-2z-4=0.

Bài giải.

 Viết phương trình tham số đường thẳng d.

- Đường thẳng d có vectơ phương ad 1;1; 2 



- Phương trình tham số d là:

x 1 t

y 1 t

z 2t

  



  

  

 Tìm giao điểm đường thẳng d mp(P).

- Gọi H(x;y;z) giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P)

- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

t+4-4=0 -2+2t=0 2t=2 t=1

x=-1+1=0

y=-1+1=0 H(0;0; 2)

z=-2.1=-2      

 

 

   

 

Cần nhớ: Nếu đề chưa có pt tham số ta viết pt tham số trước.

Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm đường thẳng AB mp(P).

Bài giải

 Viết phương trình tham số đường thẳng AB.

- Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1)

- Đường thẳng AB có vectơ phương là: aAB AB

 

=(1;-3;2)

- Pt tham số AB là:

0 0

x x at x t

y y bt y 3t

z 2t

z z ct

   

 

 

    

 

     



 .

 Tìm giao điểm đường thẳng AB mp(P).

- Gọi H(x;y;z) giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P)

- Xét pt: 2t+2-3t+3(1+2t)=0

 

 

t+2-3t+3+6t=0 5t+5=0

5t=-5 t=-1

x=-1

y=2-3 -1 5 H( 1;5; 1)

z 1 1

  

 

 

     



   



Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0) B(0;1;0), C(0;0;1) Xác định hình chiếu vng góc A lên BC

Hướng dẫn:

- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC

- Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A vng góc BC

- Bước 3: Tìm giao điểm H BC (P), H hình chiếu A lên BC

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau:

Cần nhớ: Hai đường thẳng d d’ vng góc với nhau  a ad d' 0

Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:

x t y 3t z 2t

  

     

 d’:

x 2t y 2t z 2t

  

  

  

 vng góc với nhau

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ phương: a1; 3;2 



- Đường thẳng d’ có vectơ phương: a'2;2;2



- Ta có: a.a' 1.2 3.2 2.2 0   

 

- Vậy: Đường thẳng d đường thẳng d’ vng góc với

Cần nhớ: Để CM hai đt vuông góc với ta chứng minh tích vơ hướng hai VTCP 0.

Bài 2: Cho điểm A(1;-3;2) Chứng minh hai đt OA d:

x 2t y 2t z 2t

  

  

  

 vng góc với nhau

Bài giải

- Đường thẳng OA có vectơ phương: OA1; 3;2 



- Đường thẳng d có vectơ phương: a2;2;2



- Ta có: OA.a 1.2 3.2 2.2 0   

 

- Vậy: Đường thẳng OA đường thẳng d vng góc với

Bài 3: Chứng minh đường thẳng d:

x 2 y 8t z 9t

  

  

  

 vng góc với trục Ox

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ phương: a0;8;10



- Trục Ox có vectơ phương: i1;0;0



- Ta có: a.i 0.1 8.0 10.0 0   



- Vậy: Đường thẳng d vuông góc với trục Ox

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau. Cần nhớ: Hai đt song song khơng có điểm chung:

Ta chứng minh hai VTCP phương

điểm đt không đt kia 

     

 



Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:

x t y t z t

  

  

  

 d’:

x 2t

y 2 2t

z 3 2t

  

  

  

 song song với nhau.

Bài giải - Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1)

- Đường thẳng d có vectơ phương: a1;1;1



- Đường thẳng d’ có vectơ phương: a'2;2;2



+ Ta chứng minh hai VTCP phương:

Cách 1: a a' phương do



  1 1

2 2  .

 

Caùch 2: Do a' =2 a nên a a' phương.

Cách 3: Do a,a'    0;0;0 0 nên a a' phương.

   

    

+ Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d không thuộc d’.

Thế tọa độ điểm A vào pt d’:

0 2t t 0

2 2 2t t 2

1 5 2t t 3

 

 

 

   

 

    

  suy A không thuộc d’.

Vậy: d d’ song song với

Cần nhớ: Khi tọa độ điểm A vào d’

ba t baèng nhau A d'

ba t không A d'

 



  

 .

Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP phương điểm thuộc đường thẳng không thuộc đường thẳng kia.

Đề thi Tốt nghiệp năm 2008.

Cho điểm M(-2;1;-2) đt d:

x y z

2 1 2

 

 

 CMR đường thẳng OM song song đt d.

Bài giải

- Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng OM có vectơ phương: OM  2;1; 2 



- Đường thẳng d có vectơ phương: a'2; 1;2 



Ta có: OM a phương do

                         

  2 1 2 1

2 1 2

 

  



Thế tọa độ điểm O vào pt d ta có:

0 1 0

2 1 2

 

 

 Suy điểm O thuộc đường thẳng OM không

thuộc đt d

Vậy: Đt OM song song đường thẳng d

Cần nhớ: Khi tọa độ điểm O vào d

ba phân số nhau d

ba phân số không nhau d

   



  

 .

Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp:

Ta chứng minh a.n 0  

điểm thuộc đt không thuộc mp.

Bài 1: Chứng minh đường thẳng d:

x 2t y 3t z 6t

   

  

  

 song song mp(P): 3x+4y+z-9=0.

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ phương: a  2;3; 6 



- MP(P) có vectơ pháp tuyến: n3;4;1



- Ta có: a.n2.3 3.4 6.1 0  

 

.

- Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d không thuộc (P)

- Vậy: ĐT d vng góc mp(P)

Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vơ hướng VTCP VTPT điểm thuộc đường thẳng không thuộc mp

Bài 2: Chứng minh đường thẳng d:

x 2t y 9 z 10 6t

   

 

  

 song song mp(Oyz).

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ phương: a  2;0; 6 



- MP(Oyz) có vectơ pháp tuyến: j0;1;0



- Ta có: a.j2.0 0.1 6.0 0  



- Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d không thuộc (Oyz)

- Vậy: ĐT d song song mp(Oyz)

Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta cần VTPT mp(Oyz)

Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) mp(P): 2x+2y-3z-9=0 Chứng minh đường thẳng AB song song mp(P). Bài giải

- Đường thẳng AB có vectơ phương: a1; 1;0 



- MP(P) có vectơ pháp tuyến: n2;2; 3 



- Ta có: a.n 1.2 1.2 0.( 3) 0    

 

- Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d không thuộc (P)

- Vậy: ĐT AB song song mp(P)

Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vng góc với mp:

  Ta chứng minh VTCP VTPT phương với nhau.

Bài 1: CM đt d:

x t y 2t z 3t

  



  

  

 vng góc mp(P): 2x+4y+6z+8=0.

Bài giải

- Đường thẳng d có vectơ phương: a1;2;3



- MP(P) có vectơ pháp tuyến: n2;4;6



- Ta có:  

1

a. n n 2a

2

 

   

nên a, n

 

cùng phương với nhau. - Vậy: ĐT d vng góc mp(P)

Vấn đề 4: Các toán tam giác.

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác. Ta chứng minh: AB,AC

 

khơng phương.

- Ta có:

 

 

AB 1;1;0

AC 1;0;1

     

- Nhận xét: AB,AC  1;1;1 0

  

nên AB,AC

 

không phương nên A, B, C ba đỉnh tam giác

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta chứng minh: AB,AC

 

phương.

Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bài giải

- Ta có:

 

 

AB 1;1;1

AC 8;8;8

   

- Nhận xét: AB,AC  0;0;0 0

  

nên AB,AC

 

phương nên A, B, C thẳng hàng

Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông.

Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vuông A với A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Bài giải

- Ta có:     

 

AB 0; 3;4 , AC 12;0;0

- Do AB.AC 0.12 3.0 4.0 0     AB AC  AB AC

   

nên ABC vuông A

Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân.

Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1). Bài giải

- Ta có:

 

 

AB 2;0; 1 AB 3

AC 2;1;0 AC 3

    

  

 

 

- Do AB AC  3

                           

nên ABC cân A

Cần nhớ:

 Tam giác vng có hai cạnh góc vng vng góc với  Tam giác cân có hai cạnh bên nhau.

 Tam giác có ba cạnh nhau.

Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC tam giác đều.

Bài 1: Chứng minh tam giác ABC tam giác với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Bài giải

- Ta có:

 

 

 

AB 1;1;0 AB 2

AC 1;0;1 AC 2

BC 0; 1;1 BC 2

   

   

   

 

 

 

- Do AB AC AC  2

  

nên ABC tam giác

Vấn đề 5: Hình chiếu vng góc điểm lên mp điểm đối xứng với điểm qua mp. Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0) mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0.

1 Xác định hình chiếu vng góc A lên (P). 2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).

1 Xác định hình chiếu vng góc A lên (P).

- Gọi d đường thẳng qua A(-2;1;0) vng góc với (P). - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad nP 1;2; 2 

 

- Pt tham số d là:

0 0

x x at x 2 t

y y bt y 2t

z 2t

z z ct

   

 

 

    

 

    



 .

 Gọi H giao điểm d (P), H hình chiếu vng góc A lên (P).

- Xét pt: -2+t+2(1+2t)-2.(-2t)-9=0

2 t 4t 4t 0 9t 0

9t 9 t 1

x

y=3 H( 1;3; 2)

z=-2

       

  

 

 

  



    

 

Vậy hình chiếu vng góc A lên (P) H(-1;3;-2)

2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).

- Do A A’ đối xứng qua (P) nên H trung điểm AA’

- Áp dụng công thức:

 

/

/ /

/ / /

2 2 2 2 0

2 A'= 0;5;-4

2 4

2

 

 

      

 



          

 

    

 

   

A A H

H A A

A A

H A H A

H A A

A A H

x x x

x x x

y y

y y y y

z z z

z z z

Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) A’(0;5;-4)

Vấn đề 6: Hình chiếu vng góc điểm lên đt điểm đối xứng với điểm qua đt.

Bài 1: Cho điểm A(1;1;8) đường thẳng d:

x 2t

y 1 t

z t

  



  

 

 .

1 Xác định hình chiếu vng góc A lên d. 2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

Bài giải

1 Xác định hình chiếu vng góc A lên d.

- Gọi (P) đường thẳng qua A(-2;1;0) vuông góc với d. - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP ad 2;1; 1 

                           

- Pt mp(P) : A x x  0 B y y  0C z z  0 0

 x 1 y 1 z 8            0 x+y-z+5=0

 Gọi H giao điểm d (P), H hình chiếu vng góc A lên d.

t+2t+4=0

x=-1

6t=-6 t=-1 y=-2 H( 1; 2;1)

z=1               

Vậy hình chiếu vng góc A lên d H(-1;-2;1)

Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

- Do A A’ đối xứng qua d nên H trung điểm AA’

- Áp dụng công thức:

  / / / / / /

2 2 2 1 3

2 4 2 5 A'= -3;-5;-6 2

2 2 8 6

2                                       A A H H A A A A

H A H A

H A A A A H x x x

x x x

y y

y y y y

z z z

z z

z

Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) A’(-3;-5;-6)

Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng bốn đỉnh tứ diện)

  Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng  AB,AC AD 0 

                                          . Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3).

1 Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Giải

- Tính AB3; 4;3 , AC  4; 1; , AD   0; 3;3 

                                         

- Tính AB,AC 7;15;13 , AB,AC AD   45 39 6

                                                                     

- Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Cần nhớ: Để chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh AB,AC AD 0 

                                         

2 Tính thể tích tứ diện ABCD. Giải

- Tính AB3; 4;3 , AC  4; 1; , AD   0; 3;3 

  

- Tính AB,AC 7;15;13 , AB,AC AD   45 39 6

                                                                     

- Thể tích tứ diện ABCD: ABCD

1 1

V AB,AC AD 6 1

6   6

                    

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh OABC tứ diện, tính thể tích tứ diện OABC. Giải

 Chứng minh OABC tứ diện.

- Tính OA1;0;0 , OB 0;1;0 , OC 0;0;1

                                         

- Tính OA,OB 0;0;1 , OA,OB OC 0.0 0.0 1.1 0       

    

- Vậy: OABC tứ diện

 Thể tích tứ diện ABCD:

ABCD

1 1 1

V OA,OB OC 1

6   6 6

    

Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d d’ chéo  a,a' AB 0 

  

Với A thuộc d B thuộc d’

Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CMa,a' AB 0 

  

.

Vấn đề 9: Tìm giao điểm hai đường thẳng.

Bài 1: Tìm giao điểm hai đường thẳng d:

x t x=2-2t'

y 3t, d': y=-2+t'

z t z=1+3t'

 

 

 

 

 

   

 

Giải

- Gọi H giao điểm d d’

- Xét hệ phương trình:

1 t 2t' (1)

2 3t 2 t' (2)

3 t 3t ' (3)   

 

  



    

- Giải hệ pt gồm pt (1) (2):

1 t 2t' t 2t' 1 t 1

2 3t 2 t' 3t t' 4 t' 1

     

  

 

  

     

  

- Thế t=-1 t’=1 vào pt (3): 3-(-1)=1+3.t (thỏa)

Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:

x t y t z 4

   

  

 

 d’:

x t y 8 z t

   

 

  

 chéo nhau.

Giải

- Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ phương a  1;1;0



- Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ phương a'  1;0;1



- Tính a,a'  1;1;1 , AB 5;5;5

  

- Tính a,a' AB 1.5 1.5 1.5 15 0     

  

- Vậy: d d’ chéo

Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:

x y z

2 2 1

 

 

 và d’:

x y z 4

2 3 1

 

 

 

chéo nhau.

Giải

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ phương a2; 2;1 



- Đường thẳng d qua điểm B(0;-5;4) có vectơ phương a'  2;3; 1 



- Tính a,a'    1;0;2 , AB   1; 7;4 

  

- Tính a,a' AB   1 1 2.4 0     

  

- Thế t=-1 vào pt d:

x 1 0

y 3( 1) 1 H(0; 1;4)

z ( 1) 4

  

 

     



     

Cần nhớ:

 Nếu t=-1 t’=1 vào (3) mà khơng thỏa d khơng cắt d’.  Ta t’=1 vào pt d’ để tìm tọa độ điểm H.

Bài 2: Tìm giao điểm hai đường thẳng d:

x t x=2-2t'

y 3t, d': y=-2+t'

z t z=9+3t'

 

 

 

 

 

   

 

Giải

- Gọi H giao điểm d d’

- Xét hệ phương trình:

1 t 2t' (1)

2 3t 2 t' (2)

3 t 3t' (3)   

 

  



    

- Giải hệ pt gồm pt (1) (2):

1 t 2t' t 2t' 1 t 1

2 3t 2 t' 3t t' 4 t' 1

     

  

 

  

     

  

- Thế t=-1 t’=1 vào pt (3): 3-1=9+3.t (vơ lí).

- Vậy: d d’ không cắt nhau

Cần nhớ:

 Hệ phương trình:

1 t 2t' (1)

2 3t 2 t' (2)

3 t 3t' (3)   

 

  



   

 có hai ẩn t t’ Nghiệm hệ pt cặp giá

trị t, t’ thỏa ba pt (1), (2), (3)

 Để tìm t, t’ ta giải hệ gồm pt (1) (2) (1) (3) (2) (3) Rồi t t’ vào pt lại

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 2012 Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết:

     

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

  

1 OM 5i 2j 7k. 2 OM 3k. 3 OM i 3j.

              

   

4 AM i 3j k , A(1;-1;2). 5 AM i k , A(-1;-1;3). 6 AM i 2j k , A(0;-1;-2)

Bài 2: Tìm tọa độ điểm M biết:

1 MA 2MB  với A(2;1;0), B(-2;0;1).

2 -3MA 2MB

 

với A(2;1;4), B(-2;3;1)

2 1 3 MA MB

3  2

 

với A(2;1;0), B(-2;0;1)

Bài 3: Tính góc hai vectơ: 1 a2;1;4 , b   6;0;3 a 0;0;1 , b 2;0;2

   

       

       

     

1 a 1;1;1 , b 2;2;2 , a 4;4;4 , b 3;3;3 2 a 2;4;6 , b 2;4;0 a 1;3;0 , b 2; 6;0

3 a 1;3;1 , b 2;7;2 a 1; 3; ,

   

    

    

   

   

  

 

       

       

       

b 2; 7; 2 4 a 1;2;0 , b 2;4;0 a 0;4; , b 0; 2;4 5 a 0;1;2 , b 0;4;8 a 0; 1;3 , b 0;2;6 6 a 1;2;9 , b 0;3;1 a 5;6;9 , b 0;3;3

   

     

    

     



   

   

   

Bài 4b: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1) Tính góc hai vectơ AB, AC

  Tính góc hai vectơ BA, BC

  Tính góc hai vectơ CA, CB

 

Bài 5: Cho am;6; , b  m; m; 1  

 

Tìm m để a b.

Bài 6: Cho am;3; , b  m; m; 1  

 

Tìm m để a b.

Bài 7: Cho am;1;6 , b m; m;1 

 

Tìm m để a b.

Chứng minh tam giác vuông

Bài 8: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vuông

Bài 9: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Chứng minh tam giác ABC vuông

Bài 10: Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC vuông

Bài 11: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Chứng minh tam giác ABC vuông A

Chứng minh tam giác cân

Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;2) Chứng minh tam giác ABC cân đỉnh A Tính chu vi tam giác ABC

3 Tính diện tích tam giác ABC

Bài 13: Cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(-1;0;1), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC cân

4 Tính chu vi tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC

Chứng minh tam giác đều

Bài 14: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh tam giác ABC tam giác

Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1) Chứng minh tam giác ABC tam giác

MẶT CẦU

Xác định tâm bán kính mặt cầu Bài 18: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)

     

     

   

    

    

   

2 2

2 2

2 2

1 x-1 y 2 z 3 4 2 x+1 y 2 z 3 9 3 x-2 y z 1 2

   

   

    

   

  

2

2

2 2

2 2

4 x y 3 z 3 36 5 x+2 y 3 z 16 6 x y z 3

      

      

      

     

2 2 2 2 2 2

1 x y z 2x 4y 6z 0 2 x y z 2x 4y 6z 0 3 x y z 4x 2y 4z 0 4 x y z x y z 0

      

    

     

    

2 2 2 2 2 2

5 x y z 3x y 5z 0 6 x y z 2x 4z 0 7 x y z 4y 2z 0 8 x y z 2x 0

Viết phương trình mặt cầu:

Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính Bài 20: Viết phương trình mặt cầu:

1 Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) bán kính

2 Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm A bán kính độ dài đoạn thẳng BC

Bài 21: Viết phương trình mặt cầu:

1 Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) đường kính 16 Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm B đường kính độ dài đoạn thẳng AC

Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm A(1;-2;3) qua điểm B(0;2;-1)

Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ qua điểm A(2;-1;9)

Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm M(2;-1;3) qua gốc tọa độ

Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1)

Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1)

Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2)

Viết phương trình mặt cầu có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P). Bài 28: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0

Bài 29: Viết phương trình mc (S) có tâm I(-1;-2;-3) tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0

Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0

Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I trung điểm AB tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 Biết A(1;2;-2), B(3;2;2)

Bài 32: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I trọng tâm tam giác ABC tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9)

Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0)

Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1)

Bài 35: Viết Pt mc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;1)

Bài 35a(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) mặt phẳng tọa độ hoặc trục tọa độ.

Bài 36: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0

Bài 37: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) có tâm thuộc mặt phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0

Bài 38: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0

Bài 39: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy)

Bài 40: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz)

Bài 41: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) có tâm thuộc trục Ox

Bài 42: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) có tâm thuộc trục Oz

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Mặt phẳng qua điểm có vectơ pháp tuyến Bài 43: Viết pt mp (P) qua điểm A(1;2;3) vng góc với đt BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3)

Bài 45: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết pt mp (P) qua A vng góc với BC

Bài 46: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4) Viết pt mp trung trực đoạn thẳng AB

Bài 47: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4) Viết pt mp trung trực đoạn thẳng AB

Bài 48: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4) Viết pt mp trung trực đoạn thẳng AB

Bài 49: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ vng góc với đường thẳng d:

x t y 2t z 2t

   

     

 .

Bài 50: Viết pt mp (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng

d:

x t y 1 z 2t

  

    

 , biết A(1;2;3), B(3;2;1).

Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với đường thẳng d:

x 1 y z 1 2 1 2

 

 

  .

Bài 52: Viết pt mp (P) qua điểm A(1;-2;3) song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0

Bài 53: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0

Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0

Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0

Bài 56: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bài 57: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C

Bài 58: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bài 59: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C

Bài 60: Viết pt mp qua điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1)

Bài 61: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bài 62: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B

Bài 63: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ điểm A

Mặt phẳng qua điểm có hai vectơ có giá song song nằm mặt phẳng.

Bài 64: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) đường thẳng d:

x t y 2t z 2t

   

     

 .

Bài 65: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua gốc tọa độ chứa đt d:

x 1 y z 1 2 1 2

 

 

  .

Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) chứa trục Ox

Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) chứa trục Oy

Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2;-1;-3) chứa trục Oz

Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) vng góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0

Bài 70: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) vng góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0

Bài 71: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) vng góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0

Bài 72: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt d:

x 2 x 2 2t y 2t , d': y 4 z 2t z t

  

 

 

 

 

     

Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1)

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC song song với BD

2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC song song với AB

3. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC song song với AD

Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt

d:

x 1 t x y z , d': y t

2 1 3 z 2 3t

  

   

   



  



Bài 75: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:

x y z 3 1 2 3

  

 

song song với đường thẳng d’:

x t y t z t

   

    

 .

Bài 76: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:

x 1 y 4 2t z t

  

  

  

 song song với đường thẳng d’:

x 3t y 2t z 2

   

    

 .

Bài 77: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:

x 2t y 1 t z 1

   

  

 

 song song với đường thẳng d’:

x 1 y t z t

  

     

 .

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài 78: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) đến mặt phẳng sau:

1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0 4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0

Bài 79: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0

Bài 80: Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4)

Bài 81: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0 Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P)

Bài 82: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) mp(P): 2x-2y-z=0 1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P) 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng AB đến mp(P)

3/ Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng BC đến mp(P)

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng qua hai điểm phân biệt Bài 83: Viết pt tham số tắc đường thẳng qua điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1)

Bài 84: Viết pt tham số tắc đường thẳng qua điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1)

Bài 85: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A trọng tâm G tam giác ABC

Bài 86: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) Viết phương trình đường thẳng d qua trung điểm đoạn thẳng AB trọng tâm G tam giác ABC

Bài 87: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(-1;2;-1) gốc tọa độ

Bài 89: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15)

Bài 90: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27)

Bài 91: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(-1;0;-2) gốc tọa độ

CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài 92: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;0;2), M(3;4;1) N(2;3;4)

1/ Viết phương trình tắc đường thẳng MN

2/ Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm E vng góc với đường thẳng MN

Bài 93: Trong không với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) mặt phẳng (P) có phương trình 2x-3y+6z+35=0 1/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P)

2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M song song với mp(P) 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P)

Bài 94: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-2;0) , đường thẳng d có phương trình

là :

1 2 z 1 3

x t

y t t

   

 

  

 mp(P) có phương trình 2x-y+z=0 1/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P)

2/ Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M vng góc với mp(P). 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P)

Bài 95: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+2y+z-7=0 1/ Viết phương trình đường thẳng MN

2/ Tính khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P)

Bài 96: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3) mặt phẳng (P) có phương trình :x-2y-2z-10=0 1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

2/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A vng góc với mp(P)

Bài 97: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) D(0;0;3) 1/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A trọng tâm G tam giác BCD 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng BC

Bài 98: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) mp(P) có phương trình 2x-2y+z-1=0

1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P)

2/ Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A vng góc với mp(P) 3/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P)

Bài 99: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) C(2;2;-1) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng BC

2/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành

Bài 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) đường thẳng d có phương trình:

1 2 3 z 6

x t

y t

t

   

  

  

 .

1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d 2/ Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M N

3/ Tính khoảng cách hai điểm M N

Bài 101: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) mặt phẳng (P) có phương trình: x+y-2z-4=0 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M song song với mp(P)

2/ Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P)

Bài 102: Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5), F(3;2;7) 1/ Viết phương trình mặt cầu qua điểm F có tâm E 2/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng EF

Gọi G trọng tâm tam giác ABC 1/ Tìm tọa độ trọng tâm G

2/ Viết phương trình mặt cầu đường kính OG

Bài 104: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) mặt phẳng (P) có phương trình x+2y-2z+6=0

1/ Viết phương trình mặt cầu có tâm gốc tọa độ tiếp xúc với mặt phẳng (P)

2/ Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm E vng góc với mp(P)

Bài 105: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;5) tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình 2x+2y+z+6=0

Bài 106: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x-2y+2z+12=0

Bài 107: Cho mặt cầu (S) có pt : (x1) (2 y1) (z 5)2  25 1/ Xác định tâm tính bán kính mặt cầu (S)

2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M(1;1;10)

Bài 108: Cho mặt cầu (S) có pt : x2y2z2 4x 2y 21 0 1/ Xác định tâm tính bán kính mặt cầu (S)

2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M(1;-3;1)

Bài 109: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 Viết phương trình mặt cầu tâm gốc tọa độ mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P)

Bài 110: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z-2=0 Viết phương trình mặt cầu tâm điểm I(1;0;2)và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P)

Bài 111: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z=0 Viết phương trình mặt cầu tâm điểm M(-1;0;2) mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P)

Bài 112: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y=0 Viết phương trình mặt cầu tâm điểm A(1;2;-2) mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P)

TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 113: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng:

1/ d:

1 3 2 x t y t z t          

 và mp(P): 2x+y+2z=0 2/ d:

12 4 9 3 1 x t y t z t          

 và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.

Bài 114: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng:

1/ d:

3 1 3

2 1 1

x y z

 

mp(P): x+2y-z+5=0 2/ d:

2 3

1 2 2

x y z

 

 mp(P): 2x+y-z-5=0. TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Bài 115: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d d’:

1/ d:

1 2 2 1 3 x t y t z t          

 d’:

2 ' 1 ' 1 ' x t y t z t          

 2/ d:

1 2 4

2 1 3

x y z

 

 d’:

1 2 3 x t y t z t          

3/ d:

0 1 1 x y z t        

 d’:

2 ' 1 0 x t y z        

 4/ d:

2 1 1

1 2 1

x y z

 

d’:

1 ' 2 '

1 '

x t y t z t           

TÍNH GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 116: Tính góc đường thẳng mặt phẳng:

1/ d:

1 3 2 x t y t z t          

 và mp(P): 2x+y+2z=0 2/ d:

12 4 9 3 1 x t y t z t          

Bài 117: Tính góc đường thẳng đường thẳng

1/ d:

1 2 2 1 3 x t y t z t          

 d’:

2 ' 1 ' 1 ' x t y t z t           

2/ d:

1 2 4

2 1 3

x y z

 

 d’:

1 2 3 x t y t z t          

TÍNH GĨC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài upload.123doc.net: Tính góc hai mặt phẳng:

1/ (P): 2x-2y-z-10=0 (Q): x-3y+4z-1=0 2/ (P): x+2y-1=0 (Q): 3y-2z-5=0 3/ (P): -x+2y-z+10=0 (Q): x+2z-2=0

CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU.

Cách giải: Ta giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng

Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:

3 2 2 3 6 4 x t y t z t          

 d’:

5 ' 1 ' 20 ' x t y t z t          

 cắt Giải

- Xét hệ phương trình:

3 2 5 ' (1) 2 3 1 ' (2) 6 20 ' (3)

t t t t t                

- Từ (1) (2) suy

2 ' 8 3

3 4 ' 1 ' 2

t t t

t t t

            

- Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn

- Vậy hai đường thẳng d d’ cắt M(3;7;18)

Bài 119: Chứng dường thẳng sau cắt nhau:

1/ d:

1 2 2 1 3 x t y t z t          

 d’:

2 ' 1 ' 1 ' x t y t z t           

2/ d:

1 2 4

2 1 3

x y z

 

 d’:

1 2 3 x t y t z t          

3/ d:

0 1 1 x y z t        

 d’:

2 ' 1 0 x t y z         

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.

Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d: 3 1 2 2 x t y t z t          

 d’:

' 2 ' 2 ' x t y t z t        

 chéo Giải

- Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ phương a1' 1'2  

- Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ phương a'  1;3; 2



- Tính a a, '   ( 8; 4; 2), MM' ( 3;1; 2)  

                            

- Tính a a MM, '  ' 24 4   16 0   

- Vậy hai đường thẳng d d’ chéo

Bài 120: Chứng minh đường thẳng sau chéo nhau:

1/ d:

2 5 3 4 x t y t z        

 d’:

1 2

2 2 1

x y z

 

 

2/ d:

1 2 2 3 x t y t z t         

 d’:

1 3 2 1 x t y t z          

III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU

Cách giải : Chứng minh a a '



 

=0 (chứng minh tích vô hướng 0)

Bài 121: Chứng minh hai đường thẳng d:

1 2 3 3 x t y t z t          

 d’:

2 ' 2 ' 1 '

x t y t z t          

 vng góc với

Bài 122: Chứng minh hai đường thẳng d:

5 3 2 4 x t y t z t         

 d’:

9 2 13 3 1 x t y t z t          

 vng góc với Bài 123: Chứng minh hai đường thẳng d:

1 2

2 1 1

x y z

 

 d’:

5 4

2 3 1

x y z

 

  chéo nhau BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP

-Bài 124: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6;2;-5), B(-4;0;7)

1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r viết phương trình mặt cầu (S) 2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) A 3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) B

Bài 125: Cho mặt cầu (S): (x 3)2(y 2)2(z1)2 100 mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0 1/ Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)

2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu song song mặt phẳng (P) 3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng (P)

Bài 126: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1) a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O,A,B,C

Bài 128: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1) a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b/ Tìm góc hai đường thẳng AB CD

c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy độ dài đường cao hạ từ đỉnh A tứ diện

Bài 129: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b/ Tính độ dài đường cao AH tứ diện ABCD

c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB song song với CD

Bài 130: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc mặt phẳng (BCD) c/ Tìm tọa độ tiếp điểm (S) mặt phẳng (BCD)

Bài 130: Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3) a/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D khơng đồng phẳng b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c/ Viết phương trình mặt cầu tâm điểm D tiếp xúc với mp(ABC) d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

e/ Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 131: Cho hai đường thẳng d:

1

x t

y t

z t

   

   

 d’:

2 ' 1 ' '

x t

y t

z t

  

  

 



a/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ chéo b/ Tính góc hai đường thẳng d d’

c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song với d’

Bài 132: Cho hai đường thẳng d:

1 3 1 2 3 2

x t

y t

z t

  

      

 d’:

' 1 '

3 '

x t

y t

z t

  

  

  

 .

a/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ thuộc mặt phẳng b/ Tính góc hai đường thẳng d d’

c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d’

Bài 133: Cho bốn điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) phương trình tham số đường thẳng AD b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AD song song với BC

Bài 134 : Cho hai mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 (Q): 2x-2y+z+3=0 a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) (Q) cắt

b/ Tính góc hai mặt phẳng (P) (Q)

c/ Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;2;1) qua mặt phẳng (P) d/ Tìm điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua măth phẳng (Q)

Bài 135: Cho đường thẳng d:

1 2 2 3

x t

y t

z t

   

     

 mặt phẳng (P): 2x+y+z=0. a/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d c/ Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P)

b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) song song với đường thẳng d’: 1 2 2 3 x t y t z t           

c/ Đi qua gốc tọa độ vng góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0 Bài 137: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P)

a/ Đi qua điểm A(1;-2;1) vng góc với AB biết B(-2;6;0)

b/ Đi qua trung điểm A, B vng góc với đường thẳng d:

1 2 2 3 x t y t z t            biết A(1;2;3), B(1;-2;-3).

c/ Đi qua gốc tọa độ song song với mp(Q): 2x-8z-99=0 d/ Qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1)

e/ Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3)

f/ Chứa đường thẳng d:

1 2 2 3 x t y t z t          

 song song đường thẳng d’:

1 2 2 3 x t y t z           .

g/ Chứa hai đường thẳng d:

1 2 2 3 x t y t z t          

 d’:

1 2 2 3 x t y t z           .

h/ Đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;3;2) vng góc mặt phẳng (R): 2x-y+z-7=0

Bài 138: Cho hai đường thẳng d:

1 2 3 x t y t z t         

 d’:

2 ' 3 ' 5 '

x t y t z t            .

a/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ song song với b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d’

Bài 139: Cho hai đường thẳng d:

1 2 3 3 x t y t z t          

 d’:

2 ' 2 ' 1 '

x t y t z t            .

a/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ cắt Tìm tọa độ giao điểm d d’ b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d’

Bài 140: Cho hai đường thẳng d:

5 3 2 4 x t y t z t         

 d’:

9 ' 13 ' 1 ' x t y t z t            .

a/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ vng góc với b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d’

Bài 142: Cho hai đường thẳng d:

1 2 1 3 5 x t y t z t          

 d’:

1 ' 2 ' 1 '

x t y t z t            .

a/ Chứng minh hai đường thẳng d d’ chéo b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d’

Bài 143: Cho điểm A(1;-1;1) mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0

1/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A song với (P) Tính khoảng cách (P) (Q)

3/ Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với (P) Xác định hình chiếu vng góc A lên (P)

Bài 144: Cho điểm M(-2;1;0) đường thẳng d:

1 2 2

x t

y t

z

   

   



1/ Viết phương trình đường thẳng d’ qua M song với d

2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d Xác định hình chiếu vng góc M lên d

Bài 145: Cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5) Gọi I trung điểm AB G trọng tâm tam giác ABC 1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm G, I

2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I qua G

3/ Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mp(ABC) G 4/ Tìm điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành

Bài 146: Cho hai điểm A(1;2;2), B(3;-2;0) đường thẳng d:

1 1

2 1 1

x y z

 

 .

1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A,B

2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d.Tìm giao điểm H (P) d Tính độ dài đoạn AH

3/ Gọi I trung điểm AB Viết phương trình đường thẳng OI

Bài 147: Cho điểm A(0;-1;2) mặt phẳng (P): x-2y-2z-1=0

1/ Gọi H hình chiếu vng góc A lên (P) Tính độ dài đoạn AH 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P)

3/ Viết pt mặt phẳng (Q) qua A song song với (P) Tính khoảng cách (P) (Q)

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Bài 148: ĐHBK năm 96. Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1) Chứng minh ABCD có cặp cạnh đối vng góc với

2 Tính góc đường thẳng AD mặt phẳng (ABC)

3 Thiết lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm tính bán kính mặt cầu Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 149: CĐSP Hà Nội 97 Cho mặt cầu (S) có pt: x2y2z2 2x 4y 4z 0   Xác định tọa độ tâm tính bán kính mặt cầu

2 Gọi A, B, C giao điểm của(khác gốc tọa độ) mặt cầu với trục Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

3 Gọi H chân đường vng góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC) Xác định tọa độ điểm H

Bài 150: ĐHGTVT 99 Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0

1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ tiếp xúc mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm H mặt phẳng (P) mặt cầu (S)

3 Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P)

Bài 151: ĐH Huế 96 Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) Viết phương trình đường thẳng qua D vng góc với mp(ABC)

2 Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm bán kính

mặt cầu (S) Tính diện tích xung quanh mặt cầu (S) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp mặt cầu (S)

Bài 152: ĐH GTVT 98 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

2 2

x y z  2x 4y 6z 0    song song với mặt phẳng (Q): 4x+3y-12z+1=0

Bài 153: ĐH Thủy lợi 96 Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:

2 2

x=-7+3t x y z 13

d : , d': y=-1+2t 2 3 2

z=8



   

  

 

 .

Bài 154: ĐH KT 95 Cho mặt cầu (S):      

2 2

x 3  y 2  z 1 100

mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0

Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm tính bán kính đường tròn (C)

Bài 155: ĐH Luật 2000 Cho mặt cầu (S): x2y2 z2 4 mặt phẳng (P): x+z=2

Chứng minh (P) cắt mặt cầu (S) Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn (C) giao tuyến (P) (S)

Bài 156: ĐH SP KB-D 2000 Trong khơng gian Oxyz cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cho A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Gọi M trung điểm AB N tâm hình vng ADD’A’.Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm C, D’, M, N

Bài 157: ĐHDL 97 Cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x 0  mặt phẳng (P): x+z+1=0 Tính bán kính tọa độ tâm mặt cầu (S)

2 Tính bán kính tọa độ tâm đường tròn (C) giao mặt phẳng (P) mặt cầu (S)

Bài 158: ĐHBK KA 2000 Cho hính chóp S.ABC với S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0) Chứng minh rằng: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác ba mặt bên tam giác vng cân

2 Tìm tọa độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB

3. Viết phương trình mặt cầu tâm D có bán kính r 18

Bài 159: ĐHCĐ 97 Cho mặt phẳng (P): x+2y-z+5=0 đt d:

x y z 3 2 1 1

  

 

Tìm tọa độ giao điểm H d (P)

2 Tính góc d (P)

Bài 160: ĐHNN 97 Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;4;5) Viết phương trình đường thẳng AB Tìm giao điểm H đường thẳng AB mặt phẳng (Oxy) HD: Mp(Oxy) có pt: z=0

Bài 161: ĐH Huế 98: Cho điểm A(2;-1;1) đường thẳng d:

x 1 y 2t z 2t

  

    

 .

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d Xác định điểm B đối xứng với A qua d

Bài 162: ĐHTM 98 Cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(0;0;1), B(-1;-2;0) C(2;1;-1) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P)

2 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng (P)

3 Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC tam giác ABC Tính thể tích tứ diện OABC

HD: Để xác định chân đường cao ta có cách: Cách 1: Viết pt đt BC, H thuộc BC suy tọa độ điểm H, áp dụng

AH.BC 0  

Cách 2: Viết pt đt BC, viết pt mp(Q) qua A vng góc với BC, tìm giao điểm H đt BC mp(Q)

Bài 164: ĐHBK HN 98 Cho đường thẳng d:

x 2t y t z 3t

   

    

 mp(P): 2x-y-2z+1=0. Tìm tọa độ điểm thuộc d cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P)

2 Gọi K điểm đối xứng với điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d Xác định tọa độ điểm K

Bài 165: ĐHBK 97 Cho điểm M(1;2;-1) đường thẳng d:

x y z 2 3 2 2

  

 

 .

Gọi N điểm đối xứng với M qua đường thẳng d Tính độ dài đoạn thẳng MN

Bài 166: Xác định hình chiếu vng góc A(1;2;-1) lên d:

x t y t z 1

   

   

 .

Bài 167: HV Kỹ Thuật QS 98 Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1) Tìm hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (ABC)

2 Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 168: ĐHQG TPHCM 99: Cho điểm A(-2;4;3) mặt phẳng (P): 2x-3y+6z+19=0

1 Viết phương trình tổng quát mp(Q) qua A song song (P) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) Hạ AH vng góc với (P) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa

độ điểm H

Bài 169: ĐHBK 99 Cho đường thẳng d:

x y z 3 1 2 2

  

 

 mặt phẳng (P): 2x-2y+z-3=0. Tìm giao điểm d (P)

2 Tính góc d (P)

Bài 170: Cho đường thẳng d:

x y z 1 2 3 5

  

 

mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0 Tìm giao điểm d (P)

2 Tính góc d (P)

Bài 171: ĐH NN 97 Cho hai đường thẳng d:

x 2t y 1 t z 1

   

  

 

 d’:

x 1 y t ' z t '

  

     

 .

1 Chứng minh d d’ chéo

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song d’

Bài 172: PVBC TPHCM 99 Cho hai đt d:

x y z 2, d':x-2 y 2 z 2 3 1 2 5 2

   

   

 . Chứng minh d d’ chéo

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song d’

Bài 173: ĐHKTQD 97 Cho hai đường thẳng d:

x=-1+t x y z , d': y=-t

2 1 3

z=-2+3t



   

  

 



Bài 174: ĐHSP Qui Nhơn 99 Cho hai đường thẳng

x 2t x=3+2t d : y t , d': y=-3-t

z t z=1-t

 

 

 

 

 

   

  .

1 Chứng minh d d’ song song với Viết phương trình mặt phẳng chứa d d’

Bài 175: ĐHDL 98 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) vng góc với hai đường thẳng

1

x 1 x y z

d : , d : y 1 t 8 1 1

z t

 

  

    

 

 .

Bài 176: ĐH Huế 99 Cho ba điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác

Bài 177: HVNH 2000 Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0 Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng (P)

Bài 178: ĐHKT 97 Cho điểm A(1;2;1) đường thẳng d:

x y z 3 3 4 1

 

 

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A chứa đường thẳng d Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d

Bài 179: ĐHTL 99 Cho điểm A(-1;2;3) hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q)

Bài 180: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1;2;3), B(2;2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x+2y+3z+4=0

Bài 181: Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)

2 A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4;-1;0)

Bài 182 ĐHCĐ 99 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5)

Bài 183 ĐHDL 97 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0, (R): 3x+2y-12z+5=0

Bài 184: Cho d:

x 2t y t z 3t

   

    

 mp(P): 2x-y-2z+1=0

1 Tìm điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến (P)

2 Viết phương trình đường thẳng d’ qua giao điểm d (P) gốc tọa độ

Bài 185: Cho hai điểm A(0;0;4), B(2;0;0) mp(P): 2x+y-z+5=0 Chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AB

2. Viết pt ặt cầu (S) qua ba điểm O, A, B, biết khoảng cách từ tâm I đến mp(P)

5 6 .

Bài 186: Cho hai điểm A(0;0;1), B(2;0;1) Tìm điểm C nằm mặt phẳng Oxy cho cho tam giác ABC tam giác

Bài 187: Cho hai điểm A(3;0;2), B(1;-1;0) mp(P): x-2y+2z-3=0 Tìm điểm C thuộc (P) cho tam giác ABC cân B

Bài 188: Cho điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2)

2 Chứng minh tam giác ABC vuông Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Bài 189: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1), (P): 3x-8y+7z-1=0 Tìm C thuộc (P) cho tam giác ABC tam giác

Bài 190: Tìm trục Oz điểm M cách điểm A(2;3;4) mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0

Bài 191: Cho hai điểm A(1;-3;-1), B(-2;1;3) đường thẳng d:

1 2

3 2 3

x y z

 

 . 1/ Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng d

2/ Tìm điểm C nằm trục Oz cho tam giác ABC vuông C

Bài 192: Cho điểm A(3;-2;-2) mp(P): 2x-2y+z-1=0 Tính khoảng cách từ A đến (P)

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) cho (Q) song song với (P) khoảng cách (P) (Q) khoảng cách từ A đến (P)

Bài 193: Cho M(1;2;3) mp(P): 2x-3y+6z+35=0 Tính khoảng cách từ M đến (P) Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox cho độ dài đoạn thẳng NM khoảng cách từ điểm M đến mp(P)

Bài 194: Cho hai điểm A(1;2;-1), B(0;-2;1) mặt phẳng (P): 2x-2y-z-3=0 Tính khoảng cách hai điểm A B