Đang tải... (xem toàn văn)
Vậy để có kết quả đỉnh C màu đỏ và 5 đỉnh còn lại màu xanh thì số lần áp dụng quy tắc đổi màu vừa phải chẵn vừa phải lẻ (vô lý)... Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với[r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012
Mơn: Tốn lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (2.0đ)Rút gọn biểu thức
3
1
E x y x y x y
Câu 2: (2.0đ)Cho x; y hai số khác cho x2 yy2 x; Tính Giá trị biểu thức K x22xy y 2 3x 3y
Câu 3: (2.0đ)Cho
32 19
1 2
m n x
x x x x
; Tính tích m.n
Câu 4(3.0đ): Cho biểu thức
2 2 2
2
2
:
x x y y x xy y
P
x x xy xy y xy x y
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị P với 2x1 1
1
2 y
.
Câu 5(6đ): Cho điểm I di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AICD; BIEF; gọi O O/ giao điểm đường chéo của hai hình vng Gọi K giao điểm AC BE.
a) Tứ giác OKO I/ hình gì? Vì ?
b) Trung điểm M OO/ di động đường nào?
c) Xác định vị trí điểm I tứ giác OKO I/ hình vng.
Câu 6(2.0đ): Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x2 xy y 3
Câu 7(3đ):
a) Tìm giá trị lớn biểu thức: 2
1 x x P
x x
(2)ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn: Tốn lớp 8 I.Trắc nghiệm: (2 điểm câu cho 0,5 đ)
Câu 1 2 3 4
Đáp án D A D C
II Tự luận: (8 điểm)
Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm
5 (1,5đ)
a
(0,75đ) ĐKXĐ:
0; 0; x y xy y x
P xy
0,25 0,5 b
(0,75đ)
1 1
0 x x
x
1
1
1
3
2 y y
y
Với x = (loại)
Thay x = 1; y =
ta P = 3; Thay x = 1; y =
3
P
0,25
0,25 0,25
6
(2đ)
M
O' O
A B
D C
F
I E K
Vẽ hình – GT, KL
0,25
0,25 a
(0,5đ)
; IF
ACID BE (T/C hai đường chéo hình vng) Ta có góc DIF = 900 (hai tia phân giác hai góc kề bù)
Tứ giác OKO’I có góc vng nên HCN.
0,5 b
(0,5đ)
Trung điểm M OO’ trung điểm KI (K cố định)
suy M di động đường trung bình KAB(đường trung bình song song AB)
0,5 c
(0,5đ)
Hình chữ nhật OKO’I hình vng IO = IO’
/
OAI O IB AI IB
(3)7
(1,5đ) a (0,5đ)
2 2
2 3 3
2
y y
x xy y x
Vì
2 2
3
0 2 2; 1;0
2
y y
x y y
Lần lượt thay vào PT ta tính giá trị x Vậy PT có các cặp nghiệm nguyên là:
1; ; 1;2 ; 2; ; 2;1 ; 1;1 ; 1; 1
0,25
0,25 b
(1đ)
2 2
1 8
x x x x y x x x x y (1)
Đặt x28x2 z z Z( ) (nhân vế PT với 4, thêm 49 vào vế )
Từ PT (1) ta có PT:2z 7 2y 2z 7 2y 49 từ tính được z; y x Vậy PT có cặp nghiệm nguyên là:
; 0;0 ; 1;0 ; 1;12 ; 1; 12 ; 9;12 ; 9; 12 ; 8;0 ; 7;0 ; 4;12
x y
0,25
0,25 0,5
8 (3đ)
a
(0,75đ) Gọi số tự nhiên cần tìm ab ( ; 1;2;3; 4;5;6;7;8;9 a b
Ta có
2 2 2
99 ab ba a b
suy a2 b211 a b a b 11 do 0 a b 8 a b khơng chia hết 11, a + b chia hết
11 mà 2 a b 18 a b 11
Khi
2 2 2 11
ab ba a b để ab2 ba2 số phương
thì a – b phải số phương a – b = a – b = 4.
- Nếu a – b = kết hợp với a + b =11 ta số 65; - Nếu a – b = 4; kết hợp với a + b = 11 ta có a = 5,5 (loại) Vậy số cần tìm 65.
0,25
0,25 0,25
b
(0,75đ) - Ta có
2 1 0; x x
2
2
2 1
1 1
x x x x x x x
x x x x
(dấu = xẩy x = 1) Mặt khác
2
2
2 1
1
x x x x x x x
x x x x
(dấu = xẩy x = - 1)
Vậy GTLN P = x = -1; GTNN P =
3 x = 1.
0,25
0,25
0,25 c
(0,75đ)
Ta thấy hai đỉnh đối qua tâm lục giác không thể cùng đỉnh tam giác cân (ví dụ đỉnh A đỉnh D) Ngoài đỉnh B, C, E, G khơng thể có đỉnh nào là đỉnh tam giác cân (vì B, C, E, G đỉnh của hình chữ nhật);
Vậy có tam giác tam giác cân mà đỉnh đỉnh
(4)của lục giác phải có đỉnh đỉnh A đỉnh D;
Mỗi lần áp dụng quy tắc đổi màu có đỉnh A đỉnh D đổi màu, A D màu đỏ (đối xứng qua tâm O) đổi thành màu xanh số lần áp dụng quy tắc đổi màu phải là chẵn;
Để đỉnh C màu xanh đổi thành màu đỏ số lần áp dụng quy tắc đổi màu phải lẻ;
Vậy để có kết đỉnh C màu đỏ đỉnh cịn lại màu xanh thì số lần áp dụng quy tắc đổi màu vừa phải chẵn vừa phải lẻ (vô lý) Vậy thực được.
0,25
0,25
d (0,75đ)
b) (1,5 điểm) Ta có:
2 2 2
a b 0 a b 2ab mà a2 b2 8
nên 2ab 8 0,25
0,25
0,25
a b2 a2 b2 2ab 8 16
a b2 16 a b a b 4
4 a b
(đpcm)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN : TỐN Lớp : 8 (Thời gian làm : 120 phút)
*O*
Bài :( 1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x –
Bài : (1,5 điểm) Cho x + y = x y 0 Chứng minh
3 2
2
0
1 1 3
x y
x y
y x x y
Bài : ( 2,5 điểm)
(5)b) Chứng minh :
2
2
1 1
3
3 1
x x
x x
c) Cho a2 – 4a +1 = Tính giá trị biểu thức P =
4 2
1 a a
a
Bài : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất M =
2
2
2 2008
a a
a
với a o
Bài : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB AC E F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF
c) Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA
Bài : ( điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vng góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC D Tìm tỉ số
BD DC
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài : ( 1,5 điểm)
a) ( 0,75đ) x3- 5x2 + 8x - = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – ( 0,25 đ )
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) ( 0,25 đ)
= ( x – ) ( x – ) 2 ( 0,25 đ)
b) (0,75đ) Xét
2
10 7
5
2 3
A x x
x
B x x
( 0,25 đ)
Với x Z A B
7
2x Z ( 2x – 3) ( 0,25 đ)
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; -2; ; A B ( 0,25 đ) Bài : ( 1,5 đ) Biến đổi 3
x y
y x =
4
3
( 1)( 1) x x y y
y x
=
4
2
( )
( 1)( 1)
x y x y
xy y y x x
( x+y=1 y-1=-x x-1=- y) (0,25đ)
=
2
2 2 2
( )
( 1)
x y x y x y x y xy x y y x y yx xy y x x
(6)=
2
2 2
( 1)
( )
x y x y
xy x y xy x y x y xy
(0,25đ)
=
2
2 2
( )
( )
x y x x y y xy x y x y
=
2
( 1) ( 1)
( 3)
x y x x y y xy x y
(0,25đ) =
2
( ) ( )
( 3)
x y x y y x xy x y
=
2 ( )
( 3)
x y xy xy x y
(0,25đ) = 2
2( ) x y x y
Suy điều cần chứng minh (0,25đ) Bài : ( 2,5 điểm)
a) ( 0,75đ) Gọi số nguyên liên tiếp n-1; n; n+1 ( n Z )
Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n (0,25đ)
= 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ) Vì
9
3 ( 1)( 1) n
n n n
3n (n-1) (n+1) + 9n 9 (0,25đ) b) (1đ) Ta có (x+1)2 0 2( x+1)2 0 2x2+4x+2 0
3x2+3x+3 x2-x+1 3(x2+x+1) x2-x+1 (*)
Tương tự, ta có từ (x-1)20 3(x2-x+1) x2+x+1 (**) (0,25đ )
Vì x2-x+1 = (
x-1 2)2 +
3
4 > (0,25đ) Chia vế bất đẳng thức (*) cho x2-x+1
ta có 2 1 1 3 1 x x x x
(0,25đ)
Chia vế bất đẳng thức (**) cho x2-x+1
ta có 2 1 3 1 x x x x
suy đccm (0,25đ)
c) (0,75đ) Ta có a2 - 4a + = a2 – a + = 3a
2 1
a a a
=3 (0,25đ) P =
4 2
2
1 1
a a a a a a
a a a
=
a a a
(0,25đ) Mà
2
a a a a 2a
a a a
= 3+2 = 5
Suy P = = 15 (0,25đ) Bài : ( đ) M =
2
2008( 2008) 2008 a a a = 2
2008 .2008 2008 2008 a a a (0,25đ) =
2 2
2
2007 2008 2008 2008
a a a a
(0,25đ) =
2
2007 ( 2008) 2007
2008 2008 2008
a a
(0,25đ) Dấu “=” xảy a – 2008 = a = 2008
Vậy giá trị nhỏ M 2007
(7)Câu a ( 0,75đ): Lý luận :
DF DC
AM MC ( Do AM//DF) (1)
DE BD
AM BM ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) (2)
DE DF BD DC BC
AM BM BM
( MB = MC) ( 0,25đ) DE + DF = AM ( 0,25đ) Câu b ( đ) : AMDN hình bành hành
Ta có
NE AE
ND AB (0,25đ)
NF FA DM DM AE
ND AC MC BM AB (0,5 đ)
NE NF
ND ND => NE = NF (0,25đ) Câu c : ( 0,75đ) AMC FDC đồng dạng
2 AMC
FDC
S AM
S FD
FNA FDC đồng dạng
2 FNA
FDC
S NA
S FD
( 0,25đ)
2 AMC
FDC
S ND
S FD
2 FNA
FDC
S DM
S DC
AMC FNA FDC FDC
S S
S S
2 ND FD
.
2 DM
DC
4
16
ND DM FD DC
(0,25đ) S2
FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ)
( Do x y 2 0
4
x y xy x y 4 16x y2 2 với x 0; y 0)
N E
D M C
A
B F
Bài : ( đ)
Kẻ MI // BC ( I AD) MI = BD
Ta có :
MI MH
DC HC ( Do MI // BC)
BD MH
(8)MAH ACH đồng dạng ( g-g)
1 MH MA
AH AC ( ABC vuông cân A nên AB = AC )
AH = MH ( 0,25đ) AMC vng , ta có AH2 = MH HC
4MH2 = MH.HC HC = MH ( 0,25đ)
Thay vào (1) ta có :
1
2 4
BD MH
DC MH
1 BD
DC ( 0,25đ)
I M
D H
C B
A
Ghi :
- Học sinh trình bày theo cách khác cho điểm tối đa phần, tuỳ theo cách giải mà giám khảo cho điểm phù hợp với hướng dẫn chấm.
-Bài tốn hình khơng cho điểm hình vẽ Nếu học sinh vẽ hình sai khơng chấm điểm hình đó.
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn : Toán lớp 8
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2.5 điểm)
Cho P= a
2
(a+b)(1−b)−
b2
(a+b)(1+a)−
a2b2 (1+a)(1−b)
a Rút gọn P
b Tìm cặp số nguyên (a, b) để P = Câu 2: (1.5 điểm)
Giải phương trình: x3
+ x
3
(x −1)3=2− 3x2 x −1
Câu 3: (1.5 điểm)
Cho x,y hai số dương thoả x.y = Tìm giá trị lớn biểu thức
A= x
x4+y2+ y y4+x2
Câu 4: (2.0 điểm)
Cho hình vng ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CD AN cắt BP E AN cắt DM F
(9)Cho hình bình hành ABCD F điểm thuộc cạnh BC AF cắt BD E cắt DC G
a Chứng minh AE
AF= GE GA
b Chứng minh BF.DG khơng đổi (khi vị trí điểm F thay đổi cạnh BC)
Hướng dẫn chấm mơn tốn lớp 8
Câu 1: (2.5 điểm)
- Điều kiện a ≠ −1, b≠1, a ≠− b
- P=a
2
(1+a)−b2(1− b)− a2b2(a+b) (a+b)(1−b)(1+a) =
a2+a3−b2+b3− a2b2(a+b) (a+b)(1− b)(1+a)
a −b+a2−ab+b2− a2b2 ¿
(a+b)¿ ¿(a − b)(a+b)+(a+b)(a
2
−ab+b2)−a2b2(a+b) (a+b)(1−b)(1+a) =¿
(a+b)(1+a)(a− b+b2− b2a)
¿(a+b)(a(1+a)−b(1+a)+b
2
(1− a)(1+a)) (a+b)(1− b)(1+a) =¿
¿
(a+b)(1− b)(1+a) (a+b)(1+a)(a(1−b)(1+b)− b(1−b))
(a+b)(1+a)(1−b)(a(1+b)−b)
¿ ¿ ¿
(a+b)(1− b)(1+a)=¿
¿
(a+b)(1− b)(1+a)=a+ab− b
b.- Để P =3: a+ab− b=3⇔a(1+b)−(1+b)=2⇔(a −1)(1+b)=2
- Lập hệ: {a −b+11=1
=2 ; {
a −1=−1 b+1=−2 ; {
a −1=2 b+1=1 ; {
a −1=−2 b+1=−1
- Giải: {a=b=21 ; {b=−a=03 ; {a=b=30 ; {a=−b=−12 - Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm: { a=0
b=−3 ; { a=3 b=0
(10)x −1¿2
(¿¿)=2−3 x
2
x −1 x2− x
2
x −1+ x2
¿
(x+ x x −1)¿
Có:
x −1¿2 ¿ ¿
x2+x
2
¿
Đặt t=x+ x
x −1=
x2− x+x x −1 =
x2
x −1 được: t −1¿3=1⇔t −1=1⇔t=2
t(t2−2t −t)=2−3t⇔t3−3t2+3t −1=1⇔¿
x −1¿2+1=0 x2
x −1=2⇔x
2
=2x −2⇔¿ (Vô nghiệm)
0,25 0,25 0,25 0,50 0,25
Câu 3: (1.5 điểm) - x4+y2≥2x2y⇒ x
x4+y2≤ x 2x2y=
1
2 xy (x, y số dương)
- y4+x2≥2y2x⇒ y y4+x2≤
y 2y2x=
1
2 xy (x, y số dương)
- A= x
x4+y2+ y y4+x2≤
1 xy+
1 xy=
1 xy=1
- Dấu “=” xãy {
x4=y2 x2=y4 xy=1
⇔{x6=y6
xy=1 ⇔{ x=1
y=1 (x, y số dương)
0,50 0,25 0,25 0,50
Câu 4: (2.0 điểm)
- Chứng minh MBPD hình bình hành - => FM // BE
- M trung điểm AB nên MF đường trung bình ABE
- => FA = FE
- Chứng minh AN vng góc với DM - Suy DAE cân D
- => DE = DA Do DA = DC nên DE = DC
0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Câu 5: (2.5 điểm)
- BF// AD => EBED=EF EA
- AB//DG => EB
ED= EA EG
- => EF
EA= EA EG
A M B
N
D P C
(11)- => EF
EA+1= EA EG +1
- => AF
AE= AG EG ⇒
AE AF=
GE GA
- Chứng minh EAD EFB
để BF
DA= EB ED
- Chứng minh EBA EDG
để EB
ED= AB GD
- ⇒BFDA=AB GD
- ⇒BF DG=DA AB
- Do DA, AB không đổi nên BF.DG không đổi
Mỗi ý cho 0,25 điểm
ĐỀ CHO HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2011 -2012
MÔN THI: TỐN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút(khơng tính thời gian giao đề) (Đề gồm có 01 trang)
Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:(x + 4)( x2 +
2 x – 1,5) = (3 - x )(x2 +
2 x – 1,5) b) Giải bất phương trình: x + 1x < 2
Bài 2:(2,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức sau: x
16
−1
(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) ; với x = 2012
b) Cho (x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) = -19
Tính giá trị biểu thức x + 3y
Bài 3: (1,0 điểm)
B M
K A
H
D C
E I
(12)Bài 4: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: P = (x+x2−x
3
−8 x3+8
x2−2x+4 x2−4 ):
1 x+2 .
x2+3x+2 x2+x+1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị x để P > 0
Bài 5:(3,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, AD = 6cm; gọi H hình chiếu A trên BD Gọi M, N trung điểm DH, BC.
a) Tính diện tích tứ giác ABCH. b) Chứng minh: AM MN
HẾT
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2010-2011
MƠN THI: TỐN LỚP 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Câu Nội dung Điểm
Bài 1: 2,0đ
Câu a 1,0đ
( x+4)( x2 +
2 x – 1,5) = (3-x )(x2 +
2 x – 1,5)
⇔
2 ( 2x + 1)( 2x2 + x – 3) =
0,25đ
x = - 0,5 0,25đ
2x2 + x – = ( x -1)(2x + 3) 0,25đ
x = ; x = - 1,5 0,25đ
Câu b 1,0đ
x+
x<2 ⇔ x2
+1
x <2 ; ĐK : x 0,25đ
+ x > ; x2 +1 < 2x ⇔ (x – 1)2 < loại 0,25đ
+ x < ; x2 +1 > 2x ⇔ (x – 1)2 > với x < 0 0,25đ
Kết luận : x < 0,25đ
Bài 2: 2,0 đ
Câu a 1,25đ
x16−1=(x −1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) 0,5đ
x16−1
(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) =
(x+1)(x −1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) (x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
= x -
0,5đ
kết 2011 0,25đ
Câu b 0,75đ
(x + 3y)3 - 6(x + 3y)2 +12(x + 3y) - = -27 0,25đ
(x + 3y - 2)3 = -27 0,25đ
⇒ x + 3y - = -3 ⇒ x + 3y = -1 0,25đ
Bài 3: 1,0đ
Đặt AM = a ; MB = b ⇒ (a+b)2 = 502
(a – b)2 ⇔ a2 -2ab +b2 ⇔ a2 + b2 2ab 0,5đ
2(a2 + b2) (a + b )2 = 502 0,25đ
⇔ a2 + b2 1250
Diện tích nhỏ SAMEH + SBMIK = 1250 (m2)
Diện tích lớn cịn lại: 10000 – 1250 = 8750 (m2) 0,25đ
(13)2,0đ
1,25đ
x3−8
x3+8
x2−2x+4
x2−4 =
(x −2)(x2+2x+4) (x+2)(x2−2x+4)
x2−2x+4 (x −2)(x+2)
=
x+2¿2 ¿
x2
+2x+4
¿
0,25đ
x+2¿2 ¿
x x+2−
x2+2x+4
¿
=
x+2¿2 ¿
x(x+2)−(x2+2x+4)
¿
=
x+2¿2 ¿
−4 ¿
0,25đ x+2¿2
¿
−4 ¿
:
x+2
x2+3x+2 x2+x+1 =
x+2¿2(x2+x+1)
¿
−4 (x+2)(x+1)(x+2)
¿
=
−4 (x+1) x2+x+1
0,5đ
Câu b
0,75đ x2 + x + = (x +
2 )2 +
4 > với x 0,25đ
Để P > ⇒ -4(x + 1) > ⇒ x + < ⇒ x < -1 0,25đ
Vậy để P > x < - ; x -2 0,25đ
Bài 5 3,0đ
Câu a 1,5đ
Δ ABH Δ DBA 0,25đ
Tính AH = 4,8cm; BH = 6,4cm 0,5đ
Kẻ KC BD chứng minh KC = AH = 4,8cm 0,25đ
SABCH = SABH + SBHC =
2 AH.HB +
1
2 CK.HB = 30,72 (cm2) 0,5đ
Câu b 1,5đ
Δ AHD Δ ABC ⇒ AH
AB = AD AC=
HD
BC 0,25đ
AD AC=
DM
CN ; Δ ADM Δ ACN ⇒
AD AC=
AM
AN 0,5đ
∠ MAD = ∠ NAC ⇒ ∠ NAM = ∠ CAD ; AD
AC = AM
AN 0,25đ
Δ ADC Δ AMN ( c-g-c) 0,25đ
AM MN 0,25đ
Hình vẽ
Chú ý:
A
D C
B
N K
(14)-Học sinh có giải cách khác, làm cho điểm tối đa. -Thống điểm chấm đến 0,25đ.
§Ị HSG to¸n 8 Thêi gian: 150 phót Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) -
b, Cho x Z chứng minh x200 + x100 +1 x4 + x2 +
Câu 2: (2đ)
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz x
1
+ y
1
+z
1
= 3
Tính giá trị biểu thức P =
2 2
1 1 1
z y
x
Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, 3x2< 5x -4
b, 57
43
x
+ 54
46
x
= 48
52 51
49
x
x
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 với n N*
b, Cho x,y,z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = x y
z x
z y z
y x
Bài 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D sao
cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E
1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB .
2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chứng minh:
GB HD
BC AH HC .
Bài 6: (2 đ)
Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số
Đề 23
Câu1(4đ)
(15) A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)=
x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 +
A chia hết cho x4 + x2 +
1đ 1đ 1đ Cau :(2đ
Có ( ) 1 z y
x = 2
1 1 1
z y
x + 2( )
1 1
yz xz xy
( 3)2= p + xyz
x y z
vậyP+2=3 suy P =
0.75đ 0,75đ 0.5đ
Câu 3: (3đ) giải 4-5x < 3x +2< 5x – làm x>
b, Cộng vào phân thức đặt nhân tử chung
(x+100)( 48 51 54 57
) = S = 100
1đ 0.5đ 1đ 0.5đ Câu 4: 3đ
a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho ( tích số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho A =3B chia hết cho b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = a+b+2 c
x =
c b a
; y =
c b a
; z=
c b a
P = c
c b a b c b a a c b a 2 = ) 1 ( c b c a b c b a a c a b = )) ( ) ( ) ( ( b c c b c a a c b a a b 2
Min P =2
3
( Khi a=b=c x=y=z
0.5đ 0,5đ 0,5đ
0.5đ
1đ
Câu 5: (2đ) + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng)
(16)Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra:BEC=ADC1350(vì tam giác AHD vng cân H theo
giả thiết)
Nên AEB450do tam giác ABE vuông cân A.
Suy ra: BEAB 2m
0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ
b)
2đ Ta có:
1
2
BM BE AD
BC BC AC (do ΔBEC ~ ΔADC )
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân H)
nên
1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH Đồng dạng
CBA)
Do BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450
0,5đ
1đ
0,5đ C)
2đ Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC
Suyra:
GB AB
GC AC ,
vì ΔABC ~ ΔDEC nên AB
AC= ED DC=
AH HC =
HD
HC (DE//AH)
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
1đ 1đ Câu Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)
Vì p số ngun tố nên:
Hoặc : a-1=2 suy p=13 ( thoả mãn)
Hoặc: a2+a+1 =2 điều không xảy a >1
Vởy số tự nhiên có dang 2p+1 (p số nguyên tố) có số lập phương số tự nhiên khác
1đ 0,5đ 0,5đ
Đề cho đội tuyển học sinh giỏi toán 8
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n :
a, A=n3-n2+n-1 số nguyên tè.
b, B = n
4
+3n3+2n2+6n 2
n2+2 Có giá trị mét sè nguyªn.
c, D= n5-n+2 số phơng (n 2)
Câu 2: (5®iĨm) Chøng minh r»ng : a, a
ab+a+1+ b bc+b+1+
c
ac+c+1=1 biÕt abc=1
(17)c, a
2
b2+ b2
c2+ c2
a2≥ c b+
b a+
a c
Câu 3: (5điểm) Giải phơng trình sau: a, x −214
86 +
x −132 84 +
x −54 82 =6 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng.
Cõu 4: (5im) Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F.
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC. b Chøng minh:
AB+ CD=
2 EF
c, Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF.
C©u Néi dung Điể m
Câu 1
(5điểm)
a, (1®iĨm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A số ngun tố n-1=1 ⇔ n=2 A=5 0,50,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2điểm) B=n2+3n-
n2+2
B cã gi¸ trị nguyên 2 n2+2
n2+2 ớc tự nhiên 2
n2+2=1 giá trị thoả mÃn
Hoặc n2+2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B có giá trị nguyên.
c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) [(n2−4)+5] +2= 1)(n+1)(n-2)(n+2)+5
n(n-1)(n+1)+2
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5sè tự nhiên liên tiếp)
Và n(n-1)(n+1 ⋮ 5 VËy D chia d 2
Do số D có tận 7nên D khơng phải số phơng
Vậy khơng có giá trị n để D số phơng a, (1điểm) a
ab+a+1+ b bc+b+1+
c ac+c+1=¿ ac
abc+ac+c + abc
abc2+abc+ac+ c ac+c+1
= ac
1+ac+c+ abc c+1+ac+
c ac+c+1=
abc+ac+1 abc+ac+1=1
(18)Câu 2
(5điểm)
-2(ab+ac+bc)
⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V×
a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) V×
a+b+c=0
⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
Tõ (1)vµ(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu
x=y a
2
b2+ b2 c2≥2
a b
b c=2
a
c ; a2 b2+
c2 a2≥2
a b
c a=2
c b ; c2
a2+ b2
c2≥2 c a
b c=2
b a
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 2(a
2
b2+ b2 c2+
c2 a2)≥2(
a c+
c b+
b
a) ⇒
a2 b2+
b2 c2+
c2 a2≥
a c+ c b+ b a Câu 3 (5điểm)
a, (2điểm) x −214 86 +
x −132 84 +
x −54 82 =6 ⇔ (x −214
86 −1)+(
x −132 84 −2)+(
x −54
82 −3)=0 ⇔ x −300
86 +
x −300 84 +
x −300 82 =0
⇔ (x-300) ( 86+
1 84+
1
82)=0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 Vëy S =
{300}
1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72
Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25
⇔ k= 8,5
Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0;
⇒ x= 2; x=
−1
Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 v«
nghiƯm Vëy S = {1
2,
−1 }
c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyên
dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1
(19)Câu 4
(5điểm)
a,(1điểm) Vì AB//CD ⇒ S DAB=S CBA (cùng đáy đờng cao)
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC
b, (2điểm) Vì EO//DC EO
DC= AO
AC Mặt khác AB//DC
⇒
AB AO AB AO AB AO EO AB
DC OC AB DC AO OC AB DC AC DC AB DC
⇒ EF
2 DC= AB
AB+DC⇒
AB+DC AB DC =
2 EF ⇒
1 DC+
1 AB=
2 EF c, (2®iĨm) +Dùng trung tuyÕn EM ,
+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cđa EM vµ KN I SIKE=SIMN
(cma) (2) Từ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.
0,5 0,5
0,5 1,0 0,5 1,0 1,0
đề học sinh giỏi năm học 2011 - 2012
môn toán 8
Thời gian làm 150
Câu 1 Cho P =
1
5
x x x x
x x
a.Rót gän P
b.Tìm giá trị nhỏ P
Cõu 2 a, Xác định số a, b cho:
3x3 + ax2 + bx + chia hết cho x2 9.
b Giải phơng tr×nh víi tham sè a, b
a(ax + b) = b2(x – 1)
Câu Quãng đờng từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB tổng cộng 30km.Một ngời từ A đến B từ B A hết tất 4h 25 phút.Tính quãng đờng nằm ngang,biết vận tốc lên dốc 10km/h, vận tốc xuống dốc 20km/h vận tốc đờng nằm ngang 15km/h
C©u 4 Cho tam giác ABC vuông A, trung tuyến BD, phân giác góc ADB góc BDC lần l-ợt cắt AB, BC M N, biết AB = 8, AD =
a.Chøng minh r»ng: MN//AC
b.Tứ giác MNCA hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCA?
Câu 5 a, Giải bất phơng trình:
2 1
2 3
x
x x
A B
C D
O
E K F
I
(20)b, Cho 4x + y = 1.Chøng minh r»ng: 4x2 + y2 ≥
1
c, Chứng minh m,n,p,q ta có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1
m(n+p+q+1) dÊu b»ng x¶y nào?
Câu 6 a, Chứng minh a2+b2+c2≥ab+bc+ac
b , Cho a, b, c số dơng thoả mÃn a + b = 1.Chøng minh r»ng:
1
1
a b
b,Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña A = x3 + y3 +xy biÕt x + y = 1.
C©u 1.a, P = (x
2
+5x+4)(x2+5x+6)+1
x2
+5x+5
P =
x2
+5x+4¿2(x2+5x+4)+1
¿ ¿ ¿
P = (x
2
+5x+5)
x2
+5x+5
2
=x+5x+5
b, P = (x+5 2)
2
−5 4≥
−5
VËy P = - 5/4 x = - 5/2 ,giá trị x thoả mÃn x2
+5x+5≠0
C©u a, Chia 3x3 + ax2 + bx + cho x2 –
đợc 3x + a d (b + 27)x + (9 + 9a)
Để phép chia hết cần : (b + 27)x + (9 + 9a) = víi mäi x
⇔
{ b + 27 =
⇔
9 + 9a =
{ B = - 27
a = - b, ⇔ a2x + ab = b2x – b2
⇔ a2x – b2x = - ab – b2
⇔ (a2 – b2)x = - ab – b2
⇔ (a – b)(a + b)x = - b(a + b) +, NÕu a = b pt có dạng 0x = - 2b2
Suy a = b = pt ngiệm x a = b ≠ pt vô ngiệm
+, Nếu a = - b pt có dạng 0x = suy pt nghiệm x
+, NÕu a ≠ ± b th× pt cã ngiƯm nhÊt x = − b
a− b
Câu Gọi quãng đờng nằm ngang CD x(km) ( x > 0) Thì quãng đờng AC + BD = 30 – x
Cả quãng đờng nằm ngang 2x Cả quãng đờng lên dốc 30 – x Cả quãng đờng xuống dốc 30 –x Ta có phơng trình: 2x
15 + 30− x 10 +
30− x 20 =4
5
12⇔x=5(tm)
(21)a, MAMB =BD AD;
NB NC=
BD
DC mà AD = DC
nên MB
MA= NB
NCMN // AC
b, Tứ giác AMND hình thang vuông SAMND =
2 (MN + AC)AM
Theo pytago víi ΔABD cã A❑ = 900
→ BD = 10 (cm)
MA MB=
AD
BD →MA=3(cm);MB=5(cm); AC = 2AD = 12(cm)
MN // AC (cmt) MN
AC = MB
AB →MN=7,5(cm) ; SAMND = 292,5 (cm2)
C©u Dành cho hs không học trờng Tiên Lữ a, < x <3
b,y = – 4x suy y2 = (1 – 4x)2
XÐt
5x −1¿2 ¿ 4¿ 1−4x¿2−1
5=¿ 4x2
+y2−1 5=4x
2
+
(đpcm)
Câu Dành cho hs trờng Tiên Lữ
a,
(1+1 a)(1+
1 b)≥9
⇔a+1
a b+1
b ≥9
⇔ab+a+b+1≥9 ab
¿
⇔a+b+1≥8 ab⇔2≥8 ab a+b¿2≥4 ab
¿
a −b¿2≥0 ⇔1≥4 ab⇔¿
b,
A=(x+y)(x −xy+y)+xy A=x −xy+y+xy
A=x2+y2
Thay y = – x vào A đợc:
1− x¿2+2(x2− x)+1 A=x2
+¿
A=2(x −1 2)
2
+1 2≥
1
Suy Min A = 1/2 x = 1/2 ; Vµ y = 1/2
⇔(m2
4 −mn+n
2
)+(m
2
4 −mp+p
2
)+(m
2
4 −mq+q
2
)+(m
2
4 − m+1)≥0
⇔(m
2 − n)
2
+(m − p)
2
+(m 2− q)
2
+(m −1)
2
(22)DÊu b»ng x¶y {
m
2 −n=0 m
2 − p=0 m
2 −q=0 m
2 −1=0
⇔ {
n=m p=m
2 q=m m=2
⇔ {n=m=p=q=2 1
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có (12
+12+12)(a2+b2+c2)≥(1 a+1.b+1 c)2
⇒ (a2+b2+c2)≥ a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)
a2+b2+c2ab+bc+ac Điều phải chứng minh Dấu b»ng x¶y a=b=c
ĐỀ HỌC SINH GIỎI Năm học :2011-2012
Mơn :Tốn -Lớp 8 Thời gian :120 phút Bài 1: (2,0 điểm)
Cho a,b bình phương hai số nghuyên lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: ab-a-b+1 chia hết cho 48
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức :
2
2 2
6 36
6 12 12
x x x
A
x x x x x
a.Tìm TX Đ A b.Rút gọn A
Bài 3: (1,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức :x2y2 xy x y
Bài 4: (1,0 điểm)
Chứng tỏ khơng có giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau
4
5 2
x x
Bài 5 (3,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD,điểm P thuộc đường chéo BD (P khác B D),Gọi M điểm đối xứng C qua P
a.Chứng minh AM song song với BD
(23)c.Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA khơng phụ thuộc vào vị trí P
Bài 6 (1,0 điểm)
Giải phương trình:
5 15 2002 2012
2012 2002 15
x x x x
Đáp án
Bài 1:
Ta có ab-a-b+1 =(a-1)(b-1)
Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a(2n1) ;2 b(2n3)2 với nZ
2
2
2
ab-a-b +1 =(a-1)(b-1)= (2 1) (2 3) (4 )(4 12 8)
16 ( 1) ( 2)
n n
n n n n
n n n
Vì 16 (n n1) (2 n2) 16 n n( 1)(n2) 3 16 (n n1) (2 n2) 3 mà ƯCLN (3;16)=1 Suy 16 (n n1) (2 n2) 48 hay ab a b 1 48
Bài 2:
a ĐKX Đ: x0;x6;x6 b Rút gọn
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
6 36
6 12 12
(6 1)( 6) (6 1)( 6) 36
( 36) 12( 1)
6 37 6 37 36
( 36) 12( 1)
12( 1) 36
( 36) 12( 1)
x x x
A
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x
x x x x
(24)Vậy A=
x Với x0;x6;x6
Bài 3:
2 2
2
2 2
2 2
1 2( ) 2( 1)
2 2 2
( ) ( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
x y xy x y x y xy x y
x y xy x y
x xy y x x y y
x y x y
Ta có : (x y )2(x1)2(y1)2 0 ln Dấu " =" xảy x=y=1
Bài 4:
Ta có 2
4
5
2 ( 1)
x x x
2
4
( 1) 1 0
( 1) ( 1) x
x x
Vậy khơng có giá trị x thoả mãn bất đẳng thức sau
5 2
x x
Bài 5:
a.Ta có O trung điểm AC ( ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM ( M đối xứng với C qua P)
Nên OP đường trung bình tam giác ACM nên OP//AM Suy AM//BD
b Vì OP đường trung bình tam giác ACM nên OP//AM OP=1/2 AM Do OP//AI OP=AI nên tứ giác AIPOlà hình bình hành
Suy : PI//AC (1)
(25) Suy : Tam giác AKM cân nên E trung điểm KM EI đường trung bình tam giác AMK
EI//OA nên EI//AC (2) Ta lại có E,I,F thẳng hàng (3)
Từ (1),(2),(3) suy E,F,P thẳng hàng c.Ta xét hai tam giác vng ABD FAM có
BAD=AFM=1v
BDA=AFM ( Cùng EAM) ABDFAM
Suy
MF AD
FA AB (không đổi) Vậy tỉ số độ dài hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào vị trí P
Bài 6:
Ta có :
5 15 2002 2012
2012 2002 15
x x x x
2017 2017 2017 2017
2012 2002 15
1 1
( 2017)( )
2012 15 2002
x x x x
x
Vì :
1 1
0 ;
2012 15 2002 5 nên
1 1
( )
2012 15 2002 5 Suy x-2017=0 x=2017 Vậy nghiệm PT x=2017
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 -2012
Mơn : TỐN 8
Thời gian làm : 120 phút
Bài 1:
Tìm n N để A = 11n
3
+12n2+12n+20
n2+1 có giá trị nguyên.
Bài 2: Giải phương trình : a) x+1¿
2
+1 x+1¿4−26¿ 25¿
= 0 b) x2+|x −1|=|x| Bài 3:
a) Cho a > 0; b > a + b = Chứng minh :
1 1 4
1 1 3
a b
b) Với số không âm a, b, c, chứng minh rằng:
2 2 2
(26)c) Tìm x, y, z biết : 10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + = Bài 4:
Cho tam giác ABC có Â = 1200 ,
¿
B❑^
¿
= 400 ; kẻ phân giác AD,
BE (D BC ; E AC)
a) Chứng minh :
1 1
AB AC AD
b) Cho AB = m; AC = n; diện tích tam giác ABC S Tính diện tích tam giác ABE theo m,n, S
Bài 5:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Phân giác góc AMB cắt AB E, phân giác góc AMC cắt AC F
a) Chứng minh : EF // BC.
b) Cho BC = 20 cm, AM = 10 cm Tính EF.
………Hết ……….
Bài 1(2đ) a) Gọi a-1, a, a+1 số tự nhiên liên tiếp ( a N ;a>0¿
M= (a 1)3a3(a1)3 3a36a = 3a(a−1)(a+1)+9a
(a −1)a(a+1) tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
Vậy M chia hết cho
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) 11n
3
+12n2+12n+20 n2
+1 =
11n+12+ n+8
n2+1 (n∈N)
A nguyên n+8⋮n2+1 n+8 n2+1
n(n−1)≤7 hay n=0;1 :2;3
Thử lại chọn n=0;2
0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài
2(2,5đ) a) x+1¿
2
+1 x+1¿4−26¿ 25¿
= 25X4−25X2− X2
+1
= 25X2[X2−1]−(X2−1) với X=x+1
= (X+1)(X −1)(25X2−1)
= (X+1)(X −1)(5X −1)(5X+1)
x(x+2)(5x+4)(5x+6) =
Suy nghiệm 0; -2 ; −4 ; −
6
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ b) x2
(27)x<0⇒x2− x+1=− x Vô nghiệm
0≤ x<1⇒x2− x+1=x Suy x=1 (loại)
x ≥1⇒x2+x −1=x Suy x=−1 ( loại), x=1 ( chọn)
Kết luận
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 3(2đ)
a)
1 3( 1 1) 4( 1)( 1)
1 a b a b
a b
4( ab a b 1) ( a+b=1 )
9 4 ab 8 1 4ab (a b )2 4ab
a −b¿
2
≥0
⇔¿ với a,b
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b) P=
4x+3 x2+1 =
2
2
4 4
1
x x x
x
=
2
2
4( 1) (4 1)
x x x
x
=
2x −1¿2 ¿ ¿ 4−¿
P nên Pmax = x=12
0,25đ 0,5đ 0,25đ
Bài 4(2đ) a) Vẽ DK // AB , K AC ,
Chứng minh ADK => AD = AK = DK
ABC có DK // AB suy DK
AB= CK
AC ( Ta let )
=> ADAB =AC−AK
AC
=>
AB=
AC−AD
AD AC suy điều chứng minh
b) Tam giác ABE tam giác ACB đồng dạng (gg) Suy SABE
SABC
=AB
2
AC2
Thay giá trị suy SABE
0 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài (1,5đ)
Hình vẽ
a Chứng minh EA
EB = MA
MB ( tính chất đường phân giác tam giác AMB)
Chứng minh FA
FC= MA
MC ( tính chất đường phân giác tam giác AMC)
MB= MC ( gt) , suy EAEB =FA FC
Suy EF // BC ( Định lí ta let đảo) b Chứng minh tam giác ABC vuông A
Chứng minh AEMF hình chữ nhật Suy EF =AM=10 cm
0
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 0,25đ
0,25
(28)2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 a b b c ab c b c c a abc c a a b a bc
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
2 2 2
2 2 2
2 a b b a c a 2abc a b c a b b c c a abc a b c
Dấu đẳng thức xảy khi:
ab bc
bc ca a b c ca ab
10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + = 0
9x2 + 6x + 1+ y2– 4y + 4+ 4z2 – 4xz + x2 = 0
(3x + 1)2 + (y – 2)2 + (2z– x)2 = (0,25 điểm)
Do : 3x + = y – = 2z – x = (0,25 điểm)
⇔ x = −1
3 ; y = 2; z = −
1
6 (0,25 điểm)
đề học sinh giỏi Mơn Tốn lớp 8
Thêi gian: 120 phót Câu1
a Phân tích đa thức sau thừa số: *
x 4
* x x x x 24 b Giải phương trình:
x 30x 31x 30 0
c Cho
a b c
1
bc ca ab Chứng minh rằng:
2 2
a b c
0 bc ca ab
Câu2 Cho biểu thức:
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị A , Biết |x| =
1 2 . c Tìm giá trị x để A < 0.
(29)Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME
AB, MFAD.
a Chứng minh: DECF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu
a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng:
1 1 1 9 a b c b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
Phòng gD&ĐT hiệp hòa bắc giang dơng mạnh hùng Trờng THCS Đức Thắng
HNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(3 điểm)
a. x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + + 2x)(x2 + - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(1 điểm)
b.
x 30x 31x 30 0 <=>
x x x x 0 (*) Vì x2 - x + = (x -
1 2 )2 +
3
4 > 0 x
(*) <=> (x - 5)(x + 6) =
x 5 0 x 5
x 6 0 x 6
(1 điểm)
c. Nhân vế của:
a b c
1 bc ca ab
(30)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu 2
(3 điểm)
Biểu thức:
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
a. Rút gọn kq:
1 A
x 2
(1 điểm)
b.
1 x
2
x 1
2
1 x
2
4 A
3
4 A
5
(0.5 điểm)
c. A 0 x2 (0.5 điểm)
d
1
A Z Z x 1;3 x 2
(1 điểm)
Câu 3
(3 điểm)
HV + GT + KL
(0.5 điểm)
a Chứng minh: AEFM DF
AEDDFC đpcm (1 điểm)
b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (1 điểm)
c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi
ME MF a
không đổi
AEMF
S ME.MF
lớn MEMF (AEMF
hình vuông)
M
trung điểm BD. (0.5 điểm)
Câu 4:
(1 điểm)
a. Từ: a + b + c =
1 b c
1
a a a
1 a c
1
b b b
1 a b
1
c c c
(31)HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
1 1 1 a b a c b c
3
a b c b a c a c b
3 2 2 2 9
Dấu xảy a = b = c =
1 3
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1 (a – 1).(b – 1) = 0 a = b = 1
Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại)
Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại)
Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 2
(0.5điểm)
S 8 bi:
Bài 1( điểm): Cho biÓu thøc:
P =
2
2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
a) Rót gọn P
b) Tính giá trị P
1
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị ngun. d) Tìm x để P > 0.
Bµi 2(3 điểm):Giải phơng trình:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
c) x 2 3 5
Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình:
Mt ngi xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời đó.
Bµi (7 ®iĨm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng của điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P.
d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm,
9 16
PD
(32)Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092011 + 20112012 chia hÕt cho 2010
b) Cho x, y số lớn Chøng minh r»ng:
2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy
áp án biểu điểm Bài 1: Phân tÝch:
4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5®
§iỊu kiƯn:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
0,5®
a) Rót gän P =
2 3
2 5
x x
2®
b)
1
x 1
2 x
hc
1 2 x
+)
1 2 x
P =
1 2
+)
1 2 x
P =
2
3 1®
c) P =
2 3
2 5
x x
=
2 1
5
x
Ta cã: 1Z
VËy PZ
2
5 Z
x
x – ¦
(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – = -2 x = (TM§K) x – = -1 x = (KTM§K) x – = x = (TM§K) x – = x = (TM§K)
KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1®
d) P =
2 3
2 5
x x
=
2 1
5
x
0,25®
Ta cã: >
Để P >
2 5
x > x – > x > 0,5®
Víi x > th× P > 0,25
(33)a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x
§K: x 4;x 1
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)
3x.(x + 4) = 0
3x = hc x + = 0
+) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K)
S = { 0} 1®
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
148 169 186 199
1 2 3 4 0
25 23 21 19
x x x x
(123 – x)
1 1 1 1
25 23 21 19
= 0
Do
1 1 1 1
25 23 21 19
>
Nªn 123 – x = => x = 123
S = {123} 1® c)
2 3 5
x
Ta cã: x 2 0 x => x 2 3 > nªn
2 3 2 3
x x
PT đợc viết dới dạng: x 2 5
x 2 = – 3
x 2 = 2
+) x - = => x = 4 +) x - = -2 => x = 0
S = {0;4} 1®
Bài 3(2 đ)
Gi khong cỏch gia A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:
3
( / ) 1 10
3 3
x x
km h
(3h20’ =
1 3
(34)Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là:
3
5 /
10
x
km h
0,25đ Theo đề ta có phơng trình:
3
5 3 10
x
x
0,5®
x =150 0,5®
Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là:
3.150
45 /
10 km h
Bài 4(7đ)
V hỡnh, ghi GT, KL 0,5đ
a) Gäi O giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD
PO đờng trung bình tsm gi¸c CAM.
AM//PO
tø giác AMDB hình thang 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = gúc OAB
Gọi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF DBA g g nên
MF AD
FA AB không đổi (1đ)
d) NÕu
9 16 PD
PB th× 9 16 9 , 16
PD PB
k PD k PB k
NÕu CPBD th×
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
1đ do CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5®
do BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ
Bài 5:
A B
C D
O M
P
I E
(35)a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - )
= 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + )
= 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta cã ®pcm.
b)
2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy (1)
2
2
2
2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
V× x1;y 1 => xy1 => xy 1 0
=> BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1đ
ĐỀ S Ố 7
Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A = (1− x3 1− x − x):
1− x2
1− x − x2
+x3 với x khác -1 1. a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị biểu thức A x ¿−12 . c, Tìm giá trị x để A < 0.
Bài (3 điểm)
Cho
2 2 2 2 2
a b b c c a 4 a b c ab ac bc .
Chứng minh a=b=c . Bài (3 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số đó.
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4−2a3
+3a2−4a+5 .
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I
theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh.
(36)Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N. a, Chứng minh OM = ON.
b, Chứng minh AB1 + CD=
2 MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD. Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( điểm )
Với x khác -1 :
A= 1− x13− x− x+x2: (1− x)(1+x)
(1+x)(1− x+x2)− x(1+x)
0,5đ
= (1− x)(1+x+x
2
− x) 1− x :
(1− x)(1+x) (1+x)(1−2x+x2)
0,5đ = (1+x2):
(1− x)
0,5đ
= (1+x2)(1− x) 0,5đ
b, (1 điểm)
Tại x = −12
3 = −
3 A =
−5 3¿
2
1+¿−[1−(−5 3)] ¿
0,25đ
= 3)
5 )( 25
( 0,25đ
¿34
8 3=
272 27 =10
2
27 0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 A<0 (1+x2)(1− x)<0 (1) 0,25đ Vì 1+x2>0 với x nên (1) xảy 1− x<0 ⇔x>1
KL
0,5đ 0,25đ
Bài (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4
a b ab b c bc c a ac a b c ab ac bc
0,5đ Biến đổi để có (a2+b2−2ac)+(b2+c2−2 bc)+(a2+c2−2 ac)=0 0,5đ Biến đổi để có
a − c¿2=0 b −c¿2+¿
a− b¿2+¿ ¿
(*)
0,5đ
Vì a −b¿2≥0
¿ ; b − c¿
2
≥0
¿ ; a − c¿
2
≥0
¿ ; với a, b, c
nên (*) xảy a −b¿2=0
¿ ; b − c
¿2=0
¿ a − c
¿2=0
¿ ;
0,5đ 0,5đ
Từ suy a = b = c 0,5đ
(37)Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm x x
+11 (x số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số xx −+157 (x khác -15)
0,5đ
Theo ta có phương trình x x +11 =
x+15
x −7 0,5đ
Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) 1đ
Từ tìm phân số −5
6 0,5đ
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4−2a3
+3a2−4a+5 .
Biến đổi để có A= a2(a2+2)−2a(a2+2)+(a2+2)+3
0,5đ
= (a2 a −1¿2+3
+2)(a2−2a+1)+3=(a2+2)¿
0,5đ Vì a2+2>0 ∀a a −1¿
2≥0∀a
¿ nên
a −1¿2≥0∀a
(a2+2)¿ đó
a −1¿2+3≥3∀a (a2+2)¿
0,5đ
Dấu = xảy a −1=0 ⇔a=1 0,25đ
KL 0,25đ
Bài (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh tứ giác AMNI hình thang 0,5đ
Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)
Tính AD = 4√3
3 cm ; BD = 2AD = 8√3
3 cm AM = 12BD=¿ 4√3
3 cm
0,5đ
Tính NI = AM = 4√3 cm
0,5đ DC = BD = 8√3
3 cm , MN =
2DC=¿
4√3 cm
0,5đ N
I M
D C
(38)Tính AI = 8√3 cm
0,5đ
Bài (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có OMAB =OD BD ,
ON AB=
OC
AC 0,5đ
Lập luận để có ODDB=OC
AC 0,5đ
⇒ OMAB =ON
AB ⇒ OM = ON 0,5đ
b, (1,5 điểm)
Xét ΔABD để có OMAB =DM
AD (1), xét ΔADC để có OM DC =
AM
AD (2) Từ (1) (2) ⇒ OM.( AB1 +
CD ) ¿
AM+DM
AD =
AD AD=1
0,5đ
Chứng minh tương tự ON. ( AB+
1
CD)=1 0,5đ
từ có (OM + ON). ( AB+
1
CD)=2 ⇒ AB+
1 CD=
2
MN 0,5đ
b, (2 điểm)
SAOB
SAOD
=OB OD ,
SBOC
SDOC
=OB
OD ⇒
SAOB
SAOD
=¿ SBOC
SDOC
⇒ SAOB.SDOC=SBOC.SAOD
0,5đ
Chứng minh SAOD=SBOC 0,5đ
⇒ SAOD¿2
SAOB.SDOC=¿
Thay số để có 20082.20092 = (S
AOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172
(đơn vị DT)
0,5đ Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh OM = ON
b, Chứng minh
AB+ CD=
2 MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị din tớch) Tớnh SABCD.
Đề 11 Câu 1 Cho P = −2x
2−2
x4+2x3+6x2+2x+5
a.Rót gän P
b.CMR: P < víi mäi x
O N
M
D C
(39)Câu 2 a Tìm đa thức P(x) biÕt: P(x) chia cho x - d -3, P(x) chia cho x + d 3, P(x) chia cho x2 –
1 đợc thơng 2x d bao nhiêu? b Giải phơng trình:
1
(x2+5) (x2+4) +
1
(x2+4) (x2+3) +
2
1
(x 3)(x 2)+ (
x2+2) (x2+1) = -1
Câu 3 Giải toán sau cách lập phơng trình:
Hai i cơng nhân làm cơng việc hồn thành cơng việc 24 h.Nếu đội thứ làm 10 h, đội thứ hai làm 15 h hai đội làm đợc 12
C©u 4 Cho tam giác ABC, hai trung tuyến AK CL cắt 0.Từ P cạnh AC, vÏ PE // AK, PF//CL (E thuéc BC, F thuộc AB), trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thø tù t¹i M, N
CMR: FM = MN = NE
Câu 5.a.Giải bất phơng trình:
1
x x
b.CMR: víi a lµ sè tuú ý, ta cã:
(a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) + 0 Câu 6.a,Giải phơng trình:
(x + y)2 = (x + 1)(y – 1)
b,Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác
CMR :
a b c
(40)Đáp án Đề
Câu a, P = −2x
2
−2 x4+2x3+6x2+2x+5
=
2
2
2
2( 1) 2
2 5
1 2 5
x
x x
x x x
b, x2 + 2x + = (x +1)2 + > với x P xác định với x.
P =
2
0
1
x
x
C©u 2.a,P(x) = A(x)(x – 1) – P(1) = -3.
P(x) = B(x)(x + 1) + P(-1) = 3.
P(x) = (x2 – 1).2x + ax + b.
Suy ra:
a + b = -3 - a+ b =
a = -3 b =
Vậy P(x) chia cho x2 – đợc 2x d -3x.
P(x) = (x2 – 1).2x – 3x = 2x3 – 5x.
b, 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
4 5 3 4 2 3 1 2
x x x x x x x x
2 2
1 1 4
1 1
1 5 1 5
x x x x
= -x4 – 6x2 – x4 + 6x + = 0
(x2 + 3)2 = Phơng trình vô ngiệm v× VT > x R.
Câu Gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x (h) (x > 24)
1h đội I làm đợc
1
x (c«ng viƯc)
1h đội II làm đợc
1
24 x ( công việc)
Ta có phơng tr×nh:
10 1
15
24
x x
Gi¶i x = 40 (tho¶ m·n)
Vậy thời gian đội I cần 40h,đội II cần 60h để xong công việc Câu
AK// PE
FM FQ EF FP
CL //FP
FQ FP LO CL
( cïng =
AF AL )
1 1
3 3
FQ LO FM
FM EF
FP CL EF
Chøng minh t¬ng tù cã:
1 1
3 3
EN EF MN EF
(41)Câu 5.Dành cho học sinh không học trờng Tiên Lữ a, Lập bảng xét dấu giải đợc :x >
1 2
b, Cã (a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) +
=(a2 – 7a + 6)(a2 7a + 12) + Đặt a2 – 7a + = y
=(y – 3)(y + 3) + = y2 ≥ với y (đpcm)
Câu 5.Dành cho học sinh trờng Tiên Lữ a,Đặt x + = a, y = b
Phơng trình trở thµnh:(a + b)2 = ab.
a2 + b2 + ab = 0
2a2 +2b2 +2ab = 0
(a + b)2 + a2 + b2 = 0
a = b = x = -1, y = 1.
b,Đặt b + c – a = x, c + a – b = y, a + b – c = z Suy 2a = y + z, 2b = x + z, 2c = x + y
2a 2b 2c y z x z x y
b c a a c b a b c x y z
=
6
y x y z x z
x y z y z x
(đpcm)
Đề THI CHo HC SINH GII TON
năm học 2011 - 2012
Môn: Toán - lớp (Thời gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 ®iĨm) Cho biểu thức: M = [ x
2
x3−4x+ 6−3x+
1
x+2] : (x −2+ 10− x2
x+2 )
a Rút gọn M
b.Tìm x ngunđể M đạt giá lớn
Bài 2:(3 ®iĨm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b Chứng minh: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A <
Bài 3:(3 ®iĨm)
a Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
b Cho số x,y,z thỏa mãn đồng thời:
x + y + z = 1: x2+ y2+ z2= x3+ y3+ z3= Tớnh tng: S = x2009+y2010+ z2011
Bài 4:(3 điểm)
a Giải phơng trình:
x2
+9x+20 +
1 x2
+11x+30 +
1 x2
+13x+42 = 18
b Giải phơng trình với nghiệm số nguyên: x( x2 + x + 1) = 4y( y + 1)
Bài 5:(7 ®iĨm)
(42)a TÝnh tæng :
HD HE HF AD BE CF
b Chøng minh : BH.BE + CH.CF = BC2
c Chứng minh : H cách ba cạnh tam giác DEF
d Trên đoạn HB,HC lấy điểm M,N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đờng trung trực đoạn MN qua điểm cố định Hết
Phòng GD & ĐT Phúc Thọ
Trường THCS Hiệp Thun Đề THI CHnăm học 2010 - 2011N HC SINH GII TON
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài Nội dung Điểm
1 a
[ x2 x3−4x+
6 6−3x+
1
x+2] = [
x2
x(x −2)(x+2)− 3(x −2)+
1 x+2]
=
2( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x x x
x x
=
6 (x 2)(x 2)
(x −2+10− x
2
x+2 ) =
2 ( 2)( 2) (10 )
2
x x x
x
=
6 x M = −6
(x −2)(x+2) x+2
6 = 2− x
0,5 0,5 0,5 0,5
b
+ Nếu x M 0 nên M khơng đạt GTLN
+ Vậy x 2, M có Tử Mẫu số dơng, nên M muốn đạt GTLN Mẫu (2 – x) phải GTNN,
Mà (2 – x) số nguyên dơng – x = x = Vậy để M đạt GTLN giá trị nguyên x là:
0,5 0,5 0,5 0,5
2 a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc)
=
2 (b c) a
(b c )2 a2
= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
0,5 0,5 0,5
b Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT tam giác) T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0
Vậy A<
0,5 0,5 0,5
3 a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' x¶y ⇔ x – y = y – = ⇔ x = y =
(43)Vậy GTNN A 2010 t¹i x = y =2 b
Ta có: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kết hợp điều kiện cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) =
Một thừa số tích (x + y)(y + z)(z + x) phải 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = z = 1, l¹i kết hợp với
đ/k: x2+ y2+ z2= x = y =
Vậy số x,y,z phải có số số 1, Nên tổng S ln có giá trị
0,5 0,5 0,5
4 a
Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x4; 5; 6; 7 )
1 1
(x4)(x5) ( x5)(x6) ( x6)(x7) = 18 (
1
4
x x ) + (
1
5
x x ) + (
1
6
x x ) = 18
1
4
x x =
18 (x + 4)(x +7) = 54
(x + 13)(x – 2) = x = -13 x = (Thỏa mÃn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm phơng trình là: S = 13; 2
0,5 0,5 0,5 0,5
b
+ Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x2+ 1) = (2y + 1)2 + Ta chứng minh (x + 1) (x2+ 1) nguyên tố ! Vì d = UCLN (x+1, x2+ 1) d phải số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
2
1 x d
x d
2 1
1 x x d
x d
x d
1 x d x d
2d mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x2+ 1) số phơng Thì (x+1) (x2+ 1) u phi l s chớnh phng
Đặt:
2
2 1
x k
x t
(k + x)(k – x) = 1
1 k x
hc
1 k x
+ Víi x = th× (2y + 1)2= y = hc y = -1.(Tháa m·n pt) Vậy nghiệm phơng trình là: (x;y) =(0;0), (0; 1)
(44)5
O
K I
N M
E H
F
A
D B
C
0,5
a
Tríc hÕt chøng minh:
HD AD =
( )
( ) S HBC S ABC
T¬ng tù cã:
( ) ( ) HE S HCA BE S ABC ;
( ) ( ) HF S HAB CF S ABC
Nªn
HD HE HF AD BE CF =
( ) ( ) ( )
( )
S HBC S HCA S HAB S ABC
HD HE HF AD BE CF = 1
0,5 0,5 0,5 0,5
b Tríc hªt chøng minh BDHBEC BH.BE = BD.BC
Vµ CDHCFB CH.CF = CD.CB
BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (®pcm)
0,5 0,5 0,5 0,5
c
Tríc hÕt chøng minh: AEF ABC AEF ABC Vµ CDECAB CED CBA
AEF CED mà EBAC nên EB phân giác góc DEF Tơng tự: DA, FC phân giác góc EDF DFE
Vậy H giao điểm đờng phân giác tam giác DEF nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm)
0,5 0,5 0,5
d Gọi O giao điểm đờng trung trực hai đoạn MN HC, ta có
OMH = ONC (c.c.c) OHM OCN .(1)
Mặt khác ta có OCH cân O nên:OHC OCH (2) Từ (1) (2) ta có: OHC OHB HO phân giác góc BHC
Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định
Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O
0,25 0,25 O,25 0,25
(45)O
K I
N M
E H
F
A
D B
C
+ Hớng dẫn chấm có trang, chấm theo thang điểm 20 + Điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm trịn + Bài số phải có hình vẽ chấm
+ Mọi cách làm khác cho điểm tối đa tơng ứng với nội dung
ĐỀ THI CHO HSG LỚP
Bài 1: Cho biểu thức M = [ x
2
x3−4x+ 6−3x+
1
x+2] : (x −2+ 10− x2
x+2 )
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị M |x| = 12
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A <
Bài 3:
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B = 3(x+1)
x3+x2+x+1
Bài 4:
Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ đường thẳng a cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt tia DC G
(46)b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG không đổi
Bài 5:
Chứng minh x
2−yz
x(1−yz)=
y2−xz
y(1−xz) Với x y ; xyz ; yz ; xz
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD: Bài 1: a) Rút gọn M
M= [ x
2
x3−4x+
6 6−3x+
1
x+2] : (x −2+
10− x2
x+2 ) = [
x2
x(x −2)(x+2)− 3(x −2)+
1 x+2] :
6 x+2
M = −6
(x −2)(x+2) x+2
6 = 2− x
b)Tính giá trị M |x| = 12
|x| =
2 ⇔ x =
2 x = -1
Với x = 12 ta có : M =
1 2−1
2
=
1
= 32
Với x = - 12 ta có : M =
1 2+1
2
=
1
= 52 Bài 2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) =
(b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b) Chứng minh : Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A < Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác)
(b+c +a) >0 ( BĐT tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT tam giác) Vậy A<
Bài 3: a)
Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1
(47)Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1
Dấu ''='' xãy ⇔ x = y y =
Vậy GTNN A ⇔ x = y =2
b) B = 3(x+1)
x3+x2+x+1 =
3(x+1)
x2(x+1)+x+1 =
3(x+1) (x2+1)(x+1) =
3 x2
+1
Do x2 +1>0 nên B =
x2+1
Dấu ''='' xãy ⇔ x =
Vậy GTLN B ⇔ x =
Bài 4: a)
Do AB//CD nên ta có: EA
EG= EB ED =
AB
DG (1)
Do BF//AD nên ta có: EF
EA= EB ED =
AD
FB (2)
Từ (1) (2) ⇒ EA
EG = EF
EA Hay AE2 = EF EG
b) Chứng minh đường thẳng a quay quanh A thay đổi tích BF.DG khơng đổi
Từ (1) (2) ⇒ AB
DG= FB
AD Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)
Bài 5:
Từ GT ⇒ (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) ⇔ x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 ⇔ x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0 ⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0 ⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) =
⇔ (x -y) [xy−xyz(x+y+z)+xz+yz] =
Do x - y nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
E
F
A B