Tuyển tập các đề thi HSG môn Toán

Bài 5: 4ñ Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt ACD, ABD và ABC tại A1, B1, C1.. ðường thẳng d: y=3-x cắ

MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI

Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x



nghiệm hữu hạn ðiều này chỉ có thể khi hệ có ñúng một nghiệm

Nếu biểu thức ∆ của tam thức bậc hai tương ứng âm thì rõ ràng hệ vô nghiệm

cos 2 2 , với n ∈ Z

Phương trình này có nghiệm chỉ khi n = 0 Lúc ñó

4 4

cos π2− 2 = − π

π

π π

4 arccos

4 arccos

Nếu ∆ > 0 thì nghiệm của bất phương trình sẽ là ñoạn [ ]t1, t2 , ñoạn này phải có chỉ một ñiểm

chung với ñoạn [ − tan tan 1, 1 ] Suy ra t1 = tan1 hay t2 = -tan1 Lúc ñó giá trị cần tìm của tham số ñược

tan a tan

tan a

2 2

4arccos

a a

3cos

2

13

cos

Phương trình thứ nhất của tập hợp có hai nghiệm x1= 2π và x2 = 4 trên khoπ ảng (π,5π) Các

ñiểm này là ñiểm tới hạn của hàm f Khi viết ñạo hàm dưới dạng ( ) 

3

cos2

13cos2

a x

a x

a x

Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên R*+ và thoả mãn:

1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A

2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005

1 Hãy tìm phần nguyên của A

biết

1 x

1

1 x

1 1 x

1 A

100 2

2

1a

2 n 1

n

1

Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ

hơn 1,03

Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song

với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại A1, B1, C1 Tìm vị trí của M ñể thể

x x

x x x

2 2

3 2

3

ln)ln(

)1222

Câu 2: Cho tam giác ABC ñều Tìm tập hợp các ñiểm M nằm trong tam giác thoả mãn hệ thức:

2 2

2

MC MB

Câu 3: Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1 Tìm min của biểu thức: A=

xy y

11

Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1 Trên dt (d) vuơng gĩc với mf (ABC) tại A lấy điểm M tuỳ ý

Gọi H là trực tâm tam giác MBC Khi M chạy trên dt (d), tìm max V(HABC)

a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = 0 có một nghiệm nguyên

b) Giải bất phương trình

Bài 2: (5 điểm)

a) Giải phương trình 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0

b) Cho các số thực x1,x2,… ,xn thỏa mãn sin2x1+2sin2x2 +…+ nsin2xn = a, với n là số nguyên dương, a là

số thực cho trước,0 ( 1)

2

n n

≤ ≤ Xác định các giá trị của x1, x2, … , xn sao cho tổng

S = sin2x1+2sin2x2 + … + nsin2xn đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất này theo a và n

Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’

và CC’ đồng qui tại điểm M Gọi S1, S2 và S3 lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MCA,

MAB và đặt MA' x,MB' y,MC' z

Chứng minh rằng: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = 0

Bài 5: (2 điểm)

Cho dãy {un} , n là số nguyên dương , xác định như sau :

Tính un và chứng minh rằng u1 + u2 +…+ un

Bài 6: (2 điểm)

Cho đa thức f(x)=x3+ ax2 + bx + b có ba nghiệm x1, x2, x3 và đa thức g(x) = x3+ bx2 + bx + a Tính

tổng S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b

2 ) 1 2 ( log 1 3 ) 1 2 ( log2 − x+ + − 2 + x ≤

n n

n n

u

u u

u u

1(1[4

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: (5 điểm)

a)(3 điểm) + Biến đổi:

+Giải (a) m =1 hoặc m =-2

+Giải (b) vô nghiệm

+Vậy m =1 hoặc m =-2

0.5 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5

b)(2 điểm) + Biến đổi:

(1) +Vì

nên +

+Vậy log 2 1+ 2≤ ≤x 3log 2 1+ 2

0.5 0.5

0.5 0.5

Bài 2: (5 điểm)

21)12(log3)12(

B A B A x

−1) 3 log ( 2 1) 1 2,2

−1) 3)(log ( 2 1) 1) 02

+

−log ( 2 1) 3)(log ( 2 1) 1) 0

3)12((log

1

12

m x m x

a)(2 điểm) Biến đổi 4sin25x+1-sin2x+4sin5xcosx=3sin2x

4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x

Vậy nghiệm hoặc hoặc

b)(3 điểm) + Biến đổi

+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:

+Dấu = xảõy ra khi hay

hay

0.5

0.5 0.5

cos2.sin2cos

(sin

)cos

cos2)(cossin

sin2(sin

)sin

sin22sin

1(

)]

sin

sin2(sin)

21[(

]2

)1([

x n x

x x

x

cos

sin

cos2

sin2cos

sin

2 2

=

=

=

=π α α

i

n

x

a n

n

x x

x

20

sin2

)1(

2

2 1

35

sin

)6

5sin(

5sin

)6sin(

5sin

x x

224

π π

k

336

k

224

k

336

k

π α

a)(2 điểm) Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có

0.5

b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có

+Biến đổi vế trái

0.5

.3

Bài 4: (2 điểm)

2 điểm + Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có

Ta có +Suy ra

0.5 0.5

0.5 0.5 Bài 5: (2 điểm)

+ Suy ra đpcm

0.5

0.5

0.5 0.5

Bài 6: (2 điểm)

Câu

3 2

s AA

MA s

MA MA

MA AA s

s

''

''

tansin

α+

2 điểm +Theo định lý Vi ét,ta có

p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b

+Ta có

+ +

0.5

0.5 0.5 0.5

Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng, hợp lô gic khoa học vẫn cho điểm tối đa của phần đó

7 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995

Bài I Xét đường cong: y=mx3−nx2−mx+n (C) Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm

của (C) với trục hồnh cĩ hai giao điểm cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C)

p p p p x x x

b a p p x x x

333

3

22

3 3 2 1 3 1 3 3 3 2 3 1

2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

−+

−

=+

−

=++

−

=

−

=++

a x x x b x x x b x x x

S =( 13+ 23+ 33)+ ( 12+ 22 + 32)+ ( 1+ 2+ 3)+3

)32)(

(

3)()2()33(

2

2 3

++

−+

−+

−

=

b a b a S

a a b b a b b ab a

S

Bài II

Hàm số f(x) ñược xác ñịnh bằng hệ thức: f(1− +x) 2 ( )f x =sin2x

Chứng minh rằng: s inf(x) < 2

2 Bài III

Hãy xác ñịnh giá trị của m sao cho với mọi giá trị của α thì phương trình có nghiệm

Bài IV

Trên mặt phẳng toạñộ vuông góc Oxy, cho các ñiểm A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6) Kẻñường

thẳng ( )∆ vuông góc với AB tại H và ñường tròn (C) nhận AB làm ñường kính Tìm quỹ tích tâm I của

ñường tròn tiếp xúc với ( )∆ và tiếp xúc trong với (C) sao cho ñiểm M nằm ở bên ngoài ñường tròn (I)

9 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1997

Câu 1 (5 ñ i ể m): Cho hàm số ( ) 22

x e

f x

=+

1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên ñoạn ln 2; ln 5 

10 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998

Câu 1 (5 ñ i ể m):

Cho họ ñường cong (Cm): y= −x3 3x2+mx+ −4 m ( m là tham số) ðường thẳng (d): y=3-x cắt một

ñường cong bất kỳ (C) của họ (Cm) tại 3 ñiểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến

tại B của (C) lần lượt cắt ñường cong tại ñiểm thứ hai là M và N Tìm m ñể tứ giác AMBN là hình thoi

Câu 2 (5 ñ i ể m):

Giải hệ phương trình: 6 ( 4 )

s inxsiny

Cho 2 ñường tròn thay ñổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với một ñường thẳng lần lượt tại 2 ñiểm A và A' cố

ñịnh Tìm quỹ tích giao ñiểm M của (C) và (C') biết rằng chúng luôn cắt nhau dưới một gócα cho trước (α là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai ñường tròn tại M )

4

Câu 4 (5 ñ i ể m):

Trong hệ toạñộ trực chuẩn Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình: x2+y2 =4

1 Tìm tham số m ñể trên ñường thẳng y = m có ñúng 4 ñiểm sao cho qua mỗi ñiểm có 2 ñường thẳng tạo

Cho ñường cong (C) có phương trình y= − +x4 4x2−3.Tìm m và n ñểñường thẳng y=mx+n cắt ñường cong (C) tại 4 ñiểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) sao cho 1

2

Câu 3 (4 ñ i ể m):

Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi R và R' lần lượt là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác có ñộ dài 3 cạnh là GA, GB, GC Chứng minh nếu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC ñều

Bài 5 (4 ñ i ể m):

Cho tứ diện ABCD DA = a, DB = b, DC = c ñôi một vuông góc với nhau Một ñiểm M tuỳ ý thuộc khối tứ

1 Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa một ñường phẳng cốñịnh và x + y = 3xy

2 Xác ñịnh vị trí của M, N ñể diện tích toàn phần tứ diện ADMN ñạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.Tính các giá trịñó

16 ðỀ THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008

Bài 1: (2.0 ñiểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ñiều kiện abc =1 Chứng minh rằng:

4

3)1)(

1()1)(

1()1)(

1(

3 3

3

≥++

+++

++

c a

c

b c

b

a

Bài 2: (3.0 ñiểm) Giải phương trình: 2 ( )

45 7 (n 0)

2 1

x x

2.2

+ x n x n n

Bài 5: (3.0 ñiểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong ñường tròn tâm O Các ñường thẳng AB,CD, cắt nhau ở E, AD, BC

cắt nhau ở F, AC, BD cắt nhau ở M Các ñường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N

Chứng minh rằng O,M, N thẳng hàng

Bài 6 : (2.0 ñiểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = y3 (1)

Bài 7: (2.0 ñiểm) Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có:

−

−

=+

y x y xy x

xy x

1788

493

2 2

2 3

=

−+

=

−+

16)(

30)(

2)(

2 3

2 3

2 3

y x z z

x z y y

z y x x

b) Trong mặt phẳng có ñường tròn tâm O , bán kính R và ñường thẳng d tiếp xúc với ñường tròn (O,R) tại

ñiểm A cốñịnh Từñiểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài ñường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới ñường tròn (O, R) (T là tiếp ñiểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d

Chứng minh rằng ñường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một ñường tròn cốñịnh khi M di

ñộng trên mặt phẳng sao cho: MT = MH

18 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 2007 QUẢNG NAM

Câu 1 (3 ñ i ể m): Giải bất phương trình sau : ( ) 4

1

x x

Câu 6 (3 ñ i ể m): Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy ñiểm D và E sao cho DE song song với

cạnh BC và tiếp xúc với ñường tròn nội tiếp ∆ABC Chứng minh rằng: DE ≤ 1

8( AB + BC + CA)

Câu 7 (2 ñ i ể m): ðặt x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, với a, b, c là các số nguyên tố Cho biết

x2 = y và hiệu z − y là bình phương của một số nguyên tố Xác ñịnh tất cả giá trị của a, b, c

19 ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000

Bài 1: ( 2.5 ñiểm) Cho phương trình: 5 x2−34x+ −a 4(x 1)(x 33)− − =1

a/ Giải phương trình khi a = 64

b/ Tìm a ñể phương trình có nghiệm

Bài 2:(2.5 ñiểm) Cho hai số a1, b1 với 0 < b1 = a < 1 L1 ập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2,

theo quy tắc sau: an 1 1(an b )n

2

+ = + , bn 1+ = an 1+.bn Tính: n

nlim a

nlim b

→+∞ Bài 3:(2.5 ñiểm)

Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng và ba ñiểm A, B, C ( khác ñiểm 0) lần lượt trên Ox, Oy, Oz

Dãy số (an) là một cấp số cộng có a1 > 0 và công sai d > 0 Với mỗi số n nguyên dương, trên các tia

Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy các ñiểm An, Bn, Cn sao cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn

Chứng minh các mặt phẳng (An, Bn, Cn ) luôn luôn ñi qua một ñường thẳng cốñịnh

an cos aco s cosa n 1a cos an 1 (1)

=

+(0.75 ñ) Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin n 1a

2 − và áp dụng công thức sin2a ñược:

sin 2a2

Vậy các ñường thẳng AnBn, BnCn, AnCn lần lượt ñi qua ba ñiểm I, J, K cốñịnh

Khi ñó Mp ∩ Mq = {R,S}, lúc ñó MP = {R,S,T,U} và Mq = {R,S,V,W} và giả sử

M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ ≠ 1, UQ ≠ 1, VP ≠ 1, WP ≠ 1

• Nếu TR,TS,UR,US khác 1: suy ra Mt∩ Mq = Mu∩ Mq = {V,W} suy ra T hay U trùng với Q, vô

lý

• Nếu TR,TS,UR,US có một số bằng 1: Không giảm ñi tính tổng quát, giả sử TV = 1 lúc ñó TS ≠ 1

và TV = 1 hay TW = 1 Giả sử TV = 1 lúc ñó TW≠ 1 suy ra TU = 1, và Mt = {P,R,U,V} và

Mu = {P,T,V,W} lúc ñó UTV, RPT,UTV là các tam giác ñều cạnh 1, ta có hình 1 ðiều này mâu thuẫn vì

Bài 4 (5 ñiểm)

Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c

K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC

a/ Tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung của SA và BK

b/ Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của ñoạn thẳng AK và CD Chứng minh: Các ñường thẳng BM và MN

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 5ñiểm) cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0

(0.5 ñ) + ðặt t = sinx + cosx = 2 cos(x ), |t| 2

4

π

cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx)

vì t2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx =

y’ = 3x2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số∆’ = 1 – 3a

(0.5 ñ) + Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và

1 > 1 +

a

1 x2

1 x

1 lim (1 + a )

1 x

1

1 < 1 + <

a

1 x2

Vậy y = a là đường tiệm ngang nhánh phải

Suy ra ñược: BH ⊥ SA vă ∆HBK vuông tại K

+ Do ∆ABC vuông ñỉnh A nín:

2 2 2

_

_ B _

A

_ S

_ O

_ K _

M

_ N

b) Chứng minh rằng tồn tại hại số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho : f '(a).f '(b) = 1

Câu 2 : (2,5 ñiểm) : Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn ñiều kiện : x - 2y + 4 = 0

−+

=

=

)21(1

122

1

1

n u

u u

u

n

n n

Tính u2006

ðÁP ÁN + BIỂU ðIỂM CHẤM TOÁN 12 (HỌC SINH GIỎI)

Câu 1 : (2,5 ñiểm) a)

* ðặt g(x) = f(x) + x -1 với x thuộc ñoạn [0;1] thì g(x) cũng liên tục trên ñoạn [0;1] (0,5ñ)

* g(0) = -1 <0 , g(1) = 1 >0 Suy ra tồn tại c thuộc khoảng (0;1) sao cho g(c)= 0

b) áp dụng ñịnh lí Lagrăng cho f(x) trên ñoạn [0;c] và ñoạn [c;1] ta có :

∃a thuộc(0;c) sao cho : f '(a) =

c

c f c

f c

0

)0()

c f f

)()1(

(0,5ñ)

1.11

)(1.)

c c

c f c

c f

(0,5ñ)

Tìm ñược toạñộñiểm A', ñối xứng của A qua ∆, ñó là A'(5;2) (0,5ñ)

*Với M thuộc ∆ ta có : MA+MB=MA' +MB≥ A'B (không ñổi)

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A',M,B thẳng hàng hay M chính là giao ñiểm của ∆ với ñường thẳng A'B

(0,5ñ)

* Tìm ñược phương trình của ñường thẳng A'B là : x-5 = 0 (0,25ñ)

* Giải hệ phương trình x-5=0 và x-2y+4 = 0 cho x=5 và y = 9/2 (0,25ñ)

b) *Gọi P là ñiểm sao cho 2PA+PB=0(tức là P chia ñoạn AB theo tỉ số k= -0,5 (0,5ñ)

* Gọi Q là ñiểm sao cho 4QB−QC =0 (tức là Q chia ñoạn BC theo tỉ số k= 0,25) (0,5ñ)

* M thuộc quỹ tích⇔ 2MA+MB = 4MB−MC ⇔ 2(MP+PA)+(MP+PB)

QC QB MQ

PB PA MP QC

MQ QB

MQ MP MQ

u

u u

)12(1

121

−

−

−+

*GHI CHÚ : Mọi cách giải khác, nếu ñúng cho ñiểm tối ña

22 THI HSG LỚP 11 NĂM 2002

Câu 1 (5 ñiểm)

1) Chứng minh với mọi x ta có sinx+ 1−sinx ≥1

2) Giải phương trình sinx+ 1−sinx =2 osc x c− os 2x

 

Câu 2 (4 ñiểm)

Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a

a) Nếu ∠ABC= ∠BCD=120o thì diện tích tứ giác ABCD bằng bao nhiêu (tính theo a) ?

b) Giả sử tứ giác ABCD thay ñổi mà AB = BC = CD = a không ñổi Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ

giác ABCD

Câu 3 (7 ñiểm)

Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy là a

1 Ta coi hình ñã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O Gọi α là góc giữa (SAB) và (ABC) Hãy tính cosα ñể O cách ñều tất cả các mặt của SABC

ASB = 30

∠ Xét mặt phẳng (P) thay ñổi ñi qua Avà cắt SB tại B’, cắt SC tai C’ Tìm giá trị nhỏ

nhất của chu vi △AB’C’ theo a

Trên mặt phẳng Oxy cho (P) y=x2 và (C) x2+ −y2 2x−6y+ =1 0

1) Chứng minh (P) và (C) có ñúng 4 giao ñiểm phân biệt

2) Lập phương trình ñường tròn ñi qua M(2 ; -1) và tiếp xúc với (C) tại A(1 ; 6) ∈(C)

3) Giả sửñường thẳng (d) thay ñổi ñi qua ñiểm A sao cho (d) cắt (P) tai hai ñiểm phân biệt T , T G1 2 ọi (d ), (1 d ) theo th2 ứ tự là tiếp tuyến của (P) tại T , T Bi1 2 ết rằng (d ) c1 ắt (d ) 2 ở N Chứng minh N nằm trên một ñường thẳng cốñịnh

Câu 4 (3 ñiểm) <câu này ñề bài ch ư a bi ế t có chính xác không, ch ỗ d ấ u h ỏ i ch ấ m ( ?) c ầ n xem l ạ i>

Bài 3: Có 6n + 4 nhà toán học tham dự 1 hội nghị, trong ñó có 2n + 1 buổi thảo luận Mỗi buổi thảo luận

g x

=+ + −

Chứng minh rằng trong các tam giác nội tiếp ñường tròn (O ; R) thì tam giác ñều có diện tích lớn nhất Bài 5 (4 ñiểm)

Cho hai ñường tròn (O), (O’) cắt mhau tại A, B, các tiếp tuyến chung MN, PQ (M, N, P, Q là tiếp

ñiểm) Người ta vẽñường tròn (I) qua ba ñiểm M, N, A và ñường tròn (K) qua ba ñiểm P, Q, A Hỏi ngoài

A ra, hai ñường tròn (I), (K) còn có ñiểm chung nào nữa không ? Tại sao ?

a Chứng minh vecto u=3MA −5MB +2MC không phụ thuộc vào vị trí của ñiểm M

b Chứng minh nếu H thỏa mãn OA OB OC + + =OH(O là tâm ñường tròn ngoại tiếp △ABC) thì H là

trực tâm △ABC

c Tìm tập hợp ñiểm M thỏa mãn 3MA +2MA −2MC = MB −MC

Bài 3 (4 ñiểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn (O) và ngoại tiếp ñường tròn (I) Gọi M, N, P, Q là các tiếp

ñiểm của (I) với AB, BC, CD, DA

1 Chứng minh MP⊥NQ

2 Chứng minh IA sinA +IB sinB +IC sinC +ID sinD =0

3 Gọi J, K lần lượt là trung ñiểm của AC, BD Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Cho ñường tròn (O) và một ñiểm A ở trên ñường tròn Một ñường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tại I và

cắt tiếp tuyến của (O) kẻ từ A tại B, C (B nằm giữa A, C) sao cho C, O, O’ không thẳng hàng Các tia AI,

BI theo thứ tự cắt (O’) và (O) tại D, E Hãy dựng ñường tròn (O’) như thế sao cho C, D, E thẳng hàng

Cho △ABC với trực tâm H và nội tiếp trong ñường tròn (O) Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là trung ñiểm

BC, CA, AB, và G, A0, B0, C0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB

1 Chứng minh OA 0+OB0+OC0 =5OG

2 Tính A'A.A'H+B'B.B'H+C'C.C'H

theo a, b, c là sốño các cạnh △ABC

Bài 3

Cho △ABC vuông ở A và một ñiểm M di ñộng Gọi N, P lần lượt là ñiểm ñối xứng với M qua AB,

Xét △ABC trên một mp(P) ñã cho Một ñường thẳng d ñi qua A và tạo với các ñường thẳng AB, BC,

CA những góc bằng nhau Gọi S là ñiểm trên d và khác A, gọi H, I lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, SBC

Cho ñoạn thẳng AB, hai ñường thẳng d1, d2 vuông góc với nhau, cùng vuông góc với AB, và lần lượt

ñi qua A, B ðường thẳng d3 cắt d1, d2 lần lượt tại M, N Gọi , ,α β γ lần lượt là ñộ lớn của góc giữa d3 với

AB, d1, d2

a Chứng minh cần và ñủñể MN có ñộ dài không ñổi là α không ñổi

b Chứng minh sin2α+sin2β+sin2γ = 2

Bài 3

Cho △ABC trên một mp(P), một nửa ñường thẳng Bx vuông góc với (P) Trên Bx lấy ñiểm S khác B

và kẻñường cao BH của △SAB Gọi K là ñiểm ñối xứng với H qua tâm A Chứng minh ñường tròn ngoại

tiếp △SCK luôn luôn ñi qua hai ñiểm cốñịnh khi S thay ñổi trên Bx

Cho hai ñường thẳng chéo nhau d1, d2 và một ñiểm M không nằm trên d1, d2 Hãy dựng qua M ñường

thẳng d sao cho d chéo nhau với d1, và d chéo nhau với d2, các ñoạn vuông góc chung của d và d1, của d

và d2 cùng bằng ñộ dài ℓ cho trước

37 THI HSG LỚP 11 HÀ NỘI VÒNG 1 (1992 – 1993)

Cho tứ diện ñều ABCD có các cạnh bằng a Trên CD lấy ñiểm M, ñặt CM = x (0 < x < a) Một mp(P)

ñi qua AM và song song với BC, cắt BD ở N

a Tìm x ñể diện tích tứ giác BCMN gấp ñôi diện tích △DMN

b Gọi E là hình chiếu của D trên (P) Tìm tập hợp ñiểm E khi M di ñộng trên CD

c Tìm x trong trường hợp △ADE ñạt giá trị lớn nhất

=

Bài 2

Cho trong mp(P) một tam giác ñều ABC Trên các nửa ñường thẳng Bx, Cy vuông góc và cùng phía

với (P) ta lấy lần lượt M, N sao cho BM + CN = 2m không ñổi

a Chứng minh (AMN) ñi qua một ñường thẳng cốñịnh

Xét dãy số gồm 2n + 1 số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các bình phương của n + 1 số hạng ñầu bằng

tổng các bình phương của n số hạng còn lại Hỏi có giá trị nào của n sao cho trong dãy 2n + 1 số ñó có

một số hạng bằng 1993 hay không, tại sao ?

39 THI HSG LỚP 12 QUỐC GIA 2008

ðặt m =20072008 Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n < m và n(2n + 1)(5n + 2) chia hết cho m? Câu 4

Cho △ABC, trung tuyến AD Cho ñường thẳng d vuông góc với AD Xét ñiểm M ∈ d Gọi E, F lần

lượt là trung ñiểm của MB, MC ðường thẳng ñi qua E và vuông góc với d, cắt AB ở P ðường thẳng ñi qua F, vuông góc với d, cắt AC tại Q Chứng minh ñường thẳng ñi qua M vuông góc với PQ luôn ñi qua

một ñiểm cốñịnh khi M di ñộng trên d

40 CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN 2005

Bài 1

Tìm tất cả các hàm số f :ℕ*→ℕ* thỏa mãn với mọi cặp số nguyên dương (x, y) ñều tồn tại số nguyên

dương z sao cho

Cho dãy số dương không tăng {an} có tính chất: tổng của một số hữu hạn bất kì các số hạng của dãy

ñều nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng lim ( n) 0

Bài 3

Trong mặt phẳng cho ba ñiểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng, B nằm giữa A, C nhưng không trùng với

ñiểm của AC Vẽ hai ñường tròn (ω1) và (ω2) thay ñổi tương ứng ñi qua các cặp ñiểm A, B và B, C Hai

ñường tròn này cắt nhau tại ñiểm thứ hai D khác B Gọi E là trung ñiểm của cung DA không chứa ñiểm B

của (ω1) và F là trung ñiểm của cung DC không chứa B của (ω2) Chứng minh trung ñiểm của ñoạn

thẳng EF luôn nằm trên một ñường thẳng cốñịnh

Bài 4

Có 2005 cái hộp xếp quanh một sân vận ñộng Giả sử ta có trong tay một số lượng ñủ lớn các quả

bóng Thực hiện một trò chơi như sau: Lần thứ nhất bỏ vào một số hộp nào ñó một số quả bóng một cách tùy ý, lần thứ hai trởñi mỗi lần cho phép ta chọn 6 cái hộp nằm liên tiếp và bỏ thêm vào mỗi hộp 1 quả

bóng Hỏi có thể làm cho 2005 hộp ñó có số lượng bóng bằng nhau ñược không? Bài toán sẽ thay ñổi thế

nào nếu xung quanh sân vận ñộng không phải 2005 mà là 2006 cái hộp? Giải thích

2 Tìm các ñiểm thuộc (C) thỏa mãn tiếp tuyến tại ñó của (C) lập với hai ñường tiệm cận của (C) thành

một tam giác có chu vi nhỏ nhất

2 Mặt phẳng ñi qua A và vuông góc với SD cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại B’, C’, D’ Chứng minh tứ

giác AB’C’D’ nội tiếp trong một ñường tròn

Cho △ABC và O, I theo thứ tự là tâm ñường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác này Chứng minh rằng

1;

2008

n n n

u u

n i

i

u u

Bài 3

Cho (d) 2x – 2y + 1 = 0 và A(0 ; 4), B(5 ; 0) Tìm hai ñường thẳng lần lượt ñi qua A, B và nhận (d)

làm ñường phân giác

2007

n i i

x n

−

=

∑ , n = 1, 2, 3, … Tính S =

2007 0

Chứng minh rằng nếu một tam thức bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt thì tồn tại nguyên hàm của

Câu 4

Cho dây cung BC cốñịnh của ñường tròn (O) Lấy A nằm trên cung BC lớn sao cho △ABC nhọn Kẻñường cao AD, BE, CF của tam giác này (D, E, F là chân ñường cao) H là giao ñiểm của ba ñường cao

a Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp Từñó suy ra AC.AE = AF.AB

b Gọi A’ là trung ñiểm của BC Chứng minh AH = 2A’O

c Kẻ tiếp tuyến d của (O) tại A Chứng minh d // EF

Câu 5

Chứng minh không tồn tại các số nguyên a, b, c thỏa mãn

200920072005

abc a abc b abc c