TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2 TỔ TOÁN NGUYỄN VĂN XÁ TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN TOÁN TẬP HAI MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI 2009 20092009 2009 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI 1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 2009 2010 và 2010 2009 . 2/ Tìm giới hạn 2 0 3 3 1 1 lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1) x x x x x x → − + + + + + + . Bài 2 (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2009 + y 2009 + z 2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = x 2 + y 2 + z 2 . 2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 C C C 2007 n+ + + + < . Bài 3 (4 ñiểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180 o và các cạnh bên SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . Bài 4 (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax 3 + bx 2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 2 2 2 1 2 2+ 3 + - m + n + p m n p ≤ . 2/ Giải hệ phương trình 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz + + + = + + + + = − + + + = + . Bài 5 (2 ñiểm) 1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ñó. 2/ Cho y = a 0 x + a 1 x 3 + a 2 x 5 + … + a n x 2n+1 + … thoả mãn (1 – x 2 )y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các hệ số a 0 , a 1 , a 2 , …, a n . 2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñiểm) Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cos 4 4 . cos 4 2 2 0 tan x a tan x a π π − − − + + ≤ . BÀI 2: (3 ñiểm) Với những giá trị nào của a thì hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 1 2 sin sin 3 2 3 x x f x x a a a π = − + − + + có không quá hai ñiểm cực trị trên khoảng ( ; 5 π π ) ? BÀI 3: (4ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 2 Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x nguyên. ( ) ( ) ( ) 144 2 +≤++− aaxaaxx . ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñiểm) ðặt t = ( ) 2 2 cos 4 tan x π − , với 1 t tan ≤ . Dễ thấy rằng với [ ] 0 1, 1 t tan tan ∈ − phương trình ( ) 2 2 0 cos 4 tan x t π − = có s ố nghi ệ m h ữ u h ạ n. Do ñ ó ta tìm t ấ t c ả a sao cho h ệ 2 4 2 2 0 1 1 t at a tan t tan − + + ≤ − ≤ ≤ có s ố nghi ệ m h ữ u h ạ n. ð i ề u này ch ỉ có th ể khi h ệ có ñ úng m ộ t nghi ệ m. N ế u bi ể u th ứ c ∆ c ủ a tam th ứ c b ậ c hai t ươ ng ứ ng âm thì rõ ràng h ệ vô nghi ệ m. N ế u ∆ = 0, t ứ c là a = 1 hay a = 2 1 − , thì nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình th ứ nh ấ t c ủ a h ệ s ẽ ch ỉ là m ộ t ñ i ể m t = 2a. T ừ hai giá tr ị tìm ñượ c c ủ a a ch ỉ có a = 2 1 − là thích h ợ p, v ớ i a = 2 1 − ta ñượ c t = 1 [ ] 1; 1 tan tan ∈ − t ừ ñ ây suy ra ( ) 2 2 cos 4 tan x π − = 1 hay π π π nx +−=− 4 4cos 22 , v ớ i n Z ∈ . Ph ươ ng trình này có nghi ệ m ch ỉ khi n = 0. Lúc ñ ó 4 4cos 22 π π −=− x hay π π ππ 2 4 arccos4 22 kx + −±=− , v ớ i k Ζ ∈ . D ễ th ấ y r ằ ng ph ươ ng trình này có nghi ệ m: 2 2 4 arccos4 ±−±= π ππ x . N ế u ∆ > 0 thì nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình s ẽ là ñ o ạ n [ ] 21 ,tt , ñ o ạ n này ph ả i có ch ỉ m ộ t ñ i ể m chung v ớ i ñ o ạ n [ ] 1, 1 tan tan − . Suy ra t 1 = tan 1 hay t 2 = - tan 1 . Lúc ñ ó giá tr ị c ầ n tìm c ủ a tham s ố ñượ c tìm b ằ ng cách gi ả i t ậ p h ợ p hai h ệ sau : ( ) 0 1 0 1 f tan tan t = < hay ( ) 0 1 0 1 f tan tan t − = − > v ớ i f(t) = t 2 – 4at +2 + 2a . Suy ra 2 1 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan + = − > hay ( ) 2 1 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan − + = + < − . D ễ th ấ y r ằ ng h ệ th ứ nh ấ t có nghi ệ m , còn h ệ th ứ hai vô nghi ệ m. Giá tr ị v ừ a tìm c ủ a tham s ố t ươ ng ứ ng t = tan 1. Suy ra ( ) 2 2 cos 4 tan x π − = tan 1, ππ nx +=− 14cos 22 , n Ζ ∈ . Ph ươ ng trình này ch ỉ có ba nghi ệ m x 1 = 0 , x 2 = -2 π , x 3 = 2 π . K ế t lu ậ n : N ế u a = 2 1 thì 2 2 4 arccos4 ±−±= π ππ x . Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3 N ế u 2 1 2 4 1 2 tan a tan + = − , thì x 1 = 0 , x 2 = -2 π , x 3 = 2 π . V ớ i các giá tr ị còn l ạ i c ủ a a ph ươ ng trình vô nghi ệ m ho ặ c có vô s ố nghi ệ m . BÀI 2 (3 ñ i ể m) Ta có ( ) ( ) 3 2 cos 3 cos211 ' xx aaxf +−+−= . Nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình ( ) 0 ' =xf s ẽ là các ñ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a hàm f . Ta vi ế t : ( ) 0 3 2 cos 3 cos211 =+−+− xx aa D ễ th ấ y r ằ ng ph ươ ng trình này t ươ ng ñươ ng v ớ i t ậ p h ợ p: = −= a x x 3 cos 2 1 3 cos . Ph ươ ng trình th ứ nh ấ t c ủ a t ậ p h ợ p có hai nghi ệ m x 1 = π 2 và x 2 = π 4 trên kho ả ng ( π , π 5 ). Các ñ i ể m này là ñ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a hàm f . Khi vi ế t ñạ o hàm d ướ i d ạ ng ( ) − += a xx xf 3 cos 2 1 3 cos2 ' d ễ th ấ y r ằ ng các ñ i ể m t ớ i h ạ n tr ở thành ñ i ể m c ự c tr ị ch ỉ khi a 2 1 −≠ (n ế u a = 2 1 − thì ñạ o hàm không ñổ i d ấ u , và do ñ ó hàm f không có ñ i ể m c ự c tr ị ). Nh ư v ậ y n ế u 2 1 −≠a thì hàm f có ít nh ấ t hai ñ i ể m c ự c tr ị trên kho ả ng ñượ c xét . Do ñ ó , c ầ n tìm các giá tr ị a sao cho ph ươ ng trình th ứ hai không có thêm ñ i ể m c ự c tr ị . Trên kho ả ng ( π , π 5 ) hàm y = cos 3 x nh ậ n t ấ t c ả các giá tr ị thu ộ c ñ o ạ n 1 1; 2 − 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 F E D N ế u −∈ 2 1 ,1a và 2 1 −≠a thì hàm f s ẽ có 4 c ự c tr ị . Có ngh ĩ a là v ớ i nh ữ ng giá tr ị a khác hàm f s ẽ có không quá hai c ự c tr ị . K ế t lu ậ n : 2 1 ≥a , 2 1 −=a , 1 − ≤ a . Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 4 BÀI 3 (4 ñ i ể m) B ấ t ph ươ ng trình ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i t ậ p h ợ p hai h ệ : +≥ ≤ 4 2 ax ax hay +≤ ≥ 4 2 ax ax . Nh ờ t ậ p h ợ p này ta bi ể u di ễ n nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình ban ñầ u. K ẻ các ñườ ng th ẳ ng x = k , v ớ i Ζ ∈ k . 14 12 10 8 6 4 2 -5 5 10 15 - 6 12 x=a+4 x=a 2 A Lúc ñ ó giá tr ị a 0 mà v ớ i nó ñườ ng th ẳ ng a = a 0 c ắ t các ñườ ng th ẳ ng x = k không quá 4 ñ i ể m trong t ậ p h ợ p ñ ã ñượ c ñ ánh d ấ u, s ẽ là giá tr ị c ầ n tìm. C ă n c ứ vào hình v ẽ ta có các giá tr ị a c ầ n tìm là : 06 <− , 1 0 < < a , 121 << a . 3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñ i ể m) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 2 cos cos x y z y z x z x y + = + + = + + = + . Câu 2: (4 ñ i ể m) Cho dãy s ố { } n x tho ả mãn: 0 3 1 1 3 3 2 n n n x x x x + + = − = + . Tìm lim n n x →+∞ . Câu 3: (4 ñ i ể m) Tìm t ấ t c ả các hàm s ố f(x) liên t ụ c trên * + R và tho ả mãn: Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 5 2 2 2 (1) 5 4 ( ) ( ) 4 , 0 . f f x x f x x x x = − = − ∀ > Câu 4: (4 ñ i ể m) Trên m ặ t ph ẳ ng cho hình vuông ABCD c ạ nh a và ñ i ể m M thay ñổ i. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a m ỗ i t ổ ng sau: 1) T 2 = 2.MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 . 2) T 1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñ i ể m) Cho t ậ p h ợ p A = { 0,1,2,…,2006 } . M ộ t t ậ p con T c ủ a A ñượ c g ọ i là t ậ p con “ngoan ngoãn” n ế u v ớ i b ấ t kì x, y ∈ T (có th ể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm t ậ p con “ngoan ngoãn” l ớ n nh ấ t c ủ a A và khác A. 2) Tìm t ậ p con “ngoan ngoãn” bé nh ấ t c ủ a A ch ứ a 2002 và 2005. 4. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) Bài 1: (4 ñ ) Gi ả i ph ươ ng trình : 1 ( 3) 2 1 x x − − = . Bài 2 : (4 ñ ) Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 22 yx + n ế u : 3 2 6 7 3 4 x y x y + ≤ − ≤ . Bài 3 : (4 ñ ) Cho dãy n21 x, ,x,x , v ớ i =+= = + , )2,1n(,xxx 2 1 x n 2 n1n 1 . Hãy tìm ph ầ n nguyên c ủ a A bi ế t 1x 1 1x 1 1x 1 A 10021 + ++ + + + = . Bài 4: (4 ñ ) Cho dãy (a n ) v ớ i : −− = = + 2 a11 a 2 1 a 2 n 1n 1 . Ch ứ ng minh t ổ ng t ấ t c ả các s ố h ạ ng c ủ a dãy nh ỏ h ơ n 1,03. Bài 5: (4 ñ ) Cho t ứ di ệ n ABCD trong tam giác BCD ch ọ n ñ i ể m M và k ẻ qua M các ñườ ng th ẳ ng song song v ớ i các c ạ nh AB,AC,AD c ắ t các m ặ t (ACD), (ABD) và (ABC) t ạ i 111 C,B,A . Tìm v ị trí c ủ a M ñể th ể tích hình t ứ di ệ n 111 CBMA l ớ n nh ấ t. 5. THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN Câu 1 : Gi ả i BPT: x x xxxxxx 2 23234 1 ln)ln()1222ln( − ≤+−+−++ . Câu 2: Cho tam giác ABC ñề u. Tìm t ậ p h ợ p các ñ i ể m M n ằ m trong tam giác tho ả mãn h ệ th ứ c: 222 MCMBMA += . Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 6 Câu 3 : Cho 2 s ố th ự c d ươ ng x, y tho ả mãn: x + y =1. Tìm min c ủ a bi ể u th ứ c: A= xy yx 8 11 22 + + . Câu 4 : Cho dãy )( n x xác đị nh: 1 1 2 2 n n x x x + = = + (n >0). Tìm lim n x . Câu 5 : Cho tam giác đề u ABC c ạ nh b ằ ng 1. Trên dt (d) vng góc v ớ i mf (ABC) t ạ i A l ấ y đ i ể m M tu ỳ ý. G ọ i H là tr ự c tâm tam giác MBC. Khi M ch ạ y trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các đ a th ứ c P(x) tho ả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: V ớ i m ỗ i s ố t ự nhiên n, g ọ i P(n) là t ậ p h ợ p các s ố t ự nhiên k sao cho: 1 50750 + << nkn . Kí hi ệ u S là s ố ph ầ n t ử c ủ a P(n). CMR v ớ i m ỗ i s ố t ự nhiên n, ta có: S=2 ho ặ c S=3; và CMR t ồ n t ạ i vơ s ố s ố t ự nhiên k sao cho S = 3. 6 . KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 Bài 1: (5 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho PT x 2 + (m 2 - m)x - m 3 +1 = 0 có một nghiệm nguyên. b) Giải bất phương trình. Bài 2 : (5 điểm). a) Giải phương trình 4sin 2 5x - 4sin 2 x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. b) Cho các số thực x 1 ,x 2, … ,x n thỏa mãn sin 2 x 1 +2sin 2 x 2 +…+ nsin 2 x n = a, với n là số nguyên dương, a là số thực cho trước, ( 1) 0 2 n n a + ≤ ≤ . Xác đònh các giá trò của x 1 , x 2, … , x n sao cho tổng S = sin2x 1 +2sin2x 2 + … + nsin2x n đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a và n. Bài 3 : (4 điểm). a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 .Chứng minh : 6 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 3 . ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b + + ≥ + + + b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện cot (cot 2cot ) 2cot( ) cot . 2 2cot( ) cot 2 A A B A B B A B B + + = − + + Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Bài 4 : (2 điểm). Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’ và CC’ đồng qui tại điểm M. Gọi S 1 , S 2 và S 3 lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MCA, MAB và đặt ' ' ' , , . MA MB MC x y z MA MB MC = = = Chứng minh rằng: (y + -1) S 1 +(x + z-1)S 2 +(x + y -1)S 3 = 0. Bài 5 : (2 điểm). Cho dãy {u n } , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : . Tính u n và chứng minh rằng u 1 + u 2 +…+ u n . Bài 6: (2 điểm). Cho đa thức f(x)=x 3 + ax 2 + bx + b có ba nghiệm x 1 , x 2 , x 3 và đa thức g(x) = x 3 + bx 2 + bx + a. Tính tổng S = g(x 1 ) + g(x 2 ) + g(x 3 ) theo a, b. 2)12(log13)12(log 22 ≤+−++− xx 1 2 1 1 1 1 . 0 n n n n u u u u u + = + − = > ]) 2 1 (1[ 4 1 1− −+≥ n π Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 7 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1 : (5 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(3 điểm) + Biến đổi: x(x+m 2 ) -m(x+m 2 ) = -1. + (x+m 2 )(x-m) = -1. + (a) hoặc 2 1 (b) 1 x m x m + = − − = +Giải (a) m =1 hoặc m =-2. +Giải (b) vô nghiệm. +Vậy m =1 hoặc m =-2. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) + Biến đổi: (1) +Vì nên + +Vậy 2 1 2 1 log 2 3log 2 x + + ≤ ≤ 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2: (5 điểm). Câu Đáp án Điểm 21)12(log3)12(log 22 ≤−+++− xx BABA xx +≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log 22 ⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log 22 xx ⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log( 22 xx 3)12((log1 2 ≤+≤ x −=− =+ 1 1 2 mx mx Nguy ễ n V ă n Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 8 a)(2 điểm) Biến đổi 4sin 2 5x+1-sin 2 x+4sin5xcosx=3sin 2 x 4sin 2 5x+4sin5xcosx+cos 2 x=3sin 2 x (2sin5x+cosx) 2 =3sin 2 x Vậy nghiệm hoặc hoặc hoặc 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(3 điểm) + Biến đổi +Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có: +Dấu = xảõy ra khi hay hay 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 2 2 2 2 1 2 tan tan tan sin 2sin sin sin 2 0 n n i x x x x x n x x = = = + + + > )cos.sin cos2.sin2cos(sin2 2211 nn xnxnxxxxS +++= )cos cos2)(cossin sin2(sin2 2 2 2 1 22 2 2 1 2 nn xnxxxnxxS ++++++≤ )sin sin22sin1(2 2 2 2 1 2 n xnnxxaS −++−+−≤ )]sin sin2(sin) 21[(2 2 2 2 1 2 n xnxxnaS +++−+++≤ ] 2 )1( [2 a nn aS − + ≤ n n xn xn x x x x cos sin cos2 sin2 cos sin 2 2 1 1 === ≤≤ = + ==== π α α i n x a nn xxx 20 sin 2 )1( 2 21 ⇔±=+ xxx sin3cos5sin2 ⇔−±= xxx cos 2 1 sin 2 3 5sin ) 6 5 sin(5sin ) 6 sin(5sin π π −= −= xx xx 2 24 π π kx +−= 3 36 7 π π kx += 2 24 5 π π kx +−= 3 36 11 π π kx += Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 9 Vậy Max S= ( 1) 2 [ ] 2 n n a a + − khi 1 2 2 sin ( 1) 0 2 n x x x a n n α α π α = = = = = + ≤ ≤ 0.5 Bài 3: (4 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(2 điểm) p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 ( )( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( . . . ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c a + + + + + + + ≥ + + + ≥ + + + + + = + + + = + + + + = = + + ⇒ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 . 2 2 2 b c c a a b c a b a b c b c a c a b b c c a a b a b c + + ≥ = + + + + + + + + = ≥ = 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có +Biến đổi vế trái + + Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B Vậy tam giác ABC cân tại C. 0.5 0.5 0.5 0.5 . 3 4 =x 2 2 (cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( ) 2 2 A B A B A B A B + + + = ⇔ + = sin( ) 2sin( ) 2sin( ) cot cot sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( ) A B A B A B A B A B A B A B A B + + + + = = ≥ − − + − + 2 ( ) ( ) 4sin cos ( ) 2 2 cot cot 2cot ( ) 2 2sin 2 A B A B A B A B A B + + + + ≥ = + [...]... Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng, hợp lô gic khoa học vẫn cho điểm tối đa của phần đó 7 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 1995 Bài I Xét đư ng cong: y = mx3 − nx 2 − mx + n (C) Tìm các c p s (m; n) sao cho trong các giao đi m c a (C) v i tr c hồnh có hai giao đi m cách nhau 1995 đơn v và kho ng cách t tâm đ i x ng c a (C) đ n tr c hồnh là 2000 đơn v... ng minh HI ⊥ (SBC) c Tìm v trí S sao cho kho ng cách t I đ n (P) l n nh t Bài 3 Cho △ABC trên m t mp(P) Hãy d ng đi m M sao cho các góc ∠AMB = ∠BMC = ∠CMA = 900 Bài 4 Xét dãy s dương tăng a1 , a2 , , a1990 trong đó a1990 < 1 Hãy so sánh log 1 (a1 + a2 + + a1989 ) và log 1 (a1 + a2 + + a1990 ) 1989 ð thi HSG mơn Tốn 1990 Trang 33 Nguy n Văn Xá 35 THI HSG L P 11 HÀ N I VỊNG 2 (1989 – 1990) Bài 1 Ch... chéo nhau v i d1, và d chéo nhau v i d2, các đo n vng góc chung c a d và d1, c a d và d2 cùng b ng đ dài ℓ cho trư c 37 THI HSG L P 11 HÀ N I VỊNG 1 (1992 – 1993) ð thi HSG mơn Tốn Trang 34 Nguy n Văn Xá Bài 1 Cho P(x) = mcosx – sin2x + 2 Tìm m đ : 1 Phương trình P(x) = 0 có nghi m 2 B t phương trình P(x) ≥ 0 nghi m đúng v i m i x ∈ℝ Bài 2 Cho t di n đ u ABCD có các c nh b ng a Trên CD l y đi m M, đ t... x > x 2 2 thì sin 2 x.cos 2 x Bài 4 Xét dãy s g m 2n + 1 s t nhiên liên ti p sao cho t ng các bình phương c a n + 1 s h ng đ u b ng t ng các bình phương c a n s h ng còn l i H i có giá tr nào c a n sao cho trong dãy 2n + 1 s đó có m t s h ng b ng 1993 hay khơng, t i sao ? 39 THI HSG L P 12 QU C GIA 2008 ð thi HSG mơn Tốn Trang 35 ... đi m): Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng 1 Các đi n M, N l n lư t chuy n đ ng trên các đo n AB, AC sao cho m t ph ng (DMN) ln vng góc v i m t ph ng (ABC) ð t AM = x, AN = y 1 Cmr: m t ph ng (DMN) ln ch a m t đư ng ph ng c đ nh và x + y = 3xy 2 Xác đ nh v trí c a M, N đ di n tích tồn ph n t di n ADMN đ t giá tr nh nh t và l n nh t.Tính các giá tr đó 16 ð THI TH HSG VỊNG T NH L N 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM... ≤ 1 ( AB + BC + CA) 8 Câu 7 (2 đi m): ð t x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, v i a, b, c là các s ngun t Cho bi t x2 = y và hi u z − y là bình phương c a m t s ngun t Xác đ nh t t c giá tr c a a, b, c ð thi HSG mơn Tốn Trang 18 Nguy n Văn Xá 19 ð THI CH N H C SINH GI I B C PTTH TH A THI N HU NĂM H C 1999-2000 Bài 1: ( 2.5 đi m) Cho phương trình: x − 34x + a − (x − 1)(x − 33) = 1 a/ Gi... m đ i x ng v i M qua AB, BC Tìm t p h p các đi m M sao cho A, N, P th ng hàng 34 THI HSG L P 11 HÀ N I VỊNG 1 (1989 – 1990) Bài 1 Gi i phương trình cos1990 x − sin1990 x = 1 Bài 2 Xét △ABC trên m t mp(P) đã cho M t đư ng th ng d đi qua A và t o v i các đư ng th ng AB, BC, CA nh ng góc b ng nhau G i S là đi m trên d và khác A, g i H, I l n lư t là tr c tâm c a các tam giác ABC, SBC a Ch ng minh d ⊥... gi i h n khác 0 Bài IV x2 y 2 + = 1 v i tâm O và các tiêu đi m F1 , F2 Qua O, F1 v các đư ng song song a 2 b2 OM OM ' MOM', MF1N' Tính t s : F1 N F1 N ' Cho hình Elíp 8 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Bài I HÀ N I 1996 Cho dãy ( xn ) xác đ nh b i đi u ki n: x1 = a ; xn +1 − xn 2 + xn = 3 ; ( n = 1; 2; 3…) 4 Tìm giá tr c a a sao cho: x1996 = x1997 ð thi HSG mơn Tốn Trang 11 Nguy n Văn Xá Bài II Hàm s... (d) có phương trình: y = 3 17 x+ 4 12 1 Tìm đi m M(a; b) v i a, b ∈ Z sao cho kho ng cách t M t i (d) nh nh t và đ dài đo n OM ng n nh t 2 Cho đư ng tròn (C) tâm M(-2; 0) ti p xúc v i Oy Tìm t p h p tâm các đư ng tròn ti p xúc v i Ox và ti p xúc ngồi v i đư ng tròn (C) ð thi HSG mơn Tốn Trang 12 Nguy n Văn Xá 10 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Câu 1 (5 đi m): HÀ N I 1998 Cho h đư ng cong (Cm): y = x 3... Hãy tính đ dài c nh còn l i và đ l n các 4 góc c a t giác đó Bài 5 (4đi m): ð thi HSG mơn Tốn Trang 15 Nguy n Văn Xá Cho t di n ABCD DA = a, DB = b, DC = c đơi m t vng góc v i nhau M t đi m M tuỳ ý thu c kh i t di n 1.G i các góc t o b i tia DM v i DA, DB, DC là α , β , γ Cmr: sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 2.G i S A , S B , S C , S D l n lư t là di n tích các m t đ i di n v i đ nh A, B, C, D c . 2009 20092009 2009 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI 1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh. C ă n c ứ vào hình v ẽ ta có các giá tr ị a c ầ n tìm là : 06 <− , 1 0 < < a , 121 << a . 3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 . trị trên khoảng ( ; 5 π π ) ? BÀI 3: (4ñiểm) Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 2 Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị