PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP DỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG GÔM PHẦN LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỪ CƠ BẢN ĐỀN NÂNG CAO DÀNH CHO CÁC EM HỌC SINH LÀM TÀI LIỆU HỌC TẬP, QUÍ THẦY CÔ LÀM TÀI LIỆU THAM KHẢO, PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP DỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG GÔM PHẦN LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỪ CƠ BẢN ĐỀN NÂNG CAO DÀNH CHO CÁC EM HỌC SINH LÀM TÀI LIỆU HỌC TẬP, QUÍ THẦY CÔ LÀM TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP BIẾN HÌNH A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép biến hình quy tắc để điểm M mặt phẳng xác định điểm M � thuộc mặt phẳng Kí hiệu thuật ngữ: Gọi P tập hợp điểm mặt phẳng phép biến hình F : F :P �P M �M� FM - Điểm M �gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F , hay M điểm tạo ảnh điểm M � - Nếu hình H �( gồm điểm M �là ảnh M � ) gọi anh qua phép biến hình F - Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Tích hai phép biến hình Cho hai phép biến hình F G Gọi M điểm mặt phẳng M �là ảnh M qua F , �là ảnh M �qua G M� �là ảnh M tích hai phép biến hình F G Ký hiệu G.F Ta nói, M � � M� G F M Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang PHÉP TỊNH TIẾN A Lý thuyết Định nghĩa r uuuuur r v v Trong mặt phẳng cho vectơ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M �sao cho MM � r gọi phép tịnh tiến theo vectơ v r r Tvr v v Phép tịnh tiến theo vectơ kí hiệu là: , gọi vectơ tịnh tiến uuuuur r Tvr ( M ) M � � MM � v Ta có: Phép tịnh tiến theo vecto – khơng phép đồng ur v Tính chất: ur uuuuur uuuu r , N �thì M �� v N MN , từ suy Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M , N thành hai điểm M � u r N MN M �� v ur v Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, đường trịn thành đường trịn có bán kính STUDY TIP Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm Biểu thức tọa độ: r v a; b , M x; y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ �x ' x a r � v : Tvr ( M ) M' x '; y ' có biểu thức tọa độ: �y ' y b Khi phép tịnh tiến theo vectơ B CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TỊNH TIẾN Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất phép tịnh tiến Xác định ảnh điểm, hình qua phép tịnh tiến Tìm quĩ tích điểm thơng qua phép tịnh tiến Ứng dụng phép tịnh tiến vào tốn hình học khác Ví dụ 1: Kết luận sau sai? uuur r Tuuur (A) B Tur ( A) B � AB u A B AB uuu r uuuu r uur ( M ) N � AB MN T2 uAB T0r ( B) B C C Lời giải: Đáp án D uuuu r uuur uur ( M ) N � MN AB T2 uAB Ta có Vậy D sai STUDY TIP uuuuur r Tvr M M � � MM � v Định nghĩa phép tịnh tiến: r r T ( M ) M '; Tv ( N ) N ' Ví dụ 2: Giả sử v Mệnh đề sau sai? uuuuuur uuuu r uuuuur uuuur A M ' N ' MN B MM ' NN ' C MM ' NN ' D MNM ' N ' hình bình hành Lời giải: Đáp án D Theo tính chất phép tịnh tiến đáp án A, B, C MNM ' N ' khơng theo thứ tự đỉnh hình bình hành nên D sai Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng A Không Đáp án A d1 d2 cắt Có phép tịnh tiến biến B Một C Hai d1 thành d2 D Vô số Lời giải: Do phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nên d d khơng có phép tịnh tiến biến thành Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD tâm I Gọi M , N trung điểm AD, DC Phép tịnh tiến theo vectơ sau biến tam giác AMI thành INC uuuu r A AM uur B IN uuur C AC Lời giải: Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc uuuu r D MN Trang Đáp ánuuu Du r uur uur uuur ( AMI ) INC MN AI IC � TuMN Ta có Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD tâm I Kết luận sau sai? A uur ( D ) C TuAB B uuur ( B ) A TCD C Lời giải: TuAIur ( I ) C D TuIDur ( I ) B Đáp án D uur uur TuIDur ( I ) I� ' II ' ID I' D Ta có Vậy D sai Ví dụ 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép tịnh tiến theo hướng xác định C có tâm O đường kính AB Gọi tiếp tuyến C điểm A Ví dụ 7: Cho đường trịn uuu r Phép tịnh tiến theo vectơ AB biến thành: C song song với A Đường kính đường tròn C điểm B B Tiếp tuyến C song song với AB C Tiếp tuyến D Đường thẳng song song với qua O Lời giải: Đáp án B Tuuur � � � //, � Theo tính chất phép tịnh tiến nên AB tiếp tuyến đường tròn C điểm B O, R A thay đổi đường trịn đó, BD Ví dụ 8: Cho hai điểm B, C cố định đường tròn đường kính Khi quỹ tích trực tâm H ABC là: Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang A Đoạn thẳng nối từ A tới chân đường cao thuộc BC ABC B Cung tròn đường trịn đường kính BC O, R qua TuHAuur C Đường trịn tâm O�bán kính R ảnh O, R qua TuDCuuur D Đường trịn tâm O ' , bán kính R ảnh Lời giải: Đáp án D Kẻ đường kính BD � ADCH hình bình hành(Vì AD //CH AH //DC vng góc với umột uur đường uuur thẳng) uuu r A H � AH DC � TuDC O, R qua TuDCuuur Vậy H thuộc đường tròn tâm O ' , bán kính R ảnh C Khi Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , hai điểm A, B cố định, tâm I di động đường trịn quỹ tích trung điểm M cạnh DC : C� ảnh C C� ảnh C B đường tròn A đường tròn qua TuKIuur , K trung điểm BC qua TuKIuur , K trung điểm AB C đường thẳng BD D đường trịn tâm I bán kính ID Lời giải: Đáp án B Gọi K trung điểm AB � K cố định Tuuur I M � M � C � TuKIuur C Ta có KI DẠNG XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp Xác định ảnh điểm qua phép tịnh tiến - Sử dụng biểu thức tọa độ r Xác định ảnh �của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo véctơ v , B �tương ứng Đường thẳng �cần tìm Cách Chọn hai điểm A, B phân biệt , xác định ảnh A� , B� đường thẳng qua hai ảnh A� Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang Cách Án dụng tính chất phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng phương với Cách Sử dụng quỹ tích M x; y �, Tvr M M � ; y� x� M � �� Với � � x x a x x a � � � � � � Từ biểu thức tọa độ �y y b ta �y y b x, y phương trình ta phương trình � Xác định ảnh hình (đường trịn, elip, parabol…) M x; y Tr M M � ; y� x� M �thuộc ảnh ’ - Sử dụng quỹ tích: Với điểm thuộc hình , v hình - Với đường trịn: áp dụng tình chất phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính sử dụng quỹ tích A 3; 3 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm Tìm tọa độ diểm A�là ảnh A qua phép r v 1;3 tịnh tiến theo véctơ A A� 2; 6 B A� 2;0 C A� 4;0 D A� 2;0 Lời giải: Đáp án B �x x x r �x uuur r � �A� A v � �A� � A� 2;0 Tvr A A� x A�y A� � AA� v y A� y A� y A yvr � � Ta có STUDY TIP xa �x� � � Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: �y y b M� 4; , biết M �là ảnh M qua phép tịnh tiến Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm r v 1; 5 theo véctơ Tìm tọa độ điểm M A M 3;5 B M 3;7 C M 5;7 D M 5; 3 Lời giải: Đáp án C uuuuur r Tvr M M � xM �; yM � � MM � v Ta có: �xvr xM � xM �xM xM � xvr �x 5 �� �� � �M � M 5;7 �yM �yvr yM � yM �yM yM � yvr M� 3; M 5; Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm điểm r r v v tịnh tiến theo véctơ Tìm tọa độ véctơ r r r v 2;0 v 0; v 1;0 A B C Lời giải: Đáp án D Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc ảnh cảu M qua phép D r v 2;0 Trang �xr xM � xM �xvr r uuuuur r � �v �� � v 2;0 Tr M M � xM �; yM � � MM � v �yvr yM � yM �yvr Ta có: v r M 0; , N 2;1 v 1; Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm véctơ Ơ Phép tịnh r , N �tương ứng Tính độ dài M � N� tiến theo véctơ v biến M , N thành hai điểm M � N� A M � N� N� B M � C M � Lời giải: N� 3 D M � Đáp án A � Tvr M M � 2 � � MN M �� N 2 � Tr N N � Ta có �v STUDY TIP Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm Oxy , cho ABC biết A 2; , B 5;1 , C 1; 2 Phép tịnh tiến theo Ví dụ Trong u mặt uur phẳng tọa độ B C tương ứng điểm Tọa độ trọng tâm G�của A��� BC véctơ BC biến ABC thành A��� là: A G� 4; 2 B G� 4; C G� 4; 2 D G� 4; Lời giải: Đáp án A uuur G 2;1 BC 6; 3 ABC Ta có tọa độ trọng tâm ; u u u r �xG� xG xBC �xG � 4 uuuu r uuur � � �� � G� 4; 2 � uur G G � TuBC xG�; yG� � GG� BC �yG� yG yuBCuur �yG� 2 STUDY TIP BC Phép tịnh tiến biến trọng tâm G ABC thành trọng tâm G�của A��� Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đườn thẳng �là ảnh đường thẳng r : x y qua phép tịnh tiến theo véctơ v 1; 1 : x 2y A � : x y C � : x y 1 B � Lời giải: : x 2y D � Đáp án A Cách 1: A 1;0 � � Tvr A A� 2; 1 �� Chọn B 1;1 � � Tvr B B� 0;0 �� Chọn � đường thẳng �chính đường thẳng A�� B r A� 2; 1 n 1; � Đường thẳng qua có véctơ pháp tuyến có phương trình là: � :1 x y 1 � x y STUDY TIP Hai đường thẳng phương có hai véctơ pháp tuyến phương Cách Tvr � � � , hai đường thẳng phương nên �có dạng x y m Chọn A 1; � � Tvr A A� 2; 1 ��� m Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang : x 2y Vậy phương trình � Cách 3: Sử dụng quỹ tích M xM ; yM � � xM yM 1 Lấy x 1 1 �x� �x x� Tvr M M � ; y� x� ��� � � M � �M � �y yM �yM y Ta có 1 ta x� 1 y� 1 � x� y� Thay vào : x 2y Vậy � Nhận xét: Độc giả sử dụng cách tỏ có tính tư cao hơn, nhanh áp dụng cho nhiều loại hình khác C� ảnh cảu đường trịn Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm phương trình đường trịn r C : x y 2x y qua Tvr với v 1; A x 2 y2 2 C x y 2x B x 2 y2 D x y x 2 Lời giải: Đáp án B Cách 1: Theo tính chất phép tịnh tiến biến đường trịn thành đường trịn có bán kính C có tâm I 1; 2 , bán kính R Ta có: đường tròn Tr I I � 2;0 Suy ra: v C� có tâm I � 2;0 , bán kính R� R có phương trình: Vậy đường trịn x 2 y2 Cách 2: Sử dụng quỹ tích: M x; y � C � Tvr M M � ; y� x� Gọi x 1 1 �x� �x x� �� �� y2 2 �y� �y y� C , ta có: Thế x, y vào phương trình đường trịn 2 2 x� 1 y� x� 1 y� � x� y� x� C� : x 2 y2 Vậy Study Tip 2 x a y b R có tâm I a; b bán kính R Phương trình đường trịn x y 2ax 2by c có tâm I a; b bán kính R a b c Phương trình đường trịn r r y f x x3 3x v a; b v Ví dụ Cho vectơ cho tịnh tiến đồ thị theo vectơ ta nhận y g x x 3x x đồ thị hàm số Tính P a b A P B P 1 D P 3 C P Lời giải: Đáp án A g x f x a b � x 3x x � b x a x a 1� � � Từ giả thiết ta có: Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang � x x x x3 3ax a 1 x a 3a b �a � P ab 3 � b � Đồng thức ta được: Study Tip Đồng thức đa thức � hệ số đa thức tương ứng A 5; C 1;0 B Tur A , C Tvr B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm , Biết r r Tr r Tìm tọa độ vectơ u v để thực phép tịnh tiến u v biến điểm A thành điểm C A 6; B 2; 4 C 4; 2 D 4; Lời giải: Đáp án C uuu r r Tur A B � AB u Ta có: uuur r Tvr B C � BC v uuur uuu r uuur r r Mà AC AB BC u uuvur r r Tr r A C � AC u v 4; 2 Do đó: u v Study Tip Ta có sơ đồ tổng quát: A 2;1 Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành OABC với điểm , điểm B thuộc đường thẳng : x y Tìm quỹ tích đỉnh C ? A Là đường thẳng có phương trình x y 10 B Là đường thẳng có phương trình x y C Là đường thẳng có phương trình x y 2 D Là đường trịn có phương trình x y x y Đáp án A Lời giải: T B C Vì OABC hình bình hành nên Vậy quỹ tích điểm C đường thẳng ' song song với Ta tìm phương trình ' : x y 10 uuur AO Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x y Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ r v có giá song song với Oy biến d thành d ' qua A 1;1 r r r r v 0;5 v 1; 5 v 2; 3 v 0; 5 A B C D Đáp án D Lời giải: Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang r r � v 0; k , k �0 Oy Véc tơ v có giá song song với �x ' x M x; y �d � Tvr M M ' x '; y' � � �y ' y k Gọi A 1;1 Thế vào phương trình d � d ' : x ' y´k mà d ' qua nên k 5 Ví dụ 12 Ví dụ 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : x y r d' : x y Tìm tọa độ v có phương vng góc với d Tvr biến đường thẳng d thành d ' r �6 � v� ; � �13 13 � A Đáp án D r �1 � v� ; � �13 13 � B r �16 24 � v� ; � �13 13 � C r � 16 24 � v� ; � 13 13 � � D Lời giải: �x x ' a r �� Tr M M ' x '; y' �d ' �y y ' b v a; b Gọi , ta có v Thế vào phương trình đường thẳng d : x ' y ' 2a 3b 2a 3b 5 � 2a 3b 8 1 r r r rr u 3; u v � u.v � 3a 2b d Véc tơ phương Do 16 24 a ;b 1 2 13 13 Giải hệ ta Từ giả thiết suy 2 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG CÁC BÀI TỐN KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Câu 1: Có phép tịnh tiến biến đường thẳng thành nó? A Câu 2: C D Vô số Có phép tịnh tiến biến đường trịn thành nó? A Câu 3: B B C D Vô số Có phép tịnh tiến biến hình vng thành nó? A B C D Vô số Câu 4: Phép tịnh tiến không bảo toàn yếu tố sau đây? Câu 5: A Khoảng cách hai điểm B Thứ tự ba điểm thẳng hàng C Tọa độ điểm D Diện tích r r r r � T A A , Tv B B� v �0 Với hai điểm A, B phân biệt v với Mệnh đề sau đúng? uuuur r B v A A�� Câu 6: uuu r r C AB v uuuur uuu r r B AB D A�� d d Cho hai đường thẳng song song với Có phép tịnh tiến theo vectơ r r v �0 biến d1 thành d ? A Câu 7: uuuur uuu r B AB B A�� B C D Vô số Tuuur uuur Cho hình bình hành ABCD Phép tịnh tiến AB AD biến điểm A thành điểm nào? Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 10 C Câu 8: S A��� BC D Chu vi BC chu vi A��� ABCD AB / / CD Đáy lớn AB , đáy nhỏ CD Gọi I ugiao uur điểm uuu r hai đường chéo J giao điểm hai cạnh bên Phép biến hình AB thành CD phép vị tự nào? Cho hình thang V� � A Câu 9: ABC �I, � �2� V� � B J, � � � 2� V� C 1� I, � � � 2� V� D 1� J, � � � 2� O; R điểm A cố định đường tròn BC dây cung di động BC có độ dài khơng đổi 2a a R Gọi M trung điểm BC Khi tập hợp trọng tâm G ABC là: Cho đường tròn G V� A G V� B M , tập hợp đường thẳng M 1� �A, � � 3� G V� D , tập hợp đường tròn 1� O, � � � 2� G V� C M 2� �A, � � 3� , tập hợp đường tròn M 2� B, � � � 3� Câu 10: Cho đường tròn , tập hợp đường thẳng O; R O� tiếp xúc với đường tròn O đường kính AB Một đường trịn O; R I Tính độ dài đoạn AI đoạn AB C D Đường thẳng CD cắt A R C R B R D R ; R� O; R O� tiếp xúc A R R� Đường kính qua A cắt Câu 11: Cho hai đường tròn ; R� O; R B cắt O� C Một đường thẳng di động qua A cắt O; R M cắt ; R� O� N Gọi I giao điểm BN CM Mệnh đề sau đúng? A Tập hợp điểm I đường tròn: B Tập hợp điểm I đường tròn: C Tập hợp điểm I đường tròn: D Tập hợp điểm I đường tròn: � O� V�C , O, R � O� V� O, R � R� � � � � R R� � R C, � � � R R� � � O� V� O, R R� � M, � � � R R� � � O� V�M, O, R R � � � � R R� � DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A 1; 3 Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh A�của điểm qua phép vị tự tâm O tỉ số 2 Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 67 A Câu 2: B A� 1;3 C A� 2;6 D A� 2; 6 A 1; I 3; 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Tìm ảnh A�của A qua phép vị tự tâm tỉ k số A� A� A� 1;5 5; 1 1;5 B C D P 3; , Q 1;1 , R 2; 4 , Q� , R�lần lượt ảnh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Gọi P� k P, Q, R qua phép vị tự tâm O tỉ số Q R là: Khi tọa độ trọng tâm tam giác P��� A Câu 3: A� 2;6 A� 3; �1 � �; � A �9 � Câu 4: � 1� �2 � �2 � 0; � � � ; � � ;0 � 3 � � � � B C D �9 � A 0;3 , B 2; 1 , C 1;5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C Khi giá trị k là: k B k 1 C D k A 0;3 , B 2; 1 , C 1;5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C Khi giá trị k là: A Câu 5: k A k Câu 6: B k 1 C k D k �� d : x y 0, I 1; Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Tìm ảnh d �của d qua phép vị tự tâm I tỉ số k 2 x A x y Câu 7: B 2 x y C x y D Oxy , d : x y Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng Tìm ảnh d �của d qua phép k vị tự tâm O tỉ số A 3x y Câu 8: C x y 15 D x y !0 x y d : 1 Oxy , : x y Phép vị Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d � V d d� tự O ,k Tìm k A Câu 9: y20 k B 3x y 10 k k C D 2 C� C : x 1 y Oxy , Trong mặt phẳng tìm ảnh đường trịn đường tròn qua k phép vị tự tâm tỉ số A C B k C� : x 2 C� : x 2 y 10 y 4 20 B C� : x 2 y 10 C �: x y D 2 C : x 3 y 1 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C� đường tròn C qua phép vị tự tâm I 1; tỉ số k 2 Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc 2 20 Tìm ảnh đường trịn Trang 68 2 A x y x 16 y 2 x 3 y 20 C 2 B x y x !6 y 2 x 3 y 20 D 2 C1 : x 1 y 3 hai đường tròn ; Oxy , Câu 11: Trong mặt phẳng cho 2 C2 : x y 3 Tìm tâm vị tự ngồi hai đường trịn 1; 3 D 2 C : x 3 y 3 Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn đường tròn 2 C2 : x 10 y Tìm tâm vị tự biến C thành C � A 2;3 B 2;3 C 3; 2 13 � �36 27 � � �32 24 � � ; � � ;5 � � ; � 5 � � � � A B C �5 � D D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất ứng dụng phép vị tự Câu 1: Đáp án D � 13 � 5; � � � 2� Câu 2: Đáp án D Câu 3: Đáp án A Câu 4: Theo tính chất phépv ị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng nhay, khơng có trường hợp d cắt d � Đáp án B Câu 5: Đáp án B Câu 6: Đáp án A Câu 7: uuuuur uuuuur � �� O M k O M1 Lấy điểm M bất kỳ: và uuur uuuu r � � V � O I kO O F M M � O ; k O qua phép hợp I Khi phép hợp thành Gọi uuuuur làuuảnh r ucủa uuu r uu ur uuuu r uuuur uuuur uuuu r MM OI OO� O� I 1 k� OO� IM k � OM k.k � OM Khi nên:r uuuu r � � u k OO Vậy F phép tịnh tiến theo vectơ Đáp án B V O ;k M M V� B B� � AB� 3� �A; � � 2� uuuur uuuu r V O�� M M � OM kOM ;k 3 AB 9;V� � C C � � AC � AC 12 � B �� C 92 122 15 2 �A; � � 2� Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 69 Câu 8: Đáp án C Câu 9: Ta có uur r uur AB 1 uu uur ;V� � A C � IC IA;V� � B D � ID IB I, � CD � 2 �I , � � 2� � 2� uur uur r uur uuur uu uuur � IC ID IA IB � CD AB 2 Đáp án A OM BC � OM R a � M � O; R a Ta có: uuur uuuu r AG AM � G V� � M �A, � � 3� Ta có: Khi M O; di động đường tròn O đường tròn R2 a2 O� ảnh G chạy đường tròn V� qua phép vị tự 2� �A, � � 3� Câu 10: Đáp án B V� Ta có: V� O O�� CO� R� � C, � � � R� I D � CD R� � C, � � � R� R� CI R R� CO R 1 2 Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 70 1 Từ Câu 11: Đáp án A 2 � CD� CO � OI�O� D � OI AB � I CD CI điểm cung AB M I V� Ta dự đoán O1 V� CI CI � C; � � � CM � O O � I nằm đường tròn mà M nắm đường tròn � C; � � � CM � CI Ta cần chứng minh CM theo R R� CM CI IM IM IM IB BM AB R CI R� 1 � CI CI mà CI IN CN AC R� CM R R� Ta có CI M I � V� R� � C, � � � R R �� DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG QUA PHÉ VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Câu 1: Đáp án C uuur uuu r V O ;2 A A� � OA� 2OA � A� 2; Câu 2: Đáp án D Câu 3: uur uu r 3 �x� V I ,2 A A� � IA� IA � � � A 1;5 1 �y� Đáp án B V� ;V� � Q Q � ;V� � R R � � P P� O , O, 1� O , � � � 3� � � � 3� � � � 3� tọa độ Câu 4: � 2 � � �1 1� � � 4� � 1� P� 1; � ;Q � ; � ;R � ; � 0; � � � ��� � � � 3 � � 3 � Nên tọa độ trọng tâm P Q R � � Đáp án A Câu 5: uuur uuu r 1 k � V A,k B C � AC k AB � � �k k 4 � Giả sử Đáp án D Câu 6: � uuur uuur k.4 �k � V A,k B C � AC k AB � � �� � k � � �k 1 không thỏa mãn � k �� Giả sử Đáp án C V I , 2 d d � � d�d � nên d �có dạng x y c Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 71 điểm 5 �x� M 2;0 �d � V I ;2 M M � x; y �d �� � �y ' 2 Chọn điểm � d :10 c � c : 2x y Vậy d � Câu 7: Đáp án D Câu 8: : x y 10 Tương tự câu � d � Đáp án A vào d : x y � d�d � Câu 9: 2k �x� M 2;0 �d � V O ,k M M � ; y� x� � �� �y Chọn M� �d � � 2.2k � k Do Đáp án C C I 1; 2 bán kính R 2 �x� � V O ,2 I I � ; y� x� � �� � I � 2; R� k R �y Bán kính 2 : x y 20 � đường tròn C � Câu 10: Đáp án C Đường trịn có tâm uur uu r �x� 3 I 8;1 : V I ,2 J J � x� ; y� � IJ � 2 IJ � � � J� 3;8 C � y � Đường trịn có tâm 2 R� k R2 5� C �: x 3 y 20 Bán kính phương trình Câu 11: Đáp án A C1 C Đường trịn Đường trịn có tâm I1 1;3 bán kính R1 I 4;3 có tâm bán kính R2 I Gọi tâm vị tự uur uur R2 V I ,k C1 C2 � V I ,k I1 I , k � II II1 � I 2;3 R1 Câu 12: Đáp án A phép vị tự C có tâm I 3;3 bán kính R C� có tâm I � 10;7 bán kính R� Đường tròn Đường tròn �� I I� ,R R� tỉ số vị tự uuuu r uuur V O1 ,k I I � � O1 I � kO1I k với � � 36 x 10 x 3 x � � � � �� �� �x y 3 �y 27 � � O1 x; y Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc tâm vị tự Trang 72 �36 27 � O1 � ; � Vậy �5 � Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 73 PHÉP ĐỒNG DẠNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa k k 0 Một phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số với hai điểm M , N ảnh M� , N �tương ứng ln có M �� N kMN Nhận xét: - Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k k - Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số - Nếu thực liên tiếp hai phép đồng dạng ta phép đồng dạng Tinh chất Phép đồng dạng tỉ số k : a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toán thứ tự chúng b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc k R d) Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính STUDY TIP B C biến trọng tâm, trực tâm, a) Nếu phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác A��� BC tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC thành tương ứng tam giác A��� b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, cạnh thành cạnh Hình đồng dạng Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình B CÁC DẠNG BÀI TỐN VỀ PHÉP ĐỒNG DẠNG Ví dụ 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hai đường thẳng ln đồng dạng B Hai đường trịn ln đồng dạng C Hai hình vng ln đồng dạng D Hai hình chữ nhật ln đồng dạng Đáp án D Lời giải: Với hai hình chữ nhật ta chọn cặp cạnh tương ứng tỉ lệ chúng chưa đã Vì khơng phải lúc tồn phép đồng dạng biến hình chữ nhật thành hình chữ nhật Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I Gọi H , K , L, J trung điểm AD, BC , KC , IC Tứ giác IHCD đồng dạng với tứ giác sau đây? A JLKI Đáp án A B ILJH C JLBA D ALJH Lời giải: Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 74 Tứ giác IHDC hình thang vng Ta thấy IHDC đồng dạng với JLKI theo tỉ số Ví dụ 3: Mệnh đề sau đúng? A Phép đồng dạng tỉ số B Phép đồng dạng tỉ số C Phép đồng dạng tỉ số D Phép đồng dạng tỉ số Đáp án A k phép dời hình k 1 phép đối xứng tâm k phép tịnh tiến k phép vị tự tỉ số k Lời giải: k Khi phép đồng dạng bảo tồn khoảng cách nên phép dời hình Ví dụ 4: Cho ABC có đường cao AH , H nằm BC Biết AH 4, HB 2, HC Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F hình thành hai phép biến hình nào? k H phép vị tự tâm H tỉ số A Phép đối xứng tâm u uu r B Phép tịnh tiến theo BA phép vị tự tâm H tỉ số k HB, HA C Phép vị tự tâm H tỉ số k phép quay tâm H góc quay góc D Phép vị tự tâm H tỉ số k phép đối xứng trục Đáp án C Lời giải: Ta có V H ,2 Q H ; với HB, HA biến B thành A A thành C , F phép đồng V Q dạng hợp thành H ,2 H ; biến HBA thành HAC M 2; Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm Hỏi phép đồng dạng có cách thực k phép quay tâm O góc quay 90�se biến điểm M liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số thành điểm sau đây? 2; 1 A Đáp án A Ta có B 2;1 C 1; D 1; Lời giải: uuuur uuuu r V� � M M � x� ; y� � OM � OM � M � 2; 1 O; � � � 2� � y� 2 �x� � � � � Q O;90� M � ; y� �M� M� x� � �� 2; 1 x� 1 �y � Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 75 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y thỏa mãn phép đồng dạng có cách thực llieen tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 2 phép đối xứng trục Oy se biến đường thẳng d thành đường thẳng sau đây? B x y A 2 x y C x y D x y Đáp án A Lời giải: V d d �� d �Pd Ta có: O ;2 � d �có dạng: x y c Chọn N 1; �d : V O ;2 N N � 2; 4 �d �� 4 c � c : 2x y + phương trình đường thẳng d � � d� d� Qua phép đối xứng trục Oy : Đ oy Suy phương trình ảnh �cần tìm là: 2 x y d� C : x 2 y 2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn Hỏi phép đồng dạng có k phép quay tâm O góc quay cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 900 se biến C thành đường tròn sau đây? x 2 A y 2 x 1 B y 1 x y 1 x 1 y 1 C D Đáp án D 2 Lời giải: V� C C � C� I �1;1 1 nên đường tròn có tâm bán kính R� � Q O ;900 C � C� � � � ; y� x� xác định � tâm I � Ta lại có có bán kính R� � y� 1 �x� � � I� 1;1 � � x� 1 �y� Gọi 1� O; � � � 2� Vậy phương trình đường trịn � C� là: x 1 y 1 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1: Mệnh đề sau đúng? A Phép dời hình phép đồng dạng, tỉ số k 1 B Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng với tỉ số k k C Phép vị tự tỉ số k �0 phép đồng dạng tỉ số D Phép đồng dạng phép dời hình với k �0 Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 76 I “ Mỗi phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số k ” II “ Mỗi phép đồng dạng phép dời hình” III “ Thực liên tiếp hai phép đồng dạng ta phép đồng dạng” A Chỉ I Câu 3: B Chỉ II A1 B1C1 tam giác B C A1 B1C1 tam giác vuông B1 CÂU 5: D A1 B1C1 tam giác vuông C1 B Đường trịn tâm C bán kính CA C Đường trịn tâm D bán kính DC D Đường trịn tâm A bán kính AC I; R I� ; 2R Cho hai đường tròn tiếp xúc O d đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn O Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k , Đ phép đối xứng qua đường V I; R thẳng d , F phép hợp thành Đd O;k Với giá trị k F biến I� ; 2R thành ? B k 2 C k D k , B� , C� , D�theo thứ Cho hình vng ABCD tâm O (điểm đặt theo chiều kim đồng hồ) A� tự trung điểm AB, BC , CD, DA Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số k Q phép quay tâm O góc quay Phép biến hình F xác định hợp thành liên tiếp phép D là: quay phép vị tự Khi qua F ảnh đoạn thẳng B�� C B Đoạn A�� C Đoạn CA D Đoạn BD uur uur r Cho hình bình hành ABCD tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA IB Gọi G trọng tâm ABD F phép đồng dạng biến AGI thành COD Khi F hợp hai phép biến hình nào? uuur V GD A Phép tịnh tiến theo phép B ;1 V� C Phép CÂU 8: tam giác cân A Đường tròn tâm D bán kính DB B� A Đoạn D� CÂU 7: A1B1C1 AB, AC Cho hình chữ nhật ABCD AC AB Gọi Q phép quay tâm A góc quay V phép vị tự tâm A tỉ số 2, F phép hợp thành V Q F biến đường trịn tâm B bán kính BA thành đường tròn sau đây? A k CÂU 6: D Cả I III ABC Giả sử phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác 1 Giả sử F biến trung tuyến AM ABC thành đường cao A1M A1 B1C1 Mệnh đề sau đúng? A Câu 4: C Chỉ III 3� �A; � � 2� phép Q O ;1080 Q G ;1080 B Phép phép V� D Phép 3� �A; � � 2� phép V� 1� �B ; � � 2� Q G ;1080 Phép đồng dạng với tỉ số k hình hình ban đầu? Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 77 A Câu 9: B C D Phóng to hình chữ nhật kích thước theo phép đồng dạng tỉ số k hình có diện tích là: A 60 đơn vị diện tích B 180 đơn vị diện tích C 120 đơn vị diện tích D 20 đơn vị diện tích B C đồng dạng với theo tỉ số k Chọn câu sai: Câu 10: Cho ABC A��� A k tỉ số hai trung tuyến tương ứng B k tỉ số hai đường cao tương ứng C k tỉ số hai góc tương ứng D k tỉ số hai bán kính đường trịn ngoại tiếp tương ứng Câu 11: Cho hình vng ABCD , P thuộc cạnh AB , H chân đường vng góc hạ từ B đến PC Phép đồng dạng viến BHC thành PHB Khi ảnh B D là: Q Q �BC ; BQ BH A P Q Q �BC ; BQ BH B C Q Q �BC ; BQ BH C H D P C Câu 12: Mệnh đề sau đúng? A Mọi phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với B Mọi phép đồng dạng biến hình vng thành hình vng C Tồn phép đồng dạng biến hình chữ nhật (khơng phải hình vng) thành hình vng D Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác có diện tích M 1; Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm Phép đồng dạng hợp thành phép vị tự tâm I 1; tỉ số k phép quay tâm O góc quay se biến M thành điểm có tọa độ: A 2; 1 B 2 2; C 2; 2 D 2 2; Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x y Phép đồng dạng phép thực I 1; 2 liên tiếp qua phép vị tự tâm tỉ số k phép quay tâm O góc quay se biến đường thẳng d thành đường thẳng sau đây? A x y B x y C x y D x y M 0;1 Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm Phép đồng dạng phép thực liên tiếp I 4; qua phép vị tự tâm tỉ số k 3 phép đối xứng qua trục d : x y se biến M thành điểm sau đây? A 16;5 B 14;9 Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc C 12;13 D 18;1 Trang 78 C : x 1 y Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn Phép đồng dạng phép thực liên tiếp qua phép vị tự tâm O tỉ số k 2 phép quay tâm O góc quay 180 se biến đường tròn C thành đường tròn sau đây? ( O gốc tọa độ) 2 A x y x y C x 2 2 y 16 2 B x y x y D x 2 y 16 C : x 1 y Câu 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn Phép đồng dạng r k v I 1; 1 phép tịnh tiến theo 3; phép thực liên tiếp qua phép vị tự tâm tỉ số C se biến đường trịn thành đường trịn có phương trình: x 4 A x 4 C y 4 x 4 B y 4 y 4 x 1 D y2 2 D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Đáp án C Câu 2: Đáp án C Câu 3: Đáp án D Câu 4: AM A B C AM Theo tính chất phép đồng dạng 1 đường trung tuyến 1 , theo giả thiết 1 lại đường cao nên A1 B1C1 tam giác cân A1 Vì ABC cân A Đáp án B V A;2 B B1 ; Q A; B1 C V A;2 B BA biến đường trịn tâm B bán kính BA thành đường trịn tâm bán kính Q Qua A; biến đường trịn tâm B1 bán kính B1 A thành đường trịn tâm C bán kính CA Qua Câu 5: Đáp án A Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 79 Vậy k I I ;V I I � Câu Ta có: Đ d Đáp án C Q� O ;2 � O; � � D B1 , D1 nằm đường thẳng qua AC , D�thành B1 , D1 : B1D1 B�� Ta có: � � biến B� V O ; B1 B2 ;V O ; D1 D2 � OB2 2OB1 , OD2 2OD1 � B2 D2 B1D1 B �� D AC Câu Đáp án C V� - Phép Câu AGI AOB 3� �A; � � 2� Q O;1800 AOB COD - Phép Đáp án A Đáp án B Qua phép đồng dạng tỉ số k ta cạnh tương ứng hình chữ nhật 12 15 � Diện tích hình chữ nhật ảnh là: 12.15 = 180 Câu 10 Đáp án C Câu 11 Đáp án A Câu 12 Đáp án B Câu 13 Đáp án B uuuu r uuur �x� 3 V I ;2 M M � x; y � IM � 2IM � � � � M � 3; 1 �y 1 Ta có: Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 80 � � �x� � � � � � � � � Q� � M M x ; y � � O; � � �y� � 4� � � � Câu 14 Đáp án C Ta có: 2 2 �2 2; � M� 2 V I ;3 d d � � d� Pd � d � có dạng: x y c M 2; 1 �d � V I ;3 M M � ; y� x� �M� 4;1 �d �� c � c 6 Chọn � d� : x 2y 6 Q� Có � d� d� � O; � � � 4� N x� ; y� �d �� Q� Gọi � � y �x y� �x� �� � �y x �y x� � � � ; y� N� N� x� � �� � � O; � � � 2� � � � : y� x� 6 Thế vào phương trình d � � : 2x y Vậy phương trình d � Câu 15 Đáp án C uuuu r uuur V I ;3 M M � x; y � IM � 3IM � M � 16;5 Ta có: � � � M� ; y� M� x� � d trung trực M � �có dạng: x y c qua M� �� M � M� Đd M� � c 37 � M �� M� : x y 37 � M� Gọi H trung điểm M � �2 x y 37 � � H 14;9 � M � 12;13 � � tọa độ H nghiệm hệ �x y Câu 16 Đáp án D C J 1; Đường trịn có tâm bán kính R V O ;2 J J1 x� ; y� � J1 2; 4 , bán kính R1 R 2 � Phương trình C1 : x y 16 � � Q O;1800 J1 J x� ; y� � J 2; , bán kính R2 R1 2 x y 16 Vậy phương trình đường trịn cẩn tìm là: Câu 17 Đáp án B J 1; có tâm bán kính R uur ur V� � J J1 � IJ1 IJ � J1 1;0 , R1 R 3 �I ; � � 3� uuuur r Tvr J1 J � J1 J v � J 4; , bán kính R2 V� � 2 �I ; � Tvr x 4 y 4 3� � Vậy đường tròn ảnh qua hai phép là: Đường tròn C Biên soạn sưu tầm: Đào Duy Phúc Trang 81 ... sai Ví dụ 6: Trong đối tượng: cá (hình A), bướm (hình B), mèo (hình C), ngựa (hình D), hình có phép tịnh tiến? A B C D Lời giải: Đáp án D Trong hình D đối tượng ngựa ảnh ngựa qua phép tịnh tiến... tâm đối xứng hình A, B, C , D Khi thực phép quay tâm I góc quay 180� hình phép đồng nhất? A B C D Lời giải: Đáp án C Từ hình C ta có qua phép Q I ,180� ta ln hình Ví dụ 9: Cho hình vng ABCD... A B' I A' A' O' Tâm đối xứng hình Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành Khi H gọi hình có tâm đối xứng Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho I x0;