Chuyên đề tìm max, min 2

doky07031977@gmail.com CHUYÊN ĐỀ TÌM MAX, MIN HÀM PHÂN THỨC LỚP TỬ LÀ NHỊ THỨC BẬC NHẤT, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI VÔ NGHIỆM (LUÔN DƯƠNG HOẶC LUÔN ÂM) Các thầy cô em học sinh thân mến, tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức có nhiều pp khác nhau: pp đánh giá dựa vào các tính chất đặc biệt; sử dụng điều kiện có nghiệm PT x  a quen pham vi toán lớp 8; sử dụng pp dồn tổng với phạm vi tốn 9, tốn 10 ta sử dụng điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai; BĐT AM-GM, BĐT B-C-S, bổ đề quen thuộc; tốn 12 ta dùng cơng cụ đạo hàm, casio, Trong phạm vi toán với tốn tìm GTLN, GTNN dạng phân thức găp số dạng đơn giản dễ giải dạng 1, dạng nội dung đây, ngược lại gặp trở ngại định hướng dạng 3(Tử nhị thức bậc mẫu đa thức bậc hai dương (luôn âm)), không câu hỏi sao? sao? việc tiếp cận lời giải; viết chuyên đề với hiểu biết cá nhân mong hy vọng thầy cô em trao đổi hồn thiện, hy vọng góp sức để tìm pp chung cho tốn mà tơi đề cập chuyên đề Với khả hạn chế , việc trình bày cịn nhiều thiếu xót mong thầy cô em cảm thông Xin cảm ơn mong góp ý từ phía thầy em học sinh thân yêu NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN: Cho hàm số y  f (x) xác định K: + số M GTLN y  f (x) � f (x) �Mx�K � x0 �K : f (x0)  M � Kí hiệu: Max(f(x)) =M � x  x0 � f (x) �mx�K � x �K : f (x0 )  m y  f ( x ) + số m GTNN � Kí hiệu: Min(f(x)) =m � x  x0 CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP: 2.1 A(x) hàm đa thức: + PP: dùng pp tam thức bậc hai(pp dồn tổng): doky07031977@gmail.com 2n A( X ) �A Υ� k(n �*; , k �) (X) , đó: � u�� 0: A( X )  �A2n( X )  k �kx � Max( A)  k � A(x)  �Neá � u�� 0: A( X )  �A2n( X )  k �kx � Min( A)  k � A(x)  �Neá VD : A  x2  4x  1 (x2  4x  4)   (x  2)2  �3x � Min( A)  3 � (x  2)2  � x  * Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus Fx580 Vnx để tìm điểm rơi: VD1: Tìm Min A  x  4x  Bước Chế độ hình: Bước Vào SHIPT + MODE + REPLAY: chọn + chọn Bước Vào MODE chọn 7: TABLE nhập biểu thức x  4x  1, nhấn = Bước Nhập giá trị ban đầu(Start) -10, giá trị kết thúc (End) 10, bước nhả(Step) ? Ở bạn ý GTLN,GTNN biểu thức thường đạt giá trị biến thường từ -10 đến 10 mà số lớn doky07031977@gmail.com Bước Các bạn thấy GTNN f(x) = -3 ứng với x = Như ta có mẹo thêm bớt sau: 2 Thêm vào bớt biểu thức A = x  4x  ,ta được: A = ( x  4x  1+3) – (Chú ý GTNN -3 nên ta tách riêng -3 thành nhóm) 2 Do A = (x  4x  4)   (x  2)  �3x Suy Min(A)  3 � x  2.2 A(x) hàm phân thức hữu tỉ thông dụng: Dạng 1: Tử thức số, mẫu thức đa thức bậc hai dương (luôn âm): +PP: B.1 Dùng pp tam thức bậc hai đánh giá mẫu theo 2.1 B.2 Sử dụng tính chất BĐT đánh giá nghịch đảo bước tìm max, A(x) VD: A 4x2  4x  2 B.1 4x  4x   (4x  4x  4)  1 (x  2)  1�1x  x (x  2)2  Vậy Max(A) = � x  doky07031977@gmail.com Dạng 2: Tử mẫu đa thức bậc hai: *TH1 mẫu đa thức bậc hai dương (luôn âm): 3x2  14 3x2  6x  10 A B x 4 ; x  2x  Bài tốn tìm max: Cách 1: 3x2  14 k(x2  4)  m A  x  x2  B.1 Viết : 2 B.2 Sử dụng phép đồng tìm k, m từ 3x  14  k(x  4)  m k=3, m=2 B.3 Viết lại A với k, m vừa tìm B.2 đánh giá tìm max(A): 3x2  14 3(x2  4)  2 A   3 �3  3,5 x 4 x 4 x 4 � max(A)  3,5 � x  Cách 2: Sử dụng phép chia đa thức biến đánh giá 3x2  14 A  3 �3   3,5 x 4 x 4 � max(A)  3,5 � x  Cách 3: Sử dụng điều kiện có nghiệm pt quen thuộc x  a 3x2  14 A 2 x  Gọi a giá trị max, mà A đạt được, PT (a  3)x  4a  14  (1) phải có nghiệm + a �3 ta có �� a 3,5 x2  14  4a 14  4a �0 a  (2) có nghiệm a  doky07031977@gmail.com Vậy max(A)=3,5 x=0 * Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus Fx580 Vnx để tìm điểm rơi: VD2: Tìm Max biểu thức A 3x2  14 x2  Bước 1: làm VD Bước 2: làm VD 3x2  14 Bước Bước Vào MODE chọn 7: TABLE nhập biểu thức x  , nhấn = Bước làm VD1 Bước Các bạn thấy GTLN f(x) = ứng với x = Như ta có mẹo thêm bớt sau: �3x2  14 � 7 x2 7 A �  �   � x 2 2 x  2( x  4) � � Thêm vào bớt vào A giá trị , ta được: Suy Max(A)  � x  doky07031977@gmail.com *TH2 mẫu đa thức bậc hai có nghiệm kép khuyết b c: VD3 B 4x2  2x  x2 HD: 4x2  2x  1 B  4  t  ,t �0 2 x x Đặt x x C.1: Do x �0chia tử mẫu cho x : : B  t2  2t   (t  1)2  �3t , Min(B) = , t=1, x=1 C.2: làm C.2 VD1 với PT: (a  4)x  2x  1 +) TH.1: với a  , ta có x +) TH.1: với a �4 , ta có PT: � � a x  � � � a  � (a  4) ĐK có nghiệm: a �۳ a Min(B) = , x=1 4x2  2x  B x2 VD3: Tìm Min (B): HD: bước hoàn toàn tương tự trên, bạn tìm thấy Min (B) =3, x =1 Vậy bạn có hướng thêm bớt đơn vị vào B: �4x2  2x  �  x  1  �3x �0 x2  2x  B�      � x2 x2 x2 � � Suy Min (B)=3, x= Dạng 3: Tử nhị thức bậc mẫu đa thức bậc hai dương (luôn âm): B ax  b (a,m�0) x2 �m2 doky07031977@gmail.com PP tổng quát: +) Tìm Min(B): ax  b k(x2 �c2 )  (dx  e)2 B 2  x c x2  c2 B.1 Viết B.2 Sử dụng PP đồng thức tìm hệ số k,d,e ax  b (dx  e)2 e B  2  k  2 �kx � Min(B)  k � (dx  e)2  � x   d x c x c B.3 +) Tìm Max(B): ax  b k(x2 �c2 )  (dx  e)2 B 2  x c x2  c2 B.1 Viết B.2 Sử dụng PP đồng thức tìm hệ số k,d,e B.3 B ax  b (dx  e)2 e  k  � k  x � Max ( B )  k � ( dx  e )  � x   d x2  c2 x2  c2 * Phân tích sở pp: Đến có nhiều câu hỏi thú vị 2 Ở tử thức hạng thức thứ lại k(x �c ) mà khơng phải hạng thức khác? Vì hạng thức thứ hai bắt buộc đa thức bậc hai (dx  e) ? Vì tìm hạng thức thứ hai bắt 2 buộc (dx  e) ? Vì tìm max hạng thức thứ hai bắt buộc (dx  e) ? * Các ví dụ: Tìm max, biểu thức sau VD4: Tìm B 2x  x2  HD: Tìm Min(B) B.1: B 2x  k(x2  4)  (ax  b)2  x2  x2  doky07031977@gmail.com � k  � � � 2x   (k  a2 )x2  2abx  b2  4k � � a � � b � � � � B.2: Đồng tìm k, a, b : 2 2x   (x  4)  ( x  2) B  x 4 x2  B.3 Viết lại x  2)2 2x  1 B   � x 4 x 4 x 4 ( � �1 � min(B)   � � x  2� � x  4 �2 � Hy vọng đến bạn tìm lời giải thích có sức thuyết phục lại xuất �1 � � x  2� �? xuất biểu thức � HD: Tìm Max(B) B.1: B 2x  k(x2  4)  (ax  b)2  x2  x2  �k  � 2x   (k  a )x  2abx  b  4k � � a � � b � � B.2: Đồng tìm k, a, b : B.3 Vậy B B 2x  (x2  4)  (x  1)2  x2  x2  2x  (x  1)2   �1x x2  x2  2  4? doky07031977@gmail.com � max(B)  1�  x  1  � x  * Chú ý: với phạm vi lớp sử dụng định nghĩa GTLN, GTNN điều kiện có nghiệm PT x  a Trở lại ví dụ nhé: Giả sử B đạt GTLN, GTNN a Vậy PT sau phải có nghiệm: a 2x  x2  (1) Quy đồng nhân chéo ta PT: ax2  2x  4a   x  +TH.1: a = 0, ta có � � 4a2  3a  ax  2x  4a   � �x  � (2) a a � � +TH.1: a �0, ta có PT(1) có nghiệm PT (2) có nghiệm ĐK để (2) có nghiệm: 4a2  3a  1 � �  �a �1 a2  � x  4 Kết luận: Min(A)= , Max(A)=1, x=1 * Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus Fx580 Vnx để tìm điểm rơi: VD4: Tìm B 2x  x2  � min(B)   � x  4 HD: Làm bạn thấy GTNN , từ bạn thêm bớt lượng �2x  � x2  8x  16  x  4 1 B�2  �     � x 2 4(x  4) 4 4(x  4) �x  4 � , đó: doky07031977@gmail.com min(B)   � x  4 Vậy VD5: A 2x  x2  (các bạn làm tương tự) Chúc thầy cô bạn thành công!Ok ... Các ví dụ: Tìm max, biểu thức sau VD4: Tìm B 2x  x2  HD: Tìm Min( B) B.1: B 2x  k(x2  4)  (ax  b )2  x2  x2  doky07031977@gmail.com � k  � � � 2x   (k  a2 )x2  2abx  b2  4k � �... e )2 B 2  x c x2  c2 B.1 Viết B .2 Sử dụng PP đồng thức tìm hệ số k,d,e ax  b (dx  e )2 e B  2  k  2 �kx � Min( B)  k � (dx  e )2  � x   d x c x c B.3 +) Tìm Max(B): ax  b k(x2... 4x2  2x  x2 HD: 4x2  2x  1 B  4  t  ,t �0 2 x x Đặt x x C.1: Do x �0chia tử mẫu cho x : : B  t2  2t   (t  1 )2  �3t , Min( B) = , t=1, x=1 C .2: làm C .2 VD1 với PT: (a  4)x  2x