Chuyên đề tìm max, min 2

doky07031977@gmail.com CHUYÊN ĐỀ TÌM MAX, MIN HÀM PHÂN THỨC LỚP TỬ LÀ NHỊ THỨC BẬC NHẤT, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI VÔ NGHIỆM (LUÔN DƯƠNG HOẶC LUÔN ÂM) Các thầy cô em học sinh thân mến, tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức có nhiều pp khác nhau: pp đánh giá dựa vào các tính chất đặc biệt; sử dụng điều kiện có nghiệm PT x2 = a quen pham vi toán lớp 8; sử dụng pp dồn tổng với phạm vi tốn 9, tốn 10 ta sử dụng điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai; BĐT AM-GM, BĐT B-C-S, bổ đề quen thuộc; tốn 12 ta dùng cơng cụ đạo hàm, casio, Trong phạm vi toán với tốn tìm GTLN, GTNN dạng phân thức găp số dạng đơn giản dễ giải dạng 1, dạng nội dung đây, ngược lại gặp trở ngại định hướng dạng 3(Tử nhị thức bậc mẫu đa thức bậc hai ln dương (ln âm)), khơng câu hỏi sao? sao? việc tiếp cận lời giải; viết chuyên đề với hiểu biết cá nhân mong hy vọng thầy em trao đổi hồn thiện, hy vọng góp sức để tìm pp chung cho tốn mà tơi đề cập chuyên đề Với khả hạn chế , việc trình bày cịn nhiều thiếu xót mong thầy cô em cảm thông Xin cảm ơn mong góp ý từ phía thầy em học sinh thân yêu NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN: Cho hàm số y + số M GTLN y = f (x)  f (x) ≤ M∀x∈ K  ∃x0 ∈ K : f (x0) = M = f (x) xác định K: Kí hiệu: Max(f(x)) =M ⇔ x = x0  f (x) ≥ m∀x∈ K  ⇔ x = x0 ∃x0 ∈ K : f (x0 ) = m y = f (x) + số m GTNN Kí hiệu: Min(f(x)) =m CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP: 2.1 A(x) hàm đa thức: + PP: dùng pp tam thức bậc hai(pp dồn tổng): doky07031977@gmail.com A( X ) = A2n( X ) + k(nƠ *;, k Ô ) , đó:  Nế u∞〉 0: A( X ) = ∞A2n( X ) + k ≥ k∀x ⇒ Max( A) = k ⇔ A(x) =  u∞〈 0: A( X ) = ∞A2n( X ) + k ≤ k∀x ⇒ Min( A) = k ⇔ A(x) =  Neá VD : A = x2 − 4x + 1= (x2 − 4x + 4) − = (x − 2)2 − ≥ −3∀x ⇒ Min( A) = −3 ⇔ (x − 2)2 = ⇔ x = * Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus Fx580 Vnx để tìm điểm rơi: A = x2 − 4x + VD1: Tìm Min Bước Chế độ hình: Bước Vào SHIPT + MODE + REPLAY: chọn + chọn x2 − 4x + Bước Vào MODE chọn 7: TABLE nhập biểu thức , nhấn = Bước Nhập giá trị ban đầu(Start) -10, giá trị kết thúc (End) 10, bước nhả(Step) doky07031977@gmail.com ? Ở bạn ý GTLN,GTNN biểu thức thường đạt giá trị biến thường từ -10 đến 10 mà số lớn Bước Các bạn thấy GTNN f(x) = -3 ứng với x = Như ta có mẹo thêm bớt sau: Thêm vào bớt biểu thức A = x2 − 4x + x2 − 4x + ,ta được: A = ( +3) – (Chú ý GTNN -3 nên ta tách riêng -3 thành nhóm) Do A = Suy (x2 − 4x + 4) − = (x − 2)2 − ≥ −3∀x Min(A) = −3 ⇔ x = 2.2 A(x) hàm phân thức hữu tỉ thông dụng: Dạng 1: Tử thức số, mẫu thức đa thức bậc hai dương (luôn âm): +PP: B.1 Dùng pp tam thức bậc hai đánh giá mẫu theo 2.1 B.2 Sử dụng tính chất BĐT đánh giá nghịch đảo bước tìm max, A(x) A= VD: 4x2 − 4x + doky07031977@gmail.com B.1 ⇒ 4x2 − 4x + = (4x2 − 4x + 4) + 1= (x − 2)2 + 1≥ 1∀x ≤ 1∀x (x − 2)2 + Vậy Max(A) = ⇔ x= Dạng 2: Tử mẫu đa thức bậc hai: *TH1 mẫu đa thức bậc hai dương (luôn âm): A= Bài tốn tìm max: 3x2 + 14 3x2 + 6x + 10 B = x2 + x2 + 2x + ; Cách 1: B.1 Viết : 3x2 + 14 k(x2 + 4) + m A= = x +4 x2 + B.2 Sử dụng phép đồng tìm k, m từ 3x2 + 14 = k(x2 + 4) + m k=3, m=2 B.3 Viết lại A với k, m vừa tìm B.2 đánh giá tìm max(A): 3x2 + 14 3(x2 + 4) + 2 A= = = + ≤ + = 3,5 x +4 x2 + x2 + ⇒ max( A) = 3,5 ⇔ x = Cách 2: Sử dụng phép chia đa thức biến đánh giá 3x2 + 14 A= = 3+ ≤ + = 3,5 x +4 x +4 ⇒ max(A) = 3,5 ⇔ x = doky07031977@gmail.com Cách 3: Sử dụng điều kiện có nghiệm pt quen thuộc 3x2 + 14 A= x +4 x2 = a Gọi a giá trị max, mà A đạt được, PT (a − 3)x2 + 4a − 14 = có nghiệm + a≠ x2 = ta có 14 − 4a a− (2) có nghiệm 14 − 4a ≥0 a− ⇔ 3〈 a ≤ 3,5 Vậy max(A)=3,5 x=0 * Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus Fx580 Vnx để tìm điểm rơi: VD2: Tìm Max biểu thức 3x2 + 14 A= x +4 Bước 1: làm VD Bước 2: làm VD Bước Bước Vào MODE chọn 7: TABLE nhập biểu thức Bước làm VD1 Bước Các bạn thấy GTLN f(x) = ứng với x = 3x2 + 14 x2 + , nhấn = (1) phải doky07031977@gmail.com Như ta có mẹo thêm bớt sau: Thêm vào bớt vào A giá trị Max(A) = Suy , ta được:  3x2 + 14  7 x2 A=  − ÷+ = − ≤ ∀x  x +  2 2(x + 4) ⇔ x = *TH2 mẫu đa thức bậc hai có nghiệm kép khuyết b c: VD3 4x2 − 2x + B= x2 HD: C.1: Do x≠ chia tử mẫu cho B = t2 − 2t + = (t − 1)2 + ≥ 3∀t C.2: làm C.2 VD1 với PT: +) TH.1: với +) TH.1: với a= a≠ x= , ta có , ta có PT: x : 4x2 − 2x + B= = 4− + 2 x x x , Min(B) = , t=1, x=1 (a − 4)x2 + 2x − 1= t= Đặt ,t ≠ x : doky07031977@gmail.com   a−  x + a − 4÷ =   (a − 4) VD3: Tìm Min (B): ĐK có nghiệm: a − 3≥ ⇔ a ≥ Min(B) = , x=1 4x2 − 2x + B= x2 HD: bước hoàn toàn tương tự trên, bạn tìm thấy Min (B) =3, x =1 Vậy bạn có hướng thêm bớt đơn vị vào B:  4x2 − 2x +  ( x − 1) + 3≥ 3∀x ≠ x2 − 2x + B= − + = + = ÷ x2 x2 x2   Suy Min (B)=3, x= Dạng 3: Tử nhị thức bậc mẫu đa thức bậc hai dương (luôn âm): B= ax + b (a,m≠ 0) x2 ± m2 PP tổng quát: +) Tìm Min(B): B= B.1 Viết ax + b k(x2 ± c2) + (dx + e)2 = x2 + c2 x2 + c2 B.2 Sử dụng PP đồng thức tìm hệ số k,d,e B.3 ax + b (dx + e)2 e B = 2 = k + 2 ≥ k∀x ⇒ Min(B) = k ⇔ (dx + e)2 = ⇔ x = − d x +c x +c +) Tìm Max(B): B.1 Viết ax + b k(x2 ± c2) − (dx + e)2 B= 2 = x +c x2 + c2 doky07031977@gmail.com B.2 Sử dụng PP đồng thức tìm hệ số k,d,e B= B.3 ax + b (dx + e)2 e = k − ≤ k ∀ x ⇒ Max ( B ) = k ⇔ ( dx + e ) = ⇔ x = − d x2 + c2 x2 + c2 * Phân tích sở pp: Đến có nhiều câu hỏi thú vị Ở tử thức hạng thức thứ lại k(x2 ± c2) hạng thức thứ hai bắt buộc đa thức bậc hai buộc (dx + e)2 mà khơng phải hạng thức khác? Vì (dx + e)2 ? Vì tìm hạng thức thứ hai bắt ? Vì tìm max hạng thức thứ hai bắt buộc −(dx + e)2 ? * Các ví dụ: Tìm max, biểu thức sau B= VD4: Tìm 2x + x2 + HD: Tìm Min(B) B= B.1: 2x + k(x2 + 4) + (ax + b)2 = x2 + x2 + B.2: Đồng tìm k, a, b : B.3 Viết lại  k = −   2 2x + = (k + a )x + 2abx + b + 4k ⇔ a = ±  b = ±    2 2x + − (x + 4) + ( x + 2) B= = x +4 x2 + doky07031977@gmail.com ( x + 2)2 2x + 1 B= =− + ≥ − ∀x 4 x +4 x +4  1 ⇒ min(B) = − ⇔  x + 2÷ = ⇔ x = −4 2  − Hy vọng đến bạn tìm lời giải thích có sức thuyết phục lại xuất xuất biểu thức 1   x + 2÷ 2  ? HD: Tìm Max(B) B= B.1: 2x + k(x2 + 4) − (ax + b)2 = x2 + x2 + B.2: Đồng tìm k, a, b : B= B.3 Vậy  k=1  2x + = (k − a2 )x2 − 2abx − b2 + 4k ⇔ a = ±1 b = ±1  2x + (x2 + 4) − (x − 1)2 = x2 + x2 + 2x + (x − 1)2 B= = 1− ≤ 1∀x x +4 x +4 ⇒ max(B) = 1⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ? doky07031977@gmail.com * Chú ý: với phạm vi lớp sử dụng định nghĩa GTLN, GTNN điều kiện có nghiệm PT x2 = a a= nghiệm: Trở lại ví dụ nhé: Giả sử B đạt GTLN, GTNN a Vậy PT sau phải có 2x + x2 + (1) Quy đồng nhân chéo ta PT: +TH.1: a = 0, ta có ax2 − 2x + 4a − = x= − 2   −4a2 + 3a + ax − 2x + 4a − = ⇔  x − ÷ = (2) a a   +TH.1: a≠ , ta có PT(1) có nghiệm PT (2) có nghiệm ĐK để (2) có nghiệm: −4a2 + 3a + 1 ≥ 0⇔ − ≤ a≤ a Kết luận: Min(A)= − ⇔ x = −4 , Max(A)=1, x=1 * Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus Fx580 Vnx để tìm điểm rơi: B= VD4: Tìm 2x + x2 + doky07031977@gmail.com ⇒ min(B) = − ⇔ x = −4 HD: Làm bạn thấy GTNN , từ bạn thêm bớt lượng ,  2x +  x2 + 8x + 16 ( x + 4) 1 B= + ÷− = − = − ≥ − ∀x 4(x2 + 4) 4 4(x2 + 4)  x + 4 Vậy min(B) = − ⇔ x = −4 A= VD5: 2x + x2 + (các bạn làm tương tự) Chúc thầy cô bạn thành cơng!Ok đó: ... 0) x2 ± m2 PP tổng quát: +) Tìm Min( B): B= B.1 Viết ax + b k(x2 ± c2) + (dx + e )2 = x2 + c2 x2 + c2 B .2 Sử dụng PP đồng thức tìm hệ số k,d,e B.3 ax + b (dx + e )2 e B = 2 = k + 2 ≥ k∀x ⇒ Min( B)... 4) − (ax + b )2 = x2 + x2 + B .2: Đồng tìm k, a, b : B= B.3 Vậy  k=1  2x + = (k − a2 )x2 − 2abx − b2 + 4k ⇔ a = ±1 b = ±1  2x + (x2 + 4) − (x − 1 )2 = x2 + x2 + 2x + (x − 1 )2 B= = 1− ≤ 1∀x x... tìm hạng thức thứ hai bắt ? Vì tìm max hạng thức thứ hai bắt buộc −(dx + e )2 ? * Các ví dụ: Tìm max, biểu thức sau B= VD4: Tìm 2x + x2 + HD: Tìm Min( B) B= B.1: 2x + k(x2 + 4) + (ax + b )2 = x2