Đang tải... (xem toàn văn)
Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :.. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.[r]
(1)CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM:
1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K
2 Tính chất:
+ Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C với C số
+ f x dx'( ) f x( )C
+ kf x dx k f x dx( ) ( ) với k R * + ( ( )f x g x dx( )) f x dx( ) g x dx( ) Bảng nguyên hàm
0dx C
ln
x
x a
a dx C
a
a0;a1 dx x C
cosaxdx 1sinax C a
a
1
-1
x dx x C
sinaxdx 1acosax C a 0
1
ln
dx x C
x
1
t anx
os dx C
c x
x x
e dx e C
12 cot
sin xdx x C
4.Các phương pháp tính nguyên hàm
A Tính nguyên hàm dựa theo định nghĩa tính chất ngun hàm Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số
a) f(x)=1+ sin3x bieát F(6
)=
Giải
Ta có F(x)= x –
1
3 cos3x + C Do F(6
) =
-
1 3 cos2
+ C = C = -
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3 cos3x -
b) f x( ) sin 2 x biết F( ) 06
ĐS:
1
( ) os2
2
F x c x
c) f(x) = 4x3 - ex + cosx biết F(0) =
ĐS: F x( )x4 ex sinx6 Bài 2: Tính nguyên hàm sau :
a)
( x 3x 5)dx
ĐS:
4
1
5
(2)b)(sinx2cos )x dx ĐS: -cosx + 2sinx + C
c)
2
(3sinx )
os dx c x
ĐS: -3cosx - 2tanx + C d)sin cos3x xdx
HD:
1
sin x cos3 (sin sin )
x x x
ĐS:
1
os2x- os4x +C 4c 8c
e)
1
(x2)(x3)dx
HD:
1 1
(x2)(x3)x2 x3 ĐS:
2 ln
3 x
C x
B Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến
NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng: ( ) '( )
n
U x U x dx n N
ta đặt t = U(x)
( ) '( ) n N, n
nU x U x dx
ta đặt t nU x( )
=> tn U x( ) => n t dt U x dx.n1 '( ) '( )
( ) U x
dx U x
Đặt U(x) = t ( ) '( )
U x
e U x dx
ta đặt U(x) = t Bài 1: Tính nguyên hàm sau :
a)
5 ( x1) dx
ĐS:
1
6 x C
b)
2
2 (x x 1) dx
HD: đặt x2 1 t
ĐS:
1 x C
c)
3. 2
x x dx
HD: đặt x4 2 t
ĐS:
3
6 x c
d)
HD:
3x1dx x t
2
: +C
DS x
e)
sin cosx xdx
ĐS:
4
sin
4 x C
f)
4
3
HD: x
x
e x dx t
4
3
x
e c
g)
4 1
x dx x
7
4
:
1
x x x
HD dx dx
x x
đặt
4
x 1 t
ĐS
4
1
(3)Công thức:
u dv u v v du
NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng:
ax ( )sin ; ( )cos ; ( ) P x axdx P x axdx P x e dx
đó
P(x) đa thức ta đặt P(x) = u phần lại dv ( )ln
P x xdx
P(x) đa thức ta đặt lnx = u , P(x)dx = dv Bài tập:
) cos ) ( 1)sin
a x xdx
b x xdx
) (2 1) ln )
x
c x e dx x
d dx
x
e x) ln(x1)dx
HD: đặt
ln( 1)
u x
dv xdx
2 1
dx du
x x v
ĐS:
2
1 1
ln( 1)
2
x
x x x c
II.TÍCH PHÂN
1)Định nghĩa tích phân :
Cho f(x) hàm số liên tục đoạn a b;
giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn
; a b
Hiệu số F(a) - F(b) gọi tích phân từ a đến b hàm số f(x) ký hiệu là: ( )
b
a
f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F x F b F a a
2) Tính chất:
Tính chất 1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
Tính chất 2:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
với k thuộc R
Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
(4)Tính chất 4:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1/ Tính tích phân việc sử dụng nguyên hàm bản: Bài tập 1: Tính tích phân sau
a) I =
3
(x 2x1)dx
1 1
) x
b I e dx
c)
2 I x dx Giải:
a) I =
4
2
1
1
1 2 1
4 4
x
x x
b) I =
3 1
( ) 1
3
3
x
e
=
1 e
c)
2
0
( 2) ( 2)
I x dxx dx =
5
2/ Tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng 1:
Khi gặp tích phân có dạng:
( ) '( )
b n a
U x U x dx
n N ; n 2
;
'( ) ( )
b
a
U x dx U x
ta đặt U(x) = t
( ) '( ) n N n
b n a
U x U x dx
ta đặt nU x( ) t U x( )tn Bài 1: Tính tích phân
a)
8
(2x1) dx
HD: đặt 2x+1 = t ĐS: 9841
9
b)
2
(2 1) x
dx x x
Nhận xét : (x2 +x+1)’= 2x+1 nên ta đặt: x2 x t
ĐS: ln
(5)c)
2
2 xdx x
Nhận xét (x21)' 2 x nên ta đặt x2 1 t t2 x21; => tdt= xdx
ĐS: 2 5 2 d)
2
sin cosx xdx
Nhận xét: (sinx)’ = cosx nên ta đặt sinx = t ĐS:
e)
1 7
5
1
1
x x dx
(x +1)'=5x đặt x5 1 t ĐS: 32
5
f)
1 ln
e x
I dx
x
1 (1+lnx)'=
x nên ta đặt ln x t t2 1 lnx
dx tdt
x
ĐS:
2 2
g)
1
I dx
x
HD: x t x=t ;2 dx2tdt ĐS: 2( – ln2 )
h)
2
sin
x dx cos x
2
(1 cos x)'=-sin2x
ta đặt 1+cos2x t dt=-sin2xdx ĐS: ln2 Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 2:
*QUY TẮC:
Tính ( )
b
a
f x dx
1 đặt x =u(t) , u(t) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn ; f(u(t)) xác định đoạn ; u(
)= a ; u() =b
2 Biến đổi f(x)dx theo t dt giả sử f(x)dx = g(t)dt
3
( ) ( )
b
a
f x dx g t dt
* Bài 1: Tính I =
2
1 x dx
Nhận xét (1 x2)'2x ta thấy x khơng có ngồi dấu căn,nên khơng thể áp dụng phương pháp đổi biến dạng 1.
(6)<=> sin2 = 1- cos2 nên ta đặt x = sint x = cost
1- x2 = - sin2t ( - x2 = - cos2t )
Giải : đặt x= sint với
; 2 t
đổi cận : x=0 t = ; x = ; t = dx = cost dt
2 2
1 x sin t cos t cost cost
I =
2
1 x dx
=
2 2
2
0 0
1 os2
cos cos os
2
c t
t tdt c tdt dt
CHÚ Ý: Với
1
2
1
n
x x dx
n N ta đặt x = sint n chẵn, đặt
t = 1 x2 khi n lẻ
*Bài 2: Tính tích phân sau :
2
2
0
x
I dx
x
Nhận xét: Vì đạo hàm biểu thức dấu khơng có tử số nên ta không áp dụng phương pháp đổi biến dạng 1
GIẢI: đặt x = sin t với
; 2 t
=>dx = cos t dt
Khi x = t =
Khi x =
2 t =
Vậy
/4 2
sin cos sin
x tdt I
t
/4
2
sin tdt
(Do cos t > 0)
/4
1
(1 cos )
2 t dt
*Bài 3: HÃy tính tích phân sau:
a)
2
2
4 x dx
b)
1 01
dx x
Giải: a) Đặt
2sin , ;
2 x t t
Khi x = th× t = Khi x2 th× t
(7)2 2
2 2
0 0
4 x dx 4sin 2cost tdt cos tdt
b) Đặt x = tant vi
; 2 t
Khi x0 th× t 0, x1 th× t
Ta cã :
2
1
1 tan os
dx dt t dt
c t
=>
1 01
dx x
=
2
4
2
0
1 tan
4 tan
t
dt dt t
Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thĨ gỈp dạng tích phân dạng tổng quát nh: Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa dạng
2 2, 2
a x a x vµ x2 a2
( )
x a x (trong a số dơng) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm thức, cụ thể là:
Với a2 x2 , đặt
sin , ;
2 x a t t
hc x a cos ,t t0;
Víi
2
a x , đặt x = atant t 2;
Với x2 a2 đặt cos
a x
t
, t0;
Víi
2
( )
x a x
đặt x a sin2t,
0; t
CHÚ Ý: Khi tính tích phân phương pháp đổi biến số cần phân biệt cho học sinh nắm
được áp dụng cách đổi biến dạng 1, áp dụng cách đổi biến dạng
2.Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng: f u x u x dx( ( )) '( ) ; '( )
( ) u x dx
u x ; '( )
( )
n
u x dx u x
Thì nên áp dụng đổi biến số dạng Nếu không áp dụng cách đổi biến dạng áp dụng cách đổi biến dạng Trường hợp khơng dùng phương pháp đổi biến số ta áp dụng phương pháp tích phân phần
IV PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN;
(8)
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx a
hay
( )
b b
a a
b
udv uv vdu a
Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, cần tuân thủ theo nguyên tắc sau :
1 Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng.
2 Tích phân
b
a
vdu
xác định cách dễ dàng so với tích phân ban đầu
b
a
udv 3 Chúng ta cần nhớ dạng sau :
Dạng :
( )sin( )
b
a
P x cx dx
(
( ) os( )
b
a
P x c cx dx
) ( )
b
cx d a
P x e dx
với P(x) đa thức Khi ta đặt u= P(x) phần cịn lại dv
Dạng :
os
b x a
e c xdx
:
sin
b x a
e xdx
Ta đặt u= ex; dv = cosxdx ( dv=sinxdx )
Cũng đặt : u =cosx ( u =sinx ) dv = e dxx Dạng3 :
I=
( )ln
b
k a
P x xdx
với P(x) đa thức Đặt ulnkx , dv = P(x)dx
Dạng 4:
2 ;
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x
Đặt u=x phần lại dv Bài 1: Tính tích phân
a) ln
e
x xdx
ĐS:
2 1
4 e
b)
(x 2)e dxx
ĐS: – 2e
c)
(x )cosxdx
ĐS:
2
(9)d)
(2 x)sinxdx
ĐS :
e)
2 os
x
I dx
c x
HD: cos2 tan
u x
du dx dx
v x
dv
x
4
sin
( tan ) ln cos ln
cos 4
0
x
I x x dx x
x
ĐS:
2 ln
4
I
Một số tập tổng hợp:
1. Tính
1
x
I x x e dx
GIẢI:
1
2
0 0
1
x x x
I x dxxe dx xe dx =
1
x
xe dx
Với
x
xe dx
Ta đặt x
u x dv e dx
1
0
1
1
x x x
xe dx xe e dx
Vậy I
2. Tính
(1 cos )
I x x dx
GIẢI:
2 2
2
0 0
1
cos cos
2 0
I xdx x xdx x x xdx
Với
cos x xdx
Ta đặt cos sin
u x du dx
dv xdx v x
2
0
cos sin sin
2
x xdx x x xdx
(10)Vậy:
2
1
8
I
3. Tính 1
( )ln
e
I x xdx
x
HD: 1
1
ln ln
e e
I x xdx xdx
x
Tính
1 ln
e
I x xdx
phương pháp phần
Tính 1
ln
e
I xdx
x
phương pháp đổi biến
4. Tính
4 4
2 2
0 0
1
os os os
x x
I dx dx dx
c x c x c x
5.
osx
(ec x)sinxdx
osx
0
1 sinxdx sin
c
e x xdx e
e
Tính
osx
0
sinxdx
c
I e
cách đặt cosx = t
Tính sin
I x xdx
phương pháp phần
III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A/ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x)liên tục đoạn a b; , trục hoành đường thẳng x=a; x=b tính theo cơng thức:
S =
( )
b
a
f x dx
(1)
Cho hai hàm số yf x1( ); yf x2( ) liên tục đoạn a b; Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số yf x1( ); yf x2( )và đường thẳng x=a ; x=b là:
S =
1( ) 2( )
b
a
f x f x dx
(11)3 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x = g(y); x = h(y) ( g h hàm số liên
tục đoạn c d;
hai đường thẳng y =c; y = d là:
S=
( ) ( )
d
c
g y h y dy
(3)
CHÚ Ý: Khi áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân.Chẳng hạn cơng thức (2) ta giải phương trình
f1(x)- f2(x) =0 đoạn ;
a b, giả sử phương trình có hai nghiệm c;d ( a < c < d < b ), khi đó:
S =
1 2
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
c d b
a c d
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
Hoặc xét dấu f x1( ) f x2( ) đoạn a b; Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
a) y x y 3, 0,x1,x2 ĐS : 15
4 b) y = lnx ; y = ; x = e ĐS :
c) y = x2 - 3x + 2, y = ĐS : y) y2x2 4x 6; y=0; x=-2; x=
HD : giải phương trình 2x2 4x 0 đoạn 2;4 có hai nghiệm x = -1 ; x =
Diện tích
1
2 2
2
2 6
S x x dx x x dx x x dx
1
2 2
2
(2x 4x 6)dx (2x 4x 6)dx (2x 4x 6)dx
ĐS :S= 92
3
Chú ý: Khi tính diện tích hình phẳng cần cho học sinh xác định giả thiết toán xem đã đủ kiện cơng thức chưa? Có thừa hay thiếu khơng.
Chẳng hạn câu b) ta có y= lnx ; y =0; x = e cịn thiếu cận tích phân ( x = a ; x =b ) công thức (1) Do cần giải phương trình
(12)Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường a, y x 2 3x1 , y = x + 1, x = 0, x =
HD : xét phương trình
2 3 1 1
4 (lo¹i) x
x x x
x
=>diện tích
3
2
0
4 ( )
S x x dxx x dx
ĐS :S = 9: b, y = x2 -2x , y = x
HD : xét phương trình
2 2
3 x
x x x
x
=> diện tích
3
2
0
9
3 ( )
2 S x x dxx x dx
ĐS :S =
2
c, yx24x 3 tiếp tuyến (P) tạị điểm
M( ; -3) N( ; 0)
HD : y’ = -2x + 4 y’(0) = ; y’(3) = -
Tiếp tuyến (P) M( ; -3) có phương trình y = 4x –
Tiếp tuyến (P) N( ; 0) có phương trình y = -2x +6 Xét phương trình 4x – = -2x + x = 1,5
Diện tích
3
2
3
2
4 4
S x x x dx x x x dx
3
2
3
2
9
( 9)
4
x dx x x dx
ĐS :S = B/ TÍNH THỂ TÍCH;
Cơng thức tính:
1.Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn a b; , trục hoành đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục 0x tạo thành khối trịn xoay tích là:
( )
b
a
V f x dx
(1)
2 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) liên tục đoạn c d; , trục tung đường thẳng y =c; y = d quay quanh trục oy tạo thành khối trịn xoay tích là:
( )
d
c
V g y dy
(2)
(13)a) y = cosx y = x = ; x =
ĐS
8
b)
sin , 0, 0,
2
x
y y x x
ĐS:
2 2
8
c) y - , x2 x y ĐS : 16
15
d) y x 21; y=x+1
HD : Xét phương trình :
2 1 1
1 x
x x
x
Gọi V1 thể tích khối tạo thành quay hình phẳng giới hạn y x 21 ; y = ;x =0 ; x = quay
quanh trục ox
1
2
1
28 ( 1)
15 V x dx
Gọi V2 thể tích khối tạo thành quay hình phẳng giới hạn y x 1 ; y = ;x =0 ; x = nó
quay quanh trục ox
1
2
0
7 ( 1)
3 V x dx
Do ta tích khối cần tìm : 15 V V V
ĐS : V = 15
Bài 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
y2 = x3, y = 1, x = quay xung quanh trục 0y Hướng dẫn giải:
Từ y2 = x3 <=> x3 y2
Giải PT: y2 0 y0
1
V y dy
ĐS