Giao an on thi tn phan PT mu

* Phương pháp lôgarit hóa: lấy lôgarit 2 vế đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.[r]

Chủ đề HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

Các kiến thức cần nhớ Các dạng toán cần ôn tập Bài tập minh hoạ

1) Công thức lũy thừa

• Cho a>0, b>0 m n,   Khi đó

m n m n a a a 

 ; (am n) am n ; ( )ab n a bn n m

m n n

a a a





;

m m

m

a a

b b

      

1 n

n a a





;

1 n

n a

a



;

n n

a b

b a



             •

m n am an

với a>0, m R n N ,  *

• af x( ) ag x( ) f x( )g x( ) (a0,a1) • Nếu a>1 af x( ) ag x( ) f x( )g x( ) • Nếu < a <

( ) ( ) ( ) ( ) f x g x

a a  f x g x 2) Công thức lôgarit

 Với điều kiện thích hợp ta có:

logab  a b

  

log 0a  logaa1 logaa





 alogab b logab logab



1 loga b logab

  log m log

n

a a

n

b b

m 

log ( ) loga m n  amlogan loga m logam logan

n  

log log

log c a

c b b

a 

;

log logba  ab

I)Giải phương trình mũ

1) Phương pháp đưa cơ số:

( ) ( ) ( ) ( ) f x g x

a a  f x g x

(a>0 a≠ 1)

2) Phương pháp đặt ẩn phụ

+Đặt t a x, t0.

+Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t. +Giải phương trình tìm t, đối chiếu t với điều kiện.

+Nếu có nghiệm thỏa mãn

thay t a x để tìm x kết luận.

Bài 1: Giải phương trình sau

2 3x

)5x 625

a 

 b)

2 2 3 1

7

7



   

    x x x

c) 5x1 x 200 d) 2x + + 2x + 2 = 5x +1 + 3.5x

Bài giải

2 3 3 4 2 2

)5 625 5 4

4

   

           

 

x x x x x

a x x x x

x Vậy phương trình có nghiệm x = x = -4

b)

2 2 3 1

7

7



   

    x x x

  

2 2 3 1

7   7  

 x

x x



2 2 3 1 2 0

2  

         

 

x

x x x x x

x Vậy phương trình có nghiệm x = - x =

1

) 5 200 2.2 200 10 100

      

x x x x x

c x

Vậy phương trình có nghiệm x = d) 2x + + 2x + 2 = 5x +1 + 3.5x

4 2

2 2 5 3.5 20.2 8.5

5

 

           

  x

x x x x x x x

Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 2: Giải phương trình sau

) 9x 10.3x

a    b) 25x3.5x10 0

3

) 2x x

c 

   d) 6.9x13.6x6.4x 0 e) (2 3)x(2 3)x 4

Bài giải

) 9x 10.3x x 10.3x

a       

 loga f x( ) log ag x( ) f x( )g x( ) (với a>0 a ≠ 1)

 Nếu a>1

loga f x( ) log ag x( ) f x( )g x( )

 Nếu 0<a<1

loga f x( ) log ag x( ) f x( )g x( ) 3) Đạo hàm hàm số mũ, hàm số lơgarit

Vơí điều kiện thích hợp ta có

 '

'

ln ; ( )

x x x x

a a a e e

 

 ' ' ( )

( ) ln

x

u u x

a u x a a

;

 

 ' '

( ) ln

x

u

e u x a

(logax)' =

1 ln

x a ; (lnx)' =

1 x

(logau(x))' =

'

( ) ( ) ln u x

u x a ; (lnu

(x))' =

'

( ) ( ) u x

u x (Với u = u(x) )

4) Phương trình mũ

a) Phương trình mũ bản

x

a m <=> x = logam (0<a1; m > 0)

b)Phương pháp giải phương trình mũ

* Phương pháp đưa số: ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

a a  f x g x (0<a1) * Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Đặt t a x, t0

+ Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t

+ Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện

+ Nếu có nghiệm thỏa mãn thay t a x để tìm x kết luận

Lưu ý:Chọn số chia thích hợp trong pt d) sau chia ta sẽ pt đơn giản hơn

Phương trình trở thành:

2 10 9 0 ( )

9 ( ) t nhan

t t

t nhan

 

    

 

1

9

x

x

t x

t x x

    

    

Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = 2

) 25x 3.5x 10 x 3.5x 10

b       

Đặt t5 ,x t0

Phương trình trở thành:

2 3 10 0 2( ) 5( ) t nhan

t t

t loai 



    

  5x log t    x

Vậy phương trình cho có nghiệm xlog 25

3

) 2 2 2 2.2

2

x x x x x

x

c 

          

Đặt t2 ,x t0

Phương trình trở thành:

2 2 0 ( ) ( )

t nhan

t t

t loai

      

 

4 2x

t    x

Vậy phương trình có nghiệm x =

2

9

) 6.9 13.6 6.4 13

4

3

6 13

2

   

          

   

   

       

   

x x

x x x

x x

d

Đặt

,

x t  t

 

* Phương pháp lơgarit hóa: lấy lơgarit vế đưa phương trình dạng đơn giản 5)Phương trình lơgarit

a )Phương trình lơgarit bản

logax = m <=> x = am (0 < a 1, x > 0)

b)Phương pháp giải phương trình lôgarit

* Phương pháp đưa số

  0,   log ( ) log ( )

( ) ( )

a a

f x g x

f x g x

f x g x

 

 

  

 

 * Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Đặt ĐK cho ẩn x (nếu cần) +Đặt tloga x

+Thay t vào phương trình biến đổi phương trình theo t

+Giải phương trình tìm t

+Thay tloga x tìm nghiệm x pt cho

+Đối chiếu x với ĐK kết luận

c) Phương pháp mũ hóa: mũ hóa hai vế phương trình với số hợp lí để đưa phương trình dạng đơn giải

5)Bất phương trình mũ, bất phương trình lơgarit

Cách giải tương tự cách giải phương trình mũ lơgarit

4) Phương trình lơgarit

a) Phương pháp đưa cơ số

Cách 1: loga f x logag x 

+) Đặt ĐK cho pt

+)Giải pt f(x) = g(x) để tìm x +)Đối chiếu x với ĐK kết luận

Cách 2

2

3

( )

6 13

2

( )

t nhan

t t

t nhan

  

    

  

3 3

1

2 2

2

1

3

x

x

t x

t x

 

      

   

        

Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x =

e) (2 3)x(2 3)x4

do (2 3)(2 3) 1 nên

1

2

 



Đặt (2 3)x t , t > ta có pt

2 ( )

1

4

2 ( )

t nhan

t t t

t t nhan

  

       

   

 

2 3

    x    

t x

 

2 3 (2 3)

    x      

t x

Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = Bài 3: Giải phương trình sau

2

) log log log 11

a x x x 25 0,2

1 ) log log log

3

b x x

c) log4x12 log 1 x  d) ln(x2 6x7) ln( x 3)

2

) log  log  0

e x x f) 4log22xlog x2

3

) 3log 10log 

log ( ) log ( ) ( )

( ) ( ) ( )

    

 

a f x a g x

f x

I f x g x

Hoặc

log ( ) log ( ) ( )

( ) ( ) ( )

    

 

a f x a g x

g x

II f x g x

Ta cần giải hai hệ (I) (II)

b) Phương pháp đặt ẩn phụ + Đặt ĐK cho ẩn x (nếu cần)

+Đặt tloga x.

+Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t.

+Giải phương trình tìm t.

+Thay tloga x tìm nghiệm

x pt cho

+Đối chiếu x với ĐK kết luận

Lưu ý : Nếu ẩn x nằm số thì phải có đk < x ≠ 1

Bài giải

2

) log log log 11 a x x x (1)

Điều kiện: x >

2

2 2

(1) log xlog xlog x11

2 2

2

6

1

log log log 11

2

11

log 11

log 64 ( )

x x x

x

x x nhan

   

 

    

Vậy phương trình có nghiệm x = 64

5 25 0,2

1 ) log log log

3

b x x

(2) Điều kiện: x >

 

2

1

5 5

(2) log x log x log 



  

 

5 5

5

5

2

3

5 5

3

log log log

3

log log

2

log log 3

log log log log 3 ( )

x x

x

x

x x

x nhan

  

 

 

   

 

Vậy phương trình có nghiệm x33. c) log4x12 log 1 x  (3) Điều kiện: x > x 1

(3) <=> 2 

1

log 12

2 x log x  <=> log2x12 2 log2 x

 

2

log x12 log x

Lưu ý:Ta chọn hai biểu thức f(x) g(x) biểu thức đơn giản , dễ giải bpt hơn để ghép với pt f(x) = g(x) và giải hệ hỗn hợp se bớt được việc giải thêm bất

phương trình

4

3 ( )

x

x loai

  

 

Vậy phương trình có nghiệm x =

) ln(  7) ln(  3)

d x x x

2

3

3

5

6 7 10

5  

  

  

        

       

   

 

x

x x

x x

x x x x x

x Vậy phương trình có nghiệm x =

2

2

) log  log  0

e x x (5)

Điều kiện: x > Đặt tlog2x

2

(3)

2 t t t

t  

     

 

3

3 log ( )

t  x  x  nhan

2

2 log 2 ( )

t  x  x  nhan

Vậy phương trình có nghiệm x = x =

2

) 4log log 2

f x x

(6) Điều kiện x >

1

2

2 2

2

(6) 4log xlog x 2 4log x2log x 0 (6’) Đặt tlog2x

2

1 (6 ') 2 1

2   

    

  

t

t t

t

1

1

1 log ( )

2

t x x  nhan

     

1

2

1

log 2 ( )

2

5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lơgarit

Cách giải tương tự cách

Vậy phương trình có nghiệm x

x

2

3

) 3log 10log 

g x x (7)

Điều kiện x > Đặt tlog3 x

2

3

(7) 10 3 10 1

3   

       

  

t

t t t t

t

3

3 log 3 27 ( )

t  x  x  nhan

1 3

1

log 3 ( )

3

t  x  x  nhan

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 x33.

   

3

) log 3x log 3x

h 

  

(8) Điều kiện 3x - > <=> x > 0

(8) <=> log 33 1 log [3 3  1 ] 6 

x x

<=> log 33 x1 [1 log 3  3 x1 ] 6  Đặt log (33 1)

x

t ta có pt : t ( + t ) = <=> t2 + t - = 0

<=>   

 

2 t

t

Với t = ta có log (33 1) log 103

x x x

       (nhận)

Với t = -3 ta có

3

1 28

log (3 1) 3 3 27 27

x x  x

        

3 28 log

27 x

 

(nhận)

Vậy phương trình có nghiệm x = log310

3 28 log

27 x

giải phương trình mũ lơgarit.

*Với điều kiện thích hợp lưu ý cho học sinh nhớ

a) Bất phương trình mũ

• Nếu a>1 thì

( ) ( ) ( ) ( ) f x g x

a a  f x g x

• Nếu < a < thì

( ) ( ) ( ) ( ) f x g x

a a  f x g x b) Bất phương trình lơgarit

 Nếu a>1 thì

log ( ) log ( ) ( ) ( )



 

a f x a g x

f x g x

 Nếu 0<a<1 thì

log ( ) log ( ) ( ) ( )



 

a f x a g x

f x g x

Lưu ý:Chọn số chia thích hợp trong pt d) sau chia ta sẽ pt đơn giản hơn

Bài 4: Giải bất phương trình sau:

2

6 ) x x 49

a  



2 7 2

3

)

5 25

x x b

  

 

  

  c) 4x 3.2x 2 e) 5.4x2.25x 7.10x g) 3x 3 x 2 8

Bài giải

2

6 7 2

) x x 49 x x 7

a     x x x x

          

3

1

   x

Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [ 

; 1]

2 7 2 7 2 2

2

2

3 3

) 2

5 25 5

0

7

     

     

       

     

     

 

     

 

x x x x

b x x

x

x x

x

Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  ;0  7;

) 4x 3.2x 2 x 3.2x

c        (1)

Đặt t2 ,x t0

Bất phương trình trở thành: t2 3t 2  1 t Kết hợp điều kiện ta

1 2 x

t x

       

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0; 1)

e) 5.4x2.25x 7.10x <=>

4 10

5

25 25

   

 

   

   

x x

2

5

5

   

  

   

   

x x

Đặt t =

x    

  , t > ta có bpt 5t2 - 7t +  <=>

2

Kết hợp điều kiện ta

5  t  2

1 0

5  

         

  x

x x

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] g)

2

3 8

3

 

      

x x x

x

Đặt t3 ,x t0 ta có bpt: t -

9

t + > <=> t2 +8t - >

9 t t    

 

Kết hợp điều kiện ta t > <=> 3x > <=> x > 0

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0;)

Bài 5: Giải bất phương trình sau:

) log (4 3)

a x  b) log (0,5 x2 5x6)1

1

3

) log (2 4) log ( 6)

c x  x  x

d) lg(7x1) lg(10 x211x1) e) 2log3(4x-3) +

 

1

log 2x3 2 f) log2(x+2) +

 2

4

2 log x log 0

Bài giải

3

) log (4 3)

a x 

Điều kiện

3

4 x   x

2

log (4x 3) 2  4x 3  4x12 x3 Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm

3 ;3 S  

 

2 0,5

) log ( 6)

b x  x 

Điều kiện

2 5 6 0

3 x

x x

x       

Lưu ý : Nếu sử dụng cách thì việc giải bpt (3) , (4) ngắn gọn hơn

 

2 2

0,5

log ( 6) 0,5

1



          

  

x x x x x x

x

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S 1; 2  3; 4

1

3

) log (2 4) log ( 6)

c x  x  x

(3) Cách 1(Đặt điều kiện)

Điều kiện:

2

3

6

3 x x

x x

x x

x     

 

     

 

   

  

 

2

1

3

2

log (2 4) log ( 6)

3 10

x x x x x x

x x x

        

       

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm

3;5

S 

Cách : Ta viết (3) <=> 2x +  x2 - x - > 0

<=>

2

2

6

x x x

x x

    

 

   

 <=>

   

 

   



2

3 10

x x

x x

<=>

2

3

2

x

x x

x    



  

   



 

 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 3;5

) lg(7 1) lg(10 11 1)

d x x x

Cách 2:

2

lg(7x1) lg(10 x 11x1)<=> < 7x +  10x2 -11x +1

<=>

2

0

10 18

7 10 11

1

7

1

7 x

x x

x x x x

x x

x   

   

       

  

  

   

  



Lưu ý: Trong bpt (6) ta phải viết

 2

4

log x log x

<=>

0 x

  

x

Vậy tập nghiệm bất phương trình

1

;0 ;

7

   

   

   

S

Cách 1(đặt điều kiện)

Điều kiện:

 

2

1

7 1 1

; 1;

7 10 10 11

10 x x

x x

x x

x 

  

  

  

     

    

     

 

 

  

2

2

lg(7 1) lg(10 11 1) 10 11

10 18 9

5

        

  

   

  

x x x x x x

x

x x

x

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm

1

;0 ;

7

   

    

   

S

e) 2log3(4x-3) +

 

1

log 2x3 2

(5)

Điều kiện

3

4 4

2 3

2 x x

x x

x 

   

 

  

 

 

   

 

(5) <=>

 2

3

4

log

2 x

x 

  <=>    

2 2

4 16 42 18

8

x  x  x  x     x

Lưu ý chung

* Khi giải pt mũ phương pháp đặt ẩn số phụ cần ý đặt điều kiện cho ẩn số phụ

*Khi giải bpt mũ bpt lôgarit cần ý đến số nắm chắc tính đơn điệu hs mũ,hs logarit *Một số tập giải pt, bpt mũ và logarit phương pháp loogarit hóa sử dụng tính đơn điệu h/s mũ,h/s logarit được cho phần tập tự luyện (có hướng dẫn đáp số)

f) log2(x+2) +

 2

4

2 log x log 0

(6)

Điều kiện

2 x x

   

 

(6 <=> log2(x+2) + log2 x 8 <=> x2 x 8

<=>

   

   

5

2

2

2

x

x x

x

x x

   

   

   

   

 



     

 <=>

2

2

3 18

2

3 x

x x

x

x x

   

  

 

     

     

5

2

3 17 17

3

x x x

x

x  

      

    

 

    



  

  

  

 <=>

5

3 17 17

3

x

x 

 

 

  



Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm

3 17 17

3

x

x 

 

 

  

CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính

a)

5 0,75 2

( ) 0, 25 16

A  

 

b)

2

3

0,75 1

256

27 32

B



    

     

   

ĐS : a) 40 b) 609

64 Bài 2: Rút gọn biểu thức

a)

1

1

2 (2 )

2

y y

A x x

 



 

   

             b)

4

3 3

1

4 4

( )

( 0)

( )

a a a

B a

a a a







 

 ĐS : a)

1 xy b) a

Bài 3: Tính giá trị biểu thức a) A31 log 4

b) Blog 6.log 9.log 23

c) 2

1

log 48 log 27

C 

d) D49log7 log 3 49

ĐS: a) x < x > ; b)

1

2 x ; c) 1x2 ; d) log 23  x e) 1 2  x 2 HD đặt t = 3x22x , t >

g) < x <

2 x > HD: lơ ga rít hóa số 10 hai vế bpt ta (2x2 - 7x).log(x - 3) > Lập bảng xét dấu vế trái

Bài 11: Giải phương trình sau

a) 3x4x 5x b) 3x x 0 c)

1

x x  

     

ĐS: a) x=2 HD : Dự đoán x = nghiệm Ta CM x =2 nghiệm Chia hai vế (a) cho 5x ta có pt

3

1

5

x x

   

 

   

    (1)

+) Với x > ta có

2

3

5

x    

         ;

2

4

5

x    

    

ĐS : a) ; b)

3 ; c) 144 ; d) 15 Bài 4: Rút gọn biểu thức

a) A =

1

log ( ) log ( )a ab  b ab b) B = ln log 2 ln2 log2

a a

a e  a e

ĐS : a) ; b) 2(ln2a + ) Bài 5:

a, Chứng minh

2

1

( ) ( )

3  ; b)

3

2

3

 

      

c) So sánh số log 53 log 47 ; d) log log

3 HD: a) So sánh  

2

và  

HD: c) 5>3 => log35>log33 = d) 4>1=>log34>log31 = 4<7 =>log74 < log77 =1

1

3<1 =>log4

3 < log41 =0 => log 53 > log 47 =>

1 log < log

3 Bài 6: Tính đạo hàm hàm số

a) y = 5x2 + lnx - 7.3x ; b) y = x.ex ; c) ylog2c xos  d)

 

ln x y

x  

ĐS: a) y' = 10x +

x- 7.3x.ln3 ; b) y' = ex (x + 1)

c) y' = tanx

ln 

; d) y' =

   

 

2 2

2

2 ln

1

x x x

x x

  



có

3

5

x x

             <

2

3

1

5

   

 

   

    vậy với x > Không nghiệm pt (1)

+) Với x < làm tương tự ta CM x < Không nghiệm pt (1)

Từ suy x =2 nghiệm

b) x = ; c) x < (Câu b c giải đồ thị) Bài 12 : Giải PT sau

a) log ( 23 x 2) 3.log 27 x b)

2

2 log xlog xlog x6 c) log4x12 log 1 x  d) log32x6.log3x 0 e) log (22 x1) 4.log ( x1) 0 

g) log2(4x +15.2x +27) + 2log

4.2x  = h) log 55 x 4  1 x

i) 4 2   log 2log log 3log

2 x

  

 

 

k)log2xlog 25 x1 2

ĐS : a) x = 2; b) x = ; c) x = ; d) x = , x =

3 ; e) x = 1,x = 31 32  g) x = log23 HD: ĐK 4.2x - > ta có pt

log2(4x +15.2x +27) =   2

log 4.2x h) x =1 ; i) x =

k) x = nghiệm HD Làm tương tự câu a) 11 Bài 13: Giải BPT sau

Bài 7: Cho hàm số ln y x 

 chứng minh xy'+ = ey HD: y' =

-1

x ; xy'+ =

1 x =

1 ln

1 y x e  e Bài 8: Giải PT sau

a,

2 3

2x  x 4x

 b,

2 3

5

3

x x

             c) 1

7x x 343

 d) 2 5x x1 x2 12  e) 25x - 7.5x + = f) 32x+1 - 5.3x + = h) 27x12x 2.8x 0 i) 5x153x 26 k) 3.16x2.81x5.36x l) 24x417.22x4  1 m) 4 15 4 15

x x

   

n) 9x21-36.3x23 3 ĐS: a) x=0 ,x=5 ; b) x=2 ; c) ptvn ; d) x=2 ; e) x=0, x=log56 ; f) x=0,x=log32 -1 ; h) x=0 ; i) x=1, x=3 ; k) x=0,x=

1

2; l) x=2, x=0 m) x=0 ; n) x = 1, x=

Bài 9: Giải phương trình bất pt sau

a)32x5 5 b)2x35x25x6 c) 62x3 2 3x7 1x ĐS: a) x =

1

2(log35 - 5) ; HD: lấy lôgarit số hai vế pt

b) x = 2+log52 ; x = HD: lấy lôgarit số hai vế pt biến đổi pt

bậc hai có  

2

5 5

1 log (log 2) log

     

c) x>4 HD: Viết 62x+3 = 22x+3.32x+3 Bài 10 : Giải bất phương trình sau

a) 3x23x9 b)

2

2

3

5

x x  

  

  c) 2 5 x x              

b)    

2

1

3

log x  6x5 2log 2 x 0

c) log ( )

1 x x 



 d)  

3

2

log log x 1  1

 

e) log23 x 5.log3x6 0 g)

4 log 1 log

x x 





h) ln 3 2 x

e   x

ĐS: a) -14 < x  -2 x > 4; b) x < 1; c) -4 x < -1; d) 2 x    

2 x ; e) 0x9hoặc x > 27 g)0 < x <

1

2 x  2 ; h)

ln

3x x > ln2 (HD: 2x lne2x

 )

Bài 14: Giải hệ phương trình sau a)

3 (1) (2) x y x y      

 b)

2

2 5 x x y

x x y

         

 c) 4 20

log log log x y x y        

d)   log log

x y y x       

 e)

2

2

2

5log 3log 10log log

x y x y        ĐS: a) 3 log

log x y     

 HD: Rút x pt (2) vào pt (1)

b)

2

5

log

log log x y     

 x y    

 HD: Đặt x x y u v         c) 18 x y    



d) 9x - 5.3x + < ; e)

2

2

2

9

3 x x x x



  

   

  ; g)  

2

2 x x

x 

 

d)

3 29 29

2 x

y

 

   

 

 

 e)

19 55 23 11 x

y



     

 HD: Đặt

2 log log

u x

v y

  