Đang tải... (xem toàn văn)
Do đó, mọi phân số có tử lớn hơn 1 đều được viết dưới dạng tổng các phân số có tử bằng 1 và mẫu khác nhau.. Có lẽ Ấn Độ là nơi đầu tiên xuất hiện cách viết phân số như ngày nay.[r]
(1)Chủ đề 2: ĐƯỜNG THẲNG – TAM GIÁC ! I-ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC – ĐƯỜNG THẲNG SONG
SONG.
1-Hai góc đối đỉnh: hai góc mà cạnh góc tia đối của cạnh góc
Hai đờng thẳng cắt tạo thành hai cặp góc đối đỉnh Hình
**Tính chất: góc đối đỉnh nhau.
2-Hai đường thẳng vuụng gúc: Hai đờng thẳng xx’ yy’ cắt
trong góc tạo thành có góc vng đợc gọi hai đờng thẳng vng góc Kí hiệu: xx’yy’
*Tính chất: Có đờng thẳng a’ qua O vng góc với đờng thẳng a cho trớc
3-Đ ờng trung trực đoạn thẳng: Đờng thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm đợc gọi đờng trung trực đoạn thẳng
4-Các góc tạo đường thẳng cắt đường thẳng. Góc so le –góc đồng vị
-
A1 B 3; A 4 B 2 đợc gọi hai góc so le
- A1 vµ
B1;
A2 vµ
B2;
A3 vµ
B3;
A4 vµ
B4 đợc gọi hai góc đồng vị
***Tính chất: Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a b góc tạo thành có cặp góc so le thì:
a) Hai góc so le cịn lại b) Hai góc đồng vị
5-Hai đường thẳng song song:
-Nếu hai góc so le hai đường thẳng song song -Nếu hai góc đồng vị hai đường thẳng song song
*** DÊu hiƯu nhËn biÕt hai đường thẳngsong song :
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị ) a b song song với
Ký hiệu : a // b
Tiên đề Ơ-Clit : Qua điểm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng
***Tính chất hai đ ờng thẳng song song:
Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì: a) Hai góc sole b) Hai góc đồng vị
c) Hai gãc cïng phÝa bï
GT a//b, c cắt a A, cắt b B
KL A
4 =
B2;
A3 =
B1;
A4 =
B4;
A3 =
B3;
A2 =
B2;
A1 =
B1;
A4 + B 1 = 1800;
A3 + B 2 = 1800
Quan hệ tính vuông gãc vµ tÝnh song song : GT ac
KL a) nÕu bc => a//b b) nÕu a//b => bc
(2)x O y m
z
n
**Tính chất: -Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ chúng song song với
-Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thng
7 Ba đ ờng thẳng song song.
Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba chúng song song với
8.
Định lí: là khẳng định suy từ khẳng định đợc coi
**Chứng minh định lí: dựng lập luận để từ giả thiết suy kết luận VD: Chứng minh định lý: Gúc tạo hai tia phõn giỏc hai gúc kề bự gúc vuụng. Giải:
GT
xOz¿ =zOy ¿
kề bù
Om : tia phân giác xOz
¿
On : tia phân giác zOy
¿
KL
mOn¿ =90o Ch
ứ ng minh: Ta có: mOz
¿ =1
2xOz
¿
(1) (Vì Om tia phân giác xOz
¿
)
zOn¿ =1 2zOy
¿
(2) (Vì On tia phân giác zOy
¿
) Do đó, từ (1) (2), ta có mOz
¿
+zOn ¿
=1 2(xOz
¿
+zOy ¿
)
(3) Vì tia Oz nằm hai tia Om, On xOz
¿
zOy
¿
kề bù (theo giả thiết), nên từ (3) ta có :
mOn¿ =1 2×180
o =90o II-TAM GIÁC
1-Tỉng ba gãc cđa tam giác:
Định lý:Tổng ba góc tam giác 180 a)Tam giác vuông: tam giác có góc vuông
Định lí: Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
b)Góc tam giác: Góc tam giác góc kề bù với một góc tam giác Êy ACx
¿
Mỗi góc ngồi tam giác tởng hai góc khơng kề với nú
VD:Tính x, y hình vẽ
1) Δ ABH cã H^=900(AH⊥BC)
⇒x=900−500=400
Δ ABC cã: A^=900 ⇒y=900−500=400
(3)B E
2) Ta cã MD I^ lµ gãc ngoµi cđa Δ MND nªn
x=430+700=1130
* Δ MDI cã 430+1130+y=1800
⇒y=1800−(430+1130)
⇒y=240
2-Hai tam giác nhau: hai tam giác có cạnh tơng ứng nhau, góc tơng ứng b»ng
ABC = A’B’C’
-Hai tam giác ABC A’B’C’ gọi hai tam giác
nhau
-Hai đỉnh A A’, B B’, C C’ gọi hai đỉnh tương ứng Hai góc A A’, B B’, C C’ gọi hai góc tương ứng
Hai cạnh AB A’B’, AC A’C’, BC B’C’ gọi hai cạnh tương ứng
a)Tr êng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c):nu ba cạnh tam giác bacạnh tam giác hai tam giác
VD: Hình 68:
Xét ACB ADB có: AC = AD (c) BC = BD (c) AB: c¹nh chung (c) => ACB = ADB (c.c.c)
H×nh 69:
XÐt MNQ vµ PQM cã: MN = QP (c) NQ = PM (c) MQ: c¹nh chung (c) => MNQ = QPM (c.c.c)
b)
Tr ờng hợp cạnh - góc - c¹nh (c.g.c): Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác
bằng
NÕu ABC vµ A’B’C’ cã
AB=A ' B '
B¿=B ' ¿
BC=B' C '}
⇒Δ ABC=ΔA' B ' C ' (c.g.c)
Hệ quả: (Hệ định lý, suy trực tiếp từ định lý tính chất thừa nhận).
-Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng
c)
Tr ờng hợp góc-cạnh-góc (g.c.g): Nu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác
VD: Δ ABC Δ A’B’C’ có: B¿=B'
¿
;BC=B' C';C ¿
=C ' ¿
Th× Δ ABC = Δ A’B’C’ (g.c.g)
HƯ qu¶:
1-Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh
của tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng
GV: AYLIGIO.BACHTUYET 3
B C
A
B ’ C ’
(4)A C B
2-Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng
VD: Cho Δ ABC cã B^= ^C Tia phân giác B^ cắt AC D, tia phân giác C^ cắt AB E So sánh: BD CE
Gii:
GT ABC
, B^= ^C , phân giác BD vµ CE,
(D∈AC , E∈AB)
KL So sánh: BD CE
Ch
ng minh:
XÐt Δ BEC vµ ΔCDB cã:
^
B= ^C(giathiet) ^
C1= ^B1( ^C1=1
2C ,^ B^1=
1 2 B^)
BC chung
BEC=CDB(g.c.g) BD=CE
3- Tam giác cân: tam giác có hai cạnh ABC cân A (AB=AC)
Ta gọi: AB AC cạnh bên, BC cạnh đáy, góc B C góc đáy, góc A góc đỉnh
**Tính chất:
-Trong tam giác cân, hai góc đáy
-Nếu tam giác có hai góc tam giác tan giác cân 4-Tam giác vuông cân: tam giác vng có hai cạnh góc vng nhau. 5-Tam giác đều: tam giác có cạnh nhau.
**Tính chất:
-Trong tam giác đều, góc 60o.
-Nếu tam giác có góc tam giác tam giác -Nếu tam giác cân có góc 60o tam giác tam giác đều. VD:
KOM cân M MO=MK ONP cân N v× ON=NP
Δ ONM tam giác đều, OM = ON = MN
6- Định lí Py-ta-go:Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tởng bình phương hai cạnh góc vng
**Định lí Py-ta-go đảo:Nếu tam giỏc cú bỡnh phương cạnh tụ̉ng cỏc bỡnh phương hai cạnh thỡ tam giỏc đú tam giỏc vung
Định lí Py-ta-go:
GT ABC vuông A
nh lớ Py-ta-go đảo:
(5)KL BC2=AB2+AC2 KL
ABC vuông A VD:
GT
ABC, AH BC, AC = 20 cm
AH = 12 cm, BH = cm
KL Chu vi ABC (AB+BC+AC) Chøng minh:
* XÐt AHB, theo định lý Py-ta-go ta cã:
→ →
* XÐt AHC theo định lý Py-ta-go ta cã:
Chu vi ABC là:
Các tr ờng hợp hai tam giác vuông:
a) Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng (theo trường hợp: cạnh –góc – cạnh)
b) Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng (theo trường hợp: góc –cạnh –góc)
c) Trường hợp cạnh huyền góc nhọn: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng
d) Tr ờng hợp cạnh huyền cạnh góc vng: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng nhau.VD:
GT ABC ( A ¿
=900), DEF ( D
¿ = 900)
BC = EF ; AC = DF
GT A ¿ a:AB = AC( B,C ¿ a )
DB = DC ( D ¿ a )
KL AD ¿ a
Chứng minh: GV: AYLIGIO.BACHTUYET 5
2 2
AB AH BH
2 2
12 144 25
AB
2
169 13
AB AB cm
2 2
2 2
2 2
2
20 12 400 144
256 16
5 16 21
AC AH HC
HC AC AH
HC
HC HC cm
BC BH HC cm
13 21 20 54
(6)KL ABC = DEF
Ch
ứ ng minh:
Ta cã: ABC ( A ¿
= 900) BC2 = AB2 + AC2
AB2 = BC2 - AC2
DEF ( D ¿
= 900) ED2 = EF2 - DF2
Mµ BC = EF (giả thiết); AC = DF (giả thiết) VËy AB = ED
ABC = DEF (c-c-c)
- Xét Δ ABD Δ ACD có : AB = AC ( giả thiết ) ;
BD = CD ( giả thiết) AD cạnh chung
⇒ Δ ABD Δ ACD ( c.c.c ) ⇒ DÂB =DÂC ( góc tương ứng ) - Xét Δ AHB Δ AHC có :
AB = AC ( giả thiết)
DÂB =DÂC ( chứng minh ) AH chung
⇒ Δ AHB = Δ AHC ( c.g.c )
⇒ AHB
¿
=AHC
¿
Mà AHB
¿
+AHC
¿
= 1800 ( góc kề bù )
⇒ AHB
¿
=AHC
¿
= 900 ⇒ AD ¿ a VUI TOÁN HỌC !
PHÂN SỐ AI CẬP LÀ GÌ? Cách khoảng 4000 năm, người Ai Cập
hiểu phân số biết phép tính phân số Tuy nhiên, người cổ Ai Cập thừa nhận phân số có tử Do đó, phân số có tử lớn viết dạng tổng phân số có tử mẫu khác Chẳng hạn:
3 4=
1 4+
1 2;
5 6=
1 3+
1 2;
7 12=
1 3+
1 4;
7 8=
1 2+
1 4+
1 8
Sau này, người ta thường gọi phân số dạng
1
n phân số Ai Cập.
Trong tài liệu cở Ba-bi-lon, người ta thấy phân số có mẫu lũy thừa 60 Có lẽ Ấn Độ nơi xuất cách viết phân số ngày Danh từ “ phân số” đưa vào châu Âu từ Ả - rập qua tác phẩm nhà bác học Ý Lê – ô – nác – đô Pi-xa- nô (1202) Cách gọi “tử số” “mẫu số” nhà bác học Mác –xim Pla- nút (cuối kỷ XIII), người xứ Bi- dăng – xơ (thuộc Hy Lạp)