parabol 2

[r]

BÀI ĐƯỜNG PARABOL

I CÁC DẠNG PARABOL VÀ ĐẶC ĐIỂM

TĐX Trục

thực Hình dạng Hypecbol Phương trình yếu tố Parabol

O (0; 0) Ox

2 2

y = px; Tiêu điểm ( ); p

F ∈ Ox Tâm sai e = Đường chuẩn (∆):

2 p x= − Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M p M∈P ⇔MF= +x

O

(0; 0) Ox

2 2

y = − px; Tiêu điểm ( ; 0) p

F − ∈ Ox Tâm sai e = Đường chuẩn (∆):

2 p x= Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M p M∈P ⇔MF= −x

O

(0; 0) Oy

2

x = py; Tiêu điểm ( )0; p

F ∈ Oy Tâm sai e = Đường chuẩn (∆):

2 p y= − Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p M∈P ⇔MF= +y

O

(0; 0) Oy

2 2

x = − py; Tiêu điểm (0; ) p

F − ∈ Oy Tâm sai e = Đường chuẩn (∆):

2 p y= Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p M∈P ⇔MF= −y

S(a; b) y = b

Phương trình: (y−b)2 =2p x( −a); Tiêu điểm ( ; )

2 p

F a+ b ∈ (y = b) // Ox Tâm sai e = Đường chuẩn (∆):

2 p x=a− Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p

MF = −a + x

S(a; b) x = a

Phương trình: (x−a)2 =2p y( −b); Tiêu điểm ( ; )

2 p

F a b+ ∈ (x = a) // Oy Tâm sai e = Đường chuẩn (∆):

2 p y=b− Bán kính qua tiêu điểm: ( )

2 M

p

MF = −b + y

II XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA PARABOL

Bài 1. VPT tắc (P) với đỉnh gốc tọa độ O biết: Tiêu điểm F(4; 0) Tiêu điểm F(0; 2)

Đường chuẩn x= Đường chuẩn y= 1/2 Đi qua A(−2; 1) nhận Oy làm trục đối xứng Nhận Ox làm trục ĐX chắn y=xđoạn 2

Bài 2. Lập phương trình tắc Parabol (P) đỉnh O biết (P) có: Trục Ox, khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn

Trục Oy, tiêu điểm F(0; −1) Trục Oy (P) qua A(−1; 1) Trục Ox (P) qua A 2; 2( − ) Đường chuẩn 2x− =

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, lập PT Parabol (P) Tiêu điểm F(3; 2), đường chuẩn trục Ox

Đỉnh S(2; 1), đường chuẩn trục Oy Tiêu điểm F( 3; 2)

2

− , đường chuẩn là: y+ = Tiêu điểm O(0; 0), đường chuẩn: 3x− 4y− 10 = Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, lập PT Parabol (P) Đỉnh S(−1; 1), tiêu điểm F(2; 1)

Tiêu điểm F(2; −4), đường chuẩn: y− = Đỉnh S(−1; 2), đường chuẩn Oy

Đỉnh S(1; −2), qua O; trục phương trục tọa độ

Trục đường x= 1, đỉnh S ∈đường y+ = (P) chắn y= x−

đoạn có đọ dài

Bài 5. Lập phương trình Parabol (P) có: Tiêu điểm O, đường chuẩn: x− y− = Đỉnh S(2; 1), tiêu điểm F(3; 2)

Đỉnh S(1; 3), đường chuẩn (D): x− 2y=

Đỉnh O, trục Oy, tiêu điểm F, dây AB = ⊥ Oy I trung điểm OF Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy cho (P): y2 =4x

Tìm M∈(P) có bán kính qua tiêu điểm MF = 10; yM > Tìm thêm N∈(P) cho ∆OMN vng O Tìm A, B ∈ (P) cho ∆OAB

Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P): y2 =2px (p>0) Tính độ dài dây MN ⊥ Ox tiêu điểm F

Tìm điểm A, B ∈(P) cho ∆OAB

Bài 8. VPT cạnh tam giác nội tiếp Parabol (P): y2 =8x, biết

đỉnh gốc tọa độ O trực tâm tam giác tiêu điểm (P) Bài 9. Cho (P): x2 −4y (D): x−2y+4=0

Tìm tọa độ giao điểm A, B ( )P ∩( )D

Tìm M cung AB (P) cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn (P) hai dây MA, MB nhỏ

Bài 10.Tìm điểm M∈(P): y2 =64x cho khoảng cách từ M đến (D): 4x+3y+86=0 nhỏ

Bài 11.Cho (P): y2 =x (D): y= mx (m≠ 0)

Đường (D) cắt (P) M ≠ O Đường (D’) ⊥ (D) cắt (P) N ≠ O Chứng minh rằng: Đường thẳng MN qua điểm cốđịnh ∀m Bài 12.Cho (D):Ax+By+C=0 với A2 +B2 >0 (P): y2 =2px p( >0) Biện luận theo A, B, C, p số giao điểm (D) với (P)

Bài 13.Cho (P): y=x2 A(−1; 1), B(3; 9)

Tìm M∈(P) cho diện tích ∆ABM đạt Max

III TIẾP TUYẾN VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH CỦA PARABOL III.1 Tiếp tuyến tại điểm thuộc Parabol

1 M(x0, y0) ∈ (P1):

2

y = px ⇒ (t): yy0 = p x( +x0) 2 M(x0, y0) ∈ (P2):

2

y = − px ⇒ (t): yy0 = −p x( +x0) 3 M(x0, y0) ∈ (P3):

2

x = py ⇒ (t): xx0 = p y( + y0) 4 M(x0, y0) ∈ (P4):

2

x = − py ⇒ (t): xx0 = −p y( + y0) III.2 ĐK cần đủđể (∆∆∆∆): Ax+By+C=0 tiếp xúc (P)

1 (∆) tiếp xúc (P1):

2

y = px ⇔ pB2 =2 A C 2 (∆) tiếp xúc (P2):

2

y = − px ⇔

2 pB = − A C 3 (∆) tiếp xúc (P3):

2

x = py ⇔ pA2 =2 B C 4 (∆) tiếp xúc (P4):

2

x = − py ⇔

2 pA = − B C

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến (P): y2 +4x=0 giao điểm (P) với (C): x2 + y2 +5x+2y−4=0

Bài 2. Viết PT tiếp tuyến (P): y2 =8x // (D): 2x− y= Bài 3. Viết PT tiếp tuyến (P): x2 +2y=0 với hệ số góc k= Bài 4. Viết PT tiếp tuyến (P): x2 =36y qua điểm A(9; 2) Bài 5. Viết PT tiếp tuyến chung (P): y2 =12x elip (E):

2

1

8

y

x + =

Bài 6. Viết PT tiếp tuyến chung (P): y2 =4x (C): x2 + y2 −2x− =3 Bài 7. Cho (P): y2 +2px=0 (p>0) CMR: ∀ ∈m từ ,

2 p A m

  kẻđược

2 tiếp tuyến vuông góc Viết phương trình đường thẳng qua tiếp điểm chứng minh qua điểm cốđịnh

IV MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA

Bài 1. Cho (P): y2 =2px M ∈(P)

Đường (∆) qua M cắt Ox A, cắt tiếp tuyến đỉnh B cắt (P) M, N CMR: BA2 =BM BN

Giải

Kẻ MH NK vuông góc Oy⇒ BA BM BN OA=MH = NK ⇒

2

BM BN BA

MH NK

OA = (1)

Đặt xM =m x; N = ≠n m x; A =a ⇒

2 2 , 2

M N

y = pm y = pn Do AM∆ m~ AN∆ n suy

M N

m a n a

y y

− = − ⇒ ( )2 ( )2 ( )( 2) 0

2

m a n a

m n mn a

pm pn

− = − ⇔ − − =

Do m≠ n⇒ mn=a2 ⇒ MH NK. =OA2 (2) Suy BA2 =BM BN. Bài 2. Cho (P): y2 =2px p( >0) có ;

2 p F 

  đường chuẩn (∆): p x= − Tiếp tuyến (D) (P) M cắt Ox, Oy N, I

a CMR: I trung điểm MN; FI ⊥ (D) điểm đối xứng F qua (D) thuộc (∆) b Gọi K≡( )D ∩( )∆ Đường thẳng qua F ⊥ Ox cắt (D) L CMR: FK = FL

Giải

Kẻ MG ⊥ (∆) ⇒ MG = NF

Theo định lý Pascal FMN=FNM

⇒ FM =FN ⇒ MFNG hình thoi Mà G, F cách Oy khoảng

2 p

nên tâm hình thoi I ∈ Oy

Ta có LF ⊥ Ox⇒ IFL=IGK ⇒∆IFL = ∆IGK ⇒ FL = GK mà K∈(D) trung trực GF nên GK = FK ⇒ FK = FL

A

O x

y

B

M

N

n m

H

K

F

O x

y

B M

N

p/2 I K −p/2

G

L

Bài 3. Cho (P) có tiêu điểm F Từđiểm I vẽ tiếp tuyến IM, IN đến (P) a CMR: FI2 =FM FN

2

IM FM

FN IN = b Một tiếp tuyến (d) tuỳ ý (P) tiếp xúc (P) T cắt IM, IN Q, Q’

CMR: FQ FQ FT

′

không phụ thuộc vị trí (d)

Giải

Chọn hệ Oxy cho (D): y2 =2px (p > 0)

Theo định lý Pascal ⇒ KMH=KMF⇒∆KMH= ∆KML⇒MH=ML=xM Mà

2 M

p

MF=x + =MH +OF⇒MF−MH=OF ⇒FL=OF FKO KFL

⇒∆ = ∆ ⇒KFL=KFO⇒MKF=90°⇒OKF=KMF

Tương tự ta có: FJ ⊥IN FNJ =FJO

a FKI=FJI =90° ⇒ IKFJ nội tiếp ⇒ FKJ =FIJ, KIF=KJF

⇒ FMI=FIN , FIM=FNI ⇒∆FIM ~ ∆FNI ⇒ 2

2

FI FM IM FI FM FN IM FI FM FM

FN = FI = IN ⇒ = IN = FN ⋅ FI = FN b Coi d d1 tiếp tuyến xuất phát từ Q, Q’

⇒ FQ2 =FM FT. FQ′2 =FN FT.

⇒ 2 2

FQ FQ

FQ FQ FM FN FT FI FT FQ FQ FI FT FI

FT ′

′ = = ⇒ ′= ⇒ =

Bài Cho parabol (P): ( )

2

y = px p> Giả sử chùm đường thẳng ( )

đi qua tiêu điểm F cắt (P) hai điểm phân biệt M, N CMR: Tích khoảng cách từ M, N đến trục hồnh Ox khơng phụ thuộc vào vị trí (∆)

Giải Xét (∆) qua ;

2 p F 

  cắt (P) hai điểm phân biệt M, N theo khả năng:

F x

y

M

I

K H

L

i ( ):

2 p x

∆ = ; ( )∆ ∩( )P M ; , N ;

2 p p p p     −         ⇒ ( ) ( ) ; ;

d M Ox d N Ox = p

i ( ):

2 p y k x  ∆ =  − 

 , k≠0 Tọa độ M(x y1, 1), N(x2,y2) nghiệm hệ: 2 y px kp y kx  =   = −   ⇔ 2 2 y x p

ky py kp

 =    − − = 

⇒ 2

1 kp

y y p

k −

= = −

Ta có d M Ox d N Ox( , ) ( , )= y1 y2 = y y1 2 = −p2 = p2

Bài Cho parabol (P) y2 =2px Giả sử (P) lấy điểm A cốđịnh hai

điểm B, C di động có tung độ a, b, c cho AB ⊥ AC CMR:

Đường thẳng nối B, C qua điểm cốđịnh

Giải

Các điểm A, B, C có tọa độ ; , ; , ;

2 2

a b c

A a B b C c

p p p

     

     

     

2

; // ;

2

b a b a

AB b a u

p p

 −   + 

= −   

   

; 2; // ;

2

c a c a

AC c a v

p p  −   +  = −       

Do AB ⊥ AC nên AB AC =0 ⇔ ( ) ( )

2

4 b a c a

p

+ + + = 4p2

c a

a b −

⇒ = −

+ (1)

Đường thẳng nối B, C có phương trình 2px−c2 =(b+c y) −(b+c c) (2) Thay (1) vào (2) ta có:

2

4

2px b p a y b a p

a b a b

   

− − −  −  + =

+ +

   

⇔ 2p a( +b x) −(b2 −a2)−4p2y−ba a( +b)−4p b2 =0

  (3)

Giả sử họ (3) qua điểm định I x y( , ) với b Khi đó:

( ) ( )

2 2 4 2 2 4 0 ,

b y a b px p a pax a y p y b

− + + − − + + + = ∀

⇔ 2

2

0

2

2

2

y a y a

px p a a

x p

p pax a y p y

+ =   = −   = − = ⇔   = +   + + = 

⇒điểm cốđịnh 2 ;

2 a

U p a

p

 

+ −

 

 

Bài Giả sử hai parabol y=ax2 +b; x=cy2 +d ac( ≠0) cắt điểm phân biệt Chứng minh rằng: Các giao điểm nằm đường tròn

Giả sử y=ax2 +b; x=cy2 +d ac( ≠0)cắt Mk(xk; yk) (k =1, 4)

Ta có

2

2 k k

k k y ax b x cy d

 = +

 

= +



⇔

( ) ( )

2

1 k

k

k k

y b

x

a a

x d

y

c c



= +

 

 = +



Cộng vế (1), (2) với nhau:

2 2 0

k k k k

k k k k

y x b d x y b d

x y x y

a + c = + +a + c ⇒ − c + − a +a + c =

( ) (2 )2

2

1 1

2 2 2

k k

b d

x y

c a c a a c

⇒ − + − = + − − Do hai parabol cắt bốn điểm phân biệt nên

2

1 0

2

b d a c

c + a − − > Từđó Mk(xk; yk) (k=1, 4) nằm đường tròn tâm ( ; )

2 I

c a bán kính 2

1

2

b d R

a c

c a

= + − −

Bài 7. Viết PT cạnh tam giác nội tiếp parabol (P):y2 =8x biết

đỉnh tâm O trực tâm tiêu điểm (P)

HD: Trực tâm F(2; 0), Vì OF ⊥ AB ⇒ A, B đối xứng qua Ox Gọi A(x, y); B(x; −y) ⇒ OA⊥FB

⇒ A(10; ,) (B 10; 5− )

Bài 8. Cho (P):y2=2px p( >0); (D) qua tiêu điểm F (P) cắt (P) M, N Đặt (O , FMx )= α[0; 2π] a Tính FM, FN theo p, α

b CMR: 1 const

FM + FN = c CMR: FM.FN nhỏ (D) ⊥ Ox

HD: a ;

1 cos cos

p p

FM = FN=

− α + α

Bài 9. Cho (P): y2 =2px p( >0) Lấy M∈(P) ≠ O Gọi N, K hình chiếu M lên Ox, Oy CMR: Đường thẳng qua K ⊥ OM qua

điểm cốđịnh Đường thẳng qua K ⊥ NK qua điểm cố định Đường thẳng NK tiếp xúc với parabol cốđịnh

Bài 10.Cho (P): y2 =4ax a( >0) tiêu điểm F Gọi M ∈ (P) Tiếp tuyến (d) (P) M cắt Oy N Đường thẳng (∆) qua M ⊥ (d); K hình chiếu F lên (∆) CMR: FN ⊥ MN FN2 const