Parabol

Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol Parabol Bài 1: Viết phơng trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ trong mỗi trờng hợp sau: a. Biết đờng chuẩn là x = -2. b. Biết đờng chuẩn là y = -1. c. Đi qua điểm A(2,-1) và nhận trục hoành làm trục đối xứng. Tìm giao điểm của đờng thẳng (d): x-y-1=0 với mỗi Parabol (P) trên. Bài 2: Cho điểm F(3,0) và đờng thẳng (d): 3x-4y+16=0. a. Tính khoảng cách từ F đến (d) từ đó suy ra phơng trình đờng tròn tâm F tiếp xúc với (d). b. Viết phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ. CMR: (P) tiếp xúc với (d). Tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 3: Viết phơng trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ trong mỗi trờng hợp sau: a. Biết đờng chuẩn là x = -3. b. Biết đờng chuẩn là y = -2. c. Đi qua điểm A(2,-4) và nhận trục hoành làm trục đối xứng. Tìm giao điểm của đờng thẳng (d): x-y-1=0 với mỗi Parabol (P) trên. Bài 4: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =2x. Viết ph- ơng trình các tiếp tuyến của (P) biết: a. Tiếp tuyến đi qua A(2;2). b. Tiếp tuyến đi qua B(-2;0). Bài 5: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =2x. Viết ph- ơng trình các tiếp tuyến của (P) biết: a. Song song với đ- ờng thẳng (d): x-2y+6=0. b. Tiếp tuyến vuông góc (d) x-y=0. c. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d'): 2x-y=0 một góc 45 o . Bài 6: Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của Elíp (E): 1 49 22 =+ yx và Parabol (P): xy 2 2 = . Bài 7: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =16x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết: a. Tiếp tuyến đi qua A(1,2). b. Tiếp tuyến đi qua B(1,-4). -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 1 Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol c. Vuông góc với đờng thẳng (d): 2x-y+5=0. Bài 8: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =16x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P) biết: a. Tiếp tuyến đi qua M(-1,0). b. Vuông góc với đờng thẳng (d): 3x-2y+6=0. Bài 9: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai Parabol: (P 1 ): y=x 2 +x-2; (P 2 ): y=x 2 +7x-11. Bài 10: Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của Elíp (E): 1 68 22 =+ yx và Parabol (P): xy 12 2 = . Bài 11: Cho Parabol (P): 2 2 x y = và điểm ) 8 27 , 8 15 (A . a. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua ) 2 1 ,1( 1 M và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M 1 . b. Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M. Bài 12: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =8x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết: a. Tiếp tuyến đi qua A(2,4). b. Tiếp tuyến đi qua B(-3,0). c. Song song với đờng thẳng (d 1 ): x-y+4=0 d. Vuông góc với đờng thẳng (d 2 ): x-2y+2=0. e. Tạo với đờng thẳng (d 3 ): x+2y=0 một góc bằng 45 o . Bài 13: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của: a.Elíp (E): 1 49 22 =+ yx và Parabol (P): xy 2 2 = . b. Parabol (P 1 ): xy 4 2 = và (P 2 ): xy 8 2 = . c. Elíp (E): 1 94 22 =+ yx và Parabol (P): xy 8 2 = . d. Hyperbol (H): 1 94 22 = yx và Parabol (P): xy 8 2 = . Bài 14: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =2x và đờng thẳng (d): x-2y+2=0. CMR: (d) là tiếp tuyến của (P). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), (d) và trục Ox. Bài 15: Xét hình phẳng giới hạn bởi Parabol: y=x 2 bị chặn bởi đờng thẳng đi qua điểm A(1,4) và có hệ số góc k. Xác định k để hình phẳng nói trên có diện tích nhỏ nhất. Bài 16: Cho Parabol (P) có phơng trình: y=x 2 và hai điểm di động trên (P) sao cho AB=2. -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 2 Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol a. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn AB. b. Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích phẳng giới hạn bởi cát tuyến AB và (P) đạt giá trị lớn nhất. Bài 17: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =x. Gọi (C) là đờng tròn tâm C(2,0) bán kính R. a. Xác định P để đờng tròn (C) tiếp xúc với (P). Xác định toạ độ các tiếp điểm T 1 ,T 2 . b. Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T 1 , T 1 . c. Tính diện tích của tam giác cong giới hạn bởi (P) và hai tiếp tuyến nói trên. Bài 18: Cho A(2,2) là điểm trên Parabol (P): x 2 = 2y, (d) là đờng thẳng song song với tiếp tuyến của (P) tại A. (d) cắt (P) tại M và N. a. Tính diện tích tam giác AMN. b. Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi cát tuyến (d) và (P). Bài 19: Cho Parabol (P): 2 2 1 xy = và đờng thẳng (d): 2mx-2y+1=0. a. CMR: Với mọi giá trị của m, (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi. b. Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại M và N của (P). Bài 20: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =4x. a. CMR: Từ một điểm N tuỳ ý thuộc đờng chuẩn của (P) có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (P) mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. b. Gọi T 1 ,T 2 lần lợt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói trên.CMR: T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định khi N chạy trên đờng chuẩn của (P). c. Cho M là một điểm thuộc (P) (M khác đỉnh của (P)). Tiếp tuyến tại M của (P) cắt các trục toạ độ Ox, Oy lần lợt tại A và B.Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi M chạy trên (P). Bài 21: Cho Parabol (P) có phơng trình: y 2 =4x. Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. CMR: Tích các khoảng cách từ A và B đến các trục của (P) là một đại lợng không đổi. Bài 22: Cho điểm A(3,0) và Parabol (P):y=x 2 . a. M là một điểm thuộc (P) có hoành độ x M =a.Tính độ dài AM, xác định a để đoạn AM ngắn nhất. b. Chứng tỏ rằng nếu đoạn AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P). Bài 23: Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc Parabol (P): y 2 =64x và đờng thẳng (d):4x+3y+46=0. a. Xác định M, N để đoạn MN ngắn nhất. -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 3 Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol b. Với kết quả tìm đợc ở câu a, chứng tỏ rằng khi đó đờng thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P). Bài 24: Cho Parabol (P):y=x 2 . Một góc vuông ở đỉnh O cắt (P) tại A 1 và A 2 . Hình chiếu của A 1 và A 2 lên Ox là B 1 và B 2 . a. CMR: OB 1 .OB 2 không đổi. b. CMR: A 1 A 2 luôn đi qua một điểm cố định. Bài 25: Cho Parabol (P) có phơng trình: x 2 =8y. Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. CMR: Tích các khoảng cách từ A và B đến các trục của (P) là một đại lợng không đổi. Bài 26: Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc Parabol (P): y 2 =2x và đờng thẳng (d):x-y+4=0. a. Xác định M, N để đoạn MN ngắn nhất. b. Với kết quả tìm đợc ở câu a, chứng tỏ rằng khi đó đờng thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P). -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 4 Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol Bài 27(QGHCM97): Cho (P): 2 x y 2 = và điểm 8 27 ; 8 15 A a. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ) 2 1 ;1(M và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M. b. Tìm tất cả các điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M. Bài 28(HVNHHCM 98): Cho (P):y 2 =x và F là tiêu điểm. Giả sử đờng thẳng (d) qua F cắt (P) tại hai điểm M 1 và M 2 . a. Tính M 1 M 2 khi (d) song song với Oy. b. Giả sử (d) không song với Oy, Gọi k là hệ số góc của (d). Tính M 1 M 2 theo k. Xác định các điểm M 1 M 2 sao cho M 1 M 2 ngắn nhất. Bài 29 (ĐHNN 98): Cho (P):y 2 =x và hai điểm A(4;-2); B(1;1) thuộc (P). Hãy tìm điểm M nằm trên cung của (P) giới hạn bởi A, B sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất. Bài 30 (NT 00): Cho (P):y 2 =8x và điểm I(2;4) thuộc (P). Xét góc vuông thay đổi quanh I, hai cạnh góc vuông cắt (P) tại M, N (khác I). Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 31 (HVQY 00): Cho (P):y 2 =64x và đờng thẳng (d): 4x-3y+46=0. Viết phơng trình đờng tròn có tâm thuộc (d), tiếp xúc với (P) và có bán kính nhỏ nhất. Bài 32 (Dự bị A03): Cho (P):y 2 =x và điểm I(0;2). Tìm toạ độ hai điểm M và N thuộc (P) sao cho IN4IM = . Bài 33 (CĐKTKH 04): Viết phơng trình của (P) có tiêu điểm F(-2;2) và đờng chuẩn (d) y=4. Bài 34 (D ợc 98): Lập phơng trình tiếp tuyến chung của (P): y 2 =12x và (E): 1 6 x 8 x 22 =+ . Bài 35 (ĐN 97): Cho (P): y 2 =16x a. Lập phơng trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d): 3x-2y+6=0. -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 5 Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol b. Lập phơng trình tiếp tuyến của (P) đi qua điểm M(-1;0). Bài 34 (Mỏ 98): Cho (P): y 2 =64x và đờng thẳng (d): 4x+3y+46=0. Tìm trên (P) điểm M sao cho khoảng cách từ M tới (d) là ngắn nhất. Tính khoảng cách đó. -Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng- 6 . Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol Parabol Bài 1: Viết phơng trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ trong mỗi trờng hợp sau:. a.Elíp (E): 1 49 22 =+ yx và Parabol (P): xy 2 2 = . b. Parabol (P 1 ): xy 4 2 = và (P 2 ): xy 8 2 = . c. Elíp (E): 1 94 22 =+ yx và Parabol (P): xy 8 2 = .