Dạy thêm toán 11 1D4 1

GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai? lim ( un ) = +∞ lim un = +∞ limv n = a > A Nếu u  lim  n ÷ = lim un = a ≠ limv n = ±∞   B Nếu u  lim  n ÷ = +∞ lim un = a > limv n =   C Nếu D Nếu lim un = a < limv n = > với n u lim  n   ÷ = −∞  Lời giải Chọn C lim un = a > Nếu dương hay âm Câu Câu limv n = u lim  n   ÷ = +∞  mệnh đề sai chưa rõ dấu P = 2,13131313 Tìm dạng hữu tỷ số thập phân vô hạn tuần hoàn , 212 213 211 211 P = P = P = P = 99 100 100 99 A B C D Lời giải Chọn D Lấy máy tính bấm phương án phần D kết đề Khẳng định sau đúng? ( un ) un n → +∞ a a A Ta nói dãy số có giới hạn số (hay dần tới ) , lim ( un − a ) = n →+∞ un ( un ) n B Ta nói dãy số có giới hạn dần tới vơ cực, lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng trở ( un ) un n → +∞ +∞ C Ta nói dãy số có giới hạn nhỏ số dương bất kì, kể từ số hạng trở ( un ) un n → +∞ −∞ D Ta nói dãy số có giới hạn lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Lời giải Chọn A Câu Cho dãy số A ( un ) , ( ) lim un = a, lim = +∞ B lim −∞ C Lời giải un D +∞ Chọn B Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số lim Câu un =0 ( un ) , ( ) lim un = a, lim = +∞ a hữu hạn Trong khẳng định có khẳng định đúng? (I) lim n k = +∞ nguyên dương lim q n = +∞ (III) k q 1 B C Lời giải D Chọn D (I) lim n k = +∞ (II) (III) với lim q n = +∞ k lim q n = +∞ nguyên dương q < ⇒ ( II ) q > ⇒ ( III ) Vậy số khẳng định là khẳng định khẳng định sai lim q n = q 1) A ( số ) B 1 lim = lim k = k > ( ) n n C D Lời giải Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) lim q n = ( q < 1) DẠNG DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé bậc mẫu L = lim Câu n −1 n3 + (THPT Chuyên Thái Bình - lần - 2019) Tính L = L = L = A B C Lời giải D L = Chọn B Ta có 1 − n −1 lim = lim n n = = n +3 1+ n lim Câu (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) A B 5n + +∞ C Lời giải D Chọn A Ta có 1 lim = lim n = 5n + 5+ n lim Câu 10 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) A B +∞ 2n + C Lời giải Chọn D D Ta có: = lim n = 2+ lim n 2n + lim Câu 11 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) A B 2n + +∞ C Lời giải D Chọn B Ta có: 1 = lim =0 n lim 2+ n 2n + lim Câu 12 (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) A B 5n + 2 C Lời giải D +∞ Chọn B   1 ÷ lim = lim  = = ÷ 5n + n 5+ ÷ n  Câu 13 n − 2n + I = lim 3n + 2n + (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm − 3 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có −2+ n − n3 + n = − I = lim = lim n 2 3n + 2n + 3+ + n n lim Câu 14 (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) A Ta có lim Câu 15 A B C Lời giải − n n = lim 2n − lim 1+ n =0 n + 5n 2018 n −∞ 2n − n6 + 5n5 −3 bằng: D B −3 C Lời giải D +∞ Chọn B L = lim Câu 16 (LƯƠNG TÀI BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L = −∞ L =1 L = −2 A B C Lời giải 2n + + n − n2 D L=0 ? Chọn D Ta có: Câu 17 + 2n + n n =0 L = lim = lim 2 + n − n2 + −1 n2 n (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số sau có giới hạn ? − 2n n2 − n − 2n − 2n u = un = u = u = n n n 5n + 3n 5n + 3n2 5n + 3n 5n + 3n A B C D Lời giải Chọn C n −2 n2 = lim = lim 5n + 3n +3 n 1−  Xét đáp án A n − 2n n =1 lim = lim 5n + 3n +3 n 1−  Xét đáp án B  Xét đáp án C  Xét đáp án D − − 2n n n =0 lim = lim 5n + 3n +3 n −2 − 2n 2 n lim = lim =− 5n + 3n +3 n I = lim Câu 18 (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I =0 I = −∞ I = +∞ A B C Lời giải 2  n2  − ÷ − n n   n n2 = lim = lim   2n − 3 n2  + + ÷ 2+ + I = lim n n   n n =0 2n + 3n + lim un Câu 19 Tìm A un = biết 1 + + + 2 −1 −1 n −1 2n − 2n + 3n + D I =1 B C D Lời giải Chọn A un = 1 1 1 + + + = + + + + − −1 n − 1.3 2.4 3.5 ( n − 1) ( n + 1) Ta có: 1 1 1 1 1  = 1 + −  = − =  − + − + − + + − ÷  n + ÷  ( n + 1) 1 n −1 n +1  Suy ra: Câu 20 3  lim un = lim  − =  ( n + 1)  (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN - 2018) Tính giới hạn  1 1  lim  + + + +  n ( n + 1)  1.2 2.3 3.4 A B Câu 21 C Lời giải D 1 1 1 1 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) = − + − + L + n − − n + n − n + = − n + Ta có: Vậy  1 1   lim  + + + +  = lim 1 − ÷= 1.2 2.3 3.4 n n + ( )    n +1 (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm 1 1  L = lim  + + + ÷ 1 + + + + n   L= A B L = +∞ C Lời giải L=2 L= D + + + + k = u1 = d = 1 + + + + k Ta có tổng cấp số cộng có , nên ⇒ 2 2 = + + + k k ( k + 1) = k − k + ∀k ∈ ¥ * , 2   2 2 2 2 L = lim  − + − + − + + − ÷ = lim  − ÷ n n +1  1 2 3  n +1  = Câu 22 Với n lim S n A ( 1+ k ) k Sn = số nguyên dương, đặt 1 + + + +2 3+3 n n + + ( n + 1) n +1 B −1 C Hướng dẫn giải D 2+2 Chọn C Ta có 1 = n n +1 n +1 + n n n + + ( n + 1) n ( Suy ) = n +1 − n 1 = − n n +1 n n +1 Khi Sn = 1 + + + +2 +3 n n + + ( n + 1) n 1 1 1 = − + − + − = 1− 2 n n +1 n +1 Suy lim S n = lim Câu 23 cos n + sin n n2 + (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị +∞ −∞ A B C D Lời giải 0< Ta có Suy cos n + sin n cos n + sin n ≤ < 2 n +1 n +1 n +1 cos n + sin n lim = n2 + lim =0 n +1 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bậc mẫu lim Câu 24 (THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị −1 A B C D Lời giải Ta có: −1 n = lim 2−n −1 lim 1+ = n +1 n + = −1 lim Câu 25 (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết 1 − 3 −2 A B C Lời giải Ta có  2 n 1 − ÷ 1− n−2 n  = lim n =1 lim = lim  1 3n +  3+ n3 + ÷ n n  n−2 3n + bằng: D 2−n n +1 I = lim Câu 26 (THPT YÊN LẠC - LẦN - 2018) Tìm giới hạn I =− I =3 I =1 A B C Lời giải 3n − n =3 I = lim = lim n+3 1+ n 3n − n+3 D k ∈¢ 3− Ta có lim Câu 27 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN - 2018) Giới hạn bằng? 2 − 3 A B C D Lời giải Ta có −2 − 2n lim = lim n =− 3n + 3+ n I = lim Câu 28 2n + 2017 3n + 2018 (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn 2017 I= I= I= 2018 A B C D I =1 Lời giải 2017 n = lim 2n + 2017 2018 I = lim = 3+ 3n + 2018 n 2+ Ta có lim Câu 29 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) 19 18 18 A B + 19n 18n + 19 +∞ C Lời giải Chọn A D 19 − 2n 3n + Ta có Câu 30 + 19 + 19n 19 lim = lim n = 19 18n + 19 18 18 + n (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số sau có giới hạn khác sin n n +1 n n n n A B C D Lời giải Chọn C n +1 lim = lim1 + lim = n n Có lim Câu 31 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) A B Ta có −1 n2 = lim − n2 1 lim 2+ = − n 2n + 1 − n2 2n + − C Lời giải D (SGD THANH HÓA - LẦN - 2018) Tính giới hạn A B C Lời giải 2018 4n + 2018 n =2 lim = lim 2n + 2+ n 4n + 2018 2n + D 2018 4+ Ta có Câu 33 lim Câu 32 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần năm 2017-2018) Tìm A B C Lời giải Chọn A 10 8n − n + lim n + 2n + D ? u n = ( n ) + 4n − u42 n = ( n ) + n − u42018 n = ( 42018 n ) + 42018 n − lim Do un + u4 n + u42 n + + u42018 n un + u2 n + u22 n + + u22018 n 4 2018 + − + 2.42 + − + + ( 42018 ) + − n n n n n n = lim 2018 3 + − + 2.22 + − + + ( 22018 ) + − n n n n n n ( + + + + 42018 ) = Vì ( + + 2 + + 22018 ) 22019 > 2019 Vậy − 2019 = −2019 42019 − 22019 + 1− = = 22019 − 1− xác định nên S = a +b−c = ( 2017 − n ) un = 2017 n ( 2018 − n ) 2018 C a =  b = c =  Câu 114 (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số n dần đến vô cùng? A un = n B u1 = 2017   un+1 = ( un + 1) , n = 1, 2,3 ( n + 2018 − n + 2016 un = ( un ) D Lời giải Chọn A Ta tính giới hạn dãy số đáp án: 40 ) sau có giới hạn khác số 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) ( 2017 − n ) lim un = lim 2017 n ( 2018 − n ) 2018 +) Đáp án A: 2017   2017   −1 ÷   2017   = lim  − 1÷ n ÷  = −1   2018 − ÷   n   n   lim un = lim n (  2017 − n  2017 − n  2017  = lim   ÷  n  2018 − n    ) n + 2018 − n + 2016 = lim 2 +) Đáp án B: 2n = lim n + 2018 + n + 2016 2 = lim 2018 2016 1+ + 1+ n n n ( n + 2018 − n − 2016 ) n + 2018 + n + 2016 =1 +) Đáp án C: un +1 − = Cách 1: Ta có 1 ( un − 1) ⇒ un − = ( un −1 − 1) = = n−1 ( u1 − 1) 2 n 2016 1 ⇒ un = n −1 + ⇔ un = 4032  ÷ + ⇒ lim u = n  2 Cách 2: Bước 1: Ta chứng minh ( un ) Thật quy nạp ta có un > ⇒ un +1 = Giả sử Vậy un > 1∀n ∈ ¥ * Suy ( un ) u1 = 2017 > 1 ( un + 1) > ( + 1) = 2 un +1 − un = Hơn giảm bị chặn ( − un ) < nên ( un ) dãy giảm lim un = a có giới hạn a = lim un = lim un +1 = lim Bước 2: Ta có 1 1 ( un + 1) = lim un + = a + 2 2 41 ⇒ a =1 +) Đáp án D: un = Ta có 1 1 1 1 1 n + + + + = − + − + + − = 1− = 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) 2 n n +1 n +1 n +1 ⇒ lim un = lim n =1 n +1 Câu 115 (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số u1 = 2016; un −1 = n ( un −1 − un ) A 1011 , với 1010 B ( un ) xác định sau ( un ) n ∈ ¥ *, n ≥ , tìm giới hạn dãy số 1008 1009 C D Lời giải Ta có n −1 n +1 2 un −1 = n ( un −1 − un ) ⇔ un −1 ( n − 1) = n un ⇔ un = n n un −1 Khi ta có: u2 = u1 2 u3 = u2 3 … un = n −1 n +1 un −1 n n un = Nhân theo vế đẳng thức ta có Câu 116 Cho dãy số A un = Ta có ( un ) n +1 n +1 u1 = 1008 2n n Vậy lim un = 1008 n lim ( u1 + u2 + + un ) x →+∞ + n + n ∀n = sau: , , , Tính giới hạn 1 B C D Lời giải un = n ( 1+ n ) 2 − n2 = 1 1  =  − ( n + n + 1) ( n − n + 1)  n − n + n + n + ÷ n 2 42 Ta có 1 1 1 1 1  u1 + u2 + + un = 1 − + − + − + − + + − ÷  3 7 13 13 21 n − n +1 n + n +1  1  n +n − =  ÷  n2 + n +  n2 + n + = lim ( u1 + u2 + + un ) Suy Câu 117 1+ n =1 = lim 1 1+ + 2 n n ( un ) (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho dãy số u1 =  * 3 4un +1 + = 4un + + 4, ( n ∈ ¥ ) A • B Chứng minh - Với n =1 ( un ) Tính lim un C Lời giải dãy giảm, tức chứng minh: 4u2 + = 4u1 + + ⇔ u2 = , ta có: - Giả sử mệnh đề với n=k , tức là: - Ta cần chứng minh mệnh đề với D un +1 ≤ un , n Ơ * 10 u1 ã , tức Tương tự, dùng quy nạp ta dễ dàng chứng minh suy dãy số có giới hạn • Đặt x = lim un Khi n → +∞ un +1 → x uk + ≤ uk +1 4uk + + = 4uk +1 + + ≤ 4uk + + = 33 4uk +1 + ⇔ uk + ≤ uk +1 - Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ( un ) Ta có: dãy giảm < un ≤ , tức dãy ( un ) bị chặn Từ x + = x + + ⇔ 36 x + = x + + 16 + x + ⇔ x + = x − 43 , tức chứng minh: un +1 ≤ un , ∀n ∈ ¥ * uk +1 ≤ uk , ∀n ∈ ¥ * n = k +1 thỏa mãn ⇔x= lim un = Vậy ( un ) Câu 118 (THPT GANG THÉP - LẦN - 2018) Cho dãy số L = lim biết u1 = −2  un = 3un−1 − 1, ∀n ≥ , un 3n A Khơng xác định B L = +∞ L=− C D L=0 Lời giải Chọn C un = + Đặt Dễ thấy ( ) L = lim Vậy , thay vào biểu thức truy hồi ta có v1 = u1 − cấp số nhân với un = + Do + = − 3n −1 + ( n ≥ 1) 2 1  =  −1 + ÷− ⇔ = 3vn −1 , ∀n ≥ 2 2  1 = −2 − = − 2 , công bội q =3 , suy = − 3n −1 un   = lim  − + n ÷ = − n  2.3  Câu 119 (THPT HẬU LỘC - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh ABC ABC tam giác gọi tam giác trung bình tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , A1 B1C1 Ta xây dựng dãy tam giác cho tam giác cạnh tam giác với số nguyên dương An −1 Bn −1Cn −1 ngoại tiếp tam giác S= A 15π n≥2 , tam giác Với số nguyên dương An BnCn B Tính tổng n An BnCn , kí hiệu Sn S = S1 + S2 + + Sn + S= S = 4π C Lời giải 44 9π tam giác trung bình tương ứng diện tích hình trịn ? D S = 5π Vì dãy tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , × ngoại tiếp tam giác cạnh Với n =1 tam giác A1 B1C1 3 tam giác nên bán kính đường trịn có cạnh nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1 có bán kính Với n=2   ⇒ S1 = π  3 ÷ R1 =  ÷   tam giác A2 B2C2 có cạnh nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 Với có bán kính n=3   ⇒ S2 = π  ÷ R2 =  ÷   tam giác A3 B3C3 có cạnh nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 có bán kính   ⇒ S3 = π  ÷ R3 =  ÷   n−1 Như tam giác An Bn Cn có cạnh 1  ÷  2 n −1 ⇒ S = π    ÷ 1 n Rn =  ÷   ÷ ÷  2   n −1 An Bn Cn có bán kính nên đường tròn ngoại tiếp tam giác S1 S2 S n u1 = S1 = 3π Khi ta dãy , , cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu q= công bội u1 = 4π S = S1 + S2 + + Sn + − q = Do tổng Câu 120 (CTN - LẦN - 2018) Trong dãy số ( un ) 45 cho đây, dãy số có giới hạn khác ? un = A un = C n ( n − 2018 ) ( n − 2017 ) 2017 un = n 2018 B ( n + 2020 − 4n + 2017 2 + +K + 1.3 3.5 ( 2n + 1) ( 2n + 3) D ) u1 = 2018   un +1 = ( un + 1) , n ≥ Lời giải + Với phương án A: un = n ( n − 2018 ) ( n − 2017 ) 2017 2018 n.n 2017 → 2018 → n + Với phương án B: un = n ( ) n + 2020 − 4n + 2017 → n ) ( n − 4n → n ( −n ) → −∞ + Với phương án C:  1  1 1 1  un = 1 − ÷+  − ÷+ K +  − → ÷= − 2n +  3 3 5  n + 2n +  + Với phương án D: un +1 = Đặt = un − Suy dãy , ta có ( ) 1 ( un + 1) ⇔ un+1 − = ( un − 1) 2 v1 = 2017   vn +1 = , n ≥ cấp số nhân có số hạng đầu 2017 n −1 1 = 2017  ÷  2 ( n ≥ 1) n −1 Suy 1 un = 2017  ÷ + ( n ≥ 1)  2 , lim un = Chú ý: 46 , công bội nên Ở phương án D, ta chứng minh giới hạn Gọi lim un = a un +1 = Khi từ un > 1 ( un + 1) , n ≥ a= suy lim ( u12 + u22 + + un2 − 2n ) = b −2 A dãy giảm nên ( un ) có B −1 ( a + 1) ⇔ a = (un ) thỏa mãn: Giá trị biểu thức C Lời giải , u1 = lim un = 2 un + a , ∀n ∈ ¥ * un +1 = ; T = ab Biết D ∀n ∈ ¥ * , un +1 = Đặt ( un ) Câu 121 (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số Ta có với n ≥1 2 un + a ⇒ un2+1 − 3a = ( un2 − 3a ) 3 = un2 − 3a n −1 Do 2 =  ÷ 3 ( ) cấp số nhân với v1 = − 3a n −1 ( − 3a ) ⇒ u = + 3a =  ÷  3 n q= cơng bội ( − 3a ) + 3a n Suy Vì 2 1−  ÷   n  3  2 u1 + u2 + + un − 2n = ( − 3a ) − 2n + 3na = ( − 3a ) 1 −  ÷ ÷− n ( 3a − )  3 ÷   1− lim ( u12 + u22 + + un2 − 2n ) = b nên      n  3a − = a = lim  ( − 3a ) 1 −  ÷ ÷− n ( 3a − ) ÷ = b ⇔  ⇔  3 ÷  ÷ b = − a ( )   b = −3     suy T = ab = −2 47 , Câu 122 (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với Sn = 1 1 + + + + 3 C3 C4 C5 Cn Tính B A Cn3 = Ta có số tự nhiên lớn , đặt lim S n C Lời giải D ( n − 3) !( n − ) ( n − 1) n = n ( n − 1) ( n − ) ⇒ = n! = Cn n ( n − 1) ( n − ) 3!( n − 3) ! ( n − 3) !× Sn = Vậy ta có n 6 6 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n − 1) ( n − ) 1 1 1 = − = − = − ( n − ) ( n − 1) n ( n − ) ( n − 1) ( n − 1) n 1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4 Nhận xét ; ;…; 1 1 1 1  1 1  n −  3n − ⇒ Sn =  − + − + + − + − ÷ = 3 − ÷ = 3 ÷= n − n −1 n −1 n   1.2 2.3 2.3 3.4 2 n  2n  2n Vậy 6   3− n ÷  3n −  lim S n = lim  ÷= ÷ = lim   2n   ÷   Câu 123 (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có giá trị nguyên tham số 2011 A a thuộc khoảng 2016 B lim ( 0; 2018) để có 2019 C Lời giải 9n + 3n +1 ≤ n n+a +9 2187 D ? 2009 n Do 9n + 3n +1 >0 5n + n + a với ∀n lim nên Theo đề ta có khoảng ( 0; 2018) nên có n +1 +3 1 ≤ ⇔ a ≤ n n+ a +9 2187 2187 ⇔ a ≥ n lim 9n + 3n +1 9n + 3n +1 = lim 5n + n + a 5n + n + a 1 +  ÷  3 = lim n 5 a  ÷ +9 = a = a   a ∈ { 7;8;9; ; 2017} ⇒ 48 có 2011 Do giá trị a a số nguyên thuộc Câu 124 Từ độ cao 55,8m tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả bóng cao su chạm 10 xuống đất Giả sử lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao độ cao mà bóng đạt trước Tổng độ dài hành trình bóng thả từ lúc ban đầu nằm yên mặt đất thuộc khoảng khoảng sau đây? A ( 67m; 69m) B ( 60m; 63m) ( 64m; 66m) C Lời giải D ( 69m; 72m) Chọn A 10 Theo đề, lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao độ cao mà bóng đạt trước sau lại rơi xuống từ độ cao thứ hai Do độ dài hành trình bóng thả từ lúc ban đầu cho đến: d1 = 55,8m  Thời điểm chạm đất lần thứ d2 = 55,8 +  Thời điểm chạm đất lần thứ d3 = 55,8 +  Thời điểm chạm đất lần thứ d4 = 55,8 +  Thời điểm chạm đất lần thứ 55,8 10 55,8 55,8 + 2 10 10 55,8 55,8 55,8 + 2 + 10 10 10 ……………………………………  Thời điểm chạm đất lần thứ n, ( n > 1) dn = 55,8 + 55,8 55,8 55,8 + 2 + + n−1 10 10 10 Do độ dài hành trình bóng thả từ lúc ban đầu nằm yên mặt đất d = 55,8 + 55,8 55,8 55,8 + 2 + + n−1 + 10 10 10 49 (mét) Vì 55,8 55,8 55,8 55,8 2 n−1 q= 10 10 10 10 10 , , , …, ,…, cấp số nhân lùi vô hạn, công bội , 55,8 55,8 55,8 + 2 + + n− + = 10 10 10 nên ta có d = 55,8 + Vậy 55,8 10 = 12,4 1− 10 55,8 55,8 55,8 + 2 + + n−1 + = 55,8 + 12,4 = 68,2 10 10 10 Câu 125 (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số hai dãy số đồng thời thỏa mãn hệ thức ( un ) , ( ) tồn giới hạn hữu hạn Biết un +1 = 4vn − 2, +1 = un + với ∀n ∈ ¢ + lim ( un + 2vn ) Giá trị giới hạn A n →+∞ B C Lời giải −1 D Chọn A Giả sử Vậy lim un = a  lim = b , ta có lim un +1  lim +1  a=−  a = 4b −  ⇒ = lim ( 4vn − ) ⇒  b = a + b = = lim ( un + 1)  lim ( un + 2vn ) = a + 2b = − + = 3 n →+∞ Câu 126 Một mơ hình gồm khối cầu xếp chồng lên tạo thành cột thẳng đứng Biết khối cầu có bán kính gấp đơi khối cầu nằm bán kính khối cầu 50 cm Hỏi mệnh đề sau đúng? 1,5 A Chiều cao mơ hình khơng q mét B Chiều cao mơ hình tối đa mét C Chiều cao mơ hình mét D Mơ hình đạt chiều cao tùy ý Lời giải Chọn C R1 = 50 Gọi bán kính khối cầu cm R2 R3 Rn R2 , R3 , , Rn Gọi , ,…, bán kính khối cầu nằm nằm khối cầu 50 R2 = R1 R3 = R2 R1 = Rn = Rn −1 R = n 1−1 2 Ta có , ,…., hn n Gọi chiều cao mơ hình gồm có khối cầu chồng lên Ta có 1 1     1 hn = R1 + R2 + R3 + + Rn =  R1 + R1 + R1 + + n −1 R1 ÷ = R1 1 + + + + n −1 ÷ 2        1 h = lim hn = lim  R1  + + + + n −1 ÷ n →+∞ n →+∞    Suy chiều cao mô hình 1 1 1; ; ; ; n −1 ; n ; q= u = 1 2 Xét dãy số cấp số nhân có cơng bội nên dãy 1+ 1 1 + + + n −1 + n + = =2 2 1− cấp số nhân lùi vơ hạn Do h = R1.2 = 200 200 Suy cm Vậy chiều cao mơ hình nhỏ cm Câu 127 Trong lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả 8m bóng chuyền từ tầng ba, độ cao so với mặt đất thấy lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao ba phần tư độ cao lần rơi trước Biết bóng chuyển động vng góc với mặt đất Khi tổng quảng đường bóng bay từ lúc thả bóng đến bóng khơng máy gần số nhất? 57m 54m 56m 58m A B C D Lời giải Chọn C 8m Lần đầu rơi xuống, quảng đường bóng bay đến lúc chạm đất Sau bóng nảy lên rơi xuống chạm đất lần thứ quảng đường bóng bay + 2.8 Tương tự, bóng nảy lên rơi xuống chạm đất lần thứ n quảng đường bóng − ( )n 3 = + 48(1 − ( ) n−1 ) + 2.8 + + 2.8.( ) n−1 = + 4 1− bay Quảng đường bóng bay từ lúc thả đến lúc không máy bằng: lim[8 + 48(1 − ( ) n−1 )] = + 48 = 56 51 Câu 128 Với số nguyên dương a≠b ( a; b ) hai cặp số sn lim n n →+∞ A n = 2π , gọi ( b; a ) lim n →+∞ sn B thỏa mãn x + y ≤ n2 (nếu khác nhau) Khẳng định sau đúng? sn n số cặp số nguyên ( x; y ) =2 lim n →+∞ C Lời giải sn = π n sn lim n n →+∞ D =4 Chọn C Cách 1: Xét điểm M ( x; y ) nằm (tính biên) hình trịn ( Cn ) x + y ≤ n2 : S(M) M Mỗi điểm tương ứng với hình vng đơn vị nhận trái, phía dưới, có cạnh song song nằm trục tọa độ Ta sn số hình vng S( M) Nhận xét: hình vng ( x2 + y ≤ n + ) Do sn ≥ π n − Vì ( ) S(M) tổng diện tích S( M) , sn ≤ π n + Mặt khác, hình vng ( S(M) ) 52 đỉnh góc , với M ∈ ( Cn ) nằm hình trịn ( 1) phủ kín hình trịn ( 2) S(M) M (C ) n− ( x2 + y ≤ n − : ) (C ) n+ : ( 1) Từ ( ) ( π n − ≤ sn ≤ π n + ( 2) , suy ) ∀n ∈ ¥ * n ≥ , ,   sn 2 2 ⇔ π  − ≤ ≤ π + ÷  ÷  n ÷ n n ÷       2 2 lim π 1 − = lim π + ÷  ÷= π  n ÷ n ÷     Mà Cách 2: Gọi số nguyên k≤ n Dn ( x; x ) số cặp số ngun thỏa mãn n∈¢ , ta có Tiếp theo, ta đánh giá Tổng số cặp số nguyên tự nhiên ( x; y ) 0≤x≤n , ( x; y ) thỏa mãn x + y ≤ n2 ≤ y ≤  n2 − x    thỏa mãn En Ta có với số số nguyên Cho nên x≠ y k En cho n  En =   +1   số cặp 2k ≤ n , từ thỏa mãn Nên ta có đánh giá với Vì x + y ≤ n2 x + y ≤ n2 = π n , theo nguyên lí kẹp, ta n  n  − ≤k≤      Dn ( x; y ) sn lim Dn x + y ≤ n2 x≠ y với x≠ y 4Nn Giả sử ( x; y ) ∈ ¥ với Nn thỏa mãn số cặp số x + y ≤ n2    −n + ∑  n − x  ÷ ≤ N n ≤ Dn ≤ ∑  n − x    0≤ x ≤ n 0≤ x ≤ n   sn = En + Dn từ n  2 Tn =   + ∑  n − x    1≤ x ≤ n , , −4n + + Tn ≤ sn ≤ + Tn có ,  sn  n   n2 − x2  ÷ = lim +    ∑ n →+∞ n n →+∞ n   ÷    1≤ x ≤n  Suy Do đánh giá phần nguyên lim n  n 2 2 2 + ∑ n2 − x ÷  + ∑  n − x  ≤  ÷   1≤ x ≤ n   1≤ x≤ n 53 , n  n 2 2 2 ÷  + ∑  n − x  ≥  ÷+ ∑   1≤ x ≤n   1≤ x ≤ n ( ) n2 − x2 − Nên ta s 4 x lim n2 = lim ∑ n − x = lim ∑ −  ÷ n →+∞ n n →+∞ n n →+∞ n n 1≤ x ≤ n 1≤ x ≤ n I = ∫ − x dx = π Về chất, kết giới hạn giá trị tích phân xác định lim n →+∞ Vậy sn n = π 54 ... có 1 1 ( un + 1) = lim un + = a + 2 2 41 ⇒ a =1 +) Đáp án D: un = Ta có 1 1 1 1 1 n + + + + = − + − + + − = 1? ?? = 1. 2 2.3 3.4 n ( n + 1) 2 n n +1 n +1 n +1 ⇒ lim un = lim n =1 n +1 Câu 11 5 ... có 1? ?? 1 1 1 1  u1 + u2 + + un = ? ?1 − + − + − + − + + − ÷  3 7 13 13 21 n − n +1 n + n +1  1? ??  n +n − =  ÷  n2 + n +  n2 + n + = lim ( u1 + u2 + + un ) Suy Câu 11 7 1+ n =1 = lim 1 1+... lim C + 2.2 017 n 2 016 n + 2 018 n + 2.2 018 n 2 017 n + 2 018 n lim B lim D + 2.2 018 n 2 016 n + 2 017 n +1 2.2 018 n +1 − 2 018 2 016 n + 2 018 n Lời giải Chọn A n n    2 017   ÷ +  ÷ 2 018   2 018  = lim