tài liệu dạy thêm toán 11

TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC . 1>HÀM SỐ SIN sin : sin R R x y x → =a 2>HÀM SỐ COS cos : cos R R x y x → =a 3>HÀM SỐ TAN tan : tan D R x y x → =a 4>HÀM SỐ COT t : t co D R x y co x → =a Một số tính chất của hàm số y=sinx a>Tập xác đònh D=R b>Tập giá trò : [ ] 1;1− c>Là hàm số lẻ . d>Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ 2 π Một số tính chất của hàm số y=cos a>Tập xác đònh D=R b>Tập giá trò : [ ] 1;1− c>Là hàm số chẵn d>Hàm số tuần hoàn vớichu kỳ 2 π Một số tính chất của hàm số y=tanx a >Tập xác đònh / 2 D R k π π   = +     b>Tập giá trò hàm số R c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π Một số tính chất của hàm số y=cotx a>Tập xác đònh { } /D R k π = b>Tập giá trò hàm số R c>Là hàm số lẻ d>Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π BÀI TẬP Bài 1 :Tìm tập xác đònh hàm số sau : 2 2 2 2 2 cot 1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/ 4 3 cos 1 sin 2 1 4 / 5/ tan 6 / sin cos 1 3 1 3 2 7 / 1 cos 8/ 9/ cot( ) tan(2 ) sin cos 3 3 1 1 sin 10 / 11/ 12/ 4 5cos 2sin 2sin 3 cot 3 x y x y x y x x x y y y x x y x y y x x x x x y y y x x x x π π π π = − = + = − + = = = + − = − = = − + + − = = = − − − − Bài 2 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau : 2 2 2 2 1 4cos 1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/ 3 4 / 2sin cos2 5/ 3 2 | sin | 6 / 3 1 sin 1 x y x y x x y y x x y x y x + = + = − = = − = − = + − PHẦN I I : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I> PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN . 1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1) +Với |a|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm . +Với | | 1a ≤ i/Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt nào đó thì đặt : a= sin α khi đó ta có : 1 B A sin α =a= OK sin cos O H K M TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 2 sin sin 2 x k x k Z x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  Chú ý : 2 sin sin 2 u v k u v k Z u v k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ii/Nếu a là giá trò không có góc đặc biệt thì arcsin 2 sin arcsin 2 x a k x a x a k π π π = +  = ⇔  = − +  *BÀI TẬP : Giải phương trình : 1 1 sin 7 sin2 sin 0 2 2 2sin 3 0 8 sin3 0 3 2sin( ) 2 0 9 sin 3 cos 0 3 4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 0 6 5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 0 4 3 4 6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 0 3 6 3 13 s x x x x sinx x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π > = > − = > − = > + = > + − = > − = > + + = > + = > − + = > + + − = > − + = > − − + = > 2 in(2 ) cos( ) 0 3 3 x x π π + + + = 2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2) +Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm . +Với | | 1a ≤ i/ Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt thì đặt a= cos α khi đó ta có : 2 cos cos 2 x k x k Z x k α π α α π = +  = ⇔ ∈  = − +  Chú ý : 2 cos cos 2 u v k u v k Z u v k π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ii/ Nếu a không phải là giá trò của góc bặc biệt thì 2 B A cos α =a= OH sin cos O H K M TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 arccos 2 cos arccos 2 x a k x a x sa k π π = +  = ⇔  = − +  *BÀI TẬP : Giải phương trình : 1 1 cos 7 cos2 cos 0 2 2 2cos 3 0 8 cos cos3 0 3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 0 3 4 2cos(2 ) 1 0 10 cos2 sin3 0 6 5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0 4 3 4 6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 0 3 6 3 13 c x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π > = > − = > − = > + = > + − = > − = > + + = > + = > − + = > + + − = > − + = > − − + = > 2 os(2 ) sin( ) 0 3 3 x x π π + + + = 3>Phương trình lương giác cơ bản tanx=a (3) +Điều kiện : 2 x k π π ≠ + +Nếu a là gía trò của góc đặc biệt thì Đặt a= tan α khi đó ta có: tanx= tan α x k α π ⇔ = + Chú ý : tan tanu v u v k π = ⇔ = + +Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì tan arctanx a x a k π = ⇔ = + 4>Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4) +Điều kiện : x k π ≠ +Nếu a là giá trò của góc đặc biệt thì Đặt tana α = khi đó ta có : t tco x co x k α α π = ⇔ = + Chú ý : t tco u co v u v k π = ⇔ = + + Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì : cot arc tx a x co a k π = ⇔ = + BÀI TẬP : Giải các phương trình : 3 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 1 tan 3 5 cot 3 0 2 2 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0 3 3 3 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0 4 2 2 4 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0 3 5 9 tan(3 ) tan 0 13 cot(2 4 x x x x x x x x x x x π π π π π π > = > + = > − = > − + = > + − = > + + = > − + = > − + = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − > − − = > + ) cot( ) 0 4 4 2 3 10 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0 3 3 2 4 5 5 11 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0 3 3 3 3 4 5 12 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0 3 3 6 6 x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π π π π π π π − + = > + + − = > − + − = > − + − = > − − + = > + + − = > + + + = 5>TÓM LẠI : CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN : * 2 sin sin 2 arcsin 2 sin arcsin 2 x k x k Z x k x a k x a x a k α π α π α π π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = +  = ⇔  = − +  2 sin sin 2 u v k u v k Z u v k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  * 2 cos cos 2 cos 2 cos cos 2 x k x k Z x k x arc a k x a x arc a k α π α α π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = +  = ⇔  = − +  2 cos cos 2 u v k u v k Z u v k π π = +  = ⇔ ∈  = − +  * tanx=tan x= +k tan arctanx a x a k α α π π ⇔ = ⇔ = + tan tanu v u v k π = ⇔ = + * t t cot cot co x co x k x a x arc a k α α π π = ⇔ = + = ⇔ = + t tco u co v u v k π = ⇔ = + BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác : 4 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 2 2 1 2sin 2 sin 0 8 sin cos 2 1 0 4 2 2 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0 3 3 2 3 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1 3 3 6 3 3 2 4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0 2 2 3 3 2 5 sin (5 ) cos ( 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π π π π > + = > + − = > + + + = > + + = > − + − = > + + + = > + + + = > + + + + = > + − 2 2 ) 0 12 tan5 .tan 1 4 2 6 cot(3 ).tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0 3 3 6 7 tan 2 .tan 3 1 x x x x x x x x π π π π + = > = > + − = > − + = > = II>PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1)Phương trình bậc nhất . * asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 . BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác sau : 1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> 2 cos 1 0x + = 4>3cosx+5=0 5> 3 tan 3 0x + = 6> 3cot 3 0x + = 2>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . A>Phương trình bậc hai đối với hàm số sin * asin 2 x+bsinx+c=0 Đặt sinx=t đk | | 1t ≤ khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 1/ 2sin 2 x+3sinx+1=0 2/ sin 2 x+sinx-2=0 3/ 2 2sin (2 3)sin 3 0x x− + + = 4/ 6-4cos 2 x-9sinx=0 5/ 2 4sin 2( 3 1)sin 3 0x x− + + = 6/ sin 2 3x-2sin3x-3=0 7/ sin 2 x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin 2 x+cos 2 +sinx-1=0 9/ cos 2 x+sinx+1=0 10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos 2 x+cos2x+sinx+2=0 12> sin cos 2 4 0 6 3 x x π π     + − + + =  ÷  ÷     B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos . * acos 2 x+bcosx+c=0 Đặt cosx=t đk | | 1t ≤ khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 1/ 3cos 2 x+2cosx-1=0 2/2sin 2 x+5cosx+1=0 3>cos 2 -4cosx+5/2=0 5 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 4/cos 2 +cosx-2=0 5/16-15sin 2 x-8cosx=0 6/4sin 2 2x+8cos 2 x-8=0 7/ 2 2 5 4sin 8cos 4 2 x x− − = − 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin 2 x-2cos 2 x+cos2x=0 10>sin 2 x+cos2x+cosx=0 11> 2 cos( ) cos(2 ) 2 0 3 3 x x π π + + + − = 12>(1+tan 2 x)(cosx+2)-sin 2 x=cos 2 x C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot * atan 2 x+btanx+c=0 Đk 2 x k π π ≠ + Đặt tanx=t khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 * acot 2 x+bcotx+c=0 Đk : x k π ≠ Đặt cotx=t khi đó ta có : at 2 +bt +c=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 1>tan 2 x-tanx-2=0 2> 2 cot (1 3)cot 3 0x x− − + = 3> 2 3 cot 4cot 3 0x x− + = 4> 2 3 4 tan 2 0 cos x x − − = 3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos . Phương trình có dạng : Asin 2 x+Bsinxcosx+Ccos 2 x=D +B 1 : xét cosx=0 +B 2 : với cos 0 2 x x k π π ≠ ⇔ ≠ + chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được : (A-D)tan 2 x+Btanx+C-D=0 BÀI TẬP : Giải các phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin (1 3)sin cos (1 3)cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0 3 2sin 4sin cos 4cos 1 0 4 2 3cos 6sin cos 3 3 5 2sin sin cos cos 1 0 6 4sin 3 3sin 2 2cos 4 7 2sin 3cos 5sin cos 8 sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x > + − + − = > + + = > + − − = > + = + > + − + = > + − = > + = > − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8sin cos 7 cos 0 1 9 sin 2sin cos 2cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0 2 11 3sin 5cos 2cos2 4sin 2 0 12 2sin 6sin cos 2(1 3)cos 5 30 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = > + − = > − + + = > + − − = > + + + = + 4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos . (Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b) Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b) Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c 6 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là : 2 2 2 a +b -c 0 ≥ Khi đó ta chia hai vế của phương trình với 2 2 a b+ khi đó ta được : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Do 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b     + =  ÷  ÷ + +     nên đặt : 2 2 2 2 sin , cos a b a b a b α α = = + + Khi đó ta được : 2 2 2 2 sin sin cos cos cos( ) c c nx x x a b a b α α α + = ⇔ − = + + Bài tập : Giải các phương trình : 1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3sin 2 3/ sin 7 3 cos7 2 4 / 3 cos sin 2 5/5cos2 12sin 2 13 6 / 2sin 5cos 4 7 / 3sin 5cos 4 2 x x x x x x x x x x x x x x − = + = + = + = − = − = + = 7 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 PH ẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I>QUI TẮC ĐẾM . a>Qui tắc cộng . Một cơng việc được hồn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện khơng trùng với bất kỳ hành động nào của hành động một thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện . b>Qui tắc nhân . Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hồn thành cộng việc . BÀI TẬP II>HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP a>Hốn vị : Có tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ . Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hốn vị của b phần tử . Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hốn vị . Ta viết số hốn vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)… 3.2.1 . b>Chỉnh hợp : Cho tập A gồm n phàn tử ( ) 1n ≥ . Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : ! ( 1) ( 1) ! k n n A n n n k k = = − − + . c>Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) 1n ≥ . Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập đã cho . Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là : ! !( )! k n n C k n k = − Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người hỏi : a/ Có tất cả bao nhiêu cách . b/ Có bao nhiêu cách thành lập đồn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ . III>NHỊ THỨC NIU TƠN Cơng thức sau gọi là cơng thức nhị thức niu tơn ( ) 0 0 1 1 1 1 1 1 0 n n n k n k k n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b − − − − + = + + + + + + Số hạng thứ k+1 là : 1 k n k k k n T C a b − + = . 8 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 BI TP : T HP XC SUT . S dng qui tc cng , qui tc nhõn , hoỏn v v chnh hp Bi 1 : CHo mt hp ng 5 viờn bi trng c ỏnh s t 1 n 5 v 10 viờn bi c ỏnh s t 6 n 15 . cú bao nhiờu cỏch chn mt viờn bi ? Bi 2 : Cú 7 cun sỏch toỏn khỏc nhau , 10 cn sỏch vn khỏc nhau v 3 cun sỏch lý khỏc nhau . Hi cú bao nhiờu cỏch chn mt cun cỏch hc ? Bi 3 : Cú 5 ca hng bỏn sỏch , ca hng 1 ch bỏn 100 cun sỏch toỏn , ca hng 2 bỏn 200 cun sỏch vn , ca hng 3 ch bỏn 50 cun cỏch lý v 50 cun sỏch a , ca hng 4 ch bỏn 150 sỏch hoỏ , ca hng 5 ch bỏn 150 sỏch sinh v 50 sỏch k thut . Hi cú bao nhiờu cỏch chn ca hng mua sỏch . CC BI TP V S Bi 3 : CHo tp hp s : {1,2,3,4} . Cú bao nhiờu cỏch chn mt s t nhiờn : a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau ? b> Cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ? c> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ? Bi 4: T tp hp s {1,2,3,4,5} Cú bao nhiờu cỏch chn mt s t nhiờn : a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau . b> 3 ch s ụi mt khỏc nhau v luụn cú mt ch s 5 ? c> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau v luụn cú mt ch s 2 ? Bi 5 : T tp hp s : {0,1,2,3,4,5) ta cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn : a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau ? b> Cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ? c> L s chn cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ? d> L s l cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau ? Bi 6 : T tp s t nhiờn {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn a> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ? b> Cú 8 ch s ụi mt khỏc nhau ? Bi 7 : T cỏc s 0,1,2,3,4,5 . Cú biờu cỏch lp mt s t nhiờn a> L s l cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ? b> L s chn cú 6 ch s ụi mt khỏc nhau ? Bi 8 : T cỏc s : 0,1,2,3,4,5,6 cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn : a> Cú 2 ch s khỏc nhau v luụn cú mt ch s 2 . b> Cú 3 ch s khỏc nhau v chia ht cho 3 c> Cú 5 ch s khỏc nhau v luụn nh hn 550 Bi 9: T cỏc s : 0,1,2,3,4,5 cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn : a> Cú 3 ch s khỏc nhau . b> Cú 4 ch . c> L s l v cú 4 ch s v ụi mt khỏc nhau . d> L s chn v cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau ? Bi 10 : T cỏc s 0,1,2,3,4,5,6 cú bao nhiờu cỏc lp mt s t nhiờn : a> S cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau . b> S cú 5 ch s . c> S cú 3 ch s chia ht cho 5 . d> S cú 4 ch s trong ú luụn cú ch s 1 . Bi 11: T cỏc s : 0,4,5,7,8,9 Ta cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn : 9 TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11 a> Có 4 chữ số đơi một khác nhau . b> Có 3 chữ số và ln có mặt chữ số 9 . c> Có 3 chữ số và lớn hơn 400 . Bài 12 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> là số chẵn có 3 chữ số . b> số có 4 chữ số và ln có mặt chữ số 5 . c> Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 . Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên : a> Có 3 chữ số và đơi một khác nhau . b> Có 4 chữ số đơi một khác nhau là ln có mặt số 5 . CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau . a> Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau . b> Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt . Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu : a> Các học sinh ngồi tuỳ ý . b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn . Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho : a> Bạn C ngồi chính giữa . b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút . Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc a> Có bao nhiêu cách sếp khác nhau . b> Có bao nhiêu cách xếp sao cho khơng có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau . Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm cạnh nhau . Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau . Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ . Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà tốn học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóc học . Chọn từ đó ra 4 người để dự hội thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu: a> Phải có đủ 3 mơn . b> Có nhiều nhất 1 nhà tốn học và có đủ 3 mơn . Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đồn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế . Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng . Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu . Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra . Bài 26A : Có bảy bơng hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bơng hoa vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bơng ) Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp . 10 [...]... : Tỡm h s khng cha x trong khai trin : + ữ 3 x 15 x2 3 Bi 37 : Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin sau : + ữ 3 x 40 1 Bi 38 : Tỡm h s ca x trong khai trin nh thc x + 2 ữ x 31 11 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 IV>PHẫP TH V BIN C 1/ PHẫP TH Phộp th ngu nhiờn l phộp th m ta khụng oỏn trc c kt qu ca nú mc dự ó bit tp hp tt c cỏc kt qu cú th cú ca phộp th Vớ d : Gieo mt ng tin , gieo mt con sỳc sc... 2 Bi 2 : Chng minh rng vi mi n N * ta cú : 1/ n3-n chia ht cho 3 3/ 11n+1+122n -1 chia ht cho 133 5/ 4n+15n-1 chia ht cho 9 7/ 32n+1+2n+2 chia ht cho 7 Bi 3 : Chng minh rng vi mi n N * ta cú : 1/ 2n>2n+1 2/ 3n>3n+1 2/ n3+3n2+5n chia ht cho 3 4/ 2n3 -3n2 +n chia ht cho 6 6/ 13n -1 chia ht cho 6 8/ 32n+2+26n+1 chia ht cho 11 3/ 2n+1>2n+3 4/ 2n+2>2n+5 II> DY S 1>nh ngha dóy s : u : N* R * Hm... vn 18 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 BI TP Bi 1 : Tớnh gii hn sau : a ) Lim(2n 2 + 3n 1) b) Lim(n 2 n + 3) c ) Lim(3n 3 n 2 + n + 5) 3n + 2 3 2n 5 7n 1 Lim 3 Lim 4.Lim 2n + 3 2n + 3 3 6n 2 2 4n 1 n n +1 5n 2 + 3n + 1 5 Lim 2 6.Lim 7 Lim 2 2n + n 2n 2 n 7 n + 4n 3 2 (2n 1)(n + 2) 5n + 5n 1 (n 2 + n)(2n 1) 8 Lim 9 Lim 10 Lim 2n 2 3n + 1 (5n + 2)( n 4) n3 + 3n 1 2n n + 1 11 Lim 2 n +n+3 2 n3 + 3n... xut n( A) n( A) hin T s gi l xỏc sut ca bin c A ký hiu l : P(A) P ( A) = n ( ) n ( ) n(A) l s phn t ca tp A ( Hay s kt qu thun li cho bin c A ) n() s kt qu cú th xy ra ca phộp th 13 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 BI TP : 1>Gieo mt con sỳc sc hi ln , tớnh xỏc sut cỏc bin c sau : a/ Tng ca hai ln gieo bng 6 chm b/ Ln gieo u bng 6 c/ Tớch ca hai ln gieo l mt s chn d/ Hai ln gieo cú s chm bng nhau 2> Mt t cú 7... ting phỏp Chn ngu nhiờn 1 hc sinh Tớnh xỏc sut ca cỏc bin c sau : a/Sinh viờn c chn hc ting nh b/sinh viờn c chn ch hc ting phỏp c/Sinh viờn c chn khụng hc tin anh v ting phỏp 14 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 DY S - CP S CNG - CP S NHN PHN III I>PHNG PHP QUI NP TON HC Khi chng minh mt mnh phự thuc vo s t nhiờn n thỡ ta dựng phng phỏp qui np toỏn hc Thc hin phng phỏp qui np toỏn hc theo cỏc bc sau : \ B1...TOAN HOẽC THEM ẹSO11 Bi 27 : T 10 nam v 5 n ngi ta chn ra mt ban i din gm 5 ngi trong ú cú ớt nht hai nam v 2 n , hi cú bao nhiờu cỏch chn Nu : a> Mi ngi u vui v tham gia b> Cu Tỏnh v cụ Nguyt t chi tham gia Bi 28 : mt... gi l s hng cui 2>cỏch cho mt dóy s a/Cho dóy s bi cụng thc ca s hng tng quỏt un Vớ d :Cho dóy s (un) : un=2n+1 b/Cho dóy s bi biu thc truy hi +Cho s hng u hoc mt vi s hng u * 15 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 +Cho biu thc truy hi ( Biu thc truy hi l biu thc biu din s hng th un qua s hng ng trc nú hoc mt vi s hng ng trc nú ) u1 = 2 Vớ d : Cho dóy s : un = 2un 1 + 1 3>Dóy s tng v dóy s gim +Mt dóy s (un)... tớnh tng , gim ca cỏc dóy s sau : 1 n 1 2n + 1 1/ un = 2 2 / un = 3 / un = 4 / un = 2n 2 + 5 n n +1 5n + 2 2 2n 2n 1 2n 1 5 / un = 6 / un = 2 7 / un = 8 / un = ( ) n n n +1 n! 4 16 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 III>CP S CNG 1>nh ngha : Mt dóy s hu hn hoc vụ hn trong ú k t s hng th 2 mi s hng u bng s hng ng ngay trc nú cng thờm mt s khụng i d (d gi l cụng sai ca cõp s cng ) un+1=un+d 2>S hng tng qỳat : Cp... b/Chng minh dóy s trờn l cp s cng ? Xỏc nh s hng u v cụng sai c/Tớnh tng ca 100 s hng u tiờn Bi 3 : Tỡm cụng sai v tớnh tng ca 30 s hng u tiờn ca cỏc cp s cng sau : a/ (un) : 4,7,10,13,16, b/ (un) : 1,6 ,11, 16, Bi 4 : tớnh u1 v cụng sai d ca cp s cng sau bit : u1 + 2u5 = 0 a/ s4 = 14 u2 + u5 u3 = 10 e/ u4 + u6 = 26 u4 = 10 b/ u7 = 19 u1 + u5 u3 = 10 c/ u1 + u6 = 7 u7 u3 = 8 d/ u2 u7 = 75 u3 +... 155 Bi 6 : Xỏc nh cp s cng bit : cp s cng cú 13 s hng , tng cỏc s hng ú l 143 ,hiu ca s hng cui v s hng u l 36 Bi 7 : tớnh s ú ba gúc ca tam giỏc ABC bit s o ba gúc ú l cp s cng 17 TOAN HOẽC THEM ẹSO11 PHN IV : GII HN I > GII HN DY 1/nh ngha 1 : dóy s (un) cú gii hn l 0 khi n dn ti dng vụ cc nu |un| cú th nh hn mt s dng bộ tu ý k t mt s dng no ú tr i ký hiu : xlim un = 0 hay un 0 khi n + + 2/nh . giác : 4 TOÁN HỌC THÊM ĐS 11 2 2 1 2sin 2 sin 0 8 sin cos 2 1 0 4 2 2 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0 3 3 2 3 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1 3 3 6 3 3 2 4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos(. cho 5 . d> S cú 4 ch s trong ú luụn cú ch s 1 . Bi 11: T cỏc s : 0,4,5,7,8,9 Ta cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn : 9 TOÁN HỌC THÊM ĐS 11 a> Có 4 chữ số đơi một khác nhau . b> Có 3 chữ. ii/ Nếu a không phải là giá trò của góc bặc biệt thì 2 B A cos α =a= OH sin cos O H K M TOÁN HỌC THÊM ĐS 11 arccos 2 cos arccos 2 x a k x a x sa k π π = +  = ⇔  = − +  *BÀI TẬP : Giải