Gọi M,N làn lượt là trung điểm AH, DH.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012
Mơn: Tốn - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – 5xy – 6y2 b) ab( a + b) – bc( b + c) + ac( a- c). c) a4 + 8a3 + 14a2 -8a - 15
Bài 2: Giải phương trình.
a 2x2 + 7x – 15= 0 b.( x2 +1)2 + 3x( x2 + 1) + 2x2 =
c
3
3
12
27
x x
x x
d 2x( 8x2 – 1)2( 4x – ) = Bài 3:
a Cho 3a2 + 3b2 =10ab b > a > 0.Tính giá trị biểu thức:
a b P
a b
b Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A = x2 – 2xy + 2y2 + 2x - 10y + 20
Bài : Cho hình vng ABCD cạnh a, diểm E thuộc cạnh BC, diểm F thuộc cạnh AD, cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M N.
a.Chứng minh : CM.DN = a2
b.Gọi K giao điểm NA MB.Chứng minh góc MKN = 900. c Các diểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất?
Bài 5: Chứng minh rằng
x8 – x5 + x2 –x + > với x
(2)-HẾT -b Cho hình chữ nhật ABCD( AB > BC ) Từ A kẻ AH vuông góc với BD ( H BD) Gọi M,N lượt trung điểm AH, DH
(3)(4)đồng dạng
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD phân giác Đường thẳng qua trung điểm M cạnh BC song song với AD cắt AC E cắt AB F.
Chứng minh BF = CE.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010
Mơn: Tốn - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM B i 1: ( 2,5 i m)à đ ể
A= x −2+
x2− x −2
(x −5)(x −2)− 2x −4
x −5
Điều kiện để A có nghĩa x ≠5 x ≠2
0,25 x −2
¿
x −5+x2− x −2−(2x −4)¿
A=¿
0,25 x −2
¿
(x −5)¿
A=−(x −5)(¿ x −3)
0,25
( 2) 1 1
1
2 2
x A
x x
0,25
A nguyên
1 2
x nguyên, x-2=1 x-2 =-1
x=3, x=1.
0,25 Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,25
= 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
(5)= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
= a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25
Bài 2: ( 1,5 i m)đ ể
2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + ac + bc) 0,25
2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc 0 0,25
(a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0
Bất đẳng thức cuối (Do (a-b)2 …) nên có đpcm
0,25 Câu b
bc¿2
¿
ac¿2 ¿
ab¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25
Nhân hai vế với số dương abc được:
ab¿2≥ a2bc+b2ac+c2ab
ac¿2+¿
bc¿2+¿ ¿
0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có:
ab¿2≥
ac¿2+¿
bc¿2+¿ ¿
a2bc
+b2ac+c2ab đpcm
0,25
Bài 3: (1,5 điểm)
x+2¿2+2 ¿
x+8¿2+8
¿
x+4¿2+4
¿
x+6¿2+6 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,25
x+2+
x+2+x+8+
x+8=x+4+
x+4+x+6+
x+6 0,25
x2+2+ x+8=
4 x+4+
6 x+6
1 x+2+
4 x+8=
2 x+4+
3 x+6 5x+16
(x+2)(x+8)=
5x+24 (x+4)(x+6)
0,25 (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
(6) 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
8x2 + 40x = 0
0,25 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm
0,25
Bài 4: (3,0 điểm) Câu a: 1,25 điểm
DF = AE DFC = AED 0,25
ADE = DCF
EDC + DCF = EDC + ADE
0,25
EDC + ADE = 900nên DE CF 0,25
MC = MA (BD trung trực AC) 0,25 MA = FE nên EF = CM
0,25
Câu b: 1,0 điểm
MCF =FED MCF = FED 0,25
Từ MCF = FED chứng minh CM EF 0,25
Tương tự a) CE BF 0,25
ED, FB CM trùng với ba đường cao FEC nên chúng đồng qui. 0,25
Câu c: 0,75 điểm
ME + MF = FA + FD số không đổi. 0,25
ME.MF lớn ME = MF 0,25
Lúc M trung điểm BD 0,25
Bài 5: (1,5 điểm)
Trong BMF có AD//MF nên: BFBA=BM
BD
0,25 Trong CAD có AD//ME nên:
CECA=CM CD
0,25 Chia vế theo vế được:
BFBA CA CE = BM BD CD CM 0,25 ⇒BF BA CA CE = CD
BD (BM=CM) 0,25
A B C D M E F A
B D M C
(7)AD phân giác nên:
CD
BD= AC AB
0,25 Thay vào được:
BFBA CA CE =
AC AB ⇒BF
CE=1⇒BF=CE