4 CAUCHY SWARZT

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho  (a (a (a "=" Dấu  Cho + b ) ( c + d ) ≥ ( a.c + b.d ) Dấu  a, b, c, d ∈ ¡ Dấu Dấu  xảy và chỉ a b = c d (a xảy và chỉ a b = ≥0 c d  "=" xảy và chỉ a b c = = m n p + b + c ) ( m + n + p ) ≥ a.m + b.n + c p Dấu + b ) ( c + d ) ≥ a.c + b.d "="  ( a + b2 + c2 ) ( m2 + n + p2 ) ≥ ( a.m + b.n + c p ) xảy và chỉ a b = c d + b ) ( c + d ) ≥ a.c + b.d "=" 2 a , b, c, m, n, p ∈ ¡ (a Dấu "=" xảy và chỉ a b c = = m n p + b2 + c ) ( m2 + n + p ) ≥ a.m + b.n + c p "=" xảy và chỉ a b c = = ≥0 m n p Tổng quát: Cho 2n n ∈ Z ,n ≥ a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn số ( ): ta có: (a ⇔ Dấu “=’ xảy Hệ quả: Cho )( ) + a22 + L + an2 b12 + b22 + L + bn2 ≥ (a1b1 + a2b2 + L + an bn )2 a a1 a2 = = L = n (quy ướ c nế u bi = ⇒ = 0) b1 b2 bn a1 , a2 , , an là số thực bất kỳ, b1 , b2 , , bn là số thực dương Khi an2 ( a1 + a2 + + an ) a12 a22 + + + ≥ b1 b1 bn b1 + b2 + + bn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Dấu “=” xảy và chỉ GV Nguyễn Hữu Hiếu a a1 a2 = = = n b1 b1 bn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a/ Nếu c/ Nếu 2x + 3y = x2 + 3y2 ≥ x2 + y2 ≥ 3x + y = 16 49 25 2 3x + y = 10 x + y ≥4 e/ Nếu g/ Nếu i/ Nếu 3a + 4b = 3a − 5b = 3a + 4b ≥ thì b/ Nếu d/ Nếu x + 12 y = h/ Nếu j/ Nếu 2a − 3b = a + 2b = ( x − y + 1) 2a + 3b = 2a + 3b ≥ k/ Nếu l/ Bài Chứng minh bất đẳng thức sau 3x + y ≤ x2 + y2 = a/ Nếu b/ Nếu x− y ≤ 2 x + 4y =1 c/ Nếu d/ Nếu x ( u + v) + y ( u − v) ≤ x2 + y = u2 + v2 = e/ Nếu 2 ( a − 1) + ( b − ) = 2a + 6b − 20 ≤ f/ Nếu Bài Chứng minh bất đẳng thức sau x ∈ [ 1;3] A = x − + − x ≤ 10 a/ Nếu x ∈ [ 1;5] B = x − + − x ≤ 10 b/ Nếu x ∈ [ −2;1] C = 1− x + + x ≤ c/ Nếu x ∈ [ 4;13] D = x − + 13 − x ≤ d/ Nếu x ∈ [ −5;20] E = x + + 20 − a ≤ 13 e/ Nếu x ∈ [ −9;20] F = x + + 20 − x ≤ 29 f/ Nếu Bài Chứng minh bất đẳng thức sau 1− x + 1− y + x, y, z > x + y + z =1 a/ Nếu và 2 9x2 + y2 ≥ x2 + y2 ≥ x + y = 10 x2 + y2 ≥ f/ Nếu 2464 7a + 11b2 ≥ 137 6x + y = 3a + 5b2 ≥ a + b2 ≥ + ( x − y + 5) ≥ x2 + y = 36 x + 16 y = 1− z ≤ 735 47 x + y ≤ 17 y − 2x ≤ 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước b/ Nếu c/ Nếu a + b2 + c2 = a +b +c =1 d/ Nếu e/ Nếu f/ Nếu g/ Nếu ( a + b2 + c ) ≥ ( a + b + c ) a, b, c ∈ ¡ a>c>0 và a + 2b + 5c ≤ b>c>0 4a + 9b + 16c = 49 a +b+c =1 a + 3b + 5c ≤ 35 GV Nguyễn Hữu Hiếu c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab 25 64 + + ≥ 49 a b c a +1 + b +1 + c +1 ≤ a + + b + + c +1 ≤ a + b + c = 12 h/ Nếu a+b + b+c + c+a ≤ a +b+c = i/ Nếu a , b, c a+b+c =6 a + b2 + c ≥ 12 j/ Nếu là ba số thực thay đởi thỏa Bài Chứng minh bất đẳng thức sau 1 a + b2 ≥ a + b3 ≥ a +b ≥1 a +b ≥1 a/ Nếu b/ Nếu a + b4 ≥ a +b ≥1 a+b = a + b4 ≥ c/ Nếu d/ Nếu 1 ( a + b ) ≤ ( a + b3 )  + ÷ a, b > c ≥ a b e/ Nếu 1+ x + 1+ y = 1+ z x + y ≥ 2z f/ Nếu a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) ≤ a+b+c ≤ g/ Nếu  x, y , z > 1 x + + y + + z + ≥ 82  x y z x + y + z ≤ h/ Nếu a, b, c ≥ a + b3 + c ≥ a bc + b ca + c ab i/ Nếu x y z + + ≥1 x, y, z > y + 2z z + 2x x + y j/ Nếu Bài Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau x ∈ [ 1;3] A= 7− x + 2+ x B = x −1 + − x −2 ≤ x ≤ a/ , với b/ với 2 x y + =1 2 C = y − 2x + D = 2x − y − 36 x + 16 y = 9 c/ với d/ với E = x −1 + 3− x F = 3− x + x +5 e/ f/ Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước g/ G = x −4 + 8− x GV Nguyễn Hữu Hiếu h/ H = x +1 + − x J = 1− 2x + x + j/ Bài Tìm GTLN và GTNN của biểu thức (nếu có) x, y ∈ ¡ A = 2x + y x2 + y2 = a/ Cho và Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 2 x, y ∈ ¡ B = 4x + y 2x + 3y = b/ Cho và Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 2 x, y ∈ ¡ C = 3x + y x + y = 10 c/ Cho và Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 4 x, y, z ∈ ¡ xy + yz + zx = D=x +y +z d/ Cho và Tìm GTNN của biểu thức E = x 1+ y + y 1+ x x, y ∈ ¡ x2 + y2 = e/ Cho và Tìm GTLN của biểu thức F = a + sin x + a + sin x a ≥1 f/ Cho Tìm GTLN của biểu thức G= + x, y > x + y =1 x 4y g/ Cho và Tìm GTNN của biểu thức H = 1− x + 1− y + 1− z x, y, z > x + y + z =1 h/ Cho và Tìm GTLN của x ∈ [ −2;2] I = x+ 4− x i/ Cho Tìm GTLN và GTNN của biểu thức (Đại học B – 2003) i/ I = x+3 +5 4− x a, b, c > Bài Cho ba số thực dương Chứng minh: Bài Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh ∆ABC Chứng minh rằng: Bài 10 Cho ba số ( a + b + c) a2 b2 c2 + + ≥ b+c c+a a+b a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b+c−a c+a −b a +b−c a, b, c > Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c c+a a+b a b c a + b2 + c + + ≥ b+c c+a a +b Bài 11 Cho ba số thực a, b, c bất kỳ Chứng minh: a Bài 12 Cho ba số a, b, c > ( b + c) Chứng minh: a, b, c > a +b+c = Bài 13 Cho thỏa điều kiện 2 a b c + + ≥1 2 a + 2b b + 2c c + 2a Chứng minh rằng: + b ( c + a) + c ( a + b) ≥ 4( a + b + c) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x+ y+z≥3 thỏa mãn Chứng minh rằng 2 x y z + + ≥ x + yz y + zx z + xy Bài 14 Cho x, y , z > GV Nguyễn Hữu Hiếu Lời giải: ( x + y + z) x2 y2 z2 + + ≥ x + yz y + zx z + xy x + y + z + xy + yz + zx ( ≥ ( x + y + z) (1 x+ y+z+ (1 x+ y+z+ Bài 15 Cho Bài 16 Cho + 12 + 12 )  x, y , z >   xyz = x= HD: Đặt 2 + 12 + 12 ) ( xy + yz + zx ) ( x + y + z) ≥ ) ( x + y + z) x+ y+z ≥ 2 1 + + ≥ x + xy y + yz z + zx 2 Chứng minh a b c ; y = ;z = b c a a, b, c > = đưa về bài toán Chứng minh a b c + + ≥1 b + c c + a a + 2b Lời giải a b c a2 b2 c2 + + = + + b + 2c c + 2a a + 2b a ( b + 2c ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) ( a + b + c) ( a + b + c) ≥ ≥ ( ab + bc + ca ) ( a + b + c ) 2 Dấu “=” xảy và chỉ Bài 17 Cho x, y , z > a=b=c thỏa mãn 1 P= + + xy + yz + zx + Bài 18 Cho Lời giải a, b, c > =1 x2 + y + z2 = Chứng minh rằng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu a b c a b c4 + + = + + a + ab + b b2 + bc + c c + ca + a a ( a + ab + b ) b ( b + bc + c ) c ( c + ca + a ) ≥ (a + b2 + c ) a + b3 + c + a b + ab2 + b2 c + bc + c a + ca (a ≥ + b2 + c ) ( a + b + c ) ( a + b + c) ≥ (a (1 2 = (a +1 +1 2 )(a +b +c 2 + b2 + c ) = a+b+c + b2 + c ) ( a + b + c ) + b2 + c ) ( a + b + c ) (a ) = a + b2 + c a+b+c Bài 19 Cho a, b, c là số dương thỏa : abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b) Lời giải  1 1 1  + + ÷ 2 ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca 33 a b c  a b c + + ≥ = = ≥ a (b + c) b( c + a ) c( a + b) ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) 2 Bài 20 Cho x2 + y2 + z2 ≥ x, y , z > thỏa mãn 3 Chứng minh x y z + + ≥ x + y + z y + 3z + x z + x + y 30 Bài 21 Cho a, b, c > thỏa mãn a b c + 2+ 2 ≥ 2 bc ca ab a +b+c a + b + c = 3abc Chứng minh Lời giải a + b2 + c ) ( a b c a4 b4 c4 + + = + + ≥ b c c a a b2 a 3b c b3c a c 3a b ( abc ) ( a + b + c ) ( 3abc ) = ( abc ) ( a + b + c ) = a+b+c  x, y , z.0  1 1 1 + + ≤ P = + + x y z 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z  Bài 22 Cho , tìm GTLN của Lời giải Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước ( ) GV Nguyễn Hữu Hiếu +1 1 + + ≥ ⇒ ≤ 2x y z 2x + y + z 2x + y + z (  1 + + ÷  +  2x y z  Ta có : bất đẳng thức tương tự nữa, cộng lại theo vế ta kết quả Bài 23 Cho a, b, c > thỏa mãn b4 ) Xây dựng thêm abc = Chứng minh a c4 + + ≥ 2 ( a + b) ( a + c ) ( b + c ) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b ) Lời giải a4 a4 b4 + c4 + ( a + b) ( a + c ) ( b + c ) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b) 2 = ( a + b) a+c b4 ( b + c) + b+a c4 ( c + a) + c+b  ( a + b + c)   a b c   a + b + b + c + c + a ÷  ( a + b + c ) ÷ ÷ a + b + c 3 abc  ≥  = ≥ ≥ = 2( a + b + c) 2( a + b + c) 8 Bài 24 Cho HD: b) c) a, b, c > Chứng minh a + b2 b2 + c c + a + + ≥a+b+c a+b b+c c+a a, b, c > Chứng minh a b c + + ≥ b+c c+a a+b a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b a3 b3 c3 a + b2 + c + + ≥ b+c c+a a+b Bài 26 Cho a) a + b2 b + c c + a a2 b2 c2 b2 c2 a2 + + = + + + + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a Bài 25 Cho a) a, b, c > thỏa mãn a+b+c =3 a b c + + ≥1 a + 2bc b + 2ca c + 2ab Lời giải b) Chứng minh 2a 2b 2c + + ≤1 2a + bc 2b + ca 2c + ab Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu a) ( a + b + c) a b c a2 b2 c2 P= + + = + + ≥ a + 2bc b + 2ca c + 2ab a ( a + 2bc ) b ( b + 2ca ) c ( c + 2ab ) a + b + c + 6abc có ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc ⇒ ab + bc + ca ≥ 3abc ⇒ ( ab + bc + ca ) ≥ 6abc ⇒ ( a + b + c ) ≥ a + b + c + 6abc Vậy P ≥1 Dấu “=” xảy và chỉ a = b = c =1 b) Ta cố gắng đổi chiều bất đẳng thức ! 2a 2b 2c 2a + bc − bc 2b + ca − ca 2c + ab − ab + + ≤1⇔ + + ≤2 2a + bc 2b + ca 2c + ab 2a + bc 2b + ca 2c + ab bc ca ab ⇔ + + ≥1 2a + bc 2b + ca 2c + ab Ta có ( bc ) ( ca ) ( ab ) bc ca ab + + = + + 2a + bc 2b + ca 2c + ab bc ( 2a + bc ) ca ( 2b + ca ) ab ( 2c + ab ) ( ab + bc + ca ) ≥ 2 6abc + ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) ab + bc + ca ) ( = ≥1 ( ab + bc + ca ) Bài 27 Giả sử x và y 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 2 2 ( a + b + c ) abc + ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) là hai số dương và x + y =1 P= Tìm GTNN của x y + 1− x 1− y (ĐH 2001) Lời giải ( x + y) x y x y x2 y2 P= + = + = + ≥ 1− x 1− y y x x y y x x y+y x ≥ ( x + y) x + y xy + xy = 1 ≥ = x+ y xy 2 ÷   x=y= Dấu “=” xảy và chỉ a Bài 28 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức a + 8bc + b b + 8ca + c c + 8ab ≥1 Ta Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Lời giải a a + 8bc = b + b + 8ca a2 a a + 8abc + c + c + 8ab b2 b b3 + 8cab + a2 = a a + 8bc c2 c c3 + 8cab + b2 b b + 8ca ≥ + c2 c c + 8ab ( a + b + c) a + b + c a + b3 + c + 24abc Như ta cần chứng minh ( a + b + c) ≥ ⇔ ( a + b + c ) ≥ a + b + c a + b + c + 24abc a + b + c a + b + c + 24abc 3 ⇔ ( a + b + c ) ≥ a + b + c + 24abc ⇔ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc Bất đẳng thức cuối theo AM-GM Kết thúc chứng minh Bài 29 Cho a, b, c > P= Chứng minh a b c + + ≥ a + 3b b + 3c c + 3a Lời giải ( a + b + c) a2 b2 c2 P= + + ≥ 2 a ( a + 3b ) b ( b + 3c ) c ( c + 3a ) a + b + c + 3ab + 3bc + 3ca = ≥ = ( a + b + c) a + b2 + c + ( ab + bc + ca ) + ( ab + bc + ca ) 3 ( a + b + c) a + b2 + c + 2 ( ab + bc + ca ) + ( a + b2 + c ) 3 ( a + b + c) a + b2 + c ) + ( ab + bc + ca ) ( 3 Bài 30 Cho = ( a + b + c) ( a + b + c) ≥ a, b, c > Chứng minh rằng a b c a+b+c P= + + ≥ 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a a + b2 + c Lời giải a2 b2 c2 P= + + a ( a + ab + b2 ) b ( b2 + bc + c2 ) c ( c2 + ca + a ) ( a + b + c) ≥ 3 a + b + c + ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ( a + b + c) = ( a + b + c ) ( a + b2 + c ) = a+b+c a + b2 + c 2 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Bài 31 Cho a, b, c là số dương thỏa : abc = P = Chứng minh rằng : GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a) c ( a + b) 2 Lời giải a Cách 1: Đặt x = ,y= b ,z= c x, y, z > và xyz = BĐT cần chứng minh tương đương: x y z + + ≥ y+z z+x x+ y ( BĐT Nesbit)  1  (x + y + z)  + + ÷≥ ⇔  y+ z z+ x x+ y ⇔  1  + + ÷≥  y+ z z+ x x+z  ( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) )  BĐT BCS ta có :9 = (1 + + 1)2 =   y + z  + z+x y+z + x+ y z+x x+ y  ÷ ÷   1  ≤ ( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) )  + + ÷  y+ z z+ x x+ y  Dấu (=) xảy ⇔ x=y=z=1 ⇔ a=b=c=1 Cách 2: Ta có 1 1  1 b+c +  + + ÷ = b c b c+a a a b+c  c+a + a+ b÷ c a+b    1 ≤  + + ÷( b + c + c + a + a + b ) b (c + a) c (a + b)   a (b + c) = 2(a + b + c).P Suy P ≥ ≥ 1 1 1  + + ÷ b c a+b+c a 1 1 a+b+c  + + =  ÷= a + b + c  ab bc ca  a + b + c abc Bài 32 Cho a ( b + c) a , b, c là số thực dương Chứng minh b c + + ≥ 2 ( c + a ) ( a + b) ( a + b + c ) Dấu (=) xảy ⇔ a=b=c=1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Lời giải  a ( a + b + c )   ( b + c) + b ( c + a) + b c   a + +  ÷ b+c c+a a +b  = + ≥ 1+1 +1 Bài 33 Cho  a2 b2 c2 a b c = + + + + + ÷ 2 2 ( a + b ) ÷ ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) b + c c + a a + b c  3  ÷ 2 + = a , b, c là số thực dương thỏa mãn 3 a +b +c ≥a b+c +b c+a +c a+b abc = Chứng minh Lời giải Áp dụng BCS ta có ( a + b2 + c ) ≥ ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a + b3 + c ) ≥ ( a + b2 + c ) và Nhân hai BĐT theo vế ta a +b +c ≥ (a (a ≥ + b2 + c ) ( a + b + c ) b+c +b c+a +c a+b ) (a = + b2 + c ) ( ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ) 6 Mặt khác a b + c + b c + a + c a + b ≥ 3 abc (a + b)(b + c )( c + a ) ≥ 3 8abc = a + b3 + c ≥ ( a b+c +b c +a +c a +b ) a b+c +b c+a +c a +b = a b+c +b c+a +c a+b a b+c +b c+a +c a+b ≥ = a b + c + b c + a + c a + b ( ) Bài 34 Cho a, b, c là số dương thỏa : abc = P= Chứng minh rằng : Cách 1: Đặt x = a ,y= b ,z= 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2 c BĐT cần chứng minh tương đương: x, y, z > và xyz = x y z + + ≥ y+z z+x x+ y ( BĐT Nesbit) suy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước  1  (x + y + z)  + + ÷≥ ⇔  y+ z z+ x x+ y ⇔ GV Nguyễn Hữu Hiếu  1  + + ÷≥  y+ z z+ x x+z  ( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) )  BĐT BCS ta có :9 = (1 + + 1)2 =   y + z  + z+x y+z + x+ y z+x x+ y  ÷ ÷   1  ≤ ( ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y ) )  + + ÷  y+ z z+ x x+ y  Dấu (=) xảy ⇔ x=y=z=1 ⇔ a=b=c=1 2 Cách 2: Ta có 1 1  1 b+c +  + + ÷ = b c b c+a a a b+c c+a +   1 ≤  + + ÷( b + c + c + a + a + b ) b (c + a) c (a + b)   a (b + c)  a+ b÷ c a+b  = 2(a + b + c).P Suy P ≥ ≥ 1 1 1  + + ÷ b c a+b+c a 1 1 a+b+c  + + =  ÷= a + b + c  ab bc ca  a + b + c abc  Dấu (=) xảy ⇔ a=b=c=1 Bài 35 Cho x, y, z là số dương thay đổi thỏa điều kiện xyz = Tìm GTNN của biểu thức : P= x (y + z) y (z + x) z (x + y) + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y (TSĐH - Khối A - Năm 2007) y + z ≥ yz =  Nhận xét ∀ y, z > : x (vì xyz = 1) x (y + z) 2x x ≥ y y + 2z z ⇒ x (y + z) ≥ 2x x ⇒ y y + 2z z Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Xét hai bất đẳng thức tương tự nữa, ta thu   y y x x z z P ≥ 2 + + ÷  y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y ÷    Đặt a=x x ,b=y y ,c=z z Khi : ⇒ a, b, c > và abc = b c   a P ≥ 2 + + ÷ = 2S c + 2a a + 2b   b + 2c ( a + b + c)  Ta có :  a b c  =  a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)  b + 2c c + 2a a + 2b   b c   a ≤ [ a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) ]  + + ÷ c + 2a a + 2b   b + 2c S ≥ ⇔ (a + b + c)2 ≤ 3(ab + bc + ca).S Suy ( a + b + c) 3(ab + bc + ca) ≥ Do : P ≥ Dấu (=) xảy ⇔ a = b = c = ⇔ x = y = z =  Vậy : Pmin = x = y = z = Bài 36 Cho a, b, c > và thỏa : a + b + c + 9b c 2a + + + a2 2abc ≥ 10 Chứng minh rằng : 9c a 2b2 + + + b2 9a b 2c + + ≥ 6 c2 Lời giải Áp dụng bđt C - S, ta có + 18 + 24 9b c 2a 2 3b ca + + ≥ + + = + 9b + ca a a a 9c a b2 + + ≥ + 9c + ab , b b  Cộng bđt vế theo vế, suy : 24 9a c2 b + + ≥ + 9a + bc c c 1 1 24.(VT) ≥  + + ÷ + 9(a + b + c) + ab + bc + ca b c a Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 4  4  4  ≥  + a ÷ +  + b ÷ +  + c ÷ + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c) a  b  c  4 a + b + c + 2abc + 2abc + 2abc + 6(a + b + c) a b c ≥ = 12 + 6(a + b + c + 2abc) ≥ 12 + 6.10 = 72 ⇒ (VT) ≥ P= Bài 37 Cho x, y, z > Tìm GTNN của biểu thức : 72 =6 24 3x 4y 5z + + y+z z+x x+y Lời giải  3x   4y    5z P=  + 3÷ +  + 4÷ +  + ÷ - 12  x+y y+z  z+x  Ta có :   = ( x + y + z)  + + ÷ - 12 z+x x+y y+z = (( x+y ) ≥ + ( Lời giải ) +( z+x ) ) 2          ÷ +  ÷ ÷ +  x + y ÷ ÷  - 12 z + x  y + z ÷        ( + + 5) - 12  Kết luận : MinP = Bài 38 Cho y+x ( + + 5) - 12 a , b, c >  a + b + c ≤ ⇔ 1 1 + + + ≥ 30 2 a +b +c ab bc ca Chứng minh rằng y+z z+x x+y = = Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 1    + + +  ÷ + ÷ 2 ab bc ca  3 a +b +c 1 1   ≥ + + + ÷ ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) 2 ab bc ca  a +b +c ( ) 1 1   = + + + ÷( a + b2 + c + ( ab + bc + ca ) ) 2 ab bc ca  a +b +c 2 2          =  + ÷ + ÷ + ÷÷   a + b2 + c ÷ ÷ ab bc ca             ( a +b +c 2 ) + ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) 2 2  ÷  ≥ ( + + + 3) = 100 ⇒ 1 1 + + + ≥ 30 2 a +b +c ab bc ca Bài 39 Cho  x, y , z >  x + y + z ≤ x2 + Chứng minh + x2 y2 + 1 + z + ≥ 82 y z Định hướng 1   2   x + α ÷ ≤ ( + α )  x + ÷ x x    Dấu “=” xảy và chỉ x =  αx ⇒α=9  x =  Lời giải 1  1  9  2  2  x + ÷ ≤ ( + )  x + ÷ ⇒ x + ≥ x+ ÷ x x  x x 82    x2 + = Vậy ta có 1 1  9 9 + y2 + + z2 + ≥ x+ y+z+ + + ÷  x y z x y z 82  ( )   9 6 813.9 − 80 = 82  81x + 81 y + 81z + x + y + z − 80 ( x + y + z ) ÷ ≥ 82  82  x=y=z= Dấu “=” xảy và chỉ Bài 40 Cho a , b, c >  abc = ab + bc + ca Định hướng giải Chứng minh rằng b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ ab bc ac b2 + 2a c + 2b a + 2c + + = ab bc ac 2 + + 2+ + 2+ 2 a b b c c a Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x= Đặt 1 ;y= ;z= a b c GV Nguyễn Hữu Hiếu , ta phải chứng minh x2 + y + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ ; x + y + z = ( x + y + y ) ≤ 3( x2 + y ) ⇒ x2 + y ≥ Ta có tương tự ta có đpcm Cách khác ( x + α 2y ) ≤ (1 2 + α2 ) ( x + y ) ( x + 2y) Lập thêm bất đẳng thức Dấu “=” xảy và chỉ x 2y  = α ⇒α=  x = y =  ( x + 2 y ) Ta có ( ≤ 12 + ( 2) ) ( x x2 + y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ≥ x=y=z= Bài 41 Cho ( x + 2y) + y2 ) ⇒ x2 + y ≥ ( x + y + z) = 3 Suy Dấu “=” xảy và chỉ ⇔a=b=c=3 a, b, c > chứng minh bất đẳng thức a b + + a + ( a + b) ( a + c ) b + ( b + a ) ( b + c ) c + c ( c + b) ( c + a ) ≤1 Định hướng giải a a+ Ta chứng minh ( a + b) ( a + c ) ≤ a a+ b+ c a a a = ≥ ≥ a+ b+ c a.a + ab + ac a + ab + ac a + Ta có thêm bất đẳng thức tương tự nữa, cợng lại theo vế ta có đpcm a, b, c > a + b+ c =1 thỏa mãn Chứng minh rằng  a b c  1+ a 1+ b 1+ c  + + ÷≥ + +  b c a  1− a 1− b 1− c Bài 42 Cho a ( a + c ) ( a + b) Xây dựng Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với a b c  a +b+c+a a+b+ c+b a+b+ c+ c  + + ÷≥ + + b+c c+a a+b b c a b c  a b c  a ⇔  + + ÷−  + + ÷≥ b c a b+c c+a a+b ac ab bc ⇔ + + ≥ b ( b + c) c ( c + a ) a ( a + b) ( ac ) ⇔ abc ( b + c ) ( ab ) + abc ( c + a ) 2 ( bc ) + abc ( a + b ) ≥ Theo bất đẳng thức C-S ta có ( ac ) + ( ab ) + ( bc ) ≥ ( ab + bc + ca ) abc ( b + c ) abc ( c + a ) abc ( a + b ) 2abc ( a + b + c ) 2 ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) = ≥ = ( ab.bc + ca.ab + ab.bc ) ab + bc + ca 2 ( ) 2 2 3 a=b=c= Dấu “=” xảy và chỉ a, b, c > Bài 43 Cho ( a + b) Chứng minh rằng a + b + 2c + ( b + c) b + c + 2a + ( c + a) c + a + 2b Lời giải ( a + b) a + b + 2c Bài 44 Cho + ( b + c) b + c + 2a a, b, c > ≥ c + a + 2b Chứng minh rằng ( x + y + z) HD: Áp dụng: + ( c + a) ≤ a2 b2 + + = a + c b2 + c 1 + + ≥ a a+b b b+c c c+a ( xy + yz + zx ) ta có: 2abc ≤3 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu 1 1 1     + + + +  ÷ ≥ 3 ÷ a a+b b b+c c c+a   ab a + b b + c ca a + b c + a bc c + a b + c   c b a  = + +  ÷ abc  a + b b + c a+b c+a c+a b+c  =   c2 b2 a2 + +  abc  c a + b b + c b a + b c + a a c + a b + c ÷    2  ÷ c b a ≥ + +  ÷ abc  c a + 2b + c b 2a + b + c a 2c + a + b ÷  2  ( a + b + c) ( a + b + c) 6 ≥ = 2 abc ( ab + bc + ca ) + a + b + c abc ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) ( a + b + c) ≥ = abc a + b + c 2abc ( ) 2 u “=” xảy và chỉ a=b=c Dấ ... a b2 + + ≥ + 9c + ab , b b  Cộng bđt vế theo vế, suy : 24 9a c2 b + + ≥ + 9a + bc c c 1 1 24.( VT) ≥  + + ÷ + 9(a + b + c) + ab + bc + ca b c a Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn