DE THI HSG TOAN 9 MY CAT 1112

Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..[r]

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 MƠN TỐN – Thời gian làm 150 phút

Câu 1: (4,0 điểm)

Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + 4y2 = 10x + 19 Câu 2: (2,0 điểm)

Xét hình vng hình tam giác, có diện tích hình có chu vi lớn hơn?

Câu 3: (5,0 điểm)

Tìm GTNN biểu thức:

2 1

1

a b

a b a b a b  

   , a, b > a + b < 1 Câu 4: (3,0 điểm) Tìm x biết:  

3

1 2

     

x x x

Câu 5: (6,0 điểm)

Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Hạ ME vng góc với AB MF vng góc với AD

a Chứng minh DE  CF; EF = CM

b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui

PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM

TRƯỜNG THCS MỸ CÁT ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2011 – 2012 - Mơn : Tốn

-Câu Nội dung Điểm

1 (4 điểm)

5x2 + 4y2 = 10x + 19  5x2 – 10x + = 24 – 4y2 5(x – 1)2 = 4(6 – y2)

Ta lại có: y , 6 y2 0 6 y25 nên y2 =  y1 Với y2 = 1, ta được: 5(x – 1)2 = 4(6 – 12) = 20

1

1

x x x x              

Vậy phương trình cho có nghiệm ngun (x ; y), là: (3 ; 1) ; (3 ; – 1) ; (– 1; 1) ; (– 1; – 1)

0,5đ 0,5đ 1,5đ 1,0đ 0,5đ 2 (2 điểm)

Gọi a, b, c độ đài cạnh tam giác, độ dài đường cao ứng với cạnh a tam giác, x độ dài cạnh hình vng, S diện tích hình Ta có:

2 a a 2 a 4

b c  h  a b c a    h  a h  S  S

4 x 4x

 

(Mỗi dấu phép biến đổi ghi 0,25đ)

Vậy chu vi hình tam giác lớn chu vi hình vng

1,75đ

0,25đ

3 (5 điểm)

2 1 2 1

1

1 1

1 1

2 1                         

a b a b

a b a b

a b a b a b a b

a b a b

Theo BÑT Bunhiacopski ta coù:

   2

1 1

1 1

1 a b a b a b a b

                   Neân :

2 1 9 5

2

1 2

a b

a b

a b a b     

  

Vậy GTNN của biểu thức cho là

5 2,

1 a b 

. 2,0đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 4

(3 điểm) Điều kiện:

1 x

Đặt y = x (y0)  x = y2+1 Khi ta có: (y + 1)3 + 2y = - (y2 + 1)  y3 + 4y2 + 5y =

 y[(y + 2)2 + 1] = 0

Vì (y+2)2+10  y =  x = 1(thỏa điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x =

A B C D

M

E F

Câu Nội dung Điểm

5 (6 điểm)

Câu a: 2,5 điểm

DF = AE DFC = AED  ADE = DCF  

 EDC + DCF = EDC + ADE    

 

EDC + ADE = 900 nên DE

 CF

MC = MA (BD trung trực AC) MA = FE nên EF = CM

Câu b: 2,0 điểm

MCF =FED  MCF = FED 

Từ MCF = FED  chứng minh CM  EF

Tương tự a) CE  BF

ED, FB CM trùng với ba đường cao FEC nên chúng đồng

qui

Câu c: 1,5 điểm

ME + MF = FA + FD số không đổi

 ME.MF lớn ME = MF

Lúc M trung điểm BD

1,0đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Ghi chú:- Mọi cách giải khác, đúng, phù hợp ghi điểm tối đa